V tomto článku sa dozviete, ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú čiarami pomocou integrálnych výpočtov. S formuláciou takéhoto problému sa prvýkrát stretávame na strednej škole, keď sme práve ukončili štúdium určitých integrálov a je čas začať s geometrickým výkladom získaných poznatkov v praxi.
Čo je teda potrebné na úspešné vyriešenie problému nájdenia oblasti obrázku pomocou integrálov:
- Schopnosť robiť kompetentné výkresy;
- Schopnosť riešiť určitý integrál pomocou známeho Newtonovho-Leibnizovho vzorca;
- Schopnosť „vidieť“ výnosnejšiu možnosť riešenia – t.j. pochopiť, ako bude pohodlnejšie vykonať integráciu v jednom alebo druhom prípade? Pozdĺž osi x (OX) alebo osi y (OY)?
- Kde by sme boli bez správnych výpočtov?) To zahŕňa pochopenie toho, ako vyriešiť tento iný typ integrálov a správne numerické výpočty.
Algoritmus na riešenie problému výpočtu plochy obrazca ohraničeného čiarami:
1. Vytvárame výkres. Je vhodné to urobiť na kockovanom papieri vo veľkom meradle. Názov tejto funkcie podpíšeme ceruzkou nad každým grafom. Podpisovanie grafov sa vykonáva výlučne pre pohodlie ďalších výpočtov. Po získaní grafu požadovaného čísla bude vo väčšine prípadov okamžite jasné, ktoré limity integrácie sa použijú. Úlohu teda riešime graficky. Stáva sa však, že hodnoty limitov sú zlomkové alebo iracionálne. Preto môžete vykonať ďalšie výpočty, prejdite na druhý krok.
2. Ak nie sú hranice integrácie explicitne špecifikované, nájdeme priesečníky grafov medzi sebou a uvidíme, či sa naše grafické riešenie zhoduje s analytickým.
3. Ďalej musíte analyzovať výkres. V závislosti od toho, ako sú grafy funkcií usporiadané, existujú rôzne prístupy k nájdeniu oblasti obrázku. Pozrime sa na rôzne príklady hľadania oblasti obrázku pomocou integrálov.
3.1. Najklasickejšia a najjednoduchšia verzia problému je, keď potrebujete nájsť oblasť zakriveného lichobežníka. Čo je to zakrivený lichobežník? Toto je plochý údaj ohraničený osou x (y = 0), rovný x = a, x = b a ľubovoľná krivka súvislá na intervale od a do b. Navyše tento údaj nie je záporný a nenachádza sa pod osou x. V tomto prípade sa plocha krivočiareho lichobežníka numericky rovná určitému integrálu, vypočítanému pomocou vzorca Newton-Leibniz:
Príklad 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Akými čiarami je obrazec ohraničený? Máme parabolu y = x2 – 3x + 3, ktorá sa nachádza nad osou OH, je nezáporné, pretože všetky body tejto paraboly majú kladné hodnoty. Ďalej, dané rovné čiary x = 1 A x = 3, ktoré prebiehajú rovnobežne s osou Operačný zosilňovač, sú hraničné čiary obrázku vľavo a vpravo. Dobre y = 0, je to aj os x, ktorá obmedzuje obrázok zdola. Výsledný obrázok je vytieňovaný, ako je možné vidieť na obrázku vľavo. V takom prípade môžete problém okamžite začať riešiť. Pred nami je jednoduchý príklad zakriveného lichobežníka, ktorý ďalej riešime pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.
3.2. V predchádzajúcom odseku 3.1 sme skúmali prípad, keď sa nad osou x nachádza zakrivený lichobežník. Teraz zvážte prípad, keď sú podmienky problému rovnaké, okrem toho, že funkcia leží pod osou x. K štandardnému Newton-Leibnizovmu vzorcu sa pridáva mínus. Ako vyriešiť takýto problém, zvážime nižšie.
Príklad 2 . Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
V tomto príklade máme parabolu y = x2 + 6x + 2, ktorý vychádza z os OH, rovný x = -4, x = -1, y = 0. Tu y = 0 obmedzuje požadovanú hodnotu zhora. Priame x = -4 A x = -1 toto sú hranice, v rámci ktorých sa bude počítať určitý integrál. Princíp riešenia problému nájdenia oblasti obrazca sa takmer úplne zhoduje s príkladom číslo 1. Jediný rozdiel je v tom, že daná funkcia nie je kladná a je tiež spojitá na intervale [-4; -1] . Čo tým myslíš nie pozitívne? Ako vidno z obrázku, obrazec, ktorý leží v rámci daného x, má výlučne „záporné“ súradnice, čo musíme vidieť a zapamätať si pri riešení úlohy. Hľadáme oblasť obrázku pomocou vzorca Newton-Leibniz, iba so znamienkom mínus na začiatku.
Článok nie je dokončený.
Poďme ďalej zvážiť aplikácie integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typickú a najbežnejšiu úlohu výpočet plochy rovinného útvaru pomocou určitého integrálu. Napokon, nech ho nájdu všetci tí, ktorí hľadajú zmysel vo vyššej matematike. Nikdy nevieš. V skutočnom živote budete musieť aproximovať dacha pomocou elementárnych funkcií a nájsť jej plochu pomocou určitého integrálu.
Ak chcete úspešne zvládnuť materiál, musíte:
1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na strednej úrovni. Preto by si figuríny mali lekciu najskôr prečítať nie.
2) Byť schopný použiť Newtonov-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. S určitými integrálmi na stránke môžete nadviazať vrúcne priateľské vzťahy Určitý integrál. Príklady riešení. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa vytvorenie výkresu, takže relevantnou otázkou budú aj vaše znalosti a zručnosti v kreslení. Minimálne musíte byť schopní zostrojiť priamku, parabolu a hyperbolu.
Začnime so zakriveným lichobežníkom. Zakrivený lichobežník je plochý útvar ohraničený grafom nejakej funkcie r = f(x), os OX a linky x = a; x = b.
Plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu
Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. V triede Určitý integrál. Príklady riešení povedali sme, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA. teda určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche určitého útvaru. Zvážte určitý integrál
Integrand
definuje krivku v rovine (v prípade potreby ju možno nakresliť) a samotný určitý integrál sa numericky rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.
Príklad 1
, , , .
Toto je typický príkaz na zadanie. Najdôležitejším bodom pri rozhodovaní je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť výkres vytvorený SPRÁVNE.
Pri konštrukcii výkresu odporúčam nasledovné poradie: najprv je lepšie zostrojiť všetky priame čiary (ak existujú) a len Potom– paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Techniku výstavby bod po bode nájdete v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Nájdete tam aj veľmi užitočný materiál pre našu lekciu - ako rýchlo postaviť parabolu.
V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Urobme kresbu (všimnite si, že rovnica r= 0 určuje os OX):
Nebudeme tieniť zakrivený lichobežník, tu je zrejmé, o akú oblasť hovoríme. Riešenie pokračuje takto:
Na segmente [-2; 1] funkčný graf r = x 2 + 2 sa nachádza nad osouOX, Preto:
odpoveď: .
Kto má problémy s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newton-Leibnizovho vzorca
,
odkaz na prednášku Určitý integrál. Príklady riešení. Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade počítame počet buniek na výkrese „okom“ - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak je zrejmé, že niekde sa stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.
Príklad 2
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami xy = 4, x = 2, x= 4 a os OX.
Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Čo robiť, ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod nápravouOX?
Príklad 3
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami r = e-x, x= 1 a súradnicové osi.
Riešenie: Urobme kresbu:
Ak zakrivený lichobežník úplne umiestnené pod osou OX , potom jeho oblasť možno nájsť pomocou vzorca:
V tomto prípade:
.
Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:
1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.
2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.
V praxi sa obrazca najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.
Príklad 4
Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami r = 2x – x 2 , r = -x.
Riešenie: Najprv musíte urobiť kresbu. Pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly r = 2x – x 2 a rovno r = -x. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvá metóda je analytická. Riešime rovnicu:
To znamená, že spodná hranica integrácie a= 0, horná hranica integrácie b= 3. Často je ziskovejšie a rýchlejšie konštruovať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). Vráťme sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme výkres:
Zopakujme, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie určujú „automaticky“.
A teraz pracovný vzorec:
Ak na segmente [ a; b] nejaká nepretržitá funkcia f(x) väčšie alebo rovné nejaká nepretržitá funkcia g(x), potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť pomocou vzorca:
Tu už nemusíte premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, ale záleží, ktorý graf je VYŠŠIE(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je DOLE.
V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto od 2. x – x 2 treba odpočítať – x.
Hotové riešenie môže vyzerať takto:
Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou r = 2x – x 2 hore a rovno r = -x nižšie.
V segmente 2 x – x 2 ≥ -x. Podľa zodpovedajúceho vzorca:
odpoveď: .
Školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri príklad č. 3) je v skutočnosti špeciálnym prípadom vzorca
.
Pretože os OX daný rovnicou r= 0 a graf funkcie g(x) umiestnený pod osou OX, To
.
A teraz pár príkladov pre vlastné riešenie
Príklad 5
Príklad 6
Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami
Pri riešení problémov s výpočtom plochy pomocou určitého integrálu sa niekedy stane vtipná príhoda. Kresba bola urobená správne, výpočty boli správne, ale kvôli neopatrnosti... Bola nájdená oblasť nesprávnej postavy.
Príklad 7
Najprv urobme kresbu:
Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však ľudia kvôli nepozornosti často rozhodnú, že musia nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!
Tento príklad je užitočný aj v tom, že vypočítava plochu obrazca pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:
1) Na segmente [-1; 1] nad osou OX graf je umiestnený rovno r = x+1;
2) Na segmente nad osou OX nachádza sa graf hyperboly r = (2/x).
Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:
odpoveď:
Príklad 8
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami
Uveďme rovnice v „školskej“ forme
a urobte bod po bode nákres:
Z nákresu je zrejmé, že naša horná hranica je „dobrá“: b = 1.
Ale aká je spodná hranica?! Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo to je?
môže byť, a= (-1/3)? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa to ukázať a= (-1/4). Čo ak sme graf zostavili nesprávne?
V takýchto prípadoch musíte stráviť viac času a analyticky objasniť hranice integrácie.
Poďme nájsť priesečníky grafov
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:
.
teda a=(-1/3).
Ďalšie riešenie je triviálne. Hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znakoch. Výpočty tu nie sú najjednoduchšie. Na segmente
, 
,
podľa príslušného vzorca:
odpoveď: 
Na záver lekcie sa pozrime na dve náročnejšie úlohy.
Príklad 9
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami
Riešenie: Znázornime tento obrázok na výkrese.
Na zostavenie bodového výkresu potrebujete poznať vzhľad sínusoidy. Vo všeobecnosti je užitočné poznať grafy všetkých elementárnych funkcií, ako aj niektoré sínusové hodnoty. Nájdete ich v tabuľke hodnôt goniometrické funkcie. V niektorých prípadoch (napríklad v tomto prípade) je možné zostaviť schematický výkres, na ktorom by mali byť grafy a limity integrácie zásadne správne zobrazené.
Tu nie sú žiadne problémy s limitmi integrácie, ktoré vyplývajú priamo z podmienky:
– „x“ sa zmení z nuly na „pi“. Urobme ďalšie rozhodnutie:
Na segmente, grafe funkcie r= hriech 3 x umiestnený nad osou OX, Preto:
(1) V lekcii môžete vidieť, ako sú sínusy a kosínusy integrované do nepárnych mocnín Integrály goniometrických funkcií. Odštípneme jeden sínus.
(2) Vo formulári používame hlavnú goniometrickú identitu
(3) Zmeňme premennú t=cos x, potom: sa nachádza nad osou, preto:
.
.
Poznámka: všimnite si, ako sa tu používa integrál tangensovej kocky;
.
A)
Riešenie.
Prvým a najdôležitejším bodom rozhodnutia je konštrukcia výkresu.
Urobme výkres:
Rovnica y=0 nastaví os „x“;
- x = -2 A x=1 - rovný, rovnobežný s osou Oh;
- y=x 2 +2 - parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, s vrcholom v bode (0;2).
Komentujte. Na zostrojenie paraboly stačí nájsť body jej priesečníka so súradnicovými osami, t.j. uvedenie x=0 nájsť priesečník s osou Oh a vyriešením príslušnej kvadratickej rovnice nájdite priesečník s osou Oh .
Vrchol paraboly možno nájsť pomocou vzorcov: 
Môžete tiež vytvárať čiary bod po bode.
Na intervale [-2;1] graf funkcie y=x2+2 nachádza nad osou Ox , Preto:
odpoveď: S = 9 štvorcových jednotiek
Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ počítame počet buniek na výkrese - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak je zrejmé, že niekde sa stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.
Čo robiť, ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod nápravou Oh?
b) Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y=-e x , x=1 a súradnicové osi.
Riešenie.
Urobme si kresbu.
Ak zakrivený lichobežník úplne umiestnené pod osou Oh , potom jeho oblasť možno nájsť pomocou vzorca:
odpoveď: S=(e-1) štvorcových jednotiek“ 1,72 štvorcových jednotiek
Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:
1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.
2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.
V praxi sa najčastejšie postava nachádza v hornej aj dolnej polrovine.
s) Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami y=2x-x2, y=-x.
Riešenie.
Najprv musíte dokončiť výkres. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly 
a rovno 
Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvá metóda je analytická.
Riešime rovnicu:
To znamená, že spodná hranica integrácie a=0 , horná hranica integrácie b = 3 .
|
Dané priamky postavíme: 1. Parabola - vrchol v bode (1;1); priesečník osí oh - body (0;0) a (0;2). 2. Priamka - os 2. a 4. súradnicového uhla. A teraz Pozor! Ak na segmente [ a;b] nejaká nepretržitá funkcia f(x) väčšia alebo rovná nejakej spojitej funkcii g(x), potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť pomocou vzorca: A nezáleží na tom, kde sa obrázok nachádza – nad osou alebo pod osou, ale dôležité je, ktorý graf je VYŠŠIE (v porovnaní s iným grafom) a ktorý POD. V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od |
.Môžete vytvárať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne).
Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou nad a priamkou pod ňou.
Na segmente 
, podľa zodpovedajúceho vzorca:
odpoveď: S = 4,5 štvorcových jednotiek
V predchádzajúcej časti, venovanej analýze geometrického významu určitého integrálu, sme dostali niekoľko vzorcov na výpočet plochy krivočiareho lichobežníka:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nezápornú funkciu y = f (x) na intervale [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nekladnú funkciu y = f (x) na intervale [ a ; b].
Tieto vzorce sú použiteľné na riešenie relatívne jednoduchých problémov. V skutočnosti budeme musieť často pracovať so zložitejšími obrazcami. V tejto súvislosti budeme túto časť venovať analýze algoritmov na výpočet plochy obrazcov, ktoré sú obmedzené funkciami v explicitnej forme, t.j. ako y = f(x) alebo x = g(y).
VetaNech sú funkcie y = f 1 (x) a y = f 2 (x) definované a spojité na intervale [ a ; b] a f 1 (x) ≤ f 2 (x) pre akúkoľvek hodnotu x z [ a ; b]. Potom bude vzorec na výpočet plochy obrázku G ohraničený priamkami x = a, x = b, y = f 1 (x) a y = f 2 (x) vyzerať ako S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.
Podobný vzorec bude platiť pre oblasť obrazca ohraničenú priamkami y = c, y = d, x = g 1 (y) a x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dôkaz
Pozrime sa na tri prípady, pre ktoré bude vzorec platiť.
V prvom prípade, berúc do úvahy vlastnosť aditivity plochy, sa súčet plôch pôvodného obrázku G a krivočiareho lichobežníka G1 rovná ploche obrázku G2. To znamená, že
Preto S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Posledný prechod môžeme vykonať pomocou tretej vlastnosti určitého integrálu.
V druhom prípade platí rovnosť: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafické znázornenie bude vyzerať takto:
Ak sú obe funkcie kladné, dostaneme: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafické znázornenie bude vyzerať takto:
Prejdime k všeobecnému prípadu, keď y = f 1 (x) a y = f 2 (x) pretínajú os O x.
Priesečníky označíme ako x i, i = 1, 2, . . . , n-1. Tieto body rozdeľujú segment [a; b] na n častí x i-1; x i, i = 1, 2,. . . , n, kde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
teda
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Posledný prechod môžeme urobiť pomocou piatej vlastnosti určitého integrálu.
Znázornime všeobecný prípad na grafe.
Vzorec S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x možno považovať za preukázaný.
Teraz prejdime k analýze príkladov výpočtu plochy obrázkov, ktoré sú obmedzené priamkami y = f (x) a x = g (y).
Uvažovanie o ktoromkoľvek z príkladov začneme zostrojením grafu. Obrázok nám umožní reprezentovať zložité tvary ako spojenia jednoduchších tvarov. Ak vám zostavovanie grafov a obrázkov na nich robí ťažkosti, môžete si pri štúdiu funkcie naštudovať časť o základných elementárnych funkciách, geometrickej transformácii grafov funkcií a tiež o zostavovaní grafov.
Príklad 1
Je potrebné určiť plochu obrázku, ktorá je obmedzená parabolou y = - x 2 + 6 x - 5 a priamkami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Riešenie
Nakreslíme čiary na grafe v karteziánskom súradnicovom systéme.
Na segmente [1; 4 ] graf paraboly y = - x 2 + 6 x - 5 sa nachádza nad priamkou y = - 1 3 x - 1 2. V tomto ohľade na získanie odpovede používame vzorec získaný skôr, ako aj metódu výpočtu určitého integrálu pomocou vzorca Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odpoveď: S(G) = 13
Pozrime sa na zložitejší príklad.
Príklad 2
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená čiarami y = x + 2, y = x, x = 7.
Riešenie
V tomto prípade máme len jednu priamku umiestnenú rovnobežne s osou x. Toto je x = 7. To si vyžaduje, aby sme sami našli druhú hranicu integrácie.
Zostavme graf a nakreslite naň čiary uvedené v probléme.
Keď máme graf pred očami, môžeme ľahko určiť, že dolná hranica integrácie bude úsečka priesečníka grafu priamky y = x a semiparaboly y = x + 2. Na nájdenie abscisy používame rovnosti:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Ukazuje sa, že úsečka priesečníka je x = 2.
Upozorňujeme na skutočnosť, že vo všeobecnom príklade na výkrese sa priamky y = x + 2, y = x pretínajú v bode (2; 2), takže takéto podrobné výpočty sa môžu zdať zbytočné. Takéto podrobné riešenie sme tu poskytli len preto, že v zložitejších prípadoch nemusí byť riešenie také zrejmé. To znamená, že súradnice priesečníka čiar je vždy lepšie vypočítať analyticky.
Na intervale [ 2 ; 7] graf funkcie y = x sa nachádza nad grafom funkcie y = x + 2. Použime vzorec na výpočet plochy:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odpoveď: S (G) = 59 6
Príklad 3
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená grafmi funkcií y = 1 x a y = - x 2 + 4 x - 2.
Riešenie
Nakreslíme čiary do grafu.
Definujme hranice integrácie. Aby sme to dosiahli, určíme súradnice priesečníkov priamok porovnaním výrazov 1 x a - x 2 + 4 x - 2. Za predpokladu, že x nie je nula, rovnosť 1 x = - x 2 + 4 x - 2 sa stáva ekvivalentnou rovnici tretieho stupňa - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celočíselnými koeficientmi. Ak si chcete osviežiť pamäť na algoritmus na riešenie takýchto rovníc, môžeme si pozrieť časť „Riešenie kubických rovníc“.
Koreň tejto rovnice je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Vydelením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dvojčlenkou x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Zostávajúce korene nájdeme z rovnice x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Našli sme interval x ∈ 1; 3 + 13 2, v ktorom je číslica G obsiahnutá nad modrou a pod červenou čiarou. To nám pomáha určiť oblasť obrázku:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odpoveď: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Príklad 4
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená krivkami y = x 3, y = - log 2 x + 1 a osou x.
Riešenie
Nakreslite všetky čiary do grafu. Graf funkcie y = - log 2 x + 1 dostaneme z grafu y = log 2 x, ak ho umiestnime symetricky okolo osi x a posunieme o jednotku nahor. Rovnica osi x je y = 0.
Označme priesečníky čiar.
Ako vidno z obrázku, grafy funkcií y = x 3 a y = 0 sa pretínajú v bode (0; 0). Stáva sa to preto, že x = 0 je jediným skutočným koreňom rovnice x 3 = 0.
x = 2 je jediný koreň rovnice - log 2 x + 1 = 0, teda grafy funkcií y = - log 2 x + 1 a y = 0 sa pretínajú v bode (2; 0).
x = 1 je jediný koreň rovnice x 3 = - log 2 x + 1 . V tomto smere sa grafy funkcií y = x 3 a y = - log 2 x + 1 pretínajú v bode (1; 1). Posledné tvrdenie nemusí byť zrejmé, ale rovnica x 3 = - log 2 x + 1 nemôže mať viac ako jeden koreň, pretože funkcia y = x 3 je striktne rastúca a funkcia y = - log 2 x + 1 je prísne klesá.
Ďalšie riešenie zahŕňa niekoľko možností.
Možnosť #1
Obrázok G si môžeme predstaviť ako súčet dvoch krivočiarych lichobežníkov umiestnených nad osou x, z ktorých prvý sa nachádza pod stredovou čiarou na úsečke x ∈ 0; 1 a druhý je pod červenou čiarou na segmente x ∈ 1; 2. To znamená, že plocha sa bude rovnať S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Možnosť č.2
Obrázok G môže byť znázornený ako rozdiel dvoch obrázkov, z ktorých prvý je umiestnený nad osou x a pod modrou čiarou na segmente x ∈ 0; 2 a druhý medzi červenou a modrou čiarou na segmente x ∈ 1; 2. To nám umožňuje nájsť oblasť takto:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
V tomto prípade na nájdenie oblasti budete musieť použiť vzorec v tvare S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. V skutočnosti môžu byť čiary, ktoré ohraničujú obrazec, reprezentované ako funkcie argumentu y.
Vyriešme rovnice y = x 3 a - log 2 x + 1 vzhľadom na x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Získame požadovanú oblasť:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odpoveď: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Príklad 5
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená čiarami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Riešenie
Červenou čiarou nakreslíme čiaru definovanú funkciou y = x. Čiaru y = - 1 2 x + 4 nakreslíme modrou a čiaru y = 2 3 x - 3 čiernou farbou.
Označme priesečníky.
Nájdite priesečníky grafov funkcií y = x a y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Skontrolujte: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nie Je riešením rovnice x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je riešením rovnice ⇒ (4; 2) priesečník i y = x a y = - 1 2 x + 4
Nájdite priesečník grafov funkcií y = x a y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrola: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je riešením rovnice ⇒ (9 ; 3) bod a s y = x a y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Rovnica nemá riešenie
Nájdite priesečník priamok y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) priesečník y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3
Metóda č.1
Predstavme si plochu požadovaného obrazca ako súčet plôch jednotlivých obrazcov.
Potom je plocha obrázku:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metóda č.2
Plochu pôvodnej figúry možno znázorniť ako súčet dvoch ďalších figúrok.
Potom vyriešime rovnicu čiary vzhľadom na x a až potom použijeme vzorec na výpočet plochy obrázku.
y = x ⇒ x = y 2 červená čiara y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 čierna čiara y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Oblasť je teda:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d 2 + ∫ 3 3 2 r + 9 2 - r 2 r = = 7 4 r. 2 - 7 4 r. 1 2 + - r. 3 3 + 3 r. 2 4 + 9 2 r. 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Ako vidíte, hodnoty sú rovnaké.
Odpoveď: S (G) = 11 3
Výsledky
Aby sme našli oblasť obrázku, ktorá je obmedzená danými čiarami, musíme vytvoriť čiary v rovine, nájsť ich priesečníky a použiť vzorec na nájdenie oblasti. V tejto časti sme preskúmali najbežnejšie varianty úloh.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Problém 1(o výpočte plochy zakriveného lichobežníka).
V karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme xOy je daný údaj (pozri obrázok) ohraničený osou x, priamkami x = a, x = b (zakrivený lichobežník. Je potrebné vypočítať plochu zakriveného lichobežníka.
Riešenie. Geometria nám dáva recepty na výpočet plôch mnohouholníkov a niektorých častí kruhu (sektor, segment). Pomocou geometrických úvah môžeme nájsť len približnú hodnotu požadovanej plochy, pričom uvažujme takto.
Rozdeľme segment [a; b] (základňa zakriveného lichobežníka) na n rovnakých častí; toto rozdelenie sa vykonáva pomocou bodov x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Nakreslite priame čiary cez tieto body rovnobežné s osou y. Potom sa daný krivočiary lichobežník rozdelí na n častí, na n úzkych stĺpikov. Plocha celého lichobežníka sa rovná súčtu plôch stĺpcov.
Uvažujme samostatne k-tý stĺpec, t.j. zakrivený lichobežník, ktorého základňou je segment. Nahradíme ho obdĺžnikom s rovnakou základňou a výškou rovnou f(x k) (pozri obrázok). Plocha obdĺžnika sa rovná \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kde \(\Delta x_k \) je dĺžka segmentu; Je prirodzené považovať výsledný produkt za približnú hodnotu plochy k-tého stĺpca. 
Ak teraz urobíme to isté so všetkými ostatnými stĺpcami, dospejeme k nasledujúcemu výsledku: plocha S daného krivočiareho lichobežníka sa približne rovná ploche S n stupňovitého útvaru zloženého z n obdĺžnikov (pozri obrázok):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \bodky + f(x_k)\Delta x_k + \bodky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tu z dôvodu jednotnosti zápisu predpokladáme, že a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - dĺžka segmentu, \(\Delta x_1 \) - dĺžka segmentu atď.; v tomto prípade, ako sme sa dohodli vyššie, \(\Delta x_0 = \bodky = \Delta x_(n-1) \)
Takže, \(S \približne S_n \), a táto približná rovnosť je presnejšia, čím väčšie n.
Podľa definície sa verí, že požadovaná plocha krivočiareho lichobežníka sa rovná limitu sekvencie (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problém 2(o posunutí bodu)
Hmotný bod sa pohybuje po priamke. Závislosť rýchlosti od času vyjadruje vzorec v = v(t). Nájdite pohyb bodu za určité časové obdobie [a; b].
Riešenie. Ak by bol pohyb rovnomerný, potom by sa problém vyriešil veľmi jednoducho: s = vt, t.j. s = v(b-a). Pri nerovnomernom pohybe musíte použiť rovnaké nápady, na ktorých bolo založené riešenie predchádzajúceho problému.
1) Rozdeľte časový interval [a; b] na n rovnakých častí.
2) Uvažujme časový úsek a predpokladajme, že počas tohto časového úseku bola rýchlosť konštantná, rovnaká ako v čase t k. Takže predpokladáme, že v = v(t k).
3) Nájdite približnú hodnotu pohybu bodu za určité časové obdobie, túto približnú hodnotu označíme ako s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Nájdite približnú hodnotu posunutia s:
\(s \približne S_n \) kde
\(S_n = s_0 + \bodky + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \bodky + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Požadované posunutie sa rovná limitu postupnosti (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Poďme si to zhrnúť. Riešenia rôznych problémov boli zredukované na rovnaký matematický model. Mnohé problémy z rôznych oblastí vedy a techniky vedú v procese riešenia k rovnakému modelu. To znamená, že tento matematický model musí byť špeciálne študovaný.
Pojem určitého integrálu
Uveďme matematický popis modelu, ktorý bol zostavený v troch uvažovaných úlohách pre funkciu y = f(x), spojitý (ale nie nevyhnutne nezáporný, ako sa predpokladalo v uvažovaných úlohách) na intervale [a; b]:
1) rozdeliť segment [a; b] na n rovnakých častí;
2) vytvorte súčet $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) vypočítajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
V priebehu matematickej analýzy bolo dokázané, že táto limita existuje v prípade spojitej (alebo po častiach spojitej) funkcie. Volajú ho určitý integrál funkcie y = f(x) cez segment [a; b] a označené takto:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Čísla a a b sa nazývajú hranice integrácie (dolné a horné).
Vráťme sa k vyššie uvedeným úlohám. Definícia oblasti uvedená v úlohe 1 môže byť teraz prepísaná takto:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tu S je oblasť krivočiareho lichobežníka znázorneného na obrázku vyššie. Toto je geometrický význam určitého integrálu.
Definíciu posunutia s bodu, ktorý sa pohybuje v priamom smere rýchlosťou v = v(t) za časový úsek od t = a do t = b, uvedenú v úlohe 2, možno prepísať takto:
Newtonov-Leibnizov vzorec
Najprv si odpovedzme na otázku: aká je súvislosť medzi určitým integrálom a primitívnou deriváciou?
Odpoveď možno nájsť v úlohe 2. Na jednej strane, posunutie s bodu pohybujúceho sa priamočiaro rýchlosťou v = v(t) za časové obdobie od t = a do t = b sa vypočíta podľa vzorec
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Na druhej strane súradnica pohybujúceho sa bodu je primitívom pre rýchlosť - označme ju s(t); To znamená, že posunutie s je vyjadrené vzorcom s = s(b) - s(a). V dôsledku toho dostaneme:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kde s(t) je primitívna derivácia v(t).
Nasledujúca veta bola dokázaná v priebehu matematickej analýzy.
Veta. Ak je funkcia y = f(x) spojitá na intervale [a; b], potom platí vzorec
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kde F(x) je primitívna derivácia f(x).
Daný vzorec sa zvyčajne nazýva Newtonov-Leibnizov vzorec na počesť anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a nemeckého filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), ktorí ho dostali nezávisle od seba a takmer súčasne.
V praxi namiesto písania F(b) - F(a) používajú zápis \(\left. F(x)\right|_a^b \) (niekedy je tzv. dvojitá substitúcia) a podľa toho prepíšte Newtonov-Leibnizov vzorec do tohto tvaru:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \vľavo. F(x)\vpravo|_a^b \)
Pri výpočte určitého integrálu najprv nájdite primitívnu deriváciu a potom vykonajte dvojitú substitúciu.
Na základe Newtonovho-Leibnizovho vzorca môžeme získať dve vlastnosti určitého integrálu.
Nehnuteľnosť 1. Integrál súčtu funkcií sa rovná súčtu integrálov:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať z integrálneho znamienka:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou určitého integrálu
Pomocou integrálu môžete vypočítať plochy nielen zakrivených lichobežníkov, ale aj rovinných útvarov zložitejšieho typu, napríklad toho, ktorý je znázornený na obrázku. Obrazec P je ohraničený priamkami x = a, x = b a grafmi spojitých funkcií y = f(x), y = g(x) a na úsečke [a; b] platí nerovnosť \(g(x) \leq f(x) \). Na výpočet plochy S takéhoto obrázku budeme postupovať takto:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Plocha S obrazca ohraničená priamkami x = a, x = b a grafmi funkcií y = f(x), y = g(x), súvislá na segmente a taká, že pre ľubovoľné x zo segmentu [a; b] je splnená nerovnosť \(g(x) \leq f(x) \), vypočítaná podľa vzorca
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)