Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok
1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(x 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,
r - r 1 = k(x - x 1). (1)
Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(x 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.
2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(x 1 , r 1) a B(x 2 , r 2), napísané takto:
Uhlový koeficient priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je určený vzorcom
3. Uhol medzi rovnými čiarami A A B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve priamky dané rovnicami so sklonom
r = k 1 x + B 1 ,
Priamku prechádzajúcu bodom K(x 0 ; y 0) rovnobežnú s priamkou y = kx + a nájdeme podľa vzorca:
y - y 0 = k(x - x 0) (1)
Kde k je sklon priamky.
Alternatívny vzorec:
Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1 ; y 1) rovnobežná s priamkou Ax+By+C=0 je vyjadrená rovnicou
A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)
Príklad č.1. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom M 0 (-2,1) a súčasne:a) rovnobežne s priamkou 2x+3y -7 = 0;
b) kolmo na priamku 2x+3y -7 = 0.
Riešenie . Reprezentujme rovnicu so sklonom v tvare y = kx + a. Ak to chcete urobiť, presuňte všetky hodnoty okrem y na pravú stranu: 3y = -2x + 7 . Potom vydeľte pravú stranu faktorom 3. Dostaneme: y = -2/3x + 7/3
Nájdite rovnicu NK prechádzajúcu bodom K(-2;1), rovnobežným s priamkou y = -2 / 3 x + 7 / 3
Dosadením x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 dostaneme:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
alebo
y = -2 / 3 x - 1 / 3 alebo 3 roky + 2x +1 = 0
Príklad č.2. Napíšte rovnicu priamky rovnobežnej s priamkou 2x + 5y = 0 a tvoriacej spolu so súradnicovými osami trojuholník, ktorého obsah je 5.
Riešenie
. Keďže čiary sú rovnobežné, rovnica požadovanej čiary je 2x + 5y + C = 0. Oblasť pravouhlého trojuholníka, kde a a b sú jeho nohy. Nájdite priesečníky požadovanej čiary so súradnicovými osami: 
;
.
Takže, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Dosadíme to do vzorca pre oblasť: 
. Dostaneme dve riešenia: 2x + 5y + 10 = 0 a 2x + 5y – 10 = 0.
Príklad č.3. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom (-2; 5) rovnobežnú s priamkou 5x-7y-4=0.
Riešenie. Táto priamka môže byť vyjadrená rovnicou y = 5 / 7 x – 4 / 7 (tu a = 5 / 7). Rovnica požadovanej priamky je y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), t.j. 7(y-5)=5(x+2) alebo 5x-7y+45=0.
Príklad č.4. Po vyriešení príkladu 3 (A=5, B=-7) pomocou vzorca (2) nájdeme 5(x+2)-7(y-5)=0.
Príklad č.5. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom (-2;5) rovnobežnú s priamkou 7x+10=0.
Riešenie. Tu A=7, B=0. Vzorec (2) dáva 7(x+2)=0, t.j. x+2=0. Vzorec (1) nie je použiteľný, pretože túto rovnicu nemožno vyriešiť vzhľadom na y (táto priamka je rovnobežná so zvislou osou).
Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.
Cez ktorýkoľvek bod možno nakresliť nekonečné množstvo priamych čiar.
Cez akékoľvek dva nezhodné body možno nakresliť jednu priamku.
Dve rôznobežné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú
paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).
V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti pre relatívnu polohu dvoch čiar:
- čiary sa pretínajú;
- čiary sú rovnobežné;
- priamky sa pretínajú.
Rovno riadok— algebraická krivka prvého rádu: priamka v karteziánskom súradnicovom systéme
je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).
Všeobecná rovnica priamky.
Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku
Ax + Wu + C = 0,
a konštantný A, B sa zároveň nerovnajú nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný
rovnica priamky. V závislosti od hodnôt konštánt A, B A S Možné sú tieto špeciálne prípady:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- počiatkom prechádza priamka
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh
. B = C = 0, A ≠0- priamka sa zhoduje s osou Oh
. A = C = 0, B = 0- priamka sa zhoduje s osou Oh
Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od danej veličiny
počiatočné podmienky.
Rovnica priamky z bodu a normálového vektora.
Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)
kolmá na priamku danú rovnicou
Ax + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).
Riešenie. S A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x - y + C = 0. Ak chcete nájsť koeficient C
Dosadíme súradnice daného bodu A do výsledného výrazu. Dostaneme teda: 3 - 2 + C = 0
C = -1. Spolu: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 = 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.
Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) A M2 (x 2, y 2, z 2), Potom rovnica priamky,
prechádza cez tieto body:
Ak je niektorý z menovateľov nula, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Zapnuté
rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:
Ak x 1 ≠ x 2 A x = x 1, Ak x 1 = x 2 .
Zlomok = k volal sklon priamy.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).
Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:
Rovnica priamky pomocou bodu a sklonu.
Ak je všeobecná rovnica priamky Ax + Wu + C = 0 viesť k:
a určiť 
, potom sa výsledná rovnica nazýva
rovnica priamky so sklonom k.
Rovnica priamky z bodu a smerového vektora.
Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu
priamka cez bod a smerový vektor priamky.
Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku
Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.
Ax + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).
Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovaného riadku v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície,
koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:
1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.
Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.
pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:
x + y - 3 = 0
Rovnica priamky v segmentoch.
Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С≠0, potom po delení -С dostaneme:
alebo kde
Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnicou priesečníka
rovný s osou oh, A b- súradnica priesečníka priamky s osou Oh.
Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.
C = 1, a = -1, b = 1.
Normálna rovnica priamky.
Ak obe strany rovnice Ax + Wu + C = 0 deliť číslom 
ktorý sa volá
normalizačný faktor, potom dostaneme
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.
Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ*C< 0.
r- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke,
A φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.
Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x - 5r - 65 = 0. Vyžaduje sa na písanie rôznych typov rovníc
túto priamku.
Rovnica tejto priamky v segmentoch:
Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)
Rovnica priamky:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,
rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.
Uhol medzi priamkami v rovine.
Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y = k1x + b1, y = k2x + b2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami
bude definovaný ako
Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé
Ak k1 = -1/k2 .
Veta.
Priame Ax + Wu + C = 0 A Aix + B1y + C1 = 0 paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne
Ai = λA, B1 = λB. Ak tiež С 1 = λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok
sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku.
Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b
reprezentovaný rovnicou:
Vzdialenosť od bodu k čiare.
Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Wu + C = 0 definované ako:
Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice spadnutá z bodu M za danú
priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M A M 1:
(1)
Súradnice x 1 A o 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:
Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo
daná priama čiara. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom pri riešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
Veta bola dokázaná.
Tento článok odhaľuje odvodenie rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body v pravouhlom súradnicovom systéme umiestnenom v rovine. Odvoďme rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi v pravouhlom súradnicovom systéme. Názorne si ukážeme a vyriešime niekoľko príkladov súvisiacich s preberanou látkou.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pred získaním rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je potrebné venovať pozornosť niektorým skutočnostiam. Existuje axióma, ktorá hovorí, že cez dva divergentné body v rovine je možné nakresliť priamku a iba jednu. Inými slovami, dva dané body na rovine sú definované priamkou prechádzajúcou týmito bodmi.
Ak je rovina definovaná pravouhlým súradnicovým systémom Oxy, potom akákoľvek priamka v nej zobrazená bude zodpovedať rovnici priamky v rovine. Existuje aj súvislosť s usmerňovacím vektorom priamky Tento údaj postačuje na zostavenie rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi.
Pozrime sa na príklad riešenia podobného problému. Je potrebné vytvoriť rovnicu pre priamku a prechádzajúcu dvoma divergentnými bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2), ktoré sa nachádzajú v karteziánskom súradnicovom systéme.
V kanonickej rovnici priamky v rovine, ktorá má tvar x - x 1 a x = y - y 1 a y, je pravouhlý súradnicový systém O x y určený priamkou, ktorá sa s ňou pretína v bode so súradnicami M 1 (x 1, y 1) s vodiacim vektorom a → = (a x , a y) .
Je potrebné vytvoriť kanonickú rovnicu priamky a, ktorá bude prechádzať dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2).
Priama a má smerový vektor M 1 M 2 → so súradnicami (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pretože pretína body M 1 a M 2. Získali sme potrebné údaje na transformáciu kanonickej rovnice so súradnicami smerového vektora M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) a súradnicami bodov M 1 na nich ležiacich. (x1,y1) a M2(x2,y2). Získame rovnicu v tvare x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Zvážte obrázok nižšie.
Po výpočtoch zapíšeme parametrické rovnice priamky na rovine, ktorá prechádza dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2). Získame rovnicu tvaru x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ alebo x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y2 + (y2 - y1) · λ.
Pozrime sa bližšie na riešenie niekoľkých príkladov.
Príklad 1
Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej 2 danými bodmi so súradnicami M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Riešenie
Kanonická rovnica pre priamku pretínajúcu sa v dvoch bodoch so súradnicami x 1, y 1 a x 2, y 2 má tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Podľa podmienok úlohy máme, že x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Je potrebné dosadiť číselné hodnoty do rovnice x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Odtiaľto dostávame, že kanonická rovnica má tvar x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Odpoveď: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Ak potrebujete vyriešiť problém s iným typom rovnice, môžete najprv prejsť na kanonickú, pretože je ľahšie z nej prejsť na akúkoľvek inú.
Príklad 2
Zostavte všeobecnú rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi so súradnicami M 1 (1, 1) a M 2 (4, 2) v súradnicovom systéme O x y.
Riešenie
Najprv si musíte zapísať kanonickú rovnicu danej priamky, ktorá prechádza danými dvoma bodmi. Dostaneme rovnicu v tvare x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Uveďme kanonickú rovnicu do požadovaného tvaru, potom dostaneme:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 r - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
odpoveď: x - 3 y + 2 = 0.
Príklady takýchto úloh boli rozoberané v školských učebniciach na hodinách algebry. Školské úlohy sa líšili tým, že bola známa rovnica priamky s uhlovým koeficientom, ktorá mala tvar y = k x + b. Ak potrebujete nájsť hodnotu sklonu k a číslo b, pre ktoré rovnica y = k x + b definuje priamku v sústave O x y, ktorá prechádza bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2), kde x 1 ≠ x 2. Keď x 1 = x 2 , potom uhlový koeficient nadobudne hodnotu nekonečna a priamka M 1 M 2 je definovaná všeobecnou neúplnou rovnicou tvaru x - x 1 = 0 .
Pretože body M 1 A M 2 sú na priamke, potom ich súradnice spĺňajú rovnicu y 1 = k x 1 + b a y 2 = k x 2 + b. Je potrebné vyriešiť sústavu rovníc y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b pre k a b.
Aby sme to dosiahli, nájdeme k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
S týmito hodnotami k a b sa rovnica priamky prechádzajúcej cez dané dva body stáva y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo y = y2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Zapamätať si také obrovské množstvo vzorcov naraz je nemožné. K tomu je potrebné zvýšiť počet opakovaní pri riešení úloh.
Príklad 3
Napíšte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom prechádzajúcou bodmi so súradnicami M 2 (2, 1) a y = k x + b.
Riešenie
Na vyriešenie úlohy použijeme vzorec s uhlovým koeficientom v tvare y = k x + b. Koeficienty k a b musia mať takú hodnotu, aby táto rovnica zodpovedala priamke prechádzajúcej cez dva body so súradnicami M 1 (- 7, - 5) a M 2 (2, 1).
Body M 1 A M 2 sú umiestnené na priamke, potom ich súradnice musia urobiť z rovnice y = k x + b skutočnú rovnosť. Z toho dostaneme, že - 5 = k · (- 7) + b a 1 = k · 2 + b. Spojme rovnicu do sústavy - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b a vyriešime.
Pri nahradení to dostaneme
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Teraz sú hodnoty k = 2 3 a b = - 1 3 dosadené do rovnice y = k x + b. Zistíme, že požadovaná rovnica prechádzajúca danými bodmi bude rovnica v tvare y = 2 3 x - 1 3 .
Tento spôsob riešenia predurčuje stratu množstva času. Existuje spôsob, akým sa úloha rieši doslova v dvoch krokoch.
Napíšme kanonickú rovnicu priamky prechádzajúcej cez M 2 (2, 1) a M 1 (- 7, - 5), ktorá má tvar x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5). ) 1 - (- 5) ⇔ x + 79 = y + 56.
Teraz prejdime k rovnici sklonu. Dostaneme, že: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Odpoveď: y = 2 3 x - 1 3 .
Ak v trojrozmernom priestore existuje pravouhlý súradnicový systém O x y z s dvomi danými nezhodnými bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), priamka M prechádzajúca cez ne 1 M 2, je potrebné získať rovnicu tejto priamky.
Máme, že kanonické rovnice tvaru x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z a parametrické rovnice tvaru x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ sú schopné definovať priamku v súradnicovom systéme O x y z, prechádzajúcu bodmi so súradnicami (x 1, y 1, z 1) so smerovým vektorom a → = (a x, a y, a z).
Rovné M 1 M 2 má smerový vektor v tvare M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), kde priamka prechádza bodom M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), teda kanonická rovnica môže mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, zasa parametrické x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ alebo x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ.
Zoberme si výkres, ktorý zobrazuje 2 dané body v priestore a rovnicu priamky.
Príklad 4
Napíšte rovnicu priamky definovanej v pravouhlom súradnicovom systéme O x y z trojrozmerného priestoru, prechádzajúcej cez dané dva body so súradnicami M 1 (2, - 3, 0) a M 2 (1, - 3, - 5).
Riešenie
Je potrebné nájsť kanonickú rovnicu. Keďže hovoríme o trojrozmernom priestore, znamená to, že keď čiara prechádza danými bodmi, požadovaná kanonická rovnica bude mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Podľa podmienky máme, že x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Z toho vyplýva, že potrebné rovnice budú napísané takto:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Odpoveď: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Dajte dva body M 1 (x 1, y 1) A M 2 (x 2, y 2). Napíšme rovnicu priamky v tvare (5), kde k zatiaľ neznámy koeficient:
Od veci M 2 patrí k danej čiare, potom jej súradnice spĺňajú rovnicu (5): 
. Vyjadrením odtiaľto a dosadením do rovnice (5) dostaneme požadovanú rovnicu:
Ak 
táto rovnica môže byť prepísaná do formy, ktorá je vhodnejšia na zapamätanie:
(6)
Príklad. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 (1,2) a M 2 (-2,3)
Riešenie. 
. Použitím vlastnosti proporcie a vykonaním potrebných transformácií získame všeobecnú rovnicu priamky:
Uhol medzi dvoma priamymi čiarami
Zvážte dve priame čiary l 1 A l 2:
l 1: , , A
l 2: , ,
φ je uhol medzi nimi (). Z obr.4 je zrejmé: .
 |
Odtiaľto 
, alebo
Pomocou vzorca (7) môžete určiť jeden z uhlov medzi priamkami. Druhý uhol sa rovná .
Príklad. Dve čiary sú dané rovnicami y=2x+3 a y=-3x+2. nájdite uhol medzi týmito čiarami.
Riešenie. Z rovníc je zrejmé, že k 1 =2 a k 2 =-3. Nahradením týchto hodnôt do vzorca (7) zistíme
. Uhol medzi týmito čiarami je teda rovný .
Podmienky pre rovnobežnosť a kolmosť dvoch priamok
Ak rovno l 1 A l 2 sú teda paralelné φ=0 A tgφ=0. zo vzorca (7) vyplýva, že , odkiaľ k2 = k1. Podmienkou rovnobežnosti dvoch priamok je teda rovnosť ich uhlových koeficientov.
Ak rovno l 1 A l 2 sú teda kolmé φ=π/2, a2 = π/2+ ai. 
. Podmienkou kolmosti dvoch priamok je teda to, že ich uhlové koeficienty majú inverznú veľkosť a opačné znamienko.
Vzdialenosť od bodu k čiare
Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Bу + C = 0 je určená ako
Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:
Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku.
Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom pri riešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
Veta bola dokázaná.
Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
ki = -3; k2 = 2 tanj=; j = p/4.
Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.
Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.
Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.
Nájdeme rovnicu strany AB: ; 4x = 6r – 6;
2x – 3r + 3 = 0;
Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b.
k= . Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: odkiaľ b = 17. Spolu: .
Odpoveď: 3x + 2r – 34 = 0.
Vzdialenosť od bodu k priamke je určená dĺžkou kolmice vedenej od bodu k priamke.
Ak je priamka rovnobežná s rovinou premietania (h | | P 1), potom na určenie vzdialenosti od bodu A na priamku h je potrebné spustiť kolmicu z bodu A do horizontály h.
Uvažujme o zložitejšom príklade, keď priamka zaujíma všeobecnú polohu. Nech je potrebné určiť vzdialenosť od bodu M na priamku A všeobecné postavenie.
Určovacia úloha vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami je riešený podobne ako predchádzajúci. Na jednej priamke sa vezme bod a z nej sa na inú priamku spustí kolmica. Dĺžka kolmice sa rovná vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami.
Krivka druhého rádu je priamka definovaná rovnicou druhého stupňa vzhľadom na aktuálne karteziánske súradnice. Vo všeobecnom prípade Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
kde A, B, C, D, E, F sú reálne čísla a aspoň jedno z čísel A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Kruh
Stred kruhu– ide o geometrické ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialených od bodu v rovine C(a,b).
Kruh je daný nasledujúcou rovnicou:
Kde x,y sú súradnice ľubovoľného bodu na kružnici, R je polomer kružnice.
Znamienko rovnice kruhu
1. Chýba člen s x,y
2. Koeficienty pre x 2 a y 2 sú rovnaké
Elipsa
Elipsa sa nazýva geometrické miesto bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností každého z nich od dvoch daných bodov tejto roviny sa nazýva ohniská (konštantná hodnota).
Kanonická rovnica elipsy:
X a y patria do elipsy.
a – hlavná poloos elipsy
b – vedľajšia os elipsy
Elipsa má 2 osi symetrie OX a OU. Osami súmernosti elipsy sú jej osi, ich priesečník je stredom elipsy. Os, na ktorej sa nachádzajú ohniská, sa nazýva ohnisková os. Priesečník elipsy s osami je vrcholom elipsy.
Kompresný (napäťový) pomer: ε = s/a– excentricita (charakterizuje tvar elipsy), čím je menšia, tým je elipsa menej predĺžená pozdĺž ohniskovej osi.
Ak stredy elipsy nie sú v strede C(α, β)
Hyperbola
Hyperbola sa nazýva geometrické miesto bodov v rovine, absolútna hodnota rozdielu vzdialeností, z ktorých každý z dvoch daných bodov tejto roviny, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota odlišná od nuly.
Kanonická rovnica hyperboly
Hyperbola má 2 osi symetrie:
a – skutočná poloos symetrie
b – pomyselná poloos symetrie
Asymptoty hyperboly:
Parabola
Parabola je ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialených od daného bodu F, nazývaného ohnisko, a danej priamky, nazývanej priamka.
Kanonická rovnica paraboly:
У 2 = 2рх, kde р je vzdialenosť od ohniska po smerovú čiaru (parabola paraboly)
Ak je vrchol paraboly C (α, β), potom rovnica paraboly (y-β) 2 = 2р(x-α)
Ak je ohnisková os považovaná za ordinátovú os, potom rovnica paraboly bude mať tvar: x 2 = 2qу