Kanonické rovnice priamky v priestore sú rovnice, ktoré definujú priamku prechádzajúcu daným bodom kolineárne so smerovým vektorom.

Nech je daný bod a smerový vektor. Ľubovoľný bod leží na priamke l iba ak sú vektory a kolineárne, t.j. je pre ne splnená podmienka:

.

Vyššie uvedené rovnice sú kanonické rovnice priamky.

čísla m , n A p sú projekcie smerového vektora na súradnicové osi. Keďže vektor je nenulový, potom všetky čísla m , n A p sa nemôže súčasne rovnať nule. Ale jeden alebo dva z nich sa môžu ukázať ako nula. V analytickej geometrii je napríklad povolený nasledujúci záznam:

,

čo znamená, že projekcie vektora na os Oj A Oz sa rovnajú nule. Preto vektor aj priamka definovaná kanonickými rovnicami sú kolmé na osi Oj A Oz, teda lietadlá yOz .

Príklad 1 Napíšte rovnice pre priamku v priestore kolmom na rovinu a prechádza cez priesečník tejto roviny s osou Oz .

Riešenie. Nájdite priesečník tejto roviny s osou Oz. Od akéhokoľvek bodu ležiaceho na osi Oz, má teda súradnice , za predpokladu, že v danej rovnici roviny x = y = 0, dostaneme 4 z- 8 = 0 alebo z= 2. Preto je priesečník tejto roviny s osou Oz má súradnice (0; 0; 2) . Pretože je požadovaná čiara kolmá na rovinu, je rovnobežná s jej normálovým vektorom. Preto smerovým vektorom priamky môže byť normálový vektor danej rovine.

Teraz si napíšme požadované rovnice priamky prechádzajúcej bodom A= (0; 0; 2) v smere vektora:

Rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi

Priamka môže byť definovaná dvoma bodmi, ktoré na nej ležia A V tomto prípade môže byť smerovým vektorom priamky vektor . Potom nadobudnú tvar kanonické rovnice priamky

.

Vyššie uvedené rovnice určujú priamku prechádzajúcu cez dva dané body.

Príklad 2 Napíšte rovnicu pre priamku v priestore prechádzajúcu bodmi a .

Riešenie. Zapíšme si požadované rovnice priamky vo forme uvedenej vyššie v teoretickom odkaze:

.

Od , potom je požadovaná priamka kolmá na os Oj .

Rovná ako priesečník rovín

Priamku v priestore možno definovať ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín, t.j. ako množinu bodov, ktoré spĺňajú systém dvoch lineárnych rovníc.

Rovnice sústavy sa nazývajú aj všeobecné rovnice priamky v priestore.

Príklad 3 Zostavte kanonické rovnice priamky v priestore dané všeobecnými rovnicami

Riešenie. Ak chcete napísať kanonické rovnice priamky alebo, čo je to isté, rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body, musíte nájsť súradnice ľubovoľných dvoch bodov na priamke. Môžu to byť napríklad priesečníky priamky s akýmikoľvek dvomi súradnicovými rovinami yOz A xOz .

Priesečník priamky a roviny yOz má abscisu x= 0. Preto za predpokladu, že v tomto systéme rovníc x= 0, dostaneme systém s dvoma premennými:

Jej rozhodnutie r = 2 , z= 6 spolu s x= 0 definuje bod A(0; 2; 6) požadovaný riadok. Potom za predpokladu v danej sústave rovníc r= 0, dostaneme systém

Jej rozhodnutie x = -2 , z= 0 spolu s r= 0 definuje bod B(-2; 0; 0) priesečník priamky s rovinou xOz .

Teraz si zapíšme rovnice priamky prechádzajúcej bodmi A(0; 2; 6) a B (-2; 0; 0) :

,

alebo po vydelení menovateľov číslom -2:

,

Rovnica priamky na rovine.
Smerový vektor je rovný. Normálny vektor

Priama čiara v rovine je jedným z najjednoduchších geometrických útvarov, ktoré poznáte zo základnej školy a dnes sa naučíme, ako s ňou zaobchádzať pomocou metód analytickej geometrie. Aby ste zvládli materiál, musíte byť schopní postaviť priamku; vedieť, aká rovnica definuje priamku, najmä priamku prechádzajúcu počiatkom súradníc a priamky rovnobežné so súradnicovými osami. Tieto informácie nájdete v príručke Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií, vytvoril som ju pre Mathana, ale časť o lineárnej funkcii sa ukázala ako veľmi vydarená a podrobná. Preto, milé čajníky, najprv sa tam zohrejte. Okrem toho musíte mať základné vedomosti o vektory, inak bude pochopenie materiálu neúplné.

V tejto lekcii sa pozrieme na spôsoby, ako môžete vytvoriť rovnicu priamky v rovine. Odporúčam nezanedbávať praktické príklady (aj keď sa to zdá veľmi jednoduché), pretože im poskytnem základné a dôležité fakty, technické techniky, ktoré budú potrebné v budúcnosti, a to aj v iných častiach vyššej matematiky.

• Ako napísať rovnicu priamky s uhlovým koeficientom?
• ako?
• Ako nájsť smerový vektor pomocou všeobecnej rovnice priamky?
• Ako napísať rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom?

a začíname:

Rovnica priamky so sklonom

Známa „školská“ forma rovnice s priamkou sa nazýva rovnica priamky so sklonom. Napríklad, ak je rovnicou daná priamka, jej sklon je: . Uvažujme o geometrickom význame tohto koeficientu a o tom, ako jeho hodnota ovplyvňuje umiestnenie čiary:

V kurze geometrie je to dokázané sklon priamky sa rovná dotyčnica uhla medzi kladným smerom osia tento riadok: a uhol sa „odskrutkuje“ proti smeru hodinových ručičiek.

Aby kresba nebola neprehľadná, nakreslil som uhly len pre dve rovné čiary. Zoberme si „červenú“ čiaru a jej sklon. Podľa vyššie uvedeného: (uhol „alfa“ je označený zeleným oblúkom). Pre „modrú“ priamku s uhlovým koeficientom platí rovnosť (uhol „beta“ je označený hnedým oblúkom). A ak je známa dotyčnica uhla, v prípade potreby sa dá ľahko nájsť a samotný roh pomocou inverznej funkcie - arkustangens. Ako sa hovorí, trigonometrický stôl alebo mikrokalkulačka vo vašich rukách. teda uhlový koeficient charakterizuje stupeň sklonu priamky k osi x.

Možné sú tieto prípady:

1) Ak je sklon záporný: potom čiara, zhruba povedané, ide zhora nadol. Príkladmi sú „modré“ a „malinové“ priame čiary na výkrese.

2) Ak je sklon kladný: , čiara ide zdola nahor. Príklady - „čierne“ a „červené“ rovné čiary na výkrese.

3) Ak je sklon nula: , potom rovnica nadobudne tvar a zodpovedajúca priamka je rovnobežná s osou. Príkladom je „žltá“ priamka.

4) Pre skupinu čiar rovnobežných s osou (na výkrese nie je žiadny príklad, okrem samotnej osi), uhlový koeficient neexistuje (tangens 90 stupňov nie je definovaný).

Čím väčší je koeficient sklonu v absolútnej hodnote, tým je čiarový graf strmší..

Zvážte napríklad dve priame čiary. Tu má teda rovinka strmší sklon. Dovoľte mi pripomenúť, že modul vám umožňuje ignorovať znamenie, len nás zaujíma absolútne hodnoty uhlové koeficienty.

Priamka je zasa strmšia ako priamka .

Naopak: čím menší je koeficient sklonu v absolútnej hodnote, tým plochejšia je priamka.

Pre rovné čiary nerovnosť je pravdivá, teda priamka je plochejšia. Detská šmykľavka, aby ste si nerobili modriny a hrbolčeky.

Prečo je to potrebné?

Predĺžte si svoje trápenie Znalosť vyššie uvedených skutočností vám umožní okamžite vidieť svoje chyby, najmä chyby pri vytváraní grafov - ak sa ukáže, že kresba „očividne nie je v poriadku“. Je vhodné, aby ste hneď bolo jasné, že napríklad priamka je veľmi strmá a ide zdola nahor a priamka je veľmi plochá, pritlačená blízko osi a ide zhora nadol.

V geometrických problémoch sa často objavuje niekoľko priamych čiar, takže je vhodné ich nejako označiť.

Označenia: rovné čiary sú označené malými latinskými písmenami: . Obľúbenou možnosťou je označiť ich pomocou rovnakého písmena s prirodzenými dolnými indexmi. Napríklad päť riadkov, na ktoré sme sa práve pozreli, možno označiť .

Pretože každá priamka je jednoznačne určená dvoma bodmi, možno ju označiť týmito bodmi: atď. Označenie jasne naznačuje, že body patria k čiare.

Je čas sa trochu zahriať:

Ako napísať rovnicu priamky s uhlovým koeficientom?

Ak je známy bod patriaci k určitej čiare a uhlový koeficient tejto čiary, potom rovnica tejto čiary je vyjadrená vzorcom:

Príklad 1

Napíšte rovnicu pre priamku so sklonom, ak je známe, že bod patrí danej priamke.

Riešenie: Zostavme rovnicu priamky pomocou vzorca . V tomto prípade:

Odpoveď:

Vyšetrenie sa robí jednoducho. Najprv sa pozrieme na výslednú rovnicu a uistíme sa, že náš svah je na mieste. Po druhé, súradnice bodu musia spĺňať túto rovnicu. Zapojme ich do rovnice:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že bod vyhovuje výslednej rovnici.

Záver: Rovnica bola nájdená správne.

Zložitejší príklad, ktorý môžete vyriešiť sami:

Príklad 2

Napíšte rovnicu pre priamku, ak je známe, že jej uhol sklonu voči kladnému smeru osi je , a bod patrí tejto priamke.

Ak máte nejaké ťažkosti, znova si prečítajte teoretický materiál. Presnejšie, praktickejšie, veľa dôkazov preskočím.

Zazvonilo posledné zvonenie, promócie sa skončili a za bránami našej rodnej školy nás čaká samotná analytická geometria. Vtipom je koniec... Alebo možno ešte len začínajú =)

Nostalgicky mávame perom známemu a zoznamujeme sa so všeobecnou rovnicou priamky. Pretože v analytickej geometrii sa používa presne toto:

Všeobecná rovnica priamky má tvar: , kde sú nejaké čísla. Zároveň koeficienty súčasne sa nerovnajú nule, pretože rovnica stráca svoj význam.

Oblečme sa do obleku a spojme rovnicu s koeficientom sklonu. Najprv presuňte všetky výrazy na ľavú stranu:

Výraz s „X“ musí byť uvedený na prvé miesto:

Rovnica má v zásade už tvar , ale podľa pravidiel matematickej etikety musí byť koeficient prvého člena (v tomto prípade) kladný. Zmena znamenia:

Pamätajte na túto technickú vlastnosť! Prvý koeficient (najčastejšie) robíme kladným!

V analytickej geometrii bude rovnica priamky takmer vždy uvedená vo všeobecnej forme. V prípade potreby sa dá ľahko zredukovať na „školskú“ formu s uhlovým koeficientom (s výnimkou priamych čiar rovnobežných s osou ordinátov).

Položme si otázku čo dosť viete postaviť rovnú čiaru? Dva body. Ale viac o tomto incidente z detstva, teraz vládnu palice so šípkami. Každá rovinka má veľmi špecifický sklon, ktorému sa dá ľahko „prispôsobiť“. vektor.

Vektor, ktorý je rovnobežný s priamkou, sa nazýva smerový vektor tejto priamky. Je zrejmé, že každá priamka má nekonečne veľa smerových vektorov a všetky budú kolineárne (ko-smerové alebo nie - na tom nezáleží).

Smerový vektor označím takto: .

Ale jeden vektor nestačí na vytvorenie priamky; vektor je voľný a nie je viazaný na žiadny bod v rovine. Preto je dodatočne potrebné poznať nejaký bod, ktorý patrí k čiare.

Ako napísať rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora?

Ak je známy určitý bod patriaci do priamky a smerový vektor tejto priamky, potom rovnicu tejto priamky možno zostaviť pomocou vzorca:

Niekedy je tzv kanonická rovnica priamky .

Čo robiť, keď jedna zo súradníc sa rovná nule, pochopíme na praktických príkladoch nižšie. Mimochodom, všimnite si - oboje naraz súradnice sa nemôžu rovnať nule, pretože nulový vektor neurčuje konkrétny smer.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku pomocou bodu a smerového vektora

Riešenie: Zostavme rovnicu priamky pomocou vzorca. V tomto prípade:

Pomocou vlastností proporcie sa zbavíme zlomkov:

A privedieme rovnicu do jej všeobecného tvaru:

Odpoveď:

V takýchto príkladoch spravidla nie je potrebné kresliť, ale kvôli pochopeniu:

Na výkrese vidíme začiatočný bod, pôvodný smerový vektor (môže byť vykreslený z akéhokoľvek bodu roviny) a zostrojenú priamku. Mimochodom, v mnohých prípadoch je najvhodnejšie zostrojiť priamku pomocou rovnice s uhlovým koeficientom. Je ľahké transformovať našu rovnicu do formy a ľahko vybrať iný bod na vytvorenie rovnej čiary.

Ako bolo uvedené na začiatku odseku, priama čiara má nekonečný počet smerových vektorov a všetky sú kolineárne. Napríklad som nakreslil tri takéto vektory: . Nech už zvolíme akýkoľvek smerový vektor, výsledkom bude vždy rovnaká priamka rovnica.

Vytvorme rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora:

Vyriešenie pomeru:

Vydeľte obe strany -2 a získajte známu rovnicu:

Rovnakým spôsobom môžu záujemcovia testovať vektory alebo akýkoľvek iný kolineárny vektor.

Teraz vyriešme inverzný problém:

Ako nájsť smerový vektor pomocou všeobecnej rovnice priamky?

Veľmi jednoduché:

Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou v pravouhlom súradnicovom systéme, potom vektor je smerový vektor tejto priamky.

Príklady hľadania smerových vektorov priamych čiar:

Tento príkaz nám umožňuje nájsť iba jeden smerový vektor z nekonečného počtu, ale viac nepotrebujeme. Aj keď v niektorých prípadoch je vhodné znížiť súradnice smerových vektorov:

Rovnica teda špecifikuje priamku, ktorá je rovnobežná s osou a súradnice výsledného smerového vektora sú vhodne delené –2, čím sa získa presne základný vektor ako smerový vektor. Logické.

Podobne rovnica určuje priamku rovnobežnú s osou a vydelením súradníc vektora číslom 5 získame jednotkový vektor ako smerový vektor.

Teraz poďme na to kontrolný príklad 3. Príklad išiel hore, preto pripomínam, že sme v ňom zostavili rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora

Po prvé, pomocou rovnice priamky rekonštruujeme jej smerový vektor: – všetko je v poriadku, dostali sme pôvodný vektor (v niektorých prípadoch môže byť výsledkom kolineárny vektor s pôvodným, čo je zvyčajne ľahké si všimnúť podľa proporcionality zodpovedajúcich súradníc).

Po druhé, súradnice bodu musia vyhovovať rovnici. Dosadíme ich do rovnice:

Bola dosiahnutá správna rovnosť, čo nás veľmi teší.

Záver: Úloha bola dokončená správne.

Príklad 4

Napíšte rovnicu pre priamku pomocou bodu a smerového vektora

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie. Dôrazne sa odporúča skontrolovať pomocou algoritmu, o ktorom sme práve hovorili. Snažte sa vždy (ak je to možné) skontrolovať koncept. Je hlúpe robiť chyby tam, kde sa im dá 100% vyhnúť.

V prípade, že jedna zo súradníc smerového vektora je nulová, postupujte veľmi jednoducho:

Príklad 5

Riešenie: Vzorec nie je vhodný, pretože menovateľ na pravej strane je nula. Existuje cesta von! Pomocou vlastností proporcie prepíšeme vzorec do formulára a zvyšok sa valí po hlbokej koľaji:

Odpoveď:

Vyšetrenie:

1) Obnovte smerový vektor priamky:
– výsledný vektor je kolineárny s pôvodným smerovým vektorom.

2) Dosaďte súradnice bodu do rovnice:

Získa sa správna rovnosť

Záver: úloha dokončená správne

Vynára sa otázka, prečo sa obťažovať vzorcom, ak existuje univerzálna verzia, ktorá bude fungovať v každom prípade? Dôvody sú dva. Po prvé, vzorec je vo forme zlomku oveľa lepšie zapamätateľné. A po druhé, nevýhodou univerzálneho vzorca je to riziko zámeny sa výrazne zvyšuje pri dosadzovaní súradníc.

Príklad 6

Napíšte rovnicu pre priamku pomocou bodu a smerového vektora.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

Vráťme sa k dvom všadeprítomným bodom:

Ako napísať rovnicu priamky pomocou dvoch bodov?

Ak sú známe dva body, potom rovnicu priamky prechádzajúcej týmito bodmi možno zostaviť pomocou vzorca:

V skutočnosti je to typ vzorca a tu je dôvod, prečo: ak sú známe dva body, potom bude vektor smerovým vektorom danej čiary. V triede Vektory pre figuríny zvažovali sme najjednoduchší problém - ako nájsť súradnice vektora z dvoch bodov. Podľa tohto problému sú súradnice smerového vektora:

Poznámka : body možno „prehodiť“ a použiť vzorec . Takéto riešenie bude ekvivalentné.

Príklad 7

Napíšte rovnicu priamky pomocou dvoch bodov .

Riešenie: Používame vzorec:

Kombinácia menovateľov:

A zamiešajte balíček:

Práve teraz je vhodné zbaviť sa zlomkových čísel. V tomto prípade musíte obe strany vynásobiť 6:

Otvorte zátvorky a spomeňte si na rovnicu:

Odpoveď:

Vyšetrenie je zrejmé - súradnice počiatočných bodov musia spĺňať výslednú rovnicu:

1) Dosaďte súradnice bodu:

Skutočná rovnosť.

2) Dosaďte súradnice bodu:

Skutočná rovnosť.

Záver: Rovnica úsečky je napísaná správne.

Ak aspoň jeden bodov nevyhovuje rovnici, hľadajte chybu.

Stojí za zmienku, že grafické overenie je v tomto prípade ťažké, pretože zostrojiť priamku a zistiť, či k nej body patria , nie je to také jednoduché.

Zaznamenám niekoľko ďalších technických aspektov riešenia. Možno je v tomto probléme výhodnejšie použiť zrkadlový vzorec a v rovnakých bodoch urob rovnicu:

Menej zlomkov. Ak chcete, môžete vykonať riešenie až do konca, výsledkom by mala byť rovnaká rovnica.

Druhým bodom je pozrieť sa na konečnú odpoveď a zistiť, či by sa dala ďalej zjednodušiť? Napríklad, ak dostanete rovnicu , potom je vhodné ju znížiť o dve: – rovnica bude definovať rovnakú priamku. To je však už téma na rozhovor relatívnu polohu čiar.

Po prijatí odpovede v príklade 7 som pre každý prípad skontroloval, či sú VŠETKY koeficienty rovnice deliteľné 2, 3 alebo 7. Aj keď najčastejšie k takýmto redukciám dochádza pri riešení.

Príklad 8

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodmi .

Toto je príklad nezávislého riešenia, ktoré vám umožní lepšie pochopiť a precvičiť výpočtové techniky.

Podobne ako v predchádzajúcom odseku: ak je vo vzorci jeden z menovateľov (súradnica smerového vektora) sa stane nulou, potom ho prepíšeme do tvaru . Opäť si všimnite, ako nemotorne a zmätene vyzerá. Nevidím zmysel uvádzať praktické príklady, keďže tento problém sme už skutočne vyriešili (pozri č. 5, 6).

Priamy normálny vektor (normálny vektor)

čo je normálne? Jednoducho povedané, normála je kolmica. To znamená, že normálový vektor priamky je kolmý na danú priamku. Je zrejmé, že každá priamka ich má nekonečný počet (rovnako ako smerových vektorov) a všetky normálové vektory priamky budú kolineárne (kolineárne alebo nie, na tom nezáleží).

Manipulácia s nimi bude ešte jednoduchšia ako s vodiacimi vektormi:

Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou v pravouhlom súradnicovom systéme, potom vektor je normálový vektor tejto priamky.

Ak je potrebné z rovnice opatrne „vytiahnuť“ súradnice smerového vektora, potom je možné súradnice normálového vektora jednoducho „odstrániť“.

Normálny vektor je vždy ortogonálny k smerovému vektoru priamky. Overme si ortogonalitu týchto vektorov pomocou bodkový produkt:

Uvediem príklady s rovnakými rovnicami ako pre smerový vektor:

Je možné zostrojiť rovnicu priamky s jedným bodom a normálovým vektorom? Cítim to vo svojich črevách, je to možné. Ak je známy normálny vektor, potom je smer samotnej priamky jasne definovaný - ide o „tuhú štruktúru“ s uhlom 90 stupňov.

Ako napísať rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom?

Ak je známy určitý bod patriaci do priamky a normálový vektor tejto priamky, potom rovnica tejto priamky je vyjadrená vzorcom:

Tu všetko fungovalo bez zlomkov a iných prekvapení. Toto je náš normálny vektor. Miluj ho. A rešpekt =)

Príklad 9

Napíšte rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom. Nájdite smerový vektor čiary.

Riešenie: Používame vzorec:

Všeobecná rovnica priamky bola získaná, skontrolujme:

1) „Odstráňte“ súradnice normálneho vektora z rovnice: – áno, skutočne, pôvodný vektor bol získaný z podmienky (alebo by sa mal získať kolineárny vektor).

2) Skontrolujeme, či bod spĺňa rovnicu:

Skutočná rovnosť.

Keď sa presvedčíme, že rovnica je zložená správne, dokončíme druhú, ľahšiu časť úlohy. Vyberieme smerový vektor priamky:

Odpoveď:

Na obrázku vyzerá situácia takto:

Na účely školenia podobná úloha na samostatné riešenie:

Príklad 10

Napíšte rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom. Nájdite smerový vektor čiary.

Záverečná časť hodiny bude venovaná menej bežným, ale aj dôležitým typom rovníc priamky v rovine

Rovnica priamky v segmentoch.
Rovnica priamky v parametrickom tvare

Rovnica priamky v segmentoch má tvar , kde sú nenulové konštanty. Niektoré typy rovníc nemôžu byť reprezentované v tejto forme, napríklad priama úmernosť (keďže voľný člen sa rovná nule a neexistuje spôsob, ako dostať jeden na pravú stranu).

Toto je, obrazne povedané, „technický“ typ rovnice. Bežnou úlohou je reprezentovať všeobecnú rovnicu priamky ako rovnicu priamky v segmentoch. Ako je to pohodlné? Rovnica priamky v segmentoch umožňuje rýchlo nájsť priesečníky priamky so súradnicovými osami, čo môže byť veľmi dôležité v niektorých úlohách vyššej matematiky.

Nájdite priesečník priamky s osou. Vynulujeme „y“ a rovnica dostane tvar . Požadovaný bod sa získa automaticky: .

To isté s osou – bod, v ktorom priamka pretína ordinátovú os.

Tento článok odhaľuje odvodenie rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body v pravouhlom súradnicovom systéme umiestnenom v rovine. Odvoďme rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi v pravouhlom súradnicovom systéme. Názorne si ukážeme a vyriešime niekoľko príkladov súvisiacich s preberanou látkou.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pred získaním rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je potrebné venovať pozornosť niektorým skutočnostiam. Existuje axióma, ktorá hovorí, že cez dva divergentné body v rovine je možné nakresliť priamku a iba jednu. Inými slovami, dva dané body na rovine sú definované priamkou prechádzajúcou týmito bodmi.

Ak je rovina definovaná pravouhlým súradnicovým systémom Oxy, potom akákoľvek priamka v nej zobrazená bude zodpovedať rovnici priamky v rovine. Existuje aj súvislosť s usmerňovacím vektorom priamky Tento údaj postačuje na zostavenie rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi.

Pozrime sa na príklad riešenia podobného problému. Je potrebné vytvoriť rovnicu pre priamku a prechádzajúcu dvoma divergentnými bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2), ktoré sa nachádzajú v karteziánskom súradnicovom systéme.

V kanonickej rovnici priamky v rovine, ktorá má tvar x - x 1 a x = y - y 1 a y, je pravouhlý súradnicový systém O x y určený priamkou, ktorá sa s ňou pretína v bode so súradnicami M 1 (x 1, y 1) s vodiacim vektorom a → = (a x , a y) .

Je potrebné vytvoriť kanonickú rovnicu priamky a, ktorá bude prechádzať dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2).

Priama a má smerový vektor M 1 M 2 → so súradnicami (x 2 - x 1, y 2 - y 1), keďže pretína body M 1 a M 2. Získali sme potrebné údaje na transformáciu kanonickej rovnice so súradnicami smerového vektora M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) a súradnicami bodov M 1 na nich ležiacich. (x1,y1) a M2(x2,y2). Získame rovnicu v tvare x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Zvážte obrázok nižšie.

Po výpočtoch zapíšeme parametrické rovnice priamky na rovine, ktorá prechádza dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2). Získame rovnicu tvaru x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ alebo x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y2 + (y2 - y1) · λ.

Pozrime sa bližšie na riešenie niekoľkých príkladov.

Príklad 1

Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej 2 danými bodmi so súradnicami M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Riešenie

Kanonická rovnica pre priamku pretínajúcu sa v dvoch bodoch so súradnicami x 1, y 1 a x 2, y 2 má tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Podľa podmienok úlohy máme, že x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Je potrebné dosadiť číselné hodnoty do rovnice x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Odtiaľto dostávame, že kanonická rovnica má tvar x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Odpoveď: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Ak potrebujete vyriešiť problém s iným typom rovnice, môžete najprv prejsť na kanonickú, pretože je ľahšie z nej prejsť na akúkoľvek inú.

Príklad 2

Zostavte všeobecnú rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi so súradnicami M 1 (1, 1) a M 2 (4, 2) v súradnicovom systéme O x y.

Riešenie

Najprv si musíte zapísať kanonickú rovnicu danej priamky, ktorá prechádza danými dvoma bodmi. Dostaneme rovnicu v tvare x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Uveďme kanonickú rovnicu do požadovaného tvaru, potom dostaneme:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 r - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

odpoveď: x - 3 y + 2 = 0 .

Príklady takýchto úloh boli rozoberané v školských učebniciach na hodinách algebry. Školské úlohy sa líšili tým, že bola známa rovnica priamky s uhlovým koeficientom, ktorá mala tvar y = k x + b. Ak potrebujete nájsť hodnotu sklonu k a číslo b, pre ktoré rovnica y = k x + b definuje priamku v sústave O x y, ktorá prechádza bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 ( x 2, y 2), kde x 1 ≠ x 2. Keď x 1 = x 2 , potom uhlový koeficient nadobudne hodnotu nekonečna a priamka M 1 M 2 je definovaná všeobecnou neúplnou rovnicou tvaru x - x 1 = 0 .

Pretože body M 1 A M 2 sú na priamke, potom ich súradnice spĺňajú rovnicu y 1 = k x 1 + b a y 2 = k x 2 + b. Je potrebné vyriešiť sústavu rovníc y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b pre k a b.

Aby sme to dosiahli, nájdeme k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

S týmito hodnotami k a b sa rovnica priamky prechádzajúcej cez dané dva body stáva y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo y = y2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Zapamätať si také obrovské množstvo vzorcov naraz je nemožné. K tomu je potrebné zvýšiť počet opakovaní pri riešení úloh.

Príklad 3

Napíšte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom prechádzajúcou bodmi so súradnicami M 2 (2, 1) a y = k x + b.

Riešenie

Na vyriešenie úlohy použijeme vzorec s uhlovým koeficientom v tvare y = k x + b. Koeficienty k a b musia mať takú hodnotu, aby táto rovnica zodpovedala priamke prechádzajúcej cez dva body so súradnicami M 1 (- 7, - 5) a M 2 (2, 1).

Body M 1 A M 2 sú umiestnené na priamke, potom ich súradnice musia urobiť z rovnice y = k x + b skutočnú rovnosť. Z toho dostaneme, že - 5 = k · (- 7) + b a 1 = k · 2 + b. Spojme rovnicu do sústavy - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b a vyriešime.

Pri nahradení to dostaneme

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Teraz sú hodnoty k = 2 3 a b = - 1 3 dosadené do rovnice y = k x + b. Zistíme, že požadovaná rovnica prechádzajúca danými bodmi bude rovnica v tvare y = 2 3 x - 1 3 .

Tento spôsob riešenia predurčuje stratu množstva času. Existuje spôsob, akým sa úloha rieši doslova v dvoch krokoch.

Napíšme kanonickú rovnicu priamky prechádzajúcej cez M 2 (2, 1) a M 1 (- 7, - 5), ktorá má tvar x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5). ) 1 - (- 5) ⇔x + 79 = y + 56.

Teraz prejdime k rovnici sklonu. Dostaneme, že: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Odpoveď: y = 2 3 x - 1 3 .

Ak v trojrozmernom priestore existuje pravouhlý súradnicový systém O x y z s dvomi danými nezhodnými bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), priamka M prechádzajúca cez ne 1 M 2, je potrebné získať rovnicu tejto priamky.

Máme, že kanonické rovnice tvaru x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z a parametrické rovnice tvaru x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ sú schopné definovať priamku v súradnicovom systéme O x y z, prechádzajúcu bodmi so súradnicami (x 1, y 1, z 1) so smerovým vektorom a → = (a x, a y, a z).

Rovné M 1 M 2 má smerový vektor v tvare M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), kde priamka prechádza bodom M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), teda kanonická rovnica môže mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, zasa parametrické x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ alebo x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ.

Zoberme si kresbu, ktorá zobrazuje 2 dané body v priestore a rovnicu priamky.

Príklad 4

Napíšte rovnicu priamky definovanej v pravouhlom súradnicovom systéme O x y z trojrozmerného priestoru, prechádzajúcej cez dané dva body so súradnicami M 1 (2, - 3, 0) a M 2 (1, - 3, - 5).

Riešenie

Je potrebné nájsť kanonickú rovnicu. Keďže hovoríme o trojrozmernom priestore, znamená to, že keď čiara prechádza danými bodmi, požadovaná kanonická rovnica bude mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Podľa podmienky máme, že x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Z toho vyplýva, že potrebné rovnice budú napísané takto:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odpoveď: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.

Cez ktorýkoľvek bod možno nakresliť nekonečné množstvo priamych čiar.

Cez akékoľvek dva nezhodné body možno nakresliť jednu priamku.

Dve rôznobežné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú

paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).

V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti pre relatívnu polohu dvoch čiar:

• čiary sa pretínajú;

• čiary sú rovnobežné;

• priamky sa pretínajú.

Rovno riadok— algebraická krivka prvého rádu: priamka v karteziánskom súradnicovom systéme

je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).

Všeobecná rovnica priamky.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku

Ax + Wu + C = 0,

a konštantný A, B sa zároveň nerovnajú nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný

rovnica priamky. V závislosti od hodnôt konštánt A, B A S Možné sú tieto špeciálne prípady:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- počiatkom prechádza priamka

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh

. B = C = 0, A ≠0- priamka sa zhoduje s osou Oh

. A = C = 0, B = 0- priamka sa zhoduje s osou Oh

Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od danej veličiny

počiatočné podmienky.

Rovnica priamky z bodu a normálového vektora.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)

kolmá na priamku danú rovnicou

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).

Riešenie. S A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x - y + C = 0. Ak chcete nájsť koeficient C

Dosadíme súradnice daného bodu A do výsledného výrazu. Dostaneme teda: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Spolu: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) A M2 (x 2, y 2, z 2), Potom rovnica priamky,

prechádza cez tieto body:

Ak je niektorý z menovateľov nula, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Zapnuté

rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:

Ak x 1 ≠ x 2 A x = x 1, Ak x 1 = x 2 .

Zlomok = k volal sklon priamy.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky pomocou bodu a sklonu.

Ak je všeobecná rovnica priamky Ax + Wu + C = 0 viesť k:

a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva

rovnica priamky so sklonom k.

Rovnica priamky z bodu a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu

priamka cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku

Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).

Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovaného riadku v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície,

koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:

1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

x + y - 3 = 0

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С≠0, potom po delení -С dostaneme:

alebo kde

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnicou priesečníka

rovný s osou oh, A b- súradnica priesečníka priamky s osou Oh.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak obe strany rovnice Ax + Wu + C = 0 deliť číslom ktorý sa volá

normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.

Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ*C< 0.

r- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke,

A φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x - 5r - 65 = 0. Vyžaduje sa na písanie rôznych typov rovníc

túto priamku.

Rovnica tejto priamky v segmentoch:

Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)

Rovnica priamky:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,

rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.

Uhol medzi priamkami v rovine.

Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y = k1x + b1, y = k2x + b2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami

bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé

Ak k1 = -1/k2 .

Veta.

Priame Ax + Wu + C = 0 A Aix + B1y + C1 = 0 paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne

Ai = λA, B1 = λB. Ak tiež С 1 = λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok

sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku.

Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b

reprezentovaný rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Wu + C = 0 definované ako:

Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice spadnutá z bodu M za danú

priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M A M 1:

(1)

Súradnice x 1 A o 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo

daná priama čiara. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Rovnica paraboly je kvadratická funkcia. Existuje niekoľko možností na zostavenie tejto rovnice. Všetko závisí od toho, aké parametre sú uvedené vo vyhlásení o probléme.

Pokyny

Parabola je krivka, ktorá svojím tvarom pripomína oblúk a je grafom mocninovej funkcie. Bez ohľadu na vlastnosti paraboly, táto je párna. Takáto funkcia sa nazýva párna pre všetky hodnoty argumentu z definície, keď sa zmení znamienko argumentu, hodnota sa nezmení: f (-x) = f (x) Začnite s najjednoduchšou funkciou: y; = x^2. Z jeho vzhľadu môžeme usúdiť, že platí pre kladné aj záporné hodnoty argumentu x. Bod, v ktorom x = 0 a súčasne y = 0, sa považuje za bod.

Nižšie sú uvedené všetky hlavné možnosti konštrukcie tejto funkcie a jej . Ako prvý príklad nižšie uvažujeme o funkcii tvaru: f(x)=x^2+a, kde a je celé číslo Na vytvorenie grafu tejto funkcie je potrebné posunúť graf funkcia f(x) jednotkami. Príkladom je funkcia y=x^2+3, kde pozdĺž osi y je funkcia posunutá o dve jednotky. Ak je zadaná funkcia s opačným znamienkom, napríklad y=x^2-3, potom sa jej graf posunie nadol pozdĺž osi y.

Ďalším typom funkcie, ktorej možno dať parabolu, je f(x)=(x +a)^2. V takýchto prípadoch sa graf naopak posúva pozdĺž osi x (os x) o jednotky. Napríklad môžeme zvážiť funkcie: y=(x +4)^2 a y=(x-4)^2. V prvom prípade, keď existuje funkcia so znamienkom plus, sa graf posunie pozdĺž osi x doľava av druhom prípade doprava. Všetky tieto prípady sú znázornené na obrázku.