Pojem vpísaného a stredového uhla
Najprv predstavme pojem stredový uhol.
Poznámka 1
Všimnite si to miera stupňa stredového uhla sa rovná miere stupňa oblúka, na ktorom spočíva.
Predstavme si teraz pojem vpísaného uhla.
Definícia 2
Uhol, ktorého vrchol leží na kružnici a ktorého strany pretínajú rovnakú kružnicu, sa nazýva vpísaný uhol (obr. 2).
Obrázok 2. Vpísaný uhol
Veta o vpísanom uhle
Veta 1
Miera stupňa vpísaného uhla sa rovná polovici miery oblúka, na ktorom spočíva.
Dôkaz.
Dostaneme kružnicu so stredom v bode $O$. Označme vpísaný uhol $ACB$ (obr. 2). Možné sú tieto tri prípady:
- Lúč $CO$ sa zhoduje s ktoroukoľvek stranou uhla. Nech je to strana $CB$ (obr. 3).
Obrázok 3.
V tomto prípade je oblúk $AB$ menší ako $(180)^(()^\circ )$, preto sa stredový uhol $AOB$ rovná oblúku $AB$. Pretože $AO=OC=r$, potom je trojuholník $AOC$ rovnoramenný. To znamená, že základné uhly $CAO$ a $ACO$ sa navzájom rovnajú. Podľa vety o vonkajšom uhle trojuholníka máme:
- Lúč $CO$ rozdeľuje vnútorný uhol na dva uhly. Nech pretína kružnicu v bode $D$ (obr. 4).
Obrázok 4.
dostaneme
- Lúč $CO$ nerozdeľuje vnútorný uhol na dva uhly a nezhoduje sa so žiadnou z jeho strán (obr. 5).
Obrázok 5.
Uvažujme uhly $ACD$ a $DCB$ oddelene. Podľa toho, čo bolo dokázané v bode 1, dostávame
dostaneme
Veta bola dokázaná.
Dajme si dôsledky z tejto vety.
Dôsledok 1: Vpísané uhly, ktoré spočívajú na rovnakom oblúku, sú rovnaké.
Dôsledok 2: Vpísaný uhol, ktorý zviera priemer, je pravý uhol.
Dnes sa pozrieme na iný typ úloh 6 – tentoraz s kruhom. Mnohí študenti ich nemajú radi a považujú ich za ťažké. A úplne márne, pretože takéto problémy sú vyriešené elementárne, ak poznáte nejaké vety. Alebo sa vôbec neodvážia, ak ich nepoznáte.
Predtým, ako hovorím o hlavných vlastnostiach, dovoľte mi pripomenúť definíciu:
Vpísaný uhol je taký, ktorého vrchol leží na samotnom kruhu a ktorého strany vyrezávajú tetivu na tomto kruhu.
Stredový uhol je akýkoľvek uhol s vrcholom v strede kruhu. Jeho strany tiež pretínajú tento kruh a vyrezávajú na ňom tetivu.
Takže pojmy vpísaných a stredových uhlov sú neoddeliteľne spojené s kruhom a tetivami v ňom. A teraz hlavné vyhlásenie:
Veta. Stredový uhol je vždy dvojnásobkom vpísaného uhla, založený na rovnakom oblúku.
Napriek jednoduchosti výroku existuje celá trieda problémov 6, ktoré je možné pomocou neho vyriešiť – a nič iné.
Úloha. Nájdite ostrý vpísaný uhol zovretý tetivou, ktorá sa rovná polomeru kružnice.
Nech AB je tetiva, o ktorej uvažujeme, ó stred kruhu. Doplnková konštrukcia: OA a OB sú polomery kružnice. Získame:
Zvážte trojuholník ABO. V ňom AB = OA = OB - všetky strany sa rovnajú polomeru kruhu. Preto je trojuholník ABO rovnostranný a všetky uhly v ňom sú 60°.
Nech M je vrchol vpísaného uhla. Pretože uhly O a M spočívajú na rovnakom oblúku AB, vpísaný uhol M je 2-krát menší ako stredový uhol O. Máme:
M = 0:2 = 60:2 = 30
Úloha. Stredový uhol je o 36° väčší ako vpísaný uhol zvieraný rovnakým oblúkom kružnice. Nájdite vpísaný uhol.
Predstavme si nasledujúci zápis:
- AB je tetiva kruhu;
- Bod O je stredom kruhu, takže uhol AOB je stredový uhol;
- Bod C je vrcholom vpísaného uhla ACB.
Keďže hľadáme vpísaný uhol ACB, označme ho ACB = x. Potom je stredový uhol AOB x + 36. Na druhej strane je stredový uhol 2-násobkom vpísaného uhla. Máme:
AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2 x;
x = 36.
Našli sme teda vpísaný uhol AOB - rovná sa 36°.
Kruh je uhol 360°
Po prečítaní podnadpisu si znalí čitatelia pravdepodobne teraz povedia: „Fuj!“ Naozaj, porovnávanie kruhu s uhlom nie je úplne správne. Aby ste pochopili, o čom hovoríme, pozrite sa na klasický trigonometrický kruh:
Na čo je tento obrázok? A okrem toho, plné otočenie je uhol 360 stupňov. A ak to rozdelíte, povedzme, na 20 rovnakých častí, potom veľkosť každej z nich bude 360: 20 = 18 stupňov. To je presne to, čo je potrebné na vyriešenie problému B8.
Body A, B a C ležia na kružnici a rozdeľte ju na tri oblúky, ktorých miera stupňov je v pomere 1 : 3 : 5. Nájdite väčší uhol trojuholníka ABC.
Najprv nájdime mieru každého oblúka. Menšia nech je x. Na obrázku je tento oblúk označený AB. Potom môžu byť zostávajúce oblúky - BC a AC - vyjadrené pomocou AB: oblúk BC = 3x; AC = 5x. Celkovo tieto oblúky dávajú 360 stupňov:
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.
Teraz zvážte veľký oblúk AC, ktorý neobsahuje bod B. Tento oblúk, rovnako ako zodpovedajúci stredový uhol AOC, je 5x = 5 40 = 200 stupňov.
Uhol ABC je najväčší zo všetkých uhlov v trojuholníku. Je to vpísaný uhol zovretý rovnakým oblúkom ako stredový uhol AOC. To znamená, že uhol ABC je 2-krát menší ako AOC. Máme:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Toto bude miera väčšieho uhla v trojuholníku ABC.
Kružnica opísaná okolo pravouhlého trojuholníka
Mnoho ľudí zabúda na túto vetu. Ale márne, pretože niektoré problémy B8 sa bez toho nedajú vôbec vyriešiť. Presnejšie povedané, sú vyriešené, no s takým objemom výpočtov, že by ste radšej zaspali, ako by ste sa dopracovali k odpovedi.
Veta. Stred kružnice opísanej okolo pravouhlého trojuholníka leží v strede prepony.
Čo z tejto vety vyplýva?
- Stred prepony je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov trojuholníka. Toto je priamy dôsledok vety;
- Medián nakreslený k prepone rozdeľuje pôvodný trojuholník na dva rovnoramenné trojuholníky. To je presne to, čo je potrebné na vyriešenie problému B8.
V trojuholníku ABC nakreslíme stredný CD. Uhol C je 90° a uhol B je 60°. Nájdite uhol ACD.
Pretože uhol C je 90°, trojuholník ABC je pravouhlý trojuholník. Ukazuje sa, že CD je medián k prepone. To znamená, že trojuholníky ADC a BDC sú rovnoramenné.
Zvážte najmä trojuholník ADC. V tom AD = CD. Ale v rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základni rovnaké - pozri „Problém B8: Úsečky a uhly v trojuholníkoch“. Preto požadovaný uhol ACD = A.
Zostáva teda zistiť, čomu sa rovná uhol A. Aby sme to urobili, vráťme sa opäť k pôvodnému trojuholníku ABC. Označme uhol A = x. Keďže súčet uhlov v akomkoľvek trojuholníku je 180°, máme:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.
Samozrejme, posledný problém sa dá vyriešiť inak. Napríklad je ľahké dokázať, že trojuholník BCD nie je len rovnoramenný, ale rovnostranný. Takže uhol BCD je 60 stupňov. Uhol ACD je teda 90 − 60 = 30 stupňov. Ako vidíte, môžete použiť rôzne rovnoramenné trojuholníky, ale odpoveď bude vždy rovnaká.
Proces prípravy na jednotnú štátnu skúšku z matematiky sa najčastejšie začína opakovaním základných definícií, vzorcov a teorémov, a to aj na tému „Stredové a vpísané uhly v kruhu“. Táto sekcia planimetrie sa spravidla študuje na strednej škole. Nie je prekvapujúce, že mnohí študenti čelia potrebe zopakovať si základné pojmy a vety na tému „Stredový uhol kruhu“. Po pochopení algoritmu na riešenie takýchto problémov môžu školáci počítať s tým, že získajú konkurenčné skóre na základe výsledkov zloženia jednotnej štátnej skúšky.
Ako sa jednoducho a efektívne pripraviť na absolvovanie certifikačného testu?
Pri štúdiu pred zložením jednotnej štátnej skúšky sa mnohí stredoškoláci stretávajú s problémom nájsť potrebné informácie na tému „Stredové a vpísané uhly v kruhu“. Nie vždy je po ruke školská učebnica. A hľadanie vzorcov na internete niekedy zaberie veľa času.
Náš vzdelávací portál vám pomôže „napumpovať“ vaše zručnosti a zlepšiť si vedomosti v takej náročnej sekcii geometrie, akou je planimetria. „Shkolkovo“ ponúka študentom stredných škôl a ich učiteľom nový spôsob, ako vybudovať proces prípravy na jednotnú štátnu skúšku. Všetok základný materiál je prezentovaný našimi špecialistami v najdostupnejšej forme. Po prečítaní informácií v časti „Teoretické východiská“ sa študenti dozvedia, aké vlastnosti má stredový uhol kruhu, ako zistiť jeho hodnotu atď.
Potom na upevnenie získaných vedomostí a cvičných zručností odporúčame vykonať vhodné cvičenia. Veľký výber úloh na nájdenie veľkosti uhla vpísaného do kruhu a ďalších parametrov je uvedený v časti „Katalóg“. Pre každé cvičenie naši odborníci napísali podrobné riešenie a označili správnu odpoveď. Zoznam úloh na stránke sa neustále dopĺňa a aktualizuje.
Stredoškoláci sa môžu pripraviť na Jednotnú štátnu skúšku precvičovaním cvičení, napríklad zisťovaním veľkosti stredového uhla a dĺžky kruhového oblúka, online z akéhokoľvek ruského regiónu.
V prípade potreby je možné dokončenú úlohu uložiť do časti „Obľúbené“, aby ste sa k nej mohli neskôr vrátiť a ešte raz analyzovať princíp jej riešenia.
Uhol ABC je vpísaný uhol. Opiera sa o oblúk AC, uzavretý medzi jeho stranami (obr. 330).
Veta. Vpísaný uhol sa meria polovicou oblúka, na ktorom sa nachádza.
Toto by sa malo chápať takto: vpísaný uhol obsahuje toľko uhlových stupňov, minút a sekúnd, koľko je oblúkových stupňov, minút a sekúnd obsiahnutých v polovici oblúka, na ktorej spočíva.
Pri dokazovaní tejto vety je potrebné zvážiť tri prípady.
Prvý prípad. Stred kružnice leží na strane vpísaného uhla (obr. 331).
Nech ∠ABC je vpísaný uhol a stred kružnice O leží na strane BC. Je potrebné preukázať, že sa meria pol oblúka AC.
Pripojte bod A k stredu kruhu. Získame rovnoramenný \(\Delta\)AOB, v ktorom AO = OB, ako polomery tej istej kružnice. Preto ∠A = ∠B.
∠AOC je vonkajší trojuholník AOB, takže ∠AOC = ∠A + ∠B, a keďže uhly A a B sú rovnaké, potom ∠B je 1/2 ∠AOC.
Ale ∠AOC sa meria oblúkom AC, preto ∠B sa meria polovicou oblúka AC.
Napríklad, ak \(\breve(AC)\) obsahuje 60°18', potom ∠B obsahuje 30°9'.
Druhý prípad. Stred kružnice leží medzi stranami vpísaného uhla (obr. 332).
Nech ∠ABD je vpísaný uhol. Stred kruhu O leží medzi jeho stranami. Musíme dokázať, že ∠ABD sa meria polovicou oblúka AD.
Aby sme to dokázali, nakreslíme priemer BC. Uhol ABD je rozdelený na dva uhly: ∠1 a ∠2.
∠1 sa meria polovicou oblúka AC a ∠2 sa meria polovicou oblúka CD, preto sa celé ∠ABD meria ako 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \(\breve (CD)\), t.j. polovičný oblúk AD.
Napríklad, ak \(\breve(AD)\) obsahuje 124°, potom ∠B obsahuje 62°.
Tretí prípad. Stred kružnice leží mimo vpísaného uhla (obr. 333).
Nech ∠MAD je vpísaný uhol. Stred kruhu O je mimo rohu. Musíme dokázať, že ∠MAD sa meria polovicou oblúka MD.
Aby sme to dokázali, nakreslíme priemer AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Ale ∠MAB meria 1/2 \(\breve(MB)\) a ∠DAB meria 1/2 \(\breve(DB)\).
Preto ∠MAD meria 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), t.j. 1/2 \(\breve(MD)\).
Napríklad, ak \(\breve(MD)\) obsahuje 48° 38", potom ∠MAD obsahuje 24° 19' 8".
Dôsledky
1.
Všetky vpísané uhly zvierajúce rovnaký oblúk sú si navzájom rovné, pretože sú merané polovicou toho istého oblúka
(Obr. 334, a).
2. Vpísaný uhol zovretý priemerom je pravý uhol, pretože zviera polovicu kruhu. Polovica kruhu obsahuje 180 oblúkových stupňov, čo znamená, že uhol založený na priemere obsahuje 90 oblúkových stupňov (obr. 334, b).
Stredový uhol je uhol, ktorého vrchol je v strede kružnice.
Vpísaný uhol- uhol, ktorého vrchol leží na kružnici a ktorého strany ju pretínajú.
Na obrázku sú znázornené stredové a vpísané uhly, ako aj ich najdôležitejšie vlastnosti.
takže, veľkosť stredového uhla sa rovná uhlovej veľkosti oblúka, na ktorom spočíva. To znamená, že stredový uhol 90 stupňov bude spočívať na oblúku rovnajúcom sa 90°, teda kruhu. Stredový uhol rovný 60° spočíva na oblúku 60 stupňov, teda na šiestej časti kruhu.
Veľkosť vpísaného uhla je dvakrát menšia ako stredový uhol založený na rovnakom oblúku.
Na vyriešenie problémov budeme potrebovať aj pojem „akord“.
Rovnaké stredové uhly tvoria rovnaké tetivy.
1. Aký je vpísaný uhol zovretý priemeru kružnice? Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Vpísaný uhol zovretý priemerom je pravý uhol.
2. Stredový uhol je o 36° väčší ako ostrý vpísaný uhol zvieraný rovnakým kruhovým oblúkom. Nájdite vpísaný uhol. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.
Stredový uhol nech je rovný x a vpísaný uhol zovretý tým istým oblúkom nech je rovný y.
Vieme, že x = 2y.
Preto 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Polomer kružnice sa rovná 1. Nájdite hodnotu tupého vpísaného uhla zovretého tetivou, ktorá sa rovná . Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.
Nech akord AB sa rovná . Tupý vpísaný uhol založený na tejto tetive bude označený α.
V trojuholníku AOB sa strany AO a OB rovnajú 1, strana AB sa rovná . S takýmito trojuholníkmi sme sa už stretli. Je zrejmé, že trojuholník AOB je pravouhlý a rovnoramenný, to znamená, že uhol AOB je 90°.
Potom sa oblúk ACB rovná 90° a oblúk AKB sa rovná 360° - 90° = 270°.
Vpísaný uhol α spočíva na oblúku AKB a rovná sa polovici uhlovej hodnoty tohto oblúka, teda 135°.
odpoveď: 135.
4. Tetiva AB rozdeľuje kruh na dve časti, ktorých hodnoty stupňov sú v pomere 5:7. Pod akým uhlom je táto tetiva viditeľná z bodu C, ktorý patrí menšiemu oblúku kružnice? Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.
Hlavnou vecou v tejto úlohe je správne kreslenie a pochopenie podmienok. Ako chápete otázku: "Pod akým uhlom je tetiva viditeľná z bodu C?"
Predstavte si, že sedíte v bode C a potrebujete vidieť všetko, čo sa deje na akorde AB. Je to ako keby akord AB bol plátno v kine :-)
Je zrejmé, že musíte nájsť uhol ACB.
Súčet dvoch oblúkov, na ktoré tetiva AB rozdeľuje kružnicu, sa rovná 360°, tj.
5x + 7x = 360°
Preto x = 30° a potom vpísaný uhol ACB spočíva na oblúku rovnajúcom sa 210°.
Veľkosť vpísaného uhla sa rovná polovici uhlovej veľkosti oblúka, na ktorom spočíva, čo znamená, že uhol ACB sa rovná 105°.