Prednáška: Hranol, jeho základne, bočné rebrá, výška, bočná plocha; rovný hranol; správny hranol
Hranol
Ak ste sa s nami naučili ploché postavy z predchádzajúcich otázok, potom ste úplne pripravení študovať trojrozmerné postavy. Prvá pevná látka, ktorú sa naučíme, bude hranol.
Hranol je trojrozmerné telo, ktoré má veľké množstvo tvárí.
Tento obrazec má dva polygóny na základniach, ktoré sú umiestnené v rovnobežných rovinách a všetky bočné strany majú tvar rovnobežníka.
Obr. 1. Obr. 2
Poďme teda zistiť, z čoho pozostáva hranol. Za týmto účelom venujte pozornosť obr. 1
Ako už bolo spomenuté, hranol má dve základne, ktoré sú navzájom rovnobežné - sú to päťuholníky ABCEF a GMNJK. Okrem toho sú tieto polygóny navzájom rovnaké.
Všetky ostatné strany hranola sa nazývajú bočné steny - pozostávajú z rovnobežníkov. Napríklad BMNC, AGKF, FKJE atď.
Celková plocha všetkých bočných plôch sa nazýva bočný povrch.
Každý pár susedných plôch má spoločnú stranu. Táto spoločná strana sa nazýva hrana. Napríklad MV, SE, AB atď.
Ak sú horná a spodná základňa hranola spojené kolmicou, potom sa to bude nazývať výška hranola. Na obrázku je výška označená ako priamka OO 1.
Existujú dva hlavné typy hranolov: šikmé a rovné.
Ak bočné okraje hranola nie sú kolmé na podstavy, potom je takýto hranol tzv. naklonený.
Ak sú všetky hrany hranola kolmé na základne, potom sa takýto hranol nazýva rovno.
Ak základne hranolu obsahujú pravidelné mnohouholníky (tie s rovnakými stranami), potom sa takýto hranol nazýva správne.
Ak základne hranola nie sú navzájom rovnobežné, potom sa takýto hranol bude nazývať skrátený.
Môžete to vidieť na obr
Vzorce na zistenie objemu a plochy hranola
Existujú tri základné vzorce na zistenie objemu. Líšia sa od seba v aplikácii:
Podobné vzorce na nájdenie povrchovej plochy hranola:
Všeobecné informácie o priamom hranole
Bočná plocha hranola (presnejšie plocha bočnej plochy) sa nazýva súčet oblasti bočných plôch. Celková plocha hranola sa rovná súčtu bočnej plochy a plôch podstavcov.
Veta 19.1. Bočná plocha rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola, t.j. dĺžke bočnej hrany.
Dôkaz. Bočné strany rovného hranolu sú obdĺžniky. Základňami týchto obdĺžnikov sú strany mnohouholníka ležiace na základni hranola a výšky sa rovnajú dĺžke bočných hrán. Z toho vyplýva, že bočná plocha hranola sa rovná
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
kde a 1 a n sú dĺžky hrán podstavy, p je obvod podstavy hranola a I je dĺžka bočných hrán. Veta bola dokázaná.
Praktická úloha
Problém (22) . V naklonenom hranole sa vykonáva oddiele, kolmo na bočné rebrá a pretínajúce všetky bočné rebrá. Nájdite bočnú plochu hranola, ak sa obvod rezu rovná p a bočné hrany sa rovnajú l.
Riešenie. Rovina ťahaného rezu rozdeľuje hranol na dve časti (obr. 411). Jednu z nich podrobme paralelnému prekladu kombinujúcim základy hranola. V tomto prípade získame rovný hranol, ktorého základňou je prierez pôvodného hranola a bočné hrany sú rovné l. Tento hranol má rovnakú bočnú plochu ako pôvodný. Bočná plocha pôvodného hranola sa teda rovná pl.
Zhrnutie preberanej témy
Teraz sa pokúsme zhrnúť tému, ktorou sme sa zaoberali hranolmi a zapamätať si, aké vlastnosti má hranol.
Vlastnosti hranolov
Po prvé, hranol má všetky svoje základne ako rovnaké polygóny;
Po druhé, v hranole sú všetky jeho bočné strany rovnobežníky;
Po tretie, v takom mnohostrannom obrazci, akým je hranol, sú všetky bočné okraje rovnaké;
Malo by sa tiež pamätať na to, že mnohosteny, ako sú hranoly, môžu byť rovné alebo naklonené.
Ktorý hranol sa nazýva priamy hranol?
Ak je bočný okraj hranola umiestnený kolmo na rovinu jeho základne, potom sa takýto hranol nazýva rovný.
Nebolo by zbytočné pripomenúť, že bočné strany rovného hranolu sú obdĺžniky.
Aký typ hranola sa nazýva šikmý?
Ale ak bočná hrana hranola nie je umiestnená kolmo na rovinu jeho základne, potom môžeme pokojne povedať, že ide o naklonený hranol.
Ktorý hranol sa nazýva správny?
Ak pravidelný mnohouholník leží na základni priameho hranola, potom je takýto hranol pravidelný.
Teraz si spomeňme na vlastnosti, ktoré má bežný hranol.
Vlastnosti pravidelného hranola
Po prvé, pravidelné mnohouholníky vždy slúžia ako základňa pravidelného hranola;
Po druhé, ak vezmeme do úvahy bočné strany pravidelného hranola, sú to vždy rovnaké obdĺžniky;
Po tretie, ak porovnáte veľkosti bočných rebier, potom v bežnom hranole sú vždy rovnaké.
Po štvrté, správny hranol je vždy rovný;
Po piate, ak v pravidelnom hranole majú bočné steny tvar štvorcov, potom sa takýto obrazec zvyčajne nazýva polopravidelný mnohouholník.
Prizmatický prierez
Teraz sa pozrime na prierez hranola:
Domáca úloha
Teraz sa pokúsme upevniť tému, ktorú sme sa naučili, riešením problémov.
Nakreslíme naklonený trojuholníkový hranol, vzdialenosť medzi jeho okrajmi bude rovná: 3 cm, 4 cm a 5 cm a bočná plocha tohto hranola bude rovná 60 cm2. S týmito parametrami nájdite bočnú hranu tohto hranolu.
Viete, že geometrické útvary nás neustále obklopujú, a to nielen na hodinách geometrie, ale aj v každodennom živote existujú predmety, ktoré sa podobajú jednému alebo druhému geometrickému útvaru.
Každá domácnosť, škola alebo práca má počítač, ktorého systémová jednotka má tvar rovného hranola.
Ak vezmete do ruky jednoduchú ceruzku, uvidíte, že hlavnou časťou ceruzky je hranol.
Kráčajúc po centrálnej ulici mesta vidíme, že pod našimi nohami leží dlaždica, ktorá má tvar šesťhranného hranola.
A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie
Polygóny ABCDE a FHKMP ležiace v rovnobežných rovinách sa nazývajú podstavy hranola, kolmica OO 1 spustená z ľubovoľného bodu podstavy do roviny iného sa nazýva výška hranola. Rovnobežníky ABHF, BCKH atď. sa nazývajú bočné strany hranola a ich strany SC, DM atď., ktoré spájajú zodpovedajúce vrcholy podstav, sa nazývajú bočné hrany. V hranole sú všetky bočné hrany navzájom rovnaké ako segmenty rovnobežných priamych línií uzavretých medzi rovnobežnými rovinami.
Hranol sa nazýva priamka ( Obr. 282, b) alebo šikmé ( Obr. 282, c) podľa toho, či sú jeho bočné rebrá kolmé alebo naklonené k základniam. Priamy hranol má pravouhlé bočné steny. Bočný okraj môže byť braný ako výška takéhoto hranola.
Pravý hranol sa nazýva pravidelný, ak jeho základňami sú pravidelné mnohouholníky. V takomto hranole sú všetky bočné plochy rovnaké obdĺžniky.
Ak chcete zobraziť hranol na zložitom výkrese, musíte poznať a vedieť znázorniť prvky, z ktorých pozostáva (bod, priamka, plochá postava).
a ich obraz v komplexnej kresbe (obr. 283, a - i)
a) Komplexné kreslenie hranola. Základňa hranola je umiestnená na premietacej rovine P 1; jedna z bočných plôch hranola je rovnobežná s rovinou premietania P2.
b) Spodná podstava hranola DEF je plochý obrazec - pravidelný trojuholník umiestnený v rovine P 1; strana trojuholníka DE je rovnobežná s osou x 12 - Vodorovný priemet splýva s danou základňou, a preto sa rovná jej prirodzenej veľkosti; Čelná projekcia sa spája s osou x 12 a rovná sa strane základne hranola.
c) Horná základňa hranola ABC je plochý obrazec - trojuholník umiestnený vo vodorovnej rovine. Horizontálny výbežok splýva s výbežkom spodnej podstavy a prekrýva ho, keďže hranol je rovný; čelná projekcia - rovná, rovnobežná s osou x 12, vo vzdialenosti výšky hranola.
d) Bočná strana hranola ABED je plochý obrazec - obdĺžnik ležiaci v čelnej rovine. Čelná projekcia - obdĺžnik rovnajúci sa prirodzenej veľkosti tváre; horizontálna projekcia je priamka rovnajúca sa strane základne hranola.
e) a f) Bočné strany hranolov ACFD a CBEF sú ploché obrazce - obdĺžniky ležiace vo vodorovných vyčnievajúcich rovinách umiestnených pod uhlom 60° k premietacej rovine P2. Horizontálne projekcie sú priame čiary, umiestnené na osi x 12 pod uhlom 60° a rovnajú sa prirodzenej veľkosti strán základne hranola; čelné projekcie sú obdĺžniky, ktorých obrázky sú menšie ako životná veľkosť: dve strany každého obdĺžnika sa rovnajú výške hranola.
g) Hrana AD hranola je priamka, kolmá na premietaciu rovinu P1. Horizontálne premietanie - bod; čelná - rovná, kolmá na os x 12, rovná sa bočnej hrane hranola (výška hranola).
h) Strana AB hornej základne je rovná, rovnobežná s rovinami P 1 a P 2. Horizontálne a čelné priemetne sú priame, rovnobežné s osou x 12 a rovné strane danej podstavy hranola. Čelný výčnelok je od osi x 12 vzdialený vo vzdialenosti rovnajúcej sa výške hranola.
i) Vrcholy hranola. Bod E - horná časť spodnej základne sa nachádza v rovine P 1. Horizontálna projekcia sa zhoduje so samotným bodom; frontálny - leží na osi x 12 Bod C - vrchol hornej základne - je umiestnený v priestore. Horizontálna projekcia má hĺbku; frontálna - výška rovná výške tohto hranolu.
To znamená: Pri navrhovaní akéhokoľvek mnohostenu ho musíte mentálne rozdeliť na jednotlivé prvky a určiť poradie ich znázornenia, ktoré pozostáva z po sebe nasledujúcich grafických operácií. Obrázky 284 a 285 znázorňujú príklady sekvenčných grafických operácií pri vykonávaní zložitého kreslenia a vizuálneho znázornenia (axonometrie) hranolov.
(Obr. 284).
Vzhľadom na to:
1. Základňa sa nachádza na projekčnej rovine P 1.
2. Žiadna strana základne nie je rovnobežná s osou x 12.
I. Komplexná kresba.
ja, a. Navrhneme spodnú základňu - mnohouholník, ktorý podľa podmienky leží v rovine P1.
ja, nar. Navrhneme hornú základňu - mnohouholník rovný spodnej základni so stranami zodpovedajúcimi rovnobežnými so spodnou základňou, vzdialený od spodnej základne o výšku H daného hranola.
ja, c. Bočné hrany hranola navrhujeme - segmenty umiestnené paralelne; ich vodorovné priemety sú body splývajúce s priemetmi vrcholov podstav; frontálne - segmenty (paralelné) získané spojením projekcií vrcholov báz rovnakého mena priamymi čiarami. Čelné projekcie rebier, nakreslené z priemetov vrcholov B a C spodnej základne, sú znázornené prerušovanými čiarami ako neviditeľné.
ja, g. Je daný: vodorovný priemet F 1 bodu F na hornú základňu a čelný priemet K 2 bodu K na bočnú plochu. Je potrebné určiť umiestnenie ich druhých výčnelkov.
Pre bod F. Druhý (čelný) priemet F2 bodu F sa bude zhodovať s priemetom hornej základne ako bodu ležiaceho v rovine tejto základne; jej miesto určuje vertikálna komunikačná línia.
Pre bod K - Druhý (horizontálny) priemet K 1 bodu K sa bude zhodovať s horizontálnym priemetom bočného čela ako bodu ležiaceho v rovine čela; jej miesto určuje vertikálna komunikačná línia.
II. Vývoj povrchu hranola- plochá postava zložená z bočných plôch - obdĺžnikov, v ktorých sa dve strany rovnajú výške hranola a ďalšie dve sa rovnajú zodpovedajúcim stranám podstavy a z dvoch podstav, ktoré sú si navzájom rovné - nepravidelné mnohouholníky .
Na projekciách sú odhalené prirodzené rozmery základov a strán plôch potrebných na výstavbu zástavby; staviame na nich; Na priamku postupne nakreslíme strany AB, BC, CD, DE a EA mnohouholníka - základne hranola, prevzaté z horizontálneho premietania. Na kolmice nakreslené z bodov A, B, C, D, E a A nakreslíme výšku H tohto hranolu prevzatú z čelného priemetu a nakreslíme priamku cez značky. Výsledkom je skenovanie bočných plôch hranola.
Ak k tomuto rozvinutiu pripojíme základy hranola, získame rozvinutie celej plochy hranola. Základy hranola by mali byť pripevnené k zodpovedajúcej bočnej ploche pomocou metódy triangulácie.
Na hornej podstave hranola pomocou polomerov R a R 1 určíme polohu bodu F a na bočnej ploche pomocou polomerov R 3 a H 1 určíme bod K.
III. Vizuálne znázornenie hranola v dimetrii.
III, a. Spodnú základňu hranola znázorňujeme podľa súradníc bodov A, B, C, D a E (obr. 284 I, a).
III, nar. Hornú základňu zobrazujeme rovnobežne so spodnou, vzdialenú od nej o výšku H hranola.
III, c. Bočné hrany znázorňujeme spojením zodpovedajúcich vrcholov základní rovnými čiarami. Určíme viditeľné a neviditeľné prvky hranola a načrtneme ich zodpovedajúcimi čiarami,
III, d Určíme body F a K na povrchu hranola - Bod F - na hornej podstave sa určí pomocou rozmerov i a e; bod K - na bočnej ploche pomocou i 1 a H" .
Pre izometrický obraz hranola a určenie polohy bodov F a K by sa mala dodržiavať rovnaká postupnosť.
Obr.285).
Vzhľadom na to:
1. Základňa sa nachádza v rovine P 1.
2. Bočné rebrá sú rovnobežné s rovinou P2.
3. Žiadna strana základne nie je rovnobežná s osou x 12
I. Komplexná kresba.
ja, a. Navrhujeme podľa tejto podmienky: spodná základňa je mnohouholník ležiaci v rovine P1 a bočná hrana je segment rovnobežný s rovinou P2 a naklonený k rovine P1.
ja, nar. Zostávajúce bočné hrany navrhneme - segmenty rovnaké a rovnobežné s prvou hranou JV.
ja, c. Hornú základňu hranola navrhneme ako mnohouholník, rovnaký a rovnobežný so spodnou základňou a získame komplexný výkres hranola.
Na projekciách identifikujeme neviditeľné prvky. Predná projekcia okraja VM a horizontálna projekcia strany základného CD sú znázornené prerušovanými čiarami ako neviditeľné.
I, g Vzhľadom na čelný priemet Q 2 bodu Q na priemet A 2 K 2 F 2 D 2 bočnej plochy; musíte nájsť jeho horizontálnu projekciu. Za týmto účelom nakreslite pomocnú čiaru cez bod Q 2 v priemete A 2 K 2 F 2 D 2 plochy hranola rovnobežne s bočnými okrajmi tejto plochy. Nájdeme vodorovný priemet pomocnej čiary a na nej pomocou zvislej spojovacej čiary určíme umiestnenie požadovaného horizontálneho priemetu Q 1 bodu Q.
II. Vývoj povrchu hranola.
S prirodzenými rozmermi strán základne na vodorovnom priemete a rozmermi rebier na čelnom priemete je možné skonštruovať kompletné rozvinutie povrchu daného hranola.
Hranol zvinieme, otáčajúc ním zakaždým okolo bočného okraja, potom každá bočná plocha hranola na rovine zanechá stopu (rovnobežník) rovnajúcu sa jej prirodzenej veľkosti. Bočný sken vytvoríme v nasledujúcom poradí:
a) z bodov A 2, B 2, D 2. . . E 2 (čelné priemety vrcholov podstav) nakreslíme pomocné priamky kolmo na priemet rebier;
b) s polomerom R (rovnajúcim sa strane podstavy CD) urobíme zárez v bode D na pomocnej priamke vedenej z bodu D2; spojením priamych bodov C 2 a D a nakreslením priamych čiar rovnobežných s E 2 C 2 a C 2 D získame bočnú plochu CEFD;
c) potom podobným usporiadaním nasledujúcich bočných plôch získame rozvinutie bočných plôch hranola. Aby sme dosiahli úplné rozvinutie povrchu tohto hranola, pripevníme ho k zodpovedajúcim plochám základne.
III. Vizuálne znázornenie hranola v izometrii.
III, a. Znázorníme spodnú základňu hranola a hranu CE pomocou súradníc podľa (
1. Najmenší počet hrán má štvorsten - 6.
2. Hranol má n plôch. Aký polygón leží na jeho základni?
(n - 2) - štvorec.
3. Je hranol rovný, ak jeho dve susedné bočné strany sú kolmé na rovinu podstavy?
Áno, je.
4. V ktorom hranole sú bočné hrany rovnobežné s jeho výškou?
V priamom hranole.
5. Je hranol pravidelný, ak sú všetky jeho hrany navzájom rovné?
Nie, nemusí to byť priame.
6. Môže byť výška jednej z bočných plôch šikmého hranola zároveň výškou hranola?
Áno, ak je táto plocha kolmá na základňu.
7. Existuje hranol, v ktorom: a) bočná hrana je kolmá len na jednu hranu podstavy; b) iba jedna bočná plocha je kolmá na základňu?
a) áno. b) č.
8. Pravidelný trojuholníkový hranol je rozdelený na dva hranoly rovinou prechádzajúcou stredovými čiarami podstav. Aký je pomer bočných plôch týchto hranolov?
Podľa vety 27 zistíme, že bočné plochy sú v pomere 5:3
9. Bude pyramída pravidelná, ak jej bočné strany tvoria pravidelné trojuholníky?
10. Koľko stien kolmých na rovinu podstavy môže mať pyramída?
11. Existuje štvorhranná pyramída, ktorej protiľahlé strany sú kolmé na základňu?
Nie, inak by vrcholom pyramídy prechádzali najmenej dve priame čiary, kolmé na základne.
12. Môžu byť všetky strany trojuholníkovej pyramídy pravouhlé trojuholníky?
Áno (obrázok 183).
