25 uvádza definíciu inverznej matice. Existencia a jedinečnosť definície inverznej matice

Inverzná matica pre danú maticu je taká matica, ktorá vynásobí pôvodnú maticu, čím získa maticu identity: Povinnou a dostatočnou podmienkou pre prítomnosť inverznej matice je, že determinant pôvodnej matice je nerovná sa nule (čo zase znamená, že matica musí byť štvorcová). Ak je determinant matice rovný nule, potom sa nazýva singulárny a takáto matica nemá inverznú hodnotu. Vo vyššej matematike sú dôležité inverzné matice, ktoré sa používajú na riešenie množstva problémov. Napríklad na nájdenie inverznej matice bola skonštruovaná maticová metóda na riešenie sústav rovníc. Naša servisná stránka to umožňuje vypočítajte inverznú maticu online dve metódy: Gauss-Jordanova metóda a použitie matice algebraických sčítaní. Prvá zahŕňa veľké množstvo elementárnych transformácií vo vnútri matice, druhá zahŕňa výpočet determinantu a algebraické sčítania všetkých prvkov. Na výpočet determinantu matice online môžete využiť našu ďalšiu službu - Výpočet determinantu matice online

.

Nájdite inverznú maticu pre lokalitu

webovej stránky umožňuje nájsť inverzná matica online rýchlo a zadarmo. Na stránke sa pomocou našej služby vykonajú výpočty a výsledok sa uvedie s podrobným riešením na nájdenie inverzná matica. Server vždy dáva len presnú a správnu odpoveď. V úlohách podľa definície inverzná matica online, je potrebné, aby determinant matice bola nenulová, inak webovej stránky bude hlásiť nemožnosť nájsť inverznú maticu z dôvodu, že determinant pôvodnej matice je rovný nule. Úlohou nájsť inverzná matica nachádza sa v mnohých odvetviach matematiky a je jedným z najzákladnejších pojmov algebry a matematickým nástrojom v aplikovaných problémoch. Nezávislý definícia inverznej matice vyžaduje značné úsilie, veľa času, výpočtov a veľkú starostlivosť, aby nedošlo k preklepom alebo menším chybám vo výpočtoch. Preto naša služba nájsť inverznú maticu online značne uľahčí vašu úlohu a stane sa nepostrádateľným nástrojom pri riešení matematických problémov. Aj keby ste nájdite inverznú maticu sami, odporúčame skontrolovať svoje riešenie na našom serveri. Zadajte svoju pôvodnú maticu na našej webovej stránke Vypočítajte inverznú maticu online a skontrolujte svoju odpoveď. Náš systém nikdy nerobí chyby a nenachádza inverzná matica daný rozmer v režime online okamžite! Na webovej stránke webovej stránky v prvkoch sú povolené znaky matice, v tomto prípade inverzná matica online bude prezentovaná vo všeobecnej symbolickej forme.

Pokračujme v rozhovore o akciách s matricami. Počas štúdia tejto prednášky sa totiž naučíte, ako nájsť inverznú maticu. Učte sa. Aj keď je matematika ťažká.

Čo je to inverzná matica? Tu môžeme nakresliť analógiu s inverznými číslami: zvážte napríklad optimistické číslo 5 a jeho inverzné číslo. Súčin týchto čísel sa rovná jednej: . S matrikami je všetko podobné! Súčin matice a jej inverznej matice sa rovná – matica identity, čo je maticová obdoba číselnej jednotky. Najprv však najprv vyriešme dôležitú praktickú otázku, a to naučiť sa nájsť túto veľmi inverznú maticu.

Čo potrebujete vedieť a vedieť, aby ste našli inverznú maticu? Musíte sa vedieť rozhodnúť kvalifikácie. Musíte pochopiť, čo to je matice a vedieť s nimi vykonávať nejaké akcie.

Existujú dva hlavné spôsoby nájdenia inverznej matice:
používaním algebraické sčítania A pomocou elementárnych transformácií.

Dnes budeme študovať prvú, jednoduchšiu metódu.

Začnime tým najstrašnejším a nepochopiteľným. Uvažujme štvorec matice. Inverznú maticu možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca:

Kde je determinant matice, je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.

Koncept inverznej matice existuje len pre štvorcové matice, matice „dva po dvoch“, „tri po troch“ atď.

Označenia: Ako ste si už mohli všimnúť, inverzná matica je označená horným indexom

Začnime s najjednoduchším prípadom - maticou dva krát dva. Najčastejšie sa samozrejme vyžaduje „tri na tri“, ale napriek tomu dôrazne odporúčam preštudovať si jednoduchšiu úlohu, aby ste pochopili všeobecný princíp riešenia.

Príklad:

Nájdite inverznú hodnotu matice

Rozhodnime sa. Je vhodné rozdeliť postupnosť akcií bod po bode.

1) Najprv nájdeme determinant matice.

Ak nerozumiete tejto akcii dobre, prečítajte si materiál Ako vypočítať determinant?

Dôležité! Ak sa determinant matice rovná NULA– inverzná matica NEEXISTUJE.

V uvažovanom príklade, ako sa ukázalo, , čo znamená, že všetko je v poriadku.

2) Nájdite maticu maloletých.

Na vyriešenie nášho problému nie je potrebné vedieť, čo je maloletý, ale je vhodné prečítať si článok Ako vypočítať determinant.

Matica maloletých má rovnaké rozmery ako matrica, teda v tomto prípade.
Zostáva len nájsť štyri čísla a umiestniť ich na miesto hviezd.

Vráťme sa k nášmu matrixu
Najprv sa pozrime na ľavý horný prvok:

Ako to nájsť maloletý?
A to sa robí takto: MENTÁLNE prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza:

Zostávajúce číslo je minor tohto prvku, ktoré zapisujeme do našej matice maloletých:

Zvážte nasledujúci prvok matice:

V duchu prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza:

Čo zostáva, je menšia časť tohto prvku, ktorú zapíšeme do našej matice:

Podobne zvážime prvky druhého radu a nájdeme ich neplnoleté osoby:


Pripravený.

Je to jednoduché. V matrici maloletých potrebujete ZMENIŤ ZNAČKY dve čísla:

Toto sú čísla, ktoré som zakrúžkoval!

– matica algebraických sčítaní príslušných prvkov matice.

A len...

4) Nájdite transponovanú maticu algebraických sčítaní.

– transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.

5) Odpovedzte.

Zapamätajme si náš vzorec
Všetko sa našlo!

Takže inverzná matica je:

Je lepšie nechať odpoveď tak, ako je. NIE JE POTREBNÉ vydeľte každý prvok matice 2, pretože výsledkom sú zlomkové čísla. Táto nuansa je podrobnejšie diskutovaná v tom istom článku. Akcie s maticami.

Ako skontrolovať riešenie?

Potrebujete vykonať maticové násobenie resp

Vyšetrenie:

Prijaté už spomenuté matica identity je matica s jednotkami podľa hlavná uhlopriečka a nuly na iných miestach.

Inverzná matica je teda nájdená správne.

Ak vykonáte akciu, výsledkom bude aj matica identity. Toto je jeden z mála prípadov, kedy je násobenie matice komutatívne, viac podrobností nájdete v článku Vlastnosti operácií s maticami. Maticové výrazy. Všimnite si tiež, že počas kontroly sa konštanta (zlomok) posunie dopredu a spracuje sa na samom konci - po vynásobení matice. Toto je štandardná technika.

Prejdime k bežnejšiemu prípadu v praxi - matice tri na tri:

Príklad:

Nájdite inverznú hodnotu matice

Algoritmus je presne rovnaký ako v prípade „dva po dvoch“.

Inverznú maticu nájdeme pomocou vzorca: , kde je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.

1) Nájdite determinant matice.

Tu je odhalený determinant na prvom riadku.

Tiež nezabudnite na to, čo znamená, že všetko je v poriadku - existuje inverzná matica.

2) Nájdite maticu maloletých.

Matica maloletých má rozmer „tri krát tri“ a musíme nájsť deväť čísel.

Pozriem sa bližšie na pár maloletých:

Zvážte nasledujúci prvok matice:

MENTÁLNE prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza:

Zvyšné štyri čísla zapíšeme do determinantu „dva po dvoch“.

Tento determinant dva po dvoch a je vedľajší prvok tohto prvku. Je potrebné vypočítať:


To je všetko, neplnoletý bol nájdený, zapíšeme ho do našej matice maloletých:

Ako ste pravdepodobne uhádli, musíte vypočítať deväť determinantov dva krát dva. Tento proces je, samozrejme, únavný, ale prípad nie je najzávažnejší, môže byť aj horší.

No, na konsolidáciu – nájdenie ďalšieho maloletého na obrázkoch:

Skúste si vypočítať zvyšné neplnoleté osoby sami.

Konečný výsledok:
– matica maloletých príslušných prvkov matice.

Skutočnosť, že všetci maloletí dopadli negatívne, je čisto náhoda.

3) Nájdite maticu algebraických sčítaní.

V matrike maloletých je to potrebné ZMENIŤ ZNAČKY presne pre tieto prvky:

V tomto prípade:

Neuvažujeme o hľadaní inverznej matice pre maticu „štyri krát štyri“, keďže takúto úlohu môže zadať iba sadistický učiteľ (pre študenta vypočítať jeden determinant „štyri krát štyri“ a 16 determinantov „tri krát tri“). V mojej praxi sa vyskytol len jeden taký prípad a na moje trápenie dosť draho doplatil zákazník testu =).

V mnohých učebniciach a príručkách môžete nájsť mierne odlišný prístup k hľadaniu inverznej matice, ale odporúčam použiť algoritmus riešenia uvedený vyššie. prečo? Pretože pravdepodobnosť zmätku vo výpočtoch a znakoch je oveľa menšia.

Pre každú nesingulárnu maticu A existuje jedinečná matica A -1 taká, že

A*A -1 =A -1 *A = E,

kde E je matica identity rovnakých rádov ako A. Matica A -1 sa nazýva inverzná matica A.

V prípade, že niekto zabudol, v matici identity, okrem uhlopriečky vyplnenej jednotkami, sú všetky ostatné pozície vyplnené nulami, príklad matice identity:

Nájdenie inverznej matice pomocou metódy adjungovanej matice

Inverzná matica je definovaná vzorcom:

kde A ij - prvky a ij.

Tie. Ak chcete vypočítať inverznú maticu, musíte vypočítať determinant tejto matice. Potom nájdite algebraické doplnky pre všetky jeho prvky a poskladajte z nich novú maticu. Ďalej musíte túto matricu prepraviť. A vydeľte každý prvok novej matice determinantom pôvodnej matice.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Nájdite A -1 pre maticu

Riešenie nájdime A -1 pomocou metódy adjungovanej matice. Máme det A = 2. Nájdite algebraické doplnky prvkov matice A. V tomto prípade budú algebraické doplnky prvkov matice zodpovedajúce prvky samotnej matice, brané so znamienkom v súlade so vzorcom

Máme A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Vytvoríme adjungovanú maticu

Prepravujeme matricu A*:

Inverznú maticu nájdeme pomocou vzorca:

Získame:

Pomocou metódy adjungovanej matice nájdite A -1 ak

Riešenie Najprv vypočítame definíciu tejto matice, aby sme overili existenciu inverznej matice. máme

Tu sme pridali k prvkom druhého radu prvky tretieho radu, predtým vynásobené (-1), a potom sme rozšírili determinant pre druhý riadok. Keďže definícia tejto matice je iná ako nula, existuje jej inverzná matica. Na zostrojenie adjungovanej matice nájdeme algebraické doplnky prvkov tejto matice. máme

Podľa vzorca

transportná matica A*:

Potom podľa vzorca

Hľadanie inverznej matice metódou elementárnych transformácií

Okrem metódy hľadania inverznej matice, ktorá vyplýva zo vzorca (metóda adjoint matice), existuje metóda hľadania inverznej matice, ktorá sa nazýva metóda elementárnych transformácií.

Elementárne maticové transformácie

Nasledujúce transformácie sa nazývajú transformácie elementárnej matice:

1) preskupenie riadkov (stĺpcov);

2) vynásobenie riadku (stĺpca) číslom iným ako nula;

3) pridanie k prvkom riadka (stĺpca) zodpovedajúcich prvkov iného riadku (stĺpca), predtým vynásobených určitým číslom.

Aby sme našli maticu A -1, zostrojíme pravouhlú maticu B = (A|E) rádov (n; 2n), pričom k matici A vpravo priradíme maticu identity E cez deliacu čiaru:

Pozrime sa na príklad.

Pomocou metódy elementárnych transformácií nájdite A -1 ak

Riešenie vytvoríme maticu B:

Označme riadky matice B α 1, α 2, α 3. Vykonajte nasledujúce transformácie na riadkoch matice B.

Maticová algebra - Inverzná matica

Inverzná matica

Inverzná matica je matica, ktorá po vynásobení sprava aj zľava danou maticou dáva maticu identity.
Označme inverznú maticu matice A cez , potom podľa definície dostaneme:

Kde E– matica identity.
Štvorcová matica volal nie špeciálne (nedegenerované), ak jeho determinant nie je nula. Inak sa volá špeciálne (degenerovať) alebo jednotného čísla.

Veta platí: Každá nesingulárna matica má inverznú maticu.

Operácia nájdenia inverznej matice sa nazýva odvolanie matice. Zoberme si algoritmus maticovej inverzie. Nech je daná nesingulárna matica n- poradie:

kde Δ = det A ≠ 0.

Algebraické sčítanie prvku matice n- poradie A sa nazýva determinant matice braný s určitým znamienkom ( n–1) poradie získané vymazaním i-tý riadok a j stĺpec matice A:

Vytvorme si tzv pripojený matica:

kde sú algebraické doplnky zodpovedajúcich prvkov matice A.
Všimnite si, že algebraické sčítania prvkov riadku matice A sú umiestnené v zodpovedajúcich stĺpcoch matice à , to znamená, že matica sa transponuje súčasne.
Delením všetkých prvkov matice à podľa Δ – hodnota determinantu matice A, dostaneme inverznú maticu ako výsledok:

Všimnime si niekoľko špeciálnych vlastností inverznej matice:
1) pre danú maticu A jeho inverzná matica je jediný;
2) ak existuje inverzná matica, potom pravý spätný chod A doľava dozadu matice sa s ním zhodujú;
3) singulárna (singulárna) štvorcová matica nemá inverznú maticu.

Základné vlastnosti inverznej matice:
1) determinant inverznej matice a determinant pôvodnej matice sú recipročné;
2) inverzná matica súčinu štvorcových matíc sa rovná súčinu inverznej matice faktorov v opačnom poradí:

3) transponovaná inverzná matica sa rovná inverznej matici danej transponovanej matice:

PRÍKLAD Vypočítajte inverznú hodnotu danej matice.

Metódy hľadania inverznej matice, . Zvážte štvorcovú maticu

Označme Δ =det A.

Štvorcová matica A sa nazýva nedegenerovaný, alebo nie špeciálne, ak je jeho determinant nenulový, a degenerovať, alebo špeciálne, AkΔ = 0.

Štvorcová matica B je pre štvorcovú maticu A rovnakého rádu, ak ich súčin je A B = B A = E, kde E je matica identity rovnakého rádu ako matice A a B.

Veta . Aby matica A mala inverznú maticu, je potrebné a postačujúce, aby jej determinant bol odlišný od nuly.

Inverzná matica matice A, označená A- 1, takže B = A - 1 a vypočíta sa podľa vzorca

, (1)

kde A i j sú algebraické doplnky prvkov a i j matice A..

Výpočet A -1 pomocou vzorca (1) pre matice vysokého rádu je veľmi náročný na prácu, takže v praxi je vhodné nájsť A -1 pomocou metódy elementárnych transformácií (ET). Akákoľvek nesingulárna matica A môže byť redukovaná na maticu identity E pomocou ED iba stĺpcov (alebo iba riadkov). inverzná matica. Je vhodné vykonávať EP na maticách A a E súčasne, pričom obe matice píšte vedľa seba cez riadok. Ešte raz si všimnime, že pri hľadaní kanonickej formy matice na jej nájdenie môžete použiť transformácie riadkov a stĺpcov. Ak potrebujete nájsť inverznú hodnotu matice, mali by ste počas procesu transformácie použiť iba riadky alebo iba stĺpce.

Príklad 2.10. Pre maticu nájsť A -1 .

Riešenie.Najprv nájdeme determinant matice A
To znamená, že inverzná matica existuje a môžeme ju nájsť pomocou vzorca: , kde A i j (i,j=1,2,3) sú algebraické sčítania prvkov a i j pôvodnej matice.

Kde .

Príklad 2.11. Metódou elementárnych transformácií nájdite A -1 pre maticu: A = .

Riešenie.Pôvodnej matici vpravo priradíme maticu identity rovnakého poradia: . Pomocou elementárnych transformácií stĺpcov zredukujeme ľavú „polovicu“ na jednotkovú, pričom súčasne vykonáme presne tie isté transformácie na pravej matici.
Ak to chcete urobiť, vymeňte prvý a druhý stĺpec: ~ . Do tretieho stĺpca pridáme prvý a do druhého - prvý, vynásobený -2: . Z prvého stĺpca odpočítame druhý zdvojnásobený a od tretieho - druhý vynásobený 6; . Pridajme tretí stĺpec k prvému a druhému: . Vynásobte posledný stĺpec číslom -1: . Štvorcová matica získaná napravo od zvislého pruhu je inverzná matica danej matice A.
.