Lekcja na temat: „Wykres i właściwości funkcji $y=x^3$. Przykłady rysowania wykresów”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 7
Podręcznik elektroniczny dla klasy 7 „Algebra w 10 minut”
Kompleks edukacyjny 1C „Algebra, klasy 7-9”
Własności funkcji $y=x^3$
Opiszmy właściwości tej funkcji:
1. x jest zmienną niezależną, y jest zmienną zależną.
2. Dziedzina definicji: oczywiste jest, że dla dowolnej wartości argumentu (x) można obliczyć wartość funkcji (y). Zatem dziedziną definicji tej funkcji jest cała oś liczbowa.
3. Zakres wartości: y może być dowolne. W związku z tym zakres wartości jest również całą osią liczbową.
4. Jeśli x= 0, to y= 0.
Wykres funkcji $y=x^3$
1. Stwórzmy tabelę wartości:
2. Dla dodatnich wartości x wykres funkcji $y=x^3$ jest bardzo podobny do paraboli, której gałęzie są bardziej „dociśnięte” do osi OY.
3. Ponieważ dla ujemnych wartości x funkcja $y=x^3$ ma przeciwne wartości, wykres funkcji jest symetryczny względem początku.
Zaznaczmy teraz punkty na płaszczyźnie współrzędnych i zbudujmy wykres (patrz rys. 1).
Krzywa ta nazywana jest parabolą sześcienną.
Przykłady
I. Na małym statku całkowicie zabrakło świeżej wody. Konieczne jest doprowadzenie wystarczającej ilości wody z miasta. Wodę zamawia się z wyprzedzeniem i płaci za pełną kostkę, nawet jeśli napełni się ją trochę mniej. Ile kostek powinienem zamówić, aby nie przepłacić za dodatkową kostkę i całkowicie zapełnić zbiornik? Wiadomo, że zbiornik ma tę samą długość, szerokość i wysokość, które wynoszą 1,5 m. Rozwiążmy to zadanie bez wykonywania obliczeń.
Rozwiązanie:
1. Zbudujmy wykres funkcji $y=x^3$.
2. Znajdź punkt A, współrzędną x, która jest równa 1,5. Widzimy, że współrzędna funkcji mieści się w przedziale od 3 do 4 (patrz ryc. 2). Musisz więc zamówić 4 kostki.
Konstruowanie wykresów funkcji zawierających moduły sprawia zwykle uczniom duże trudności. Jednak wszystko nie jest takie złe. Wystarczy zapamiętać kilka algorytmów rozwiązywania takich problemów i można łatwo zbudować wykres nawet najbardziej pozornie złożonej funkcji. Zastanówmy się, jakie to są algorytmy.
1. Wykreślenie wykresu funkcji y = |f(x)|
Należy pamiętać, że zbiór wartości funkcji y = |f(x)| : y ≥ 0. Zatem wykresy takich funkcji zawsze leżą całkowicie w górnej półpłaszczyźnie.
Wykreślanie funkcji y = |f(x)| składa się z czterech prostych kroków.
1) Ostrożnie i starannie skonstruuj wykres funkcji y = f(x).
2) Pozostaw bez zmian wszystkie punkty na wykresie, które znajdują się powyżej lub na osi 0x.
3) Wyświetl część wykresu leżącą poniżej osi 0x symetrycznie względem osi 0x.
Przykład 1. Narysuj wykres funkcji y = |x 2 – 4x + 3|
1) Budujemy wykres funkcji y = x 2 – 4x + 3. Oczywiście wykresem tej funkcji jest parabola. Znajdźmy współrzędne wszystkich punktów przecięcia paraboli z osiami współrzędnych i współrzędnymi wierzchołka paraboli.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Dlatego parabola przecina oś 0x w punktach (3, 0) i (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Zatem parabola przecina oś 0y w punkcie (0, 3).
Współrzędne wierzchołka paraboli:
x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Dlatego punkt (2, -1) jest wierzchołkiem tej paraboli.
Na podstawie uzyskanych danych narysuj parabolę (ryc. 1)
2) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x jest wyświetlana symetrycznie względem osi 0x.
3) Otrzymujemy wykres oryginalnej funkcji ( Ryż. 2, zaznaczone linią przerywaną).
2. Wykres funkcji y = f(|x|)
Zauważ, że funkcje postaci y = f(|x|) są parzyste:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Oznacza to, że wykresy takich funkcji są symetryczne względem osi 0y.
Wykreślenie wykresu funkcji y = f(|x|) składa się z następującego prostego łańcucha działań.
1) Naszkicuj funkcję y = f(x).
2) Pozostaw tę część wykresu, dla której x ≥ 0, czyli tę część wykresu, która leży w prawej półpłaszczyźnie.
3) Wyświetlić część wykresu określoną w pkt (2) symetrycznie do osi 0y.
4) Jako końcowy wykres wybierz sumę krzywych uzyskanych w punktach (2) i (3).
Przykład 2. Narysuj wykres funkcji y = x 2 – 4 · |x| + 3
Ponieważ x 2 = |x| 2, wówczas pierwotną funkcję można zapisać w następującej postaci: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Teraz możemy zastosować zaproponowany powyżej algorytm.
1) Starannie i starannie budujemy wykres funkcji y = x 2 – 4 x + 3 (patrz także Ryż. 1).
2) Pozostawiamy tę część wykresu, dla której x ≥ 0, czyli tę część wykresu, która leży w prawej półpłaszczyźnie.
3) Wyświetl prawą stronę wykresu symetrycznie do osi 0y.
(ryc. 3).
Przykład 3. Narysuj wykres funkcji y = log 2 |x|
Stosujemy schemat podany powyżej.
1) Zbuduj wykres funkcji y = log 2 x (ryc. 4).
3. Wykreślenie funkcji y = |f(|x|)|
Zauważ, że funkcje postaci y = |f(|x|)| są również równe. Rzeczywiście, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), dlatego ich wykresy są symetryczne względem osi 0y. Zbiór wartości takich funkcji: y ≥ 0. Oznacza to, że wykresy takich funkcji leżą całkowicie w górnej półpłaszczyźnie.
Aby wykreślić funkcję y = |f(|x|)|, należy:
1) Ostrożnie skonstruuj wykres funkcji y = f(|x|).
2) Pozostaw bez zmian część wykresu znajdującą się powyżej lub na osi 0x.
3) Wyświetl część wykresu znajdującą się poniżej osi 0x symetrycznie względem osi 0x.
4) Jako końcowy wykres wybierz sumę krzywych uzyskanych w punktach (2) i (3).
Przykład 4. Narysuj wykres funkcji y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Zauważ, że x 2 = |x| 2. Oznacza to, że zamiast pierwotnej funkcji y = -x 2 + 2|x| - 1
możesz użyć funkcji y = -|x| 2 + 2|x| – 1, gdyż ich wykresy są zbieżne.
Budujemy graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. W tym celu używamy algorytmu 2.
a) Naszkicuj funkcję y = -x 2 + 2x – 1 (ryc. 6).
b) Pozostawiamy tę część wykresu, która znajduje się w prawej półpłaszczyźnie.
c) Wynikową część wykresu wyświetlamy symetrycznie do osi 0y.
d) Wynikowy wykres pokazano linią przerywaną na rysunku (ryc. 7).
2) Powyżej osi 0x nie ma punktów; punkty na osi 0x pozostawiamy bez zmian.
3) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x jest wyświetlana symetrycznie względem 0x.
4) Wynikowy wykres pokazano na rysunku linią przerywaną (ryc. 8).
Przykład 5. Wykres funkcji y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Najpierw musisz wykreślić funkcję y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby to zrobić, wracamy do algorytmu 2.
a) Ostrożnie wykreśl funkcję y = (2x – 4) / (x + 3) (ryc. 9).
Należy zauważyć, że ta funkcja jest ułamkowa i jej wykres jest hiperbolą. Aby wykreślić krzywą, należy najpierw znaleźć asymptoty wykresu. Pozioma – y = 2/1 (stosunek współczynników x w liczniku i mianowniku ułamka), pionowa – x = -3.
2) Tę część wykresu, która znajduje się powyżej osi 0x lub na niej, pozostawiamy bez zmian.
3) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x będzie wyświetlana symetrycznie względem 0x.
4) Ostateczny wykres pokazano na rysunku (ryc. 11).
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
„Logarytm naturalny” - 0,1. Logarytmy naturalne. 4. Rzutki logarytmiczne. 0,04. 7.121.
„Funkcja mocy stopień 9” - U. Parabola sześcienna. Y = x3. Nauczycielka 9. klasy Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y = xn, y = x-n gdzie n jest daną liczbą naturalną. X. Wykładnik jest parzystą liczbą naturalną (2n).
„Funkcja kwadratowa” - 1 Definicja funkcji kwadratowej 2 Własności funkcji 3 Wykresy funkcji 4 Nierówności kwadratowe 5 Wniosek. Właściwości: Nierówności: Opracowano przez ucznia klasy 8A Andreya Gerlitza. Plan: Wykres: -Przedziały monotoniczności dla a > 0 dla a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
„Funkcja kwadratowa i jej wykres” - Rozwiązanie.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-należy. Gdy a=1, wzór y=ax przyjmuje postać.
„Funkcja kwadratowa ósmej klasy” - 1) Skonstruuj wierzchołek paraboli. Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej. X. -7. Zbuduj wykres funkcji. Algebra 8. klasy Nauczyciel 496 Bovina school T.V. -1. Plan budowy. 2) Skonstruuj oś symetrii x=-1. y.
Niestety nie wszyscy uczniowie i uczniowie znają i kochają algebrę, ale każdy musi przygotowywać prace domowe, rozwiązywać testy i zdawać egzaminy. Dla wielu osób tworzenie wykresów funkcji jest szczególnie trudne: jeśli gdzieś czegoś nie rozumiesz, nie dokończysz nauki lub przegapisz, błędy są nieuniknione. Ale kto chce dostawać złe oceny?
Czy chciałbyś dołączyć do grona poszukiwaczy ogonów i przegranych? Można to zrobić na dwa sposoby: usiąść z podręcznikami i uzupełnić luki w wiedzy lub skorzystać z wirtualnego asystenta – usługi automatycznego wykreślania wykresów funkcji według zadanych warunków. Z rozwiązaniem lub bez. Dziś przedstawimy Wam kilka z nich.
Najlepszą rzeczą w Desmos.com jest jego wysoce konfigurowalny interfejs, interaktywność, możliwość organizowania wyników w tabele i przechowywania swojej pracy w bazie danych zasobów za darmo, bez ograniczeń czasowych. Wadą jest to, że usługa nie jest w pełni przetłumaczona na język rosyjski.
Grafikus.ru
Grafikus.ru to kolejny godny uwagi rosyjskojęzyczny kalkulator do tworzenia wykresów. Co więcej, buduje je nie tylko w przestrzeni dwuwymiarowej, ale także trójwymiarowej.
Oto niepełna lista zadań, z którymi ta usługa skutecznie radzi sobie:
- Rysowanie wykresów 2D prostych funkcji: linii prostych, paraboli, hiperboli, trygonometrycznych, logarytmicznych itp.
- Rysowanie wykresów 2D funkcji parametrycznych: okręgów, spiral, figur Lissajous i innych.
- Rysowanie wykresów 2D we współrzędnych biegunowych.
- Konstrukcja powierzchni 3D prostych funkcji.
- Konstrukcja powierzchni 3D funkcji parametrycznych.
Gotowy wynik otwiera się w osobnym oknie. Użytkownik ma możliwość pobrania, wydrukowania i skopiowania linku do niego. W tym drugim przypadku będziesz musiał zalogować się do usługi za pomocą przycisków sieci społecznościowych.
Płaszczyzna współrzędnych Grafikus.ru umożliwia zmianę granic osi, ich etykiet, odstępów siatki, a także szerokości i wysokości samej płaszczyzny oraz rozmiaru czcionki.
Największą siłą Grafikus.ru jest możliwość tworzenia grafiki 3D. W przeciwnym razie nie działa gorzej i nie lepiej niż zasoby analogowe.
Onlinecharts.ru
Asystent online Onlinecharts.ru nie tworzy wykresów, ale diagramy prawie wszystkich istniejących typów. W tym:
- Liniowy.
- Kolumnowy.
- Okólnik.
- Z obszarami.
- Promieniowy.
- Wykresy XY.
- Bańka.
- Miejsce.
- Bąbelki polarne.
- Piramidy.
- Prędkościomierze.
- Kolumnowo-liniowy.
Korzystanie z zasobu jest bardzo proste. Wygląd diagramu (kolor tła, siatka, linie, wskaźniki, kształty narożników, czcionki, przezroczystość, efekty specjalne itp.) jest całkowicie definiowany przez użytkownika. Dane do konstrukcji można wprowadzić ręcznie lub zaimportować z tabeli w pliku CSV przechowywanym na komputerze. Gotowy wynik można pobrać na komputer w postaci obrazu, pliku PDF, CSV lub SVG, a także zapisać online na stronie hostingu zdjęć ImageShack.Us lub na koncie osobistym Onlinecharts.ru. Z pierwszej opcji może skorzystać każdy, z drugiej – tylko zarejestrowani.