Wzór ogólny równań trygonometrycznych. Podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych

Równania trygonometryczne nie są tematem łatwym. Są zbyt różnorodne.) Na przykład te:

grzech 2 x + cos3x = ctg5x

grzech(5x+π /4) = łóżko(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Itp...

Ale te (i wszystkie inne) potwory trygonometryczne mają dwie wspólne i obowiązkowe cechy. Po pierwsze - nie uwierzysz - w równaniach są funkcje trygonometryczne.) Po drugie: wszystkie wyrażenia z x zostały znalezione w ramach tych samych funkcji. I tylko tam! Jeśli gdzieś pojawi się X poza, Na przykład, grzech2x + 3x = 3, będzie to już równanie typu mieszanego. Równania takie wymagają indywidualnego podejścia. Nie będziemy ich tutaj rozważać.

Na tej lekcji również nie będziemy rozwiązywać złych równań.) Tutaj sobie poradzimy najprostsze równania trygonometryczne. Dlaczego? Tak, ponieważ rozwiązanie każdy Równania trygonometryczne składają się z dwóch etapów. W pierwszym etapie równanie zła sprowadza się do prostego poprzez różne przekształcenia. W drugim przypadku rozwiązano to najprostsze równanie. Żaden inny sposób.

Jeśli więc będziesz mieć problemy na drugim etapie, pierwszy etap nie ma większego sensu.)

Jak wyglądają elementarne równania trygonometryczne?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tutaj A oznacza dowolną liczbę. Każdy.

Nawiasem mówiąc, wewnątrz funkcji może nie znajdować się czysty X, ale jakiś rodzaj wyrażenia, na przykład:

cos(3x+π /3) = 1/2

itp. To komplikuje życie, ale nie wpływa na metodę rozwiązywania równania trygonometrycznego.

Jak rozwiązywać równania trygonometryczne?

Równania trygonometryczne można rozwiązać na dwa sposoby. Sposób pierwszy: używając logiki i koła trygonometrycznego. Przyjrzymy się tej ścieżce tutaj. Drugi sposób – wykorzystanie pamięci i formuł – zostanie omówiony w następnej lekcji.

Pierwszy sposób jest jasny, niezawodny i trudny do zapomnienia.) Jest dobry do rozwiązywania równań trygonometrycznych, nierówności i wszelkiego rodzaju trudnych, niestandardowych przykładów. Logika jest silniejsza niż pamięć!)

Rozwiązywanie równań za pomocą okręgu trygonometrycznego.

Uwzględniamy elementarną logikę i umiejętność posługiwania się kołem trygonometrycznym. Nie wiesz jak? Jednak... Będziesz miał trudności z trygonometrią...) Ale to nie ma znaczenia. Zapoznaj się z lekcjami „Koło trygonometryczne...... Co to jest?” oraz „Pomiar kątów na okręgu trygonometrycznym”. Wszystko jest tam proste. W przeciwieństwie do podręczników...)

Och, wiesz!? A nawet opanował „Praktyczną pracę z kołem trygonometrycznym”!? Gratulacje. Ten temat będzie dla Ciebie bliski i zrozumiały.) Szczególnie przyjemne jest to, że okrąg trygonometryczny nie dba o to, jakie równanie rozwiązujesz. Sinus, cosinus, tangens, cotangens - dla niego wszystko jest takie samo. Jest tylko jedna zasada rozwiązania.

Bierzemy więc dowolne elementarne równanie trygonometryczne. Chociaż tyle:

cosx = 0,5

Musimy znaleźć X. Mówienie ludzkim językiem jest potrzebne znajdź kąt (x), którego cosinus wynosi 0,5.

Jak wcześniej korzystaliśmy z koła? Narysowaliśmy na nim kąt. W stopniach lub radianach. I od razu piła funkcje trygonometryczne tego kąta. Teraz zróbmy odwrotnie. Narysujmy cosinus na okręgu równy 0,5 i natychmiast zobaczymy narożnik. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź.) Tak, tak!

Narysuj okrąg i zaznacz cosinus równy 0,5. Oczywiście na osi cosinus. Lubię to:

Teraz narysujmy kąt, jaki daje nam ten cosinus. Najedź myszką na zdjęcie (lub dotknij zdjęcia na tablecie) i zobaczysz właśnie ten kącik X.

Cosinus którego kąta wynosi 0,5?

x = π /3

sałata 60°= cos( π /3) = 0,5

Niektórzy będą chichotać sceptycznie, tak... Na przykład, czy warto było zataczać koło, gdy wszystko jest już jasne... Można oczywiście chichotać...) Ale faktem jest, że jest to błędna odpowiedź. Albo raczej niewystarczające. Koneserzy kół rozumieją, że istnieje tu cała masa innych kątów, które również dają cosinus 0,5.

Jeśli obrócisz ruchomą stronę OA pełny obrót, punkt A powróci do swojej pierwotnej pozycji. Z tym samym cosinusem równym 0,5. Te. kąt się zmieni o 360° lub 2π radianów, oraz cosinus - nie. Nowy kąt 60° + 360° = 420° będzie również rozwiązaniem naszego równania, ponieważ

Można wykonać nieskończoną liczbę takich pełnych obrotów... I wszystkie te nowe kąty będą rozwiązaniami naszego równania trygonometrycznego. I wszystkie muszą zostać w jakiś sposób zapisane w odpowiedzi. Wszystko. Inaczej decyzja się nie liczy, tak...)

Matematyka może to zrobić prosto i elegancko. Zapisz w jednej krótkiej odpowiedzi nieskończony zbiór decyzje. Oto jak to wygląda w przypadku naszego równania:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Rozszyfruję to. Nadal pisz sensownie To przyjemniejsze niż głupie rysowanie tajemniczych liter, prawda?)

π /3 - to ten sam zakątek, co my piła na okręgu i określony zgodnie z tabelą cosinusów.

2π to jeden pełny obrót w radianach.

N - jest to liczba pełnych, tj. cały obr./min Jest jasne, że N może wynosić 0, ±1, ±2, ±3.... i tak dalej. Jak wskazuje krótki wpis:

n ∈ Z

N należy ( ∈ ) zbiór liczb całkowitych ( Z ). Przy okazji, zamiast listu N można z powodzeniem używać liter k, m, t itp.

Ten zapis oznacza, że ​​możesz przyjąć dowolną liczbę całkowitą N . Co najmniej -3, co najmniej 0, co najmniej +55. Cokolwiek chcesz. Jeśli podstawisz tę liczbę do odpowiedzi, otrzymasz konkretny kąt, który z pewnością będzie rozwiązaniem naszego trudnego równania.)

Lub innymi słowy, x = π /3 jest jedynym pierwiastkiem zbioru nieskończonego. Aby otrzymać wszystkie pozostałe pierwiastki, wystarczy dodać dowolną liczbę pełnych obrotów do π /3 ( N ) w radianach. Te. 2πn radian.

Wszystko? NIE. Celowo przedłużam przyjemność. Aby lepiej pamiętać.) Otrzymaliśmy tylko część odpowiedzi na nasze równanie. Pierwszą część rozwiązania napiszę w ten sposób:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nie tylko jeden pierwiastek, ale cały szereg pierwiastków, zapisanych w krótkiej formie.

Ale są też kąty, które również dają cosinus 0,5!

Wróćmy do naszego obrazka, z którego zapisaliśmy odpowiedź. Tutaj jest:

Najedź myszką na obraz i widzimy inny kąt daje również cosinus 0,5. Jak myślisz, czemu to jest równe? Trójkąty są takie same... Tak! Jest równy kątowi X , opóźniony jedynie w kierunku ujemnym. To jest róg -X. Ale obliczyliśmy już x. π /3 lub 60°. Dlatego śmiało możemy napisać:

x 2 = - π /3

Cóż, oczywiście dodajemy wszystkie kąty uzyskane przez pełne obroty:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To wszystko.) Na okręgu trygonometrycznym my piła(kto oczywiście rozumie)) Wszystko kąty dające cosinus 0,5. I zapisaliśmy te kąty w krótkiej formie matematycznej. Odpowiedź zaowocowała dwoma nieskończonymi seriami pierwiastków:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To jest poprawna odpowiedź.

Mieć nadzieję, ogólna zasada rozwiązywania równań trygonometrycznych użycie koła jest jasne. Zaznaczamy cosinus (sinus, tangens, cotangens) z danego równania na okręgu, rysujemy odpowiadające mu kąty i zapisujemy odpowiedź. Oczywiście musimy dowiedzieć się, w jakich narożnikach jesteśmy piła na okręgu. Czasami nie jest to takie oczywiste. Cóż, powiedziałem, że wymagana jest tutaj logika.)

Spójrzmy na przykład na inne równanie trygonometryczne:

Proszę wziąć pod uwagę, że liczba 0,5 nie jest jedyną możliwą liczbą w równaniach!) Po prostu wygodniej jest mi ją zapisać niż pierwiastki i ułamki zwykłe.

Działamy według ogólnej zasady. Rysujemy okrąg, zaznaczamy (oczywiście na osi sinusoidalnej!) 0,5. Rysujemy jednocześnie wszystkie kąty odpowiadające temu sinusowi. Otrzymujemy taki obrazek:

Zajmijmy się najpierw kątem X w pierwszym kwartale. Przywołujemy tabelę sinusów i określamy wartość tego kąta. To prosta sprawa:

x = π /6

Pamiętamy o pełnych obrotach i z czystym sumieniem zapisujemy pierwszą serię odpowiedzi:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Połowa pracy została wykonana. Ale teraz musimy to ustalić drugi zakręt... To trudniejsze niż użycie cosinusów, to prawda... Ale logika nas uratuje! Jak określić drugi kąt przez x? Tak, łatwo! Trójkąty na zdjęciu są takie same i czerwony róg X równy kątowi X . Tylko jest on liczony od kąta π w kierunku ujemnym. Dlatego jest czerwony.) A do odpowiedzi potrzebujemy poprawnie zmierzonego kąta od dodatniej półosi OX, tj. od kąta 0 stopni.

Najedźmy kursorem na rysunek i zobaczmy wszystko. Usunąłem pierwszy róg, aby nie komplikować obrazu. Interesujący nas kąt (zaznaczony na zielono) będzie równy:

π-x

X. Wiemy o tym π /6 . Zatem drugi kąt będzie wynosił:

π - π /6 = 5π /6

Ponownie pamiętamy o dodaniu pełnych obrotów i zapisujemy drugą serię odpowiedzi:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To wszystko. Pełna odpowiedź składa się z dwóch serii pierwiastków:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Równania styczne i cotangens można łatwo rozwiązać, stosując tę ​​samą ogólną zasadę rozwiązywania równań trygonometrycznych. Jeśli oczywiście wiesz, jak narysować styczną i cotangens na okręgu trygonometrycznym.

W powyższych przykładach skorzystałem z tabeli wartości sinusa i cosinusa: 0,5. Te. jedno z tych znaczeń, które uczeń zna musieć. Teraz rozszerzmy nasze możliwości o wszystkie inne wartości. Zdecyduj, więc zdecyduj!)

Powiedzmy, że musimy rozwiązać to równanie trygonometryczne:

W krótkich tabelach nie ma takiej wartości cosinus. Zimno ignorujemy ten straszny fakt. Narysuj okrąg, zaznacz 2/3 na osi cosinus i narysuj odpowiednie kąty. Dostajemy to zdjęcie.

Przyjrzyjmy się najpierw kątowi w pierwszej kwarcie. Gdybyśmy tylko wiedzieli, ile x jest równe, natychmiast zapisalibyśmy odpowiedź! Nie wiemy... Porażka!? Spokój! Matematyka nie zostawia swoich ludzi w tarapatach! W tym przypadku wymyśliła cosinusy łukowe. Nie wiem? Na próżno. Przekonaj się. To o wiele prostsze niż myślisz. W tym łączu nie ma ani jednego trudnego zaklęcia na temat „odwrotnych funkcji trygonometrycznych”… Jest to zbędne w tym temacie.

Jeśli wiesz, powiedz sobie: „X to kąt, którego cosinus jest równy 2/3”. I od razu, wyłącznie na podstawie definicji arc cosinusa, możemy napisać:

Pamiętamy o dodatkowych obrotach i spokojnie zapisujemy pierwszą serię pierwiastków naszego równania trygonometrycznego:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druga seria pierwiastków dla drugiego kąta jest zapisana prawie automatycznie. Wszystko jest takie samo, tylko X (arccos 2/3) będzie z minusem:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

I to wszystko! To jest poprawna odpowiedź. Nawet łatwiejsze niż w przypadku wartości tabelarycznych. Nie trzeba niczego pamiętać.) Nawiasem mówiąc, najbardziej uważny zauważy, że to zdjęcie pokazuje rozwiązanie poprzez arc cosinus w zasadzie nie różni się od obrazu dla równania cosx = 0,5.

Dokładnie! Ogólna zasada jest taka! Celowo narysowałem dwa prawie identyczne obrazki. Okrąg pokazuje nam kąt X przez jego cosinus. Nie wiadomo każdemu, czy jest to cosinus tabelaryczny, czy nie. Jaki to jest kąt, π /3, czy jaki jest arcus cosinus – to zależy od nas.

Ta sama piosenka z sinusem. Na przykład:

Narysuj ponownie okrąg, zaznacz sinus równy 1/3, narysuj kąty. Oto obraz, który otrzymujemy:

I znowu obraz jest prawie taki sam jak w przypadku równania sinx = 0,5. Znów zaczynamy od rzutu rożnego w pierwszej kwarcie. Ile wynosi X, jeśli jego sinus wynosi 1/3? Bez problemu!

Teraz pierwsza paczka korzeni jest gotowa:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Zajmijmy się drugim kątem. W przykładzie z wartością tabeli 0,5 była ona równa:

π-x

Tutaj też będzie dokładnie tak samo! Tylko x jest inne, arcsin 1/3. Więc co!? Możesz bezpiecznie zapisać drugą paczkę korzeni:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

To jest całkowicie poprawna odpowiedź. Chociaż nie wygląda to zbyt znajomo. Ale mam nadzieję, że wszystko jest jasne.)

W ten sposób rozwiązuje się równania trygonometryczne za pomocą koła. Ta droga jest jasna i zrozumiała. To on oszczędza w równaniach trygonometrycznych z wyborem pierwiastków na danym przedziale, w nierównościach trygonometrycznych - na ogół rozwiązuje się je prawie zawsze w okręgu. Krótko mówiąc, we wszelkich zadaniach nieco trudniejszych niż standardowe.

Zastosujmy wiedzę w praktyce?)

Rozwiązuj równania trygonometryczne:

Najpierw prościej, prosto z tej lekcji.

Teraz jest to bardziej skomplikowane.

Wskazówka: tutaj będziesz musiał pomyśleć o okręgu. Osobiście.)

A teraz są na pozór proste... Nazywa się je również przypadkami specjalnymi.

grzech = 0

grzech = 1

cosx = 0

cosx = -1

Wskazówka: tutaj musisz wyznaczyć w kółku, gdzie znajdują się dwie serie odpowiedzi, a gdzie jedna... I jak zapisać jedną zamiast dwóch serii odpowiedzi. Tak, aby nie stracić ani jednego pierwiastka z nieskończonej liczby!)

Cóż, bardzo proste):

grzech = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Wskazówka: tutaj musisz wiedzieć, co to jest arcsinus i arccosinus? Co to jest arcustangens i arccotangens? Najprostsze definicje. Ale nie musisz pamiętać żadnych wartości z tabeli!)

Odpowiedzi są oczywiście bałaganem):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nie wszystko się układa? Dzieje się. Przeczytaj lekcję jeszcze raz. Tylko w zamyśleniu(jest takie przestarzałe słowo...) I podążaj za linkami. Główne linki dotyczą okręgu. Bez tego trygonometria przypomina przechodzenie przez ulicę z zawiązanymi oczami. Czasami to działa.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Byłem kiedyś świadkiem rozmowy dwóch kandydatów:

– Kiedy dodać 2πn, a kiedy πn? Po prostu nie pamiętam!

– A ja mam ten sam problem.

Chciałem im tylko powiedzieć: „Nie musisz się uczyć na pamięć, ale zrozum!”

Artykuł ten adresowany jest przede wszystkim do uczniów szkół średnich i mam nadzieję, że pomoże im rozwiązać najprostsze równania trygonometryczne ze „zrozumieniem”:

Koło liczbowe

Oprócz koncepcji osi liczbowej istnieje również koncepcja koła liczbowego. Jak wiemy, w prostokątnym układzie współrzędnych okrąg o środku w punkcie (0;0) i promieniu 1 nazywany jest okręgiem jednostkowym. Wyobraźmy sobie oś liczbową jako cienką nitkę i owińmy ją wokół tego okręgu: dołączymy początek (punkt 0) do „prawego” punktu okręgu jednostkowego, owiniemy półoś dodatnią w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a półoś ujemną -oś w kierunku (ryc. 1). Taki okrąg jednostkowy nazywa się kołem numerycznym.

Właściwości koła liczbowego

• Każda liczba rzeczywista leży w jednym punkcie na okręgu liczbowym.
• W każdym punkcie koła liczbowego znajduje się nieskończenie wiele liczb rzeczywistych. Ponieważ długość okręgu jednostkowego wynosi 2π, różnica między dowolnymi dwiema liczbami w jednym punkcie okręgu jest równa jednej z liczb ±2π; ±4π; ±6π; ...

Podsumujmy: znając jedną z liczb punktu A, możemy znaleźć wszystkie liczby punktu A.

Narysujmy średnicę AC (ryc. 2). Ponieważ x_0 jest jedną z liczb punktu A, to liczby x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... i tylko one będą numerami punktu C. Wybierzmy jedną z tych liczb, powiedzmy x_0+π i za jej pomocą zapiszmy wszystkie liczby punktu C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Należy zauważyć, że liczby w punktach A i C można połączyć w jeden wzór: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (dla k = 0; ±2; ±4; ... otrzymujemy liczby punkt A, a dla k = ±1;… – numer punktu C).

Podsumujmy: znając jedną z liczb w jednym z punktów A lub C średnicy AC, możemy znaleźć wszystkie liczby w tych punktach.

• Dwie przeciwne liczby znajdują się w punktach okręgu symetrycznych względem osi odciętych.

Narysujmy cięciwę pionową AB (ryc. 2). Ponieważ punkty A i B są symetryczne względem osi Ox, liczba -x_0 znajduje się w punkcie B i dlatego wszystkie liczby punktu B są dane wzorem: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Liczby w punktach A i B zapisujemy według jednego wzoru: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Załóżmy, że znając jedną z liczb w jednym z punktów A lub B cięciwy pionowej AB, możemy znaleźć wszystkie liczby w tych punktach. Rozważmy cięciwę poziomą AD i znajdźmy numery punktu D (ryc. 2). Ponieważ BD jest średnicą i liczba -x_0 należy do punktu B, to -x_0 + π jest jedną z liczb punktu D i dlatego wszystkie liczby tego punktu są dane wzorem x_D=-x_0+π+ 2πk,k∈Z. Liczby w punktach A i D można zapisać za pomocą jednego wzoru: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (dla k= 0; ±2; ±4; …otrzymujemy numery punktu A, a dla k = ±1; ±3; ±5; … – numery punktu D).

Podsumujmy: znając jedną z liczb w jednym z punktów A lub D cięciwy poziomej AD, możemy znaleźć wszystkie liczby w tych punktach.

Szesnaście głównych punktów koła liczbowego

W praktyce rozwiązywanie większości najprostszych równań trygonometrycznych wymaga szesnastu punktów na okręgu (ryc. 3). Co to za kropki? Czerwone, niebieskie i zielone kropki dzielą okrąg na 12 równych części. Ponieważ długość półkola wynosi π, to długość łuku A1A2 wynosi π/2, długość łuku A1B1 wynosi π/6, a długość łuku A1C1 wynosi π/3.

Teraz możemy wskazać jedną liczbę na raz:

π/3 na C1 i

Wierzchołki pomarańczowego kwadratu są środkami łuków każdej ćwiartki, dlatego długość łuku A1D1 jest równa π/4, a zatem π/4 jest jedną z liczb punktu D1. Korzystając z właściwości koła liczbowego, możemy za pomocą wzorów zapisać wszystkie liczby we wszystkich zaznaczonych punktach naszego koła. Na rysunku zaznaczono także współrzędne tych punktów (pominiemy opis ich pozyskania).

Dowiedziawszy się o powyższym, mamy teraz wystarczające przygotowanie do rozwiązywania przypadków specjalnych (dla dziewięciu wartości liczby A) najprostsze równania.

Rozwiązywać równania

1)sinx=1⁄(2).

– Czego się od nas wymaga?

– Znajdź wszystkie liczby x, których sinus wynosi 1/2.

Przypomnijmy definicję sinusa: sinx – rzędna punktu na okręgu liczbowym, w którym znajduje się liczba x. Mamy dwa punkty na okręgu, których rzędna jest równa 1/2. Są to końce poziomego pasa B1B2. Oznacza to, że wymaganie „rozwiąż równanie sinx=1⁄2” jest równoważne wymaganiu „znajdź wszystkie liczby w punkcie B1 i wszystkie liczby w punkcie B2”.

2)sinx=-√3⁄2 .

Musimy znaleźć wszystkie liczby w punktach C4 i C3.

3) sinx=1. Na okręgu mamy tylko jeden punkt o rzędnej 1 - punkt A2 i dlatego musimy znaleźć tylko wszystkie liczby tego punktu.

Odpowiedź: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Tylko punkt A_4 ma rzędną -1. Wszystkie liczby tego punktu będą końmi równania.

Odpowiedź: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Na okręgu mamy dwa punkty o rzędnych 0 - punkty A1 i A3. Można wskazać liczby w każdym z punktów z osobna, jednak biorąc pod uwagę, że punkty te są diametralnie przeciwne, lepiej połączyć je w jeden wzór: x=πk,k∈Z.

Odpowiedź: x=πk,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Przypomnijmy definicję cosinusa: cosx jest odciętą punktu na okręgu liczbowym, w którym znajduje się liczba x. Na okręgu mamy dwa punkty o odciętej √2⁄2 - końce cięciwy poziomej D1D4. Musimy znaleźć wszystkie liczby w tych punktach. Zapiszmy je, łącząc w jedną formułę.

Odpowiedź: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Musimy znaleźć liczby w punktach C_2 i C_3.

Odpowiedź: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Tylko punkty A2 i A4 mają odciętą 0, co oznacza, że ​​wszystkie liczby w każdym z tych punktów będą rozwiązaniami równania.
.

Rozwiązaniem równania układu są liczby w punktach B_3 i B_4 do nierówności cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Odpowiedź: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Należy zauważyć, że dla dowolnej dopuszczalnej wartości x drugi współczynnik jest dodatni, a zatem równanie jest równoważne układowi

Rozwiązaniem równania układu jest liczba punktów D_2 i D_3. Liczby punktu D_2 nie spełniają nierówności sinx≤0,5, natomiast liczby punktu D_3 tak.

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Pojęcie rozwiązywania równań trygonometrycznych.

• Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, przekształć je w jedno lub więcej podstawowych równań trygonometrycznych. Rozwiązanie równania trygonometrycznego ostatecznie sprowadza się do rozwiązania czterech podstawowych równań trygonometrycznych.

Rozwiązywanie podstawowych równań trygonometrycznych.

• Istnieją 4 typy podstawowych równań trygonometrycznych:
• grzech x = a; ponieważ x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Rozwiązywanie podstawowych równań trygonometrycznych polega na sprawdzaniu różnych pozycji x na okręgu jednostkowym, a także na korzystaniu z tabeli przeliczeniowej (lub kalkulatora).
• Przykład 1. grzech x = 0,866. Korzystając z tabeli przeliczeniowej (lub kalkulatora) otrzymasz odpowiedź: x = π/3. Okrąg jednostkowy daje inną odpowiedź: 2π/3. Pamiętaj: wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe, co oznacza, że ​​ich wartości się powtarzają. Na przykład okresowość sin x i cos x wynosi 2πn, a okresowość tg x i ctg x wynosi πn. Dlatego odpowiedź jest zapisana w następujący sposób:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Przykład 2. cos x = -1/2. Korzystając z tabeli przeliczeniowej (lub kalkulatora) otrzymasz odpowiedź: x = 2π/3. Okrąg jednostkowy daje inną odpowiedź: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Przykład 3. tg (x - π/4) = 0.
• Odpowiedź: x = π/4 + πn.
• Przykład 4. ctg 2x = 1,732.
• Odpowiedź: x = π/12 + πn.

Przekształcenia stosowane w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.

• Do transformacji równań trygonometrycznych stosuje się przekształcenia algebraiczne (faktoryzację, redukcję wyrazów jednorodnych itp.) i tożsamości trygonometryczne.
• Przykład 5: Używając tożsamości trygonometrycznych, równanie sin x + sin 2x + sin 3x = 0 jest konwertowane do równania 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Zatem następujące podstawowe równania trygonometryczne należy rozwiązać: cos x = 0; grzech(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Znajdowanie kątów na podstawie znanych wartości funkcji.

  • Zanim nauczysz się rozwiązywać równania trygonometryczne, musisz nauczyć się znajdować kąty, korzystając ze znanych wartości funkcji. Można to zrobić za pomocą tabeli przeliczeniowej lub kalkulatora.
  • Przykład: cos x = 0,732. Kalkulator poda odpowiedź x = 42,95 stopnia. Okrąg jednostkowy da dodatkowe kąty, których cosinus również wynosi 0,732.

• Odłóż roztwór na okręgu jednostkowym.

  • Można nakreślić rozwiązania równania trygonometrycznego na okręgu jednostkowym. Rozwiązaniami równania trygonometrycznego na okręgu jednostkowym są wierzchołki wielokąta foremnego.
  • Przykład: Rozwiązania x = π/3 + πn/2 na okręgu jednostkowym reprezentują wierzchołki kwadratu.
  • Przykład: Rozwiązania x = π/4 + πn/3 na okręgu jednostkowym reprezentują wierzchołki sześciokąta foremnego.

• Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

  • Jeżeli dane równanie trygonometryczne zawiera tylko jedną funkcję trygonometryczną, rozwiąż to równanie jako podstawowe równanie trygonometryczne. Jeżeli w danym równaniu znajdują się dwie lub więcej funkcji trygonometrycznych, wówczas istnieją 2 metody rozwiązania takiego równania (w zależności od możliwości jego przekształcenia).
    • Metoda 1.
  • Przekształć to równanie na równanie postaci: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdzie f(x), g(x), h(x) są podstawowymi równaniami trygonometrycznymi.
  • Przykład 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Rozwiązanie. Używając wzoru na podwójny kąt sin 2x = 2*sin x*cos x, zamień sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
  • Przykład 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Rozwiązanie: Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, przekształć to równanie na równanie postaci: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
  • Przykład 8. grzech x - grzech 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Rozwiązanie: Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, przekształć to równanie na równanie postaci: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0 .
    • Metoda 2.
  • Przekształć podane równanie trygonometryczne na równanie zawierające tylko jedną funkcję trygonometryczną. Następnie zamień tę funkcję trygonometryczną na jakąś nieznaną, na przykład t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, itd.).
  • Przykład 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Rozwiązanie. W tym równaniu zamień (cos^2 x) na (1 - sin^2 x) (zgodnie z tożsamością). Przekształcone równanie to:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamień sin x na t. Teraz równanie wygląda następująco: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Jest to równanie kwadratowe, które ma dwa pierwiastki: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi pierwiastek t2 nie spełnia zakresu funkcji (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Przykład 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Rozwiązanie. Zamień tg x na t. Przepisz oryginalne równanie w następujący sposób: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Teraz znajdź t, a następnie znajdź x dla t = tan x.

Możesz zamówić szczegółowe rozwiązanie swojego problemu!!!

Równość zawierająca niewiadomą pod znakiem funkcji trygonometrycznej („sin x, cos x, tan x” lub „ctg x”) nazywa się równaniem trygonometrycznym i to właśnie ich wzory rozważymy dalej.

Najprostsze równania to „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a”, gdzie „x” to kąt, który należy znaleźć, „a” to dowolna liczba. Zapiszmy podstawowe formuły dla każdego z nich.

1. Równanie „grzech x=a”.

Dla `|a|>1` nie ma rozwiązań.

Kiedy `|a| \równ. 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Wzór pierwiastkowy: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Równanie „cos x=a”.

Dla `|a|>1` - podobnie jak w przypadku sinusa, nie ma on rozwiązań wśród liczb rzeczywistych.

Kiedy `|a| \równ. 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Wzór na pierwiastek: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Specjalne przypadki sinusa i cosinusa na wykresach.

3. Równanie `tg x=a`

Ma nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości `a`.

Wzór na pierwiastek: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Równanie `ctg x=a`

Ma również nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości `a`.

Wzór na pierwiastek: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Wzory na pierwiastki równań trygonometrycznych w tabeli

Dla sinusa:
Dla cosinusa:
Dla stycznych i cotangensów:
Wzory do rozwiązywania równań zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne:

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych

Rozwiązanie dowolnego równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów:

• za pomocą przekształcenia go w najprostszy;
• rozwiązać najprostsze równanie uzyskane przy użyciu wzorów pierwiastkowych i tabel zapisanych powyżej.

Przyjrzyjmy się głównym metodom rozwiązań na przykładach.

Metoda algebraiczna.

Metoda ta polega na zastąpieniu zmiennej i podstawieniu jej do równości.

Przykład. Rozwiąż równanie: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

dokonaj zamiany: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, następnie `2y^2-3y+1=0`,

znajdujemy pierwiastki: `y_1=1, y_2=1/2`, z czego wynikają dwa przypadki:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odpowiedź: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktoryzacja.

Przykład. Rozwiąż równanie: `sin x+cos x=1`.

Rozwiązanie. Przesuńmy wszystkie wyrazy równości w lewo: `sin x+cos x-1=0`. Używając , przekształcamy i rozkładamy na czynniki lewą stronę:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odpowiedź: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcja do równania jednorodnego

Najpierw musisz zredukować to równanie trygonometryczne do jednej z dwóch postaci:

`a sin x+b cos x=0` (jednorodne równanie pierwszego stopnia) lub `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (jednorodne równanie drugiego stopnia).

Następnie podziel obie części przez `cos x \ne 0` - w pierwszym przypadku i przez `cos^2 x \ne 0` - w drugim przypadku. Otrzymujemy równania dla `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, które należy rozwiązać znanymi metodami.

Przykład. Rozwiąż równanie: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rozwiązanie. Zapiszmy prawą stronę jako `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 grzech^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` grzech^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Jest to jednorodne równanie trygonometryczne drugiego stopnia, dzielimy jego lewą i prawą stronę przez `cos^2 x \ne 0`, otrzymujemy:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Wprowadźmy zamianę `tg x=t`, w wyniku której otrzymamy `t^2 + t - 2=0`. Pierwiastkami tego równania są „t_1=-2” i „t_2=1”. Następnie:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Odpowiedź. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Przejście do połowy kąta

Przykład. Rozwiąż równanie: `11 grzech x - 2 cos x = 10`.

Rozwiązanie. Zastosujmy wzory na podwójny kąt i otrzymamy: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Stosując opisaną powyżej metodę algebraiczną otrzymujemy:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odpowiedź. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Wprowadzenie kąta pomocniczego

W równaniu trygonometrycznym „a sin x + b cos x = c”, gdzie a, b, c to współczynniki, a x to zmienna, podziel obie strony przez „sqrt (a^2+b^2)”:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Współczynniki po lewej stronie mają właściwości sinusa i cosinusa, czyli suma ich kwadratów jest równa 1, a moduły nie większe niż 1. Oznaczmy je następująco: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, następnie:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Przyjrzyjmy się bliżej następującemu przykładowi:

Przykład. Rozwiąż równanie: `3 grzech x+4 cos x=2`.

Rozwiązanie. Podziel obie strony równości przez „sqrt (3^2+4^2)”, otrzymamy:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 grzech x+4/5 cos x=2/5`.

Oznaczmy `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Ponieważ `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, przyjmujemy `\varphi=arcsin 4/5` jako kąt pomocniczy. Następnie zapisujemy naszą równość w postaci:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Stosując wzór na sumę kątów dla sinusa, naszą równość zapisujemy w postaci:

`grzech (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odpowiedź. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ułamkowe racjonalne równania trygonometryczne

Są to równości z ułamkami, których liczniki i mianowniki zawierają funkcje trygonometryczne.

Przykład. Rozwiązać równanie. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rozwiązanie. Pomnóż i podziel prawą stronę równości przez „(1+cos x)”. W rezultacie otrzymujemy:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Biorąc pod uwagę, że mianownik nie może być równy zero, otrzymujemy `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Przyrównajmy licznik ułamka do zera: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Następnie `sin x=0` lub `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Biorąc pod uwagę, że ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rozwiązaniami są `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \w Z`.

Odpowiedź. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trygonometria, a w szczególności równania trygonometryczne, są stosowane w prawie wszystkich obszarach geometrii, fizyki i inżynierii. Naukę rozpoczyna się w 10. klasie, zawsze są zadania na egzaminie Unified State Exam, więc postaraj się zapamiętać wszystkie wzory równań trygonometrycznych - na pewno ci się przydadzą!

Jednak nie musisz ich nawet zapamiętywać, najważniejsze jest zrozumienie istoty i umiejętność jej wyciągnięcia. To nie jest tak trudne, jak się wydaje. Przekonaj się sam, oglądając wideo.

Lekcja i prezentacja na temat: „Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Podręczniki i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 10 od 1C
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania do budowania w przestrzeni
Środowisko oprogramowania „1C: Konstruktor matematyczny 6.1”

Co będziemy studiować:
1. Co to są równania trygonometryczne?

3. Dwie główne metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
4. Równania trygonometryczne jednorodne.
5. Przykłady.

Co to są równania trygonometryczne?

Chłopaki, badaliśmy już arcusinus, arccosinus, arcus tangens i arccotangens. Przyjrzyjmy się teraz ogólnie równaniom trygonometrycznym.

Równania trygonometryczne to równania, w których zmienna jest zawarta pod znakiem funkcji trygonometrycznej.

Powtórzmy formę rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych:

1)Jeśli |a|≤ 1, to równanie cos(x) = a ma rozwiązanie:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jeżeli |a|≤ 1, to równanie sin(x) = a ma rozwiązanie:

3) Jeśli |a| > 1, to równanie sin(x) = a i cos(x) = a nie ma rozwiązań 4) Równanie tg(x)=a ma rozwiązanie: x=arctg(a)+ πk

5) Równanie ctg(x)=a ma rozwiązanie: x=arcctg(a)+ πk

Dla wszystkich formuł k jest liczbą całkowitą

Najprostsze równania trygonometryczne mają postać: T(kx+m)=a, T jest jakąś funkcją trygonometryczną.

Przykład.

Rozwiąż równania: a) sin(3x)= √3/2

Rozwiązanie:

A) Oznaczmy 3x=t, a następnie przepiszemy nasze równanie do postaci:

Rozwiązaniem tego równania będzie: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Z tabeli wartości otrzymujemy: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Wróćmy do naszej zmiennej: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Wtedy x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpowiedź: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdzie n jest liczbą całkowitą. (-1)^n – minus jeden do potęgi n.

Więcej przykładów równań trygonometrycznych.

Rozwiąż równania: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Rozwiązanie:

A) Tym razem przejdźmy od razu do obliczenia pierwiastków równania:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Wtedy x/5= πk => x=5πk

Odpowiedź: x=5πk, gdzie k jest liczbą całkowitą.

B) Zapisujemy to w postaci: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Wiemy, że: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpowiedź: x=2π/9 + πk/3, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Rozwiąż równania: cos(4x)= √2/2. I znajdź wszystkie korzenie segmentu.

Rozwiązanie:

Rozwiążmy nasze równanie w postaci ogólnej: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Zobaczmy teraz, jakie korzenie spadają na nasz segment. Przy k Przy k=0, x= π/16 jesteśmy w danym segmencie.
Przy k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, uderzamy ponownie.
Dla k=2, x= π/16+ π=17π/16, ale tutaj nie trafiliśmy, co oznacza, że ​​dla dużego k też oczywiście nie trafimy.

Odpowiedź: x= π/16, x= 9π/16

Dwie główne metody rozwiązania.

Przyjrzeliśmy się najprostszym równaniom trygonometrycznym, ale są też bardziej złożone. Do ich rozwiązania wykorzystuje się metodę wprowadzania nowej zmiennej oraz metodę faktoryzacji. Spójrzmy na przykłady.

Rozwiążmy równanie:

Rozwiązanie:
Do rozwiązania naszego równania skorzystamy z metody wprowadzenia nowej zmiennej, oznaczającej: t=tg(x).

W wyniku podstawienia otrzymujemy: t 2 + 2t -1 = 0

Znajdźmy pierwiastki równania kwadratowego: t=-1 i t=1/3

Wtedy tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, otrzymamy najprostsze równanie trygonometryczne, znajdźmy jego pierwiastki.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpowiedź: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Przykład rozwiązania równania

Rozwiąż równania: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Rozwiązanie:

Użyjmy tożsamości: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Nasze równanie będzie miało postać: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Wprowadźmy zamianę t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rozwiązaniem naszego równania kwadratowego są pierwiastki: t=2 i t=-1/2

Wtedy cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Ponieważ cosinus nie może przyjmować wartości większych niż jeden, wówczas cos(x)=2 nie ma pierwiastków.

Dla cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpowiedź: x= ±2π/3 + 2πk

Równania trygonometryczne jednorodne.

Definicja: Równania w postaci a sin(x)+b cos(x) nazywane są jednorodnymi równaniami trygonometrycznymi pierwszego stopnia.

Równania postaci

jednorodne równania trygonometryczne drugiego stopnia.

Aby rozwiązać jednorodne równanie trygonometryczne pierwszego stopnia, podziel je przez cos(x): Nie można dzielić przez cosinus, jeśli jest równy zero, upewnijmy się, że tak nie jest:
Niech cos(x)=0, wtedy asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sinus i cosinus nie są jednocześnie równe zeru, otrzymamy sprzeczność, więc możemy bezpiecznie dzielić o zero.

Rozwiązać równanie:
Przykład: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Rozwiązanie:

Wyjmijmy wspólny czynnik: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Następnie musimy rozwiązać dwa równania:

Cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 przy x= π/2 + πk;

Rozważ równanie cos(x)+sin(x)=0. Podziel nasze równanie przez cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpowiedź: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Jak rozwiązywać jednorodne równania trygonometryczne drugiego stopnia?
Chłopaki, zawsze przestrzegajcie tych zasad!

1. Zobacz, ile wynosi współczynnik a, jeśli a=0 to nasze równanie będzie miało postać cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), którego przykład rozwiązania znajduje się na poprzednim slajdzie

2. Jeśli a≠0, to musisz podzielić obie strony równania przez cosinus kwadrat, otrzymamy:

Zmieniamy zmienną t=tg(x) i otrzymujemy równanie:

Rozwiąż przykład nr:3

Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie:

Podzielmy obie strony równania przez cosinus kwadrat:

Zmieniamy zmienną t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Znajdźmy pierwiastki równania kwadratowego: t=-3 i t=1

Wtedy: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odpowiedź: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Rozwiąż przykład nr:4

Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie:
Przekształćmy nasze wyrażenie:

Potrafimy rozwiązać takie równania: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odpowiedź: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Rozwiąż przykład nr:5

Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie:
Przekształćmy nasze wyrażenie:

Wprowadźmy podstawienie tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rozwiązaniem naszego równania kwadratowego będą pierwiastki: t=-2 i t=1/2

Wtedy otrzymujemy: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odpowiedź: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemy do samodzielnego rozwiązania.

1) Rozwiąż równanie

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Rozwiąż równania: sin(3x)= √3/2. I znajdź wszystkie pierwiastki odcinka [π/2; π].

3) Rozwiąż równanie: łóżko 2 (x) + 2 łóżko (x) + 1 =0

4) Rozwiąż równanie: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Rozwiąż równanie: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Rozwiąż równanie: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)