Główną cechą każdej figury geometrycznej w przestrzeni jest jej objętość. W tym artykule przyjrzymy się, czym jest piramida z trójkątem u podstawy, a także pokażemy, jak znaleźć objętość piramidy trójkątnej - regularnej pełnej i ściętej.
Co to jest - trójkątna piramida?
Każdy słyszał o starożytnych egipskich piramidach, ale są one regularne czworokątne, a nie trójkątne. Wyjaśnijmy, jak uzyskać trójkątną piramidę.
Weźmy dowolny trójkąt i połączmy wszystkie jego wierzchołki z jakimś pojedynczym punktem znajdującym się poza płaszczyzną tego trójkąta. Powstała figura zostanie nazwana trójkątną piramidą. Pokazano to na poniższym rysunku.
Jak widać, daną figurę tworzą cztery trójkąty, które w ogólnym przypadku są różne. Każdy trójkąt to boki piramidy lub jej ściana. Piramida ta jest często nazywana czworościanem, czyli czworościenną trójwymiarową figurą.
Oprócz boków piramida ma także krawędzie (jest ich 6) i wierzchołki (jest ich 4).
z trójkątną podstawą
Figura uzyskana za pomocą dowolnego trójkąta i punktu w przestrzeni będzie w ogólnym przypadku nieregularną nachyloną piramidą. Wyobraźmy sobie teraz, że pierwotny trójkąt ma identyczne boki, a punkt w przestrzeni znajduje się dokładnie nad jego geometrycznym środkiem, w odległości h od płaszczyzny trójkąta. Piramida zbudowana na podstawie tych początkowych danych będzie poprawna.
Oczywiście liczba krawędzi, boków i wierzchołków regularnej piramidy trójkątnej będzie taka sama, jak w przypadku piramidy zbudowanej z dowolnego trójkąta.
Jednak prawidłowa liczba ma pewne charakterystyczne cechy:
- jego wysokość narysowana z wierzchołka będzie dokładnie przecinała podstawę w środku geometrycznym (punkt przecięcia środkowych);
- powierzchnię boczną takiej piramidy tworzą trzy identyczne trójkąty, które są równoramienne lub równoboczne.
Regularna trójkątna piramida to nie tylko czysto teoretyczny obiekt geometryczny. Niektóre struktury w przyrodzie mają swój kształt, na przykład sieć krystaliczna diamentu, w której atom węgla jest połączony wiązaniami kowalencyjnymi z czterema takimi samymi atomami, lub cząsteczka metanu, gdzie wierzchołki piramidy utworzone są przez atomy wodoru.
trójkątna piramida
Możesz określić objętość absolutnie dowolnej piramidy z dowolnym n-gonem u podstawy za pomocą następującego wyrażenia:
Tutaj symbol S o oznacza obszar podstawy, h jest wysokością figury narysowanej do zaznaczonej podstawy od szczytu piramidy.
Ponieważ powierzchnia dowolnego trójkąta jest równa połowie iloczynu długości jego boku a i apotema h a upuszczonego na tę stronę, wzór na objętość trójkątnej piramidy można zapisać w następujący sposób:
V = 1/6 × a × h a × godz
W przypadku typu ogólnego określenie wysokości nie jest łatwym zadaniem. Aby to rozwiązać, najłatwiej jest skorzystać ze wzoru na odległość punktu (wierzchołka) od płaszczyzny (podstawy trójkąta), reprezentowanej przez równanie ogólne.
Dla prawidłowego ma specyficzny wygląd. Pole podstawy (trójkąta równobocznego) jest dla niego równe:
Podstawiając to do ogólnego wyrażenia na V, otrzymujemy:
V = √3/12 × a 2 × godz
Szczególnym przypadkiem jest sytuacja, gdy wszystkie boki czworościanu okazują się identycznymi trójkątami równobocznymi. W tym przypadku jego objętość można wyznaczyć jedynie na podstawie znajomości parametru jego krawędzi a. Odpowiednie wyrażenie wygląda następująco:
Ścięta piramida
Jeśli górna część zawierająca wierzchołek zostanie odcięta od regularnej trójkątnej piramidy, otrzymasz figurę obciętą. W odróżnieniu od pierwotnej będzie składać się z dwóch podstaw w kształcie trójkąta równobocznego i trzech trapezów równoramiennych.
Poniższe zdjęcie pokazuje, jak wygląda regularna ścięta trójkątna piramida wykonana z papieru.
Aby określić objętość ściętej trójkątnej piramidy, musisz znać jej trzy cechy liniowe: każdy z boków podstaw i wysokość figury, równą odległości między górną i dolną podstawą. Odpowiedni wzór na objętość zapisuje się w następujący sposób:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Tutaj h jest wysokością figury, A i a są długościami boków odpowiednio dużego (dolnego) i małego (górnego) trójkąta równobocznego.
Rozwiązanie problemu
Aby informacje zawarte w artykule były dla czytelnika jaśniejsze, pokażemy na jasnym przykładzie, jak korzystać z niektórych zapisanych formuł.
Niech objętość trójkątnej piramidy będzie wynosić 15 cm 3 . Wiadomo, że liczba jest prawidłowa. Powinieneś znaleźć apothem a b bocznej krawędzi, jeśli wiesz, że wysokość piramidy wynosi 4 cm.
Ponieważ znana jest objętość i wysokość figury, możesz użyć odpowiedniego wzoru do obliczenia długości boku jej podstawy. Mamy:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm
Obliczona długość apotemu figury okazała się większa niż jej wysokość, co dotyczy każdego rodzaju piramidy.
Jedną z najprostszych figur trójwymiarowych jest piramida trójkątna, ponieważ składa się z najmniejszej liczby ścian, z których można uformować figurę w przestrzeni. W tym artykule przyjrzymy się wzorom, które można wykorzystać do obliczenia objętości trójkątnej regularnej piramidy.
Trójkątna piramida
Według ogólnej definicji ostrosłup to wielokąt, którego wszystkie wierzchołki łączą się z jednym punktem nie leżącym na płaszczyźnie tego wielokąta. Jeśli ten ostatni jest trójkątem, wówczas całą figurę nazywa się piramidą trójkątną.
Piramida, o której mowa, składa się z podstawy (trójkąta) i trzech ścian bocznych (trójkątów). Punkt, w którym łączą się trzy ściany boczne, nazywany jest wierzchołkiem figury. Prostopadła z tego wierzchołka spuszczona do podstawy to wysokość piramidy. Jeżeli punkt przecięcia prostopadłej z podstawą pokrywa się z punktem przecięcia środkowych trójkąta u podstawy, wówczas mówimy o regularnej piramidzie. W przeciwnym razie będzie pochylony.
Jak już wspomniano, podstawą piramidy trójkątnej może być ogólny typ trójkąta. Jeśli jednak jest równoboczny, a sama piramida jest prosta, wówczas mówią o regularnej trójwymiarowej figurze.
Każda piramida trójkątna ma 4 ściany, 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Jeżeli długości wszystkich krawędzi są równe, wówczas taką figurę nazywamy czworościanem.
Objętość ogólnej piramidy trójkątnej
Przed zapisaniem wzoru na objętość regularnej piramidy trójkątnej podajemy wyrażenie tej wielkości fizycznej dla piramidy typu ogólnego. To wyrażenie wygląda następująco:
W tym temacie: „Global Finance”: recenzje firmy od pracowników i klientów
Tutaj S o jest obszarem podstawy, h jest wysokością figury. Ta równość będzie obowiązywać dla dowolnego typu podstawy wielokąta ostrosłupa, a także dla stożka. Jeżeli u podstawy znajduje się trójkąt o długości boku a i wysokości h o obniżonej do niego, wówczas wzór na objętość zostanie zapisany w następujący sposób:
V = 1/6*a*h o *h.
Wzory na objętość regularnej piramidy trójkątnej
Regularna trójkątna piramida ma u podstawy trójkąt równoboczny. Wiadomo, że wysokość tego trójkąta wiąże się z długością jego boku równaniem:
Podstawiając to wyrażenie do wzoru na objętość piramidy trójkątnej zapisanego w poprzednim akapicie, otrzymujemy:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Objętość regularnej piramidy o podstawie trójkątnej jest funkcją długości boku podstawy i wysokości figury.
Ponieważ w okrąg można wpisać dowolny wielokąt foremny, którego promień jednoznacznie określi długość boku wielokąta, wówczas wzór ten można zapisać poprzez odpowiedni promień r:
V = √3/4*h*r 2 .
Wzór ten można łatwo wyprowadzić z poprzedniego, jeśli weźmiemy pod uwagę, że promień r okręgu opisanego na długości boku a trójkąta wyznacza się wzorem:
Problem wyznaczania objętości czworościanu
Pokażemy jak wykorzystać powyższe wzory przy rozwiązywaniu konkretnych problemów z geometrią.
Wiadomo, że czworościan ma długość krawędzi 7 cm. Znajdź objętość foremnego trójkątnego ostrosłupa-czworościanu.
Przypomnijmy, że czworościan to regularna trójkątna piramida, w której wszystkie podstawy są sobie równe. Aby skorzystać ze wzoru na objętość regularnej piramidy trójkątnej, należy obliczyć dwie wielkości:
W tym temacie: Te niezwykłe materiały już niedługo będą wykorzystywane do produkcji siedzeń samochodowych
- długość boku trójkąta;
- wysokość figury.
Pierwsza wielkość jest znana z warunków problemowych:
Aby określić wysokość, weź pod uwagę liczbę pokazaną na rysunku.
Zaznaczony trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, w którym kąt ABC wynosi 90°. Bok AC jest przeciwprostokątną, a jego długość wynosi a. Stosując proste rozumowanie geometryczne można wykazać, że bok BC ma długość:
Zauważ, że długość BC jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Teraz możesz zastąpić h i a odpowiednim wzorem na objętość:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
W ten sposób otrzymaliśmy wzór na objętość czworościanu. Można zauważyć, że objętość zależy tylko od długości krawędzi. Jeśli podstawimy wartość z warunku problemowego do wyrażenia, otrzymamy odpowiedź:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Jeśli porównamy tę wartość z objętością sześcianu o tej samej krawędzi, okaże się, że objętość czworościanu jest 8,5 razy mniejsza. Oznacza to, że czworościan jest zwartą figurą występującą w niektórych substancjach naturalnych. Na przykład cząsteczka metanu ma kształt czworościenny, a każdy atom węgla w diamencie jest połączony z czterema innymi atomami, tworząc czworościan.
