Главной характеристикой любой геометрической фигуры в пространстве является ее объем. В данной статье рассмотрим, что собой представляет пирамида с треугольником в основании, а также покажем, как находить объем треугольной пирамиды - правильной полной и усеченной.
Что это - треугольная пирамида?
Каждый слышал о древних египетских пирамидах, тем не менее они являются четырехугольными правильными, а не треугольными. Объясним, как получить треугольную пирамиду.
Возьмем произвольный треугольник и соединим все его вершины с некоторой одной точкой, расположенной вне плоскости этого треугольника. Образованная фигура будет называться треугольной пирамидой. Она показана на рисунке ниже.
Как видно, рассматриваемая фигура образована четырьмя треугольниками, которые в общем случае являются разными. Каждый треугольник - это стороны пирамиды или ее грань. Эту пирамиду часто называют тетраэдром, то есть четырехгранной объемной фигурой.
Помимо сторон, пирамида также обладает ребрами (их у нее 6) и вершинами (их 4).
с треугольным основанием
Фигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной.
Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника.
Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами:
- ее высота, проведенная из вершины, точно пересечет основание в геометрическом центре (точка пересечения медиан);
- боковая поверхность такой пирамиды образована тремя одинаковыми треугольниками, которые являются равнобедренными или равносторонними.
Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода.
треугольной пирамиды
Определить объем совершенно любой пирамиды с произвольным n-угольником в основании можно с помощью следующего выражения:
Здесь символ S o обозначает площадь основания, h - это высота фигуры, проведенная к отмеченному основанию из вершины пирамиды.
Поскольку площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны a на апофему h a , опущенную на эту сторону, то формула объема треугольной пирамиды может быть записана в следующем виде:
V = 1/6 × a × h a × h
Для общего типа определение высоты является непростой задачей. Для ее решения проще всего воспользоваться формулой расстояния между точкой (вершиной) и плоскостью (треугольным основанием), представленной уравнением общего вида.
Для правильной имеет конкретный вид. Площадь основания (равностороннего треугольника) для нее равна:
Подставляем ее в общее выражение для V, получаем:
V = √3/12 × a 2 × h
Частным случаем является ситуация, когда у тетраэдра все стороны оказываются одинаковыми равносторонними треугольниками. В этом случае определить его объем можно, только исходя из знания параметра его ребра a. Соответствующее выражение имеет вид:
Усеченная пирамида
Если верхнюю часть, содержащую вершину, отсечь у правильной треугольной пирамиды, то получится усеченная фигура. В отличие от исходной она будет состоять из двух равносторонних треугольных оснований и трех равнобедренных трапеций.
Ниже на фото показано, как выглядит правильная усеченная пирамида треугольная, изготовленная из бумаги.
Для определения объема треугольной пирамиды усеченной необходимо знать три ее линейных характеристики: каждую из сторон оснований и высоту фигуры, равную расстоянию между верхним и нижним основаниями. Соответствующая формула для объема записывается так:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Здесь h - высота фигуры, A и a - длины сторон большого (нижнего) и малого (верхнего) равносторонних треугольников соответственно.
Решение задачи
Чтобы приведенная информация в статье была понятнее для читателя, покажем на наглядном примере, как пользоваться некоторыми из записанных формул.
Пусть объем треугольной пирамиды равен 15 см 3 . Известно, что фигура является правильной. Следует найти апофему a b бокового ребра, если известно, что высота пирамиды составляет 4 см.
Поскольку известны объем и высота фигуры, то можно воспользоваться соответствующей формулой для вычисления длины стороны ее основания. Имеем:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 см
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 см
Рассчитанная длина апофемы фигуры получилась больше ее высоты, что справедливо для пирамиды любого типа.
Одной из самых простых объемных фигур является треугольная пирамида, поскольку она состоит из наименьшего числа граней, из которого можно образовать фигуру в пространстве. В данной статье рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти объем треугольной правильной пирамиды.
Треугольная пирамида
Согласно общему определению пирамида представляет собой многоугольник, все вершины которого соединены с одной точкой, не расположенной в плоскости этого многоугольника. Если последний представляет собой треугольник, то вся фигура называется треугольной пирамидой.
Рассматриваемая пирамида состоит из основания (треугольника) и трех боковых граней (треугольников). Точка, в которой соединены три боковые грани, называется вершиной фигуры. Опущенный на основание перпендикуляр из этой вершины является высотой пирамиды. Если точка пересечения перпендикуляра с основанием совпадает с точкой пересечения медиан треугольника в основании, тогда говорят о правильной пирамиде. В противном случае она будет наклонной.
Как было сказано, основание треугольной пирамиды может представлять собой треугольник общего типа. Однако если он является равносторонним, а сама пирамида прямой, тогда говорят о правильной объемной фигуре.
Любая треугольная пирамида имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Если длины всех ребер равны между собой, тогда такая фигура называется тетраэдром.
Объем пирамиды треугольной общего типа
Прежде чем записать формулу объема правильной треугольной пирамиды, приведем выражение этой физической величины для пирамиды общего типа. Это выражение имеет вид:
По теме: "Глобал Финанс": отзывы о компании от сотрудников и клиентов
Здесь S o — площадь основания, h — высота фигуры. Это равенство будет справедливым для любого типа основания многоугольника пирамиды, а также для конуса. Если же в основании находится треугольник, имеющий длину стороны a и высоту h o , опущенную на нее, тогда формула для объема запишется так:
V = 1/6*a*h o *h.
Формулы объема правильной треугольной пирамиды
Правильная пирамида треугольная имеет равносторонний треугольник в основании. Известно, что высота этого треугольника связана с длиной его стороны равенством:
Подставляя это выражение в формулу для объема треугольной пирамиды, записанную в предыдущем пункте, получаем:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Объем правильной пирамиды с треугольным основанием является функцией длины стороны основания и высоты фигуры.
Поскольку любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, радиус которой однозначно определит длину стороны многоугольника, тогда эту формулу можно записать через соответствующий радиус r:
V = √3/4*h*r 2 .
Эту формулу легко получить из предыдущей, если учесть, что радиус r описанной окружности через длину стороны a треугольника определяется выражением:
Задача на определение объема тетраэдра
Покажем, как использовать приведенные выше формулы при решении конкретных задач геометрии.
Известно, что тетраэдр имеет длину ребра 7 см. Найдите объем правильной треугольной пирамиды-тетраэдра.
Напомним, что тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, в которой все основания равны между собой. Чтобы воспользоваться формулой объема правильной пирамиды треугольной, необходимо вычислить две величины:
По теме: Из этих необычных материалов скоро будут изготавливать автомобильные сиденья
- длину стороны треугольника;
- высоту фигуры.
Первая величина известна из условия задачи:
Чтобы определить высоту, рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке.
Отмеченный треугольник ABC является прямоугольным, где угол ABC равен 90 o . Сторона AC — это гипотенуза, длина которой равна a. Путем несложных геометрических рассуждений можно показать, что сторона BC имеет длину:
Заметим, что длина BC является радиусом описанной вокруг треугольника окружности.
h = AB = √(AC 2 — BC 2) = √(a 2 — a 2 /3) = a*√(2/3).
Теперь можно h и a подставить в соответствующую формулу для объема:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Таким образом, мы получили формулу объема тетраэдра. Видно, что объем зависит только от длины ребра. Если в выражение подставить значение из условия задачи, тогда получаем ответ:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 см 3 .
Если сравнить эту величину с объемом куба, имеющим такое же ребро, то получим, что объем тетраэдра в 8,5 раз меньше. Это свидетельствует о том, что тетраэдр является компактной фигурой, которая реализуется в некоторых природных веществах. Например, молекула метана имеет тетраэдрическую форму, а каждый атом углерода в алмазе соединен с четырьмя другими атомами, образующими тетраэдр.
