La principal característica de cualquier figura geométrica en el espacio es su volumen. En este artículo veremos qué es una pirámide con un triángulo en la base y también mostraremos cómo encontrar el volumen de una pirámide triangular: regular, completa y truncada.
¿Qué es esto? ¿Una pirámide triangular?
Todo el mundo ha oído hablar de las pirámides del antiguo Egipto, pero son cuadrangulares regulares, no triangulares. Expliquemos cómo conseguir una pirámide triangular.
Tomemos un triángulo arbitrario y conectemos todos sus vértices con algún punto ubicado fuera del plano de este triángulo. La figura resultante se llamará pirámide triangular. Se muestra en la siguiente figura.
Como puedes ver, la figura en cuestión está formada por cuatro triángulos, que en el caso general son diferentes. Cada triángulo son los lados de la pirámide o su cara. Esta pirámide a menudo se llama tetraedro, es decir, figura tridimensional tetraédrica.
Además de los lados, la pirámide también tiene aristas (hay 6) y vértices (de 4).
con base triangular
Una figura que se obtiene utilizando un triángulo arbitrario y un punto en el espacio será una pirámide inclinada irregular en el caso general. Ahora imagine que el triángulo original tiene lados idénticos y un punto en el espacio está ubicado exactamente encima de su centro geométrico a una distancia h del plano del triángulo. La pirámide construida con estos datos iniciales será correcta.
Evidentemente, el número de aristas, lados y vértices de una pirámide triangular regular será el mismo que el de una pirámide construida a partir de un triángulo arbitrario.
Sin embargo, la figura correcta tiene algunas características distintivas:
- su altura extraída desde el vértice interceptará exactamente la base en el centro geométrico (el punto de intersección de las medianas);
- la superficie lateral de dicha pirámide está formada por tres triángulos idénticos, que son isósceles o equiláteros.
Una pirámide triangular regular no es sólo un objeto geométrico puramente teórico. Algunas estructuras en la naturaleza tienen su forma, por ejemplo la red cristalina del diamante, donde un átomo de carbono está conectado a cuatro átomos iguales mediante enlaces covalentes, o una molécula de metano, donde los vértices de la pirámide están formados por átomos de hidrógeno.
Pirámide triangular
Puedes determinar el volumen de absolutamente cualquier pirámide con un n-gón arbitrario en la base usando la siguiente expresión:
Aquí el símbolo S o denota el área de la base, h es la altura de la figura dibujada hasta la base marcada desde la cima de la pirámide.
Dado que el área de un triángulo arbitrario es igual a la mitad del producto de la longitud de su lado a y la apotema h a caída en este lado, la fórmula para el volumen de una pirámide triangular se puede escribir de la siguiente forma:
V = 1/6 × a × h a × h
Para el tipo general, determinar la altura no es una tarea fácil. Para resolverlo, la forma más sencilla es utilizar la fórmula de la distancia entre un punto (vértice) y un plano (base triangular), representada por una ecuación general.
Para el correcto, tiene una apariencia específica. El área de la base (de un triángulo equilátero) es igual a:
Sustituyéndolo en la expresión general de V, obtenemos:
V = √3/12 × a 2 × h
Un caso especial es la situación en la que todos los lados de un tetraedro resultan ser triángulos equiláteros idénticos. En este caso, su volumen sólo puede determinarse basándose en el conocimiento del parámetro de su borde a. La expresión correspondiente se ve así:
Pirámide truncada
Si la parte superior que contiene el vértice se corta de una pirámide triangular regular, se obtiene una figura truncada. A diferencia del original, estará formado por dos bases triangulares equiláteras y tres trapecios isósceles.
La foto de abajo muestra cómo se ve una pirámide triangular truncada regular hecha de papel.
Para determinar el volumen de una pirámide triangular truncada es necesario conocer sus tres características lineales: cada uno de los lados de las bases y la altura de la figura, igual a la distancia entre las bases superior e inferior. La fórmula correspondiente para el volumen se escribe de la siguiente manera:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Aquí h es la altura de la figura, A y a son las longitudes de los lados de los triángulos equiláteros grande (inferior) y pequeño (superior), respectivamente.
La solución del problema
Para que la información del artículo sea más clara para el lector, mostraremos con un ejemplo claro cómo utilizar algunas de las fórmulas escritas.
Sea el volumen de la pirámide triangular 15 cm 3 . Se sabe que la cifra es correcta. Debes encontrar la apotema a b del borde lateral si sabes que la altura de la pirámide es de 4 cm.
Como se conocen el volumen y la altura de la figura, puedes utilizar la fórmula adecuada para calcular la longitud del lado de su base. Tenemos:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2/12) = √(16 + 25,98 2/12) = 8,5 cm
La longitud calculada de la apotema de la figura resultó ser mayor que su altura, lo cual es válido para cualquier tipo de pirámide.
Una de las figuras tridimensionales más simples es la pirámide triangular, ya que consta del menor número de caras a partir de las cuales se puede formar una figura en el espacio. En este artículo veremos fórmulas que se pueden usar para encontrar el volumen de una pirámide regular triangular.
Pirámide triangular
Según la definición general, una pirámide es un polígono, todos cuyos vértices están conectados a un punto que no se encuentra en el plano de este polígono. Si este último es un triángulo, entonces toda la figura se llama pirámide triangular.
La pirámide en cuestión consta de una base (triángulo) y tres caras laterales (triángulos). El punto en el que se conectan las tres caras laterales se llama vértice de la figura. La perpendicular desde este vértice hasta la base es la altura de la pirámide. Si el punto de intersección de la perpendicular con la base coincide con el punto de intersección de las medianas del triángulo en la base, entonces hablamos de una pirámide regular. De lo contrario quedará inclinado.
Como ya hemos dicho, la base de una pirámide triangular puede ser un tipo general de triángulo. Sin embargo, si es equilátero y la pirámide en sí es recta, entonces se habla de una figura tridimensional regular.
Cualquier pirámide triangular tiene 4 caras, 6 aristas y 4 vértices. Si las longitudes de todas las aristas son iguales, entonces dicha figura se llama tetraedro.
Volumen de una pirámide triangular general.
Antes de escribir la fórmula para el volumen de una pirámide triangular regular, damos una expresión para esta cantidad física para una pirámide de tipo general. Esta expresión se parece a:
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Aquí S o es el área de la base, h es la altura de la figura. Esta igualdad será válida para cualquier tipo de base de polígono piramidal, así como para un cono. Si en la base hay un triángulo con una longitud de lado a y una altura h o bajada sobre él, entonces la fórmula para el volumen se escribirá de la siguiente manera:
V = 1/6*a*h o *h.
Fórmulas para el volumen de una pirámide triangular regular.
Una pirámide triangular regular tiene un triángulo equilátero en la base. Se sabe que la altura de este triángulo está relacionada con la longitud de su lado por la igualdad:
Sustituyendo esta expresión en la fórmula del volumen de una pirámide triangular escrita en el párrafo anterior, obtenemos:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
El volumen de una pirámide regular de base triangular es función de la longitud del lado de la base y de la altura de la figura.
Dado que cualquier polígono regular puede inscribirse en un círculo, cuyo radio determinará de forma única la longitud del lado del polígono, entonces esta fórmula se puede escribir en términos del radio correspondiente r:
V = √3/4*h*r 2 .
Esta fórmula se puede obtener fácilmente a partir de la anterior, si tenemos en cuenta que el radio r del círculo circunscrito que pasa por la longitud del lado a del triángulo está determinado por la expresión:
Problema de determinar el volumen de un tetraedro.
Mostraremos cómo utilizar las fórmulas anteriores al resolver problemas de geometría específicos.
Se sabe que un tetraedro tiene una longitud de arista de 7 cm. Encuentre el volumen de una pirámide-tetraedro triangular regular.
Recordemos que un tetraedro es una pirámide triangular regular en la que todas las bases son iguales entre sí. Para usar la fórmula para el volumen de una pirámide triangular regular, necesitas calcular dos cantidades:
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- longitud del lado del triángulo;
- altura de la figura.
La primera cantidad se conoce a partir de las condiciones del problema:
Para determinar la altura, considere la cifra que se muestra en la figura.
El triángulo marcado ABC es un triángulo rectángulo, donde el ángulo ABC mide 90°. El lado AC es la hipotenusa y su longitud es a. Usando un razonamiento geométrico simple, se puede demostrar que el lado BC tiene la longitud:
Tenga en cuenta que la longitud BC es el radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Ahora puedes sustituir h y a en la fórmula correspondiente para el volumen:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Así, hemos obtenido la fórmula para el volumen de un tetraedro. Se puede ver que el volumen depende únicamente de la longitud del borde. Si sustituimos el valor de la condición del problema en la expresión, obtenemos la respuesta:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Si comparamos este valor con el volumen de un cubo que tiene la misma arista, encontramos que el volumen del tetraedro es 8,5 veces menor. Esto indica que el tetraedro es una figura compacta que se presenta en algunas sustancias naturales. Por ejemplo, la molécula de metano tiene forma tetraédrica y cada átomo de carbono del diamante está conectado a otros cuatro átomos para formar un tetraedro.
