I dette materiale vil vi se på, hvordan man korrekt konverterer brøker til en ny nævner, hvad en ekstra faktor er, og hvordan man finder den. Herefter vil vi formulere grundreglen for reduktion af brøker til nye nævnere og illustrere den med eksempler på problemer.
Konceptet med at reducere en brøk til en anden nævner
Lad os huske den grundlæggende egenskab ved en brøk. Ifølge ham har en almindelig brøk a b (hvor a og b er et hvilket som helst tal) et uendeligt antal brøker, der er lig med det. Sådanne brøker kan opnås ved at gange tælleren og nævneren med det samme tal m (naturligt tal). Med andre ord kan alle almindelige brøker erstattes af andre af formen a · m b · m. Dette er reduktionen af den oprindelige værdi til en brøk med den ønskede nævner.
Du kan reducere en brøk til en anden nævner ved at gange dens tæller og nævner med et hvilket som helst naturligt tal. Hovedbetingelsen er, at multiplikatoren skal være den samme for begge dele af brøken. Resultatet vil være en brøkdel lig med den oprindelige.
Lad os illustrere dette med et eksempel.
Eksempel 1
Konverter brøken 11 25 til den nye nævner.
Løsning
Lad os tage et vilkårligt naturligt tal 4 og gange begge sider af den oprindelige brøk med det. Vi tæller: 11 · 4 = 44 og 25 · 4 = 100. Resultatet er en brøkdel af 44 100.
Alle beregninger kan skrives på denne form: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100
Det viser sig, at enhver brøkdel kan reduceres til et stort antal forskellige nævnere. I stedet for fire kunne vi tage et andet naturligt tal og få endnu en brøk, der svarer til det oprindelige.
Men ikke et hvilket som helst tal kan blive nævneren for en ny brøk. Så for a b kan nævneren kun indeholde tal b m, der er multipla af b. Gennemgå de grundlæggende begreber om division – multipler og divisorer. Hvis tallet ikke er et multiplum af b, men det kan ikke være en divisor af den nye brøk. Lad os illustrere vores idé med et eksempel på løsning af et problem.
Eksempel 2
Beregn om det er muligt at reducere brøken 5 9 til nævnerne 54 og 21.
Løsning
54 er et multiplum af ni, som er i nævneren af den nye brøk (dvs. 54 kan divideres med 9). Det betyder, at en sådan reduktion er mulig. Men vi kan ikke dividere 21 med 9, så denne handling kan ikke udføres for denne brøk.
Konceptet med en ekstra multiplikator
Lad os formulere, hvad en yderligere faktor er.
Definition 1
Yderligere multiplikator er et naturligt tal, som begge sider af en brøk ganges med for at bringe den til en ny nævner.
De der. når vi gør dette med en brøk, tager vi en ekstra faktor for det. For eksempel, for at reducere brøken 7 10 til formen 21 30, har vi brug for en ekstra faktor på 3. Og du kan få brøken 15 40 fra 3 8 ved at bruge multiplikatoren 5.
Derfor, hvis vi kender nævneren, som en brøk skal reduceres til, kan vi beregne en ekstra faktor for den. Lad os finde ud af, hvordan man gør dette.
Vi har en brøk a b, som kan reduceres til en bestemt nævner c; Lad os beregne den ekstra faktor m. Vi skal gange nævneren af den oprindelige brøk med m. Vi får b · m, og ifølge betingelserne for problemet b · m = c. Lad os huske, hvordan multiplikation og division er relateret til hinanden. Denne forbindelse vil foranledige os til følgende konklusion: den yderligere faktor er intet andet end kvotienten af at dividere c med b, med andre ord, m = c: b.
For at finde den ekstra faktor skal vi derfor dividere den nødvendige nævner med den oprindelige.
Eksempel 3
Find den yderligere faktor, hvormed brøken 17 4 blev reduceret til nævneren 124.
Løsning
Ved at bruge reglen ovenfor dividerer vi simpelthen 124 med nævneren af den oprindelige brøk, fire.
Vi tæller: 124: 4 = 31.
Denne form for beregning er ofte påkrævet, når brøker omregnes til en fællesnævner.
Reglen for reduktion af brøker til den angivne nævner
Lad os gå videre til at definere den grundlæggende regel, hvormed du kan reducere brøker til den angivne nævner. Så,
Definition 2
For at reducere en brøkdel til den angivne nævner skal du:
- bestemme en yderligere faktor;
- gange både tælleren og nævneren af den oprindelige brøk med det.
Hvordan anvender man denne regel i praksis? Lad os give et eksempel på løsning af problemet.
Eksempel 4
Reducer brøken 7 16 til nævneren 336.
Løsning
Lad os starte med at beregne den ekstra multiplikator. Divider: 336: 16 = 21.
Vi multiplicerer det resulterende svar med begge dele af den oprindelige brøk: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Så vi bragte den oprindelige brøk til den ønskede nævner 336.
Svar: 7 16 = 147 336.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
Denne artikel forklarer hvordan man finder den laveste fællesnævner Og hvordan man reducerer brøker til en fællesnævner. Først gives definitionerne af fællesnævner for brøker og mindste fællesnævner, og det vises, hvordan man finder fællesnævneren for brøker. Nedenfor er en regel for reduktion af brøker til en fællesnævner, og eksempler på anvendelsen af denne regel overvejes. Afslutningsvis diskuteres eksempler på at bringe tre eller flere brøker til en fællesnævner.
Sidenavigation.
Hvad kaldes at reducere brøker til en fællesnævner?
Nu kan vi sige, hvad det er at reducere brøker til en fællesnævner. Reduktion af brøker til en fællesnævner- Dette er multiplikationen af tællere og nævnere af givne brøker med sådanne yderligere faktorer, at resultatet er brøker med de samme nævnere.
Fællesnævner, definition, eksempler
Nu er det tid til at definere fællesnævneren for brøker.
Med andre ord er fællesnævneren for et bestemt sæt almindelige brøker ethvert naturligt tal, der er deleligt med alle nævnerne i disse brøker.
Af den angivne definition følger det, at et givet brøksæt har uendeligt mange fællesnævnere, da der er et uendeligt antal fælles multipla af alle nævnere i det oprindelige brøksæt.
Ved at bestemme fællesnævneren for brøker kan du finde fællesnævnerne for givne brøker. Lad for eksempel, givet brøkerne 1/4 og 5/6, deres nævnere er henholdsvis 4 og 6. Positive fælles multipla af tallene 4 og 6 er tallene 12, 24, 36, 48, ... Ethvert af disse tal er en fællesnævner for brøkerne 1/4 og 5/6.
For at konsolidere materialet skal du overveje løsningen til følgende eksempel.
Eksempel.
Kan brøkerne 2/3, 23/6 og 7/12 reduceres til en fællesnævner på 150?
Løsning.
For at besvare spørgsmålet skal vi finde ud af, om tallet 150 er et fælles multiplum af nævnerne 3, 6 og 12. For at gøre dette, lad os kontrollere, om 150 er deleligt med hvert af disse tal (se om nødvendigt reglerne og eksemplerne på at dividere naturlige tal, samt reglerne og eksemplerne på at dividere naturlige tal med en rest): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (resterende 6).
Så, 150 er ikke ligeligt deleligt med 12, derfor er 150 ikke et fælles multiplum af 3, 6 og 12. Derfor kan tallet 150 ikke være fællesnævneren for de oprindelige brøker.
Svar:
Det er forbudt.
Laveste fællesnævner, hvordan finder man den?
I mængden af tal, der er fællesnævnere for givne brøker, er der et mindste naturligt tal, som kaldes den mindste fællesnævner. Lad os formulere definitionen af den laveste fællesnævner for disse brøker.
Definition.
Laveste fællesnævner er det mindste antal af alle disse brøkers fællesnævnere.
Det er tilbage at beskæftige sig med spørgsmålet om, hvordan man finder den mindste fælles divisor.
Da er den mindst positive fælles divisor af et givet sæt tal, repræsenterer LCM af nævnerne af de givne brøker den mindste fællesnævner af de givne brøker.
At finde den laveste fællesnævner for brøker kommer således ned til nævnerne for disse brøker. Lad os se på løsningen på eksemplet.
Eksempel.
Find den laveste fællesnævner for brøkerne 3/10 og 277/28.
Løsning.
Nævnerne for disse brøker er 10 og 28. Den ønskede laveste fællesnævner findes som LCM for tallene 10 og 28. I vores tilfælde er det nemt: da 10=2·5, og 28=2·2·7, så LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
Svar:
140 .
Hvordan reducerer man brøker til en fællesnævner? Regler, eksempler, løsninger
Fællesbrøker resulterer normalt i en laveste fællesnævner. Vi vil nu skrive en regel ned, der forklarer, hvordan man reducerer brøker til deres laveste fællesnævner.
Regel for reduktion af brøker til laveste fællesnævner består af tre trin:
- Find først den laveste fællesnævner for brøkerne.
- For det andet beregnes en ekstra faktor for hver brøk ved at dividere den laveste fællesnævner med nævneren for hver brøk.
- For det tredje ganges tælleren og nævneren for hver brøk med dens yderligere faktor.
Lad os anvende den angivne regel til at løse det følgende eksempel.
Eksempel.
Reducer brøkerne 5/14 og 7/18 til deres laveste fællesnævner.
Løsning.
Lad os udføre alle trinene i algoritmen for at reducere brøker til den laveste fællesnævner.
Først finder vi den mindste fællesnævner, som er lig med det mindste fælles multiplum af tallene 14 og 18. Da 14=2·7 og 18=2·3·3, så LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Nu beregner vi yderligere faktorer, ved hjælp af hvilke brøkerne 5/14 og 7/18 reduceres til nævneren 126. For brøken 5/14 er den ekstra faktor 126:14=9, og for brøken 7/18 er den ekstra faktor 126:18=7.
Tilbage er at gange tællere og nævnere af brøkerne 5/14 og 7/18 med yderligere faktorer henholdsvis 9 og 7. Vi har og 
.
Så reduktionen af brøkerne 5/14 og 7/18 til den laveste fællesnævner er færdig. De resulterende fraktioner var 45/126 og 49/126.
For at løse eksempler med brøker skal du kunne finde den laveste fællesnævner. Nedenfor er detaljerede instruktioner.
Sådan finder du den laveste fællesnævner - koncept
Den mindste fællesnævner (LCD), i enkle ord, er det mindste antal, der er deleligt med nævnerne af alle brøker i et givet eksempel. Med andre ord kaldes det Least Common Multiple (LCM). NOS bruges kun, hvis nævnerne af brøkerne er forskellige.
Sådan finder du den laveste fællesnævner - eksempler
Lad os se på eksempler på at finde NOC'er.
Beregn: 3/5 + 2/15.
Løsning (handlingssekvens):
- Vi ser på brøkernes nævnere, sikrer os, at de er forskellige, og at udtrykkene er så forkortede som muligt.
- Vi finder det mindste tal, der er deleligt med både 5 og 15. Dette tal vil være 15. Således er 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Vi fandt ud af nævneren. Hvad vil der stå i tælleren? En ekstra multiplikator vil hjælpe os med at finde ud af dette. En yderligere faktor er tallet opnået ved at dividere NZ med nævneren af en bestemt brøk. For 3/5 er tillægsfaktoren 3, da 15/5 = 3. For den anden brøk er tillægsfaktoren 1, da 15/15 = 1.
- Efter at have fundet ud af den ekstra faktor, multiplicerer vi den med tællere af brøkerne og tilføjer de resulterende værdier. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Svar: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Hvis der i eksemplet ikke lægges til eller trækkes fra 2, men 3 eller flere brøker, så skal NCD søges efter så mange brøker, som er angivet.
Beregn: 1/2 – 5/12 + 3/6
Løsning (handlingssekvens):
- At finde den laveste fællesnævner. Det mindste antal deleligt med 2, 12 og 6 er 12.
- Vi får: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Vi leder efter yderligere multiplikatorer. For 1/2 – 6; for 5/12 – 1; for 3/6 – 2.
- Vi multiplicerer med tællere og tildeler de tilsvarende fortegn: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Svar: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
Nævneren for den aritmetiske brøk a/b er tallet b, som viser størrelsen af brøkerne af en enhed, som brøken er sammensat af. Nævneren af en algebraisk brøk A/B er det algebraiske udtryk B. For at udføre regneoperationer med brøker skal de reduceres til den laveste fællesnævner.
Du får brug for
- For at arbejde med algebraiske brøker og finde den laveste fællesnævner, skal du vide, hvordan du faktoriserer polynomier.
Instruktioner
Lad os overveje at reducere to aritmetiske brøker n/m og s/t til den mindste fællesnævner, hvor n, m, s, t er heltal. Det er klart, at disse to brøker kan reduceres til en hvilken som helst nævner, der kan divideres med m og t. Men de forsøger at føre til den laveste fællesnævner. Det er lig med det mindste fælles multiplum af nævnerne m og t af de givne brøker. Det mindste multiplum (LMK) af et tal er det mindste, der er deleligt med alle givne tal på samme tid. De der. i vores tilfælde skal vi finde det mindste fælles multiplum af tallene m og t. Betegnes som LCM (m, t). Dernæst ganges brøkerne med de tilsvarende: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Lad os finde den laveste fællesnævner af tre brøker: 4/5, 7/8, 11/14. Lad os først udvide nævnerne 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Beregn derefter LCM (5, 8, 14) ved at gange alle numre inkluderet i mindst én af udvidelserne. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Bemærk, at hvis en faktor opstår i udvidelsen af flere tal (faktor 2 i udvidelsen af nævnere 8 og 14), så tager vi faktoren til i højere grad (2^3 i vores tilfælde).
Så den generelle er modtaget. Det er lig med 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Her får vi de tal, som vi skal gange brøkerne med de tilsvarende nævnere for at bringe dem til den laveste fællesnævner. Vi får 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Reduktion af algebraiske brøker til den laveste fællesnævner udføres i analogi med aritmetiske. For klarhedens skyld, lad os se på problemet ved hjælp af et eksempel. Lad to brøker (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) og (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) være givet. Lad os faktorisere begge nævnere. Bemærk, at nævneren for den første brøk er et perfekt kvadrat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Til