Lekce na téma: "Graf a vlastnosti funkce $y=x^3$. Příklady vykreslování grafů"
Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání. Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.
Učební pomůcky a simulátory v internetovém obchodě Integral pro 7. ročník
Elektronická učebnice pro 7. ročník "Algebra za 10 minut"
Vzdělávací komplex 1C "Algebra, ročníky 7-9"
Vlastnosti funkce $y=x^3$
Pojďme si popsat vlastnosti této funkce:
1. x je nezávislá proměnná, y je závislá proměnná.
2. Definiční obor: je zřejmé, že pro jakoukoli hodnotu argumentu (x) lze vypočítat hodnotu funkce (y). V souladu s tím je doménou definice této funkce celá číselná řada.
3. Rozsah hodnot: y může být cokoliv. Rozsah hodnot je tedy také celá číselná řada.
4. Jestliže x= 0, pak y= 0.
Graf funkce $y=x^3$
1. Vytvořme tabulku hodnot:
2. Pro kladné hodnoty x je graf funkce $y=x^3$ velmi podobný parabole, jejíž větve jsou více „přitisknuty“ k ose OY.
3. Protože pro záporné hodnoty x má funkce $y=x^3$ opačné hodnoty, je graf funkce symetrický vzhledem k počátku.
Nyní si označme body na souřadnicové rovině a sestavme graf (viz obr. 1).
Tato křivka se nazývá kubická parabola.
Příklady
I. Malé lodi úplně došla sladká voda. Z města je nutné přivést dostatečné množství vody. Voda se objednává předem a platí se za plnou kostku, i když jí napustíte o něco méně. Kolik kostek mám objednat, abych nepřeplatil kostku navíc a zcela naplnil nádrž? Je známo, že nádrž má stejnou délku, šířku a výšku, které se rovnají 1,5 m. Vyřešme tento problém bez provádění výpočtů.
Řešení:
1. Sestavme graf funkce $y=x^3$.
2. Najděte bod A, souřadnici x, která se rovná 1,5. Vidíme, že souřadnice funkce je mezi hodnotami 3 a 4 (viz obr. 2). Musíte si tedy objednat 4 kostky.
Sestrojování grafů funkcí obsahujících moduly působí školákům zpravidla značné potíže. Všechno však není tak špatné. Stačí si zapamatovat pár algoritmů pro řešení takových problémů a snadno sestavíte graf i té nejsložitější funkce. Pojďme zjistit, jaké druhy algoritmů to jsou.
1. Vynesení grafu funkce y = |f(x)|
Všimněte si, že množina funkčních hodnot y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takových funkcí jsou tedy vždy umístěny zcela v horní polorovině.
Vynesení grafu funkce y = |f(x)| se skládá z následujících jednoduchých čtyř kroků.
1) Pečlivě a pečlivě sestrojte graf funkce y = f(x).
2) Ponechte beze změny všechny body na grafu, které jsou nad nebo na ose 0x.
3) Zobrazte část grafu, která leží pod osou 0x symetricky vzhledem k ose 0x.
Příklad 1. Nakreslete graf funkce y = |x 2 – 4x + 3|
1) Sestavíme graf funkce y = x 2 – 4x + 3. Je zřejmé, že grafem této funkce je parabola. Najděte souřadnice všech průsečíků paraboly se souřadnicovými osami a souřadnicemi vrcholu paraboly.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Proto parabola protíná osu 0x v bodech (3, 0) a (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Proto parabola protíná osu 0y v bodě (0, 3).
Souřadnice vrcholu paraboly:
x v = -(-4/2) = 2, y v = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Bod (2, -1) je tedy vrcholem této paraboly.
Nakreslete parabolu pomocí získaných dat (Obr. 1)
2) Část grafu ležící pod osou 0x je zobrazena symetricky vzhledem k ose 0x.
3) Získáme graf původní funkce ( rýže. 2, zobrazeno jako tečkovaná čára).
2. Vytvoření grafu funkce y = f(|x|)
Všimněte si, že funkce ve tvaru y = f(|x|) jsou sudé:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takových funkcí jsou symetrické kolem osy 0y.
Vykreslení grafu funkce y = f(|x|) se skládá z následujícího jednoduchého řetězce akcí.
1) Nakreslete graf funkce y = f(x).
2) Ponechte tu část grafu, pro kterou x ≥ 0, tedy tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.
3) Zobrazte část grafu specifikovanou v bodě (2) symetricky k ose 0y.
4) Jako konečný graf vyberte sjednocení křivek získaných v bodech (2) a (3).
Příklad 2. Nakreslete graf funkce y = x 2 – 4 · |x| + 3
Protože x 2 = |x| 2, pak lze původní funkci přepsat do následujícího tvaru: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Nyní můžeme použít výše navržený algoritmus.
1) Pečlivě a pečlivě sestavíme graf funkce y = x 2 – 4 x + 3 (viz též rýže. 1).
2) Ponecháme tu část grafu, pro kterou x ≥ 0, tedy tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.
3) Zobrazte pravou stranu grafu symetricky k ose 0y.
(obr. 3).
Příklad 3. Nakreslete graf funkce y = log 2 |x|
Aplikujeme výše uvedené schéma.
1) Sestavte graf funkce y = log 2 x (obr. 4).
3. Vynesení funkce y = |f(|x|)|
Všimněte si, že funkce tvaru y = |f(|x|)| jsou také vyrovnané. Ve skutečnosti y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a proto jsou jejich grafy symetrické kolem osy 0y. Sada hodnot těchto funkcí: y ≥ 0. To znamená, že grafy takových funkcí jsou umístěny zcela v horní polorovině.
Chcete-li vykreslit funkci y = |f(|x|)|, musíte:
1) Pečlivě sestrojte graf funkce y = f(|x|).
2) Ponechte beze změny tu část grafu, která je nad nebo na ose 0x.
3) Zobrazte část grafu umístěnou pod osou 0x symetricky vzhledem k ose 0x.
4) Jako konečný graf vyberte sjednocení křivek získaných v bodech (2) a (3).
Příklad 4. Nakreslete graf funkce y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Všimněte si, že x 2 = |x| 2. To znamená, že místo původní funkce y = -x 2 + 2|x| - 1
můžete použít funkci y = -|x| 2 + 2|x| – 1, protože jejich grafy se shodují.
Sestavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. K tomu použijeme algoritmus 2.
a) Nakreslete graf funkce y = -x 2 + 2x – 1 (obr. 6).
b) Necháme tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.
c) Výslednou část grafu zobrazíme symetricky k ose 0y.
d) Výsledný graf je na obrázku znázorněn tečkovanou čarou (obr. 7).
2) Nad osou 0x nejsou žádné body, body na ose 0x ponecháme beze změny.
3) Část grafu umístěná pod osou 0x je zobrazena symetricky vzhledem k 0x.
4) Výsledný graf je na obrázku znázorněn tečkovanou čarou (obr. 8).
Příklad 5. Nakreslete graf funkce y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Nejprve musíte vykreslit funkci y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Abychom to udělali, vrátíme se k Algoritmu 2.
a) Pečlivě zakreslete funkci y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).
Všimněte si, že tato funkce je zlomková lineární a její graf je hyperbola. Chcete-li vykreslit křivku, musíte nejprve najít asymptoty grafu. Horizontální – y = 2/1 (poměr koeficientů x v čitateli a jmenovateli zlomku), vertikální – x = -3.
2) Část grafu, která je nad osou 0x nebo na ní, ponecháme beze změny.
3) Část grafu umístěná pod osou 0x bude zobrazena symetricky vzhledem k 0x.
4) Výsledný graf je na obrázku (obr. 11).
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.
"Přirozený logaritmus" - 0,1. Přirozené logaritmy. 4. Logaritmické šipky. 0,04. 7.121.
"Stupeň výkonové funkce 9" - U. kubická parabola. Y = x3. Učitel 9. třídy Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbola. 0. Y = xn, y = x-n kde n je dané přirozené číslo. X. Exponent je sudé přirozené číslo (2n).
„Kvadratická funkce“ - 1 Definice kvadratické funkce 2 Vlastnosti funkce 3 Grafy funkce 4 Kvadratické nerovnice 5 Závěr. Vlastnosti: Nerovnosti: Připravil student třídy 8A Andrey Gerlitz. Plán: Graf: -Intervaly monotonie pro a > 0 pro a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
“Kvadratická funkce a její graf” - Řešení.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-patří. Když a=1, vzorec y=ax má tvar.
„Kvadratická funkce 8. stupně“ - 1) Sestrojte vrchol paraboly. Vynesení grafu kvadratické funkce. X. -7. Sestrojte graf funkce. Algebra 8. ročník Učitel 496 Bovina škola T.V.-1. Stavební plán. 2) Sestrojte osu souměrnosti x=-1. y
Bohužel ne všichni studenti a školáci znají a milují algebru, ale každý musí připravovat domácí úkoly, řešit testy a dělat zkoušky. Pro mnoho lidí je obzvláště obtížné sestavit grafy funkcí: pokud někde něčemu nerozumíte, nedočtete se to nebo to přehlédnete, chyby jsou nevyhnutelné. Ale kdo chce mít špatné známky?
Chtěli byste se přidat ke kohortě hledačů a poražených? K tomu máte 2 způsoby: sednout si k učebnicím a doplnit mezery ve znalostech, nebo využít virtuálního asistenta – službu pro automatické vykreslování grafů funkcí podle daných podmínek. S řešením nebo bez něj. Dnes vám několik z nich představíme.
Nejlepší na Desmos.com je jeho vysoce přizpůsobitelné rozhraní, interaktivita, možnost organizovat výsledky do tabulek a ukládat vaši práci do databáze zdrojů zdarma bez časového omezení. Nevýhodou je, že služba není plně přeložena do ruštiny.
Grafikus.ru
Grafikus.ru je další grafická kalkulačka v ruském jazyce, která si zaslouží pozornost. Navíc je staví nejen ve dvourozměrném, ale i v trojrozměrném prostoru.
Zde je neúplný seznam úkolů, které tato služba úspěšně zvládá:
- Kreslení 2D grafů jednoduchých funkcí: přímky, paraboly, hyperboly, trigonometrické, logaritmické atd.
- Kreslení 2D grafů parametrických funkcí: kružnice, spirály, Lissajousovy obrazce a další.
- Kreslení 2D grafů v polárních souřadnicích.
- Konstrukce 3D ploch jednoduchých funkcí.
- Konstrukce 3D ploch parametrických funkcí.
Hotový výsledek se otevře v samostatném okně. Uživatel má možnost odkaz na něj stáhnout, vytisknout a zkopírovat. V druhém případě se budete muset přihlásit ke službě pomocí tlačítek sociálních sítí.
Souřadnicová rovina Grafikus.ru podporuje změnu hranic os, jejich popisků, rozteče mřížky, stejně jako šířky a výšky samotné roviny a velikosti písma.
Největší předností Grafikus.ru je schopnost vytvářet 3D grafiku. Jinak to nefunguje hůř a ne lépe než analogové zdroje.
Onlinecharts.ru
Online asistent Onlinecharts.ru nevytváří grafy, ale diagramy téměř všech existujících typů. Počítaje v to:
- Lineární.
- Sloupovitý.
- Oběžník.
- S plochami.
- Radiální.
- XY-grafů.
- Bublina.
- Bod.
- Polární bubliny.
- Pyramidy.
- Tachometry.
- Sloupově-lineární.
Použití zdroje je velmi jednoduché. Vzhled diagramu (barva pozadí, mřížka, čáry, ukazatele, tvary rohů, písma, průhlednost, speciální efekty atd.) je zcela určován uživatelem. Data pro stavbu lze zadávat buď ručně, nebo importovat z tabulky v souboru CSV uloženém v počítači. Hotový výsledek je k dispozici ke stažení do počítače ve formě obrázku, PDF, CSV nebo SVG souboru a také k uložení online na stránce pro hostování fotografií ImageShack.Us nebo na vašem osobním účtu Onlinecharts.ru. První možnost může využít každý, druhou pouze registrovaní.