Proces hledání derivace funkce se nazývá diferenciace. Derivace musí být nalezena v řadě problémů v průběhu matematické analýzy. Například při hledání extrémních bodů a inflexních bodů grafu funkcí.
Jak najít?
K nalezení derivace funkce potřebujete znát tabulku derivací elementárních funkcí a aplikovat základní pravidla derivování:
- Přesunutí konstanty za znaménko derivace: $$ (Cu)" = C(u)" $$
- Derivace součtu/rozdílu funkcí: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
- Derivace součinu dvou funkcí: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
- Derivace zlomku: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
- Derivace komplexní funkce: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$
Příklady řešení
| Příklad 1 |
| Najděte derivaci funkce $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ |
| Řešení |
|
Derivace součtu/rozdílu funkcí se rovná součtu/rozdílu derivací: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Pomocí pravidla pro derivaci mocninné funkce $ (x^p)" = px^(p-1) $ máme: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Bylo také vzato v úvahu, že derivace konstanty je rovna nule. Pokud nemůžete svůj problém vyřešit, pošlete nám jej. Poskytneme podrobné řešení. Budete moci sledovat průběh výpočtu a získávat informace. To vám pomůže získat známku od učitele včas! |
| Odpovědět |
| $$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$ |
Derivát
Výpočet derivace matematické funkce (diferenciace) je velmi častým problémem při řešení vyšší matematiky. Pro jednoduché (elementární) matematické funkce je to vcelku jednoduchá záležitost, protože tabulky derivací pro elementární funkce jsou již dávno sestaveny a jsou snadno dostupné. Nalezení derivace komplexní matematické funkce však není triviální úkol a často vyžaduje značné úsilí a čas.
Najděte derivát online
Naše online služba vám umožní zbavit se nesmyslných dlouhých výpočtů a najít derivát online v jednom okamžiku. Navíc pomocí naší služby umístěné na webových stránkách www.stránka, můžete počítat online derivát jak z elementární funkce, tak z velmi složité funkce, která nemá analytické řešení. Hlavní výhody našich stránek oproti jiným jsou: 1) nejsou zde žádné striktní požadavky na způsob zadávání matematické funkce pro výpočet derivace (např. při zadání funkce sinus x ji můžete zadat jako sin x nebo sin (x) nebo sin[x] atd. d.); 2) online výpočet derivace probíhá okamžitě v online a absolutně zdarma; 3) umožňujeme vám najít derivaci funkce jakákoli objednávka, změna pořadí derivace je velmi snadná a srozumitelná; 4) umožňujeme vám najít derivát téměř jakékoli matematické funkce online, dokonce i velmi složitých, které nelze vyřešit jinými službami. Poskytnutá odpověď je vždy přesná a nemůže obsahovat chyby.
Používání našeho serveru vám umožní 1) vypočítat derivát online za vás, čímž se eliminují časově náročné a únavné výpočty, během kterých byste mohli udělat chybu nebo překlep; 2) pokud vypočítáte derivaci matematické funkce sami, pak vám poskytujeme možnost porovnat získaný výsledek s výpočty naší služby a ujistit se, že řešení je správné, nebo najít chybu, která se vloudila; 3) použijte naši službu místo používání tabulek derivací jednoduchých funkcí, kde nalezení požadované funkce často zabere čas.
Vše, co se od vás vyžaduje, je najít derivát online- je používat naši službu na
Pokud se budete řídit definicí, pak derivace funkce v bodě je limitou poměru přírůstku funkce Δ y na přírůstek argumentu Δ X:
Vše se zdá být jasné. Ale zkuste použít tento vzorec k výpočtu, řekněme, derivace funkce F(X) = X 2 + (2X+ 3) · E X hřích X. Pokud uděláte vše podle definice, pak po několika stránkách výpočtů jednoduše usnete. Proto existují jednodušší a efektivnější způsoby.
Nejprve si všimneme, že z celé řady funkcí můžeme rozlišit takzvané elementární funkce. Jde o poměrně jednoduché výrazy, jejichž derivace jsou již dávno vypočítány a zaneseny do tabulky. Takové funkce jsou docela snadno zapamatovatelné - spolu s jejich deriváty.
Derivace elementárních funkcí
Elementární funkce jsou všechny ty, které jsou uvedeny níže. Deriváty těchto funkcí je třeba znát nazpaměť. Navíc není vůbec těžké si je zapamatovat - proto jsou elementární.
Takže derivace elementárních funkcí:
| název | Funkce | Derivát |
| Konstantní | F(X) = C, C ∈ R | 0 (ano, nula!) |
| Mocnina s racionálním exponentem | F(X) = X n | n · X n − 1 |
| Sinus | F(X) = hřích X | cos X |
| Kosinus | F(X) = cos X | -hřích X(mínus sinus) |
| Tečna | F(X) = tg X | 1/cos 2 X |
| Kotangens | F(X) = ctg X | − 1/hřích 2 X |
| Přirozený logaritmus | F(X) = log X | 1/X |
| Libovolný logaritmus | F(X) = log A X | 1/(X ln A) |
| Exponenciální funkce | F(X) = E X | E X(nic se nezměnilo) |
Pokud se elementární funkce vynásobí libovolnou konstantou, pak se derivace nové funkce také snadno vypočítá:
(C · F)’ = C · F ’.
Obecně lze konstanty vyjmout ze znaménka derivace. Například:
(2X 3)‘ = 2 · ( X 3) = 2 3 X 2 = 6X 2 .
Je zřejmé, že elementární funkce lze vzájemně sčítat, násobit, dělit – a mnoho dalšího. Tak se objeví nové funkce, již ne nijak zvlášť elementární, ale také diferencované podle určitých pravidel. Tato pravidla jsou popsána níže.
Derivace součtu a rozdílu
Nechť jsou dány funkce F(X) A G(X), jejichž deriváty jsou nám známy. Můžete si například vzít výše popsané základní funkce. Pak můžete najít derivaci součtu a rozdílu těchto funkcí:
- (F + G)’ = F ’ + G ’
- (F − G)’ = F ’ − G ’
Takže derivace součtu (rozdílu) dvou funkcí se rovná součtu (rozdílu) derivací. Termínů může být více. Například, ( F + G + h)’ = F ’ + G ’ + h ’.
Přísně vzato, v algebře neexistuje pojem „odčítání“. Existuje koncept „negativního prvku“. Proto ten rozdíl F − G lze přepsat jako součet F+ (-1) G, a pak zbývá pouze jeden vzorec - derivace součtu.
F(X) = X 2 + sin x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.
Funkce F(X) je součet dvou elementárních funkcí, tedy:
F ’(X) = (X 2 + hřích X)’ = (X 2) + (hřích X)’ = 2X+ cos x;
Podobně uvažujeme i u funkce G(X). Pouze již existují tři termíny (z hlediska algebry):
G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).
Odpovědět:
F ’(X) = 2X+ cos x;
G ’(X) = 4X · ( X
2 + 1).
Derivát produktu
Matematika je logická věda, takže mnoho lidí věří, že pokud se derivace součtu rovná součtu derivací, pak derivace součinu stávkovat">rovná se součinu derivátů. Ale vykašli se na to! Derivát součinu se vypočítá pomocí úplně jiného vzorce. Konkrétně:
(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’
Vzorec je jednoduchý, ale často se na něj zapomíná. A to nejen školáků, ale i studentů. Výsledkem jsou nesprávně vyřešené problémy.
Úkol. Najděte derivace funkcí: F(X) = X 3 cos x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · E X .
Funkce F(X) je součin dvou elementárních funkcí, takže vše je jednoduché:
F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (- hřích X) = X 2 (3 cos X − X hřích X)
Funkce G(X) první násobitel je trochu složitější, ale obecné schéma se nemění. Je zřejmé, že první faktor funkce G(X) je polynom a jeho derivace je derivací součtu. My máme:
G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · E X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · E X + (X 2 + 7X− 7) ( E X)’ = (2X+ 7) · E X + (X 2 + 7X− 7) · E X = E X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · E X = X(X+ 9) · E X .
Odpovědět:
F ’(X) = X 2 (3 cos X − X hřích X);
G ’(X) = X(X+ 9) · E
X
.
Upozorňujeme, že v posledním kroku je derivace faktorizována. Formálně to není potřeba dělat, ale většina derivací se nepočítá sama o sobě, ale pro zkoumání funkce. To znamená, že se derivace bude dále rovnat nule, určí se její znaménka a tak dále. Pro takový případ je lepší mít výraz faktorizovaný.
Pokud existují dvě funkce F(X) A G(X), a G(X) ≠ 0 na množině, která nás zajímá, můžeme definovat novou funkci h(X) = F(X)/G(X). Pro takovou funkci můžete také najít derivaci:
Není slabý, že? Kde se vzalo mínus? Proč G 2? A takhle! Toto je jeden z nejsložitějších vzorců - bez láhve na to nepřijdete. Proto je lepší si to prostudovat na konkrétních příkladech.
Úkol. Najděte derivace funkcí:
Čitatel a jmenovatel každého zlomku obsahuje elementární funkce, takže vše, co potřebujeme, je vzorec pro derivaci podílu:
Podle tradice rozložme čitatel na faktor – tím se značně zjednoduší odpověď:
Složitá funkce nemusí být nutně půlkilometrový vzorec. Například stačí vzít funkci F(X) = hřích X a nahradit proměnnou Xřekněme dál X 2 + ln X. ono to vyjde F(X) = hřích ( X 2 + ln X) - jedná se o komplexní funkci. Má také odvozeninu, ale nebude možné ji najít pomocí výše uvedených pravidel.
Co bych měl dělat? V takových případech pomůže nahrazení proměnné a vzorce za derivaci komplexní funkce:
F ’(X) = F ’(t) · t', Pokud X je nahrazeno t(X).
Situace s pochopením tohoto vzorce je zpravidla ještě smutnější než s derivací kvocientu. Proto je také lepší to vysvětlit na konkrétních příkladech, s podrobným popisem každého kroku.
Úkol. Najděte derivace funkcí: F(X) = E 2X + 3 ; G(X) = hřích ( X 2 + ln X)
Všimněte si, že pokud ve funkci F(X) místo výrazu 2 X+ 3 bude snadné X, pak dostaneme elementární funkci F(X) = E X. Proto provedeme náhradu: nechť 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = E t. Hledáme derivaci komplexní funkce pomocí vzorce:
F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (E t)’ · t ’ = E t · t ’
A teď - pozor! Provádíme zpětnou výměnu: t = 2X+ 3. Dostáváme:
F ’(X) = E t · t ’ = E 2X+ 3 (2 X + 3)’ = E 2X+ 3 2 = 2 E 2X + 3
Nyní se podíváme na funkci G(X). Je zřejmé, že je třeba jej vyměnit X 2 + ln X = t. My máme:
G ’(X) = G ’(t) · t‘ = (hřích t)’ · t’ = cos t · t ’
Reverzní výměna: t = X 2 + ln X. Pak:
G ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)' = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).
To je vše! Jak je vidět z posledního výrazu, celý problém se zredukoval na výpočet derivačního součtu.
Odpovědět:
F ’(X) = 2 · E
2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2 + ln X).
Velmi často ve svých lekcích místo termínu „derivát“ používám slovo „první“. Například zdvih součtu se rovná součtu zdvihů. Je to jasnější? Dobře, to je super.
Výpočet derivace tedy spočívá v zbavení se stejných tahů podle výše uvedených pravidel. Jako poslední příklad se vraťme k derivační mocnině s racionálním exponentem:
(X n)’ = n · X n − 1
To v roli málokdo ví n může být i zlomkové číslo. Například kořen je X 0,5. Co když je pod kořenem něco fantastického? Opět bude výsledkem komplexní funkce – takové konstrukce rádi dávají v testech a zkouškách.
Úkol. Najděte derivaci funkce:
Nejprve přepišme odmocninu jako mocninu s racionálním exponentem:
F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .
Nyní uděláme náhradu: let X 2 + 8X − 7 = t. Derivaci najdeme pomocí vzorce:
F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.
Udělejme obrácenou výměnu: t = X 2 + 8X− 7. Máme:
F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .
Nakonec zpět ke kořenům:
Řešení fyzikálních úloh nebo příkladů v matematice je zcela nemožné bez znalosti derivace a metod jejího výpočtu. Derivace je jedním z nejdůležitějších pojmů v matematické analýze. Tomuto zásadnímu tématu jsme se rozhodli věnovat dnešní článek. Co je to derivace, jaký má fyzikální a geometrický význam, jak vypočítat derivaci funkce? Všechny tyto otázky lze spojit do jedné: jak porozumět derivaci?
Geometrický a fyzikální význam derivace
Nechť existuje funkce f(x) , specifikované v určitém intervalu (a, b) . Do tohoto intervalu patří body x a x0. Když se změní x, změní se i samotná funkce. Změna argumentu - rozdíl v jeho hodnotách x-x0 . Tento rozdíl je zapsán jako delta x a nazývá se přírůstek argumentu. Změna nebo přírůstek funkce je rozdíl mezi hodnotami funkce ve dvou bodech. Definice derivátu:
Derivace funkce v bodě je limitem poměru přírůstku funkce v daném bodě k přírůstku argumentu, když ten má tendenci k nule.
Jinak to lze napsat takto:
Jaký má smysl najít takový limit? A tady je to, co to je:
derivace funkce v bodě je rovna tečně úhlu mezi osou OX a tečně ke grafu funkce v daném bodě.
Fyzikální význam derivátu: derivace dráhy s ohledem na čas je rovna rychlosti přímočarého pohybu.
Opravdu, od školních dob každý ví, že rychlost je zvláštní cesta x=f(t) a čas t . Průměrná rychlost za určité časové období:
Chcete-li zjistit rychlost pohybu v určitém okamžiku t0 musíte vypočítat limit:
Pravidlo jedna: nastavte konstantu
Konstantu lze vyjmout z derivačního znaménka. Navíc to musí být provedeno. Při řešení příkladů v matematice to berte jako pravidlo - Pokud můžete nějaký výraz zjednodušit, určitě ho zjednodušte .
Příklad. Pojďme vypočítat derivaci:
Pravidlo druhé: derivace součtu funkcí
Derivace součtu dvou funkcí je rovna součtu derivací těchto funkcí. Totéž platí pro derivaci rozdílu funkcí.
Tuto větu nebudeme dokazovat, ale uvažujme spíše o praktickém příkladu.
Najděte derivaci funkce:
Pravidlo třetí: derivace součinu funkcí
Derivace součinu dvou diferencovatelných funkcí se vypočítá podle vzorce:
Příklad: najděte derivaci funkce:
Řešení: 
Zde je důležité mluvit o počítání derivací komplexních funkcí. Derivace komplexní funkce je rovna součinu derivace této funkce s ohledem na prostřední argument a derivace prostředního argumentu vzhledem k nezávislé proměnné.
Ve výše uvedeném příkladu narazíme na výraz:
V tomto případě je střední argument 8x až pátá mocnina. Abychom mohli vypočítat derivaci takového výrazu, nejprve vypočítáme derivaci externí funkce vzhledem k mezilehlému argumentu a poté vynásobíme derivací samotného mezilehlého argumentu vzhledem k nezávislé proměnné.
Pravidlo čtyři: derivace podílu dvou funkcí
Vzorec pro určení derivace podílu dvou funkcí:
Pokusili jsme se mluvit o derivátech pro figuríny od nuly. Toto téma není tak jednoduché, jak se zdá, takže buďte varováni: v příkladech jsou často úskalí, takže buďte opatrní při výpočtu derivací.
S jakýmikoli dotazy k tomuto a dalším tématům se můžete obrátit na studentský servis. Během krátké doby vám pomůžeme vyřešit nejtěžší test a porozumět úlohám, i když jste nikdy předtím nedělali derivační výpočty.
Operace hledání derivace se nazývá diferenciace.
V důsledku řešení problémů hledání derivací nejjednodušších (a nepříliš jednoduchých) funkcí definováním derivace jako limity poměru přírůstku k přírůstku argumentu se objevila tabulka derivací a přesně definovaná pravidla derivace. . První, kdo pracoval v oblasti hledání derivátů, byli Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Proto v naší době, abychom našli derivaci libovolné funkce, nepotřebujeme vypočítat výše zmíněnou mez poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, ale stačí použít tabulku derivace a pravidla diferenciace. Pro nalezení derivace je vhodný následující algoritmus.
Chcete-li najít derivát, potřebujete výraz pod prvočíslem rozdělit jednoduché funkce na komponenty a určit, jaké akce (součin, součet, podíl) tyto funkce spolu souvisí. Dále najdeme derivace elementárních funkcí v tabulce derivací a vzorce pro derivace součinu, součtu a kvocientu - v pravidlech derivování. Tabulka derivací a pravidla diferenciace jsou uvedeny po prvních dvou příkladech.
Příklad 1 Najděte derivaci funkce
Řešení. Z pravidel derivace zjistíme, že derivace součtu funkcí je součtem derivací funkcí, tzn.
Z tabulky derivací zjistíme, že derivace "x" je rovna jedné a derivace sinu je rovna kosinu. Tyto hodnoty dosadíme do součtu derivací a najdeme derivaci požadovanou podmínkou problému:
Příklad 2 Najděte derivaci funkce
Řešení. Derivujeme jako derivaci součtu, ve kterém má druhý člen konstantní faktor, lze jej vyjmout ze znaménka derivace:
Pokud stále vyvstávají otázky o tom, odkud něco pochází, jsou obvykle vyjasněny poté, co se seznámíte s tabulkou derivací a nejjednoduššími pravidly diferenciace. Právě k nim přecházíme.
Tabulka derivací jednoduchých funkcí
| 1. Derivace konstanty (čísla). Jakékoli číslo (1, 2, 5, 200...), které je ve výrazu funkce. Vždy se rovná nule. To je velmi důležité mít na paměti, protože je to velmi často vyžadováno | |
| 2. Derivace nezávisle proměnné. Nejčastěji "X". Vždy se rovná jedné. To je také důležité si dlouho pamatovat | |
| 3. Derivace stupně. Při řešení problémů je potřeba převést neodmocniny na mocniny. | |
| 4. Derivace proměnné k mocnině -1 | |
| 5. Derivace odmocniny | |
| 6. Derivace sinusu | |
| 7. Derivace kosinusu |  |
| 8. Derivace tečny |  |
| 9. Derivace kotangens |  |
| 10. Derivace arcsinusu |  |
| 11. Derivát arkosinu |  |
| 12. Derivace arkustangens |  |
| 13. Derivace obloukového kotangens |  |
| 14. Derivace přirozeného logaritmu | |
| 15. Derivace logaritmické funkce |  |
| 16. Derivace exponentu | |
| 17. Derivace exponenciální funkce |
Pravidla diferenciace
| 1. Derivace součtu nebo rozdílu |  |
| 2. Derivát produktu |  |
| 2a. Derivace výrazu násobená konstantním faktorem | |
| 3. Derivace kvocientu |  |
| 4. Derivace komplexní funkce |  |
Pravidlo 1.Pokud funkce
jsou v určitém bodě diferencovatelné, pak jsou funkce diferencovatelné ve stejném bodě
a
těch. derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí.
Následek. Pokud se dvě diferencovatelné funkce liší konstantním členem, pak jsou jejich derivace stejné, tj.
Pravidlo 2.Pokud funkce
jsou v určitém bodě diferencovatelné, pak je jejich produkt diferencovatelný ve stejném bodě
a
těch. Derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí a derivace druhé.
Důsledek 1. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace:
Důsledek 2. Derivace součinu několika diferencovatelných funkcí se rovná součtu součinů derivace každého faktoru a všech ostatních.
Například pro tři násobiče:
Pravidlo 3.Pokud funkce
v určitém okamžiku rozlišitelné A , pak v tomto bodě je jejich kvocient také diferencovatelnýu/v a
těch. derivace podílu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace v čitateli a čitatele a derivace jmenovatele, a jmenovatel je druhá mocnina bývalý čitatel.
Kde hledat věci na jiných stránkách
Při hledání derivace součinu a kvocientu v reálných problémech je vždy nutné aplikovat více diferenciačních pravidel najednou, proto je v článku více příkladů na tyto derivace"Derivace produktu a kvocient funkcí".
Komentář. Neměli byste zaměňovat konstantu (tedy číslo) jako člen v součtu a jako konstantní faktor! V případě členu je jeho derivace rovna nule a v případě konstantního faktoru je vyjmuta ze znaménka derivací. Toto je typická chyba, která se vyskytuje v počáteční fázi studia odvozenin, ale protože průměrný student řeší několik jedno- a dvoudílných příkladů, již tuto chybu nedělá.
A pokud při rozlišování produktu nebo kvocientu máte termín u"proti, ve kterém u- číslo, například 2 nebo 5, tedy konstanta, pak bude derivace tohoto čísla rovna nule, a tedy celý člen bude roven nule (tento případ je diskutován v příkladu 10).
Další častou chybou je mechanické řešení derivace komplexní funkce jako derivace jednoduché funkce. Proto derivace komplexní funkce je věnován samostatný článek. Nejprve se ale naučíme najít derivace jednoduchých funkcí.
Po cestě se neobejdete bez transformace výrazů. Chcete-li to provést, možná budete muset otevřít příručku v nových oknech. Akce se silami a kořeny A Operace se zlomky .
Pokud hledáte řešení pro derivace zlomků s mocninou a odmocninou, tedy když funkce vypadá 
a poté postupujte podle lekce „Derivace součtů zlomků s mocninami a odmocninami“.
Pokud máte úkol jako 
, poté absolvujete lekci „Derivace jednoduchých goniometrických funkcí“.
Příklady krok za krokem - jak najít derivaci
Příklad 3 Najděte derivaci funkce
Řešení. Definujeme části funkčního výrazu: celý výraz představuje součin a jeho faktory jsou součty, ve druhém z nich jeden z členů obsahuje konstantní faktor. Aplikujeme pravidlo diferenciace součinu: derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí derivací druhé:
Dále použijeme pravidlo derivace součtu: derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí. V našem případě má v každém součtu druhý člen znaménko mínus. V každém součtu vidíme jak nezávislou proměnnou, jejíž derivace je rovna jedné, tak konstantu (číslo), jejíž derivace je rovna nule. Takže „X“ se změní na jedničku a mínus 5 na nulu. Ve druhém výrazu je "x" násobeno 2, takže násobíme dva stejnou jednotkou jako derivace "x". Získáme následující derivační hodnoty:
Nalezené derivace dosadíme do součtu součinů a získáme derivaci celé funkce, kterou vyžaduje podmínka problému:
A můžete zkontrolovat řešení problému s derivací na.
Příklad 4. Najděte derivaci funkce
Řešení. Musíme najít derivaci kvocientu. Aplikujeme vzorec pro derivování kvocientu: derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace čitatele a čitatele a derivace jmenovatel a jmenovatel je druhá mocnina dřívějšího čitatele. Dostaneme:
Derivaci faktorů v čitateli jsme již našli v příkladu 2. Nezapomeňme také, že součin, který je v aktuálním příkladu druhým faktorem v čitateli, je brán se znaménkem mínus:
Pokud hledáte řešení problémů, ve kterých potřebujete najít derivaci funkce, kde je souvislá hromada odmocnin a mocnin, jako je např. 
, pak vítejte ve třídě "Derivace součtů zlomků s mocninami a odmocninami" .
Pokud se potřebujete dozvědět více o derivacích sinů, kosinů, tečen a dalších goniometrických funkcí, tedy když funkce vypadá jako , pak lekce pro vás "Derivace jednoduchých goniometrických funkcí" .
Příklad 5. Najděte derivaci funkce
Řešení. V této funkci vidíme součin, jehož jedním z faktorů je odmocnina nezávisle proměnné, s jejíž derivací jsme se seznámili v tabulce derivací. Pomocí pravidla pro derivování součinu a tabulkové hodnoty derivace odmocniny získáme:
Řešení problému s derivací můžete zkontrolovat na online kalkulačka derivátů .
Příklad 6. Najděte derivaci funkce
Řešení. V této funkci vidíme kvocient, jehož dividenda je druhou odmocninou nezávislé proměnné. Pomocí pravidla derivace kvocientů, které jsme zopakovali a použili v příkladu 4, a tabulkové hodnoty derivace odmocniny, získáme:
Chcete-li se zbavit zlomku v čitateli, vynásobte čitatel a jmenovatel číslem .