FUNKČNÍ GRAFIKA
Funkce sinus
- hromada R všechna reálná čísla.
Více funkčních hodnot— segment [-1; 1], tzn. funkce sinus - omezený.
Zvláštní funkce: sin(−x)=−sin x pro všechna x ∈ R.
Funkce je periodická
sin(x+2π k) = sin x, kde k ∈ Z pro všechna x ∈ R.
hřích x = 0 pro x = π k , k ∈ Z.
hřích x > 0(kladné) pro všechna x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.
hřích x< 0 (záporné) pro všechna x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z.
Funkce kosinus
Funkční doména- hromada R všechna reálná čísla.
Více funkčních hodnot— segment [-1; 1], tzn. funkce kosinus - omezený.
Rovnoměrná funkce: cos(−x)=cos x pro všechna x ∈ R.
Funkce je periodická s nejmenší kladnou periodou 2π:
cos(x+2π k) = cos x, kde k ∈ Z pro všechna x ∈ R.
| cos x = 0 na |  |
| cos x > 0 pro všechny |  |
| cos x< 0 pro všechny |  |
| Funkce se zvyšuje od -1 do 1 v intervalech: | |
| Funkce se snižuje od -1 do 1 v intervalech: | |
| Největší hodnota funkce sin x = 1 v bodech: |  |
| Nejmenší hodnota funkce sin x = −1 v bodech: |
Funkce tečny
Více funkčních hodnot— celá číselná řada, tzn. tečna - funkce neomezený.
Zvláštní funkce: tg(−x)=−tg x
Graf funkce je symetrický kolem osy OY.
Funkce je periodická s nejmenší kladnou periodou π, tzn. tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z pro všechna x z definičního oboru.
Funkce kotangens
Více funkčních hodnot— celá číselná řada, tzn. kotangens - funkce neomezený.
Zvláštní funkce: ctg(−x)=−ctg x pro všechna x z oblasti definice.Graf funkce je symetrický kolem osy OY.
Funkce je periodická s nejmenší kladnou periodou π, tzn. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z pro všechna x z definičního oboru.
Funkce Arcsine
Funkční doména— segment [-1; 1]
Více funkčních hodnot- segment -π /2 arcsin x π /2, tzn. arcsinus - funkce omezený.
Zvláštní funkce: arcsin(−x)=−arcsin x pro všechna x ∈ R.
Graf funkce je symetrický podle počátku.
V celé oblasti definice.
Arc cosinus funkce
Funkční doména— segment [-1; 1]
Více funkčních hodnot— segment 0 arccos x π, tj. arkosin - funkce omezený.
Funkce se zvyšuje přes celou definiční oblast.
Arktugentní funkce
Funkční doména- hromada R všechna reálná čísla.
Více funkčních hodnot— segment 0 π, tzn. arctangens - funkce omezený.
Zvláštní funkce: arctg(−x)=−arctg x pro všechna x ∈ R.
Graf funkce je symetrický podle počátku.
Funkce se zvyšuje přes celou definiční oblast.
Arkus tangens funkce
Funkční doména- hromada R všechna reálná čísla.
Více funkčních hodnot— segment 0 π, tzn. arkotangens - funkce omezený.
Funkce není ani sudá, ani lichá.
Graf funkce není asymetrický ani vzhledem k počátku, ani vzhledem k ose Oy.
Funkce se snižuje přes celou definiční oblast.
Definice a zápis
Arcsine (y = arcsin x) je inverzní funkce sinus (x = hříšný -1 ≤ x ≤ 1 a množina hodnot -π /2 ≤ y ≤ π/2.sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Arcsine je někdy označován takto:
.
Graf funkce arcsinus
Graf funkce y = arcsin x
Arkussinusový graf se získá ze sinusového grafu, pokud jsou prohozeny osy úsečky a pořadnice. Pro odstranění nejednoznačnosti je rozsah hodnot omezen na interval, ve kterém je funkce monotónní. Tato definice se nazývá hlavní hodnota arcsinus.
Arccosine, arccos
Definice a zápis
Arc cosinus (y = arccos x) je inverzní funkce kosinusu (x = cos y). Má to rozsah -1 ≤ x ≤ 1 a mnoho významů 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Arccosine je někdy označován následovně:
.
Graf funkce arc cosinus
Graf funkce y = arccos x
Obloukový cosinusový graf se získá z kosinusového grafu, pokud jsou prohozeny osy úsečky a pořadnice. Pro odstranění nejednoznačnosti je rozsah hodnot omezen na interval, ve kterém je funkce monotónní. Tato definice se nazývá hlavní hodnota arc cosinus.
Parita
Funkce arcsinus je lichá:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Funkce arc cosinus není sudá ani lichá:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Vlastnosti - extrémy, zvýšení, snížení
Funkce arcsinus a arckosinus jsou spojité ve své oblasti definice (viz důkaz spojitosti). Hlavní vlastnosti arcsinu a arckosinu jsou uvedeny v tabulce.
| y= arcsin x | y= arccos x | |
| Rozsah a kontinuita | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Rozsah hodnot | ||
| Stoupající klesající | monotónně narůstá | monotónně klesá |
| Highs | ||
| Minima | ||
| Nuly, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Průsečík bodů se souřadnicovou osou, x = 0 | y= 0 | y = π/ 2 |
Tabulka arcsinus a arckosinů
Tato tabulka uvádí hodnoty arcsinus a arckosinus ve stupních a radiánech pro určité hodnoty argumentu.
| X | arcsin x | arccos x | ||
| kroupy | rád. | kroupy | rád. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Vzorce
Viz také: Odvození vzorců pro inverzní goniometrické funkceSoučtové a rozdílové vzorce
na nebo
v a
v a
na nebo
v a
v a
na
na
na
na
Výrazy pomocí logaritmů, komplexní čísla
Viz také: Odvozování vzorcůVýrazy prostřednictvím hyperbolických funkcí
Deriváty
;
.
Viz Odvození arcsinu a derivátů arkkosinu > > >
Deriváty vyššího řádu:
,
kde je polynom stupně . Určuje se podle vzorců:
;
;
.
Viz Odvození derivací vyšších řádů arcsinusu a arkkosinu > > >
Integrály
Provedeme substituci x = sint. Integrujeme po částech, přičemž bereme v úvahu, že -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
cos t ≥ 0:
.
Vyjádřeme arkus cosinus přes arkus sinus:
.
Rozšíření řady
Když |x|< 1
probíhá následující rozklad:
;
.
Inverzní funkce
Převrácené hodnoty arkussinu a arkosinu jsou sinus a kosinus.
Následující vzorce jsou platné v celé oblasti definice:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Následující vzorce jsou platné pouze pro sadu hodnot arcsinus a arckosinus:
arcsin(sin x) = x na
arccos(cos x) = x na .
Reference:
V. Bronstein, K.A. Semendyaev, Příručka matematiky pro inženýry a vysokoškolské studenty, „Lan“, 2009.
Problémy související s inverzními goniometrickými funkcemi jsou často nabízeny při školních závěrečných zkouškách a při přijímacích zkouškách na některé vysoké školy. Podrobného studia tohoto tématu lze dosáhnout pouze ve volitelných hodinách nebo volitelných předmětech. Navržený kurz je navržen tak, aby co nejvíce rozvinul schopnosti každého studenta a zlepšil jeho matematickou přípravu.
Kurz trvá 10 hodin:
1.Funkce arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 hodiny).
2.Operace na inverzních goniometrických funkcích (4 hodiny).
3. Inverzní goniometrické operace s goniometrickými funkcemi (2 hodiny).
Lekce 1 (2 hodiny) Téma: Funkce y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.
Cíl: kompletní pokrytí tohoto problému.
1.Funkce y = arcsin x.
a) Pro funkci y = sin x na úsečce existuje inverzní (jednohodnotová) funkce, kterou jsme se dohodli, že budeme nazývat arkussinus a označíme ji takto: y = arkussin x. Graf inverzní funkce je symetrický s grafem hlavní funkce vzhledem k sečině úhlů souřadnic I - III.
Vlastnosti funkce y = arcsin x.
1) Definiční doména: segment [-1; 1];
2) Oblast změny: segment;
3)Funkce y = arcsin x liché: arcsin (-x) = - arcsin x;
4)Funkce y = arcsin x je monotónně rostoucí;
5) Graf protíná osy Ox, Oy v počátku.
Příklad 1. Najděte a = arcsin. Tento příklad lze podrobně formulovat následovně: najděte argument a, ležící v rozsahu od do, jehož sinus je roven.
Řešení. Existuje nespočet argumentů, jejichž sinus se rovná , například: 
atd. Nás ale zajímá pouze argument, který je na segmentu. To by byl argument. Tak, .
Příklad 2. Najděte 
.Řešení. Pokud budeme argumentovat stejným způsobem jako v příkladu 1, dostaneme 
.
b) ústní cvičení. Najděte: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Ukázka odpovědi: 
, protože 
. Mají výrazy smysl: ; arcsin 1,5; 
?
c) Seřaďte vzestupně: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.
II. Funkce y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (podobné).
Lekce 2 (2 hodiny) Téma: Inverzní goniometrické funkce, jejich grafy.
Účel: v této lekci je nutné rozvíjet dovednosti při určování hodnot goniometrických funkcí, v konstrukci grafů inverzních goniometrických funkcí pomocí D (y), E (y) a nezbytných transformací.
V této lekci dokončete cvičení, která zahrnují nalezení definičního oboru, definičního oboru hodnoty funkcí typu: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.
Měli byste sestavit grafy funkcí: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;
d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .
Příklad. Vyneseme y = arccos
Do domácího úkolu můžete zařadit následující cvičení: sestavte grafy funkcí: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .
Grafy inverzních funkcí
Lekce č. 3 (2 hodiny) Téma:
Operace s inverzními goniometrickými funkcemi.Cíl: Rozšířit matematické znalosti (to je důležité pro zájemce o obor se zvýšenými požadavky na matematickou průpravu) zavedením základních vztahů pro inverzní goniometrické funkce.
Materiál pro lekci.
Některé jednoduché goniometrické operace s inverzními goniometrickými funkcemi: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x) = x, x I R; ctg (arcctg x) = x, x I R.
Cvičení.
a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = 
.
ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .
b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Nechť arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;
cos (arcsin x) = ; hřích (arccos x) = .
Poznámka: znaménko „+“ bereme před kořen, protože a = arcsin x splňuje .
c) hřích (1,5 + arcsin).
d) ctg ( + arctg 3).
e) tg ( – arcctg 4).
e) cos (0,5 + arccos). Odpovědět: .
Vypočítat:
a) hřích (2 arctan 5) .
Nechť arctan 5 = a, pak sin 2 a = 
nebo hřích (2 arctan 5) = 
;
b) cos ( + 2 arcsin 0,8).
c) arctg + arctg.
Nechť a = arctan, b = arctan,
pak tg(a + b) = 
.
d) sin(arcsin + arcsin).
e) Dokažte, že pro všechna x I [-1; 1] true arcsin x + arccos x = .
Důkaz:
arcsin x = – arccos x
sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)
x = cos (arccos x)
Chcete-li to vyřešit sami: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).
Pro domácí řešení: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.
Lekce č. 4 (2 hodiny) Téma: Operace s inverzními goniometrickými funkcemi.
Cíl: V této lekci předveďte použití poměrů při transformaci složitějších výrazů.
Materiál pro lekci.
ORÁLNĚ:
a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);
b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);
c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());
d) tg (arccos), ctg (arccos()).
PÍSEMNĚ:
1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).
2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =
3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) = 
4) 
Samostatná práce pomůže určit úroveň zvládnutí materiálu.
| 1) tg (arctg 2 – arctg) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos |
1) cos (arcsin + arcsin) 2) hřích (1,5 - arktan 3) 3) arcctg3 – arctg 2 |
Jako domácí úkol můžete navrhnout:
1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) hřích (2 arctan); 5) tg ( (arcsin))
Lekce č. 5 (2 hodiny) Téma: Inverzní goniometrické operace s goniometrickými funkcemi.
Cíl: Rozvinout u studentů porozumění inverzním goniometrickým operacím na goniometrických funkcích se zaměřením na zvýšení porozumění studované teorii.
Při studiu tohoto tématu se předpokládá, že objem teoretického materiálu k zapamatování je omezený.
Materiál lekce:
Můžete se začít učit novou látku studiem funkce y = arcsin (sin x) a vykreslením jejího grafu.
3. Každé x I R je spojeno s y I, tzn.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Funkce je lichá: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).
6. Graf y = arcsin (sin x) na:
a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sin y = hřích ( – x) = hřích x, 0<= - x <= .
Tak, 
Po sestrojení y = arcsin (sin x) na , pokračujeme symetricky vzhledem k počátku souřadnic na [- ; 0], vzhledem k podivnosti této funkce. Pomocí periodicity pokračujeme po celé číselné ose.
Pak napište nějaké vztahy: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos A ) = a pokud 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
A proveďte následující cvičení: a) arccos (sin 2). Odpověď: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Odpověď: - 0,1; c) arctg (tg 2) Odpověď: 2 - ;
d) arcctg(tg 0,6). Odpověď: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)). e) arcsin (sin ( - 0,6)). Odpověď: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Odpověď: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Odpověď: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos