أوجد نقطة تقاطع الخطوط المعطاة بالمعادلات الأساسية. تقاطع خطين. زاوية ونقطة التقاطع

1. للعثور على إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية للدوال، تحتاج إلى مساواة كلتا الدالتين ببعضهما البعض، ونقل جميع الحدود التي تحتوي على $ x $ إلى الجانب الأيسر، والباقي إلى الجانب الأيمن، والعثور على جذور الدالة المعادلة الناتجة
2. الطريقة الثانية هي إنشاء نظام من المعادلات وحله عن طريق استبدال دالة بأخرى
3. تتضمن الطريقة الثالثة إنشاء وظائف بيانيًا وتحديد نقطة التقاطع بصريًا.

حالة وظيفتين خطيتين

خذ بعين الاعتبار وظيفتين خطيتين $ f(x) = k_1 x+m_1 $ و $ g(x) = k_2 x + m_2 $. تسمى هذه الوظائف مباشرة. من السهل جدًا إنشاءها؛ ستحتاج إلى أخذ أي قيمتين $ x_1 $ و$ x_2 $ والعثور على $ f(x_1) $ و$ (x_2) $. ثم كرر الأمر نفسه مع الدالة $ g(x) $. بعد ذلك، ابحث بصريًا عن إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية للدالة.

يجب أن تعلم أن الدوال الخطية لها نقطة تقاطع واحدة فقط وفقط عند $ k_1 \neq k_2 $. بخلاف ذلك، في حالة $ k_1=k_2 $، تكون الوظائف متوازية مع بعضها البعض، نظرًا لأن $ k $ هو معامل الميل. إذا كان $ k_1 \neq k_2 $، ولكن $ m_1=m_2 $، فإن نقطة التقاطع ستكون $ M(0;m) $. يُنصح بتذكر هذه القاعدة لحل المشكلات بسرعة.

مثال 1

دع $ f(x) = 2x-5 $ و $ g(x)=x+3 $ يُعطى. أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية للدالة.

حل

كيف افعلها؟ بما أنه تم تقديم دالتين خطيتين، فإن أول شيء ننظر إليه هو معامل الميل لكلتا الدالتين $ k_1 = 2 $ و $ k_2 = 1 $. نلاحظ أن $ k_1 \neq k_2 $، إذن هناك نقطة تقاطع واحدة. لنجدها باستخدام المعادلة $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ ننقل الحدود ذات $ x $ إلى الجانب الأيسر، والباقي إلى اليمين: $$ 2س - س = 3+5 $$ لقد حصلنا على $ x=8 $ حدود نقطة تقاطع الرسوم البيانية، والآن دعونا نوجد الإحداثي. للقيام بذلك، دعونا نعوض بـ $ x = 8 $ في أي من المعادلات، إما بـ $ f(x) $ أو بـ $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ لذلك، $ M (8;11) $ هي نقطة تقاطع الرسوم البيانية لوظيفتين خطيتين. إذا لم تتمكن من حل مشكلتك، أرسلها إلينا. وسوف نقدم حلا مفصلا. سوف تكون قادرا على عرض التقدم المحرز في الحساب والحصول على المعلومات. سيساعدك هذا في الحصول على درجتك من معلمك في الوقت المناسب!

إجابة

$$ م (8;11) $$

حالة وظيفتين غير الخطية

مثال 3

ابحث عن إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية للدالة: $ f(x)=x^2-2x+1 $ و $ g(x)=x^2+1 $

حل

ماذا عن وظيفتين غير خطيتين؟ الخوارزمية بسيطة: نقوم بمساواة المعادلات مع بعضها البعض وإيجاد الجذور: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ نقوم بتوزيع الحدود مع وبدون $ x $ على أطراف مختلفة من المعادلة: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ لقد تم العثور على حدود النقطة المطلوبة، ولكنها ليست كافية. الإحداثي $y$ لا يزال مفقودًا. نعوض بـ $ x = 0 $ في أي من معادلتي حالة المشكلة. على سبيل المثال: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - نقطة تقاطع الرسوم البيانية للوظائف

إجابة

$$ م (0;1) $$

عند حل بعض المسائل الهندسية باستخدام الطريقة الإحداثية، عليك إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط. في أغلب الأحيان يتعين عليك البحث عن إحداثيات نقطة تقاطع خطين على المستوى، ولكن في بعض الأحيان تكون هناك حاجة لتحديد إحداثيات نقطة تقاطع خطين في الفضاء. سنتناول في هذه المقالة إيجاد إحداثيات النقطة التي يتقاطع عندها الخطان.

التنقل في الصفحة.

نقطة تقاطع خطين هي تعريف.

دعونا أولا نحدد نقطة تقاطع خطين.

في القسم الخاص بالموضع النسبي للخطوط على المستوى، يظهر أن الخطين الموجودين على المستوى يمكن أن يتطابقا (ويحتويان على عدد لا نهائي من النقاط المشتركة)، أو يكونا متوازيين (ولا يوجد خطان ليس لهما نقاط مشتركة)، أو يتقاطعان ، وجود نقطة مشتركة واحدة. هناك المزيد من الخيارات للموضع النسبي لخطين في الفضاء - يمكن أن يتطابقا (يحتويان على عدد لا نهائي من النقاط المشتركة)، ويمكن أن يكونا متوازيين (أي يقعان في نفس المستوى ولا يتقاطعان)، ويمكن أن يتقاطعا (ليسا تقع في نفس المستوى)، ويمكن أن يكون لها أيضًا نقطة مشتركة واحدة، وهي التقاطع. لذلك، يسمى الخطان الموجودان على المستوى وفي الفضاء متقاطعين إذا كان لديهما نقطة مشتركة واحدة.

ويتبع من تعريف الخطوط المتقاطعة تحديد نقطة تقاطع الخطوط: النقطة التي يتقاطع عندها خطان تسمى نقطة تقاطع هذين الخطين. بمعنى آخر، النقطة المشتركة الوحيدة بين خطين متقاطعين هي نقطة تقاطع هذين الخطين.

وللتوضيح، نقدم رسما توضيحيا لنقطة تقاطع خطين مستقيمين على المستوى وفي الفضاء.

أعلى الصفحة

إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع خطين على المستوى.

قبل إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع خطين مستقيمين على المستوى باستخدام معادلاتهما المعروفة، فكر في مسألة مساعدة.

أوكسي أو ب. وسوف نفترض ذلك مباشرة أيتوافق مع معادلة عامة للخط المستقيم من الشكل، والخط المستقيم ب- يكتب . دعونا نكون نقطة ما على متن الطائرة، ونحن بحاجة لمعرفة ما إذا كانت هذه النقطة م 0نقطة تقاطع الخطوط المحددة.

دعونا نحل المشكلة.

لو م0 أو ب، فهو بحكم التعريف ينتمي أيضًا إلى السطر أومستقيم بأي أن إحداثياتها يجب أن تحقق كلاً من المعادلة والمعادلة. ومن ثم، علينا التعويض بإحداثيات النقطة م 0في معادلات الخطوط المعطاة ومعرفة ما إذا كان هذا يؤدي إلى معادلتين صحيحتين. إذا كانت إحداثيات النقطة م 0حقق كلا المعادلتين، ثم هي نقطة تقاطع الخطين أو ب، خلاف ذلك م 0 .

هي النقطة م 0مع الإحداثيات (2, -3) نقطة تقاطع الخطوط 5x-2y-16=0و 2x-5y-19=0?

لو م 0هي بالفعل نقطة تقاطع الخطوط المعطاة، فإن إحداثياتها تحقق معادلات الخطوط. دعونا نتحقق من ذلك عن طريق استبدال إحداثيات النقطة م 0في المعادلات المعطاة:

لقد حصلنا على مساواة حقيقية، وبالتالي، م 0 (2، -3)- نقطة تقاطع الخطوط 5x-2y-16=0و 2x-5y-19=0.

وللتوضيح نقدم رسما يوضح الخطوط المستقيمة وتكون إحداثيات نقاط تقاطعها مرئية.

نعم الفترة م 0 (2، -3)هي نقطة تقاطع الخطوط 5x-2y-16=0و 2x-5y-19=0.

هل تتقاطع الخطوط؟ 5س+3ص-1=0و 7س-2ص+11=0عند هذه النقطة م 0 (2، -3)?

دعونا نعوض بإحداثيات النقطة م 0في معادلات الخطوط المستقيمة، سيتحقق هذا الإجراء مما إذا كانت النقطة تنتمي إليها م 0كلا الخطين المستقيمين في نفس الوقت:

منذ المعادلة الثانية عند استبدال إحداثيات النقطة فيها م 0لم تتحول إلى مساواة حقيقية، ثم نقطة م 0لا ينتمي إلى الخط 7س-2ص+11=0. ومن هذه الحقيقة يمكننا أن نستنتج أن هذه النقطة م 0ليست نقطة تقاطع الخطوط المعطاة.

الرسم يظهر بوضوح أيضا أن هذه النقطة م 0ليست نقطة تقاطع الخطوط 5س+3ص-1=0و 7س-2ص+11=0. من الواضح أن الخطوط المعطاة تتقاطع عند نقطة ذات إحداثيات (-1, 2) .

م 0 (2، -3)ليست نقطة تقاطع الخطوط 5س+3ص-1=0و 7س-2ص+11=0.

يمكننا الآن الانتقال إلى مهمة إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع خطين باستخدام معادلات الخطوط المعطاة على المستوى.

دع نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة يكون ثابتًا على المستوى أوكسيوأعطى خطين متقاطعين أو بالمعادلات وعلى التوالي. دعونا نشير إلى نقطة تقاطع الخطوط المعطاة كـ م 0وحل المسألة التالية: أوجد إحداثيات نقطة تقاطع خطين أو بحسب المعادلات المعروفة لهذه الخطوط و .

نقطة م0ينتمي إلى كل من الخطوط المتقاطعة أو بأ-بريوري. ثم إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط أو بتلبية كل من المعادلة والمعادلة. وبالتالي، فإن إحداثيات نقطة تقاطع الخطين أو بهي الحل لنظام المعادلات (انظر مقالة حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية).

وبالتالي، من أجل العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين مستقيمين محددين على المستوى بواسطة معادلات عامة، تحتاج إلى حل نظام يتكون من معادلات لخطوط مستقيمة معينة.

دعونا نلقي نظرة على الحل المثال.

أوجد نقطة تقاطع خطين محددين في نظام إحداثي مستطيل على المستوى بواسطة المعادلات س-9ص+14=0و 5x-2y-16=0.

لقد حصلنا على معادلتين عامتين للخطوط، فلنصنع منهما نظامًا: . يمكن العثور بسهولة على حلول نظام المعادلات الناتج عن طريق حل معادلته الأولى بالنسبة للمتغير سواستبدل هذا التعبير في المعادلة الثانية:

الحل الموجود لنظام المعادلات يعطينا الإحداثيات المطلوبة لنقطة تقاطع الخطين.

م 0 (4، 2)- نقطة تقاطع الخطوط س-9ص+14=0و 5x-2y-16=0.

لذا، فإن إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع خطين مستقيمين، محددين بمعادلات عامة على المستوى، يؤدي إلى حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين مجهولين. ولكن ماذا لو لم يتم إعطاء الخطوط الموجودة على المستوى بواسطة معادلات عامة، ولكن من خلال معادلات من نوع مختلف (انظر أنواع معادلات الخط على المستوى)؟ في هذه الحالات، يمكنك أولاً تقليل معادلات الخطوط إلى شكل عام، وبعد ذلك فقط يمكنك العثور على إحداثيات نقطة التقاطع.

قبل إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط المعطاة، نقوم بتحويل معادلاتها إلى الصورة العامة. يبدو الانتقال من المعادلات البارامترية للخط إلى المعادلة العامة لهذا الخط كما يلي:

لنقم الآن بتنفيذ الإجراءات اللازمة باستخدام المعادلة الأساسية للخط المستقيم:

وبالتالي فإن الإحداثيات المطلوبة لنقطة تقاطع الخطوط هي حل لنظام المعادلات من الشكل . نستخدم طريقة كريمر لحلها:

م 0 (-5، 1)

هناك طريقة أخرى للعثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين على المستوى. إنه مناسب للاستخدام عندما يتم إعطاء أحد الخطين بواسطة معادلات بارامترية من النموذج والآخر بمعادلة خطية من نوع مختلف. وفي هذه الحالة، في معادلة أخرى بدلا من المتغيرات سو ذيمكنك استبدال التعبيرات و، حيث يمكنك الحصول على القيمة التي تتوافق مع نقطة تقاطع الخطوط المحددة. في هذه الحالة، نقطة تقاطع الخطوط لها إحداثيات.

لنجد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط من المثال السابق باستخدام هذه الطريقة.

تحديد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط و .

لنعوض بتعبير الخط المستقيم في المعادلة:

وبحل المعادلة الناتجة نحصل على . تتوافق هذه القيمة مع النقطة المشتركة بين الخطوط و . نحسب إحداثيات نقطة التقاطع عن طريق استبدال خط مستقيم في المعادلات البارامترية:
.

م 0 (-5، 1).

لإكمال الصورة، ينبغي مناقشة نقطة أخرى.

قبل العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين على المستوى، من المفيد التأكد من تقاطع الخطوط المعطاة بالفعل. إذا اتضح أن الخطوط الأصلية متطابقة أو متوازية، فلا يمكن أن يكون هناك خطاب حول العثور على إحداثيات نقطة تقاطع هذه الخطوط.

يمكنك، بالطبع، الاستغناء عن هذا الاختيار، ولكن على الفور إنشاء نظام معادلات النموذج وحلها. إذا كان لنظام المعادلات حل فريد، فإنه يعطي إحداثيات النقطة التي تتقاطع عندها الخطوط الأصلية. إذا لم يكن لنظام المعادلات حلول، فيمكننا أن نستنتج أن الخطوط الأصلية متوازية (نظرًا لعدم وجود مثل هذا الزوج من الأعداد الحقيقية) سو ذ، والتي من شأنها أن تلبي كلتا المعادلتين للخطوط المحددة في نفس الوقت). من وجود عدد لا حصر له من الحلول لنظام المعادلات، يترتب على ذلك أن الخطوط المستقيمة الأصلية تحتوي على عدد لا نهائي من النقاط المشتركة، أي أنها متطابقة.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة التي تناسب هذه المواقف.

اكتشف ما إذا كانت الخطوط متقاطعة، وإذا كانت متقاطعة، فابحث عن إحداثيات نقطة التقاطع.

المعادلات المعطاة للخطوط تتوافق مع المعادلات و . دعونا نحل النظام المكون من هذه المعادلات.

ومن الواضح أن معادلات النظام يتم التعبير عنها خطياً من خلال بعضها البعض (يتم الحصول على المعادلة الثانية للنظام من الأولى بضرب جزأين في 4 )، وبالتالي فإن نظام المعادلات لديه عدد لا حصر له من الحلول. وبالتالي فإن المعادلات تحدد نفس الخط، ولا يمكننا الحديث عن إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع هذه الخطوط.

المعادلات ويتم تعريفها في نظام الإحداثيات مستطيلة أوكسينفس الخط المستقيم، لذا لا يمكننا الحديث عن إيجاد إحداثيات نقطة التقاطع.

أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط و إن أمكن.

تسمح حالة المشكلة بعدم تقاطع الخطوط. دعونا ننشئ نظامًا من هذه المعادلات. دعونا نطبق طريقة غاوس لحلها، لأنها تتيح لنا إثبات التوافق أو عدم التوافق لنظام من المعادلات، وإذا كان متوافقاً، نجد الحل:

المعادلة الأخيرة للنظام بعد المرور المباشر لطريقة غاوس تحولت إلى مساواة غير صحيحة، وبالتالي فإن نظام المعادلات ليس له حلول. ومن هذا نستنتج أن المستقيمين الأصليين متوازيان، ولا يمكن الحديث عن إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع هذه الخطوط.

الحل الثاني.

دعونا معرفة ما إذا كانت الخطوط المحددة تتقاطع.

المتجه العادي هو الخط، والمتجه هو المتجه العادي للخط. دعونا نتحقق من أن شرط العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات و: المساواة صحيح، حيث أن المتجهات العادية للخطوط المستقيمة المعطاة تكون على خط واحد. ثم تكون هذه الخطوط متوازية أو متطابقة. ومن ثم، لا يمكننا إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخطين الأصليين.

من المستحيل إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط المعطاة، لأن هذه الخطوط متوازية.

أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط 2س-1=0و إذا تقاطعا.

لنقم بتكوين نظام من المعادلات عبارة عن معادلات عامة لخطوط معينة: . محدد المصفوفة الرئيسية لنظام المعادلات هذا هو غير صفر، وبالتالي فإن نظام المعادلات لديه حل فريد، مما يشير إلى تقاطع الخطوط المعطاة.

للعثور على إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط، علينا حل النظام:

الحل الناتج يعطينا إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط، أي نقطة تقاطع الخطوط 2س-1=0و .

أعلى الصفحة

إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع خطين في الفضاء.

تم العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين في الفضاء ثلاثي الأبعاد بالمثل.

دع الخطوط المتقاطعة أو بالمحدد في نظام الإحداثيات مستطيلة أوكيزمعادلات مستويين متقاطعين، أي خط مستقيم أيتم تحديده من خلال نظام الشكل والخط المستقيم ب- . يترك م 0- نقطة تقاطع الخطوط أو ب. ثم أشر م 0بحكم التعريف ينتمي أيضا إلى الخط أومستقيم بوبالتالي فإن إحداثياته ​​تحقق معادلات كلا الخطين. وبالتالي، إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط أو بتمثل حلاً لنظام المعادلات الخطية من الشكل . سنحتاج هنا إلى معلومات من القسم الخاص بحل أنظمة المعادلات الخطية التي لا يتطابق فيها عدد المعادلات مع عدد المتغيرات غير المعروفة.

دعونا نلقي نظرة على حلول الأمثلة.

أوجد إحداثيات نقطة تقاطع خطين محددين في الفضاء بواسطة المعادلات و .

دعونا نؤلف نظام المعادلات من معادلات الخطوط المعطاة: . حل هذا النظام سيعطينا الإحداثيات المطلوبة لنقطة تقاطع الخطوط في الفضاء. دعونا نجد الحل لنظام المعادلات المكتوبة.

المصفوفة الرئيسية للنظام لها الشكل والمصفوفة الموسعة - .

دعونا نحدد رتبة المصفوفة أورتبة المصفوفة ت. نحن نستخدم طريقة تحديد الحدود للقاصرين، لكننا لن نصف بالتفصيل حساب المحددات (إذا لزم الأمر، راجع المقالة حساب محدد المصفوفة):

وبالتالي فإن رتبة المصفوفة الرئيسية تساوي رتبة المصفوفة الموسعة وتساوي ثلاثة.

وبالتالي، فإن نظام المعادلات لديه حل فريد.

سنأخذ المحدد كأساس ثانوي، لذلك يجب استبعاد المعادلة الأخيرة من نظام المعادلات، لأنها لا تشارك في تكوين الأساس الأصغر. لذا،

من السهل العثور على حل النظام الناتج:

وبالتالي، فإن نقطة تقاطع الخطوط لها إحداثيات (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

وتجدر الإشارة إلى أن نظام المعادلات له حل فريد إذا وفقط إذا كانت الخطوط المستقيمة أو بتتقاطع. إذا كان مستقيما أو بمتوازيًا أو متقاطعًا، فإن نظام المعادلات الأخير ليس له حلول، لأنه في هذه الحالة لا تحتوي الخطوط على نقاط مشتركة. إذا كان مستقيما أو بمتطابقة، فإن لديهم عدد لا حصر له من النقاط المشتركة، وبالتالي فإن نظام المعادلات المشار إليه لديه عدد لا حصر له من الحلول. ومع ذلك، في هذه الحالات لا يمكننا الحديث عن إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط، لأن الخطوط غير متقاطعة.

وبالتالي، إذا كنا لا نعرف مقدما ما إذا كانت الخطوط المعطاة تتقاطع أو بأم لا، فمن المعقول إنشاء نظام معادلات من النموذج وحلها بطريقة غاوس. إذا حصلنا على حل فريد، فسوف يتوافق مع إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط أو ب. إذا تبين أن النظام غير متناسق، فالمباشر أو بلا تتقاطع. إذا كان للنظام عدد لا نهائي من الحلول، فالخطوط المستقيمة أو بتطابق.

يمكنك الاستغناء عن استخدام الطريقة الغوسية. بدلا من ذلك، يمكنك حساب صفوف المصفوفات الرئيسية والممتدة لهذا النظام، وبناء على البيانات التي تم الحصول عليها ونظرية كرونيكر-كابيلي، نستنتج إما وجود حل واحد، أو وجود العديد من الحلول، أو عدم وجود حل واحد. حلول. إنها مسألة ذوق.

إذا تقاطعت الخطوط، فحدد إحداثيات نقطة التقاطع.

لنقم بإنشاء نظام من المعادلات المعطاة: . دعونا نحلها باستخدام الطريقة الغوسية في شكل مصفوفة:

أصبح من الواضح أن نظام المعادلات ليس له حلول، وبالتالي فإن الخطوط المعطاة لا تتقاطع، ولا يمكن أن يكون هناك شك في إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع هذه الخطوط.

لا يمكننا إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط المعطاة، لأن هذه الخطوط لا تتقاطع.

عندما يتم إعطاء الخطوط المتقاطعة بواسطة معادلات قانونية لخط في الفضاء أو معادلات بارامترية لخط في الفضاء، فيجب أولاً الحصول على معادلاتها في شكل طائرتين متقاطعتين، وبعد ذلك فقط ابحث عن إحداثيات نقطة التقاطع.

تم تحديد خطين متقاطعين في نظام إحداثيات مستطيل أوكيزالمعادلات و. أوجد إحداثيات نقطة تقاطع هذه الخطوط.

دعونا نحدد الخطوط المستقيمة الأولية بمعادلات طائرتين متقاطعتين:

للعثور على إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط، يبقى حل نظام المعادلات. رتبة المصفوفة الرئيسية لهذا النظام تساوي رتبة المصفوفة الموسعة وتساوي ثلاثة (نوصي بالتحقق من هذه الحقيقة). دعونا نأخذ كأساس ثانوي، لذلك يمكننا استبعاد المعادلة الأخيرة من النظام. وبعد حل النظام الناتج باستخدام أي طريقة (على سبيل المثال، طريقة كرامر)، نحصل على الحل. وبالتالي، فإن نقطة تقاطع الخطوط لها إحداثيات (-2, 3, -5) .

نقطة التقاطع

دعونا نعطي خطين مستقيمين، محددين بمعاملاتهما و . تحتاج إلى العثور على نقطة التقاطع، أو معرفة أن الخطوط متوازية.

حل

إذا كان المستقيمان غير متوازيين فإنهما متقاطعان. للعثور على نقطة التقاطع يكفي إنشاء نظام من معادلتين للخط المستقيم وحلها:

باستخدام صيغة كرامر، نجد على الفور حلاً للنظام، وهو الحل المطلوب نقطة التقاطع:

إذا كان المقام صفراً، أي.

ثم النظام ليس لديه حلول (direct موازيولا تتطابق) أو لديها عدد لا نهائي (مباشر مباراة). وإذا كان لا بد من التمييز بين هاتين الحالتين، فلا بد من التأكد من أن معاملات الخطوط متناسبة مع نفس معامل التناسب مثل المعاملات و، والتي يكفي لها حساب المحددين إذا كانا كلاهما؛ يساوي الصفر، فإن السطور متطابقة:

تطبيق

البنية pt(double x, y;); خط الهيكل (مزدوج أ، ب، ج؛)؛ ربحية السهم المزدوجة = 1e-9؛ det مزدوج (double a، double b، double c، double d)(return a * d - b * c;) bool intersect (line m، line n، pt & res) (double zn = det (m.a، m.b، n.a ، ن.ب)؛إذا (عبس (زن)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

درس من سلسلة " الخوارزميات الهندسية»

مرحبا عزيزي القارئ.

نصيحة 1: كيفية العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين

دعونا نكتب ثلاث وظائف جديدة أخرى.

ستحدد الدالة LinesCross() ما إذا كان تتقاطعسواء كان اثنان شريحة. في ذلك، يتم تحديد الموضع النسبي للقطاعات باستخدام منتجات المتجهات. لحساب منتجات المتجهات، سنكتب دالة – ​​VektorMulti().

سيتم استخدام الدالة RealLess() لتنفيذ عملية المقارنة "<” (строго меньше) для вещественных чисел.

مهمة 1. يتم إعطاء جزأين بواسطة إحداثياتهما. اكتب البرنامج الذي يحدد هل تتقاطع هذه القطع؟دون العثور على نقطة التقاطع.

حل
. والثاني يعطى بالنقاط.

النظر في الجزء والنقاط و .

تقع النقطة على يسار الخط، فهي حاصل الضرب المتجه > 0، لأن المتجهات موجهة بشكل إيجابي.

تقع النقطة على يمين الخط الذي يوجد به منتج المتجه < 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

وحتى تكون النقاط على طرفي نقيض من الخط المستقيم يكفي أن يكون الشرط متوافرا< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

يمكن تنفيذ تفكير مماثل للقطعة والنقاط و .

حتى إذا ، ثم تتقاطع الأجزاء.

للتحقق من هذا الشرط، يتم استخدام الدالة LinesCross()، ويتم استخدام الدالة VektorMulti() لحساب المنتجات المتجهة.

الفأس، المنعم يوسف – إحداثيات المتجه الأول،

bx، بواسطة – إحداثيات المتجه الثاني.

برنامج Geometr4؛ (هل يتقاطع الجزءان؟) Const _Eps: Real=1e-4; (دقة الحساب) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: حقيقي; var v1,v2,v3,v4: real;function RealLess(Const a, b: Real): Boolean; (بدقة أقل من) تبدأ RealLess:= b-a> _Eps end؛ (RealLess) وظيفة VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): حقيقي; (ax,ay - إحداثيات bx,by - b إحداثيات) begin vektormulti:= ax*by-bx*ay; end;Function LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): منطقي; (هل تتقاطع المقاطع؟) تبدأ v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); إذا كان RealLess(v1*v2,0) وRealLess(v3*v4,0) (v1v2)<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

نتائج تنفيذ البرنامج:

أدخل إحداثيات المقاطع: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
نعم.

لقد كتبنا برنامجًا يحدد ما إذا كانت القطع المحددة بإحداثياتها تتقاطع أم لا.

في الدرس التالي، سنقوم بإنشاء خوارزمية يمكن استخدامها لتحديد ما إذا كانت النقطة تقع داخل المثلث.

عزيزي القارئ.

لقد تعرفت بالفعل على العديد من الدروس من سلسلة الخوارزميات الهندسية. هل كل شيء مكتوب بطريقة يسهل الوصول إليها؟ سأكون ممتنًا جدًا إذا تركت تعليقات حول هذه الدروس. ربما لا يزال هناك شيء يحتاج إلى تحسين.

مع خالص التقدير، فيرا جوسبوداريتس.

دعونا نعطي جزأين. يتم إعطاء الأول بالنقاط ف 1 (س 1 ؛ص 1)و ف 2 (س 2 ؛ ص 2). والثاني يتم إعطاءه بالنقاط ص 3 (× 3 ؛ص 3)و ص 4 (× 4 ؛ص 4).

يمكن التحقق من الموضع النسبي للقطاعات باستخدام منتجات المتجهات:

النظر في هذا الجزء ص 3 ص 4والنقاط ص 1و ص2.

نقطة ص 1تقع على يسار الخط ص 3 ص 4، لها المنتج المتجه الخامس 1 > 0، لأن المتجهات موجهة بشكل إيجابي.
نقطة ص2يقع على يمين السطر، لأنه المنتج المتجه ضد 2< 0 ، لأن المتجهات موجهة بشكل سلبي.

لتوضيح هذه النقطة ص 1و ص2تقع على جانبي متقابلين من خط مستقيم ص 3 ص 4، فإنه يكفي لتحقيق الشرط ضد 1 ضد 2< 0 (كانت المنتجات المتجهة لها علامات معاكسة).

ويمكن تنفيذ منطق مماثل لهذا القطاع ف1 ف2والنقاط ص 3و ص 4.

حتى إذا ضد 1 ضد 2< 0 و الخامس 3 ضد 4< 0 ، ثم تتقاطع الأجزاء.

يتم حساب المنتج المتقاطع لمتجهين باستخدام الصيغة:

أين:
فأس, نعم- إحداثيات المتجه الأول،
bx, بواسطة— إحداثيات المتجه الثاني.

معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين مختلفتين تحددهما إحداثياتهما.

افترض وجود نقطتين غير متطابقتين على خط مستقيم: ص 1بالإحداثيات ( × 1 ؛ص 1)و ص2مع الإحداثيات (س 2 ؛ ص 2).

تقاطع الخطوط

وبناء على ذلك، فإن المتجه له أصل عند هذه النقطة ص 1وتنتهي عند نقطة ما ص2لديه إحداثيات (س 2 -س 1 , ص 2 -ص 1). لو ف(س، ص)هي نقطة تعسفية على الخط، ثم إحداثيات المتجه ص 1 صمتساوي (س - س 1، ص - ص 1).

باستخدام منتج المتجهات، شرط العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات ص 1 صو ف1 ف2يمكن كتابتها مثل هذا:
|P 1 P,P 1 P 2 |=0، أي. (س-س 1)(ص 2 -ص 1)-(ص-ص 1)(س 2 -س 1)=0
أو
(ص 2 -ص 1)س + (س 1 -س 2)ص + س 1 (ص 1 -ص 2) + ص 1 (س 2 -س 1) = 0

تتم إعادة كتابة المعادلة الأخيرة على النحو التالي:
الفأس + بواسطة + ج = 0، (1)
أين
أ = (ص 2 -ص 1)،
ب = (س 1 - س 2)،
ج = س 1 (ص 1 -ص 2) + ص 1 (س 2 - س 1)

لذلك يمكن تحديد الخط المستقيم بمعادلة على الصورة (1).

كيفية العثور على نقطة تقاطع الخطوط؟
الحل الواضح هو حل نظام المعادلات الخطية:

الفأس 1 + بمقدار 1 = -ج 1
الفأس 2 + ب 2 = - ج 2 (2)

أدخل الرموز:

هنا دهو المحدد للنظام، و دي إكس، دي- المحددات الناتجة عن استبدال عمود المعاملات بالمجهول المقابل بعمود المصطلحات الحرة. لو د ≠ 0، فإن النظام (2) محدد، أي أن له حلًا فريدًا. يمكن العثور على هذا الحل باستخدام الصيغ التالية: × 1 =د × /د، ص 1 =د ذ /دوالتي تسمى صيغ كرامر. تذكير سريع بكيفية حساب محدد الدرجة الثانية. يميز المحدد بين قطرين: الرئيسي والثانوي. يتكون القطر الرئيسي من عناصر مأخوذة في الاتجاه من الزاوية اليسرى العليا للمحدد إلى الزاوية اليمنى السفلية. قطري جانبي - من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار. المحدد الثاني يساوي حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي مطروحًا منه حاصل ضرب عناصر القطر الثانوي.