ในบทความนี้คุณจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นโดยใช้การคำนวณอินทิกรัล เป็นครั้งแรกที่เราเผชิญกับการกำหนดปัญหาดังกล่าวในโรงเรียนมัธยมปลาย เมื่อเราเพิ่งเสร็จสิ้นการศึกษาอินทิกรัลจำกัดขอบเขต และถึงเวลาที่จะเริ่มการตีความทางเรขาคณิตของความรู้ที่ได้รับในทางปฏิบัติ

ดังนั้นสิ่งที่จำเป็นในการแก้ปัญหาการค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัล:

• ความสามารถในการเขียนแบบที่มีความสามารถ
• ความสามารถในการแก้อินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซที่รู้จักกันดี
• ความสามารถในการ "เห็น" ตัวเลือกโซลูชันที่ให้ผลกำไรมากขึ้น - เช่น เข้าใจว่าการดำเนินการบูรณาการในกรณีใดกรณีหนึ่งจะสะดวกกว่าอย่างไร ตามแนวแกน x (OX) หรือแกน y (OY)?
• แล้วเราจะอยู่ที่ไหนถ้าไม่มีการคำนวณที่ถูกต้อง?) ซึ่งรวมถึงการทำความเข้าใจวิธีแก้อินทิกรัลประเภทอื่นและการคำนวณตัวเลขที่ถูกต้อง

อัลกอริทึมในการแก้ปัญหาการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น:

1. เรากำลังสร้างภาพวาด ขอแนะนำให้ทำเช่นนี้บนกระดาษตาหมากรุกในขนาดใหญ่ เราเซ็นชื่อของฟังก์ชันนี้ด้วยดินสอเหนือแต่ละกราฟ การลงนามกราฟจะทำเพื่อความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติมเท่านั้น เมื่อได้รับกราฟของตัวเลขที่ต้องการแล้ว ในกรณีส่วนใหญ่จะชัดเจนทันทีว่าจะใช้ขีดจำกัดการรวมแบบใด ดังนั้นเราจึงแก้ปัญหาแบบกราฟิก อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่ค่าของขีดจำกัดนั้นเป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล ดังนั้นคุณสามารถคำนวณเพิ่มเติมได้ โดยไปที่ขั้นตอนที่สอง

2. หากไม่ได้ระบุขีดจำกัดของการรวมไว้อย่างชัดเจน เราจะค้นหาจุดตัดกันของกราฟด้วยกันและดูว่าโซลูชันกราฟิกของเราสอดคล้องกับจุดตัดเชิงวิเคราะห์หรือไม่

3. ถัดไปคุณต้องวิเคราะห์ภาพวาด มีวิธีการต่างๆ ในการค้นหาพื้นที่ของรูป ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการจัดเรียงกราฟฟังก์ชัน ลองดูตัวอย่างต่างๆ ในการค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัล

3.1. ปัญหาที่คลาสสิกและง่ายที่สุดคือเมื่อคุณต้องการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคืออะไร? นี่คือรูปทรงแบนที่ถูกจำกัดด้วยแกน x (ย = 0), ตรง x = ก, x = ขและเส้นโค้งใดๆ ที่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาจาก กก่อน ข- นอกจากนี้ ตัวเลขนี้ไม่เป็นลบและไม่ต่ำกว่าแกน x ในกรณีนี้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอนซึ่งคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

ตัวอย่างที่ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

รูปนี้ล้อมรอบด้วยเส้นอะไร? เรามีพาราโบลา y = x2 – 3x + 3ซึ่งอยู่เหนือแกน โอ้ไม่เป็นลบเพราะว่า ทุกจุดของพาราโบลานี้มีค่าบวก ต่อไปให้เส้นตรง x = 1และ x = 3ซึ่งวิ่งขนานกับแกน อู๋คือเส้นเขตแดนของรูปด้านซ้ายและขวา ดี ย = 0นอกจากนี้ยังเป็นแกน x ซึ่งจำกัดตัวเลขจากด้านล่าง รูปที่ได้ออกมาจะเป็นสีเทา ดังที่เห็นได้จากรูปทางด้านซ้าย ในกรณีนี้ คุณสามารถเริ่มแก้ไขปัญหาได้ทันที ตรงหน้าเราเป็นตัวอย่างง่ายๆ ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ซึ่งเราจะแก้โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

3.2. ในย่อหน้าที่ 3.1 ก่อนหน้า เราได้ตรวจสอบกรณีที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่เหนือแกน x ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่เงื่อนไขของปัญหาเหมือนกัน ยกเว้นว่าฟังก์ชันอยู่ใต้แกน x เครื่องหมายลบจะถูกเพิ่มเข้าไปในสูตรมาตรฐานของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 2 - คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

ในตัวอย่างนี้ เรามีพาราโบลา y = x2 + 6x + 2ซึ่งมีต้นกำเนิดมาจากแกน โอ้, ตรง x = -4, x = -1, y = 0- ที่นี่ ย = 0จำกัดตัวเลขที่ต้องการจากด้านบน โดยตรง x = -4และ x = -1สิ่งเหล่านี้คือขอบเขตที่จะคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต หลักการแก้ปัญหาการหาพื้นที่ของรูปเกือบจะเกิดขึ้นพร้อมกับตัวอย่างหมายเลข 1 ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือฟังก์ชันที่กำหนดนั้นไม่เป็นค่าบวกและยังต่อเนื่องในช่วงเวลานั้นด้วย [-4; -1] - คุณหมายถึงอะไรที่ไม่เป็นบวก? ดังที่เห็นได้จากรูป ตัวเลขที่อยู่ในค่า x ที่ให้มานั้นมีพิกัด "ลบ" โดยเฉพาะ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องเห็นและจดจำเมื่อแก้ไขปัญหา เราค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซโดยมีเครื่องหมายลบอยู่ที่จุดเริ่มต้นเท่านั้น

บทความยังไม่เสร็จสมบูรณ์

มาดูการประยุกต์ใช้แคลคูลัสอินทิกรัลกันต่อ ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์งานทั่วไปและงานทั่วไปที่สุด การคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวน- สุดท้ายนี้ ให้ทุกคนที่แสวงหาความหมายในคณิตศาสตร์ชั้นสูงค้นพบมัน คุณไม่เคยรู้. ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณพล็อตเดชาโดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน และค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวน

หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาให้สำเร็จ คุณต้อง:

1) ทำความเข้าใจอินทิกรัลไม่ จำกัด อย่างน้อยในระดับกลาง ดังนั้นหุ่นควรอ่านบทเรียนก่อน ไม่.

2) สามารถใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซและคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตได้ คุณสามารถสร้างความสัมพันธ์ฉันมิตรอันอบอุ่นกับอินทิกรัลบางอย่างบนเพจได้ อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหา. งาน “คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัด” มักจะเกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นประเด็นที่เกี่ยวข้องเช่นกัน อย่างน้อยที่สุด คุณจะต้องสามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งกันก่อน สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง ย = ฉ(x) แกน วัวและเส้น x = ก; x = ข.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอน

อินทิกรัลจำกัดจำนวนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในบทเรียน อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหาเราบอกว่าอินทิกรัลจำกัดจำนวนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวถึงข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตคือ AREA- นั่นคือ, อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) จะสอดคล้องกับพื้นที่ของรูปใดรูปหนึ่งทางเรขาคณิต- พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต

ปริพันธ์

กำหนดเส้นโค้งบนระนาบ (สามารถวาดได้หากต้องการ) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีค่าเท่ากับตัวเลขกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

, , , .

นี่คือคำสั่งมอบหมายงานทั่วไป จุดที่สำคัญที่สุดในการตัดสินใจคือการสร้างแบบร่าง- นอกจากนี้จะต้องสร้างแบบเขียนแบบด้วย ขวา.

เมื่อสร้างภาพวาดฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: ตอนแรกจะดีกว่าถ้าสร้างเส้นตรงทั้งหมด (ถ้ามี) และเท่านั้น แล้ว– พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ เทคนิคการก่อสร้างแบบจุดต่อจุดสามารถพบได้ในเอกสารอ้างอิง กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น- ที่นั่นคุณยังสามารถค้นหาสื่อที่มีประโยชน์มากสำหรับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะเช่นนี้

มาวาดรูปกันดีกว่า (โปรดสังเกตว่าสมการ ย= 0 ระบุแกน วัว):

เราจะไม่แรเงาสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ตรงนี้ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงบริเวณใด การแก้ปัญหายังคงดำเนินต่อไปเช่นนี้:

ในส่วน [-2; 1] กราฟฟังก์ชัน ย = x 2 + 2 ตั้งอยู่ เหนือแกนวัวนั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ: .

ใครมีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตและประยุกต์สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

,

อ้างถึงการบรรยาย อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหา- หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด "ด้วยตา" - จะมีประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบ: 20 ตารางหน่วยก็ชัดเจนว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหา อย่างน้อยที่สุดก็หนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น เอ็กซ์ซี = 4, x = 2, x= 4 และแกน วัว.

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลาวัว?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = อดีต, x= 1 และแกนพิกัด

วิธีแก้ปัญหา: มาวาดรูปกันเถอะ:

ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ตั้งอยู่ใต้แกนโดยสมบูรณ์ วัว จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:

ในกรณีนี้:

.

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้แค่อินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ค่านั้นอาจเป็นค่าลบ

2) หากคุณถูกขอให้ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือสาเหตุที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งกล่าวถึง

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้น จากปัญหาที่ง่ายที่สุดของโรงเรียน เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = 2x – x 2 , ย = -x.

วิธีแก้ปัญหา: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากัน ย = 2x – x 2 และตรง ย = -x- ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการบูรณาการ ก= 0 ขีดจำกัดบนของการรวม ข= 3. มักจะสร้างผลกำไรได้มากกว่าและเร็วกว่าในการสร้างบรรทัดทีละจุด และขีดจำกัดของการบูรณาการจะชัดเจน "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:

ขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการบูรณาการมักถูกกำหนด "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน:

หากอยู่ในส่วน [ ก; ข] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ฉ(x) มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชั่นต่อเนื่องบางอย่าง ก(x) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ของรูปที่เกี่ยวข้องได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดถึงตำแหน่งของรูปอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกนอีกต่อไป มันสำคัญว่ากราฟไหนสูงกว่า(สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าบนส่วนพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจาก 2 x – x 2 ต้องถูกลบ – x.

โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลา ย = 2x – x 2 ด้านบนและตรง ย = -xด้านล่าง.

บนส่วนที่ 2 x – x 2 ≥ -x- ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ: .

ที่จริงแล้วสูตรของโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างที่ 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร

.

เพราะว่าแกน วัวกำหนดโดยสมการ ย= 0 และกราฟของฟังก์ชัน ก(x) ซึ่งอยู่ใต้แกน วัว, ที่

.

และตอนนี้มีตัวอย่างบางส่วนสำหรับโซลูชันของคุณเอง

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

หาพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต บางครั้งเหตุการณ์ตลกๆ ก็เกิดขึ้น วาดถูก คำนวณถูก แต่เนื่องจากความประมาท... พบพื้นที่ผิดรูป

ตัวอย่างที่ 7

ก่อนอื่นมาวาดรูปกันก่อน:

รูปที่เราต้องค้นหาพื้นที่จะเป็นสีน้ำเงิน(ดูสภาพให้ดี - ของมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจผู้คนมักตัดสินใจว่าจำเป็นต้องหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาเป็นสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์ในการคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนสองตัว จริงหรือ:

1) ในส่วน [-1; 1] เหนือแกน วัวกราฟจะอยู่ตรง ย = x+1;

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกน วัวกราฟของไฮเปอร์โบลาตั้งอยู่ ย = (2/x).

เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน"

และทำการวาดภาพแบบจุดต่อจุด:

จากรูปวาด เห็นได้ชัดว่าขีดจำกัดบนของเราคือ “ดี”: ข = 1.

แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไรล่ะ! เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่คืออะไร?

อาจจะ, ก=(-1/3)? แต่การรับประกันว่าการวาดภาพนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำสมบูรณ์แบบอยู่ที่ไหนก็อาจกลายเป็นอย่างนั้นได้ ก=(-1/4) =(-1/4) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราสร้างกราฟไม่ถูกต้อง?

ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและชี้แจงขีดจำกัดของการผสานรวมเชิงวิเคราะห์

ลองหาจุดตัดกันของกราฟกัน

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ:

.

เพราะฉะนั้น, ก=(-1/3).

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการทดแทนและสัญญาณ การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด บนส่วน

, ,

ตามสูตรที่เหมาะสม:

คำตอบ:

เพื่อสรุปบทเรียน มาดูงานที่ยากอีกสองงานกัน

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

วิธีแก้ไข: ลองพรรณนารูปนี้ในภาพวาด

หากต้องการสร้างภาพวาดแบบจุดต่อจุด คุณจำเป็นต้องทราบลักษณะของไซนัสอยด์ โดยทั่วไป การรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด รวมถึงค่าไซน์บางค่าจะเป็นประโยชน์ สามารถพบได้ในตารางค่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- ในบางกรณี (เช่น ในกรณีนี้) สามารถสร้างแผนผังได้ ซึ่งกราฟและขีดจำกัดของการรวมควรแสดงอย่างถูกต้องโดยพื้นฐาน

ไม่มีปัญหากับข้อจำกัดของการบูรณาการที่นี่ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขโดยตรง:

– “x” เปลี่ยนจากศูนย์เป็น “pi” มาตัดสินใจเพิ่มเติมกัน:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชัน ย= บาป 3 xซึ่งอยู่เหนือแกน วัวนั่นเป็นเหตุผล:

(1) คุณจะเห็นว่าไซน์และโคไซน์รวมเข้ากับเลขยกกำลังคี่ได้อย่างไรในบทเรียน ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ- เราบีบไซนัสหนึ่งอัน

(2) เราใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักในรูปแบบ

(3) มาเปลี่ยนตัวแปรกัน ที=คอส xดังนั้น: อยู่เหนือแกน ดังนั้น:

.

.

บันทึก:สังเกตว่าอินทิกรัลของแทนเจนต์กำลังสามถูกนำมาใช้อย่างไร ข้อพิสูจน์ของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานถูกนำมาใช้ที่นี่

.

ภารกิจที่ 3 วาดภาพและคำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

การประยุกต์อินทิกรัลในการแก้ปัญหาที่ประยุกต์

การคำนวณพื้นที่

อินทิกรัลจำกัดขอบเขตของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบ f(x) มีค่าเท่ากับตัวเลขพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = f(x), แกน O x และเส้นตรง x = a และ x = b ตามนี้สูตรพื้นที่เขียนดังนี้:

มาดูตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินกัน

ภารกิจที่ 1 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2

สารละลาย.เรามาสร้างตัวเลขที่เราจะต้องคำนวณพื้นที่กัน

y = x 2 + 1 คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ขึ้น และพาราโบลาเลื่อนขึ้นหนึ่งหน่วยสัมพันธ์กับแกน O y (รูปที่ 1)

รูปที่ 1. กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + 1

ภารกิจที่ 2 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = x 2 – 1, y = 0 ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1

สารละลาย.กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาของกิ่งก้านที่ชี้ขึ้น และพาราโบลาจะเลื่อนสัมพันธ์กับแกน O y ลงหนึ่งหน่วย (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – 1

ภารกิจที่ 3 วาดภาพและคำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

y = 8 + 2x – x 2 และ y = 2x – 4

สารละลาย.เส้นแรกจากสองเส้นนี้เป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง เนื่องจากสัมประสิทธิ์ x 2 เป็นลบ และเส้นที่สองเป็นเส้นตรงที่ตัดแกนพิกัดทั้งสองแกน

ในการสร้างพาราโบลา เราจะหาพิกัดของจุดยอดของมัน: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – หักมุมของจุดยอด; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 คือพิกัดของมัน N(1;9) คือจุดยอด

ตอนนี้ เรามาค้นหาจุดตัดของพาราโบลาและเส้นตรงโดยการแก้ระบบสมการ:

การทำให้ด้านขวาของสมการเท่ากันซึ่งด้านซ้ายจะเท่ากัน

เราได้ 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 หรือ x 2 – 12 = 0 ดังนั้น .

ดังนั้น จุดเหล่านี้คือจุดตัดกันของพาราโบลาและเส้นตรง (รูปที่ 1)

รูปที่ 3 กราฟของฟังก์ชัน y = 8 + 2x – x 2 และ y = 2x – 4

ลองสร้างเส้นตรง y = 2x – 4 โดยมันจะผ่านจุด (0;-4), (2;0) บนแกนพิกัด

ในการสร้างพาราโบลา คุณสามารถใช้จุดตัดกับแกน 0x ได้ ซึ่งก็คือรากของสมการ 8 + 2x – x 2 = 0 หรือ x 2 – 2x – 8 = 0 การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เป็นเรื่องง่าย เพื่อหาราก: x 1 = 2, x 2 = 4

รูปที่ 3 แสดงรูป (ส่วนพาราโบลา M 1 N M 2) ที่ล้อมรอบด้วยเส้นเหล่านี้

ส่วนที่สองของปัญหาคือการหาพื้นที่ของรูปนี้ พื้นที่ของมันสามารถพบได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตตามสูตร .

จากเงื่อนไขนี้ เราได้รับอินทิกรัล:

2 การคำนวณปริมาตรของตัวการหมุน

ปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนเส้นโค้ง y = f(x) รอบแกน O x คำนวณโดยสูตร:

เมื่อหมุนรอบแกน O y สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

ภารกิจที่ 4 หาปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = 0 x = 3 และเส้นโค้ง y = รอบแกน O x

สารละลาย.มาวาดภาพกันเถอะ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4 กราฟของฟังก์ชัน y =

ปริมาณที่ต้องการคือ

ภารกิจที่ 5 คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = x 2 และเส้นตรง y = 0 และ y = 4 รอบแกน O y

สารละลาย.เรามี:

ทบทวนคำถาม

ในบทความนี้คุณจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นโดยใช้การคำนวณอินทิกรัล เป็นครั้งแรกที่เราเผชิญกับการกำหนดปัญหาดังกล่าวในโรงเรียนมัธยมปลาย เมื่อเราเพิ่งเสร็จสิ้นการศึกษาอินทิกรัลจำกัดขอบเขต และถึงเวลาที่จะเริ่มการตีความทางเรขาคณิตของความรู้ที่ได้รับในทางปฏิบัติ

ดังนั้นสิ่งที่จำเป็นในการแก้ปัญหาการค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัล:

• ความสามารถในการเขียนแบบที่มีความสามารถ
• ความสามารถในการแก้อินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซที่รู้จักกันดี
• ความสามารถในการ "เห็น" ตัวเลือกโซลูชันที่ให้ผลกำไรมากขึ้น - เช่น เข้าใจว่าการดำเนินการบูรณาการในกรณีใดกรณีหนึ่งจะสะดวกกว่าอย่างไร ตามแนวแกน x (OX) หรือแกน y (OY)?
• แล้วเราจะอยู่ที่ไหนถ้าไม่มีการคำนวณที่ถูกต้อง?) ซึ่งรวมถึงการทำความเข้าใจวิธีแก้อินทิกรัลประเภทอื่นและการคำนวณตัวเลขที่ถูกต้อง

อัลกอริทึมในการแก้ปัญหาการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น:

1. เรากำลังสร้างภาพวาด ขอแนะนำให้ทำเช่นนี้บนกระดาษตาหมากรุกในขนาดใหญ่ เราเซ็นชื่อของฟังก์ชันนี้ด้วยดินสอเหนือแต่ละกราฟ การลงนามกราฟจะทำเพื่อความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติมเท่านั้น เมื่อได้รับกราฟของตัวเลขที่ต้องการแล้ว ในกรณีส่วนใหญ่จะชัดเจนทันทีว่าจะใช้ขีดจำกัดการรวมแบบใด ดังนั้นเราจึงแก้ปัญหาแบบกราฟิก อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่ค่าของขีดจำกัดนั้นเป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล ดังนั้นคุณสามารถคำนวณเพิ่มเติมได้ โดยไปที่ขั้นตอนที่สอง

2. หากไม่ได้ระบุขีดจำกัดของการรวมไว้อย่างชัดเจน เราจะค้นหาจุดตัดกันของกราฟด้วยกันและดูว่าโซลูชันกราฟิกของเราสอดคล้องกับจุดตัดเชิงวิเคราะห์หรือไม่

3. ถัดไปคุณต้องวิเคราะห์ภาพวาด มีวิธีการต่างๆ ในการค้นหาพื้นที่ของรูป ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการจัดเรียงกราฟฟังก์ชัน ลองดูตัวอย่างต่างๆ ในการค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัล

3.1. ปัญหาที่คลาสสิกและง่ายที่สุดคือเมื่อคุณต้องการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคืออะไร? นี่คือรูปทรงแบนที่ถูกจำกัดด้วยแกน x (ย = 0), ตรง x = ก, x = ขและเส้นโค้งใดๆ ที่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาจาก กก่อน ข- นอกจากนี้ ตัวเลขนี้ไม่เป็นลบและไม่ต่ำกว่าแกน x ในกรณีนี้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอนซึ่งคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

ตัวอย่างที่ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

รูปนี้ล้อมรอบด้วยเส้นอะไร? เรามีพาราโบลา y = x2 – 3x + 3ซึ่งอยู่เหนือแกน โอ้ไม่เป็นลบเพราะว่า ทุกจุดของพาราโบลานี้มีค่าบวก ต่อไปให้เส้นตรง x = 1และ x = 3ซึ่งวิ่งขนานกับแกน อู๋คือเส้นเขตแดนของรูปด้านซ้ายและขวา ดี ย = 0นอกจากนี้ยังเป็นแกน x ซึ่งจำกัดตัวเลขจากด้านล่าง รูปที่ได้ออกมาจะเป็นสีเทา ดังที่เห็นได้จากรูปทางด้านซ้าย ในกรณีนี้ คุณสามารถเริ่มแก้ไขปัญหาได้ทันที ตรงหน้าเราเป็นตัวอย่างง่ายๆ ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ซึ่งเราจะแก้โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

3.2. ในย่อหน้าที่ 3.1 ก่อนหน้า เราได้ตรวจสอบกรณีที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่เหนือแกน x ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่เงื่อนไขของปัญหาเหมือนกัน ยกเว้นว่าฟังก์ชันอยู่ใต้แกน x เครื่องหมายลบจะถูกเพิ่มเข้าไปในสูตรมาตรฐานของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 2 - คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

ในตัวอย่างนี้ เรามีพาราโบลา y = x2 + 6x + 2ซึ่งมีต้นกำเนิดมาจากแกน โอ้, ตรง x = -4, x = -1, y = 0- ที่นี่ ย = 0จำกัดตัวเลขที่ต้องการจากด้านบน โดยตรง x = -4และ x = -1สิ่งเหล่านี้คือขอบเขตที่จะคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต หลักการแก้ปัญหาการหาพื้นที่ของรูปเกือบจะเกิดขึ้นพร้อมกับตัวอย่างหมายเลข 1 ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือฟังก์ชันที่กำหนดนั้นไม่เป็นค่าบวกและยังต่อเนื่องในช่วงเวลานั้นด้วย [-4; -1] - คุณหมายถึงอะไรที่ไม่เป็นบวก? ดังที่เห็นได้จากรูป ตัวเลขที่อยู่ในค่า x ที่ให้มานั้นมีพิกัด "ลบ" โดยเฉพาะ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องเห็นและจดจำเมื่อแก้ไขปัญหา เราค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซโดยมีเครื่องหมายลบอยู่ที่จุดเริ่มต้นเท่านั้น

บทความยังไม่เสร็จสมบูรณ์

ที่จริงแล้ว เพื่อที่จะหาพื้นที่ของรูป คุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับอินทิกรัลไม่แน่นอนและอินทิกรัลจำกัดมากนัก งาน “คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัด” มักจะเกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นประเด็นเร่งด่วนมากขึ้น ในเรื่องนี้ จะมีประโยชน์ในการรีเฟรชหน่วยความจำกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน และอย่างน้อยที่สุดก็สามารถสร้างเส้นตรงและไฮเปอร์โบลาได้

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคือรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันบนส่วนที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้รูปนี้ตั้งอยู่ ไม่น้อยแกน x:

แล้ว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอน- อินทิกรัลจำกัดจำนวนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก

จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตคือ AREA.

นั่นคือ,อินทิกรัลจำนวนหนึ่ง (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปใดรูปหนึ่งทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการวาดภาพได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

นี่คือคำสั่งมอบหมายงานทั่วไป จุดแรกและสำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างแบบร่าง- นอกจากนี้จะต้องสร้างแบบเขียนแบบด้วย ขวา.

เมื่อสร้างภาพวาดฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: ตอนแรกจะดีกว่าถ้าสร้างเส้นตรงทั้งหมด (ถ้ามี) และเท่านั้น แล้ว- พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ การสร้างกราฟของฟังก์ชันจะทำกำไรได้มากกว่า จุดต่อจุด

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะเช่นนี้
มาวาดภาพให้เสร็จ (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):

กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ในส่วนนี้ เหนือแกนนั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ:

หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้ "ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะมีประมาณ 9 ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบ: 20 ตารางหน่วยก็ชัดเจนว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหา อย่างน้อยที่สุดก็หนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้นและพิกัดแกน

สารละลาย: มาวาดรูปกันเถอะ:

หากมีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา(หรืออย่างน้อย ไม่สูงกว่าแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:

ในกรณีนี้:

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้แค่อินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ค่านั้นอาจเป็นค่าลบ

2) หากคุณถูกขอให้ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือสาเหตุที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งกล่าวถึง

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้น จากปัญหาที่ง่ายที่สุดของโรงเรียน เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

สารละลาย: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จก่อน โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราจะสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการรวมคือ ขีดจำกัดบนของการรวมคือ

หากเป็นไปได้ จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่ใช้วิธีนี้.

การสร้างบรรทัดทีละจุดจะทำกำไรได้มากกว่าและรวดเร็วกว่ามาก และขีดจำกัดของการรวมระบบก็ชัดเจน "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากมีฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วนนั้น มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้น , , สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดว่ารูปนั้นอยู่ที่ตำแหน่งใดอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกน และพูดคร่าวๆ แล้ว มันสำคัญว่ากราฟไหนสูงกว่า(สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรงบนส่วน ดังนั้น จึงจำเป็นต้องลบออกจาก

โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาด้านบนและเส้นตรงด้านล่าง
ในส่วนตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

สารละลาย: ก่อนอื่นมาวาดรูปกันก่อน:

รูปที่เราต้องค้นหาพื้นที่จะเป็นสีน้ำเงิน(ดูสภาพให้ดี - ของมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจมักมี "ความผิดพลาด" เกิดขึ้นโดยคุณต้องค้นหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาเป็นสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์ในการคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนสองตัว

จริงหรือ:

1) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟเป็นเส้นตรง

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟของไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น: