สมการ
จะแก้สมการได้อย่างไร?
ในส่วนนี้ เราจะจำ (หรือศึกษา ขึ้นอยู่กับผู้ที่คุณเลือก) สมการเบื้องต้นที่สุด แล้วสมการคืออะไร? ในแง่มนุษย์ นี่คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์บางประเภทที่มีเครื่องหมายเท่ากับและไม่ทราบค่า ซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์". แก้สมการ- นี่คือการค้นหาค่าของ x ที่เมื่อแทนค่าเข้าไป ต้นฉบับการแสดงออกจะทำให้เรามีตัวตนที่ถูกต้อง ฉันขอเตือนคุณว่าอัตลักษณ์คือการแสดงออกที่ไม่ต้องสงสัย แม้แต่กับบุคคลที่ไม่มีภาระกับความรู้ทางคณิตศาสตร์เลยก็ตาม เช่น 2=2, 0=0, ab=ab เป็นต้น แล้วจะแก้สมการได้อย่างไร?ลองคิดดูสิ
มีสมการทุกประเภท (แปลกใจใช่ไหม?) แต่ความหลากหลายอันไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่ประเภทเท่านั้น
4. คนอื่นๆ ครับ)
แน่นอนว่าที่เหลือทั้งหมด ที่สำคัญที่สุด ใช่...) ซึ่งได้แก่ ลูกบาศก์ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และอื่นๆ อีกมากมาย เราจะทำงานอย่างใกล้ชิดกับพวกเขาในส่วนที่เหมาะสม
ฉันจะบอกทันทีว่าบางครั้งสมการของสามประเภทแรกก็เสียหายมากจนคุณจำไม่ได้ด้วยซ้ำ... ไม่มีอะไร เราจะเรียนรู้วิธีผ่อนคลายพวกเขา
และเหตุใดเราจึงต้องมีสี่ประเภทนี้? แล้วอะไรล่ะ สมการเชิงเส้นแก้ได้ด้วยวิธีเดียว สี่เหลี่ยมคนอื่น, เหตุผลเศษส่วน - ที่สามก พักผ่อนพวกเขาไม่กล้าเลย! ไม่ใช่ว่าพวกเขาตัดสินใจไม่ได้เลย แต่ฉันผิดวิชาคณิตศาสตร์) เพียงแต่พวกเขามีเทคนิคและวิธีการพิเศษเป็นของตัวเอง
แต่สำหรับสิ่งใด ๆ (ฉันขอย้ำ - เพื่อ ใดๆ!) สมการให้พื้นฐานที่เชื่อถือได้และปลอดภัยสำหรับการแก้ปัญหา ทำงานได้ทุกที่และตลอดเวลา รองพื้นตัวนี้ - ฟังดูน่ากลัวแต่มันง่ายมาก และมาก (มาก!)สำคัญ.
จริงๆ แล้ว การแก้สมการประกอบด้วยการแปลงพวกนี้เหมือนกัน 99% ตอบคำถาม: " จะแก้สมการได้อย่างไร?" อยู่ในการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้อย่างชัดเจน คำใบ้ชัดเจนหรือไม่)
การแปลงสมการที่เหมือนกัน
ใน สมการใดๆหากต้องการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบ คุณต้องแปลงและทำให้ตัวอย่างดั้งเดิมง่ายขึ้น และเมื่อรูปลักษณ์เปลี่ยนไป แก่นแท้ของสมการไม่เปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่า เหมือนกันหรือเทียบเท่า
โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้มีผล โดยเฉพาะสมการนอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วย การแสดงออกนี่เป็นอีกหัวข้อหนึ่ง
ตอนนี้เราจะทำซ้ำทั้งหมด ทั้งหมด ทั้งหมด ขั้นพื้นฐาน การแปลงสมการที่เหมือนกัน
พื้นฐานเพราะสามารถประยุกต์เข้ากับ ใดๆสมการ - เชิงเส้น กำลังสอง เศษส่วน ตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ฯลฯ ฯลฯ
การแปลงข้อมูลระบุตัวตนครั้งแรก: คุณสามารถเพิ่ม (ลบ) ทั้งสองข้างของสมการใดก็ได้ ใดๆ(แต่เหมือนกัน!) ตัวเลขหรือสำนวน (รวมถึงสำนวนที่ไม่รู้จักด้วย!) สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนแก่นแท้ของสมการ
ยังไงก็ตาม คุณใช้การแปลงนี้ตลอดเวลา คุณแค่คิดว่าคุณกำลังโอนเทอมบางเทอมจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย พิมพ์:
กรณีนี้เป็นที่คุ้นเคย เราย้ายทั้งสองไปทางขวา และเราได้รับ:
ที่จริงแล้วคุณ เอาไปจากทั้งสองข้างของสมการคือสอง ผลลัพธ์ก็เหมือนกัน:
x+2 - 2 = 3 - 2
การย้ายเงื่อนไขไปทางซ้ายและขวาโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเพียงเวอร์ชันย่อของการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ครั้งแรก และเหตุใดเราจึงต้องมีความรู้เชิงลึกเช่นนี้? – คุณถาม ไม่มีสิ่งใดในสมการ เพื่อเห็นแก่พระเจ้า อดทนไว้ อย่าลืมเปลี่ยนป้ายด้วย แต่ในความไม่เท่าเทียมกัน นิสัยในการโอนย้ายสามารถนำไปสู่ทางตันได้...
การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง: ทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณ (หาร) ด้วยสิ่งเดียวกันได้ ไม่ใช่ศูนย์หมายเลขหรือการแสดงออก นี่คือข้อ จำกัด ที่เข้าใจได้ปรากฏขึ้นแล้ว: การคูณด้วยศูนย์นั้นโง่และการหารนั้นเป็นไปไม่ได้เลย นี่คือการแปลงที่คุณใช้เมื่อคุณแก้อะไรเจ๋งๆ แบบนี้
มันชัดเจน เอ็กซ์= 2. คุณค้นพบมันได้อย่างไร? โดยการคัดเลือก? หรือมันเพิ่งจะเริ่มต้นกับคุณ? เพื่อไม่ให้เลือกและไม่รอความเข้าใจคุณต้องเข้าใจว่าคุณเป็นคนยุติธรรม แบ่งทั้งสองข้างของสมการ 5 เท่า เมื่อหารทางด้านซ้าย (5x) ทั้ง 5 ตัวก็ลดลงเหลือเพียง X ล้วนๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการจริงๆ และเมื่อหารด้านขวาของ (10) ด้วย 5 ผลลัพธ์ก็คือ 2 แน่นอน
แค่นั้นแหละ.
มันตลกดี แต่การแปลงที่เหมือนกันทั้งสอง (เพียงสองเท่านั้น!) นี้เป็นพื้นฐานของวิธีแก้ปัญหา สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดว้าว! มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะดูตัวอย่างของอะไรและอย่างไรใช่ไหม?)
ตัวอย่างการแปลงสมการที่เหมือนกัน ปัญหาหลัก
เริ่มต้นด้วย อันดับแรกการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ โอนซ้าย-ขวา
เป็นตัวอย่างแก่น้องๆ)
สมมติว่าเราต้องแก้สมการต่อไปนี้:
3-2x=5-3x
มาจำคาถากันเถอะ: "มี X - ไปทางซ้าย ไม่มี X - ไปทางขวา!"คาถานี้เป็นคำแนะนำในการใช้การแปลงข้อมูลประจำตัวครั้งแรก) นิพจน์ที่มี X ทางด้านขวาคืออะไร? 3x- คำตอบไม่ถูกต้อง! ทางด้านขวามือของเรา - 3x! ลบสามเอ็กซ์! ดังนั้นเมื่อเคลื่อนไปทางซ้ายเครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายบวก ปรากฎว่า:
3-2x+3x=5
ดังนั้น X's จึงถูกรวบรวมเป็นกอง เรามาเข้าเรื่องตัวเลขกันดีกว่า มีสามอันทางซ้าย ด้วยสัญญาณอะไร? ไม่ยอมรับคำตอบว่า "ไม่มีเลย"!) ต่อหน้าทั้งสามนั้นไม่มีอะไรถูกดึงออกมาจริงๆ และนี่หมายความว่าก่อนทั้งสามจะมี บวกนักคณิตศาสตร์จึงตกลงกัน ไม่มีอะไรเขียนซึ่งหมายความว่า บวกดังนั้นทริปเปิลจะถูกโอนไปทางด้านขวา ด้วยเครื่องหมายลบเราได้รับ:
-2x+3x=5-3
เหลือเพียงเรื่องเล็กๆ น้อยๆ เท่านั้น ทางซ้าย - นำอันที่คล้ายกันมาทางขวา - นับ คำตอบมาทันที:
ในตัวอย่างนี้ การแปลงข้อมูลประจำตัวเพียงครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว อันที่สองไม่จำเป็น อืม ก็ได้)
ตัวอย่างสำหรับเด็กโต)
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
ให้เราวิเคราะห์คำตอบสองประเภทสำหรับระบบสมการ:
1. การแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการทดแทน
2. การแก้ระบบโดยการบวก (ลบ) สมการของระบบทีละเทอม
เพื่อที่จะแก้ระบบสมการ โดยวิธีทดแทนคุณต้องปฏิบัติตามอัลกอริทึมง่ายๆ:
1. ด่วน. จากสมการใด ๆ เราแสดงตัวแปรหนึ่งตัว
2. ทดแทน. เราแทนที่ค่าผลลัพธ์เป็นสมการอื่นแทนตัวแปรที่แสดง
3. แก้สมการผลลัพธ์ด้วยตัวแปรตัวเดียว เราหาทางแก้ไขให้กับระบบ
เพื่อตัดสินใจ ระบบโดยวิธีบวก (ลบ) ทีละเทอมจำเป็นต้อง:
1. เลือกตัวแปรที่เราจะสร้างสัมประสิทธิ์ที่เหมือนกัน
2. เราบวกหรือลบสมการส่งผลให้ได้สมการที่มีตัวแปรตัวเดียว
3. แก้สมการเชิงเส้นผลลัพธ์ เราหาทางแก้ไขให้กับระบบ
วิธีแก้ของระบบคือจุดตัดของกราฟฟังก์ชัน
ให้เราพิจารณารายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยใช้ตัวอย่าง
ตัวอย่าง #1:
ลองแก้ด้วยวิธีทดแทนกัน
การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีทดแทน2x+5y=1 (1 สมการ)
x-10y=3 (สมการที่ 2)
1. ด่วน
จะเห็นได้ว่าในสมการที่สอง มีตัวแปร x ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 1 ซึ่งหมายความว่าวิธีที่ง่ายที่สุดในการแสดงตัวแปร x จากสมการที่สอง
x=3+10y
2.หลังจากที่เราเขียนออกมาแล้ว เราก็แทนที่ 3+10y ลงในสมการแรกแทนตัวแปร x
2(3+10y)+5y=1
3. แก้สมการผลลัพธ์ด้วยตัวแปรตัวเดียว
2(3+10y)+5y=1 (เปิดวงเล็บ)
6+20y+5y=1
25ป=1-6
25ป=-5 |: (25)
ย=-5:25
ย=-0.2
วิธีแก้ของระบบสมการคือจุดตัดกันของกราฟ ดังนั้นเราจึงต้องหา x และ y เนื่องจากจุดตัดกันประกอบด้วย x และ y ลองหา x ในจุดแรกที่เราเขียนแทนค่า y ตรงนั้น .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
เป็นเรื่องปกติที่จะต้องเขียนจุดในตอนแรกที่เราเขียนตัวแปร x และอันดับที่สองเขียนตัวแปร y
คำตอบ: (1; -0.2)
ตัวอย่าง #2:
ลองแก้โดยใช้วิธีบวก (ลบ) ทีละเทอม
การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีบวก3x-2y=1 (1 สมการ)
2x-3y=-10 (สมการที่ 2)
1. เราเลือกตัวแปร สมมติว่าเราเลือก x ในสมการแรก ตัวแปร x มีค่าสัมประสิทธิ์ 3 ในสมการที่สอง - 2 เราจำเป็นต้องทำให้สัมประสิทธิ์เท่ากัน ด้วยเหตุนี้ เราจึงมีสิทธิ์คูณสมการหรือหารด้วยตัวเลขใดก็ได้ เราคูณสมการแรกด้วย 2 และสมการที่สองด้วย 3 และได้สัมประสิทธิ์รวมเป็น 6
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. ลบสมการที่สองออกจากสมการแรกเพื่อกำจัดตัวแปร x
__6x-4y=2
5y=32 | :5
ย=6.4
3. หา x เราแทนค่า y ที่พบลงในสมการใดๆ สมมติว่าเป็นสมการแรก
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6
จุดตัดจะเป็น x=4.6; ย=6.4
คำตอบ: (4.6; 6.4)
อยากเตรียมตัวสอบฟรีมั้ย? ติวเตอร์ออนไลน์ ฟรี- ไม่มีเรื่องตลก
ผม. ขวาน 2 =0 – ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสอง (ข=0, ค=0 - วิธีแก้: x=0 คำตอบ: 0.
แก้สมการ
2x·(x+3)=6x-x 2 .
สารละลาย.ลองเปิดวงเล็บด้วยการคูณกัน 2xสำหรับแต่ละเทอมในวงเล็บ:
2x 2 +6x=6x-x 2 ; เราย้ายเงื่อนไขจากด้านขวาไปทางซ้าย:
2x 2 +6x-6x+x 2 =0; ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:
3x 2 = 0 ดังนั้น x=0
คำตอบ: 0.
ครั้งที่สอง ขวาน 2 +bx=0 –ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสอง (ค=0 - วิธีแก้: x (ax+b)=0 → x 1 =0 หรือ ax+b=0 → x 2 =-b/a คำตอบ: 0; -ข/ก.
5x 2 -26x=0.
สารละลาย.ลองเอาตัวประกอบร่วมออกมาดู เอ็กซ์นอกวงเล็บ:
x(5x-26)=0; แต่ละปัจจัยสามารถมีค่าเท่ากับศูนย์:
x=0หรือ 5x-26=0→ 5x=26 หารทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วย 5 และเราได้: x=5.2
คำตอบ: 0; 5,2.
ตัวอย่างที่ 3 64x+4x 2 =0
สารละลาย.ลองเอาตัวประกอบร่วมออกมาดู 4xนอกวงเล็บ:
4x(16+x)=0. เรามีตัวประกอบสามตัว นั่นคือ 4≠0 หรือ x=0หรือ 16+x=0. จากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุด เราได้ x=-16
คำตอบ: -16; 0.
ตัวอย่างที่ 4(x-3) 2 +5x=9.
สารละลาย.ใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์ เราจะเปิดวงเล็บ:
x 2 -6x+9+5x=9; แปลงเป็นรูปแบบ: x 2 -6x+9+5x-9=0; ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:
x 2 -x=0; เราจะเอามันออกไป เอ็กซ์นอกวงเล็บ เราจะได้: x (x-1)=0 จากที่นี่หรือ x=0หรือ x-1=0→ x=1
คำตอบ: 0; 1.
ที่สาม ขวาน 2 +c=0 –ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสอง (ข=0 - วิธีแก้: ขวาน 2 =-c → x 2 =-c/a
ถ้า (-ค/ก)<0 แล้วไม่มีรากที่แท้จริง ถ้า (-с/а)>0
ตัวอย่างที่ 5 x 2 -49=0.
สารละลาย.
x 2 =49 จากตรงนี้ x=±7 คำตอบ:-7; 7.
ตัวอย่างที่ 6 9x 2 -4=0.
สารละลาย.
บ่อยครั้งที่คุณต้องค้นหาผลรวมของกำลังสอง (x 1 2 +x 2 2) หรือผลรวมของลูกบาศก์ (x 1 3 +x 2 3) ของรากของสมการกำลังสองซึ่งน้อยกว่า - ผลรวมของค่าส่วนกลับ ของกำลังสองของรากหรือผลรวมของรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของรากของสมการกำลังสอง:
ทฤษฎีบทของ Vieta สามารถช่วยในเรื่องนี้ได้:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q
มาแสดงออกกันเถอะ ผ่าน พีและ ถาม:
1) ผลรวมของกำลังสองของรากของสมการ x 2 +px+q=0;
2) ผลรวมของกำลังสามของรากของสมการ x 2 +px+q=0.
สารละลาย.
1) การแสดงออก x 1 2 + x 2 2ได้จากการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ x 1 + x 2 = -p;
(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; เปิดวงเล็บ: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; เราแสดงจำนวนที่ต้องการ: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. เรามีความเท่าเทียมกันที่เป็นประโยชน์: x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q.
2) การแสดงออก x 1 3 + x 2 3ให้เราแทนผลรวมของลูกบาศก์โดยใช้สูตร:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3คิว)
อีกสมการที่มีประโยชน์: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q)
ตัวอย่าง.
3) x 2 -3x-4=0.คำนวณค่าของนิพจน์โดยไม่ต้องแก้สมการ x 1 2 + x 2 2.
สารละลาย.
x 1 +x 2 =-พี=3,และการทำงาน x 1 ∙x 2 =q=ในตัวอย่างที่ 1) ความเท่าเทียมกัน:
x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q.เรามี -พี=x 1 +x 2 = 3 → หน้า 2 =3 2 =9; คิว= x 1 x 2 = -4. แล้ว x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.
คำตอบ: x 1 2 +x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0.คำนวณ: x 1 3 +x 2 3 .
สารละลาย.
ตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ลดลงนี้คือ x 1 +x 2 =-พี=2,และการทำงาน x 1 ∙x 2 =q=-4. ลองใช้สิ่งที่เราได้รับ ( ในตัวอย่างที่ 2) ความเท่าเทียมกัน: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.
คำตอบ: x 1 3 +x 2 3 =32.
คำถาม: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราได้รับสมการกำลังสองแบบไม่ลดขนาดล่ะ? คำตอบ: สามารถ "ลดลง" ได้เสมอโดยการหารเทอมต่อเทอมด้วยสัมประสิทธิ์แรก
5) 2x 2 -5x-7=0โดยไม่ต้องตัดสินใจ ให้คำนวณ: x 1 2 + x 2 2.
สารละลาย.เราได้รับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ หารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย 2 (สัมประสิทธิ์แรก) และได้สมการกำลังสองต่อไปนี้: x 2 -2.5x-3.5=0.
ตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลรวมของรากเท่ากับ 2,5 - ผลคูณของรากมีค่าเท่ากัน -3,5 .
เราแก้มันด้วยวิธีเดียวกับตัวอย่าง 3) ใช้ความเท่าเทียมกัน: x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
คำตอบ: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x 2 -5x-2=0.หา:
ให้เราแปลงความเท่าเทียมกันนี้และใช้ทฤษฎีบทของ Vieta แทนที่ผลรวมของรากด้วย -พีและผลคูณของรากผ่าน ถามเราก็ได้สูตรที่มีประโยชน์อีกสูตรหนึ่ง เมื่อได้สูตร เราใช้ความเท่าเทียมกัน 1): x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q.
ในตัวอย่างของเรา x 1 +x 2 =-พี=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสูตรผลลัพธ์:
7) x 2 -13x+36=0หา:
ลองแปลงผลรวมนี้แล้วได้สูตรที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของรากที่สองทางคณิตศาสตร์จากรากของสมการกำลังสอง
เรามี x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสูตรผลลัพธ์:
คำแนะนำ : ตรวจสอบความเป็นไปได้ในการหารากของสมการกำลังสองโดยใช้วิธีที่เหมาะสมเสมอ เพราะ 4 ตรวจสอบแล้ว สูตรที่มีประโยชน์ช่วยให้คุณทำงานให้เสร็จได้อย่างรวดเร็ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่ผู้เลือกปฏิบัติเป็นหมายเลขที่ “ไม่สะดวก” ในกรณีง่ายๆ ทั้งหมด ให้ค้นหารากและดำเนินการกับมัน ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างสุดท้าย เราเลือกรากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta: ผลรวมของรากควรเท่ากับ 13 และผลผลิตจากราก 36 - ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? แน่นอน, 4 และ 9ตอนนี้คำนวณผลรวมของรากที่สองของตัวเลขเหล่านี้: 2+3=5. แค่นั้นแหละ!
I. ทฤษฎีบทของเวียตตาสำหรับสมการกำลังสองลดลง
ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ลดลง x 2 +px+q=0เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากับเทอมอิสระ:
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q
ค้นหารากของสมการกำลังสองที่กำหนดโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม
ตัวอย่างที่ 1) x 2 -x-30=0นี่คือสมการกำลังสองรีดิวซ์ ( x 2 +px+q=0), สัมประสิทธิ์ที่สอง พี=-1และสมาชิกอิสระ ค=-30.ขั้นแรก ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการนี้มีราก และราก (ถ้ามี) จะแสดงเป็นจำนวนเต็ม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่ตัวจำแนกประเภทจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนเต็ม
การหาผู้แบ่งแยก ดี=ข 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
ทีนี้ ตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลรวมของรากจะต้องเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ - -พี) และผลิตภัณฑ์จะเท่ากับระยะเวลาอิสระ เช่น - ถาม- แล้ว:
x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30เราต้องเลือกตัวเลขสองตัวเพื่อให้ผลคูณเท่ากัน -30 และจำนวนเงินคือ หน่วย- เหล่านี้คือตัวเลข -5 และ 6 . คำตอบ: -5; 6.
ตัวอย่างที่ 2) x 2 +6x+8=0เรามีสมการกำลังสองลดลงด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง พี=6และสมาชิกฟรี ค=8- ตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีรูตจำนวนเต็ม เรามาค้นหาความแตกต่างกัน ง 1 ง 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 - ตัวจำแนก D 1 คือกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวน 1 ซึ่งหมายความว่ารากของสมการนี้เป็นจำนวนเต็ม ให้เราเลือกรากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta: ผลรวมของรากเท่ากับ –ร=-6และผลคูณของรากเท่ากับ ค=8- เหล่านี้คือตัวเลข -4 และ -2 .
ในความเป็นจริง: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q คำตอบ: -4; -2.
ตัวอย่างที่ 3) x 2 +2x-4=0- ในสมการกำลังสองลดรูปนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ที่สองคือ พี=2และสมาชิกอิสระ ค=-4- เรามาค้นหาความแตกต่างกัน ง 1เนื่องจากสัมประสิทธิ์ที่สองเป็นเลขคู่ ง 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. การแบ่งแยกไม่ใช่กำลังสองที่สมบูรณ์แบบของจำนวน เราก็ทำเช่นนั้น บทสรุป: รากของสมการนี้ไม่ใช่จำนวนเต็มและไม่สามารถพบได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาซึ่งหมายความว่าเราแก้สมการนี้ตามปกติโดยใช้สูตร (ในกรณีนี้คือการใช้สูตร) เราได้รับ:
ตัวอย่างที่ 4)เขียนสมการกำลังสองโดยใช้รากของมันถ้า x 1 =-7, x 2 =4.
สารละลาย.สมการที่ต้องการจะถูกเขียนในรูปแบบ: x 2 +px+q=0และตามทฤษฎีบทของเวียตตา –พี=x 1 +x 2=-7+4=-3 → พี=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 - จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ: x 2 +3x-28=0.
ตัวอย่างที่ 5)เขียนสมการกำลังสองโดยใช้รากของมันหาก:
ครั้งที่สอง ทฤษฎีบทของเวียตตาสำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ ขวาน 2 +bx+c=0.
ผลรวมของรากเป็นลบ ข, หารด้วย ก, ผลคูณของรากเท่ากับ กับ, หารด้วย ตอบ:
x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a
ตัวอย่างที่ 6)หาผลรวมของรากของสมการกำลังสอง 2x 2 -7x-11=0.
สารละลาย.
เราแน่ใจว่าสมการนี้จะมีราก ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะสร้างนิพจน์สำหรับการเลือกปฏิบัติ และโดยไม่ต้องคำนวณ เพียงตรวจสอบให้แน่ใจว่าการเลือกปฏิบัติมีค่ามากกว่าศูนย์ ดี=7 2 -4∙2∙(-11)>0 - ตอนนี้เรามาใช้กัน ทฤษฎีบท เวียตต้าสำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์
x 1 +x 2 =-ข:ก=- (-7):2=3,5.
ตัวอย่างที่ 7)- หาผลคูณของรากของสมการกำลังสอง 3x 2 +8x-21=0
สารละลาย.
เรามาค้นหาความแตกต่างกัน ง 1เนื่องจากสัมประสิทธิ์ที่สอง ( 8 ) เป็นจำนวนคู่ ง 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 - สมการกำลังสองมี 2 ราก ตามทฤษฎีบทของเวียตต้า ผลคูณของราก x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.
ผม. ขวาน 2 +bx+c=0– สมการกำลังสองทั่วไป
เลือกปฏิบัติ ดี=ข 2 - 4เอซี
ถ้า ง>0แล้วเรามีรากจริงสองอัน:
ถ้า ด=0แล้วเรามีรากเดียว (หรือสองรากที่เท่ากัน) x=-b/(2a).
ถ้า D<0, то действительных корней нет.
ตัวอย่าง 1) 2x 2 +5x-3=0
สารละลาย. ก=2; ข=5; ค=-3.
ดี=ข 2 - 4เอซี=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 รากที่แท้จริง
4x 2 +21x+5=0
สารละลาย. ก=4; ข=21; ค=5.
ดี=ข 2 - 4เอซี=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 รากที่แท้จริง
ครั้งที่สอง ขวาน 2 +bx+c=0 – สมการกำลังสองรูปแบบเฉพาะ แม้แต่วินาทีเดียว
ค่าสัมประสิทธิ์ ข
ตัวอย่าง 3) 3x 2 -10x+3=0.
สารละลาย. ก=3; ข=-10 (เลขคู่); ค=3.
ตัวอย่างที่ 4) 5x 2 -14x-3=0.
สารละลาย. ก=5; ข= -14 (เลขคู่); ค=-3.
ตัวอย่างที่ 5) 71x 2 +144x+4=0
สารละลาย. ก=71; ข=144 (เลขคู่); ค=4.
ตัวอย่างที่ 6) 9x 2 -30x+25=0.
สารละลาย. ก=9; ข=-30 (เลขคู่); ค=25.
ที่สาม ขวาน 2 +bx+c=0 – สมการกำลังสอง ประเภทส่วนตัวที่มีให้: a-b+c=0.
รากแรกจะเท่ากับลบ 1 เสมอ และรากที่สองจะเท่ากับลบเสมอ กับ, หารด้วย ก:
x 1 =-1, x 2 =-ค/ก.
ตัวอย่างที่ 7) 2x 2 +9x+7=0
สารละลาย. ก=2; ข=9; ค=7. ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน: a-b+c=0.เราได้รับ: 2-9+7=0 .
แล้ว x 1 =-1, x 2 =-ค/เอ=-7/2=-3.5คำตอบ: -1; -3,5.
IV. ขวาน 2 +bx+c=0 – สมการกำลังสองของรูปแบบเฉพาะเรื่อง : ก+ข+ค=0
รากแรกจะเท่ากับหนึ่งเสมอ และรากที่สองจะเท่ากับ กับ, หารด้วย ก:
x 1 =1, x 2 =ค/ก.
ตัวอย่างที่ 8) 2x 2 -9x+7=0.
สารละลาย. ก=2; ข=-9; ค=7. ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน: ก+ข+ค=0.เราได้รับ: 2-9+7=0 .
แล้ว x 1 =1, x 2 =ค/ก=7/2=3.5คำตอบ: 1; 3,5.
หน้า 1 จาก 1 1
เพื่อแก้คณิตศาสตร์ ค้นหาอย่างรวดเร็ว การแก้สมการทางคณิตศาสตร์อยู่ในโหมด ออนไลน์- เว็บไซต์ www.site อนุญาต แก้สมการเกือบทุกอย่างที่ได้รับ พีชคณิต, ตรีโกณมิติหรือ สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์- เมื่อเรียนคณิตศาสตร์เกือบทุกสาขาในแต่ละช่วง คุณต้องตัดสินใจ สมการออนไลน์- หากต้องการได้รับคำตอบทันที และที่สำคัญที่สุดคือคำตอบที่แม่นยำ คุณต้องมีทรัพยากรที่ช่วยให้คุณดำเนินการนี้ได้ ขอบคุณเว็บไซต์ www.site แก้สมการออนไลน์จะใช้เวลาไม่กี่นาที ข้อได้เปรียบหลักของ www.site เมื่อแก้โจทย์คณิต สมการออนไลน์- นี่คือความเร็วและความแม่นยำของการตอบสนองที่ให้ไว้ เว็บไซต์สามารถแก้ปัญหาใดๆ สมการพีชคณิตออนไลน์, สมการตรีโกณมิติออนไลน์, สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์และยัง สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักในโหมด ออนไลน์. สมการทำหน้าที่เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อันทรงพลัง โซลูชั่นปัญหาในทางปฏิบัติ ด้วยความช่วยเหลือ สมการทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้ที่จะแสดงข้อเท็จจริงและความสัมพันธ์ที่อาจดูสับสนและซับซ้อนเมื่อมองแวบแรก ปริมาณที่ไม่ทราบ สมการสามารถพบได้โดยการกำหนดปัญหาใน ทางคณิตศาสตร์ภาษาในรูปแบบ สมการและ ตัดสินใจได้รับงานในโหมด ออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. ใดๆ สมการพีชคณิต, สมการตรีโกณมิติหรือ สมการซึ่งประกอบด้วย เหนือธรรมชาติคุณสมบัติที่คุณทำได้อย่างง่ายดาย ตัดสินใจออนไลน์และรับคำตอบที่แน่นอน เมื่อศึกษาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ คุณจะต้องพบกับความต้องการอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ การแก้สมการ- ในกรณีนี้คำตอบจะต้องแม่นยำและต้องได้รับทันทีในโหมด ออนไลน์- ดังนั้นเพื่อ การแก้สมการทางคณิตศาสตร์ออนไลน์เราขอแนะนำเว็บไซต์ www.site ซึ่งจะกลายเป็นเครื่องคิดเลขที่ขาดไม่ได้ของคุณ แก้สมการพีชคณิตออนไลน์, สมการตรีโกณมิติออนไลน์และยัง สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์หรือ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก สำหรับปัญหาเชิงปฏิบัติในการหารากเหง้าต่างๆ สมการทางคณิตศาสตร์ทรัพยากร www.. การแก้ปัญหา สมการออนไลน์ตัวคุณเองจะมีประโยชน์ในการตรวจสอบคำตอบที่ได้รับโดยใช้ การแก้สมการออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. คุณต้องเขียนสมการให้ถูกต้องและรับทันที โซลูชั่นออนไลน์หลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการเปรียบเทียบคำตอบกับคำตอบของคุณกับสมการ การตรวจสอบคำตอบจะใช้เวลาไม่เกินหนึ่งนาทีก็เพียงพอแล้ว แก้สมการออนไลน์และเปรียบเทียบคำตอบ ซึ่งจะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดได้ การตัดสินใจและแก้ไขคำตอบให้ตรงเวลาเมื่อ การแก้สมการออนไลน์ไม่ว่าจะเป็น พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, เหนือธรรมชาติหรือ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก
ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ที่เราเผชิญหน้ากันเป็นครั้งแรก สมการที่มีตัวแปรสองตัวแต่มีการศึกษาเฉพาะในบริบทของระบบสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัวเท่านั้น นั่นคือสาเหตุที่ปัญหาทั้งชุดซึ่งมีเงื่อนไขบางประการเกิดขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของสมการที่จำกัดเงื่อนไขเหล่านั้นให้อยู่นอกสายตา นอกจากนี้ วิธีการแก้ปัญหาเช่น "แก้สมการในจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็ม" ก็ถูกมองข้ามไปเช่นกัน แม้ว่าปัญหาประเภทนี้จะพบบ่อยมากขึ้นในสื่อการสอบ Unified State และในการสอบเข้า
สมการใดจะเรียกว่าสมการที่มีตัวแปรสองตัว
ตัวอย่างเช่น สมการ 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 หรือ xy = 12 เป็นสมการที่อยู่ในตัวแปรสองตัว
พิจารณาสมการ 2x – y = 1 มันจะเป็นจริงเมื่อ x = 2 และ y = 3 ดังนั้นค่าตัวแปรคู่นี้จึงเป็นคำตอบของสมการที่เป็นปัญหา
ดังนั้นการแก้สมการใด ๆ ที่มีตัวแปรสองตัวคือชุดของคู่อันดับ (x; y) ซึ่งเป็นค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการนี้ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง
สมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัวสามารถ:
ก) มีทางออกหนึ่งทางตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + 5y 2 = 0 มีคำตอบเฉพาะ (0; 0)
ข) มีหลายโซลูชั่นตัวอย่างเช่น (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 มีคำตอบ 4 แบบ: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2); - 2);
วี) ไม่มีวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + y 2 + 1 = 0 ไม่มีคำตอบ
ช) มีทางแก้มากมายนับไม่ถ้วนตัวอย่างเช่น x + y = 3 ผลเฉลยของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่ผลรวมเท่ากับ 3 ชุดคำตอบของสมการนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ (k; 3 – k) โดยที่ k เป็นจำนวนจริงใดๆ ตัวเลข.
วิธีการหลักในการแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัวคือวิธีการที่ใช้นิพจน์การแยกตัวประกอบ การแยกกำลังสองสมบูรณ์ โดยใช้คุณสมบัติของสมการกำลังสอง นิพจน์ที่จำกัด และวิธีการประมาณค่า โดยปกติสมการจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่สามารถหาระบบในการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบได้
การแยกตัวประกอบ
ตัวอย่างที่ 1
แก้สมการ: xy – 2 = 2x – y
สารละลาย.
เราจัดกลุ่มคำศัพท์ตามวัตถุประสงค์ของการแยกตัวประกอบ:
(xy + y) – (2x + 2) = 0 จากแต่ละวงเล็บ เราจะหาตัวประกอบร่วมออกมา:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0 เรามี:
y = 2, x – จำนวนจริงใดๆ หรือ x = -1, y – จำนวนจริงใดๆ
ดังนั้น, คำตอบคือทุกคู่ของแบบฟอร์ม (x; 2), x € R และ (-1; y), y € R
ความเท่ากันของจำนวนที่ไม่เป็นลบเป็นศูนย์
ตัวอย่างที่ 2
แก้สมการ: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y)
สารละลาย.
การจัดกลุ่ม:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0 ตอนนี้แต่ละวงเล็บสามารถพับได้โดยใช้สูตรผลต่างกำลังสอง
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0
ผลรวมของนิพจน์ที่ไม่ใช่เชิงลบสองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ 3x – 2 = 0 และ 2y – 3 = 0
ซึ่งหมายความว่า x = 2/3 และ y = 3/2
คำตอบ: (2/3; 3/2)
วิธีการประมาณค่า
ตัวอย่างที่ 3
แก้สมการ: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2
สารละลาย.
ในแต่ละวงเล็บ เราจะเน้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้สมบูรณ์:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2 ลองประมาณกัน ความหมายของสำนวนในวงเล็บ
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 และ (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ดังนั้นด้านซ้ายของสมการจะมีค่าอย่างน้อย 2 เสมอ ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้หาก:
(x + 1) 2 + 1 = 1 และ (y – 2) 2 + 2 = 2 ซึ่งหมายถึง x = -1, y = 2
คำตอบ: (-1; 2)
มาทำความรู้จักกับวิธีอื่นในการแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัวในระดับที่สอง วิธีนี้ประกอบด้วยการรักษาสมการดังนี้ กำลังสองเทียบกับตัวแปรบางตัว.
ตัวอย่างที่ 4
แก้สมการ: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0
สารละลาย.
ลองแก้สมการเป็นสมการกำลังสองของ x กัน เรามาค้นหาความแตกต่างกัน:
ง = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . สมการจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ D = 0 นั่นคือถ้า y = 4 เราแทนค่า y ลงในสมการดั้งเดิมแล้วพบว่า x = 3
คำตอบ: (3; 4)
บ่อยครั้งอยู่ในสมการที่มีสิ่งไม่รู้สองตัวที่ระบุ ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวแปร.
ตัวอย่างที่ 5
แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม: x 2 + 5y 2 = 20x + 2
สารละลาย.
ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ทางด้านขวาของสมการเมื่อหารด้วย 5 จะได้เศษเป็น 2 ดังนั้น x 2 จึงหารด้วย 5 ไม่ลงตัว แต่กำลังสองของ a จำนวนที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัวจะให้เศษเป็น 1 หรือ 4 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจึงเป็นไปไม่ได้และไม่มีวิธีแก้
คำตอบ: ไม่มีราก
ตัวอย่างที่ 6
แก้สมการ: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3
สารละลาย.
เรามาเน้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ในแต่ละวงเล็บ:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3 ทางด้านซ้ายของสมการมักจะมากกว่าหรือเท่ากับ 3 เสมอ หากมีความเท่าเทียมกัน |x| – 2 = 0 และ y + 3 = 0 ดังนั้น x = ± 2, y = -3
คำตอบ: (2; -3) และ (-2; -3)
ตัวอย่างที่ 7
สำหรับจำนวนเต็มลบแต่ละคู่ (x;y) จะเป็นไปตามสมการ
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, คำนวณผลรวม (x + y) โปรดระบุจำนวนเงินที่น้อยที่สุดในคำตอบของคุณ
สารละลาย.
มาเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37 เนื่องจาก x และ y เป็นจำนวนเต็ม กำลังสองของมันจึงเป็นจำนวนเต็มด้วย เราจะได้ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มสองตัวเท่ากับ 37 ถ้าเราบวก 1 + 36 ดังนั้น:
(x – y) 2 = 36 และ (y + 2) 2 = 1
(x – y) 2 = 1 และ (y + 2) 2 = 36
เมื่อแก้ระบบเหล่านี้และพิจารณาว่า x และ y เป็นลบ เราจะพบวิธีแก้ปัญหา: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)
คำตอบ: -17
อย่าสิ้นหวังหากคุณมีปัญหาในการแก้สมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว ด้วยการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณก็จะจัดการกับสมการต่างๆ ได้
ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีแก้สมการในตัวแปรสองตัวใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม