กิจกรรมนอกหลักสูตร "ตัดรูปทรงเรขาคณิตเป็นชิ้น ๆ" งานในการตัดแปลงทั้งหมดสามารถทำได้

1. สี่เหลี่ยมจัตุรัสมี 16 เซลล์ แบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เพื่อให้เส้นตัดยาวไปตามด้านข้างของเซลล์ (วิธีการตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองส่วนจะถือว่าแตกต่างกันหากส่วนของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ได้จากการตัดด้วยวิธีหนึ่งไม่เท่ากับชิ้นส่วนที่ได้จากวิธีอื่น) วิธีแก้ปัญหาทั้งหมดมีทั้งหมดกี่ข้อ?
2. สี่เหลี่ยมขนาด 3X4 มี 12 เซลล์ ค้นหาห้าวิธีในการตัดสี่เหลี่ยมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เพื่อให้เส้นตัดไปตามด้านข้างของเซลล์ (วิธีการตัดจะถือว่าแตกต่างกันหากชิ้นส่วนที่ได้จากวิธีตัดวิธีหนึ่งไม่เท่ากับชิ้นส่วนที่ได้จากวิธีอื่น)
3. สี่เหลี่ยมผืนผ้า 3X5 มี 15 เซลล์และเซลล์ส่วนกลางถูกลบออก ค้นหาห้าวิธีในการตัดรูปร่างที่เหลือออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เพื่อให้เส้นที่ตัดไปตามด้านข้างของเซลล์
4. สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 6x6 แบ่งออกเป็น 36 สี่เหลี่ยมที่เหมือนกัน ค้นหาห้าวิธีในการตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เพื่อให้เส้นตัดยาวไปตามด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หมายเหตุ: ปัญหามีมากกว่า 200 วิธีแก้ไข
5. แบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัส 4x4 ออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน โดยมีเส้นตัดทอดยาวไปตามด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส คุณสามารถหาวิธีตัดได้กี่วิธี?
6. แบ่งร่าง (รูปที่ 5) ออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน เพื่อให้เส้นตัดวิ่งไปตามด้านข้างของสี่เหลี่ยม

7. แบ่งร่าง (รูปที่ 6) ออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กันเพื่อให้เส้นตัดวิ่งไปตามด้านข้างของสี่เหลี่ยม

8. แบ่งร่าง (รูปที่ 7) ออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กันเพื่อให้เส้นตัดไปตามด้านข้างของสี่เหลี่ยม ค้นหาวิธีแก้ปัญหาให้ได้มากที่สุด

9. แบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 5x5 โดยตัดสี่เหลี่ยมตรงกลางออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน

10. ตัดตัวเลขที่แสดงในรูปที่ 8 ออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันตามเส้นตาราง และแต่ละส่วนควรมีวงกลม

11. ตัวเลขที่แสดงในรูปที่ 9 จะต้องตัดตามเส้นตารางออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กันเพื่อให้แต่ละส่วนมีวงกลม วิธีการทำเช่นนี้?

12. ตัดรูปภาพที่แสดงในรูปที่ 10 ตามแนวเส้นตารางออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กัน แล้วพับให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อให้วงกลมและดวงดาวอยู่ในตำแหน่งสมมาตรตามแกนสมมาตรทั้งหมดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

13. ตัดสี่เหลี่ยมนี้ (รูปที่ 11) ไปตามด้านข้างของเซลล์เพื่อให้ทุกส่วนมีขนาดและรูปร่างเท่ากัน และเพื่อให้แต่ละส่วนมีวงกลมหนึ่งวงและเครื่องหมายดอกจัน

14. ตัดสี่เหลี่ยมกระดาษตารางหมากรุกขนาด 6x6 ที่แสดงในรูปที่ 12 ออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน เพื่อให้แต่ละชิ้นมีสี่เหลี่ยมสีเทาสามอัน

สโมสรชั้นประถมศึกษาปีที่ 7

หัวหน้า วาร์วารา อเล็กซีเยฟนา โคโซโรโตวา
ปีการศึกษา 2552/2553

บทที่ 8. การตัดกระดาษตารางหมากรุก

เมื่อแก้ไขปัญหาประเภทนี้ จะมีประโยชน์ที่จะพิจารณาสิ่งต่อไปนี้:

1. สี่เหลี่ยม.หากคุณต้องการแบ่งรูปออกเป็นหลายส่วนเท่าๆ กัน คุณควรหาพื้นที่ของรูปที่ถูกตัดออกก่อน แล้วจึงหาพื้นที่ของแต่ละส่วน ในทำนองเดียวกัน หากจำเป็นต้องแบ่งรูปดั้งเดิมออกเป็นหลายรูปตามประเภทที่กำหนด ก็ควรคำนวณก่อนว่าควรมีกี่รูป ข้อควรพิจารณาเดียวกันนี้สามารถช่วยคุณแก้ไขปัญหาการตัดอื่นๆ ได้ เพื่ออธิบายแนวคิดนี้ ผู้เขียนบรรทัดเหล่านี้ได้เพิ่มปัญหาข้อ 13 เข้าไปในรายการ ซึ่งไม่ใช่ปัญหาหนึ่งที่นำเสนอในบทเรียน
2. สมมาตร.ควรให้ความสนใจกับคุณสมบัติของความสมมาตรเช่นในกรณีที่จำเป็นต้องตัดร่างหนึ่งออกเป็นส่วน ๆ และประกอบอีกร่างหนึ่งจากนั้น

สำหรับปัญหาง่ายๆ มีเพียงคำตอบเท่านั้น ส่วนปัญหาที่ซับซ้อนกว่านั้นยังมีข้อควรพิจารณาที่ช่วยให้ได้คำตอบอีกด้วย ตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 5x5 ที่มีรู (ดูรูป) ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน โดยใช้สองวิธี วิธีการตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองส่วนจะถือว่าแตกต่างกันหากส่วนของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ได้รับโดยใช้วิธีการตัดวิธีหนึ่งแตกต่างจากรูปร่างหรือขนาดจากชิ้นส่วนที่ได้ด้วยวิธีอื่น (นั่นคือไม่สามารถรวมกันโดยการทับซ้อนกัน)
แบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัส 4x4 ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันด้วยสี่วิธีที่แตกต่างกัน เพื่อให้เส้นตัดทอดยาวไปตามด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ธง - 1.ตัดธงแถบ 6 แถบออกเป็น 2 ส่วนเพื่อพับเป็นธง 8 แถบ
ธง - 2.ตัดธง A ออกเป็นสี่ส่วนเพื่อให้สามารถพับธง B ได้

ตัดร่างออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน
ของทั้งสอง - หนึ่งตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีรูเป็นเส้นตรงสองเส้นออกเป็น 4 ชิ้น เพื่อให้คุณสามารถพับสี่เหลี่ยมใหม่จากพวกมันและสี่เหลี่ยมขนาด 5x5 ปกติอีกอันหนึ่ง
11*. สี่เหลี่ยมหยักเปลี่ยนสี่เหลี่ยมหยักให้เป็นสี่เหลี่ยมปกติโดยตัดเป็น 5 ชิ้น
12*. มอลตาครอส - 2.ตัด “ไม้กางเขนมอลตา” (ดูปัญหาที่ 8) ออกเป็น 5 ชิ้นเพื่อพับเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส 13**. Dunno ตัดรูปที่แสดงในรูปออกเป็นมุมสามเซลล์และสี่เซลล์ (เช่นในภาพ) Dunno จะได้มุมกี่มุม? พิจารณาทุกกรณี!

สารละลาย.พื้นที่ของรูปดั้งเดิมคือ 22 (เราเอาหนึ่งเซลล์เป็นหน่วยของพื้นที่) ให้ใช้มุมสี่เซลล์และ k สามเซลล์ในการตัด จากนั้นเราแสดงพื้นที่ของรูปใหญ่เป็นผลรวมของพื้นที่มุม: 22 = 3 k + 4 n ลองเขียนความเท่าเทียมกันนี้ใหม่ในรูปแบบนี้: 22 − 4 n =3 k ทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้จะมีเลขคู่ซึ่งหารด้วย 4 ไม่ลงตัว ซึ่งหมายความว่า 3 k ก็เป็นเลขคู่เช่นกัน หารด้วย 4 ไม่ลงตัว ดังนั้นตัว k เองก็เป็นเช่นนั้น นอกจากนี้ ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันจะมีตัวเลขที่เป็นจำนวนทวีคูณของ 3 ดังนั้น 22 − 4 n จึงเป็นจำนวนทวีคูณของ 3 ด้วย ดังนั้น 22 − 4 n จึงเป็นจำนวนทวีคูณของ 6 ดูค่าต่างๆ ​​ของ n จาก 0 ถึง 5 (สำหรับ n ≥6 22 − 4 n<0<3 k , чего быть не может), получаем, что такое возможно лишь при n =1 и при n =4. В каждом из этих случаев несложно найти k . При n =1 имеем k =6, а при n =4 имеем k =2.
โปรดทราบว่าเรายังไม่ได้พิสูจน์ว่าทั้งสองกรณีนี้เกิดขึ้นจริง ท้ายที่สุดแล้ว ความเท่าเทียมกันของพื้นที่เป็นเพียงเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของวิธีการตัด แต่ก็ไม่เพียงพอ (เช่น เห็นได้ชัดว่าสี่เหลี่ยมขนาด 1 × 6 ไม่สามารถตัดเป็นสองมุมสามเซลล์ได้ แม้ว่า 3 2 = 6) เพื่อให้การพิสูจน์สมบูรณ์ ควรให้ตัวอย่างการตัดแต่ละประเภท ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี รูปภาพแสดงเพียงภาพเดียวและคุณสามารถลองคิดบางอย่างขึ้นมาเองได้ อย่างไรก็ตาม การตอบคำถามนี้น่าสนใจ: แต่ละประเภทมีการตัดกี่แบบ? (เช่นผู้เขียนบรรทัดเหล่านี้ยังไม่ทราบคำตอบสำหรับคำถามนี้)


โดยสรุป เราเน้นย้ำอีกครั้งว่าการแก้ปัญหาโดยสมบูรณ์สำหรับปัญหานี้เกี่ยวข้องกับสองขั้นตอน: การค้นหากรณีที่เป็นไปได้ และการตรวจสอบว่าทุกกรณีได้รับการปฏิบัติ แต่ละขั้นตอนเหล่านี้เพียงอย่างเดียวไม่สามารถแก้ปัญหาได้!

การแนะนำของครู:

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์เล็กๆ น้อยๆ: นักวิทยาศาสตร์หลายคนสนใจที่จะตัดปัญหามาตั้งแต่สมัยโบราณ ชาวกรีกและจีนโบราณพบวิธีแก้ไขปัญหาการตัดง่ายๆ มากมาย แต่บทความเชิงระบบฉบับแรกในหัวข้อนี้เขียนโดย Abul-Vef นักเรขาคณิตเริ่มแก้ไขปัญหาอย่างจริงจังในการตัดตัวเลขออกเป็นส่วนๆ ที่เล็กที่สุด จากนั้นจึงสร้างรูปปั้นอีกชิ้นขึ้นในต้นศตวรรษที่ 20 หนึ่งในผู้ก่อตั้งส่วนนี้คือ Henry E. Dudeney ผู้ก่อตั้งปริศนาชื่อดัง

ในปัจจุบัน ผู้ชื่นชอบปริศนาต่างกระตือรือร้นที่จะแก้ปัญหาแบบตัดเฉือน เนื่องจากไม่มีวิธีการที่เป็นสากลในการแก้ปัญหาดังกล่าว และทุกคนที่ลงมือแก้ไขปัญหาดังกล่าวสามารถแสดงให้เห็นถึงความเฉลียวฉลาด สัญชาตญาณ และความสามารถในการคิดเชิงสร้างสรรค์ได้อย่างเต็มที่ (ในระหว่างบทเรียนเราจะระบุตัวอย่างการตัดที่เป็นไปได้เพียงตัวอย่างเดียวเท่านั้น สันนิษฐานได้ว่านักเรียนอาจได้ชุดค่าผสมที่ถูกต้องอื่น ๆ - ไม่จำเป็นต้องกลัวสิ่งนี้)

บทเรียนนี้ควรจะดำเนินการในรูปแบบของบทเรียนภาคปฏิบัติ แบ่งผู้เข้าร่วมวงกลมออกเป็นกลุ่มละ 2-3 คน จัดเตรียมตัวเลขที่ครูเตรียมไว้ล่วงหน้าให้แต่ละกลุ่ม นักเรียนมีไม้บรรทัด (มีแผนก) ดินสอ และกรรไกร อนุญาตให้ตัดตรงโดยใช้กรรไกรเท่านั้น เมื่อตัดร่างออกเป็นชิ้น ๆ คุณจะต้องสร้างร่างอื่นจากส่วนเดียวกัน

งานตัด:

1). ลองตัดรูปที่แสดงในรูปออกเป็น 3 ส่วนที่มีรูปทรงเท่ากัน:

คำแนะนำ: รูปร่างเล็กๆ จะดูเหมือนตัวอักษร T มาก

2). ตอนนี้ตัดร่างนี้ออกเป็น 4 ส่วนที่มีรูปทรงเท่ากัน:

คำแนะนำ: เป็นเรื่องง่ายที่จะเดาว่าตัวเลขขนาดเล็กจะประกอบด้วย 3 เซลล์ แต่มีตัวเลขไม่มากที่มีสามเซลล์ มีเพียงสองประเภทเท่านั้น: มุมและสี่เหลี่ยมผืนผ้า

3). แบ่งร่างออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน และใช้ส่วนที่เป็นผลลัพธ์มาสร้างกระดานหมากรุก

คำแนะนำ: แนะนำให้เริ่มงานจากส่วนที่สองเหมือนกำลังหยิบกระดานหมากรุก จำไว้ว่ากระดานหมากรุกมีรูปร่างอย่างไร (สี่เหลี่ยม) นับจำนวนเซลล์ที่มีอยู่ตามความยาวและความกว้าง (จำไว้ว่าควรมี 8 เซลล์)

4). ลองตัดชีสออกเป็นแปดชิ้นเท่าๆ กันโดยใช้มีดขยับสามครั้ง

เคล็ดลับ: ลองหั่นชีสตามยาว

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

1). ตัดกระดาษสี่เหลี่ยมออกมาแล้วทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

· ตัดเป็น 4 ชิ้นซึ่งสามารถนำมาใช้ทำเป็นสี่เหลี่ยมเล็กๆ สองอันที่เท่ากันได้

· ตัดเป็นห้าส่วน - สามเหลี่ยมหน้าจั่วสี่อันและสี่เหลี่ยมหนึ่งอัน - แล้วพับเพื่อให้ได้สามสี่เหลี่ยม

การตัดปัญหาเป็นพื้นที่หนึ่งของคณิตศาสตร์ซึ่งอย่างที่พวกเขากล่าวว่าไม่มีแมมมอ ธ นอนอยู่รอบ ๆ ปัญหาส่วนบุคคลมากมาย แต่โดยพื้นฐานแล้วไม่มีทฤษฎีทั่วไป นอกเหนือจากทฤษฎีบทบอลไย-เกอร์วินที่รู้จักกันดีแล้ว ในทางปฏิบัติแล้วยังไม่มีผลลัพธ์พื้นฐานอื่นใดในเรื่องนี้ ความไม่แน่นอนเป็นเพื่อนชั่วนิรันดร์ในการตัดงาน ตัวอย่างเช่น เราสามารถตัดรูปห้าเหลี่ยมปกติออกเป็นหกส่วน จากนั้นเราจะสร้างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ อย่างไรก็ตาม เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าห้าส่วนจะไม่เพียงพอสำหรับเรื่องนี้

ด้วยความช่วยเหลือของการแก้ปัญหาอันชาญฉลาด จินตนาการ และครึ่งลิตร บางครั้งเราก็สามารถหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะได้ แต่ตามกฎแล้ว เราไม่มีเครื่องมือที่เหมาะสมในการพิสูจน์ความเรียบง่ายของวิธีแก้ปัญหานี้หรือการไม่มีอยู่จริง (อย่างหลัง แน่นอนว่าใช้กับกรณีที่เรายังหาทางแก้ไขไม่ได้) มันน่าเศร้าและไม่ยุติธรรม และวันหนึ่งฉันหยิบสมุดบันทึกเปล่าขึ้นมาและตัดสินใจคืนความยุติธรรมในระดับงานเฉพาะ: การตัดร่างแบนออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน (เท่ากันทุกประการ) ในส่วนหนึ่งของบทความชุดนี้ (โดยวิธีการจะมีสามบทความ) คุณและฉันสหายจะมองไปที่รูปหลายเหลี่ยมตลก ๆ ที่แสดงด้านล่างและพยายามคิดอย่างเป็นกลางว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะตัดมันออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ตัวเลขหรือไม่

การแนะนำ

ขั้นแรก มาทบทวนหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนและจำไว้ว่าตัวเลขที่เท่ากันคือเท่าใด Yandex แนะนำอย่างเป็นประโยชน์:

ร่างสองร่างบนเครื่องบินจะถูกเรียกว่าเท่ากันหากมีการเคลื่อนไหวแบบหนึ่งต่อหนึ่งเพื่อแปลงร่างหนึ่งเป็นอีกร่างหนึ่ง

ทีนี้ลองถามวิกิพีเดียเกี่ยวกับความเคลื่อนไหวกัน เธอจะบอกเราก่อนว่า การเคลื่อนไหวนั้นเป็นการเปลี่ยนแปลงของระนาบที่รักษาระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ประการที่สอง มีการจำแนกการเคลื่อนไหวบนเครื่องบินด้วยซ้ำ ทั้งหมดอยู่ในหนึ่งในสามประเภทต่อไปนี้:

• สมมาตรแบบเลื่อน (ในที่นี้ เพื่อความสะดวกและเป็นประโยชน์ ฉันจึงรวมสมมาตรของกระจกไว้ด้วย ในกรณีที่เสื่อมลง โดยที่การแปลแบบขนานจะดำเนินการกับเวกเตอร์ศูนย์)

เรามาแนะนำสัญกรณ์กันหน่อย เราจะเรียกรูปที่ถูกตัดว่ารูป A และตัวเลขที่เท่ากันสมมุติสองตัวที่เราคาดว่าจะสามารถตัดได้นั้นจะถูกเรียกว่า B และ C ตามลำดับ เราจะเรียกส่วนของระนาบที่ไม่ถูกครอบครองโดยรูป A ภูมิภาค D ในกรณีที่พิจารณารูปหลายเหลี่ยมเฉพาะจากรูปภาพเป็นรูปที่ตัด เราจะเรียกมันว่า A 0

ดังนั้น หากสามารถตัดรูป A ออกเป็นสองส่วน B และ C เท่าๆ กัน ก็จะมีการเคลื่อนไหวที่แปล B เป็น C การเคลื่อนไหวนี้อาจเป็นการแปลแบบขนาน การหมุน หรือการเลื่อนสมมาตร (ต่อจากนี้ต่อไปฉันจะไม่กำหนดอีกต่อไป ความสมมาตรของกระจกก็ถือว่าเลื่อนเช่นกัน) การตัดสินใจของเราจะถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานที่เรียบง่ายนี้ และฉันจะบอกว่าเป็นพื้นฐานที่ชัดเจนด้วยซ้ำ ในส่วนนี้เราจะดูกรณีที่ง่ายที่สุด - การถ่ายโอนแบบขนาน การหมุนและการเลื่อนสมมาตรจะตกอยู่ในส่วนที่สองและสามตามลำดับ

กรณีที่ 1: การถ่ายโอนแบบขนาน

การถ่ายโอนแบบขนานถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ตัวเดียว - เวกเตอร์ที่เกิดการเลื่อน ขอแนะนำคำศัพท์เพิ่มเติมอีกสองสามข้อ เส้นตรงขนานกับเวกเตอร์กะและมีจุดของรูป A อย่างน้อยหนึ่งจุดจะถูกเรียก ตัดออก- จุดตัดของเส้นตัดกับรูป A จะถูกเรียกว่า ภาพตัดขวาง- เส้นตัดมุมที่เกี่ยวข้องกับรูป A (ลบส่วน) อยู่ในระนาบครึ่งเดียวทั้งหมดจะถูกเรียกว่า ชายแดน.

เลมมา 1.ส่วนขอบเขตต้องมีมากกว่าหนึ่งจุด

หลักฐาน: ชัดเจน หรือในรายละเอียดเพิ่มเติม: มาพิสูจน์ด้วยข้อขัดแย้งกันดีกว่า หากจุดนี้เป็นของรูป B แสดงว่าเป็นจุดนั้น ภาพ(เช่น จุดที่จะไปในระหว่างการแปลแบบขนาน) เป็นของรูป C => รูปภาพอยู่ในรูป A => รูปภาพอยู่ในส่วนนั้น ความขัดแย้ง หากจุดนี้เป็นของรูป C แสดงว่าเป็นจุดนั้น ต้นแบบ(จุดที่จะมีการแปลแบบคู่ขนานเข้าไป) เป็นของรูป B และในทำนองเดียวกัน ปรากฎว่าต้องมีอย่างน้อยสองจุดในส่วนนี้

ด้วยบทแทรกง่ายๆ นี้ จึงไม่ยากที่จะเข้าใจว่าการแปลแบบขนานที่ต้องการสามารถเกิดขึ้นได้เฉพาะในแกนตั้งเท่านั้น (ในทิศทางปัจจุบันของรูปภาพ) หากอยู่ในทิศทางอื่น ขอบเขตอย่างน้อยหนึ่งส่วนจะเกิดขึ้น ประกอบด้วยจุดเดียว สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้โดยการหมุนเวกเตอร์กะในใจและดูว่าเกิดอะไรขึ้นกับขอบเขต เพื่อขจัดกรณีการถ่ายโอนแบบขนานในแนวตั้ง เราจำเป็นต้องมีเครื่องมือที่ซับซ้อนมากขึ้น

เล็มมา 2.ภาพผกผันของจุดที่อยู่บนขอบเขตของรูป C จะอยู่บนขอบเขตของรูป B และ C หรือบนขอบเขตของรูป B และบริเวณ D

หลักฐาน: ไม่ชัดเจน แต่เราจะแก้ไขทันที ฉันขอเตือนคุณว่าจุดขอบเขตของรูปคือจุดที่ไม่ว่าจะอยู่ใกล้แค่ไหน ก็มีทั้งจุดที่เป็นของรูปและจุดที่ไม่อยู่ในรูปนั้น ดังนั้น ใกล้จุดขอบเขต (ขอเรียกว่า O") ของรูป C จะมีทั้งจุดของรูป C และจุดอื่นๆ ที่เป็นของรูป B หรือบริเวณ D ภาพผกผันของจุดของรูป C สามารถเป็นจุดของรูปได้เท่านั้น B. ดังนั้น โดยพลการใกล้กับภาพผกผันของจุด O" (ถ้าจะเรียกมันว่าจุด O ก็สมเหตุสมผล) มีจุดต่างๆ ของรูป B ภาพผกผันของจุดของรูป B อาจเป็นจุดใดก็ได้ที่ทำ ไม่เป็นของ B (นั่นคือ จุดของรูป C หรือจุดของขอบเขต D) ในทำนองเดียวกันสำหรับจุดของบริเวณ D ดังนั้น ไม่ว่าจุดของจุด O จะอยู่ใกล้จุด O แค่ไหนก็ตาม (แล้วจุด O จะอยู่บนขอบเขตของ B และ C) หรือจุดของบริเวณ D (แล้วภาพผกผันจะ อยู่บนขอบเขตของ B และ D) หากคุณอ่านจดหมายเหล่านี้ได้ทั้งหมด คุณจะยอมรับว่าบทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 1ถ้าภาคตัดขวางของรูป A เป็นส่วนหนึ่ง ความยาวของมันจะเป็นผลคูณของความยาวของเวกเตอร์กะ

หลักฐาน: พิจารณาจุดสิ้นสุด "ไกล" ของส่วนนี้ (เช่น จุดสิ้นสุดที่มีต้นแบบอยู่ในส่วนนั้นด้วย) เห็นได้ชัดว่าปลายนี้เป็นของรูป C และเป็นจุดขอบเขต ดังนั้น รูปภาพผกผันของมัน (โดยวิธีการวางอยู่บนเซ็กเมนต์และแยกออกจากรูปภาพด้วยความยาวของเวกเตอร์กะ) จะอยู่บนขอบเขตของ B และ C หรือบนขอบเขตของ B และ D ถ้ามัน อยู่บนขอบเขตของ B และ C จากนั้นเราก็ใช้ภาพผกผันของมันด้วย เราจะทำซ้ำการดำเนินการนี้จนกว่าภาพผกผันถัดไปจะสิ้นสุดที่ขอบเขต C และไปสิ้นสุดที่ขอบเขต D และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นที่ปลายอีกด้านของส่วนนี้ทุกประการ เป็นผลให้เราได้รับลำดับของภาพล่วงหน้าที่แบ่งส่วนออกเป็นส่วนเล็ก ๆ จำนวนหนึ่ง ซึ่งความยาวของแต่ละส่วนจะเท่ากับความยาวของเวกเตอร์กะ ดังนั้นความยาวของส่วนจึงเป็นผลคูณของความยาวของเวกเตอร์กะ ฯลฯ

ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่ 1สองส่วนที่เป็นส่วนจะต้องเท่ากัน

เมื่อใช้ข้อพิสูจน์นี้ เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าการถ่ายโอนแบบขนานในแนวตั้งหายไปด้วย

อันที่จริง ส่วนที่หนึ่งมีความยาวสามเซลล์ และส่วนที่สองมีความยาวสามลบรากของสองในครึ่ง เห็นได้ชัดว่าค่าเหล่านี้ไม่สามารถเทียบเคียงได้

บทสรุป

ถ้ารูป A 0 และสามารถตัดออกเป็น 2 รูป B และ C เท่าๆ กันได้ แล้ว B จะไม่แปลเป็น C ด้วยการแปลแบบขนาน ที่จะดำเนินต่อไป

ด้วยกระดาษตารางหมากรุกโดยใช้กรรไกรคุณสามารถแก้ปัญหาที่แตกต่างและน่าสนใจมากมายได้ งานเหล่านี้ไม่เพียงแต่น่าสนใจหรือสนุกสนานเท่านั้น มักจะมีคำตอบที่ใช้งานได้จริงและการพิสูจน์คำถามทางเรขาคณิตที่ซับซ้อนในบางครั้ง

เริ่มต้นด้วยกฎหลักของการตัดและการพับ: รูปหลายเหลี่ยมสองรูปจะถูกเรียกว่าเท่ากันหากหนึ่งในนั้นสามารถแบ่ง (ตัด) เป็นรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ ได้ จากนั้นจึงสามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่สองได้

แน่นอนว่ารูปหลายเหลี่ยมที่มีสัดส่วนเท่ากันนั้นมีพื้นที่เท่ากัน (มีขนาดเท่ากัน) ดังนั้นบางครั้งคุณสมบัติของการสมมูลจึงทำให้เราได้สูตรในการคำนวณพื้นที่หรือเปรียบเทียบพื้นที่ของตัวเลข (ดังที่พวกเขากล่าวไว้ วิธีการแบ่งหรือสลายตัว- ตัวอย่างคือการเปรียบเทียบ (คำนวณ) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คำถามทั่วไปเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของรูปหลายเหลี่ยมสองรูปนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเลย มีทฤษฎีบทอันน่าทึ่งที่ระบุว่าจากรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดใดๆ เมื่อตัดมันออกเป็นชิ้นๆ ก็จะสามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ ในบริเวณเดียวกันได้

ทฤษฎีบทนี้เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว รูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีขอบเขตประกอบด้วยเส้นปิดหนึ่งเส้นโดยไม่มีจุดตัดกันเอง และมีลิงก์สองอันมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอดของเส้นประนี้ คุณสมบัติที่สำคัญของรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายก็คือมีเส้นทแยงมุมภายในอย่างน้อยหนึ่งเส้น

โปรดทราบว่าเพื่อให้สามารถเปลี่ยนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ เรา (รูปที่ 3) จำเป็นต้องแบ่งมันออกเป็นสามส่วน อย่างไรก็ตาม พาร์ติชั่นนี้ไม่ใช่พาร์ติชั่นเดียว ตัวอย่างเช่น คุณสามารถยกตัวอย่างการแบ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นสี่ส่วนได้ (รูปที่ 4)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

คำถามที่ว่าจำนวนการตัดที่น้อยที่สุดเพียงพอที่จะสร้างอีกชิ้นจากรูปหนึ่งยังคงเปิดอยู่จนถึงทุกวันนี้

ภารกิจที่ 1

ผู้หญิงคนหนึ่งมีพรมสี่เหลี่ยมขนาด 27 x 36 นิ้ว มุมตรงข้ามสองมุมหลุดลุ่ย (รูปที่ 5) และต้องถูกตัดออก แต่เธอต้องการพรมสี่เหลี่ยม เธอมอบงานนี้ให้เจ้านายแล้วเขาก็ทำ เขาทำเช่นนี้ได้อย่างไร?

วิธีแก้ปัญหาสามารถดูได้จากรูปที่ 6

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">

หากถอดส่วนที่เป็นฟัน A ออกจากส่วนที่เป็นฟัน B แล้วดันกลับระหว่างฟันของส่วน B โดยเลื่อนฟันไปทางขวาหนึ่งซี่ จะได้สี่เหลี่ยมที่ต้องการ

ภารกิจที่ 2

วิธีสร้างสี่เหลี่ยมจากห้าสี่เหลี่ยมที่เหมือนกันโดยการตัดพวกมัน

ดังแสดงในรูปที่ 7 ต้องตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่อันเป็นรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมู ติดสี่เหลี่ยมคางหมูสี่อันที่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ห้า และสุดท้ายติดสามเหลี่ยมโดยให้ขาติดกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">

ภารกิจที่ 3

ตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นเจ็ดชิ้น เพื่อว่าเมื่อคุณบวกมันเข้าไป คุณจะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเท่ากันสามอัน (ภาพที่ 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src=">

ภารกิจที่ 4

ตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นแปดชิ้น เพื่อว่าเมื่อบวกเข้าไปคุณจะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอัน โดยอันหนึ่งจะมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของอีกอัน

จากรูปที่ 10 คุณสามารถดูวิธีการตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ วิธีแก้ไขจะคล้ายกับวิธีแก้ไขปัญหาก่อนหน้า รูปที่ 11 แสดงวิธีการเพิ่มชิ้นส่วนเพื่อให้ได้ช่องสี่เหลี่ยมที่ต้องการสองช่อง

ทัวร์การศึกษา

งานสำหรับทีมของกลุ่มอายุ "อายุน้อยกว่า" ที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

ปัญหาที่ 1

หอยทากคลานขึ้นไปบนเสาสูง 10 เมตร ในตอนกลางวันจะสูงขึ้น 5 เมตร และในเวลากลางคืนจะตกลงมา 4 เมตร หอยทากจะใช้เวลานานเท่าใดจึงจะไปถึงยอดเสาได้

ปัญหาที่ 2

เป็นไปได้ไหมที่จะเจาะรูในกระดาษสมุดบันทึกที่บุคคลหนึ่งสามารถสอดเข้าไปได้?

ปัญหา 3

กระต่ายกำลังเลื่อยท่อนไม้ พวกเขาทำการตัด 10 ครั้ง คุณได้รับบันทึกกี่รายการ?

ปัญหาที่ 4

เบเกิลถูกตัดเป็นชิ้น เราทำการตัด 10 ครั้ง คุณได้รับกี่ชิ้น?

ปัญหาที่ 5

บนเค้กทรงกลมขนาดใหญ่ มีการตัด 10 ครั้งเพื่อให้แต่ละการตัดตัดจากขอบหนึ่งไปอีกขอบหนึ่งและผ่านตรงกลางของเค้ก คุณได้รับกี่ชิ้น?

ปัญหาที่ 6

คนสองคนมีเค้กสี่เหลี่ยมสองชิ้น ทุกคนตัดเค้กเป็นเส้นตรง 2 ครั้งจากขอบหนึ่งไปอีกขอบหนึ่ง ในเวลาเดียวกัน ชิ้นหนึ่งมีสามชิ้น และอีกชิ้นมีสี่ชิ้น เป็นไปได้ยังไง?

ปัญหาที่ 7

กระต่ายกำลังเลื่อยท่อนไม้อีกครั้ง แต่ตอนนี้ปลายทั้งสองข้างของท่อนไม้ปลอดภัยแล้ว ไม้ท่อนกลางล้มลง 10 ชิ้น แต่ไม้ด้านนอก 2 ชิ้นยังคงซ่อมอยู่ กระต่ายตัดกี่อัน?

ปัญหาที่ 8

จะแบ่งแพนเค้กออกเป็น 4.5, 6, 7 ส่วนโดยใช้การตัดตรงสามครั้งได้อย่างไร?

ปัญหาที่ 9

มีแท่งช็อกโกแลตทรงกลมอยู่บนเค้กสี่เหลี่ยม จะตัดเค้กออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันเพื่อให้แท่งช็อกโกแลตแบ่งครึ่งได้อย่างไร?

ปัญหาที่ 10

เป็นไปได้ไหมที่จะอบเค้กที่สามารถแบ่งออกเป็น 4 ส่วนด้วยการตัดตรงเพียงครั้งเดียว?

ปัญหาที่ 11

แพนเค้กทรงกลมสามารถแบ่งออกเป็นชิ้นตรง 3 ชิ้นได้สูงสุดจำนวนเท่าใด

ปัญหาที่ 12

บันไดขึ้นชั้น 4 ของบ้านยาวกว่าบันไดขึ้นชั้น 2 ของบ้านหลังเดียวกันกี่เท่า?

ปัญหาที่ 13

Giuseppe มีแผ่นไม้อัด ขนาด 22 × 15. Giuseppe ต้องการตัดช่องว่างสี่เหลี่ยมขนาด 3 ออกจากช่องว่างให้ได้มากที่สุด × 5. ทำอย่างไร?

ปัญหาที่ 14

ดินแดนเวทมนตร์มีกฎแห่งธรรมชาติที่มีมนต์ขลังของตัวเอง ซึ่งหนึ่งในนั้นกล่าวไว้ว่า: "พรมบินได้จะบินได้ก็ต่อเมื่อมันมีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมเท่านั้น"

Ivan Tsarevich มีพรมวิเศษขนาด 9 × 12. วันหนึ่ง Serpent Gorynych ย่องขึ้นมาและตัดพรมขนาดเล็กขนาด 1 ออกจากพรมนี้ × 8. Ivan Tsarevich อารมณ์เสียมากและต้องการตัดชิ้นที่ 1 ออกไปอีกชิ้นหนึ่ง × 4 ทำเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 8 × 12 แต่วาซิลิซา the Wise แนะนำให้ทำแตกต่างออกไป เธอตัดพรมออกเป็นสามส่วน จากนั้นเธอใช้ด้ายวิเศษเย็บพรมบินทรงสี่เหลี่ยมขนาด 10 นิ้ว × 10.

คุณเดาได้ไหมว่า Vasilisa the Wise สร้างพรมที่เสียหายขึ้นมาใหม่ได้อย่างไร

ปัญหาที่ 15

เมื่อกัลลิเวอร์ไปถึงลิลลิพุต เขาค้นพบว่าทุกสิ่งในนั้นสั้นกว่าบ้านเกิดของเขาถึง 12 เท่าพอดี คุณบอกได้ไหมว่ากล่องไม้ขีดของ Lilliputian จะใส่ในกล่องไม้ขีดของ Gulliver ได้กี่ใบ?

ปัญหาที่ 16

ธงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองสีโบกสะบัดจากเสากระโดงเรือโจรสลัด ประกอบด้วยแถบแนวตั้งสีดำและสีขาวสลับกันที่มีความกว้างเท่ากัน จำนวนแถบทั้งหมดเท่ากับจำนวนนักโทษบนเรือในปัจจุบัน ในตอนแรกมีนักโทษ 12 คนบนเรือ และมีแถบ 12 แถบบนธง จากนั้นนักโทษทั้งสองก็หลบหนีไป จะตัดธงเป็นสองส่วนแล้วเย็บติดกันอย่างไรไม่ให้พื้นที่ผืนธงและความกว้างของแถบเปลี่ยนแปลงแต่จำนวนแถบกลายเป็น 10 ?

ปัญหาที่ 17

มีจุดหนึ่งถูกทำเครื่องหมายไว้ในวงกลม เป็นไปได้ไหมที่จะตัดวงกลมนี้ออกเป็นสามส่วนเพื่อใช้สร้างวงกลมใหม่โดยมีจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ตรงกลาง

ปัญหาที่ 18

เป็นไปได้ไหมที่จะตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสี่ส่วนเพื่อให้แต่ละส่วนสัมผัสกับ (เช่น มีพื้นที่ทั่วไปของเส้นขอบ) กับอีกสามส่วนที่เหลือ

DIV_ADBLOCK245">

ปัญหาที่ 24

ไม่มีการแบ่งส่วนบนไม้บรรทัดยาว 9 ซม. ใช้การแบ่งระดับกลางสามส่วนเพื่อให้คุณสามารถใช้วัดระยะทางได้ตั้งแต่ 1 ถึง 9 ซม. ด้วยความแม่นยำ 1 ซม.

ปัญหาที่ 25

เขียนตัวเลขใกล้ๆ จุดยอดแต่ละจุดของสามเหลี่ยม และเขียนผลรวมของตัวเลขที่ปลายด้านนั้นใกล้กับแต่ละด้านของสามเหลี่ยม ตอนนี้ให้เพิ่มแต่ละหมายเลขที่อยู่ใกล้ด้านบนเข้ากับหมายเลขที่อยู่ฝั่งตรงข้าม ทำไมคุณถึงคิดว่าจำนวนเงินเท่ากัน?

ปัญหาที่ 26

พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีด้าน 18, 17, 35 เป็นเท่าใด?

ปัญหาที่ 27

ตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นห้าสามเหลี่ยมเพื่อให้พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านใดด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เหลือ

ปัญหาที่ 28

กระดาษแผ่นสี่เหลี่ยมถูกตัดเป็นหกชิ้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน หายไปห้าชิ้น เหลือหนึ่งชิ้นที่มีรูปร่างแปดเหลี่ยมปกติ (ดูรูป) เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างจัตุรัสเดิมขึ้นมาใหม่โดยใช้รูปแปดเหลี่ยมนี้เพียงอย่างเดียว?

ปัญหาที่ 29

คุณสามารถตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กันหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปเท่าๆ กันได้อย่างง่ายดาย จะตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นห้าเหลี่ยมเท่ากันสองอันหรือหกเหลี่ยมเท่ากันได้อย่างไร?

ปัญหาที่ 30

Ivan Tsarevich ไปตามหา Vasilisa the Beautiful ที่ถูก Koshchei ลักพาตัวไป ก็อบลินมาพบเขา

“ ฉันรู้” เขากล่าว “ ฉันเคยไปที่นั่นและไปที่อาณาจักร Koshcheevo” ฉันเดินสี่วันสี่คืน ใน 24 ชั่วโมงแรก ฉันเดินไปหนึ่งในสามของทาง เป็นถนนตรงไปทางทิศเหนือ จากนั้นเขาก็หันไปทางทิศตะวันตก ย่ำเข้าไปในป่าเป็นเวลาหนึ่งวัน และเดินไปได้ไกลถึงครึ่งทาง วันที่สามข้าพเจ้าเดินผ่านป่าไปทางทิศใต้แล้วออกมาตามทางตรงไปทางทิศตะวันออก ฉันเดินไปตามทางนั้น 100 ไมล์ในหนึ่งวัน และจบลงที่อาณาจักร Koshcheevo คุณเป็นคนเดินเร็วพอๆ กับฉันเลย ไปกันเถอะ Ivan Tsarevich ดูสิในวันที่ห้าคุณจะไปเยี่ยมชม Koshchei

ไม่” Ivan Tsarevich ตอบ“ ถ้าทุกอย่างเป็นไปตามที่คุณพูดพรุ่งนี้ฉันจะได้เห็น Vasilisa the Beautiful ของฉัน”

เขาพูดถูกเหรอ? Leshy เดินได้กี่ไมล์และ Tsarevich Ivan คิดที่จะเดินไกลแค่ไหน?

ปัญหาที่ 31

สร้างโครงร่างสีสำหรับใบหน้าของลูกบาศก์ เพื่อให้ในตำแหน่งที่แตกต่างกันสามตำแหน่ง ดูเหมือนว่าที่แสดงในรูปภาพ (ระบุวิธีการลงสีขอบที่มองไม่เห็น หรือวาดตาข่าย)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> ปัญหาที่ 32

นักเล่นเหรียญ Fedya มีเหรียญทั้งหมดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางไม่เกิน 10 ซม. เขาเก็บไว้ในกล่องแบนขนาด 30 ซม. * 70 ซม. (ในชั้นเดียว) เขาได้รับเหรียญที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 ซม. พิสูจน์ว่าเหรียญทั้งหมดสามารถใส่ในกล่องแบนขนาด 55 ซม. * 55 ซม.

ปัญหาที่ 33

จัตุรัสกลางถูกตัดออกจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 5x5 ตัดรูปร่างที่ได้ออกเป็นสองส่วนซึ่งคุณสามารถห่อลูกบาศก์ขนาด 2x2x2 ได้

ปัญหาที่ 34

ตัดสี่เหลี่ยมนี้ตามด้านข้างของเซลล์ออกเป็นสี่ส่วนเพื่อให้ทุกส่วนมีขนาดและรูปร่างเท่ากัน แต่ละส่วนจะมีวงกลมหนึ่งวงและดาวหนึ่งดวง

ปัญหาที่ 35

ที่จอดรถใน Flower City เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 7x 7 เซลล์ ซึ่งแต่ละช่องสามารถจอดรถได้ ที่จอดรถล้อมรอบด้วยรั้ว โดยถอดกรงมุมด้านหนึ่งออก (นี่คือประตู) รถแล่นไปตามเส้นทางกว้างกรง Dunno ถูกขอให้วางรถไว้ในลานจอดรถให้ได้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เพื่อให้ใครก็ตามสามารถออกไปได้ในขณะที่คนอื่นยืนอยู่ Dunno จัดรถ 24 คัน ดังรูป ลองจัดเรียงรถให้แตกต่างออกไปเพื่อรองรับรถให้มากขึ้น

ปัญหาที่ 36

Petya และ Vasya อาศัยอยู่ในบ้านใกล้เคียง (ดูแผนผังในภาพ) วาสยาอาศัยอยู่ที่ทางเข้าที่สี่ เป็นที่ทราบกันดีว่าเพื่อที่จะไปถึง Vasya ด้วยเส้นทางที่สั้นที่สุด (ไม่จำเป็นต้องไปตามด้านข้างของเซลล์) Petya ไม่สนใจว่าเขาวิ่งรอบบ้านด้านไหน พิจารณาว่าทางเข้า Petya อาศัยอยู่ที่ใด

ปัญหาที่ 37

เสนอแนะวิธีวัดเส้นทแยงมุมของอิฐธรรมดาซึ่งปฏิบัติได้ง่ายในทางปฏิบัติ (ไม่มีทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

ปัญหาที่ 38

ตัดไม้กางเขนที่ทำจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เหมือนกันห้าอันให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมสามอันที่มีพื้นที่และปริมณฑลเท่ากัน

ปัญหาที่ 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_35.gif" width="411" height="111">

ปัญหาที่ 46

a) จัตุรมุข b) ลูกบาศก์ถูกตัดตามขอบที่เน้นด้วยเส้นหนา (ดูรูป) แล้วคลี่ออก วาดการพัฒนาที่เกิดขึ้น

ปัญหาที่ 47

ในภาพมีร่างกายประเภทใดบ้าง? วาดภาพตามแบบ กาวเข้าด้วยกันเพื่อสร้างเป็นรูปทรงเรขาคณิต

1)2) 3) 4) https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_30.gif" width="182" height="146 src=">.gif" width="212" height="139">8 )