สมการ Canonical ของเส้นในปริภูมิคือสมการที่กำหนดเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดตามแนวเส้นตรงไปยังเวกเตอร์ทิศทาง

ให้จุดและเวกเตอร์ทิศทางถูกกำหนดไว้ จุดใดจุดหนึ่งอยู่บนเส้น ลเฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์และเป็นเส้นตรง กล่าวคือ เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับพวกมัน:

.

สมการข้างต้นเป็นสมการมาตรฐานของเส้นตรง

ตัวเลข ม , nและ พีคือเส้นโครงของเวกเตอร์ทิศทางไปยังแกนพิกัด เนื่องจากเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ จึงเป็นตัวเลขทั้งหมด ม , nและ พีไม่สามารถเท่ากับศูนย์พร้อมกันได้ แต่หนึ่งหรือสองคนอาจกลายเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อนุญาตให้ใช้รายการต่อไปนี้:

,

ซึ่งหมายความว่าเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน เฮ้ยและ ออนซ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นทั้งเวกเตอร์และเส้นที่กำหนดโดยสมการบัญญัติจึงตั้งฉากกับแกน เฮ้ยและ ออนซ์เช่น เครื่องบิน คุณออซ .

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการของเส้นตรงในอวกาศที่ตั้งฉากกับระนาบ และผ่านจุดตัดของระนาบนี้กับแกน ออนซ์ .

สารละลาย. ลองหาจุดตัดของระนาบนี้กับแกนกัน ออนซ์- เนื่องจากจุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกน ออนซ์มีพิกัด แล้วสมมติในสมการที่กำหนดของระนาบ x = ย = 0 เราได้ 4 z- 8 = 0 หรือ z= 2 . ดังนั้นจุดตัดของระนาบนี้กับแกน ออนซ์มีพิกัด (0; 0; 2) . เนื่องจากเส้นที่ต้องการตั้งฉากกับระนาบ จึงขนานกับเวกเตอร์ปกติ ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจึงสามารถเป็นเวกเตอร์ปกติได้ เครื่องบินที่ได้รับ

ตอนนี้ เรามาเขียนสมการที่จำเป็นสำหรับเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งๆ กัน ก= (0; 0; 2) ในทิศทางของเวกเตอร์:

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

เส้นตรงสามารถกำหนดได้ด้วยจุดสองจุดที่วางอยู่บนเส้นนั้น และ ในกรณีนี้ เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงสามารถเป็นเวกเตอร์ได้ จากนั้นสมการมาตรฐานของเส้นตรงจะเกิดขึ้น

.

สมการข้างต้นกำหนดเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

ตัวอย่างที่ 2เขียนสมการของเส้นในปริภูมิที่ผ่านจุด และ

สารละลาย. ให้เราเขียนสมการเส้นตรงที่ต้องการในรูปแบบที่ให้ไว้ข้างต้นในการอ้างอิงทางทฤษฎี:

.

เนื่องจาก ดังนั้นเส้นตรงที่ต้องการจึงตั้งฉากกับแกน เฮ้ย .

ตรงเหมือนเส้นตัดกันของระนาบ

เส้นตรงในอวกาศสามารถนิยามได้ว่าเป็นเส้นตัดกันของระนาบที่ไม่ขนานกัน 2 ระนาบ และนั่นคือ เซตของจุดที่เป็นไปตามระบบสมการเชิงเส้น 2 สมการ

สมการของระบบเรียกอีกอย่างว่าสมการทั่วไปของเส้นตรงในอวกาศ

ตัวอย่างที่ 3เขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงในปริภูมิที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

สารละลาย. ในการเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงหรือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด คุณจะต้องค้นหาพิกัดของจุดสองจุดใดๆ บนเส้นตรง พวกเขาสามารถเป็นจุดตัดกันของเส้นตรงกับระนาบพิกัดสองระนาบใดก็ได้ คุณออซและ xออซ .

จุดตัดของเส้นตรงและระนาบ คุณออซมีแอบซิสซา x= 0 . ดังนั้นหากสมมุติในระบบสมการนี้ x= 0 เราจะได้ระบบที่มีตัวแปรสองตัว:

การตัดสินใจของเธอ ย = 2 , z= 6 ร่วมกับ x= 0 กำหนดจุด ก(0; 2; 6) เส้นที่ต้องการ แล้วสมมติในระบบสมการที่กำหนด ย= 0 เราได้ระบบ

การตัดสินใจของเธอ x = -2 , z= 0 ร่วมกับ ย= 0 กำหนดจุด บี(-2; 0; 0) จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xออซ .

ทีนี้ลองเขียนสมการของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ กัน ก(0; 2; 6) และ บี (-2; 0; 0) :

,

หรือหลังจากหารตัวส่วนด้วย -2:

,

ให้สองคะแนน ม.1 (x1,ปี1)และ ม.2 (x2,ปี2)- ให้เราเขียนสมการของเส้นตรงในรูปแบบ (5) โดยที่ เคยังไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์:

ตั้งแต่จุด ม.2เป็นของเส้นที่กำหนด จากนั้นพิกัดของมันจะเป็นไปตามสมการ (5): - แสดงจากที่นี่และแทนที่เป็นสมการ (5) เราจะได้สมการที่ต้องการ:

ถ้า สมการนี้สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบที่สะดวกกว่าในการท่องจำ:

(6)

ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (1,2) และ M 2 (-2,3)

สารละลาย. - การใช้คุณสมบัติของสัดส่วนและดำเนินการแปลงที่จำเป็นเราได้สมการทั่วไปของเส้นตรง:

มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

พิจารณาเส้นตรงสองเส้น ล. 1และ ลิตร 2:

ล. 1: , , และ

ลิตร 2: , ,

φ คือมุมระหว่างพวกเขา () จากรูปที่ 4 มีความชัดเจน: .

จากที่นี่ , หรือ

การใช้สูตร (7) คุณสามารถกำหนดมุมใดมุมหนึ่งระหว่างเส้นตรงได้ มุมที่สองเท่ากับ

ตัวอย่าง- เส้นตรงสองเส้นได้มาจากสมการ y=2x+3 และ y=-3x+2 หามุมระหว่างเส้นเหล่านี้

สารละลาย- จากสมการจะเห็นได้ชัดว่า k 1 =2 และ k 2 =-3 เราพบการแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสูตร (7)

- ดังนั้น มุมระหว่างเส้นเหล่านี้จึงเท่ากับ

เงื่อนไขความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น

ถ้าตรง ล. 1และ ลิตร 2ขนานกันแล้ว φ=0 และ tgφ=0- จากสูตร (7) ตามนั้น เหตุใด เค 2 = เค 1- ดังนั้น เงื่อนไขของการขนานกันของเส้นตรงสองเส้นคือความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์เชิงมุม

ถ้าตรง ล. 1และ ลิตร 2ตั้งฉากกัน φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . - ดังนั้น เงื่อนไขสำหรับการตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้นคือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงทั้งสองมีขนาดผกผันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

ทฤษฎีบท. หากกำหนดจุด M(x 0, y 0) ดังนั้นระยะทางถึงเส้น Ax + Bу + C = 0 จะถูกกำหนดเป็น

การพิสูจน์. ให้จุด M 1 (x 1, y 1) เป็นฐานของจุดตั้งฉากที่ตกลงจากจุด M ไปยังเส้นตรงที่กำหนด จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด M และ M 1:

พิกัด x 1 และ y 1 สามารถพบได้โดยการแก้ระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

หากเราแปลงสมการแรกของระบบให้อยู่ในรูปแบบ:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้นเมื่อแก้ไขเราจะได้:

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราจะพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างเส้น: y = -3x + 7; y = 2x + 1

เค 1 = -3; k 2 = 2 แทนจ= ; เจ = หน้า/4

ตัวอย่าง.แสดงว่าเส้นตรง 3x – 5y + 7 = 0 และ 10x + 6y – 3 = 0 ตั้งฉากกัน

เราพบว่า: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1 ดังนั้น เส้นตรงทั้งสองจึงตั้งฉากกัน

ตัวอย่าง.ให้ไว้คือจุดยอดของสามเหลี่ยม A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) ค้นหาสมการของความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด C

เราพบสมการของด้าน AB: ; 4x = 6ป – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

สมการความสูงที่ต้องการมีรูปแบบ: Ax + By + C = 0 หรือ y = kx + b

เค= . แล้ว ย = . เพราะ ความสูงผ่านจุด C จากนั้นพิกัดของมันเป็นไปตามสมการนี้: โดยที่ b = 17 ผลรวม:

คำตอบ: 3x + 2y – 34 = 0

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งถูกกำหนดโดยความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

หากเส้นขนานกับระนาบการฉายภาพ (ซ | | หน้า 1)แล้วจึงกำหนดระยะห่างจากจุดนั้น กเป็นเส้นตรง ชม.จำเป็นต้องลดแนวตั้งฉากลงจากจุด กไปยังแนวนอน ชม..

ลองพิจารณาตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น เมื่อเส้นตรงครองตำแหน่งทั่วไป ปล่อยให้จำเป็นต้องกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่ง มให้เป็นเส้นตรง กตำแหน่งทั่วไป

ภารกิจการกำหนด ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานได้รับการแก้ไขเช่นเดียวกับครั้งก่อน จุดหนึ่งถูกถ่ายบนบรรทัดหนึ่งและตั้งฉากกับอีกบรรทัดหนึ่ง ความยาวของเส้นตั้งฉากเท่ากับระยะห่างระหว่างเส้นขนาน

เส้นโค้งลำดับที่สองเป็นเส้นที่กำหนดโดยสมการระดับที่สองสัมพันธ์กับพิกัดคาร์ทีเซียนปัจจุบัน ในกรณีทั่วไป Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

โดยที่ A, B, C, D, E, F เป็นจำนวนจริงและมีอย่างน้อยหนึ่งตัวเลข A 2 + B 2 + C 2 ≠0

วงกลม

ศูนย์กลางวงกลม– นี่คือตำแหน่งเรขาคณิตของจุดในระนาบที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดในระนาบ C(a,b)

วงกลมได้มาจากสมการต่อไปนี้:

โดยที่ x,y คือพิกัดของจุดใดก็ได้บนวงกลม R คือรัศมีของวงกลม

สัญลักษณ์ของสมการของวงกลม

1. คำที่มี x, y หายไป

2. ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x 2 และ y 2 เท่ากัน

วงรี

วงรีเรียกว่าตำแหน่งเรขาคณิตของจุดในระนาบ ผลรวมของระยะทางที่แต่ละจุดจากจุดที่กำหนดสองจุดของระนาบนี้เรียกว่า foci (ค่าคงที่)

สมการทางบัญญัติของวงรี:

X และ y อยู่ในวงรี

a – กึ่งแกนเอกของวงรี

b คือแกนกึ่งรองของวงรี

วงรีมี 2 แกนสมมาตร OX และ OU แกนสมมาตรของวงรีคือแกนของมัน จุดตัดกันคือจุดศูนย์กลางของวงรี แกนที่จุดโฟกัสอยู่เรียกว่า แกนโฟกัส- จุดตัดของวงรีกับแกนคือจุดยอดของวงรี

อัตราส่วนกำลังอัด (แรงดึง): ε = ส/ก– ความเยื้องศูนย์ (แสดงลักษณะรูปร่างของวงรี) ยิ่งมีขนาดเล็กเท่าไร วงรีก็จะขยายไปตามแกนโฟกัสน้อยลงเท่านั้น

หากจุดศูนย์กลางของวงรีไม่ได้อยู่ที่จุดศูนย์กลาง C(α, β)

ไฮเปอร์โบลา

อติพจน์เรียกว่าตำแหน่งเรขาคณิตของจุดในระนาบ ค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างในระยะทาง ซึ่งแต่ละค่าจากจุดที่กำหนดสองจุดของระนาบนี้ เรียกว่า foci เป็นค่าคงที่ที่แตกต่างจากศูนย์

สมการไฮเปอร์โบลาแบบบัญญัติ

ไฮเปอร์โบลามีแกนสมมาตร 2 แกน:

a – กึ่งแกนจริงของสมมาตร

b – กึ่งแกนจินตภาพของสมมาตร

เส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา:

พาราโบลา

พาราโบลาคือตำแหน่งของจุดต่างๆ ในระนาบซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุดที่กำหนด F เรียกว่าโฟกัส และเส้นที่กำหนดเรียกว่าไดเรกตริกซ์

สมการบัญญัติของพาราโบลา:

У 2 =2рх โดยที่ р คือระยะห่างจากโฟกัสถึงไดเรกตริกซ์ (พารามิเตอร์พาราโบลา)

ถ้าจุดยอดของพาราโบลาคือ C (α, β) แล้วสมการของพาราโบลา (y-β) 2 = 2р(x-α)

หากใช้แกนโฟกัสเป็นแกนกำหนดสมการของพาราโบลาจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​2 =2qу

ปล่อยให้เส้นผ่านจุด M 1 (x 1; y 1) และ M 2 (x 2; y 2) สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 มีรูปแบบ y-y 1 = เค (x - x 1), (10.6)

ที่ไหน เค - ยังไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์

เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด M 2 (x 2 y 2) พิกัดของจุดนี้จะต้องเป็นไปตามสมการ (10.6): y 2 -y 1 = เค (x 2 - x 1)

จากตรงนี้เราจะพบว่าการแทนที่ค่าที่พบ เค ในสมการ (10.6) เราได้สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 และ M 2:

สันนิษฐานว่าในสมการนี้ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

ถ้า x 1 = x 2 ดังนั้นเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (x 1,y I) และ M 2 (x 2,y 2) จะขนานกับแกนพิกัด สมการของมันคือ x = x 1 .

ถ้า y 2 = y I ดังนั้นสมการของเส้นสามารถเขียนเป็น y = y 1 เส้นตรง M 1 M 2 จะขนานกับแกน abscissa

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

ให้เส้นตรงตัดแกน Ox ที่จุด M 1 (a;0) และแกน Oy ที่จุด M 2 (0;b) สมการจะอยู่ในรูปแบบ:
เหล่านั้น.
- สมการนี้เรียกว่า สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ เพราะ ตัวเลข a และ b ระบุว่าส่วนใดที่เส้นตัดบนแกนพิกัด.

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

ขอให้เราค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด Mo (x O; y o) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่กำหนด n = (A; B)

ลองหาจุดใดก็ได้บนเส้นตรง M(x; y) แล้วพิจารณาเวกเตอร์ M 0 M (x - x 0; y - y o) (ดูรูปที่ 1) เนื่องจากเวกเตอร์ n และ M o M ตั้งฉากกัน ผลคูณสเกลาร์ของพวกมันจึงเท่ากับศูนย์: นั่นคือ

A(x - xo) + B(y - yo) = 0 (10.8)

เรียกสมการ (10.8) สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด .

เวกเตอร์ n= (A; B) ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง เรียกว่า เส้นปกติ เวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ .

สมการ (10.8) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น อา + วู + C = 0 , (10.9)

โดยที่ A และ B คือพิกัดของเวกเตอร์ปกติ C = -Ax o - Vu o คือเทอมอิสระ สมการ (10.9) คือสมการทั่วไปของเส้นตรง(ดูรูปที่ 2)

รูปที่ 1 รูปที่ 2

สมการ Canonical ของเส้นตรง

,

ที่ไหน
- พิกัดของจุดที่เส้นผ่านและ
- เวกเตอร์ทิศทาง

เส้นโค้งลำดับที่สอง วงกลม

วงกลมคือเซตของจุดทุกจุดของระนาบซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุดที่กำหนด ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลาง

สมการ Canonical ของวงกลมรัศมี ร มีศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง
:

โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากจุดศูนย์กลางของเสาตรงกับที่มาของพิกัด สมการจะมีลักษณะดังนี้:

วงรี

วงรีคือเซตของจุดบนระนาบ ผลรวมของระยะทางจากแต่ละจุดไปยังจุดที่กำหนดสองจุด และ ซึ่งเรียกว่า foci เป็นปริมาณคงที่
มากกว่าระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส
.

สมการมาตรฐานของวงรีซึ่งมีจุดโฟกัสอยู่บนแกนวัว และจุดกำเนิดของพิกัดที่อยู่ตรงกลางระหว่างจุดโฟกัสมีรูปแบบ
ช เดอก ความยาวกึ่งแกนเอกข – ความยาวของแกนกึ่งรอง (รูปที่ 2)

บทความนี้เผยให้เห็นที่มาของสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่ตั้งอยู่บนระนาบ ขอให้เราได้สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เราจะแสดงและแก้ไขตัวอย่างต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาที่ครอบคลุมอย่างชัดเจน

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ก่อนที่จะได้สมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด จำเป็นต้องใส่ใจกับข้อเท็จจริงบางประการก่อน มีสัจพจน์ที่บอกว่าผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันบนเครื่องบิน คุณสามารถวาดเส้นตรงได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดที่กำหนดสองจุดบนระนาบถูกกำหนดโดยเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้

หากระนาบถูกกำหนดโดยระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy เส้นตรงใดๆ ที่ปรากฎในนั้นจะสอดคล้องกับสมการของเส้นตรงบนระนาบ นอกจากนี้ยังมีการเชื่อมต่อกับเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงด้วย ข้อมูลนี้เพียงพอที่จะรวบรวมสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาที่คล้ายกัน จำเป็นต้องสร้างสมการสำหรับเส้นตรงที่ผ่านจุดแตกต่างสองจุด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2) ซึ่งอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ในสมการมาตรฐานของเส้นบนระนาบที่มีรูปแบบ x - x 1 a x = y - y 1 ay ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y ถูกระบุด้วยเส้นที่ตัดกับมันที่จุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1) โดยมีเวกเตอร์นำทาง a → = (a x , a y)

จำเป็นต้องสร้างสมการทางบัญญัติของเส้นตรง a ซึ่งจะผ่านจุดสองจุดด้วยพิกัด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2)

เส้นตรง a มีเวกเตอร์ทิศทาง M 1 M 2 → พร้อมพิกัด (x 2 - x 1, y 2 - y 1) เนื่องจากมันตัดกันจุด M 1 และ M 2 เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นเพื่อแปลงสมการบัญญัติด้วยพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) และพิกัดของจุด M 1 ที่วางอยู่บนพวกมัน (x 1, y 1) และ ม 2 (x 2 , y 2) . เราได้สมการในรูปแบบ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 หรือ x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1

พิจารณารูปด้านล่าง

หลังจากการคำนวณเราเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นบนระนาบที่ผ่านจุดสองจุดด้วยพิกัด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2) เราได้สมการในรูปแบบ x = x 1 + (x 2 - x 1) · แลมบ์ y = y 1 + (y 2 - y 1) · แลมหรือ x = x 2 + (x 2 - x 1) · แลม y = y 2 + (y 2 - y 1) · แลมบ์

ลองมาดูการแก้ปัญหาหลายตัวอย่างให้ละเอียดยิ่งขึ้น

ตัวอย่างที่ 1

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่าน 2 จุดที่กำหนดด้วยพิกัด M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6

สารละลาย

สมการมาตรฐานสำหรับเส้นตรงที่ตัดกันที่จุดสองจุดด้วยพิกัด x 1, y 1 และ x 2, y 2 อยู่ในรูปแบบ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ตามเงื่อนไขของปัญหา เราจะได้ว่า x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 จำเป็นต้องแทนที่ค่าตัวเลขลงในสมการ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 จากตรงนี้ เราจะได้ว่าสมการบัญญัติอยู่ในรูปแบบ x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6

คำตอบ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

หากคุณต้องการแก้ปัญหาด้วยสมการประเภทอื่น ก่อนอื่นคุณสามารถไปที่สมการตามรูปแบบบัญญัติได้เนื่องจากง่ายกว่าที่จะมาจากสมการนั้นไปยังสมการอื่น

ตัวอย่างที่ 2

เขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด M 1 (1, 1) และ M 2 (4, 2) ในระบบพิกัด O x y

สารละลาย

ขั้นแรก คุณต้องเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงที่กำหนดซึ่งผ่านจุดสองจุดที่กำหนด เราได้สมการในรูปแบบ x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

นำสมการทางบัญญัติมาเป็นรูปแบบที่ต้องการ จากนั้นเราจะได้:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

คำตอบ: x - 3 ปี + 2 = 0 .

ตัวอย่างของงานดังกล่าวถูกกล่าวถึงในหนังสือเรียนของโรงเรียนระหว่างบทเรียนพีชคณิต ปัญหาของโรงเรียนแตกต่างกันตรงที่ทราบสมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์มุม โดยมีรูปแบบ y = k x + b หากคุณต้องการค้นหาค่าของความชัน k และตัวเลข b ซึ่งสมการ y = k x + b กำหนดเส้นในระบบ O x y ที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 ( x 2, y 2) โดยที่ x 1 ≠ x 2 เมื่อ x 1 = x 2 จากนั้นสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะใช้กับค่าอนันต์และเส้นตรง M 1 M 2 ถูกกำหนดโดยสมการที่ไม่สมบูรณ์ทั่วไปของรูปแบบ x - x 1 = 0 .

เพราะว่าจุดต่างๆ ม.1และ ม.2อยู่บนเส้นตรง จากนั้นพิกัดของพวกมันจะเป็นไปตามสมการ y 1 = k x 1 + b และ y 2 = k x 2 + b จำเป็นต้องแก้ระบบสมการ y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b สำหรับ k และ b

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหา k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 หรือ k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

ด้วยค่าเหล่านี้ของ k และ b สมการของเส้นที่ผ่านจุดสองจุดที่กำหนดจะกลายเป็น y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 หรือ y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2

เป็นไปไม่ได้ที่จะจำสูตรจำนวนมากเช่นนี้ในคราวเดียว ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องเพิ่มจำนวนการทำซ้ำในการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด M 2 (2, 1) และ y = k x + b

สารละลาย

ในการแก้ปัญหา เราใช้สูตรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมในรูปแบบ y = k x + b ค่าสัมประสิทธิ์ k และ b ต้องใช้ค่าที่สมการนี้สอดคล้องกับเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดด้วยพิกัด M 1 (- 7, - 5) และ M 2 (2, 1)

คะแนน ม.1และ ม.2ตั้งอยู่บนเส้นตรง ดังนั้นพิกัดจะต้องทำให้สมการ y = k x + b มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง จากนี้เราจะได้ว่า - 5 = k · (- 7) + b และ 1 = k · 2 + b ลองรวมสมการเข้ากับระบบ - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b แล้วแก้โจทย์

เมื่อทดแทนเราจะได้สิ่งนั้น

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

ตอนนี้ค่า k = 2 3 และ b = - 1 3 จะถูกแทนที่ในสมการ y = k x + b เราพบว่าสมการที่ต้องการที่ผ่านจุดที่กำหนดจะเป็นสมการของรูปแบบ y = 2 3 x - 1 3 .

วิธีการแก้ปัญหานี้จะกำหนดการเสียเวลาไว้ล่วงหน้า มีวิธีที่งานจะได้รับการแก้ไขในสองขั้นตอนอย่างแท้จริง

ให้เราเขียนสมการทางบัญญัติของเส้นที่ผ่าน M 2 (2, 1) และ M 1 (- 7, - 5) โดยมีรูปแบบ x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

ทีนี้มาดูสมการความชันกัน เราเข้าใจแล้วว่า: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3

คำตอบ: y = 2 3 x - 1 3 .

ถ้าในพื้นที่สามมิติ มีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z โดยมีจุดที่ไม่ตรงกันสองจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) เส้นตรง M ผ่านพวกมัน 1 M 2 จำเป็นต้องได้สมการของเส้นนี้

เรามีสมการ Canonical ในรูปแบบ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z และสมการพาราเมตริกในรูปแบบ x = x 1 + a x · แลมบ์ y = y 1 + a y · แลมบ์ดา = z 1 + a z · lam สามารถกำหนดเส้นตรงในระบบพิกัด O x y z โดยผ่านจุดที่มีพิกัด (x 1, y 1, z 1) โดยมีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x, a y, a z)

ตรง ม 1 ม 2 มีเวกเตอร์ทิศทางในรูปแบบ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) โดยที่เส้นตรงผ่านจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2 , y 2 , z 2) ดังนั้นสมการบัญญัติสามารถอยู่ในรูปแบบ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 หรือ x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 ในทางกลับกัน พาราเมตริก x = x 1 + (x 2 - x 1 ) แล ะ y = y 1 + (y 2 - y 1) แล z = z 1 + (z 2 - z 1) เลอ หรือ x = x 2 + (x 2 - x 1) แล y = y 2 + (y 2 - y 1) · แลมซี = z 2 + (z 2 - z 1) · แลมบ์

พิจารณาภาพวาดที่แสดงจุดที่กำหนด 2 จุดในอวกาศและสมการของเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 4

เขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ของปริภูมิสามมิติ โดยผ่านจุดที่กำหนดสองจุดด้วยพิกัด M 1 (2, - 3, 0) และ M 2 (1, - 3, - 5)

สารละลาย

มีความจำเป็นต้องค้นหาสมการทางบัญญัติ เนื่องจากเรากำลังพูดถึงปริภูมิสามมิติ หมายความว่าเมื่อเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนด สมการมาตรฐานที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - ซี 1 ซี 2 - ซี 1 .

ตามเงื่อนไขเราจะได้ว่า x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 ตามมาว่าสมการที่จำเป็นจะถูกเขียนดังนี้:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

คำตอบ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดในทิศทางที่กำหนด สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น ภาวะความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น การกำหนดจุดตัดของเส้นสองเส้น

1. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด ก(x 1 , ย 1) ในทิศทางที่กำหนดซึ่งกำหนดโดยความชัน เค,

ย - ย 1 = เค(x - x 1). (1)

สมการนี้กำหนดเส้นดินสอที่ลากผ่านจุดหนึ่งๆ ก(x 1 , ย 1) ซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางลำแสง

2. สมการของเส้นที่ผ่านจุดสองจุด: ก(x 1 , ย 1) และ บี(x 2 , ย 2) เขียนดังนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดถูกกำหนดโดยสูตร

3. มุมระหว่างเส้นตรง กและ บีคือมุมที่ต้องหมุนเส้นตรงเส้นแรก กบริเวณจุดตัดของเส้นเหล่านี้ทวนเข็มนาฬิกาจนตรงกับเส้นที่สอง บี- ถ้าเส้นตรงสองเส้นถูกกำหนดโดยสมการที่มีความชัน

ย = เค 1 x + บี 1 ,