ผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมเท่ากัน ทฤษฎีบทผลรวมมุมสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท. ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับมุมฉากสองมุม

ลองหาสามเหลี่ยม ABC กัน (รูปที่ 208) ให้เราแสดงมุมภายในของมันด้วยเลข 1, 2 และ 3 ให้เราพิสูจน์กัน

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

ลองวาดผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยม เช่น B ซึ่งเป็นเส้นตรง MN ขนานกับ AC

ที่จุดยอด B เรามีมุมสามมุม: ∠4, ∠2 และ ∠5 ผลรวมของมันคือมุมตรง ดังนั้นมันจึงเท่ากับ 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°

แต่ ∠4 = ∠1 เป็นมุมขวางภายในที่มีเส้นขนาน MN และ AC และซีแคนต์ AB

∠5 = ∠3 - นี่คือมุมขวางภายในที่มีเส้นขนาน MN และ AC และเส้นตัด BC

ซึ่งหมายความว่า ∠4 และ ∠5 สามารถแทนที่ได้ด้วยค่าเท่ากับ ∠1 และ ∠3

ดังนั้น ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

2. คุณสมบัติของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในสองมุมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

ที่จริงแล้ว ในรูปสามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3 แต่ยังรวมถึง ∠ВСD ด้วย มุมภายนอกของสามเหลี่ยมนี้ซึ่งไม่อยู่ติดกับ ∠1 และ ∠2 ก็เท่ากับ 180° เช่นกัน - ∠3 .

ดังนั้น:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3

ดังนั้น ∠1 + ∠2= ∠BCD

สมบัติที่ได้รับของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมทำให้เนื้อหาของทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้เกี่ยวกับมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมชัดเจนขึ้น ซึ่งระบุเพียงว่ามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน ปัจจุบันเป็นที่ยอมรับแล้วว่ามุมภายนอกเท่ากับผลรวมของมุมภายในทั้งสองมุมซึ่งไม่ได้อยู่ติดกัน

3. คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 30°

ทฤษฎีบท. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่วางตรงข้ามกับมุม 30° เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ให้มุม B ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ACB เท่ากับ 30° (รูปที่ 210) จากนั้นมุมแหลมอีกอันจะเท่ากับ 60°

ลองพิสูจน์ว่า AC ขาเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก AB ลองขยายขา AC ออกไปเลยจุดยอดของมุมฉาก C และแยกส่วน CM ไว้เท่ากับส่วน AC ลองเชื่อมต่อจุด M กับจุด B กัน ผลลัพธ์สามเหลี่ยม ВСМ เท่ากับสามเหลี่ยม ACB เราจะเห็นว่าแต่ละมุมของสามเหลี่ยม ABM เท่ากับ 60° ดังนั้น สามเหลี่ยมนี้จึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

AC ขาเท่ากับครึ่งหนึ่งของ AM และเนื่องจาก AM เท่ากับ AB ดังนั้น AC ขาจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก AB

เป้าหมายและวัตถุประสงค์:

ทางการศึกษา:

• ทำซ้ำและสรุปความรู้เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม
• พิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม
• ตรวจสอบความถูกต้องของการกำหนดทฤษฎีบทในทางปฏิบัติ
• เรียนรู้ที่จะใช้ความรู้ที่ได้รับเมื่อแก้ไขปัญหา

ทางการศึกษา:

• พัฒนาความคิดทางเรขาคณิต ความสนใจในวิชา กิจกรรมการรับรู้และความคิดสร้างสรรค์ของนักเรียน การพูดทางคณิตศาสตร์ และความสามารถในการรับความรู้อย่างอิสระ

ทางการศึกษา:

• พัฒนาคุณสมบัติส่วนบุคคลของนักเรียน เช่น ความมุ่งมั่น ความอุตสาหะ ความถูกต้อง และความสามารถในการทำงานเป็นทีม

อุปกรณ์:เครื่องฉายมัลติมีเดีย, สามเหลี่ยมทำจากกระดาษสี, ศูนย์การศึกษา "คณิตศาสตร์มีชีวิต", คอมพิวเตอร์, หน้าจอ

ขั้นตอนการเตรียมการ:ครูมอบหมายให้นักเรียนเตรียมบันทึกประวัติศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีบท "ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม"

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ความคืบหน้าของบทเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

สวัสดี. ทัศนคติทางจิตวิทยาของนักศึกษาต่อการทำงาน

ครั้งที่สอง วอร์มอัพ

เราคุ้นเคยกับรูปทรงเรขาคณิต “สามเหลี่ยม” ในบทเรียนที่แล้ว ทำซ้ำสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยม?

นักเรียนทำงานเป็นกลุ่ม พวกเขาได้รับโอกาสในการสื่อสารระหว่างกัน แต่ละคนเพื่อสร้างกระบวนการรับรู้อย่างเป็นอิสระ

เกิดอะไรขึ้น แต่ละกลุ่มจัดทำข้อเสนอ ครูเขียนไว้บนกระดาน มีการหารือถึงผลลัพธ์:

รูปที่ 1

ที่สาม การกำหนดวัตถุประสงค์ของบทเรียน

เรารู้เรื่องเกี่ยวกับสามเหลี่ยมค่อนข้างมากแล้ว แต่ไม่ใช่ทั้งหมด พวกคุณแต่ละคนมีรูปสามเหลี่ยมและไม้โปรแทรกเตอร์อยู่บนโต๊ะ คุณคิดว่าปัญหาประเภทใดที่เรากำหนดได้

นักเรียนกำหนดภารกิจของบทเรียน - ค้นหาผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

IV. คำอธิบายของวัสดุใหม่

ส่วนการปฏิบัติ(ส่งเสริมการอัพเดตความรู้และทักษะความรู้ในตนเอง) วัดมุมโดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์และหาผลรวม เขียนผลลัพธ์ลงในสมุดบันทึกของคุณ (ฟังคำตอบที่ได้รับ) เราพบว่าผลรวมของมุมนั้นแตกต่างกันสำหรับทุกคน (สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้เนื่องจากมีการใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ไม่ถูกต้อง การคำนวณเป็นไปอย่างไม่ระมัดระวัง ฯลฯ)

พับตามเส้นประแล้วหาว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับอะไร:

ก)
รูปที่ 2

ข)
รูปที่ 3

วี)
รูปที่ 4

ช)
รูปที่ 5

ง)
รูปที่ 6

หลังจากเสร็จสิ้นการปฏิบัติงาน นักเรียนตั้งคำตอบ: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับการวัดระดับของมุมที่กางออก เช่น 180°

ครู: ในทางคณิตศาสตร์ การทำงานจริงจะทำให้สามารถเขียนข้อความบางประเภทได้เท่านั้น แต่ต้องได้รับการพิสูจน์ด้วย ข้อความที่พิสูจน์ความถูกต้องได้โดยการพิสูจน์เรียกว่าทฤษฎีบท ทฤษฎีบทใดที่เราสามารถกำหนดและพิสูจน์ได้?

นักเรียน: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 องศา

ข้อมูลทางประวัติศาสตร์:คุณสมบัติของผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมก่อตั้งขึ้นในอียิปต์โบราณ หลักฐานที่ปรากฏในหนังสือเรียนสมัยใหม่มีอยู่ในคำอธิบายของ Proclus เกี่ยวกับองค์ประกอบของ Euclid Proclus อ้างว่าข้อพิสูจน์นี้ (รูปที่ 8) ถูกค้นพบโดยชาวพีทาโกรัส (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) ในหนังสือเล่มแรกขององค์ประกอบ Euclid ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทอีกประการหนึ่งเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม ซึ่งสามารถเข้าใจได้ง่ายด้วยความช่วยเหลือของภาพวาด (รูปที่ 7):

รูปที่ 7

รูปที่ 8

ภาพวาดจะแสดงบนหน้าจอผ่านโปรเจ็กเตอร์

ครูเสนอให้พิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้ภาพวาด

จากนั้นจึงทำการพิสูจน์โดยใช้ศูนย์การเรียนการสอน “คณิตศาสตร์มีชีวิต”- ครูฉายการพิสูจน์ทฤษฎีบทบนคอมพิวเตอร์

ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม: “ผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมคือ 180°”

รูปที่ 9

การพิสูจน์:

ก)

รูปที่ 10

ข)

รูปที่ 11

วี)

รูปที่ 12

นักเรียนจดบันทึกสั้นๆ เกี่ยวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทลงในสมุดบันทึก:

ทฤษฎีบท:ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°

รูปที่ 13

ที่ให้ไว้:∆ เอบีซี

พิสูจน์:เอ + บี + ซี = 180°

การพิสูจน์:

สิ่งที่ต้องพิสูจน์.

วี.ฟิส. แค่นาทีเดียว

วี. คำอธิบายเนื้อหาใหม่ (ต่อ)

ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมถูกนักเรียนอนุมานอย่างอิสระซึ่งมีส่วนช่วยในการพัฒนาความสามารถในการกำหนดมุมมองของตนเองแสดงออกและโต้แย้ง:

ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ มุมทุกมุมจะเป็นมุมแหลม หรือสองมุมจะเป็นมุมแหลม และมุมที่สามจะเป็นมุมป้านหรือมุมขวา.

ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีมุมแหลมทุกมุม จะเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมนั้น มุมแหลม.

ถ้ามุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน เรียกว่ามุมนั้น มุมป้าน.

ถ้ามุมใดมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมตั้งตรง แสดงว่ามุมนั้นถูกเรียก สี่เหลี่ยม.

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมช่วยให้เราสามารถจำแนกรูปสามเหลี่ยมได้ไม่เพียงแต่ตามด้านเท่านั้น แต่ยังแยกตามมุมด้วย (ขณะที่นักเรียนแนะนำประเภทของสามเหลี่ยม ให้นักเรียนกรอกตาราง)

ตารางที่ 1

มุมมองสามเหลี่ยม	หน้าจั่ว	ด้านเท่ากันหมด	อเนกประสงค์
สี่เหลี่ยม
ป้าน
มุมแหลม

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การรวมเนื้อหาที่ศึกษา

1. แก้ไขปัญหาด้วยวาจา:

(ภาพวาดจะแสดงบนหน้าจอผ่านโปรเจ็กเตอร์)

ภารกิจที่ 1. ค้นหามุม C

รูปที่ 14

ปัญหาที่ 2. ค้นหามุม F

รูปที่ 15

ภารกิจที่ 3 ค้นหามุม K และ N

รูปที่ 16

ปัญหาที่ 4. ค้นหามุม P และ T

รูปที่ 17

1. แก้ไขปัญหาหมายเลข 223 (b, d) ด้วยตัวเอง
2. แก้ปัญหาบนกระดานและในสมุดบันทึก นักเรียนหมายเลข 224
3. คำถาม: สามเหลี่ยมสามารถมี: ก) มุมฉากสองมุม; b) มุมป้านสองมุม c) มุมฉากหนึ่งมุมและมุมป้านหนึ่งมุม
4. (ทำปากเปล่า) ไพ่ในแต่ละโต๊ะแสดงรูปสามเหลี่ยมต่างๆ กำหนดประเภทของสามเหลี่ยมแต่ละอันด้วยตา

รูปที่ 18

1. ค้นหาผลรวมของมุม 1, 2 และ 3

รูปที่ 19

8. สรุปบทเรียน

ครู: เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง? ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับสามเหลี่ยมใดๆ หรือไม่?

ทรงเครื่อง การสะท้อนกลับ

บอกอารมณ์ของคุณหน่อยพวก! ที่ด้านหลังของรูปสามเหลี่ยม ให้พรรณนาถึงการแสดงออกทางสีหน้าของคุณ

รูปที่ 20

การบ้าน:ย่อหน้า 30 (ตอนที่ 1) คำถาม 1 ช. IV หน้า 89 ของหนังสือเรียน หมายเลข 223 (ก, ค) หมายเลข 225

>>เรขาคณิต: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม บทเรียนที่สมบูรณ์

หัวข้อบทเรียน: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• รวบรวมและทดสอบความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ: “ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม”;
• การพิสูจน์คุณสมบัติของมุมของรูปสามเหลี่ยม
• การประยุกต์คุณสมบัตินี้ในการแก้ปัญหาง่ายๆ
• การใช้สื่อประวัติศาสตร์เพื่อพัฒนากิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน
• ปลูกฝังทักษะความแม่นยำเมื่อสร้างแบบ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• ทดสอบทักษะการแก้ปัญหาของนักเรียน

แผนการสอน:

1. สามเหลี่ยม;
2. ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม
3. งานตัวอย่าง.

สามเหลี่ยม.

ไฟล์:O.gif Triangle- รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งมี 3 จุดยอด (มุม) และ 3 ด้าน ส่วนหนึ่งของระนาบล้อมรอบด้วยจุดสามจุดและสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่
จุดสามจุดในอวกาศที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันนั้นสอดคล้องกับระนาบเดียวเท่านั้น
รูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ - กระบวนการนี้เรียกว่า สามเหลี่ยม.
มีส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับการศึกษากฎของรูปสามเหลี่ยมโดยเฉพาะ - ตรีโกณมิติ.

ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

ไฟล์:T.gif ทฤษฎีบทผลรวมของมุมสามเหลี่ยมเป็นทฤษฎีบทคลาสสิกของเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ระบุว่าผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมคือ 180°

การพิสูจน์" :

ให้ Δ ABC มาให้ ขอให้เราลากเส้นขนานกับ (AC) ผ่านจุดยอด B และทำเครื่องหมายจุด D บนเส้นนั้น เพื่อให้จุด A และ D อยู่บนด้านตรงข้ามของเส้น BC จากนั้นมุม (DBC) และมุม (ACB) จะเท่ากันกับเส้นขวางภายในที่มีเส้นขนาน BD และ AC และเส้นตัดขวาง (BC) จากนั้นผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด B และ C เท่ากับมุม (ABD) แต่มุม (ABD) และมุม (BAC) ที่จุดยอด A ของสามเหลี่ยม ABC นั้นเป็นด้านเดียวภายในโดยมีเส้นขนาน BD และ AC และเส้นตัดมุม (AB) และผลรวมของพวกมันคือ 180° ดังนั้น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา.

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

การพิสูจน์:

ให้ Δ ABC มาให้ จุด D อยู่บนเส้น AC โดยที่ A อยู่ระหว่าง C และ D จากนั้น BAD จะอยู่ภายนอกมุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด A และ A + BAD = 180° แต่ A + B + C = 180° ดังนั้น B + C = 180° – A ดังนั้น BAD = B + C ข้อพิสูจน์ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา.

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

งาน.

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมคือมุมที่อยู่ติดกับมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม พิสูจน์ว่ามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน
(รูปที่ 1)

สารละลาย:

ให้ Δ ABC ∠DAС อยู่ภายนอก (รูปที่ 1) จากนั้น ∠DAC = 180°-∠BAC (โดยสมบัติของมุมที่อยู่ติดกัน) โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม ∠B+∠C = 180°-∠BAC จากความเท่าเทียมกันเหล่านี้เราได้รับ ∠DAС=∠В+∠С

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ:

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม" :

ในเรขาคณิตโลบาเชฟสกี ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะน้อยกว่า 180 เสมอ ในเรขาคณิตยุคลิเดียนจะเท่ากับ 180 เสมอ ในเรขาคณิตรีมันน์ ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะมากกว่า 180 เสมอ

จากประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์:

Euclid (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ในงานของเขา “องค์ประกอบ” ให้คำจำกัดความต่อไปนี้: “เส้นขนานคือเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันและเมื่อขยายออกไปทั้งสองทิศทางอย่างไม่มีกำหนด จะไม่บรรจบกันทั้งสองด้าน”
โพซิโดเนียส (ศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช) “เส้นตรงสองเส้นวางอยู่ในระนาบเดียวกัน โดยมีระยะห่างเท่ากัน”
นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Pappus (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ได้แนะนำสัญลักษณ์ของเส้นคู่ขนาน - เครื่องหมาย = ต่อมานักเศรษฐศาสตร์ชาวอังกฤษ ริคาร์โด้ (ค.ศ. 1720-1823) ใช้สัญลักษณ์นี้เป็นเครื่องหมายเท่ากับ
เฉพาะในศตวรรษที่ 18 เท่านั้นที่พวกเขาเริ่มใช้สัญลักษณ์สำหรับเส้นคู่ขนาน - เครื่องหมาย ||
ความสัมพันธ์ที่มีชีวิตระหว่างรุ่นต่างๆ จะไม่ถูกขัดจังหวะชั่วขณะ ทุกๆ วันเราเรียนรู้ประสบการณ์ที่บรรพบุรุษของเราสั่งสมมา ชาวกรีกโบราณบนพื้นฐานของการสังเกตและประสบการณ์เชิงปฏิบัติได้ข้อสรุปแสดงสมมติฐานจากนั้นในการประชุมของนักวิทยาศาสตร์ - การประชุมสัมมนา ("งานเลี้ยง" อย่างแท้จริง - พวกเขาพยายามยืนยันและพิสูจน์สมมติฐานเหล่านี้ ขณะนั้น มีคำกล่าวขึ้นว่า “ความจริงย่อมเกิดในความขัดแย้ง”

คำถาม:

1. สามเหลี่ยมคืออะไร?
2. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมบอกอะไร?
3. มุมภายนอกของสามเหลี่ยมคืออะไร?

ทฤษฎีบทนี้ยังถูกจัดทำขึ้นในตำราเรียนของ L.S. Atanasyan อีกด้วย และในตำราเรียนของ Pogorelov A.V. - การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในหนังสือเรียนเหล่านี้ไม่มีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญ ดังนั้นเราจึงนำเสนอข้อพิสูจน์จากหนังสือเรียนของ A.V.

ทฤษฎีบท: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°

การพิสูจน์. ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมที่กำหนด ให้เราลากเส้นผ่านจุดยอด B ขนานกับเส้น AC ทำเครื่องหมายจุด D ไว้บนนั้นเพื่อให้จุด A และ D อยู่บนด้านตรงข้ามของเส้นตรง BC (รูปที่ 6)

มุม DBC และ ACB เท่ากันกับมุมขวางภายใน ซึ่งเกิดจากเส้นตัด BC โดยมีเส้นตรงขนานกัน AC และ BD ดังนั้น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด B และ C เท่ากับมุม ABD และผลรวมของมุมทั้งสามมุมของสามเหลี่ยมจะเท่ากับผลรวมของมุม ABD และ BAC เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมภายในด้านเดียวสำหรับ AC และ BD และซีแคนต์ AB ขนาน ผลรวมของมันคือ 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

แนวคิดของการพิสูจน์นี้คือการวาดเส้นขนานและระบุว่ามุมที่ต้องการนั้นเท่ากัน ให้เราสร้างแนวคิดของการก่อสร้างเพิ่มเติมดังกล่าวขึ้นใหม่โดยการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้โดยใช้แนวคิดของการทดลองทางความคิด การพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้การทดลองทางความคิด ดังนั้น หัวข้อของการทดลองทางความคิดของเราคือมุมของสามเหลี่ยม ขอให้เราวางจิตใจเขาไว้ในสภาวะที่สามารถเปิดเผยแก่นแท้ของเขาได้อย่างแน่นอน (ระยะที่ 1)

เงื่อนไขดังกล่าวจะเป็นการจัดเรียงมุมของสามเหลี่ยมโดยที่จุดยอดทั้งสามจะรวมกันที่จุดเดียว การรวมกันดังกล่าวเป็นไปได้หากเราอนุญาตให้ "เคลื่อนย้าย" มุมโดยการเลื่อนด้านข้างของสามเหลี่ยมโดยไม่เปลี่ยนมุมเอียง (รูปที่ 1) การเคลื่อนไหวดังกล่าวถือเป็นการเปลี่ยนแปลงทางจิตในภายหลัง (ระยะที่ 2)

ด้วยการกำหนดมุมและด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 2) มุมที่ได้รับจากการ "เคลื่อนที่" จึงสร้างสภาพแวดล้อมทางจิตใจ ซึ่งเป็นระบบการเชื่อมโยงที่เราวางหัวข้อความคิดของเรา (ระยะที่ 3)

เส้น AB "เคลื่อนที่" ไปตามเส้น BC และไม่เปลี่ยนมุมเอียง ถ่ายโอนมุม 1 ไปยังมุม 5 และ "เคลื่อนที่" ไปตามเส้น AC ถ่ายโอนมุม 2 ไปยังมุม 4 เนื่องจากด้วยเส้น "การเคลื่อนไหว" AB ไม่เปลี่ยนมุมเอียงเป็นเส้น AC และ BC ดังนั้นข้อสรุปก็ชัดเจน: รังสี a และ a1 ขนานกับ AB และเปลี่ยนรูปเป็นกันและกัน และรังสี b และ b1 เป็นความต่อเนื่องของด้าน BC และ AC ตามลำดับ เนื่องจากมุม 3 และมุมระหว่างรังสี b และ b1 เป็นแนวตั้ง พวกมันจึงเท่ากัน ผลรวมของมุมเหล่านี้เท่ากับมุมที่หมุน aa1 ซึ่งหมายถึง 180°

บทสรุป

ในวิทยานิพนธ์นี้ มีการพิสูจน์ "แบบสร้าง" ของทฤษฎีบทเรขาคณิตของโรงเรียนบางทฤษฎี โดยใช้โครงสร้างของการทดลองทางความคิด ซึ่งยืนยันสมมติฐานที่กำหนดไว้

หลักฐานที่นำเสนอนั้นมีพื้นฐานอยู่บนอุดมคติทางการมองเห็นและประสาทสัมผัส: "การบีบอัด", "การยืด", "การเลื่อน" ซึ่งทำให้สามารถเปลี่ยนวัตถุทางเรขาคณิตดั้งเดิมด้วยวิธีพิเศษและเน้นคุณลักษณะที่สำคัญซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับความคิด การทดลอง. ในกรณีนี้ การทดลองทางความคิดทำหน้าที่เป็น "เครื่องมือสร้างสรรค์" บางอย่างที่ก่อให้เกิดความรู้ทางเรขาคณิต (เช่น เกี่ยวกับเส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหรือมุมของรูปสามเหลี่ยม) อุดมคติดังกล่าวทำให้สามารถเข้าใจแนวคิดทั้งหมดของการพิสูจน์ได้แนวคิดในการดำเนินการ "การก่อสร้างเพิ่มเติม" ซึ่งช่วยให้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของความเข้าใจที่มีสติมากขึ้นโดยเด็กนักเรียนเกี่ยวกับกระบวนการพิสูจน์แบบนิรนัยอย่างเป็นทางการ ทฤษฎีบทเรขาคณิต

การทดลองทางความคิดเป็นหนึ่งในวิธีการพื้นฐานในการรับและค้นพบทฤษฎีบทเรขาคณิต มีความจำเป็นต้องพัฒนาวิธีการถ่ายทอดวิธีการถ่ายทอดให้กับผู้เรียน คำถามยังคงเปิดกว้างเกี่ยวกับอายุของนักเรียนที่ยอมรับได้สำหรับการ "ยอมรับ" วิธีการ เกี่ยวกับ "ผลข้างเคียง" ของหลักฐานที่นำเสนอในลักษณะนี้

ปัญหาเหล่านี้จำเป็นต้องศึกษาเพิ่มเติม แต่ไม่ว่าในกรณีใดมีสิ่งหนึ่งที่แน่นอน: การทดลองทางความคิดพัฒนาความคิดเชิงทฤษฎีในเด็กนักเรียนเป็นพื้นฐานและดังนั้นจึงจำเป็นต้องพัฒนาความสามารถในการทดลองทางความคิด

“บอกฉันแล้วฉันจะลืม
แสดงให้ฉันเห็นและฉันจะจำ
ให้ฉันมีส่วนร่วมแล้วฉันจะเรียนรู้”
สุภาษิตตะวันออก

เป้าหมาย: พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม ฝึกแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทนี้ พัฒนากิจกรรมการรับรู้ของนักเรียนโดยใช้สื่อเพิ่มเติมจากแหล่งต่างๆ และพัฒนาความสามารถในการฟังผู้อื่น

อุปกรณ์:ไม้โปรแทรกเตอร์ ไม้บรรทัด แบบจำลองสามเหลี่ยม แถบอารมณ์

ความก้าวหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

ทำเครื่องหมายอารมณ์ของคุณเมื่อเริ่มบทเรียนด้วยเทปแสดงอารมณ์

2. การทำซ้ำ

ทบทวนแนวคิดที่จะใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท ได้แก่ คุณสมบัติของมุมสำหรับเส้นคู่ขนาน นิยามของมุมตรง การวัดองศาของมุมตรง

3. วัสดุใหม่

3.1. การปฏิบัติงาน

นักเรียนแต่ละคนมีรูปสามเหลี่ยมสามแบบ ได้แก่ แหลม สี่เหลี่ยม และป้าน เสนอให้วัดมุมของสามเหลี่ยมแล้วหาผลรวม วิเคราะห์ผลลัพธ์ คุณสามารถรับค่าได้ 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 องศา คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต (=180°) แนะนำให้จำไว้ว่าเมื่อมุมมีหน่วยวัดระดับ 180 องศา นักเรียนจำได้ว่านี่คือมุมตรงและผลรวมของมุมด้านเดียว

ลองหาผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมโดยใช้ origami

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

โอริกามิ (ภาษาญี่ปุ่น แปลตามตัวอักษร: “กระดาษพับ”) เป็นศิลปะโบราณของการพับกระดาษรูปคน ศิลปะการพับกระดาษมีรากฐานมาจากจีนโบราณ ซึ่งเป็นที่ซึ่งมีการค้นพบกระดาษ

3.2. บทพิสูจน์ทฤษฎีบทจากหนังสือเรียนของ Atanasyan L.S.

ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดข้อหนึ่งของเรขาคณิต - ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท.ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°

การพิสูจน์.พิจารณาสามเหลี่ยม ABC ตามใจชอบแล้วพิสูจน์ว่า A + B + C = 180°

ให้เราวาดเส้นตรง a ผ่านจุดยอด B ขนานกับด้าน AC มุม 1 และ 4 เป็นมุมวางขวาง เมื่อเส้นขนาน a และ AC ตัดกันด้วยเส้นตัดขวาง AB และมุม 3 และ 5 เป็นมุมวางขวาง เมื่อเส้นขนานเส้นเดียวกันตัดกันด้วยเส้นตัด BC ดังนั้น มุม 4 เท่ากับมุม 1 มุม 5 เท่ากับมุม 3

แน่นอนว่า ผลรวมของมุม 4, 2 และ 5 เท่ากับมุมที่กางออกกับจุดยอด B นั่นคือมุม 4 + มุม 2 + มุม 5 = 180° จากตรงนี้ เมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้ เราได้มา: มุม 1 + มุม 2+ มุม 3 = 180° หรือ A + B+ C = 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

3.3. พิสูจน์ทฤษฎีบทจากหนังสือเรียนของ A. V. Pogorelov

พิสูจน์: A + B + C = 180°

การพิสูจน์:

1. ลากเส้น BD // AC ผ่านจุดยอด B

2. DBC=ACB, วางขวางที่ AC//BD และเส้นตัด BC

3. ABD = เอซีบี + ซีบีดี

ดังนั้น A + B+C = ABD+BAC

4. ABD และ BAC เป็นด้านเดียวกับ BD // AC และเซแคนต์ AB ซึ่งหมายความว่าผลรวมของพวกเขาเท่ากับ 180 ° เช่น A+B + C=180° ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

3. 4. การพิสูจน์ทฤษฎีบทจากตำราเรียนโดย Kiselev A.N., Rybkina N.A.

ที่ให้ไว้:เอบีซี

พิสูจน์: A+B +C=180°

การพิสูจน์:

1. มาต่อฝั่ง AC กัน เราจะดำเนินการ CE//AV

2. A=ESD ซึ่งสอดคล้องกับ AB//CE และ AD - เซแคนต์

3. B = ALL นอนขวางที่ AB//CE และ BC - เส้นตัด

4. ESD + ALL + C = 180 ° ซึ่งหมายถึง A + B + C = 180 ° ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

3.5. ข้อพิสูจน์ 1. ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ มุมทุกมุมจะเป็นมุมแหลม หรือสองมุมจะเป็นมุมแหลม และมุมที่สามจะเป็นมุมป้านหรือมุมตรง

ข้อพิสูจน์ 2.

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของอีกสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

3.6. ทฤษฎีบทช่วยให้เราสามารถจำแนกรูปสามเหลี่ยมได้ไม่เพียงแต่ตามด้านเท่านั้น แต่ยังแยกตามมุมด้วย

มุมมองสามเหลี่ยม	หน้าจั่ว	ด้านเท่ากันหมด	อเนกประสงค์
สี่เหลี่ยม
ป้าน
มุมแหลม

4. การรวมบัญชี

4.1. การแก้ปัญหาโดยใช้ภาพวาดสำเร็จรูป

ค้นหามุมที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยม

4.2. การทดสอบความรู้

1. ในตอนท้ายของบทเรียน ให้ตอบคำถาม:

มีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหรือไม่:

ก) 30, 60, 90 องศา

ข) 46, 4, 140 องศา

ค) 56, 46, 72 องศา?

2. สามเหลี่ยมสามารถมี:

ก) มุมป้านสองมุม

b) มุมป้านและมุมฉาก

c) สองมุมขวา?

3. กำหนดประเภทของสามเหลี่ยมถ้ามุมหนึ่งเป็น 45 องศา และอีกมุมหนึ่งเป็น 90 องศา

4. สามเหลี่ยมใดเป็นผลรวมของมุมที่มากกว่า: แหลม, ป้าน หรือสี่เหลี่ยม?

5. เป็นไปได้ไหมที่จะวัดมุมของสามเหลี่ยมใดๆ ?

นี่เป็นคำถามตลกๆ เพราะว่า... มีสามเหลี่ยมเบอร์มิวดาตั้งอยู่ในมหาสมุทรแอตแลนติกระหว่างเบอร์มิวดา รัฐเปอร์โตริโก และคาบสมุทรฟลอริดา ซึ่งไม่สามารถวัดมุมได้ (ภาคผนวก 1)

5. สรุปบทเรียน

ทำเครื่องหมายอารมณ์ของคุณในตอนท้ายของบทเรียนด้วยเทปแสดงอารมณ์

การบ้าน.

น. 30–31; หมายเลข 223 ก, ข; หมายเลข 227 ก; สมุดงานหมายเลข 116, 118