ตัวแปรสุ่ม ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง กฎการแจกแจงความน่าจะเป็น

จะได้รับชุดการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ค้นหาความน่าจะเป็นที่หายไปและพล็อตฟังก์ชันการแจกแจง คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของปริมาณนี้

ตัวแปรสุ่ม X รับเพียงสี่ค่า: -4, -3, 1 และ 2 โดยแต่ละค่าเหล่านี้มีความน่าจะเป็นที่แน่นอน เนื่องจากผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดจะต้องเท่ากับ 1 ความน่าจะเป็นที่หายไปจึงเท่ากับ:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

ลองเขียนฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X กัน เป็นที่รู้กันว่าฟังก์ชันการแจกแจง แล้ว:

เพราะฉะนั้น,

ลองพลอตฟังก์ชันกัน เอฟ(x) .

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของค่าของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน กล่าวคือ

เราค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องโดยใช้สูตร:

แอปพลิเคชัน

องค์ประกอบของเชิงผสม ที่นี่: - แฟกทอเรียลของตัวเลข

การดำเนินการกับเหตุการณ์ เหตุการณ์คือข้อเท็จจริงใดๆ ที่อาจเกิดขึ้นหรือไม่อาจเกิดขึ้นจากประสบการณ์นั้นก็ได้ การรวมเหตุการณ์ กและ ใน- นี่คือเหตุการณ์ กับซึ่งประกอบด้วยรูปลักษณ์หรือเหตุการณ์ กหรือเหตุการณ์ต่างๆ ในหรือทั้งสองเหตุการณ์พร้อมกัน การกำหนด: ; เหตุการณ์ข้าม กและ ใน- นี่คือเหตุการณ์ กับซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันทั้งสองเหตุการณ์ การกำหนด: ;

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กคืออัตราส่วนของจำนวนการทดลอง เป็นผลดีต่อการเกิดเหตุการณ์ กไปจนถึงจำนวนการทดลองทั้งหมด :

สูตรคูณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ สามารถพบได้โดยใช้สูตร: - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เอ, - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ใน, - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ในโดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์นั้น กได้เกิดขึ้นแล้ว หากเหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระจากกัน (การเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเท่ากับ:

สูตรเพิ่มความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ สามารถพบได้โดยใช้สูตร: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เอ, ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ใน, - ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ร่วมกัน กและ ใน. หากเหตุการณ์ A และ B เข้ากันไม่ได้ (ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเท่ากับ:

สูตรความน่าจะเป็นรวม ให้จัดงาน กสามารถเกิดขึ้นพร้อมกันกับเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งได้ , , …, - เรียกพวกมันว่าสมมติฐานกันดีกว่า รู้จักกันด้วย - ความน่าจะเป็นของการดำเนินการ ฉัน-สมมติฐานและ - ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A เมื่อดำเนินการ ฉัน-สมมติฐานที่ แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กสามารถพบได้โดยสูตร:

แผนเบอร์นูลลี ให้มีการทดสอบอิสระ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น (ความสำเร็จ) ของเหตุการณ์ กในแต่ละอันนั้นคงที่และเท่าเทียมกัน พีความน่าจะเป็นของความล้มเหลว (เช่น เหตุการณ์ที่ไม่เกิดขึ้น ก) ถาม = 1 - พี- แล้วความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น เคความสำเร็จใน nการทดสอบสามารถพบได้โดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี: จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุด ในรูปแบบเบอร์นูลลี คือจำนวนครั้งของเหตุการณ์หนึ่งที่มีความน่าจะเป็นสูงสุด

สามารถพบได้โดยใช้สูตร: ตัวแปรสุ่ม ต่อเนื่องไม่ต่อเนื่อง (เช่น จำนวนเด็กผู้หญิงในครอบครัวที่มีลูก 5 คน) (เช่น เวลาที่กาต้มน้ำทำงานปกติ) ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ให้อนุกรมการแจกแจงกำหนดปริมาณแยกกัน: เอ็กซ์ ร , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่ม; เอ็กซ์ , , …, คือค่าความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ฟังก์ชันการกระจาย , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่มฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนเส้นจำนวนทั้งหมดและเท่ากับความน่าจะเป็นนั้น จะมีน้อยลง:

เอ็กซ์

คำถามสำหรับการสอบ

เหตุการณ์. การดำเนินการกับเหตุการณ์สุ่ม

แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

กฎสำหรับการบวกและการคูณความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด สูตรของเบย์

แผนเบอร์นูลลี

ตัวแปรสุ่ม ฟังก์ชันการแจกแจง และอนุกรมการแจกแจง

คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันการกระจาย

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

การกระจายตัว คุณสมบัติการกระจายตัว

ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มหนึ่งมิติ

ประเภทของการแจกแจง: การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ แบบเอกซ์โปเนนเชียล แบบปกติ แบบทวินาม และแบบปัวซง

ทฤษฎีบทท้องถิ่นและทฤษฎีปริพันธ์ของมัวฟวร์-ลาปลาซ

กฎและฟังก์ชันการแจกแจงของระบบที่มีตัวแปรสุ่มสองตัว

ความหนาแน่นของการแจกแจงของระบบที่มีตัวแปรสุ่มสองตัว

กฎการกระจายแบบมีเงื่อนไข ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แบบมีเงื่อนไข

ตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระ

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

ตัวอย่าง. การประมวลผลตัวอย่าง ฮิสโตแกรมรูปหลายเหลี่ยมและความถี่ ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์

• แนวคิดของการประมาณค่าพารามิเตอร์การกระจาย
• ข้อกำหนดสำหรับการประเมิน ช่วงความเชื่อมั่น การสร้างช่วงสำหรับการประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
• สมมติฐานทางสถิติ เกณฑ์การยินยอม
• เราสามารถเน้นกฎทั่วไปของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องได้:

สำหรับการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนด การคำนวณความน่าจะเป็นของค่าต่างๆ รวมถึงคุณลักษณะเชิงตัวเลข (ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน ฯลฯ) จะดำเนินการโดยใช้ "สูตร" บางอย่าง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องทราบการแจกแจงประเภทนี้และคุณสมบัติพื้นฐานของมัน

1. กฎหมายการกระจายแบบทวินาม

ตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ อยู่ภายใต้กฎการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม หากใช้ค่า $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ด้วยความน่าจะเป็น $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\ซ้าย(1-p\right))^(n-k)$ ที่จริงแล้ว ตัวแปรสุ่ม $X$ คือจำนวนครั้งของเหตุการณ์ $A$ ในการทดลองอิสระ $n$ กฎการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \จุด & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(อาร์เรย์)$

สำหรับตัวแปรสุ่ม ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ $M\left(X\right)=np$ ความแปรปรวนคือ $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$

ตัวอย่าง - ครอบครัวมีลูกสองคน สมมติว่าความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กผู้ชายและเด็กผู้หญิงเท่ากับ $0.5$ ให้ค้นหากฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม $\xi$ - จำนวนเด็กผู้ชายในครอบครัว

ให้ตัวแปรสุ่ม $\xi $ เป็นจำนวนเด็กผู้ชายในครอบครัว ค่าที่ $\xi สามารถรับได้:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$ ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้หาได้จากสูตร $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$ โดยที่ $n =2$ คือจำนวนการทดลองอิสระ $p=0.5$ คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในชุดการทดลอง $n$ เราได้รับ:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

จากนั้นกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม $\xi $ คือความสอดคล้องระหว่างค่า $0,\ 1,\ 2$ และความน่าจะเป็น นั่นคือ:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(อาร์เรย์)$

ผลรวมของความน่าจะเป็นในกฎการกระจายควรเท่ากับ $1$ นั่นคือ $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.

ความคาดหวัง $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, ความแปรปรวน $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\approx $0.707

2. กฎหมายการกระจายปัวซอง

หากตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ สามารถรับค่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ด้วยความน่าจะเป็น $P\left(X=k\right)=((( \แลมบ์ดา )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

ความคิดเห็น- ลักษณะพิเศษของการแจกแจงนี้คือ จากข้อมูลการทดลอง เราพบค่าประมาณ $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ หากค่าประมาณที่ได้รับอยู่ใกล้กัน เราก็จะได้ เหตุผลที่ยืนยันว่าตัวแปรสุ่มอยู่ภายใต้กฎการแจกแจงแบบปัวซอง

ตัวอย่าง - ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มภายใต้กฎหมายการกระจายปัวซอง ได้แก่ จำนวนรถยนต์ที่ปั๊มน้ำมันจะให้บริการในวันพรุ่งนี้ จำนวนสินค้าที่มีข้อบกพร่องในผลิตภัณฑ์ที่ผลิต

ตัวอย่าง - โรงงานส่งสินค้ามูลค่า 500 ดอลลาร์ไปยังฐาน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความเสียหายต่อผลิตภัณฑ์ระหว่างการขนส่งคือ $0.002$ ค้นหากฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับจำนวนผลิตภัณฑ์ที่เสียหาย $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ คืออะไร

ให้ตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ เป็นจำนวนผลิตภัณฑ์ที่เสียหาย ตัวแปรสุ่มดังกล่าวอยู่ภายใต้กฎการแจกแจงแบบปัวซอง โดยมีพารามิเตอร์ $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ ความน่าจะเป็นของค่าจะเท่ากับ $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\แลมบ์ดา )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\แลมบ์ดา )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(อาร์เรย์)$

สำหรับตัวแปรสุ่ม ค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์จะเท่ากันและเท่ากับพารามิเตอร์ $\lambda $ นั่นคือ $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ แลมบ์ดา =1$.

3. กฎหมายการกระจายทางเรขาคณิต

หากตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ สามารถรับเฉพาะค่าธรรมชาติ $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ที่มีความน่าจะเป็น $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ ขวา)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $ จากนั้นพวกเขาบอกว่าตัวแปรสุ่ม $X$ นั้นอยู่ภายใต้กฎเรขาคณิตของการแจกแจงความน่าจะเป็น ที่จริงแล้ว การกระจายตัวทางเรขาคณิตเป็นการทดสอบแบบแบร์นูลลีจนกระทั่งประสบความสำเร็จครั้งแรก

ตัวอย่าง - ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายทางเรขาคณิต ได้แก่ จำนวนช็อตก่อนโจมตีเป้าหมายครั้งแรก จำนวนการทดสอบอุปกรณ์จนกระทั่งเกิดความล้มเหลวครั้งแรก จำนวนเหรียญที่โยนจนหัวแรกขึ้น เป็นต้น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงทางเรขาคณิตจะเท่ากับ $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right ตามลำดับ )/พี^ $2

ตัวอย่าง - ระหว่างทางที่ปลาเคลื่อนตัวไปยังจุดวางไข่ จะมีล็อค $4$ ความน่าจะเป็นที่ปลาจะลอดผ่านแต่ละล็อคคือ $p=3/5$ สร้างชุดการกระจายของตัวแปรสุ่ม $X$ - จำนวนล็อคที่ปลาผ่านก่อนกักขังครั้งแรกที่ล็อค หา $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$

ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนล็อคที่ปลาผ่านไปก่อนการจับครั้งแรกที่ล็อค ตัวแปรสุ่มดังกล่าวขึ้นอยู่กับกฎเรขาคณิตของการแจกแจงความน่าจะเป็น ค่าที่ตัวแปรสุ่ม $X สามารถรับได้:$ 1, 2, 3, 4 ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้คำนวณโดยใช้สูตร: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$ โดยที่: $ p=2/5$ - ความน่าจะเป็นที่ปลาจะถูกกักผ่านล็อค, $q=1-p=3/5$ - ความน่าจะเป็นที่ปลาจะลอดผ่านล็อค, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ มากกว่า (5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24;

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ เกิน (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\โอเวอร์ (5))\right))^4=((27)\โอเวอร์ (125))=0.216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\ซ้าย(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(อาร์เรย์)$

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

การกระจายตัว:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\right))^2+0.24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0.144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0.216\cdot (\ซ้าย(4-2,176\ขวา))^2\ประมาณ 1.377.$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ประมาณ 1,173.$

4. กฎหมายการกระจายไฮเปอร์เรขาคณิต

ถ้าวัตถุ $N$ ซึ่งวัตถุ $m$ มีคุณสมบัติที่กำหนด อ็อบเจ็กต์ $n$ จะถูกดึงออกมาแบบสุ่มโดยไม่ส่งคืน โดยมีอ็อบเจ็กต์ $k$ ที่มีคุณสมบัติที่กำหนด การกระจายแบบไฮเปอร์เรขาคณิตทำให้สามารถประมาณความน่าจะเป็นที่วัตถุ $k$ ในตัวอย่างมีคุณสมบัติที่กำหนดได้อย่างแน่นอน ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนวัตถุในกลุ่มตัวอย่างที่มีคุณสมบัติที่กำหนด จากนั้นความน่าจะเป็นของค่าของตัวแปรสุ่ม $X$:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

ความคิดเห็น- ฟังก์ชันทางสถิติ HYPERGEOMET ของตัวช่วยสร้างฟังก์ชัน Excel $f_x$ ช่วยให้คุณสามารถระบุความน่าจะเป็นที่การทดสอบจำนวนหนึ่งจะสำเร็จ

$f_x\ถึง$ เชิงสถิติ$\ถึง$ ไฮเปอร์จีโอเมต$\ถึง$ ตกลง- กล่องโต้ตอบจะปรากฏขึ้นซึ่งคุณต้องกรอก ในคอลัมน์ Number_of_successes_in_sampleระบุมูลค่า $k$ ตัวอย่าง_ขนาดเท่ากับ $n$ ในคอลัมน์ Number_of_successes_in_togetherระบุมูลค่า $m$ จำนวนประชากร_ขนาดเท่ากับ $N$

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ ขึ้นอยู่กับกฎการแจกแจงทางเรขาคณิต จะเท่ากับ $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ตามลำดับ ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

ตัวอย่าง - แผนกสินเชื่อของธนาคารจ้างผู้เชี่ยวชาญ 5 คนซึ่งมีการศึกษาทางการเงินระดับสูง และผู้เชี่ยวชาญ 3 คนที่มีการศึกษาด้านกฎหมายระดับสูง ฝ่ายบริหารของธนาคารตัดสินใจส่งผู้เชี่ยวชาญ 3 คนเพื่อปรับปรุงคุณสมบัติ โดยสุ่มเลือกพวกเขาตามลำดับ

ก) จัดทำชุดการแจกจ่ายสำหรับผู้เชี่ยวชาญที่มีการศึกษาทางการเงินสูงกว่าจำนวนที่สามารถส่งไปพัฒนาทักษะของพวกเขา

b) ค้นหาลักษณะตัวเลขของการแจกแจงนี้

ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนผู้เชี่ยวชาญที่มีการศึกษาทางการเงินสูงกว่าจากสามตัวแปรที่เลือก ค่าที่ $X สามารถรับได้: 0,\ 1,\ 2,\ 3$ ตัวแปรสุ่ม $X$ นี้จะถูกกระจายตามการแจกแจงแบบไฮเปอร์เรขาคณิตด้วยพารามิเตอร์ต่อไปนี้: $N=8$ - ขนาดประชากร, $m=5$ - จำนวนความสำเร็จในประชากร, $n=3$ - ขนาดตัวอย่าง, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - จำนวนความสำเร็จในกลุ่มตัวอย่าง จากนั้น ความน่าจะเป็น $P\left(X=k\right)$ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ เกิน C_( N)^(n) ) $. เรามี:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\ประมาณ 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\ประมาณ 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\ประมาณ 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\ประมาณ 0.179.$

จากนั้นอนุกรมการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(อาร์เรย์)$

ให้เราคำนวณลักษณะตัวเลขของตัวแปรสุ่ม $X$ โดยใช้สูตรทั่วไปของการแจกแจงแบบไฮเปอร์เรขาคณิต

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\ประมาณ 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ประมาณ 0.7085.$

สถาบันการศึกษา "รัฐเบลารุส"

สถาบันเกษตรกรรม"

ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง

แนวทาง

เพื่อศึกษาหัวข้อ “ตัวแปรสุ่ม” โดยนักศึกษาคณะการบัญชีเพื่อการศึกษาสารบรรณ (NISPO)

กอร์กี, 2013

ตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง

แนวคิดหลักประการหนึ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือแนวคิด ตัวแปรสุ่ม . ตัวแปรสุ่ม คือปริมาณที่รับค่าที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวจากผลการทดสอบ โดยไม่ทราบล่วงหน้าว่าค่าใด

มีตัวแปรสุ่มอยู่ ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง . ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (DRV) เป็นตัวแปรสุ่มที่สามารถรับค่าจำนวนจำกัดที่แยกจากกันได้ เช่น หากสามารถคำนวณค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณนี้ได้ใหม่ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (CNV) เป็นตัวแปรสุ่ม ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเติมช่วงหนึ่งของเส้นจำนวนให้สมบูรณ์

ตัวแปรสุ่มจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละติน X, Y, Z เป็นต้น ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มจะถูกระบุด้วยตัวอักษรตัวเล็กที่สอดคล้องกัน

บันทึก
หมายถึง "ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่มจะได้ค่า 5 เท่ากับ 0.28”

ตัวอย่างที่ 1 - ลูกเต๋าจะถูกโยนหนึ่งครั้ง ในกรณีนี้อาจปรากฏตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 เพื่อระบุจำนวนจุด ให้เราแสดงตัวแปรสุ่ม , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่ม=(จำนวนคะแนนที่ทอย) ตัวแปรสุ่มนี้จากการทดสอบสามารถรับค่าได้เพียงค่าเดียวจากหกค่า: 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 ดังนั้นตัวแปรสุ่มนี้ , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่มมีดีเอสวี.

ตัวอย่างที่ 2 - เมื่อขว้างก้อนหิน มันจะเคลื่อนที่ไปในระยะทางหนึ่ง ให้เราแสดงตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์=(ระยะบินหิน) ตัวแปรสุ่มนี้สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ แต่มีเพียงค่าเดียวจากช่วงเวลาที่กำหนด ดังนั้นตัวแปรสุ่ม , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่มมีเอ็นเอสวี

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยค่าที่สามารถรับได้และความน่าจะเป็นที่จะใช้ค่าเหล่านี้ ความสอดคล้องระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันนั้นเรียกว่า กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง .

หากทราบค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด
ตัวแปรสุ่ม , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็น
การปรากฏตัวของค่านิยมเหล่านี้จึงเชื่อได้ว่ากฎการกระจายตัวของ DSV , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่มเป็นที่รู้จักและสามารถเขียนได้ในรูปแบบตาราง:

กฎการกระจาย DSV สามารถแสดงเป็นกราฟิกได้หากแสดงจุดต่างๆ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม
,
, …,
และต่อเข้ากับส่วนของเส้นตรง ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมการกระจาย

ตัวอย่างที่ 3 - เมล็ดข้าวที่ใช้ทำความสะอาดมีวัชพืช 10% สุ่มเลือกธัญพืช 4 ชนิด ให้เราแสดงตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์=(จำนวนวัชพืชจากสี่วัชพืชที่เลือก) สร้างกฎหมายการกระจาย DSV , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่มและการกระจายรูปหลายเหลี่ยม

สารละลาย - ตามเงื่อนไขตัวอย่าง แล้ว:

มาเขียนกฎการกระจายของ DSV X ในรูปแบบของตารางและสร้างรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย:

ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องมีการอธิบายตามคุณลักษณะของมัน หนึ่งในลักษณะเหล่านี้ก็คือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ตัวแปรสุ่ม

ให้ทราบกฎหมายการกระจาย DSV , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่ม:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ดีเอสวี , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่มคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละค่าของปริมาณนี้ด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:
.

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าทั้งหมดโดยประมาณ ดังนั้นในปัญหาเชิงปฏิบัติ ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มนี้จึงมักถูกมองว่าเป็นค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่าง 8 - ผู้ยิงได้คะแนน 4, 8, 9 และ 10 คะแนน โดยมีความน่าจะเป็น 0.1, 0.45, 0.3 และ 0.15 ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนคะแนนด้วยการยิงครั้งเดียว

สารละลาย - ให้เราแสดงตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์=(จำนวนคะแนนที่ได้) แล้ว . ดังนั้นจำนวนคะแนนเฉลี่ยที่คาดหวังได้จากการยิงหนึ่งครั้งคือ 8.2 และเมื่อยิงได้ 10 นัด - 82

คุณสมบัติหลัก ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ:

.

.

, ที่ไหน
,
.

.

, ที่ไหน , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่มและ ยเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ

ความแตกต่าง
เรียกว่า ส่วนเบี่ยงเบน ตัวแปรสุ่ม , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแตกต่างนี้เป็นตัวแปรสุ่มและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันคือศูนย์ กล่าวคือ
.

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

เพื่อกำหนดลักษณะของตัวแปรสุ่ม เรายังใช้นอกเหนือจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ด้วย การกระจายตัว ซึ่งทำให้สามารถประมาณการกระจายตัว (สเปรด) ของค่าของตัวแปรสุ่มรอบค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้ เมื่อเปรียบเทียบตัวแปรสุ่มที่เป็นเนื้อเดียวกันสองตัวกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่เท่ากัน ค่าที่ "ดีที่สุด" จะถือเป็นค่าที่มีสเปรดน้อยกว่า เช่น การกระจายตัวน้อยลง

ความแปรปรวน ตัวแปรสุ่ม , , …, - ค่าของตัวแปรสุ่มเรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ในปัญหาเชิงปฏิบัติจะใช้สูตรที่เทียบเท่ากันในการคำนวณความแปรปรวน

คุณสมบัติหลักของการกระจายตัวคือ:

.

วัตถุประสงค์ของการบริการ- เครื่องคิดเลขออนไลน์ใช้ในการสร้างตารางการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X - จำนวนการทดลองที่ดำเนินการและคำนวณคุณลักษณะทั้งหมดของอนุกรม ได้แก่ ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน รายงานพร้อมการตัดสินใจจัดทำขึ้นในรูปแบบ Word

ตัวอย่างที่ 1 ในโกศ สีขาวและ ลูกบอลสีดำ ลูกบอลจะถูกสุ่มจากโกศโดยไม่ต้องกลับมาจนกว่าลูกบอลสีขาวจะปรากฏขึ้น ทันทีที่เกิดเหตุการณ์นี้ กระบวนการจะหยุดลง
งานประเภทนี้เกี่ยวข้องกับปัญหาการสร้างการแจกแจงทางเรขาคณิต

ตัวอย่างที่ 2 สอง นักกีฬาสามคน แต่ละคนยิงหนึ่งนัดไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงคนแรกจะโดนก็คือ , ที่สอง -

- จัดทำกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม X - จำนวนการเข้าชมเป้าหมาย , ตัวอย่างที่ 2ก คนยิงยิงไปสองสามนัด ความน่าจะเป็นที่จะตีด้วยการยิงที่สอดคล้องกันนั้นเท่ากับ

- หากพลาดครั้งแรก นักกีฬาจะไม่เข้าร่วมการแข่งขันครั้งต่อไป จัดทำกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม X - จำนวนการเข้าชมเป้าหมาย ตัวอย่างที่ 3 ในงานปาร์ตี้จาก รายละเอียด มาตรฐานที่มีข้อบกพร่อง ตัวควบคุมจะดึงแบบสุ่ม
รายละเอียด. ร่างกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม X - จำนวนชิ้นส่วนสินค้าที่มีข้อบกพร่องในตัวอย่างงานที่คล้ายกัน
: มีลูกบอลสีแดงและสีน้ำเงินอยู่ในตะกร้า K ลูกบอลจะถูกสุ่มจับขึ้นมา วาดกฎการกระจายของ DSV X - ลักษณะของลูกบอลสีน้ำเงิน

ดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างอื่นๆ ตัวอย่างที่ 4 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองครั้งหนึ่งมีค่าเท่ากับ - ผลิต
การทดสอบ วาดกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X - จำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น:
งานที่คล้ายกันสำหรับการแจกจ่ายประเภทนี้
1. วาดกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม X จำนวนการโจมตีด้วยการยิงสี่นัด หากความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8

js-สคริปต์
ตัวอย่างหมายเลข 1 มีการโยนเหรียญสามเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะได้เสื้อคลุมแขนในการโยนครั้งเดียวคือ 0.5 ร่างกฎการแจกแจงสำหรับตัวแปรสุ่ม X - จำนวนตราสัญลักษณ์ที่ดรอป
สารละลาย.
ความน่าจะเป็นที่ไม่ได้วาดตราสัญลักษณ์: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
ป(1) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
ป(2) =

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X:

เอ็กซ์	0	1	2	3
ป	0,125	0,375	0,375	0,125

ตรวจสอบ: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.125 + 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1

ตัวอย่างหมายเลข 2 ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงหนึ่งคนจะโดนเป้าหมายด้วยการยิงนัดเดียวสำหรับนักกีฬาคนแรกคือ 0.8 สำหรับนักกีฬาคนที่สอง – 0.85 คนร้ายยิงเข้าเป้าหนึ่งนัด เมื่อพิจารณาว่าการตีเป้าหมายเป็นเหตุการณ์อิสระสำหรับนักกีฬาแต่ละคน ให้ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A – โจมตีเป้าหมายเพียงครั้งเดียว
ตัวอย่างหมายเลข 1 มีการโยนเหรียญสามเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะได้เสื้อคลุมแขนในการโยนครั้งเดียวคือ 0.5 ร่างกฎการแจกแจงสำหรับตัวแปรสุ่ม X - จำนวนตราสัญลักษณ์ที่ดรอป
พิจารณาเหตุการณ์ A - โจมตีเป้าหมายหนึ่งครั้ง ตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับเหตุการณ์นี้ที่จะเกิดขึ้นมีดังนี้:

1. ยิงคนแรกโดน ยิงสองพลาด: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
2. นักกีฬาคนแรกพลาด นักกีฬาคนที่สองเข้าเป้า: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. ลูกศรดอกแรกและดอกที่สองกระทบเป้าหมายโดยแยกจากกัน: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68

จากนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A – โจมตีเป้าหมายหนึ่งครั้ง – จะเท่ากับ: P(A) = 0.12+0.17+0.68 = 0.97

ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ “ตัวแปรสุ่ม”

งาน 1 - มีการออกตั๋วลอตเตอรีจำนวน 100 ใบ สุ่มรางวัลหนึ่งรางวัลมูลค่า 50 USD และรางวัลสิบรางวัลมูลค่า 10 USD ต่อรางวัล ค้นหากฎการกระจายของค่า X - ต้นทุนของการชนะที่เป็นไปได้

สารละลาย. ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ X: x 1 = 0; x 2 = 10 และ x 3 = 50 เนื่องจากมีตั๋ว "ว่าง" 89 ใบ ดังนั้น p 1 = 0.89 ความน่าจะเป็นที่จะชนะ $10 (10 ใบ) – หน้า 2 = 0.10 และรับรางวัล 50 USD -พี 3 = 0.01. ดังนั้น:

	0,89	0,10	0,01

ควบคุมง่าย: .

งาน 2. ความน่าจะเป็นที่ผู้ซื้อได้อ่านโฆษณาสินค้าล่วงหน้าคือ 0.6 (p=0.6) การควบคุมคุณภาพโฆษณาแบบเลือกสรรดำเนินการโดยการสำรวจผู้ซื้อก่อนคนแรกที่ศึกษาโฆษณาล่วงหน้า จัดทำชุดการจัดจำหน่ายสำหรับจำนวนผู้ซื้อที่สำรวจ

ตัวอย่างหมายเลข 1 มีการโยนเหรียญสามเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะได้เสื้อคลุมแขนในการโยนครั้งเดียวคือ 0.5 ร่างกฎการแจกแจงสำหรับตัวแปรสุ่ม X - จำนวนตราสัญลักษณ์ที่ดรอป ตามเงื่อนไขของปัญหา p = 0.6 จาก: q=1 -p = 0.4 แทนที่ค่าเหล่านี้เราจะได้:และสร้างซีรีย์การจัดจำหน่าย:

พี ฉัน		0,24

งาน 3. คอมพิวเตอร์ประกอบด้วยองค์ประกอบการทำงานอิสระสามส่วน ได้แก่ ยูนิตระบบ จอภาพ และคีย์บอร์ด เมื่อแรงดันไฟฟ้าเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเพียงครั้งเดียว ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบคือ 0.1 ตามการกระจายแบบเบอร์นูลลี ให้ร่างกฎหมายการกระจายสำหรับจำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวระหว่างไฟกระชากในเครือข่าย

สารละลาย. ลองพิจารณาดู การกระจายเบอร์นูลลี(หรือทวินาม): ความน่าจะเป็นนั้น n การทดสอบ เหตุการณ์ A จะปรากฏขึ้นอย่างแน่นอนเค ครั้งหนึ่ง: , หรือ:

	ถาม n					พี n

ใน กลับมาที่ภารกิจกันดีกว่า

ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ X (จำนวนความล้มเหลว):

x 0 =0 – ไม่มีองค์ประกอบใดล้มเหลว

x 1 =1 – ความล้มเหลวขององค์ประกอบหนึ่ง;

x 2 =2 – ความล้มเหลวของสององค์ประกอบ;

x 3 =3 – ความล้มเหลวขององค์ประกอบทั้งหมด

เนื่องจากตามเงื่อนไข p = 0.1 ดังนั้น q = 1 – p = 0.9 จากการใช้สูตรของเบอร์นูลลี เราได้

, ,

, .

ควบคุม: .

ดังนั้นกฎหมายการจำหน่ายที่จำเป็น:

	0,729	0,243	0,027	0,001

ปัญหาที่ 4- ผลิต 5,000 รอบ ความน่าจะเป็นที่ตลับหมึกหนึ่งตลับชำรุด - ความน่าจะเป็นที่ตลับหมึกทั้งหมดจะมีข้อบกพร่อง 3 ตลับเป็นเท่าใด

สารละลาย. ใช้งานได้ การกระจายปัวซอง: การแจกแจงนี้ใช้เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นนั้น สำหรับค่าที่มีขนาดใหญ่มาก

จำนวนการทดสอบ (mass test) โดยแต่ละรายการมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A น้อยมาก เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น k ครั้ง: , ที่ไหน .

ที่นี่ n = 5,000, p = 0.0002, k = 3 เราพบ แล้วความน่าจะเป็นที่ต้องการ: .

ปัญหาที่ 5- เมื่อทำการยิงจนโดนครั้งแรกด้วยความน่าจะเป็นของการโจมตี p = 0.6 เมื่อทำการยิง คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดการโจมตีในนัดที่สาม

สารละลาย. ให้เราใช้การแจกแจงทางเรขาคณิต: ปล่อยให้ทำการทดลองอิสระ ในแต่ละเหตุการณ์ A มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น p (และไม่เกิดขึ้น q = 1 – p) การทดสอบจะสิ้นสุดทันทีที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น

ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในการทดลองครั้งที่ k จะถูกกำหนดโดยสูตร: ที่นี่ p = 0.6; q = 1 – 0.6 = 0.4;k = 3 ดังนั้น

ปัญหาที่ 6- ให้กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม X ดังนี้

ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

สารละลาย. -

โปรดทราบว่าความหมายความน่าจะเป็นของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

ปัญหาที่ 7- ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X ด้วยกฎการแจกแจงต่อไปนี้:

สารละลาย. ที่นี่ .

กฎการกระจายสำหรับค่ากำลังสองของ X 2 :

เอ็กซ์ 2

ความแปรปรวนที่ต้องการ: .

การกระจายตัวเป็นตัวกำหนดลักษณะการวัดค่าเบี่ยงเบน (การกระจายตัว) ของตัวแปรสุ่มจากการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์

ปัญหาที่ 8- ให้ตัวแปรสุ่มได้รับจากการแจกแจง:

			10ม

ค้นหาลักษณะเชิงตัวเลขของมัน

สารละลาย: ม, ม 2 ,

ม 2 , ม.

เกี่ยวกับตัวแปรสุ่ม X เราสามารถพูดได้เช่นกัน: ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันคือ 6.4 ม. โดยมีความแปรปรวน 13.04 ม. 2 หรือ – ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ 6.4 ม. โดยมีค่าเบี่ยงเบนเป็น ม. สูตรที่สองชัดเจนกว่าอย่างเห็นได้ชัด

งาน 9. ตัวแปรสุ่มเอ็กซ์ กำหนดโดยฟังก์ชันการกระจาย:
.

ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลการทดสอบค่า X จะนำค่าที่มีอยู่ในช่วงเวลานั้น .

สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่ X จะได้รับค่าจากช่วงเวลาที่กำหนดจะเท่ากับการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันอินทิกรัลในช่วงเวลานี้ กล่าวคือ - ในกรณีของเรา และ ดังนั้น

.

งาน 10. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเอ็กซ์ ได้รับจากกฎหมายการกระจาย:

ค้นหาฟังก์ชันการกระจายฉ(x ) และพล็อตมัน

สารละลาย. เนื่องจากฟังก์ชันการกระจาย

สำหรับ , ที่

ที่ ;

ที่ ;

ที่ ;

ที่ ;

แผนภูมิที่เกี่ยวข้อง:

ปัญหาที่ 11.ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเอ็กซ์ กำหนดโดยฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง: .

ค้นหาความน่าจะเป็นของการตี X ต่อช่วงเวลา

สารละลาย. โปรดทราบว่านี่เป็นกรณีพิเศษของกฎหมายการกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

ลองใช้สูตร: .

งาน 12. ค้นหาคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ที่ระบุโดยกฎการกระจาย:

	–5
	X2: เอ็กซ์ 2 . , ที่ไหน - ฟังก์ชั่นลาปลาซ ค่าของฟังก์ชันนี้พบได้โดยใช้ตาราง ในกรณีของเรา: . จากตารางเราพบ: ดังนั้น: