การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนใหม่ - กฎและตัวอย่าง การลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด กฎ ตัวอย่าง วิธีแก้ไข

เมื่อบวกและลบเศษส่วนพีชคณิตที่มีตัวส่วนต่างกัน เศษส่วนจะนำไปสู่ก่อน ตัวส่วนร่วม- ซึ่งหมายความว่าพวกเขาจะพบตัวส่วนหนึ่งตัวที่หารด้วยตัวส่วนดั้งเดิมของเศษส่วนพีชคณิตแต่ละตัวที่รวมอยู่ในนิพจน์ที่กำหนด

ดังที่คุณทราบ ถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนถูกคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง นี่คือคุณสมบัติหลักของเศษส่วน ดังนั้น เมื่อเศษส่วนถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วม ก็จะคูณตัวส่วนเดิมของเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไปเพื่อให้ได้ตัวส่วนร่วม ในกรณีนี้ คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยตัวประกอบนี้ (เศษส่วนแต่ละส่วนจะต่างกันออกไป)

ตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาผลรวมของเศษส่วนพีชคณิตต่อไปนี้

จำเป็นต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นนั่นคือเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตสองตัว ก่อนอื่นคุณต้องนำพจน์ที่เป็นเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมก่อน ขั้นตอนแรกคือการหา monomial ที่หารด้วย 3x และ 2y ลงตัว ในกรณีนี้ ต้องการให้มีค่าน้อยที่สุด นั่นคือ หาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) สำหรับ 3x และ 2y

สำหรับค่าสัมประสิทธิ์และตัวแปรตัวเลข LCM จะถูกค้นหาแยกกัน LCM(3, 2) = 6 และ LCM(x, y) = xy ถัดไปค่าที่พบจะถูกคูณ: 6xy

ตอนนี้เราต้องพิจารณาว่าเราต้องคูณ 3x ด้วยปัจจัยใดจึงจะได้ 6xy:
6xy ۞ 3x = 2y

ซึ่งหมายความว่าเมื่อลดเศษส่วนพีชคณิตตัวแรกให้เป็นตัวส่วนร่วม ตัวเศษจะต้องคูณด้วย 2y (ตัวส่วนถูกคูณแล้วเมื่อลดเป็นตัวส่วนร่วม) ตัวคูณของตัวเศษของเศษส่วนที่สองจะถูกค้นหาในลักษณะเดียวกัน มันจะเท่ากับ 3x

ดังนั้นเราจึงได้:

จากนั้นคุณสามารถทำหน้าที่เป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันได้: บวกเศษและเขียนตัวส่วนร่วมหนึ่งตัว:

หลังจากการแปลงจะได้นิพจน์ที่เรียบง่ายซึ่งเป็นเศษส่วนพีชคณิตหนึ่งตัวซึ่งเป็นผลรวมของทั้งสองต้นฉบับ:

เศษส่วนพีชคณิตในนิพจน์ดั้งเดิมอาจมีตัวส่วนที่เป็นพหุนามแทนที่จะเป็นเอกพจน์ (ดังตัวอย่างข้างต้น) ในกรณีนี้ ก่อนที่จะค้นหาตัวส่วนร่วม คุณควรแยกตัวประกอบตัวส่วน (ถ้าเป็นไปได้) จากนั้น ตัวส่วนร่วมจะถูกรวบรวมจากปัจจัยต่างๆ หากตัวคูณอยู่ในตัวส่วนดั้งเดิมหลายตัว ระบบจะใช้ครั้งเดียว หากตัวคูณมีอำนาจต่างกันในตัวส่วนดั้งเดิม ก็จะถูกใช้กับตัวที่ใหญ่กว่า ตัวอย่างเช่น:

ในที่นี้พหุนาม a 2 – b 2 สามารถแสดงเป็นผลคูณ (a – b)(a + b) ได้ ตัวประกอบ 2a – 2b ถูกขยายเป็น 2(a – b) ดังนั้น ตัวส่วนร่วมจะเป็น 2(a – b)(a + b)

เดิมทีฉันต้องการรวมเทคนิคการใช้ตัวส่วนร่วมไว้ในส่วนการบวกและการลบเศษส่วน แต่กลับกลายเป็นว่ามีข้อมูลมากมายและความสำคัญของมันก็ยิ่งใหญ่มาก (ท้ายที่สุดไม่ใช่แค่เศษส่วนที่เป็นตัวเลขเท่านั้นที่มีตัวส่วนร่วม) จึงเป็นการดีกว่าที่จะศึกษาปัญหานี้แยกกัน

สมมุติว่าเรามีเศษส่วนสองตัวที่มีตัวส่วนต่างกัน. และเราต้องการให้แน่ใจว่าตัวส่วนจะเท่ากัน. คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนจะช่วยได้ ซึ่งฉันขอเตือนคุณว่ามีลักษณะดังนี้:

เศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวเศษและส่วนคูณด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์

ดังนั้น หากคุณเลือกปัจจัยได้อย่างถูกต้อง ตัวส่วนของเศษส่วนจะเท่ากัน - กระบวนการนี้เรียกว่าการลดลงเป็นตัวส่วนร่วม และตัวเลขที่ต้องการซึ่งเรียกว่าตัวส่วน "ตอนเย็น" เรียกว่าปัจจัยเพิ่มเติม

ทำไมเราต้องลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม? นี่เป็นเพียงเหตุผลบางประการ:

1. การบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน ไม่มีวิธีอื่นในการดำเนินการนี้
2. การเปรียบเทียบเศษส่วน บางครั้งการลดทอนตัวส่วนร่วมจะทำให้งานนี้ง่ายขึ้นมาก
3. การแก้ปัญหาเรื่องเศษส่วนและเปอร์เซ็นต์ เปอร์เซ็นต์เป็นนิพจน์ทั่วไปที่มีเศษส่วน

มีหลายวิธีในการค้นหาตัวเลขที่เมื่อคูณแล้วจะทำให้ตัวส่วนของเศษส่วนเท่ากัน เราจะพิจารณาเพียงสามรายการเท่านั้น - เพื่อเพิ่มความซับซ้อนและในแง่ประสิทธิผล

การคูณแบบกากบาท

วิธีที่ง่ายและน่าเชื่อถือที่สุด ซึ่งรับประกันว่าตัวส่วนจะเท่ากัน เราจะทำตัว "แบบหัวทิ่ม": เราคูณเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง และเศษส่วนที่สองคูณด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรก ผลคูณของเศษส่วนทั้งสองจะเท่ากับผลคูณของตัวส่วนเดิม ลองดู:

เนื่องจากเป็นปัจจัยเพิ่มเติม ให้พิจารณาตัวส่วนของเศษส่วนข้างเคียง เราได้รับ:

ใช่ มันง่ายมาก หากคุณเพิ่งเริ่มเรียนเศษส่วน ควรใช้วิธีนี้จะดีกว่า ด้วยวิธีนี้ คุณจะประกันตัวเองจากข้อผิดพลาดต่างๆ มากมายและรับประกันว่าจะได้รับผลลัพธ์

ข้อเสียเปรียบประการเดียวของวิธีนี้คือคุณต้องนับมาก เนื่องจากตัวส่วนจะคูณ "ตลอดทาง" และผลลัพธ์ที่ได้อาจเป็นตัวเลขที่มากได้ นี่คือราคาที่ต้องจ่ายเพื่อความน่าเชื่อถือ

วิธีการหารร่วม

เทคนิคนี้ช่วยลดการคำนวณได้อย่างมาก แต่น่าเสียดายที่มีการใช้งานค่อนข้างน้อย วิธีการมีดังนี้:

1. ก่อนที่คุณจะดำเนินการต่อไป (เช่น ใช้วิธีกากบาด) โปรดดูที่ตัวส่วน บางทีหนึ่งในนั้น (อันที่ใหญ่กว่า) อาจถูกแบ่งออกเป็นอันอื่น
2. จำนวนที่เกิดจากการหารนี้จะเป็นปัจจัยเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนที่มีตัวส่วนน้อยกว่า
3. ในกรณีนี้ เศษส่วนที่มีตัวส่วนมากไม่จำเป็นต้องคูณด้วยสิ่งใดเลย - นี่คือจุดที่ประหยัดได้ ในขณะเดียวกัน ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดก็ลดลงอย่างมาก

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่า 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. เนื่องจากในทั้งสองกรณีตัวส่วนตัวหนึ่งถูกหารโดยไม่มีเศษเหลืออีกตัวหนึ่ง เราจึงใช้วิธีการหาตัวประกอบร่วม เรามี:

โปรดทราบว่าเศษส่วนที่สองไม่ได้คูณด้วยสิ่งใดเลย เราลดปริมาณการคำนวณลงครึ่งหนึ่ง!

อย่างไรก็ตาม ฉันไม่ได้หาเศษส่วนในตัวอย่างนี้โดยบังเอิญ หากคุณสนใจ ให้ลองนับโดยใช้วิธีกากบาด หลังจากลดแล้วคำตอบจะเหมือนเดิมแต่จะมีงานอีกมากมาย

นี่คือกำลังของวิธีตัวหารร่วม แต่สามารถใช้ได้ก็ต่อเมื่อตัวส่วนตัวใดตัวหนึ่งถูกหารด้วยอีกตัวโดยไม่มีเศษเหลือเท่านั้น ซึ่งเกิดขึ้นค่อนข้างน้อย

วิธีหลายวิธีที่ใช้กันน้อยที่สุด

เมื่อเราลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม เรากำลังพยายามหาตัวเลขที่หารด้วยตัวส่วนแต่ละตัวลงตัว จากนั้นเราก็นำตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองมารวมกันเป็นจำนวนนี้

มีจำนวนดังกล่าวอยู่เป็นจำนวนมาก และจำนวนที่น้อยที่สุดไม่จำเป็นต้องเท่ากับผลคูณโดยตรงของตัวส่วนของเศษส่วนเดิม ตามที่คิดในวิธี "กากบาท"

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวส่วน 8 และ 12 ตัวเลข 24 นั้นค่อนข้างเหมาะสม เนื่องจาก 24: 8 = 3; 24: 12 = 2 จำนวนนี้น้อยกว่าผลคูณ 8 · 12 = 96 มาก

จำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวส่วนแต่ละตัวลงตัวเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

หมายเหตุ: ตัวคูณร่วมน้อยของ a และ b เขียนแทนด้วย LCM(a ; b) ตัวอย่างเช่น LCM(16, 24) = 48 ; ล.ซม.(8; 12) = 24 .

หากคุณสามารถหาตัวเลขดังกล่าวได้ จำนวนการคำนวณทั้งหมดก็จะน้อยที่สุด ดูตัวอย่าง:

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่า 234 = 117 2; 351 = 117 3. ปัจจัยที่ 2 และ 3 เป็นปัจจัยร่วม (ไม่มีปัจจัยร่วมกันนอกจาก 1) และปัจจัย 117 เป็นเรื่องร่วม ดังนั้น ค.ร.น.(234, 351) = 117 2 3 = 702

ในทำนองเดียวกัน 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. ปัจจัยที่ 3 และ 4 เป็นปัจจัยร่วม และปัจจัยที่ 5 เป็นปัจจัยร่วม ดังนั้น ค.ร.น.(15, 20) = 5 3 4 = 60

ทีนี้ลองนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม:

สังเกตว่าการแยกตัวประกอบตัวส่วนดั้งเดิมมีประโยชน์เพียงใด:

1. เมื่อค้นพบปัจจัยที่เหมือนกัน เราก็มาถึงตัวคูณร่วมน้อยทันที ซึ่งโดยทั่วไปแล้วเป็นปัญหาที่ไม่สำคัญ
2. จากการขยายตัวที่เกิดขึ้น คุณจะพบว่าปัจจัยใด "หายไป" ในแต่ละเศษส่วน ตัวอย่างเช่น 234 · 3 = 702 ดังนั้น สำหรับเศษส่วนแรก ตัวประกอบเพิ่มเติมคือ 3

หากต้องการทราบว่าวิธีหลายวิธีที่ใช้กันทั่วไปน้อยที่สุดสร้างความแตกต่างได้มากเพียงใด ให้ลองคำนวณตัวอย่างเดียวกันเหล่านี้โดยใช้วิธีกากบาด แน่นอนว่าไม่มีเครื่องคิดเลข ฉันคิดว่าหลังจากความคิดเห็นนี้จะไม่จำเป็น

อย่าคิดว่าจะไม่มีเศษส่วนที่ซับซ้อนขนาดนั้นในตัวอย่างจริง พวกเขาพบกันตลอดเวลา และภารกิจข้างต้นก็ไม่มีขีดจำกัด!

ปัญหาเดียวคือจะหา NOC นี้ได้อย่างไร บางครั้งทุกสิ่งสามารถค้นพบได้ภายในไม่กี่วินาที หรือ "ด้วยตา" อย่างแท้จริง แต่โดยทั่วไปแล้ว นี่เป็นงานคำนวณที่ซับซ้อนซึ่งต้องพิจารณาแยกกัน เราจะไม่แตะต้องเรื่องนั้นที่นี่

ตัวส่วนของเศษส่วนเลขคณิต a / b คือตัวเลข b ซึ่งแสดงขนาดของเศษส่วนของหน่วยที่ใช้ประกอบเศษส่วน ตัวหารของเศษส่วนพีชคณิต A / B คือนิพจน์พีชคณิต B ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยเศษส่วน จะต้องลดทอนให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด

คุณจะต้อง

• หากต้องการทำงานกับเศษส่วนพีชคณิตและหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด คุณจำเป็นต้องรู้วิธีแยกตัวประกอบพหุนาม

คำแนะนำ

ลองพิจารณาลดเศษส่วนเลขคณิตสองตัว n/m และ s/t ให้เป็นตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุด โดยที่ n, m, s, t เป็นจำนวนเต็ม เห็นได้ชัดว่าเศษส่วนทั้งสองนี้สามารถลดให้เหลือตัวส่วนใดๆ ที่หารด้วย m และ t ลงตัวได้ แต่พวกเขาพยายามที่จะนำไปสู่ตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด มันเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วน m และ t ของเศษส่วนที่กำหนด ตัวคูณน้อยที่สุด (LMK) ของตัวเลขคือตัวหารน้อยที่สุดด้วยตัวเลขที่กำหนดทั้งหมดในเวลาเดียวกัน เหล่านั้น. ในกรณีของเรา เราจำเป็นต้องค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข m และ t แสดงว่า LCM (m, t) ต่อไป เศษส่วนจะถูกคูณด้วยเศษส่วนที่เกี่ยวข้อง: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t)

มาหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดของเศษส่วนสามตัว: 4/5, 7/8, 11/14 ขั้นแรก ลองขยายตัวส่วน 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7 ต่อไป ให้คำนวณ LCM (5, 8, 14) โดยการคูณ ตัวเลขทั้งหมดที่รวมอยู่ในการขยายอย่างน้อยหนึ่งรายการ LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280 โปรดทราบว่าหากมีตัวประกอบเกิดขึ้นในส่วนขยายของจำนวนหลายจำนวน (ตัวประกอบ 2 ในส่วนขยายของตัวส่วน 8 และ 14) เราจะนำตัวประกอบไปที่ ระดับที่มากกว่า (2^3 ในกรณีของเรา)

จึงได้รับแบบทั่วไป มีค่าเท่ากับ 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20 ตรงนี้เราจะได้ตัวเลขที่เราต้องใช้คูณเศษส่วนด้วยตัวส่วนที่สอดคล้องกันเพื่อนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด เราได้ 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280

การลดเศษส่วนพีชคณิตให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดจะดำเนินการโดยการเปรียบเทียบกับเศษส่วนทางคณิตศาสตร์ เพื่อความชัดเจน ลองดูปัญหาโดยใช้ตัวอย่าง ให้เศษส่วนสองอัน (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) และ (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) ลองแยกตัวประกอบทั้งสองตัว. โปรดทราบว่าตัวส่วนของเศษส่วนแรกเป็นกำลังสองสมบูรณ์: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2 สำหรับ

ในการแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วน คุณต้องสามารถหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดได้ ด้านล่างนี้เป็นคำแนะนำโดยละเอียด

วิธีค้นหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด - แนวคิด

ตัวส่วนร่วมน้อย (LCD) หรือพูดง่ายๆ ก็คือจำนวนขั้นต่ำที่หารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนทั้งหมดในตัวอย่างที่กำหนดได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อย (LCM) NOS จะใช้ก็ต่อเมื่อตัวส่วนของเศษส่วนต่างกัน

วิธีค้นหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด - ตัวอย่าง

ลองดูตัวอย่างการค้นหา NOC

คำนวณ: 3/5 + 2/15

วิธีแก้ไข (ลำดับของการกระทำ):

• เราดูที่ตัวส่วนของเศษส่วน ต้องแน่ใจว่ามันต่างกันและใช้ตัวย่อให้มากที่สุด
• เราจะหาจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 5 และ 15 ลงตัว โดยจำนวนนี้จะเท่ากับ 15 ดังนั้น 3/5 + 2/15 = ?/15
• เราหาตัวส่วนได้แล้ว. ตัวเศษจะเป็นอย่างไร? ตัวคูณเพิ่มเติมจะช่วยเราหาสิ่งนี้ ปัจจัยเพิ่มเติมคือจำนวนที่ได้จากการหารนิวซีแลนด์ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนเฉพาะ สำหรับ 3/5 ตัวประกอบเพิ่มเติมคือ 3 เนื่องจาก 15/5 = 3 สำหรับเศษส่วนที่สอง ตัวประกอบเพิ่มเติมคือ 1 เนื่องจาก 15/15 = 1
• เมื่อพบปัจจัยเพิ่มเติมแล้วให้คูณด้วยตัวเศษของเศษส่วนแล้วบวกค่าผลลัพธ์ 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15

คำตอบ: 3/5 + 2/15 = 11/15

หากในตัวอย่างนี้ไม่ใช่ 2 แต่มีการบวกหรือลบเศษส่วนตั้งแต่ 3 รายการขึ้นไป จะต้องค้นหา NCD เพื่อหาเศษส่วนตามที่กำหนด

คำนวณ: 1/2 – 5/12 + 3/6

วิธีแก้ปัญหา (ลำดับของการกระทำ):

• การหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด จำนวนขั้นต่ำที่หารด้วย 2, 12 และ 6 คือ 12
• เราได้: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12
• เรากำลังมองหาตัวคูณเพิ่มเติม สำหรับ 1/2 – 6; สำหรับ 5/12 – 1; สำหรับ 3/6 – 2
• เราคูณด้วยตัวเศษและกำหนดเครื่องหมายที่สอดคล้องกัน: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12

คำตอบ: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12