ตัวชี้วัดการเปลี่ยนแปลง: แนวคิด ประเภท สูตรการคำนวณ ตัวอย่างการแก้ปัญหา ความคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

หน้านี้อธิบายตัวอย่างมาตรฐานของการค้นหาความแปรปรวน คุณยังสามารถดูปัญหาอื่นๆ ในการค้นหาได้อีกด้วย

ตัวอย่างที่ 1 การกำหนดกลุ่ม ค่าเฉลี่ยกลุ่ม กลุ่มระหว่างกัน และความแปรปรวนรวม

ตัวอย่างที่ 2 การค้นหาความแปรปรวนและสัมประสิทธิ์ของการแปรผันในตารางการจัดกลุ่ม

ตัวอย่างที่ 3 การค้นหาความแปรปรวนในชุดข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่ 4 ข้อมูลต่อไปนี้มีให้สำหรับกลุ่มนักเรียนทางจดหมายจำนวน 20 คน จำเป็นต้องสร้างชุดช่วงเวลาของการแจกแจงคุณลักษณะ คำนวณค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะ และศึกษาการกระจายตัวของคุณลักษณะ

มาสร้างการจัดกลุ่มตามช่วงเวลากันดีกว่า กำหนดช่วงของช่วงเวลาโดยใช้สูตร:

โดยที่ X max คือค่าสูงสุดของคุณลักษณะการจัดกลุ่ม
X min – ค่าต่ำสุดของลักษณะการจัดกลุ่ม
n – จำนวนช่วงเวลา:

เรายอมรับ n=5 ขั้นตอนคือ: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

มาสร้างการจัดกลุ่มตามช่วงเวลากันดีกว่า

สำหรับการคำนวณเพิ่มเติม เราจะสร้างตารางเสริม:

X"i – จุดกึ่งกลางของช่วง (เช่น ช่วงกลางของช่วง 159 – 165.6 = 162.3)

เรากำหนดส่วนสูงเฉลี่ยของนักเรียนโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก:

พิจารณาความแปรปรวนโดยใช้สูตร:

สามารถเปลี่ยนสูตรได้ดังนี้:

จากสูตรนี้จึงเป็นไปตามนั้น ความแปรปรวนจะเท่ากับ ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกำลังสองของตัวเลือกกับกำลังสองและค่าเฉลี่ย

การกระจายตัวในชุดรูปแบบต่างๆด้วยช่วงเวลาที่เท่ากันโดยใช้วิธีโมเมนต์ สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีต่อไปนี้โดยใช้คุณสมบัติการกระจายตัวที่สอง (หารตัวเลือกทั้งหมดด้วยค่าของช่วงเวลา) การกำหนดความแปรปรวนคำนวณโดยใช้วิธีโมเมนต์โดยใช้สูตรต่อไปนี้ใช้ความลำบากน้อยกว่า:

โดยที่ i คือค่าของช่วงเวลา
A เป็นศูนย์ธรรมดาซึ่งสะดวกในการใช้ช่วงกลางของช่วงที่มีความถี่สูงสุด
m1 คือกำลังสองของโมเมนต์ลำดับแรก
m2 - โมเมนต์ของลำดับที่สอง

ความแปรปรวนลักษณะทางเลือก (หากในประชากรทางสถิติ ลักษณะการเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่มีเพียงสองตัวเลือกที่ไม่เกิดร่วมกัน ความแปรปรวนดังกล่าวเรียกว่าทางเลือก) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

เมื่อแทน q = 1- p ลงในสูตรการกระจายตัว เราจะได้:

ประเภทของความแปรปรวน

ผลต่างรวมวัดความแปรผันของลักษณะเฉพาะของประชากรทั้งหมดโดยรวมภายใต้อิทธิพลของปัจจัยทั้งหมดที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงนี้ มันเท่ากับกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของลักษณะเฉพาะ x จากค่าเฉลี่ยโดยรวมของ x และสามารถกำหนดได้ว่าเป็นความแปรปรวนอย่างง่ายหรือความแปรปรวนแบบถ่วงน้ำหนัก

ความแปรปรวนภายในกลุ่ม ระบุลักษณะการแปรผันแบบสุ่ม เช่น ส่วนหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงที่เกิดจากอิทธิพลของปัจจัยที่ไม่สามารถนับได้ และไม่ขึ้นอยู่กับคุณลักษณะของปัจจัยที่เป็นพื้นฐานของกลุ่ม การกระจายดังกล่าวเท่ากับกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของคุณลักษณะภายในกลุ่ม X จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มและสามารถคำนวณได้เป็นการกระจายตัวแบบง่ายหรือการกระจายแบบถ่วงน้ำหนัก

ดังนั้น, มาตรการวัดความแปรปรวนภายในกลุ่มการเปลี่ยนแปลงลักษณะภายในกลุ่มและถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ xi คือค่าเฉลี่ยของกลุ่ม
ni คือจำนวนหน่วยในกลุ่ม

ตัวอย่างเช่น ความแปรปรวนภายในกลุ่มที่ต้องพิจารณาในงานศึกษาอิทธิพลของคุณสมบัติของคนงานที่มีต่อระดับผลิตภาพแรงงานในการประชุมเชิงปฏิบัติการแสดงการเปลี่ยนแปลงของผลลัพธ์ในแต่ละกลุ่มที่เกิดจากปัจจัยที่เป็นไปได้ทั้งหมด (สภาพทางเทคนิคของอุปกรณ์ ความพร้อมใช้งานของ เครื่องมือและวัสดุ อายุของคนงาน ความเข้มข้นของแรงงาน ฯลฯ ) ยกเว้นความแตกต่างในประเภทคุณสมบัติ (ภายในกลุ่ม พนักงานทุกคนมีคุณสมบัติเหมือนกัน)

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาพิเศษของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโดยนักศึกษาสถาบันอุดมศึกษาเท่านั้น คุณชอบการคำนวณและสูตรหรือไม่? คุณกลัวโอกาสในการทำความรู้จักกับการแจกแจงแบบปกติ เอนโทรปีทั้งมวล ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องหรือไม่ แล้ววิชานี้จะน่าสนใจมากสำหรับคุณ มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานที่สำคัญที่สุดหลายประการของสาขาวิทยาศาสตร์นี้กันดีกว่า

เรามาจำพื้นฐานกัน

แม้ว่าคุณจะจำแนวคิดที่ง่ายที่สุดของทฤษฎีความน่าจะเป็นได้ แต่อย่าละเลยย่อหน้าแรกของบทความ ประเด็นก็คือหากไม่มีความเข้าใจพื้นฐานที่ชัดเจน คุณจะไม่สามารถทำงานกับสูตรที่กล่าวถึงด้านล่างได้

จึงมีเหตุการณ์สุ่มเกิดขึ้น การทดลองบางอย่าง จากการกระทำที่เราทำ เราจึงสามารถได้รับผลลัพธ์หลายประการ - บางอย่างเกิดขึ้นบ่อยกว่า และบางอย่างไม่บ่อยนัก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์จริงที่ได้รับจริงประเภทหนึ่งต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพียงทราบคำจำกัดความดั้งเดิมของแนวคิดนี้ คุณก็สามารถเริ่มศึกษาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องได้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ย้อนกลับไปในโรงเรียน ระหว่างเรียนคณิตศาสตร์ คุณเริ่มทำงานกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต แนวคิดนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีความน่าจะเป็น ดังนั้นจึงไม่สามารถละเลยได้ สิ่งสำคัญสำหรับเราในขณะนี้คือเราจะพบมันในสูตรสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

เรามีลำดับของตัวเลขและต้องการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต สิ่งเดียวที่เราต้องการก็คือสรุปทุกอย่างที่มีอยู่แล้วหารด้วยจำนวนองค์ประกอบในลำดับ ขอให้เรามีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ผลรวมขององค์ประกอบจะเท่ากับ 45 และเราจะหารค่านี้ด้วย 9 คำตอบ: - 5

การกระจายตัว

ในแง่วิทยาศาสตร์ การกระจายตัวคือกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของค่าที่ได้รับของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต ถูกกำหนดด้วยตัวอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ D ตัวเดียว สิ่งที่จำเป็นในการคำนวณคืออะไร? สำหรับแต่ละองค์ประกอบของลำดับ เราจะคำนวณความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่มีอยู่กับค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้วยกกำลังสอง จะมีมูลค่ามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้สำหรับเหตุการณ์ที่เรากำลังพิจารณา ต่อไปเราจะสรุปทุกอย่างที่ได้รับและหารด้วยจำนวนองค์ประกอบในลำดับ หากเรามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ห้ารายการ ให้หารด้วยห้า

การกระจายตัวยังมีคุณสมบัติที่ต้องจดจำเพื่อใช้ในการแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น เมื่อเพิ่มตัวแปรสุ่ม X ครั้ง ความแปรปรวนจะเพิ่มขึ้น X กำลังสองคูณ (เช่น X*X) มันไม่เคยน้อยกว่าศูนย์และไม่ขึ้นอยู่กับการเลื่อนค่าขึ้นหรือลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน นอกจากนี้ สำหรับการทดลองอิสระ ความแปรปรวนของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของผลรวม

ตอนนี้เราต้องพิจารณาตัวอย่างความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน

สมมติว่าเราทำการทดลอง 21 ครั้ง และได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน 7 แบบ เราสังเกตแต่ละครั้ง 1, 2, 2, 3, 4, 4 และ 5 ครั้งตามลำดับ ความแปรปรวนจะเท่ากับอะไร?

ขั้นแรก มาคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต แน่นอนว่าผลรวมขององค์ประกอบคือ 21 หารด้วย 7 จะได้ 3 จากนั้นให้ลบ 3 ออกจากแต่ละตัวเลขในลำดับเดิม ยกกำลังสองแต่ละค่า แล้วบวกผลลัพธ์เข้าด้วยกัน ผลลัพธ์คือ 12 ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำคือหารตัวเลขด้วยจำนวนองค์ประกอบ และดูเหมือนว่าก็แค่นั้นแหละ แต่ก็มีสิ่งที่จับได้! มาหารือกัน

ขึ้นอยู่กับจำนวนการทดลอง

ปรากฎว่าเมื่อคำนวณความแปรปรวน ตัวส่วนสามารถมีตัวเลขหนึ่งในสองจำนวน: N หรือ N-1 โดยที่ N คือจำนวนการทดลองที่ทำหรือจำนวนองค์ประกอบในลำดับ (ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือสิ่งเดียวกัน) สิ่งนี้ขึ้นอยู่กับอะไร?

ถ้าจำนวนการทดสอบวัดเป็นร้อย เราต้องใส่ N ในตัวส่วน ถ้าเป็นหน่วยแล้ว N-1 นักวิทยาศาสตร์ตัดสินใจวาดเส้นขอบในเชิงสัญลักษณ์: วันนี้มันผ่านเลข 30 หากเราทำการทดลองน้อยกว่า 30 ครั้ง เราจะหารจำนวนด้วย N-1 และถ้ามากกว่านั้นก็หารด้วย N

งาน

กลับมาที่ตัวอย่างการแก้ปัญหาความแปรปรวนและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน เราได้เลขกลาง 12 ซึ่งต้องหารด้วย N หรือ N-1 เนื่องจากเราทำการทดลอง 21 ครั้ง ซึ่งน้อยกว่า 30 ครั้ง เราจะเลือกตัวเลือกที่สอง คำตอบคือ: ความแปรปรวนคือ 12/2 = 2

ความคาดหวัง

เรามาดูแนวคิดที่สองกันดีกว่าซึ่งเราต้องพิจารณาในบทความนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นผลมาจากการบวกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคูณด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าค่าที่ได้รับตลอดจนผลลัพธ์ของการคำนวณความแปรปรวนนั้นได้มาเพียงครั้งเดียวสำหรับปัญหาทั้งหมด ไม่ว่าจะพิจารณาผลลัพธ์จำนวนเท่าใดก็ตาม

สูตรสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นค่อนข้างง่าย: เราใช้ผลลัพธ์คูณด้วยความน่าจะเป็นบวกกับผลลัพธ์ที่สองและสาม ฯลฯ ทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้คำนวณได้ไม่ยาก เช่น ผลรวมของค่าที่คาดหวังจะเท่ากับค่าที่คาดหวังของผลรวม เช่นเดียวกับการทำงาน ไม่ใช่ทุกปริมาณในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่จะอนุญาตให้คุณดำเนินการง่ายๆ เช่นนั้นได้ ลองใช้ปัญหาและคำนวณความหมายของสองแนวคิดที่เราศึกษาพร้อมกัน นอกจากนี้เรายังถูกรบกวนจากทฤษฎี - ถึงเวลาฝึกฝนแล้ว

อีกตัวอย่างหนึ่ง

เราทำการทดลอง 50 ครั้งและได้รับผลลัพธ์ 10 ประเภท - ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 - ปรากฏในเปอร์เซ็นต์ที่ต่างกัน เหล่านี้คือตามลำดับ: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18% โปรดจำไว้ว่าเพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นคุณต้องหารค่าเปอร์เซ็นต์ด้วย 100 ดังนั้นเราจึงได้ 0.02 0.1 เป็นต้น ให้เรานำเสนอตัวอย่างการแก้ปัญหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้สูตรที่เราจำได้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษา: 50/10 = 5

ทีนี้มาแปลงความน่าจะเป็นเป็นจำนวนผลลัพธ์ "เป็นชิ้น ๆ" เพื่อให้นับได้ง่ายขึ้น เราได้ 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 และ 9 จากแต่ละค่าที่ได้รับ เราจะลบค่าเฉลี่ยเลขคณิต หลังจากนั้นเราจะยกกำลังสองผลลัพธ์แต่ละรายการที่ได้รับ ดูวิธีดำเนินการโดยใช้องค์ประกอบแรกเป็นตัวอย่าง: 1 - 5 = (-4) ถัดไป: (-4) * (-4) = 16 สำหรับค่าอื่นๆ ให้ดำเนินการเหล่านี้ด้วยตนเอง ถ้าคุณทำทุกอย่างถูกต้องแล้ว เมื่อรวมทั้งหมดแล้วคุณจะได้ 90

มาคำนวณความแปรปรวนและค่าคาดหวังต่อไปโดยหาร 90 ด้วย N ทำไมเราจึงเลือก N แทนที่จะเป็น N-1 ถูกต้อง เนื่องจากจำนวนการทดลองที่ทำเกิน 30 ดังนั้น: 90/10 = 9 เราได้ความแปรปรวน หากได้เลขอื่นอย่าหมดหวัง เป็นไปได้มากว่าคุณทำผิดพลาดง่าย ๆ ในการคำนวณ ตรวจสอบสิ่งที่คุณเขียนอีกครั้งและทุกอย่างอาจจะเข้าที่

สุดท้าย จำสูตรความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไว้ เราจะไม่ให้การคำนวณทั้งหมด เราจะเขียนเฉพาะคำตอบที่คุณสามารถตรวจสอบได้หลังจากทำตามขั้นตอนที่จำเป็นทั้งหมดแล้วเท่านั้น ค่าคาดหวังจะเป็น 5.48 ให้เรานึกถึงวิธีดำเนินการเท่านั้น โดยใช้องค์ประกอบแรกเป็นตัวอย่าง: 0*0.02 + 1*0.1... และอื่นๆ อย่างที่คุณเห็น เราแค่คูณค่าผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็น

การเบี่ยงเบน

แนวคิดอีกประการหนึ่งที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการกระจายตัวและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ก็คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน มันถูกแสดงด้วยตัวอักษรละติน sd หรือด้วยตัวพิมพ์เล็กกรีก "sigma" แนวคิดนี้แสดงให้เห็นว่าค่าเบี่ยงเบนไปจากคุณลักษณะส่วนกลางโดยเฉลี่ยเท่าใด ในการหาค่าของมัน คุณจำเป็นต้องคำนวณรากที่สองของความแปรปรวน

หากคุณพล็อตกราฟการแจกแจงแบบปกติและต้องการดูค่าเบี่ยงเบนกำลังสองบนกราฟนั้นโดยตรง สามารถทำได้ในหลายๆ ขั้นตอน ใช้เวลาครึ่งหนึ่งของภาพไปทางซ้ายหรือขวาของโหมด (ค่ากลาง) วาดตั้งฉากกับแกนนอนเพื่อให้พื้นที่ของตัวเลขที่ได้เท่ากัน ขนาดของส่วนระหว่างกึ่งกลางของการกระจายและการฉายภาพที่เกิดขึ้นบนแกนนอนจะแสดงถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ซอฟต์แวร์

ดังที่เห็นได้จากคำอธิบายของสูตรและตัวอย่างที่นำเสนอ การคำนวณความแปรปรวนและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ขั้นตอนที่ง่ายที่สุดจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ เพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลา ควรใช้โปรแกรมที่ใช้ในสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษา - เรียกว่า "R" มีฟังก์ชันที่ช่วยให้คุณคำนวณค่าสำหรับแนวคิดต่างๆ จากสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น

ตัวอย่างเช่น คุณระบุเวกเตอร์ของค่า ทำได้ดังนี้: เวกเตอร์<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

สรุปแล้ว

การกระจายตัวและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นสิ่งที่ยากในการคำนวณสิ่งใดในอนาคต ในหลักสูตรหลักของการบรรยายที่มหาวิทยาลัยจะมีการพูดคุยกันในช่วงเดือนแรกของการศึกษาวิชานี้ เป็นเพราะขาดความเข้าใจในแนวคิดง่ายๆ เหล่านี้และไม่สามารถคำนวณได้ ทำให้นักเรียนจำนวนมากเริ่มล้าหลังในโปรแกรมทันทีและต่อมาได้รับคะแนนไม่ดีเมื่อสิ้นสุดภาคเรียน ซึ่งทำให้ไม่ได้รับทุนการศึกษา

ฝึกฝนอย่างน้อยหนึ่งสัปดาห์ ครึ่งชั่วโมงต่อวัน เพื่อแก้ไขปัญหาคล้ายกับที่นำเสนอในบทความนี้ จากนั้น ในการทดสอบใดๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น คุณจะสามารถรับมือกับตัวอย่างต่างๆ ได้โดยไม่ต้องอาศัยคำแนะนำและสูตรโกงเพิ่มเติม

บ่อยครั้งในสถิติเมื่อวิเคราะห์ปรากฏการณ์หรือกระบวนการจำเป็นต้องคำนึงถึงไม่เพียงแต่ข้อมูลเกี่ยวกับระดับเฉลี่ยของตัวบ่งชี้ที่กำลังศึกษาเท่านั้น แต่ยังรวมถึง กระจายหรือเปลี่ยนแปลงค่าของแต่ละหน่วย ซึ่งเป็นลักษณะสำคัญของประชากรที่กำลังศึกษา

สิ่งที่เปลี่ยนแปลงได้มากที่สุดคือราคาหุ้น อุปสงค์และอุปทาน และอัตราดอกเบี้ยในช่วงเวลาและในสถานที่ต่างกัน

ตัวชี้วัดหลักที่แสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลง คือ พิสัย การกระจาย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และสัมประสิทธิ์การแปรผัน

ช่วงของการเปลี่ยนแปลง แสดงถึงความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดและต่ำสุดของคุณลักษณะ: R = Xmax – Xmin- ข้อเสียของตัวบ่งชี้นี้คือ ประเมินเฉพาะขีดจำกัดของการแปรผันของลักษณะ และไม่สะท้อนถึงความแปรปรวนภายในขอบเขตเหล่านี้

การกระจายตัว ขาดข้อบกพร่องนี้ คำนวณเป็นกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของค่าคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ย:

วิธีง่ายๆ ในการคำนวณความแปรปรวน ดำเนินการโดยใช้สูตรต่อไปนี้ (แบบง่ายและถ่วงน้ำหนัก):

ตัวอย่างการใช้สูตรเหล่านี้แสดงไว้ในงานที่ 1 และ 2

ตัวบ่งชี้ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติคือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน :

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานถูกกำหนดให้เป็นรากที่สองของความแปรปรวนและมีมิติเดียวกันกับคุณลักษณะที่กำลังศึกษา

ตัวชี้วัดที่พิจารณาช่วยให้เราได้รับค่าสัมบูรณ์ของการเปลี่ยนแปลงเช่น ประเมินเป็นหน่วยวัดลักษณะที่กำลังศึกษา ต่างจากพวกเขา ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน วัดความแปรปรวนในแง่สัมพันธ์ - สัมพันธ์กับระดับเฉลี่ย ซึ่งในหลายกรณีจะดีกว่า

สูตรคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน

ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ “ตัวชี้วัดความแปรปรวนทางสถิติ”

ปัญหาที่ 1 - เมื่อศึกษาอิทธิพลของการโฆษณาต่อขนาดเงินฝากเฉลี่ยต่อเดือนในธนาคารในภูมิภาค ได้ทำการศึกษาธนาคาร 2 แห่ง ผลลัพธ์ต่อไปนี้ได้รับ:

กำหนด:
1) สำหรับแต่ละธนาคาร: ก) เงินฝากเฉลี่ยต่อเดือน; b) การกระจายตัวของส่วนสนับสนุน;
2) ยอดเงินฝากรายเดือนเฉลี่ยของสองธนาคารรวมกัน
3) ผลต่างเงินฝากสำหรับ 2 ธนาคาร ขึ้นอยู่กับการโฆษณา
4) ผลต่างเงินฝากของ 2 ธนาคาร ขึ้นอยู่กับปัจจัยทั้งหมด ยกเว้นการโฆษณา
5) ความแปรปรวนรวมโดยใช้กฎการบวก
6) ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ;
7) ความสัมพันธ์สหสัมพันธ์

สารละลาย

1) มาสร้างตารางคำนวณสำหรับธนาคารที่มีการโฆษณากันดีกว่า - เพื่อกำหนดเงินฝากเฉลี่ยต่อเดือน เราจะหาจุดกึ่งกลางของช่วงเวลา ในกรณีนี้ ค่าของช่วงเวลาที่เปิด (ค่าแรก) จะถูกบรรจุตามเงื่อนไขกับค่าของช่วงเวลาที่อยู่ติดกัน (ค่าที่สอง)

เราจะค้นหาขนาดเงินฝากเฉลี่ยโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก:

29,000/50 = 580 ถู

เราค้นหาความแปรปรวนของการมีส่วนสนับสนุนโดยใช้สูตร:

23 400/50 = 468

เราจะดำเนินการที่คล้ายกัน สำหรับธนาคารที่ไม่มีการโฆษณา :

2) เรามาค้นหาขนาดเงินฝากเฉลี่ยของทั้งสองธนาคารด้วยกัน хср =(580×50+542.8×50)/100 = 561.4 ถู.

3) เราจะค้นหาความแปรปรวนของเงินฝากสำหรับธนาคารสองแห่ง ขึ้นอยู่กับการโฆษณา โดยใช้สูตร: σ 2 =pq (สูตรสำหรับความแปรปรวนของคุณลักษณะทางเลือก) โดยที่ p=0.5 คือสัดส่วนของปัจจัยที่ขึ้นอยู่กับการโฆษณา q=1-0.5 จากนั้น σ 2 =0.5*0.5=0.25

4) เนื่องจากส่วนแบ่งของปัจจัยอื่นๆ คือ 0.5 ความแปรปรวนของเงินฝากสำหรับธนาคารสองแห่ง ขึ้นอยู่กับปัจจัยทั้งหมดยกเว้นการโฆษณา จึงเป็น 0.25 เช่นกัน

5) กำหนดค่าความแปรปรวนรวมโดยใช้กฎการบวก

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 = σ 2 ข้อเท็จจริง + σ 2 ส่วนที่เหลือ = 552.08+345.96 = 898.04

6) ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด η 2 = σ 2 ข้อเท็จจริง / σ 2 = 345.96/898.04 = 0.39 = 39% - ขนาดของการมีส่วนร่วมขึ้นอยู่กับการโฆษณา 39%

7) อัตราส่วนสหสัมพันธ์เชิงประจักษ์ η = √η 2 = √0.39 = 0.62 – ความสัมพันธ์ค่อนข้างใกล้กัน

ปัญหาที่ 2 - มีการจัดกลุ่มวิสาหกิจตามขนาดของผลิตภัณฑ์ที่วางตลาด:

กำหนด: 1) การกระจายตัวของมูลค่าของผลิตภัณฑ์ที่วางตลาด; 2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน; 3) ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน

สารละลาย

1) ตามเงื่อนไข จะมีการนำเสนออนุกรมการแจกแจงตามช่วงเวลา จะต้องแสดงแยกกันนั่นคือค้นหาจุดกึ่งกลางของช่วงเวลา (x") ในกลุ่มของช่วงปิดเราจะค้นหาจุดกึ่งกลางโดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย ในกลุ่มที่มีขีด จำกัด บน - เป็นความแตกต่างระหว่างขีด จำกัด บนนี้ และครึ่งหนึ่งของขนาดช่วงถัดไป (200-(400 -200):2=100)

ในกลุ่มที่มีขีดจำกัดล่าง - ผลรวมของขีดจำกัดล่างนี้และครึ่งหนึ่งของขนาดช่วงก่อนหน้า (800+(800-600):2=900)

เราคำนวณมูลค่าเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ที่วางตลาดโดยใช้สูตร:

хср = k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a โดยที่ a=500 คือขนาดของตัวเลือกที่ความถี่สูงสุด k=600-400=200 คือ ขนาดของช่วงเวลาที่ความถี่สูงสุด ลองใส่ผลลัพธ์ลงในตาราง:

ดังนั้น มูลค่าเฉลี่ยของผลผลิตเชิงพาณิชย์สำหรับช่วงเวลาที่ศึกษาโดยทั่วไปจะเท่ากับ хср = (-5:37)×200+500=472.97 พันรูเบิล

2) เราค้นหาความแปรปรวนโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

σ 2 = (33/37)*2002-(472.97-500)2 = 35,675.67-730.62 = 34,945.05

3) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: σ = ±√σ 2 = ±√34,945.05 γ ±186.94 พันรูเบิล

4) ค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน: V = (σ /Р)*100 = (186.94 / 472.97)*100 = 39.52%

.

ในทางกลับกัน ถ้า เป็น a ที่ไม่เป็นลบ ทำหน้าที่อย่างนั้น จากนั้นจะมีการวัดความน่าจะเป็นอย่างต่อเนื่องอย่างแน่นอนในเรื่องความหนาแน่นของมัน

การแทนที่หน่วยวัดในอินทิกรัล Lebesgue:

,

โดยที่ ฟังก์ชันบอเรลใดๆ ที่สามารถอินทิเกรตกับการวัดความน่าจะเป็นได้

การกระจายตัว ชนิดและคุณสมบัติของการกระจายตัว แนวคิดของการกระจายตัว

การกระจายตัวในสถิติพบว่าเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของแต่ละค่าของคุณลักษณะยกกำลังสองจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต ขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้น จะถูกกำหนดโดยใช้สูตรผลต่างแบบง่ายและถ่วงน้ำหนัก:

1. ความแปรปรวนอย่างง่าย(สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม) คำนวณโดยใช้สูตร:

2. ความแปรปรวนแบบถ่วงน้ำหนัก (สำหรับซีรี่ส์รูปแบบ):

โดยที่ n คือความถี่ (ความสามารถในการทำซ้ำของแฟกเตอร์ X)

ตัวอย่างการหาความแปรปรวน

หน้านี้อธิบายตัวอย่างมาตรฐานของการค้นหาความแปรปรวน คุณยังสามารถดูปัญหาอื่นๆ ในการค้นหาได้อีกด้วย

ตัวอย่างที่ 1 การหากลุ่ม ค่าเฉลี่ยกลุ่ม กลุ่มระหว่างกัน และความแปรปรวนรวม

ตัวอย่างที่ 2 การค้นหาความแปรปรวนและสัมประสิทธิ์ของการแปรผันในตารางการจัดกลุ่ม

ตัวอย่างที่ 3 การค้นหาความแปรปรวนในชุดข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่ 4 ข้อมูลต่อไปนี้มีให้สำหรับกลุ่มนักเรียนทางจดหมายจำนวน 20 คน จำเป็นต้องสร้างชุดช่วงเวลาของการแจกแจงคุณลักษณะ คำนวณค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะ และศึกษาการกระจายตัวของคุณลักษณะ

มาสร้างการจัดกลุ่มตามช่วงเวลากันดีกว่า กำหนดช่วงของช่วงเวลาโดยใช้สูตร:

โดยที่ X max คือค่าสูงสุดของคุณลักษณะการจัดกลุ่ม X min – ค่าต่ำสุดของลักษณะการจัดกลุ่ม n – จำนวนช่วงเวลา:

เรายอมรับ n=5 ขั้นตอนคือ: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

มาสร้างการจัดกลุ่มตามช่วงเวลากันดีกว่า

สำหรับการคำนวณเพิ่มเติม เราจะสร้างตารางเสริม:

X"i – จุดกึ่งกลางของช่วง (เช่น ช่วงกลางของช่วง 159 – 165.6 = 162.3)

เรากำหนดส่วนสูงเฉลี่ยของนักเรียนโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก:

พิจารณาความแปรปรวนโดยใช้สูตร:

สามารถเปลี่ยนสูตรได้ดังนี้:

จากสูตรนี้จึงเป็นไปตามนั้น ความแปรปรวนจะเท่ากับ ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกำลังสองของตัวเลือกกับกำลังสองและค่าเฉลี่ย

การกระจายตัวในชุดรูปแบบต่างๆด้วยช่วงเวลาที่เท่ากันโดยใช้วิธีโมเมนต์ สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีต่อไปนี้โดยใช้คุณสมบัติการกระจายตัวที่สอง (หารตัวเลือกทั้งหมดด้วยค่าของช่วงเวลา) การกำหนดความแปรปรวนคำนวณโดยใช้วิธีโมเมนต์โดยใช้สูตรต่อไปนี้ใช้ความลำบากน้อยกว่า:

โดยที่ i คือค่าของช่วงเวลา A เป็นศูนย์ธรรมดาซึ่งสะดวกในการใช้ช่วงกลางของช่วงที่มีความถี่สูงสุด m1 คือกำลังสองของโมเมนต์ลำดับแรก m2 - โมเมนต์ของลำดับที่สอง

ความแปรปรวนลักษณะทางเลือก (หากในประชากรทางสถิติ ลักษณะการเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่มีเพียงสองตัวเลือกที่ไม่เกิดร่วมกัน ความแปรปรวนดังกล่าวเรียกว่าทางเลือก) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

เมื่อแทน q = 1- p ลงในสูตรการกระจายตัว เราจะได้:

ประเภทของความแปรปรวน

ผลต่างรวมวัดความแปรผันของลักษณะเฉพาะของประชากรทั้งหมดโดยรวมภายใต้อิทธิพลของปัจจัยทั้งหมดที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงนี้ มันเท่ากับกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของลักษณะเฉพาะ x จากค่าเฉลี่ยโดยรวมของ x และสามารถกำหนดได้ว่าเป็นความแปรปรวนอย่างง่ายหรือความแปรปรวนแบบถ่วงน้ำหนัก

ความแปรปรวนภายในกลุ่ม ระบุลักษณะการแปรผันแบบสุ่ม เช่น ส่วนหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงที่เกิดจากอิทธิพลของปัจจัยที่ไม่สามารถนับได้ และไม่ขึ้นอยู่กับคุณลักษณะของปัจจัยที่เป็นพื้นฐานของกลุ่ม การกระจายดังกล่าวเท่ากับกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของคุณลักษณะภายในกลุ่ม X จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มและสามารถคำนวณได้เป็นการกระจายตัวแบบง่ายหรือการกระจายแบบถ่วงน้ำหนัก

ดังนั้น, มาตรการวัดความแปรปรวนภายในกลุ่มการเปลี่ยนแปลงลักษณะภายในกลุ่มและถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ xi คือค่าเฉลี่ยของกลุ่ม ni คือจำนวนหน่วยในกลุ่ม

ตัวอย่างเช่น ความแปรปรวนภายในกลุ่มที่ต้องพิจารณาในงานศึกษาอิทธิพลของคุณสมบัติของคนงานที่มีต่อระดับผลิตภาพแรงงานในการประชุมเชิงปฏิบัติการแสดงการเปลี่ยนแปลงของผลลัพธ์ในแต่ละกลุ่มที่เกิดจากปัจจัยที่เป็นไปได้ทั้งหมด (สภาพทางเทคนิคของอุปกรณ์ ความพร้อมใช้งานของ เครื่องมือและวัสดุ อายุของคนงาน ความเข้มข้นของแรงงาน ฯลฯ ) ยกเว้นความแตกต่างในประเภทคุณสมบัติ (ภายในกลุ่ม พนักงานทุกคนมีคุณสมบัติเหมือนกัน)

ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนภายในกลุ่มสะท้อนถึงความแปรผันแบบสุ่ม นั่นคือส่วนหนึ่งของความแปรผันที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด ยกเว้นปัจจัยการจัดกลุ่ม คำนวณโดยใช้สูตร:

ความแปรปรวนระหว่างกลุ่มกำหนดลักษณะการเปลี่ยนแปลงอย่างเป็นระบบของลักษณะผลลัพธ์ซึ่งเกิดจากอิทธิพลของเครื่องหมายปัจจัยซึ่งเป็นพื้นฐานของกลุ่ม จะเท่ากับกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของกลุ่มค่าเฉลี่ยจากค่าเฉลี่ยโดยรวม ความแปรปรวนระหว่างกลุ่มคำนวณโดยใช้สูตร:

การกระจายตัวคือการวัดการกระจายตัวที่อธิบายค่าเบี่ยงเบนเปรียบเทียบระหว่างค่าข้อมูลและค่าเฉลี่ย เป็นการวัดการกระจายตัวที่ใช้มากที่สุดในสถิติ โดยคำนวณโดยการรวมและยกกำลังสองส่วนเบี่ยงเบนของค่าข้อมูลแต่ละค่าจากค่าเฉลี่ย สูตรการคำนวณความแปรปรวนแสดงไว้ด้านล่าง:

s 2 – ความแปรปรวนตัวอย่าง;

x av—ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง;

n — ขนาดตัวอย่าง (จำนวนค่าข้อมูล)

(x i – x avg) คือค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยของแต่ละค่าของชุดข้อมูล

เพื่อให้เข้าใจสูตรได้ดีขึ้น มาดูตัวอย่างกัน ฉันไม่ค่อยชอบทำอาหาร เลยไม่ค่อยได้ทำ อย่างไรก็ตามเพื่อไม่ให้อดอาหารฉันต้องไปที่เตาเป็นครั้งคราวเพื่อทำตามแผนทำให้ร่างกายอิ่มด้วยโปรตีนไขมันและคาร์โบไฮเดรต ชุดข้อมูลด้านล่างแสดงจำนวนครั้งที่ Renat ปรุงอาหารทุกเดือน:

ขั้นตอนแรกในการคำนวณความแปรปรวนคือการหาค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ซึ่งในตัวอย่างของเราคือ 7.8 ครั้งต่อเดือน การคำนวณที่เหลือสามารถทำได้ง่ายขึ้นโดยใช้ตารางต่อไปนี้

ขั้นตอนสุดท้ายของการคำนวณความแปรปรวนมีลักษณะดังนี้:

สำหรับผู้ที่ชอบคำนวณทั้งหมดในคราวเดียว สมการจะเป็นดังนี้:

การใช้วิธีนับวัตถุดิบ (ตัวอย่างการทำอาหาร)

มีวิธีคำนวณผลต่างที่มีประสิทธิภาพมากกว่า ซึ่งเรียกว่าวิธีการนับแบบดิบ แม้ว่าสมการอาจดูค่อนข้างยุ่งยากเมื่อมองแวบแรก แต่จริงๆ แล้วไม่ได้น่ากลัวขนาดนั้น คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้ จากนั้นจึงตัดสินใจเลือกวิธีที่คุณชอบที่สุด

คือผลรวมของค่าข้อมูลแต่ละค่าหลังยกกำลังสอง

คือกำลังสองของผลรวมของค่าข้อมูลทั้งหมด

อย่าเพิ่งเสียสติไปตอนนี้ ลองใส่ทั้งหมดนี้ลงในตารางแล้วคุณจะเห็นว่ามีการคำนวณที่เกี่ยวข้องน้อยกว่าในตัวอย่างก่อนหน้านี้

อย่างที่คุณเห็นผลลัพธ์ก็เหมือนกับเมื่อใช้วิธีการก่อนหน้านี้ ข้อดีของวิธีนี้จะเห็นได้ชัดเมื่อขนาดตัวอย่าง (n) เพิ่มขึ้น

การคำนวณผลต่างใน Excel

ดังที่คุณคงเดาได้แล้วว่า Excel มีสูตรที่ให้คุณคำนวณความแปรปรวนได้ นอกจากนี้ เริ่มต้นด้วย Excel 2010 คุณจะพบสูตรผลต่างได้ 4 ประเภท:

1) VARIANCE.V – ส่งกลับค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง ค่าบูลีนและข้อความจะถูกละเว้น

2) DISP.G - ส่งกลับค่าความแปรปรวนของประชากร ค่าบูลีนและข้อความจะถูกละเว้น

3) VARIANCE - ส่งกลับค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง โดยคำนึงถึงค่าบูลีนและข้อความ

4) VARIANCE - ส่งกลับค่าความแปรปรวนของประชากร โดยคำนึงถึงค่าตรรกะและข้อความ

ขั้นแรก มาทำความเข้าใจความแตกต่างระหว่างกลุ่มตัวอย่างและประชากรกันก่อน วัตถุประสงค์ของสถิติเชิงพรรณนาคือการสรุปหรือแสดงข้อมูลเพื่อให้คุณเห็นภาพรวมได้อย่างรวดเร็ว การอนุมานทางสถิติทำให้คุณสามารถอนุมานเกี่ยวกับประชากรโดยอิงตามตัวอย่างข้อมูลจากประชากรนั้น ประชากรแสดงถึงผลลัพธ์หรือการวัดที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เราสนใจ กลุ่มตัวอย่างเป็นส่วนหนึ่งของประชากร

ตัวอย่างเช่น เราสนใจกลุ่มนักศึกษาจากมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่งในรัสเซีย และเราต้องกำหนดคะแนนเฉลี่ยของกลุ่ม เราสามารถคำนวณผลงานโดยเฉลี่ยของนักเรียนได้ จากนั้นตัวเลขที่ได้จะเป็นพารามิเตอร์ เนื่องจากประชากรทั้งหมดจะมีส่วนร่วมในการคำนวณของเรา อย่างไรก็ตามหากเราต้องการคำนวณ GPA ของนักเรียนทุกคนในประเทศของเรา กลุ่มนี้ก็จะเป็นกลุ่มตัวอย่างของเรา

ความแตกต่างในสูตรในการคำนวณความแปรปรวนระหว่างตัวอย่างและประชากรคือตัวส่วน โดยที่สำหรับกลุ่มตัวอย่างจะเท่ากับ (n-1) และสำหรับประชากรทั่วไปเท่านั้น n

ทีนี้มาดูฟังก์ชันสำหรับคำนวณความแปรปรวนด้วยการสิ้นสุด เอ,คำอธิบายที่ระบุว่าข้อความและค่าตรรกะถูกนำมาพิจารณาในการคำนวณ ในกรณีนี้ เมื่อคำนวณความแปรปรวนของชุดข้อมูลเฉพาะที่มีค่าที่ไม่ใช่ตัวเลข Excel จะตีความข้อความและค่าบูลีนเท็จเท่ากับ 0 และค่าบูลีนจริงเท่ากับ 1

ดังนั้น หากคุณมีอาร์เรย์ข้อมูล การคำนวณความแปรปรวนจะไม่ใช่เรื่องยากโดยใช้ฟังก์ชัน Excel รายการใดรายการหนึ่งข้างต้น