คำแนะนำ

ภาคีและมุมถือเป็นองค์ประกอบพื้นฐาน ก- รูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยองค์ประกอบพื้นฐานใดๆ ต่อไปนี้: ด้านสามด้านหรือด้านเดียวและสองมุม หรือสองด้านและมุมระหว่างสองด้าน เพื่อการดำรงอยู่ สามเหลี่ยมกำหนดให้ด้าน a, b, c ทั้งสามด้าน จำเป็นและเพียงพอที่จะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันที่เรียกว่าอสมการ สามเหลี่ยม:
ก+ข > ค,
ก+ค > ข
ข+ค > ก

เพื่อสร้าง สามเหลี่ยมทั้งสามด้าน a, b, c จำเป็นจากจุด C ของส่วน CB = a เพื่อวาดวงกลมรัศมี b โดยใช้เข็มทิศ ในทำนองเดียวกัน ให้วาดวงกลมจากจุด B โดยมีรัศมีเท่ากับด้าน c จุดตัด A คือจุดยอดที่สามของจุดที่ต้องการ สามเหลี่ยม ABC โดยที่ AB=c, CB=a, CA=b - ด้านข้าง สามเหลี่ยม- ปัญหาคือ ถ้าด้าน a, b, c เป็นไปตามอสมการ สามเหลี่ยมระบุไว้ในขั้นตอนที่ 1

พื้นที่ S สร้างขึ้นในลักษณะนี้ สามเหลี่ยม ABC ที่มีด้านที่ทราบ a, b, c คำนวณโดยใช้สูตรของ Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
โดยที่ a, b, c เป็นด้าน สามเหลี่ยม, p – กึ่งปริมณฑล
พี = (ก+ข+ค)/2

ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด กล่าวคือ ด้านทุกด้านเท่ากัน (a=b=c)พื้นที่ สามเหลี่ยมคำนวณโดยสูตร:
S=(ก^2 ว3)/4

หากรูปสามเหลี่ยมมีมุมฉาก นั่นคือมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 90° และด้านที่เป็นขา ด้านที่สามคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ในกรณีนี้ สี่เหลี่ยมเท่ากับผลคูณของขาหารด้วยสอง
เอส=เอบี/2

เพื่อค้นหา สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมคุณสามารถใช้สูตรใดสูตรหนึ่งได้ เลือกสูตรขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบอยู่แล้ว

คุณจะต้อง

• ความรู้เรื่องสูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม

คำแนะนำ

หากคุณทราบขนาดของด้านใดด้านหนึ่งและค่าของความสูงที่ลดลงมาทางด้านนี้จากมุมตรงข้าม คุณจะพบพื้นที่โดยใช้ดังนี้: S = a*h/2 โดยที่ S คือพื้นที่ ของรูปสามเหลี่ยม a คือด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม และ h คือความสูงด้าน a

มีวิธีการที่ทราบกันดีในการกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหากทราบด้านทั้งสามของมัน มันเป็นสูตรของเฮรอน เพื่อให้การบันทึกง่ายขึ้น จึงมีการแนะนำค่ากลาง - กึ่งปริมณฑล: p = (a+b+c)/2 โดยที่ a, b, c - . ดังนั้น สูตรของเฮรอนจะเป็นดังนี้: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ การยกกำลัง

สมมติว่าคุณทราบด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมและมุมสามมุม จากนั้นจึงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้ง่าย: S = a²sinα sinγ / (2sinβ) โดยที่ β คือมุมตรงข้ามกับด้าน a และ α และ γ เป็นมุมที่อยู่ติดกับด้านข้าง

วิดีโอในหัวข้อ

โปรดทราบ

สูตรทั่วไปที่เหมาะกับทุกกรณีคือสูตรของเฮรอน

แหล่งที่มา:

เคล็ดลับ 3: วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสาม

การค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในการวางแผนแผนผังของโรงเรียน การรู้ด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมก็เพียงพอที่จะกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได้ ในกรณีพิเศษของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านสองด้านและด้านหนึ่งตามลำดับ

คุณจะต้อง

• ความยาวของด้านของสามเหลี่ยม สูตรของเฮรอน ทฤษฎีบทโคไซน์

คำแนะนำ

สูตรของนกกระสาสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมีดังนี้ S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) ถ้าเราเขียน p กึ่งเส้นรอบรูป เราจะได้: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4

คุณสามารถหาสูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้จากข้อพิจารณา เช่น โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์

ตามทฤษฎีบทโคไซน์ AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC) การใช้สัญลักษณ์ที่แนะนำสามารถเขียนในรูปแบบ: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC) ดังนั้น cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

พื้นที่ของสามเหลี่ยมยังพบได้จากสูตร S = a*c*sin(ABC)/2 ผ่านสองด้านและมุมระหว่างสองด้าน ไซน์ของมุม ABC สามารถแสดงได้โดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) โดยการแทนที่ไซน์ลงในสูตรสำหรับพื้นที่แล้วเขียนมันออกมา ก็สามารถหาสูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยม ABC ได้

วิดีโอในหัวข้อ

ในการทำงานซ่อมแซมอาจจำเป็นต้องมีการวัดผล สี่เหลี่ยมผนัง ทำให้คำนวณปริมาณสีหรือวอลเปเปอร์ที่ต้องการได้ง่ายขึ้น สำหรับการวัด วิธีที่ดีที่สุดคือใช้สายวัดหรือสายวัด ควรทำการวัดหลังจากนั้น ผนังถูกปรับระดับ

คุณจะต้อง

• -รูเล็ต;
• -บันไดปีน.

คำแนะนำ

ที่จะนับ สี่เหลี่ยมผนังคุณจำเป็นต้องทราบความสูงที่แน่นอนของเพดานและวัดความยาวตามแนวพื้นด้วย ทำได้ดังนี้: ใช้เซนติเมตรแล้ววางไว้บนกระดานข้างก้น โดยปกติแล้วเซนติเมตรหนึ่งจะไม่เพียงพอสำหรับความยาวทั้งหมด ดังนั้นให้ยึดไว้ตรงมุมแล้วคลายออกให้สุดความยาวสูงสุด ณ จุดนี้ ให้ทำเครื่องหมายด้วยดินสอ เขียนผลลัพธ์ที่ได้ และทำการวัดเพิ่มเติมในลักษณะเดียวกัน โดยเริ่มจากจุดการวัดสุดท้าย

เพดานมาตรฐานมีขนาด 2 เมตร 80 เซนติเมตร 3 เมตร และ 3 เมตร 20 เซนติเมตร แล้วแต่บ้าน หากบ้านถูกสร้างขึ้นก่อนทศวรรษที่ 50 ความสูงจริงน่าจะต่ำกว่าที่ระบุไว้เล็กน้อย หากคุณกำลังคำนวณ สี่เหลี่ยมสำหรับงานซ่อมแซมอุปทานเล็กน้อยจะไม่เสียหาย - พิจารณาตามมาตรฐาน หากคุณยังต้องการทราบส่วนสูงที่แท้จริง ให้ทำการวัด หลักการคล้ายกับการวัดความยาว แต่คุณจะต้องมีบันได

คูณตัวบ่งชี้ผลลัพธ์ - นี่คือ สี่เหลี่ยมของคุณ ผนัง- จริงอยู่ที่เมื่อทาสีหรือทาสีจำเป็นต้องลบออก สี่เหลี่ยมการเปิดประตูและหน้าต่าง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วางเซนติเมตรตามแนวช่องเปิด หากเรากำลังพูดถึงประตูที่คุณจะเปลี่ยนในภายหลังให้ดำเนินการถอดกรอบประตูออกโดยคำนึงถึงเท่านั้น สี่เหลี่ยมตรงไปที่ช่องเปิดนั่นเอง พื้นที่ของหน้าต่างคำนวณตามเส้นรอบวงของกรอบ หลังจาก สี่เหลี่ยมคำนวณหน้าต่างและทางเข้าประตูแล้วลบผลลัพธ์ออกจากพื้นที่ผลลัพธ์รวมของห้อง

โปรดทราบว่าการวัดความยาวและความกว้างของห้องนั้นดำเนินการโดยคนสองคนทำให้ง่ายต่อการแก้ไขเซนติเมตรหรือเทปวัดและดังนั้นจึงได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น ทำการวัดแบบเดียวกันหลายๆ ครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นแม่นยำ

วิดีโอในหัวข้อ

การหาปริมาตรของรูปสามเหลี่ยมเป็นงานที่ไม่สำคัญเลย ความจริงก็คือสามเหลี่ยมเป็นรูปสองมิตินั่นคือ มันอยู่ในระนาบเดียว ซึ่งหมายความว่ามันไม่มีปริมาตร แน่นอนว่าคุณไม่สามารถหาสิ่งที่ไม่มีอยู่ได้ แต่อย่ายอมแพ้! เราสามารถยอมรับสมมติฐานต่อไปนี้: ปริมาตรของรูปสองมิติคือพื้นที่ของมัน เราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม

คุณจะต้อง

• แผ่นกระดาษ ดินสอ ไม้บรรทัด เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

วาดบนกระดาษโดยใช้ไม้บรรทัดและดินสอ เมื่อตรวจสอบสามเหลี่ยมอย่างละเอียด คุณจะแน่ใจได้ว่าสามเหลี่ยมนั้นไม่มีรูปสามเหลี่ยมจริงๆ เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมนั้นวาดบนเครื่องบิน เขียนกำกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม: ให้ด้านหนึ่งเป็นด้าน "a" อีกด้านเป็น "b" และด้านที่สามเป็น "c" ติดป้ายกำกับจุดยอดของสามเหลี่ยมด้วยตัวอักษร "A", "B" และ "C"

วัดด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยมด้วยไม้บรรทัดแล้วจดผลลัพธ์ไว้ หลังจากนั้นให้คืนค่าตั้งฉากกับด้านที่วัดจากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับจุดนั้น ซึ่งตั้งฉากดังกล่าวจะเป็นความสูงของรูปสามเหลี่ยม ในกรณีที่แสดงในรูป ค่าตั้งฉาก "h" จะกลับคืนสู่ด้าน "c" จากจุดยอด "A" วัดความสูงผลลัพธ์ด้วยไม้บรรทัดแล้วจดผลการวัด

อาจเป็นเรื่องยากสำหรับคุณที่จะคืนค่าตั้งฉากที่แน่นอน ในกรณีนี้ คุณควรใช้สูตรอื่น วัดทุกด้านของสามเหลี่ยมด้วยไม้บรรทัด หลังจากนั้น ให้คำนวณค่ากึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม "p" โดยการเพิ่มความยาวของด้านที่เป็นผลลัพธ์แล้วหารผลรวมเป็นครึ่งหนึ่ง เมื่อรู้ค่ากึ่งเส้นรอบรูปแล้ว คุณสามารถใช้สูตรของเฮรอนได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องหาค่ารากที่สองของค่าต่อไปนี้: p(p-a)(p-b)(p-c)

คุณได้พื้นที่สามเหลี่ยมที่ต้องการแล้ว ปัญหาการหาปริมาตรของสามเหลี่ยมยังไม่ได้รับการแก้ไข แต่ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ปริมาตรไม่ได้ได้รับการแก้ไข คุณสามารถหาปริมาตรที่เป็นรูปสามเหลี่ยมได้ในโลกสามมิติ หากเราจินตนาการว่าสามเหลี่ยมเดิมของเรากลายเป็นปิรามิดสามมิติ ปริมาตรของปิรามิดนั้นจะเป็นผลคูณของความยาวของฐานและพื้นที่ผลลัพธ์ของรูปสามเหลี่ยม

โปรดทราบ

ยิ่งคุณวัดได้ละเอียดมากเท่าไร การคำนวณของคุณก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

แหล่งที่มา:

• เครื่องคิดเลข "ทุกอย่างถึงทุกสิ่ง" - พอร์ทัลสำหรับค่าอ้างอิง
• ปริมาณสามเหลี่ยมในปี 2562

จุดสามจุดที่กำหนดสามเหลี่ยมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยเฉพาะคือจุดยอด เมื่อทราบตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนพิกัดแต่ละแกน คุณสามารถคำนวณพารามิเตอร์ใดๆ ของรูปแบนนี้ รวมถึงพารามิเตอร์ที่ถูกจำกัดด้วยเส้นรอบวงด้วย สี่เหลี่ยม- ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี

คำแนะนำ

ใช้สูตรของนกกระสาในการคำนวณพื้นที่ สามเหลี่ยม- มันเกี่ยวข้องกับขนาดของด้านทั้งสามของรูป ดังนั้นให้เริ่มการคำนวณด้วย ความยาวของแต่ละด้านจะต้องเท่ากับรากของผลรวมของกำลังสองของความยาวของเส้นโครงลงบนแกนพิกัด หากเราแสดงพิกัด A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) และ C(X₃,Y₃,Z₃) ความยาวของด้านสามารถแสดงได้ดังนี้: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)

เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ให้แนะนำตัวแปรเสริม - เซมิเส้นรอบวง (P) จากข้อเท็จจริงที่ว่านี่คือผลรวมครึ่งหนึ่งของความยาวของทุกด้าน: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²)

ในการกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคุณสามารถใช้สูตรต่างๆได้ จากวิธีการทั้งหมด วิธีที่ง่ายที่สุดและใช้บ่อยที่สุดคือคูณความสูงด้วยความยาวของฐานแล้วหารผลลัพธ์ด้วยสอง อย่างไรก็ตามวิธีนี้ยังห่างไกลจากวิธีเดียว ด้านล่างนี้คุณสามารถอ่านวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรต่างๆ ได้

แยกกันเราจะดูวิธีการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมประเภทเฉพาะ - สี่เหลี่ยม, หน้าจั่วและด้านเท่ากันหมด เรามาพร้อมกับแต่ละสูตรพร้อมคำอธิบายสั้นๆ ที่จะช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของสูตร

วิธีการสากลในการค้นหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สูตรด้านล่างใช้สัญลักษณ์พิเศษ เราจะถอดรหัสแต่ละรายการ:

• a, b, c – ความยาวของด้านทั้งสามของรูปที่เรากำลังพิจารณา
• r คือรัศมีของวงกลมที่สามารถจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมของเราได้
• R คือรัศมีของวงกลมที่สามารถอธิบายได้โดยรอบ
• α คือขนาดของมุมที่เกิดจากด้าน b และ c;
• β คือขนาดของมุมระหว่าง a และ c;
• γ คือขนาดของมุมที่เกิดจากด้าน a และ b;
• h คือความสูงของสามเหลี่ยมของเรา ลดลงจากมุม α ไปทางด้าน a;
• p – ครึ่งหนึ่งของผลรวมของด้าน a, b และ c

เป็นที่ชัดเจนว่าทำไมคุณจึงสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้วยวิธีนี้ได้ สามเหลี่ยมสามารถต่อให้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานได้อย่างง่ายดาย โดยด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมจะทำหน้าที่เป็นเส้นทแยงมุม หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้โดยการคูณความยาวของด้านใดด้านหนึ่งด้วยค่าของความสูงที่วาดลงไป เส้นทแยงมุมจะแบ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานแบบมีเงื่อนไขนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมที่เหมือนกัน 2 รูป ดังนั้นจึงค่อนข้างชัดเจนว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิมของเราจะต้องเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเสริมนี้

S=½ ข บาป γ

ตามสูตรนี้ พื้นที่ของสามเหลี่ยมพบได้โดยการคูณความยาวของด้านทั้งสองของมัน ซึ่งก็คือ a และ b ด้วยไซน์ของมุมที่เกิดจากพวกมัน สูตรนี้ได้มาจากสูตรก่อนหน้าในทางตรรกะ ถ้าเราลดความสูงจากมุม β ลงด้าน b ตามคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อเราคูณความยาวของด้าน a ด้วยไซน์ของมุม γ เราจะได้ความสูงของสามเหลี่ยม นั่นคือ h .

หาพื้นที่ของร่างที่เป็นปัญหาได้โดยการคูณรัศมีครึ่งหนึ่งของวงกลมที่สามารถจารึกไว้ในเส้นรอบวงได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะหาผลคูณของกึ่งเส้นรอบรูปและรัศมีของวงกลมดังกล่าว

S= ก ค/4R

ตามสูตรนี้ ค่าที่เราต้องการสามารถหาได้โดยการหารผลคูณของด้านข้างของรูปด้วยรัศมี 4 ของวงกลมที่อธิบายไว้รอบๆ

สูตรเหล่านี้เป็นสูตรสากลเนื่องจากทำให้สามารถกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ ได้ (สเกลน, หน้าจั่ว, ด้านเท่ากันหมด, สี่เหลี่ยม) ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้การคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งเราจะไม่พูดถึงรายละเอียด

พื้นที่สามเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติเฉพาะ

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร? ลักษณะเฉพาะของรูปนี้คือทั้งสองด้านมีความสูงเท่ากัน ถ้า a และ b เป็นขา และ c กลายเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เราจะพบพื้นที่ดังนี้:

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้อย่างไร? มีด้านยาว a สองด้าน และด้านหนึ่งยาว b ดังนั้น พื้นที่ของมันสามารถถูกกำหนดได้โดยการหารด้วย 2 ผลคูณของกำลังสองของด้าน a ด้วยไซน์ของมุม γ

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าได้อย่างไร? ในนั้น ความยาวของด้านทุกด้านเท่ากับ a และขนาดของมุมทั้งหมดคือ α ความสูงเท่ากับครึ่งหนึ่งผลคูณของความยาวของด้าน a และรากที่สองของ 3 ในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ คุณต้องคูณกำลังสองของด้าน a ด้วยรากที่สองของ 3 แล้วหารด้วย 4.

รูปสามเหลี่ยมคือรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยเส้นตรงสามเส้นที่เชื่อมต่อกัน ณ จุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดเชื่อมต่อของเส้นคือจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมซึ่งกำหนดด้วยตัวอักษรละติน (เช่น A, B, C) เส้นตรงที่เชื่อมต่อกันของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าส่วนต่างๆ ซึ่งโดยปกติจะเขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน สามเหลี่ยมประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

• สี่เหลี่ยม
• ป้าน.
• เชิงมุมเฉียบพลัน
• อเนกประสงค์
• ด้านเท่ากันหมด
• หน้าจั่ว.

สูตรทั่วไปในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมตามความยาวและความสูง

S= ก*ชั่วโมง/2,
โดยที่ a คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่ต้องการหาพื้นที่ h คือความยาวของความสูงที่ลากถึงฐาน

สูตรของนกกระสา

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
โดยที่ √ คือรากที่สอง, p คือกึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม, a,b,c คือความยาวของด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม เสี้ยวเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร p=(a+b+c)/2

สูตรพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากมุมและความยาวของส่วน

S = (a*b*บาป(α))/2,
โดยที่ b,c คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยม sin(α) คือไซน์ของมุมระหว่างทั้งสองด้าน

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมกำหนดรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้และด้านทั้งสาม

ส=พี*อาร์,
โดยที่ p คือกึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยมที่ต้องการหาพื้นที่ r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมนี้

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบมัน

S= (ก*ข*ค)/4*ร
โดยที่ a,b,c คือความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนของจุด

พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดคือพิกัดในระบบ xOy โดยที่ x คือ Abscissa และ y คือพิกัด ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน xOy บนระนาบคือแกนตัวเลขตั้งฉากร่วมกันระหว่าง Ox และ Oy โดยมีจุดกำเนิดร่วมกันที่จุด O หากพิกัดของจุดบนระนาบนี้กำหนดไว้ในรูปแบบ A(x1, y1), B(x2, y2) ) และ C(x3, y3 ) จากนั้นคุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรต่อไปนี้ซึ่งได้มาจากผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว
ส = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
ที่ไหน || ย่อมาจากโมดูล

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากคือสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมวัดได้ 90 องศา สามเหลี่ยมสามารถมีมุมดังกล่าวได้เพียงมุมเดียวเท่านั้น

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากสองด้าน

S= ก*ข/2,
โดยที่ a,b คือความยาวของขา ขาเป็นด้านที่อยู่ติดกันเป็นมุมฉาก

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยพิจารณาจากด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

S = a*b*บาป(α)/ 2,
โดยที่ a, b คือขาของสามเหลี่ยม และ sin(α) คือไซน์ของมุมที่เส้น a, b ตัดกัน

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากโดยพิจารณาจากด้านและมุมตรงข้าม

S = a*b/2*tg(β)
โดยที่ a, b คือขาของรูปสามเหลี่ยม, tan(β) คือแทนเจนต์ของมุมที่ขา a, b เชื่อมต่อกัน

วิธีการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้าน ด้านเหล่านี้เรียกว่าด้านข้าง และอีกด้านเป็นฐาน ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คุณสามารถใช้สูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้

สูตรพื้นฐานในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

S=h*c/2,
โดยที่ c คือฐานของรูปสามเหลี่ยม h คือความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ลดระดับลงถึงฐาน

สูตรของสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยพิจารณาจากด้านและฐาน

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
โดยที่ c คือฐานของสามเหลี่ยม a คือขนาดของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

สามเหลี่ยมด้านเท่าคือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านเท่ากัน ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:
S = (√3*ก*ก)/4,
โดยที่ a คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า

สูตรข้างต้นจะช่วยให้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ที่ต้องการของรูปสามเหลี่ยมได้ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าในการคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมคุณต้องพิจารณาประเภทของสามเหลี่ยมและข้อมูลที่มีอยู่ที่สามารถใช้ในการคำนวณได้

แนวคิดของพื้นที่

แนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตใดๆ โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยมจะสัมพันธ์กับรูปเช่นสี่เหลี่ยมจัตุรัส สำหรับพื้นที่หน่วยของรูปทรงเรขาคณิตใดๆ เราจะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 เพื่อความสมบูรณ์ ให้เรานึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานสองประการสำหรับแนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

คุณสมบัติ 1:หากรูปทรงเรขาคณิตเท่ากัน พื้นที่ของพวกมันก็จะเท่ากันด้วย

คุณสมบัติ 2:ตัวเลขใด ๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นหลาย ๆ ร่างได้ ยิ่งกว่านั้น พื้นที่ของรูปดั้งเดิมจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของรูปประกอบทั้งหมด

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

แน่นอนว่าด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหนึ่งมีความยาว $5$ (เนื่องจากมีเซลล์ $5$) และอีกด้านคือ $6$ (เนื่องจากมีเซลล์ $6$) ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมดังกล่าว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคือ

แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ

คำตอบ: $15$.

ต่อไปเราจะพิจารณาหลายวิธีในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม คือ การใช้ความสูงและฐาน โดยใช้สูตรของนกกระสา และพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้ความสูงและฐานของมัน

ทฤษฎีบท 1

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้จากครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านหนึ่งและความสูงด้านนั้น

ในทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะเช่นนี้

$S=\frac(1)(2)αh$

โดยที่ $a$ คือความยาวของด้าน $h$ คือความสูงที่ลากไป

การพิสูจน์.

พิจารณารูปสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่ $AC=α$ ความสูง $BH$ ถูกลากมาทางด้านนี้ ซึ่งเท่ากับ $h$ มาสร้างมันขึ้นมาเป็นสี่เหลี่ยม $AXYC$ ดังในรูปที่ 2 กัน

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $AXBH$ คือ $h\cdot AH$ และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $HBYC$ คือ $h\cdot HC$ แล้ว

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการของสามเหลี่ยมตามคุณสมบัติ 2 จึงเท่ากับ

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในรูปด้านล่างหากเซลล์มีพื้นที่เท่ากับหนึ่ง

ฐานของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับ $9$ (เนื่องจาก $9$ คือ $9$ กำลังสอง) ส่วนสูงก็ $9$ เช่นกัน จากนั้นตามทฤษฎีบท 1 เราจะได้

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

คำตอบ: $40.5$.

สูตรของนกกระสา

ทฤษฎีบท 2

หากเราได้รับด้านสามด้านของสามเหลี่ยม $α$, $β$ และ $γ$ แล้ว พื้นที่ของมันจะเป็นดังนี้

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

โดยที่ $ρ$ หมายถึง กึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมนี้

การพิสูจน์.

พิจารณารูปต่อไปนี้:

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากสามเหลี่ยม $ABH$ ที่เราได้รับ

จากสามเหลี่ยม $CBH$ ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

จากความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เราได้รับความเท่าเทียมกัน

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

เนื่องจาก $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ ดังนั้น $α+β+γ=2ρ$ ซึ่งหมายถึง

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

จากทฤษฎีบท 1 เราได้

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

สามเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด ซึ่งประกอบด้วยด้านสามด้านและจุดยอดสามจุด เนื่องจากความเรียบง่าย สามเหลี่ยมจึงถูกนำมาใช้ตั้งแต่สมัยโบราณในการวัดต่างๆ และในปัจจุบันตัวเลขดังกล่าวสามารถเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติและในชีวิตประจำวัน

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม

ตัวเลขดังกล่าวถูกนำมาใช้ในการคำนวณมาตั้งแต่สมัยโบราณ เช่น นักสำรวจภาคพื้นดินและนักดาราศาสตร์ดำเนินการโดยใช้คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมในการคำนวณพื้นที่และระยะทาง มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงพื้นที่ของ n-gon ใดๆ ผ่านพื้นที่ของรูปนี้ และนักวิทยาศาสตร์โบราณใช้คุณสมบัตินี้เพื่อหาสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม การทำงานกับสามเหลี่ยมอย่างต่อเนื่อง โดยเฉพาะสามเหลี่ยมมุมฉาก กลายเป็นพื้นฐานสำหรับสาขาวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด - ตรีโกณมิติ

เรขาคณิตสามเหลี่ยม

มีการศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตมาตั้งแต่สมัยโบราณ: ข้อมูลแรกสุดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมพบในปาปิรุสของอียิปต์เมื่อ 4,000 ปีก่อน จากนั้นมีการศึกษาร่างนี้ในสมัยกรีกโบราณและ Euclid, Pythagoras และ Heron มีส่วนสนับสนุนเรขาคณิตของสามเหลี่ยมมากที่สุด การศึกษาเรื่องสามเหลี่ยมไม่เคยหยุดนิ่ง และในศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้แนะนำแนวคิดเรื่องจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของรูปและวงกลมออยเลอร์ ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19 และ 20 เมื่อดูเหมือนว่าทุกอย่างเป็นที่รู้จักเกี่ยวกับสามเหลี่ยมแล้ว แฟรงก์ มอร์ลีย์ก็สร้างทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมไตรเซกเตอร์ และวาคลอว์ เซียร์ปินสกี้เสนอสามเหลี่ยมแฟร็กทัล

มีสามเหลี่ยมแบนหลายประเภทที่เราคุ้นเคยจากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน:

• เฉียบพลัน - ทุกมุมของร่างเป็นแบบเฉียบพลัน
• ป้าน - รูปมีมุมป้านหนึ่งมุม (มากกว่า 90 องศา)
• สี่เหลี่ยม - รูปมีมุมฉากหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา
• หน้าจั่ว - สามเหลี่ยมที่มีสองด้านเท่ากัน
• ด้านเท่ากันหมด - สามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันทั้งหมด
• ในชีวิตจริงมีสามเหลี่ยมหลายประเภท และในบางกรณี เราอาจจำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

พื้นที่คือการประมาณจำนวนเครื่องบินที่ล้อมรอบ หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้ 6 วิธี โดยใช้ด้านข้าง ความสูง มุม รัศมีของวงกลมที่ขีดไว้หรือที่วงกลมล้อมรอบไว้ ตลอดจนใช้สูตรของนกกระสาหรือการคำนวณอินทิกรัลสองเท่าตามเส้นที่ล้อมรอบระนาบ สูตรที่ง่ายที่สุดในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ:

โดยที่ a คือด้านของสามเหลี่ยม h คือความสูง

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ การหาความสูงของรูปทรงเรขาคณิตอาจไม่สะดวกเสมอไป อัลกอริธึมของเครื่องคิดเลขของเราช่วยให้คุณคำนวณพื้นที่โดยรู้:

• สามด้าน;
• สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา
• ด้านหนึ่งและสองมุม

ในการกำหนดพื้นที่ผ่านสามด้าน เราใช้สูตรของนกกระสา:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c))

โดยที่ p คือระยะกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม

พื้นที่ทั้งสองด้านและมุมคำนวณโดยใช้สูตรคลาสสิก:

S = a × b × sin(อัลฟ่า)

โดยที่อัลฟ่าคือมุมระหว่างด้าน a และ b

ในการหาพื้นที่ในรูปของด้านหนึ่งและสองมุม เราใช้ความสัมพันธ์ที่:

a / sin(อัลฟ่า) = b / sin(เบต้า) = c / sin(แกมมา)

ใช้สัดส่วนง่ายๆ เพื่อกำหนดความยาวของด้านที่สอง หลังจากนั้นเราคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร S = a × b × sin(alfa) อัลกอริธึมนี้เป็นแบบอัตโนมัติเต็มรูปแบบ และคุณเพียงแค่ต้องป้อนตัวแปรที่ระบุและรับผลลัพธ์ ลองดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่างจากชีวิต

แผ่นพื้นปู

สมมติว่าคุณต้องการปูพื้นด้วยกระเบื้องสามเหลี่ยมและเพื่อกำหนดปริมาณวัสดุที่ต้องการคุณต้องรู้พื้นที่ของกระเบื้องหนึ่งและพื้นที่ของพื้น สมมติว่าคุณต้องประมวลผลพื้นผิว 6 ตารางเมตรโดยใช้กระเบื้องที่มีขนาด a = 20 ซม., b = 21 ซม., c = 29 ซม. เห็นได้ชัดว่าในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม เครื่องคิดเลขใช้สูตรของนกกระสาและให้ ผลลัพธ์:

ดังนั้นพื้นที่ขององค์ประกอบกระเบื้องหนึ่งชิ้นจะเท่ากับ 0.021 ตารางเมตร และคุณจะต้องมีรูปสามเหลี่ยม 6/0.021 = 285 รูปในการปรับปรุงพื้น ตัวเลข 20, 21 และ 29 รวมกันเป็นตัวเลขสามตัวของพีทาโกรัสที่เป็นไปตาม ถูกต้อง เครื่องคิดเลขของเราคำนวณมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมด้วย และมุมแกมมาคือ 90 องศาพอดี

งานโรงเรียน

ในโจทย์ปัญหาของโรงเรียน คุณต้องหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยรู้ว่าด้าน a = 5 ซม. และมุมอัลฟ่าและเบตาคือ 30 และ 50 องศา ตามลำดับ ในการแก้ปัญหานี้ด้วยตนเอง อันดับแรกเราจะหาค่าของด้าน b โดยใช้สัดส่วนของอัตราส่วนกว้างยาวและไซน์ของมุมตรงข้าม จากนั้นหาพื้นที่โดยใช้สูตรง่ายๆ S = a × b × sin(alfa) มาประหยัดเวลาป้อนข้อมูลลงในแบบฟอร์มเครื่องคิดเลขและรับคำตอบทันที

เมื่อใช้เครื่องคิดเลข จำเป็นต้องระบุมุมและด้านให้ถูกต้อง มิฉะนั้นผลลัพธ์จะไม่ถูกต้อง

บทสรุป

สามเหลี่ยมเป็นตัวเลขเฉพาะที่พบได้ทั้งในชีวิตจริงและในการคำนวณเชิงนามธรรม ใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเราเพื่อกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมชนิดใดก็ได้