ปริมาตรของปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ สูตรปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ลักษณะสำคัญของรูปทรงเรขาคณิตในอวกาศคือปริมาตร ในบทความนี้ เราจะดูว่าพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมคืออะไร และเราจะแสดงวิธีหาปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมด้วย โดยให้เต็มปกติและตัดทอน

นี่คืออะไร - ปิรามิดสามเหลี่ยม?

ทุกคนเคยได้ยินเกี่ยวกับปิรามิดของอียิปต์โบราณ แต่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ ไม่ใช่สามเหลี่ยม เรามาอธิบายวิธีรับปิรามิดสามเหลี่ยมกันดีกว่า

ลองหารูปสามเหลี่ยมตามใจชอบแล้วเชื่อมต่อจุดยอดทั้งหมดด้วยจุดเดียวที่อยู่นอกระนาบของรูปสามเหลี่ยมนี้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเรียกว่าปิรามิดสามเหลี่ยม ดังแสดงในรูปด้านล่าง

อย่างที่คุณเห็น ตัวเลขที่เป็นปัญหานั้นประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่รูป ซึ่งโดยทั่วไปจะแตกต่างกัน สามเหลี่ยมแต่ละอันคือด้านข้างของปิรามิดหรือหน้าพีระมิด ปิรามิดนี้มักเรียกว่าจัตุรมุขซึ่งก็คือรูปทรงสามมิติจัตุรมุข

นอกจากด้านข้างแล้ว ปิรามิดยังมีขอบ (มี 6 อัน) และจุดยอด (จาก 4 อัน)

มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม

ตัวเลขที่ได้รับโดยใช้สามเหลี่ยมตามอำเภอใจและจุดในอวกาศจะเป็นปิรามิดที่เอียงผิดปกติในกรณีทั่วไป ทีนี้ลองจินตนาการว่ารูปสามเหลี่ยมดั้งเดิมมีด้านที่เหมือนกัน และมีจุดหนึ่งในอวกาศอยู่เหนือจุดศูนย์กลางเรขาคณิตพอดีที่ระยะ h จากระนาบของรูปสามเหลี่ยม ปิระมิดที่สร้างขึ้นโดยใช้ข้อมูลเริ่มต้นเหล่านี้จะถูกต้อง

แน่นอนว่าจำนวนขอบ ด้านข้าง และจุดยอดของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติจะเท่ากับจำนวนปิรามิดที่สร้างจากสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตาม

อย่างไรก็ตาม ตัวเลขที่ถูกต้องจะมีลักษณะเด่นบางประการ:

• ความสูงที่ดึงมาจากจุดยอดจะตัดกับฐานที่ศูนย์กลางทางเรขาคณิตอย่างแน่นอน (จุดตัดของค่ามัธยฐาน)
• พื้นผิวด้านข้างของปิรามิดนั้นประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมที่เหมือนกันสามรูปซึ่งเป็นหน้าจั่วหรือด้านเท่ากันหมด

ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติไม่ได้เป็นเพียงวัตถุทางเรขาคณิตเชิงทฤษฎีเท่านั้น โครงสร้างบางอย่างในธรรมชาติมีรูปร่าง เช่น โครงผลึกเพชร ซึ่งอะตอมของคาร์บอนเชื่อมต่อกับอะตอมที่เหมือนกันสี่อะตอมด้วยพันธะโควาเลนต์ หรือโมเลกุลมีเทน ซึ่งจุดยอดของปิรามิดเกิดจากอะตอมไฮโดรเจน

ปิรามิดสามเหลี่ยม

คุณสามารถกำหนดปริมาตรของปิรามิดใดๆ ก็ได้โดยใช้ n-gon ใดๆ ที่ฐานโดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้:

ที่นี่สัญลักษณ์ S o หมายถึงพื้นที่ของฐาน h คือความสูงของรูปที่ลากไปยังฐานที่ทำเครื่องหมายไว้จากด้านบนของปิรามิด

เนื่องจากพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้าน a และจุดกึ่งกลางของด้าน a ตกลงไปทางด้านนี้ สูตรสำหรับปริมาตรของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมจึงสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

V = 1/6 × ก × ส × ส

สำหรับประเภททั่วไป การกำหนดความสูงไม่ใช่เรื่องง่าย ในการแก้ปัญหา วิธีที่ง่ายที่สุดคือใช้สูตรสำหรับระยะห่างระหว่างจุด (จุดยอด) และระนาบ (ฐานสามเหลี่ยม) ซึ่งแสดงด้วยสมการทั่วไป

สำหรับที่ถูกต้องนั้นก็จะมีลักษณะเฉพาะ พื้นที่ฐาน (ของสามเหลี่ยมด้านเท่า) สำหรับมันเท่ากับ:

เมื่อแทนลงในนิพจน์ทั่วไปของ V เราจะได้:

V = √3/12 × ก 2 × ชม

กรณีพิเศษคือสถานการณ์ที่ทุกด้านของจัตุรมุขกลายเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เหมือนกัน ในกรณีนี้ ปริมาตรสามารถกำหนดได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับพารามิเตอร์ของขอบ a เท่านั้น นิพจน์ที่สอดคล้องกันดูเหมือนว่า:

ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

หากส่วนบนที่มีจุดยอดถูกตัดออกจากปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ คุณจะได้รูปทรงที่ถูกตัดทอน ต่างจากเดิม โดยจะประกอบด้วยฐานสามเหลี่ยมด้านเท่าสองฐาน และสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วสามอัน

ภาพด้านล่างแสดงให้เห็นว่าปิรามิดสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนปกติซึ่งทำจากกระดาษมีลักษณะอย่างไร

ในการกำหนดปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอน คุณจำเป็นต้องทราบลักษณะเชิงเส้นสามประการของมัน: แต่ละด้านของฐานและความสูงของรูป เท่ากับระยะห่างระหว่างฐานบนและล่าง สูตรที่สอดคล้องกันสำหรับปริมาตรเขียนดังนี้:

V = √3/12 × สูง × (A 2 + a 2 + A × a)

โดยที่ h คือความสูงของรูป A และ a คือความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยมด้านเท่าขนาดใหญ่ (ด้านล่าง) และเล็ก (บน) ตามลำดับ

การแก้ปัญหา

เพื่อให้ข้อมูลในบทความชัดเจนยิ่งขึ้นแก่ผู้อ่านเราจะแสดงตัวอย่างที่ชัดเจนถึงวิธีใช้สูตรที่เขียนไว้บางส่วน

ให้ปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมเท่ากับ 15 ซม. 3 . เป็นที่รู้กันว่าตัวเลขนั้นถูกต้อง จำเป็นต้องค้นหาจุดกึ่งกลาง a b ของขอบด้านข้างหากรู้ว่าความสูงของปิรามิดคือ 4 ซม.

เนื่องจากทราบปริมาตรและความสูงของรูปนี้แล้ว คุณสามารถใช้สูตรที่เหมาะสมในการคำนวณความยาวของด้านข้างของฐานได้ เรามี:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 ซม.

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 ซม.

ความยาวที่คำนวณได้ของจุดกึ่งกลางของรูปนั้นมากกว่าความสูงซึ่งเป็นจริงสำหรับปิรามิดทุกประเภท

หนึ่งในตัวเลขสามมิติที่ง่ายที่สุดคือปิรามิดสามเหลี่ยมเนื่องจากประกอบด้วยใบหน้าจำนวนน้อยที่สุดซึ่งสามารถสร้างร่างในอวกาศได้ ในบทความนี้ เราจะดูสูตรที่ใช้หาปริมาตรของปิรามิดทรงสามเหลี่ยมปกติได้

ปิรามิดสามเหลี่ยม

ตามคำจำกัดความทั่วไป ปิรามิดคือรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งจุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกับจุดเดียวซึ่งไม่ได้อยู่ในระนาบของรูปหลายเหลี่ยมนี้ หากอันหลังเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปร่างทั้งหมดจะเรียกว่าปิรามิดสามเหลี่ยม

ปิระมิดดังกล่าวประกอบด้วยฐาน (สามเหลี่ยม) และหน้าด้านทั้งสาม (สามเหลี่ยม) จุดที่ใบหน้าทั้งสามด้านเชื่อมต่อกันเรียกว่าจุดยอดของรูป เส้นตั้งฉากจากจุดยอดที่ตกลงไปที่ฐานคือความสูงของปิรามิด ถ้าจุดตัดกันของเส้นตั้งฉากกับฐานตรงกับจุดตัดกันของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่ฐาน เราก็จะพูดถึงปิรามิดปกติ ไม่งั้นมันจะเอียง

ตามที่กล่าวไว้ ฐานของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมสามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมประเภททั่วไปได้ อย่างไรก็ตาม หากเป็นด้านเท่ากันหมดและปิรามิดนั้นตั้งตรง แสดงว่าเป็นรูปสามมิติปกติ

ปิระมิดสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตามมี 4 หน้า 6 ขอบ และ 4 จุดยอด หากความยาวของขอบทั้งหมดเท่ากัน รูปร่างดังกล่าวจะเรียกว่าจัตุรมุข

ปริมาตรของปิระมิดสามเหลี่ยมทั่วไป

ก่อนที่จะเขียนสูตรสำหรับปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ เราจะให้นิพจน์สำหรับปริมาณทางกายภาพนี้สำหรับปิรามิดประเภททั่วไปก่อน นิพจน์นี้ดูเหมือนว่า:

ในหัวข้อนี้: "การเงินทั่วโลก": บทวิจารณ์ของ บริษัท จากพนักงานและลูกค้า

โดยที่ S o คือพื้นที่ของฐาน h คือความสูงของรูป ความเท่าเทียมกันนี้จะใช้ได้กับฐานรูปหลายเหลี่ยมพีระมิดทุกประเภท รวมถึงกรวยด้วย ถ้าที่ฐานมีรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าน a และความสูง h o ลดลงอยู่ สูตรของปริมาตรจะเขียนได้ดังนี้:

V = 1/6*ก*ส โอ *ส

สูตรปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติจะมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ที่ฐาน เป็นที่ทราบกันว่าความสูงของสามเหลี่ยมนี้สัมพันธ์กับความยาวของด้านด้วยความเท่ากัน:

เราได้รับสมการแทนนิพจน์นี้เป็นสูตรปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมที่เขียนในย่อหน้าก่อนหน้า:

V = 1/6*a*h โอ *h = √3/12*a 2 *h

ปริมาตรของปิรามิดปกติที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมคือฟังก์ชันของความยาวของด้านข้างของฐานและความสูงของรูปนั้น

เนื่องจากสามารถเขียนรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ลงในวงกลมได้ โดยรัศมีของรูปหลายเหลี่ยมนั้นจะเป็นตัวกำหนดความยาวของด้านของรูปหลายเหลี่ยมโดยไม่ซ้ำกัน ดังนั้นสูตรนี้จึงสามารถเขียนในรูปของรัศมีที่สอดคล้องกัน r ได้:

วี = √3/4*ส*ร 2 .

สูตรนี้สามารถหาได้ง่ายจากสูตรก่อนหน้า หากเราคำนึงว่ารัศมี r ของวงกลมที่มีเส้นรอบวงถึงความยาวของด้าน a ของสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยนิพจน์:

ปัญหาการหาปริมาตรของจัตุรมุข

เราจะแสดงวิธีใช้สูตรข้างต้นเมื่อแก้ไขปัญหาเรขาคณิตเฉพาะ

เป็นที่ทราบกันว่าจัตุรมุขมีความยาวขอบ 7 ซม. ค้นหาปริมาตรของปิรามิดจัตุรมุขทรงสามเหลี่ยมปกติ

โปรดจำไว้ว่าจัตุรมุขเป็นปิรามิดสามเหลี่ยมปกติซึ่งมีฐานทั้งหมดเท่ากัน หากต้องการใช้สูตรหาปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ คุณต้องคำนวณปริมาณสองค่า:

ในหัวข้อนี้: วัสดุที่ผิดปกติเหล่านี้จะถูกนำไปใช้ทำเบาะรถยนต์ในไม่ช้า

• ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม
• ความสูงของรูป

ปริมาณแรกทราบจากเงื่อนไขของปัญหา:

หากต้องการกำหนดความสูง ให้พิจารณาจากรูปที่แสดงในรูป

สามเหลี่ยมที่ทำเครื่องหมาย ABC นั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่มุม ABC คือ 90 o ด้าน AC คือด้านตรงข้ามมุมฉากและความยาวของมันคือ a เมื่อใช้เหตุผลทางเรขาคณิตอย่างง่าย เราสามารถแสดงได้ว่าด้าน BC มีความยาว:

โปรดทราบว่าความยาว BC คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2/3) = a*√(2/3)

ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ h และ a ลงในสูตรสำหรับปริมาตรที่เกี่ยวข้องได้:

วี = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3

ดังนั้นเราจึงได้สูตรปริมาตรของจัตุรมุข จะเห็นได้ว่าปริมาตรขึ้นอยู่กับความยาวของขอบเท่านั้น หากเราแทนค่าจากเงื่อนไขของปัญหาลงในนิพจน์ เราจะได้คำตอบ:

V = √2/12*7 3 data 40.42 ซม. 3

หากเราเปรียบเทียบค่านี้กับปริมาตรของลูกบาศก์ที่มีขอบเท่ากัน เราจะพบว่าปริมาตรของจัตุรมุขนั้นน้อยกว่า 8.5 เท่า สิ่งนี้บ่งชี้ว่าจัตุรมุขนั้นมีรูปทรงกะทัดรัดซึ่งเกิดขึ้นในสารธรรมชาติบางชนิด ตัวอย่างเช่น โมเลกุลมีเทนมีรูปร่างเป็นจัตุรมุข และอะตอมของคาร์บอนแต่ละอะตอมในเพชรเชื่อมต่อกับอะตอมอื่นอีกสี่อะตอมเพื่อสร้างจัตุรมุข

ปัญหาปิรามิดโฮโมเทติก

ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม ในทางกลับกัน ใบหน้าทั้งหมดจะก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่จุดยอดหนึ่ง ปิรามิดมีทั้งแบบสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และอื่นๆ เพื่อจะรู้ว่าปิรามิดใดอยู่ตรงหน้าคุณ ก็เพียงพอที่จะนับจำนวนมุมที่ฐานของมันแล้ว คำจำกัดความของ "ความสูงของปิรามิด" มักพบในปัญหาเรขาคณิตในหลักสูตรของโรงเรียน ในบทความนี้เราจะพยายามดูวิธีต่างๆในการค้นหา

ส่วนของปิรามิด

ปิรามิดแต่ละอันประกอบด้วยองค์ประกอบดังต่อไปนี้:

• ใบหน้าด้านข้างซึ่งมีสามมุมมาบรรจบกันที่ยอด
• เส้นกึ่งกลางแสดงถึงความสูงที่ลงมาจากยอด
• ด้านบนของปิรามิดเป็นจุดที่เชื่อมซี่โครงด้านข้าง แต่ไม่อยู่ในระนาบของฐาน
• ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดไม่ได้อยู่
• ความสูงของปิรามิดคือส่วนที่ตัดด้านบนของปิรามิดและสร้างมุมฉากกับฐาน

วิธีค้นหาความสูงของปิรามิดหากทราบปริมาตร

จากสูตร V = (S*h)/3 (ในสูตร V คือปริมาตร, S คือพื้นที่ฐาน, h คือความสูงของปิรามิด) เราพบว่า h = (3*V)/ ส. เพื่อรวมวัสดุให้มาแก้ไขปัญหาทันที ฐานสามเหลี่ยมคือ 50 ซม. 2 โดยปริมาตรคือ 125 ซม. 3 ไม่ทราบความสูงของปิรามิดสามเหลี่ยมซึ่งเราต้องค้นหา ทุกอย่างเป็นเรื่องง่ายที่นี่: เราแทรกข้อมูลลงในสูตรของเรา เราได้ h = (3*125)/50 = 7.5 ซม.

วิธีค้นหาความสูงของปิรามิดหากทราบความยาวของเส้นทแยงมุมและขอบของมัน

อย่างที่เราจำได้ ความสูงของปิรามิดสร้างมุมฉากกับฐานของมัน ซึ่งหมายความว่าความสูง ขอบ และครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมรวมกันเป็นหลายๆ อัน แน่นอนว่า จำทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ เมื่อรู้สองมิติแล้ว การหาปริมาณที่สามก็ไม่ใช่เรื่องยาก ให้เรานึกถึงทฤษฎีบทที่รู้จักกันดี a² = b² + c² โดยที่ a คือด้านตรงข้ามมุมฉาก และในกรณีของเราคือขอบของปิรามิด b - ขาแรกหรือครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมและ c - ตามลำดับ, ขาที่สองหรือความสูงของปิรามิด จากสูตรนี้ c² = a² - b²

ตอนนี้ปัญหา: ในปิรามิดปกติ เส้นทแยงมุมคือ 20 ซม. เมื่อความยาวของขอบคือ 30 ซม. คุณต้องหาความสูง เราแก้โจทย์ได้: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500 ดังนั้น c = √ 500 = ประมาณ 22.4

วิธีค้นหาความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีหน้าตัดขนานกับฐาน ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือส่วนที่เชื่อมต่อฐานทั้งสองเข้าด้วยกัน ความสูงสามารถพบได้สำหรับปิรามิดปกติหากทราบความยาวของเส้นทแยงมุมของฐานทั้งสองและขอบของปิรามิด ให้เส้นทแยงมุมของฐานที่ใหญ่กว่าเป็น d1 ในขณะที่เส้นทแยงมุมของฐานที่เล็กกว่าคือ d2 และขอบมีความยาว l หากต้องการค้นหาความสูง คุณสามารถลดความสูงจากจุดตรงข้ามด้านบนของแผนภาพสองจุดลงไปจนถึงฐานได้ เราเห็นแล้วว่าเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน ที่เหลือก็แค่หาความยาวของขาของมัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบอันที่เล็กกว่าออกจากเส้นทแยงมุมที่ใหญ่กว่าแล้วหารด้วย 2 เราจะได้ขาข้างหนึ่ง: a = (d1-d2)/2 หลังจากนั้นตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส สิ่งที่เราต้องทำคือหาขาที่สองซึ่งเป็นความสูงของปิรามิด

ทีนี้มาดูเรื่องทั้งหมดนี้ในทางปฏิบัติกัน เรามีงานรออยู่ข้างหน้า พีระมิดที่ถูกตัดทอนจะมีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความยาวแนวทแยงของฐานที่ใหญ่กว่าคือ 10 ซม. ในขณะที่ปิรามิดที่เล็กกว่าคือ 6 ซม. และขอบคือ 4 ซม. คุณต้องหาความสูง ขั้นแรก เราหาขาข้างหนึ่ง: a = (10-6)/2 = 2 ซม. ขาข้างหนึ่งเท่ากับ 2 ซม. และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 4 ซม. ปรากฎว่าขาที่สองหรือความสูงจะเท่ากับ 16- 4 = 12 นั่นคือ h = √12 = ประมาณ 3.5 ซม.

ที่นี่เราจะดูตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องปริมาตร ในการแก้ปัญหาดังกล่าว คุณต้องรู้สูตรปริมาตรของปิรามิด:

ส

h คือความสูงของปิรามิด

ฐานสามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดก็ได้ แต่ปัญหาส่วนใหญ่ในการสอบ Unified State เงื่อนไขมักเกี่ยวข้องกับปิรามิดทั่วไป ฉันขอเตือนคุณถึงคุณสมบัติอย่างหนึ่งของมัน:

ด้านบนของปิรามิดปกติจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางฐาน

ดูการฉายภาพปิรามิดสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และหกเหลี่ยมปกติ (TOP VIEW):

คุณสามารถในบล็อกที่มีการพูดคุยถึงปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาปริมาตรของปิรามิดพิจารณางาน:

27087. จงหาปริมาตรของปิระมิดสามเหลี่ยมปกติที่มีด้านฐานเท่ากับ 1 และมีความสูงเท่ากับรากของสาม

ส– พื้นที่ฐานปิรามิด

ชม.– ความสูงของปิรามิด

ลองหาพื้นที่ฐานของปิรามิดซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ลองใช้สูตร - พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมระหว่างพวกเขาซึ่งหมายความว่า:

คำตอบ: 0.25

27088. จงหาความสูงของปิระมิดสามเหลี่ยมปกติที่มีด้านฐานเท่ากับ 2 และมีปริมาตรเท่ากับรากของสาม

แนวคิดต่างๆ เช่น ความสูงของปิรามิดและลักษณะของฐานมีความสัมพันธ์กันโดยสูตรปริมาตร:

ส– พื้นที่ฐานปิรามิด

ชม.– ความสูงของปิรามิด

เรารู้ปริมาตรเอง เราสามารถหาพื้นที่ของฐานได้ เนื่องจากเรารู้ด้านของสามเหลี่ยมซึ่งเป็นฐาน เมื่อรู้ค่าที่ระบุแล้ว เราก็สามารถหาความสูงได้อย่างง่ายดาย

ในการหาพื้นที่ของฐาน เราใช้สูตร - พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา ซึ่งหมายความว่า:

ดังนั้น โดยการแทนที่ค่าเหล่านี้ลงในสูตรปริมาตร เราสามารถคำนวณความสูงของปิรามิดได้:

ความสูงคือสาม

คำตอบ: 3

27109 ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ มีความสูง 6 และขอบด้านข้างคือ 10 จงหาปริมาตร

ปริมาตรของปิรามิดคำนวณโดยสูตร:

ส– พื้นที่ฐานปิรามิด

ชม.– ความสูงของปิรามิด

เรารู้ความสูง คุณต้องหาพื้นที่ฐาน ฉันขอเตือนคุณว่ายอดของปิรามิดปกติถูกฉายไปที่กึ่งกลางฐาน ฐานของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติจะเป็นทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราสามารถหาเส้นทแยงมุมของมันได้ พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (เน้นด้วยสีน้ำเงิน):

ส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับจุด B คือขาที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราสามารถคำนวณขานี้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ซึ่งหมายความว่า BD = 16 ลองคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน:

เพราะฉะนั้น:

ดังนั้น ปริมาตรของปิระมิดคือ:

คำตอบ: 256

27178 ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ มีความสูง 12 และปริมาตรคือ 200 จงหาขอบด้านข้างของปิรามิดนี้

ทราบความสูงของปิรามิดและปริมาตรซึ่งหมายความว่าเราสามารถหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งเป็นฐานได้ เมื่อรู้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราก็สามารถหาเส้นทแยงมุมได้ ต่อไป เมื่อพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะคำนวณขอบด้านข้าง:

มาหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ฐานของปิรามิด):

มาคำนวณเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสกันดีกว่า เนื่องจากพื้นที่ของมันคือ 50 ด้านจะเท่ากับรากของ 50 และเป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

จุด O แบ่งเส้นทแยงมุม BD ออกเป็นครึ่งหนึ่ง ซึ่งหมายถึงขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก OB = 5

ดังนั้น เราสามารถคำนวณได้ว่าขอบด้านข้างของปิรามิดมีค่าเท่ากับเท่าใด:

คำตอบ: 13

245353. จงหาปริมาตรของปิรามิดตามรูป ฐานของมันคือรูปหลายเหลี่ยม ด้านประชิดตั้งฉากกัน และขอบด้านหนึ่งตั้งฉากกับระนาบของฐาน และเท่ากับ 3

ดังที่ได้กล่าวไปแล้วหลายครั้งว่าปริมาตรของปิรามิดคำนวณโดยสูตร:

ส– พื้นที่ฐานปิรามิด

ชม.– ความสูงของปิรามิด

ขอบด้านข้างที่ตั้งฉากกับฐานมีค่าเท่ากับ 3 ซึ่งหมายความว่าความสูงของปิรามิดคือ 3 ฐานของปิรามิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ:

ดังนั้น:

คำตอบ: 27

27086 ฐานของปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีด้าน 3 และ 4 มีปริมาตร 16 จงหาความสูงของปิรามิดนี้

นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

หนึ่งในตัวเลขสามมิติที่ง่ายที่สุดคือปิรามิดสามเหลี่ยมเนื่องจากประกอบด้วยใบหน้าจำนวนน้อยที่สุดซึ่งสามารถสร้างร่างในอวกาศได้ ในบทความนี้ เราจะดูสูตรที่ใช้หาปริมาตรของปิรามิดทรงสามเหลี่ยมปกติได้

ปิรามิดสามเหลี่ยม

ตามคำจำกัดความทั่วไป ปิรามิดคือรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งจุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกับจุดเดียวซึ่งไม่ได้อยู่ในระนาบของรูปหลายเหลี่ยมนี้ หากอันหลังเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปร่างทั้งหมดจะเรียกว่าปิรามิดสามเหลี่ยม

ปิระมิดดังกล่าวประกอบด้วยฐาน (สามเหลี่ยม) และหน้าด้านทั้งสาม (สามเหลี่ยม) จุดที่ใบหน้าทั้งสามด้านเชื่อมต่อกันเรียกว่าจุดยอดของรูป เส้นตั้งฉากจากจุดยอดที่ตกลงไปที่ฐานคือความสูงของปิรามิด ถ้าจุดตัดกันของเส้นตั้งฉากกับฐานตรงกับจุดตัดกันของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่ฐาน เราก็จะพูดถึงปิรามิดปกติ ไม่งั้นมันจะเอียง

ตามที่กล่าวไว้ ฐานของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมสามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมประเภททั่วไปได้ อย่างไรก็ตาม หากเป็นด้านเท่ากันหมดและปิรามิดนั้นตั้งตรง แสดงว่าเป็นรูปสามมิติปกติ

ปิระมิดสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตามมี 4 หน้า 6 ขอบ และ 4 จุดยอด หากความยาวของขอบทั้งหมดเท่ากัน รูปร่างดังกล่าวจะเรียกว่าจัตุรมุข

ประเภททั่วไป

ก่อนที่จะเขียนปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ เราจะอธิบายปริมาณทางกายภาพนี้สำหรับปิรามิดประเภททั่วไปก่อน นิพจน์นี้ดูเหมือนว่า:

โดยที่ S o คือพื้นที่ของฐาน h คือความสูงของรูป ความเท่าเทียมกันนี้จะใช้ได้กับฐานรูปหลายเหลี่ยมพีระมิดทุกประเภท รวมถึงกรวยด้วย ถ้าที่ฐานมีรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าน a และความสูง h o ลดลงอยู่ สูตรของปริมาตรจะเขียนได้ดังนี้:

สูตรปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติจะมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ที่ฐาน เป็นที่ทราบกันว่าความสูงของสามเหลี่ยมนี้สัมพันธ์กับความยาวของด้านด้วยความเท่ากัน:

เราได้รับสมการแทนนิพจน์นี้เป็นสูตรปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมที่เขียนในย่อหน้าก่อนหน้า:

V = 1/6*a*h โอ *h = √3/12*a 2 *h

ปริมาตรของปิรามิดปกติที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมคือฟังก์ชันของความยาวของด้านข้างของฐานและความสูงของรูปนั้น

เนื่องจากสามารถเขียนรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ลงในวงกลมได้ โดยรัศมีของรูปหลายเหลี่ยมนั้นจะเป็นตัวกำหนดความยาวของด้านของรูปหลายเหลี่ยมโดยไม่ซ้ำกัน ดังนั้นสูตรนี้จึงสามารถเขียนในรูปของรัศมีที่สอดคล้องกัน r ได้:

สูตรนี้สามารถหาได้ง่ายจากสูตรก่อนหน้า หากเราคำนึงว่ารัศมี r ของวงกลมที่มีเส้นรอบวงถึงความยาวของด้าน a ของสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยนิพจน์:

ปัญหาการหาปริมาตรของจัตุรมุข

เราจะแสดงวิธีใช้สูตรข้างต้นเมื่อแก้ไขปัญหาเรขาคณิตเฉพาะ

เป็นที่ทราบกันว่าจัตุรมุขมีความยาวขอบ 7 ซม. ค้นหาปริมาตรของปิรามิดจัตุรมุขทรงสามเหลี่ยมปกติ

โปรดจำไว้ว่าจัตุรมุขเป็นแบบปกติโดยที่ฐานทั้งหมดเท่ากัน หากต้องการใช้สูตรปริมาตรสามเหลี่ยม คุณต้องคำนวณปริมาณสองปริมาณ:

• ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม
• ความสูงของรูป

ปริมาณแรกทราบจากเงื่อนไขของปัญหา:

หากต้องการกำหนดความสูง ให้พิจารณาจากรูปที่แสดงในรูป

สามเหลี่ยมที่ทำเครื่องหมาย ABC นั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่มุม ABC คือ 90 o ด้าน AC คือด้านตรงข้ามมุมฉากและความยาวของมันคือ a เมื่อใช้เหตุผลทางเรขาคณิตอย่างง่าย เราสามารถแสดงได้ว่าด้าน BC มีความยาว:

โปรดทราบว่าความยาว BC คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2/3) = a*√(2/3)

ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ h และ a ลงในสูตรสำหรับปริมาตรที่เกี่ยวข้องได้:

วี = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3

ดังนั้นเราจึงได้สูตรปริมาตรของจัตุรมุข จะเห็นได้ว่าปริมาตรขึ้นอยู่กับความยาวของขอบเท่านั้น หากเราแทนค่าจากเงื่อนไขของปัญหาลงในนิพจน์ เราจะได้คำตอบ:

V = √2/12*7 3 data 40.42 ซม. 3

หากเราเปรียบเทียบค่านี้กับปริมาตรของลูกบาศก์ที่มีขอบเท่ากัน เราจะพบว่าปริมาตรของจัตุรมุขนั้นน้อยกว่า 8.5 เท่า สิ่งนี้บ่งชี้ว่าจัตุรมุขนั้นมีรูปทรงกะทัดรัดซึ่งเกิดขึ้นในสารธรรมชาติบางชนิด ตัวอย่างเช่น โมเลกุลมีเทนมีรูปร่างเป็นจัตุรมุข และอะตอมของคาร์บอนแต่ละอะตอมในเพชรเชื่อมต่อกับอะตอมอื่นอีกสี่อะตอมเพื่อสร้างจัตุรมุข

ปัญหาปิรามิดโฮโมเทติก

ลองแก้ปัญหาเรขาคณิตที่น่าสนใจอย่างหนึ่งกัน สมมติว่ามีปิรามิดทรงสามเหลี่ยมปกติซึ่งมีปริมาตร V 1 อยู่ ควรลดขนาดของตัวเลขนี้กี่ครั้งเพื่อให้ได้ปิรามิดแบบโฮโมเธติกที่มีปริมาตรเล็กกว่าของเดิมถึงสามเท่า?

มาเริ่มแก้ปัญหาด้วยการเขียนสูตรสำหรับปิรามิดปกติดั้งเดิม:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

ให้ปริมาตรของตัวเลขที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหาได้มาโดยการคูณพารามิเตอร์ด้วยสัมประสิทธิ์ k เรามี:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1

เนื่องจากทราบอัตราส่วนของปริมาตรของตัวเลขจากเงื่อนไข เราจึงได้ค่าสัมประสิทธิ์ k:

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) กลับไปยัง 0.693.

โปรดทราบว่าเราจะได้ค่าที่ใกล้เคียงกันสำหรับสัมประสิทธิ์ k สำหรับปิรามิดประเภทใดๆ และไม่ใช่แค่ค่าสามเหลี่ยมปกติเท่านั้น