วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นตัวอย่าง อินทิกรัลที่แน่นอน วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูป

ในบทความนี้คุณจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นโดยใช้การคำนวณอินทิกรัล ครั้งแรกที่เราพบการกำหนดของปัญหาดังกล่าวในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย เมื่อเราเพิ่งเสร็จสิ้นการศึกษาอินทิกรัลจำกัดเขต และถึงเวลาที่จะเริ่มการตีความทางเรขาคณิตของความรู้ที่ได้รับในทางปฏิบัติ

ดังนั้นสิ่งที่จำเป็นในการแก้ปัญหาการค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัล:

• ความสามารถในการเขียนแบบที่มีความสามารถ
• ความสามารถในการแก้อินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซที่รู้จักกันดี
• ความสามารถในการ "เห็น" ตัวเลือกโซลูชันที่ให้ผลกำไรมากขึ้น - เช่น เข้าใจว่าการดำเนินการบูรณาการในกรณีใดกรณีหนึ่งจะสะดวกกว่าอย่างไร ตามแนวแกน x (OX) หรือแกน y (OY)?
• แล้วเราจะอยู่ที่ไหนถ้าไม่มีการคำนวณที่ถูกต้อง?) ซึ่งรวมถึงการทำความเข้าใจวิธีแก้อินทิกรัลประเภทอื่นและการคำนวณตัวเลขที่ถูกต้อง

อัลกอริทึมในการแก้ปัญหาการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น:

1. เราสร้างภาพวาด ขอแนะนำให้ทำเช่นนี้บนกระดาษตาหมากรุกในขนาดใหญ่ เราเซ็นชื่อของฟังก์ชันนี้ด้วยดินสอเหนือแต่ละกราฟ การลงนามกราฟจะทำเพื่อความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติมเท่านั้น เมื่อได้รับกราฟของตัวเลขที่ต้องการแล้ว ในกรณีส่วนใหญ่จะชัดเจนทันทีว่าจะใช้ขีดจำกัดการรวมแบบใด ดังนั้นเราจึงแก้ปัญหาแบบกราฟิก อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่ค่าของขีดจำกัดนั้นเป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล ดังนั้นคุณสามารถคำนวณเพิ่มเติมได้ โดยไปที่ขั้นตอนที่สอง

2. หากไม่ได้ระบุขีดจำกัดของการอินทิเกรตไว้อย่างชัดเจน เราจะค้นหาจุดตัดกันของกราฟด้วยกัน และดูว่าโซลูชันกราฟิกของเราเกิดขึ้นพร้อมกับการวิเคราะห์หรือไม่

3. ถัดไปคุณต้องวิเคราะห์ภาพวาด มีวิธีการต่างๆ ในการค้นหาพื้นที่ของรูป ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการจัดเรียงกราฟฟังก์ชัน ลองดูตัวอย่างต่างๆ ในการค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัล

3.1.

ปัญหาที่คลาสสิกและง่ายที่สุดคือเมื่อคุณต้องการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคืออะไร? นี่คือรูปแบนที่ถูกจำกัดด้วยแกน x (y = 0), เส้นตรง x = a, x = b และเส้นโค้งใดๆ ที่ต่อเนื่องกันในช่วงจาก a ถึง b นอกจากนี้ ตัวเลขนี้ไม่เป็นลบและไม่ต่ำกว่าแกน x ในกรณีนี้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอนซึ่งคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:ตัวอย่างที่ 1

y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0

รูปนี้ล้อมรอบด้วยเส้นอะไร? เรามีพาราโบลา y = x2 - 3x + 3 ซึ่งอยู่เหนือแกน OX ไม่เป็นลบเพราะว่า ทุกจุดของพาราโบลานี้มีค่าบวก นอกจากนี้ ให้เส้นตรง x = 1 และ x = 3 ซึ่งขนานกับแกน OU และเป็นเส้นจำกัดของรูปด้านซ้ายและขวา y = 0 ซึ่งก็คือแกน x เช่นกัน ซึ่งจำกัดรูปจากด้านล่าง รูปที่ได้ออกมาจะเป็นสีเทา ดังที่เห็นได้จากรูปทางด้านซ้าย ในกรณีนี้ คุณสามารถเริ่มแก้ไขปัญหาได้ทันที ตรงหน้าเราเป็นตัวอย่างง่ายๆ ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ซึ่งเราแก้เพิ่มเติมโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

3.2.ในย่อหน้าที่ 3.1 ก่อนหน้า เราได้ตรวจสอบกรณีที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่เหนือแกน x ทีนี้ ให้พิจารณากรณีที่เงื่อนไขของปัญหาเหมือนกัน ยกเว้นว่าฟังก์ชันอยู่ใต้แกน x เครื่องหมายลบจะถูกเพิ่มเข้าไปในสูตรมาตรฐานของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 2

- คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0

ในตัวอย่างนี้ เรามีพาราโบลา y = x2 + 6x + 2 ซึ่งมีต้นกำเนิดจากใต้แกน OX เส้นตรง x = -4, x = -1, y = 0 โดยที่ y = 0 จะจำกัดตัวเลขที่ต้องการจากด้านบน เส้นตรง x = -4 และ x = -1 คือขอบเขตที่จะคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต หลักการแก้ปัญหาการค้นหาพื้นที่ของรูปเกือบจะเกิดขึ้นพร้อมกันกับตัวอย่างหมายเลข 1 ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือฟังก์ชันที่กำหนดนั้นไม่เป็นค่าบวก และยังต่อเนื่องในช่วงเวลา [-4; -1]. คุณหมายถึงอะไรที่ไม่เป็นบวก? ดังที่เห็นได้จากรูป ตัวเลขที่อยู่ในค่า x ที่ให้มานั้นมีพิกัด "ลบ" โดยเฉพาะ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องเห็นและจดจำเมื่อแก้ไขปัญหา เราค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซโดยมีเครื่องหมายลบอยู่ที่จุดเริ่มต้นเท่านั้น

หากคุณต้องการเพิ่มสูตรทางคณิตศาสตร์หนึ่งหรือสองสูตรลงในหน้าเว็บวิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือตามที่อธิบายไว้ในบทความ: สูตรทางคณิตศาสตร์จะถูกแทรกลงบนไซต์ได้อย่างง่ายดายในรูปแบบของรูปภาพที่สร้างโดย Wolfram Alpha โดยอัตโนมัติ . นอกจากความเรียบง่ายแล้ว วิธีการสากลนี้ยังช่วยปรับปรุงการมองเห็นเว็บไซต์ในเครื่องมือค้นหาอีกด้วย มันใช้งานได้มาเป็นเวลานาน (และฉันคิดว่าจะใช้ได้ตลอดไป) แต่ก็ล้าสมัยไปแล้ว

หากคุณใช้สูตรทางคณิตศาสตร์บนไซต์ของคุณเป็นประจำ ฉันขอแนะนำให้คุณใช้ MathJax ซึ่งเป็นไลบรารี JavaScript พิเศษที่แสดงสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในเว็บเบราว์เซอร์โดยใช้มาร์กอัป MathML, LaTeX หรือ ASCIIMathML

มีสองวิธีในการเริ่มใช้ MathJax: (1) การใช้โค้ดง่ายๆ คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ MathJax กับเว็บไซต์ของคุณได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งจะถูกโหลดโดยอัตโนมัติจากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลในเวลาที่เหมาะสม (รายชื่อเซิร์ฟเวอร์); (2) ดาวน์โหลดสคริปต์ MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลไปยังเซิร์ฟเวอร์ของคุณและเชื่อมต่อกับทุกหน้าในเว็บไซต์ของคุณ วิธีที่สอง - ซับซ้อนกว่าและใช้เวลานาน - จะทำให้การโหลดหน้าเว็บไซต์ของคุณเร็วขึ้น และหากเซิร์ฟเวอร์ MathJax หลักไม่สามารถใช้งานได้ชั่วคราวด้วยเหตุผลบางประการ สิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อไซต์ของคุณในทางใดทางหนึ่ง แม้จะมีข้อดีเหล่านี้ แต่ฉันเลือกวิธีแรกเนื่องจากง่ายกว่า เร็วกว่า และไม่ต้องใช้ทักษะทางเทคนิค ทำตามตัวอย่างของฉัน และในเวลาเพียง 5 นาที คุณจะสามารถใช้ฟีเจอร์ทั้งหมดของ MathJax บนไซต์ของคุณได้

คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ไลบรารี MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลได้โดยใช้ตัวเลือกโค้ดสองตัวที่นำมาจากเว็บไซต์หลักของ MathJax หรือบนหน้าเอกสารประกอบ:

หนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้จำเป็นต้องคัดลอกและวางลงในโค้ดของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็กและหรืออยู่หลังแท็ก ตามตัวเลือกแรก MathJax จะโหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลง แต่ตัวเลือกที่สองจะตรวจสอบและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องได้รับการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณใส่โค้ดที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องติดตามการอัปเดต MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax คือใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมไซต์ ให้เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript บุคคลที่สาม คัดลอกโค้ดดาวน์โหลดเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองที่แสดงด้านบนลงไป และวางวิดเจ็ตไว้ใกล้ยิ่งขึ้น ไปที่จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (โดยวิธีนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) แค่นั้นแหละ. ตอนนี้เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัปของ MathML, LaTeX และ ASCIIMathML แล้วคุณก็พร้อมที่จะแทรกสูตรทางคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของเว็บไซต์ของคุณแล้ว

แฟร็กทัลใดๆ ก็ตามจะถูกสร้างขึ้นตามกฎเกณฑ์หนึ่ง ซึ่งใช้อย่างสม่ำเสมอโดยไม่จำกัดจำนวนครั้ง แต่ละครั้งดังกล่าวเรียกว่าการวนซ้ำ

อัลกอริธึมการวนซ้ำสำหรับการสร้างฟองน้ำ Menger นั้นค่อนข้างง่าย: ลูกบาศก์ดั้งเดิมที่มีด้าน 1 จะถูกแบ่งด้วยระนาบที่ขนานกับใบหน้าออกเป็น 27 ลูกบาศก์เท่า ๆ กัน ลูกบาศก์กลางหนึ่งลูกบาศก์และลูกบาศก์ 6 ก้อนที่อยู่ติดกันตามใบหน้าจะถูกลบออกจากมัน ผลลัพธ์ที่ได้คือชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กกว่า 20 ลูกบาศก์ที่เหลือ เมื่อทำเช่นเดียวกันกับแต่ละลูกบาศก์ เราจะได้ชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กกว่า 400 ลูกบาศก์ ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไปอย่างไม่สิ้นสุดเราจะได้ฟองน้ำ Menger

ภารกิจที่ 3 วาดภาพและคำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

การประยุกต์อินทิกรัลในการแก้ปัญหาที่ประยุกต์

การคำนวณพื้นที่

อินทิกรัลจำกัดของฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบต่อเนื่อง f(x) มีค่าเท่ากับตัวเลขกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = f(x), แกน O x และเส้นตรง x = a และ x = ข. ตามนี้สูตรพื้นที่เขียนดังนี้:

มาดูตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินกัน

ภารกิจที่ 1 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2

สารละลาย.เรามาสร้างตัวเลขที่เราจะต้องคำนวณพื้นที่กัน

y = x 2 + 1 คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ขึ้น และพาราโบลาเลื่อนขึ้นสัมพันธ์กับแกน O y หนึ่งหน่วย (รูปที่ 1)

รูปที่ 1. กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + 1

ภารกิจที่ 2 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = x 2 – 1, y = 0 ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1

สารละลาย.กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาของกิ่งก้านที่ชี้ขึ้น และพาราโบลาจะเลื่อนสัมพันธ์กับแกน O y ลงด้านล่างหนึ่งหน่วย (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – 1

ภารกิจที่ 3 วาดภาพและคำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

y = 8 + 2x – x 2 และ y = 2x – 4

สารละลาย.เส้นแรกจากสองเส้นนี้คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง เนื่องจากสัมประสิทธิ์ x 2 เป็นลบ และเส้นที่สองเป็นเส้นตรงที่ตัดแกนพิกัดทั้งสองแกน

ในการสร้างพาราโบลา เราจะหาพิกัดของจุดยอดของมัน: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – หักมุมของจุดยอด; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 คือพิกัดของมัน N(1;9) คือจุดยอด

ตอนนี้ เรามาค้นหาจุดตัดของพาราโบลาและเส้นตรงโดยการแก้ระบบสมการ:

การทำให้ด้านขวาของสมการเท่ากันซึ่งด้านซ้ายจะเท่ากัน

เราได้ 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 หรือ x 2 – 12 = 0 ดังนั้น .

ดังนั้น จุดเหล่านี้คือจุดตัดกันของพาราโบลากับเส้นตรง (รูปที่ 1)

รูปที่ 3 กราฟของฟังก์ชัน y = 8 + 2x – x 2 และ y = 2x – 4

ลองสร้างเส้นตรง y = 2x – 4 โดยมันจะผ่านจุด (0;-4), (2;0) บนแกนพิกัด

ในการสร้างพาราโบลา คุณสามารถใช้จุดตัดกับแกน 0x ได้ ซึ่งก็คือรากของสมการ 8 + 2x – x 2 = 0 หรือ x 2 – 2x – 8 = 0 การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เป็นเรื่องง่าย เพื่อหาราก: x 1 = 2, x 2 = 4

รูปที่ 3 แสดงรูป (ส่วนพาราโบลา M 1 N M 2) ที่ล้อมรอบด้วยเส้นเหล่านี้

ส่วนที่สองของปัญหาคือการหาพื้นที่ของรูปนี้ พื้นที่ของมันสามารถพบได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตตามสูตร .

จากเงื่อนไขนี้ เราได้รับอินทิกรัล:

2 การคำนวณปริมาตรของตัวการหมุน

ปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนเส้นโค้ง y = f(x) รอบแกน O x คำนวณโดยสูตร:

เมื่อหมุนรอบแกน O y สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

ภารกิจที่ 4 หาปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = 0 x = 3 และเส้นโค้ง y = รอบแกน O x

สารละลาย.มาวาดภาพกันเถอะ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4 กราฟของฟังก์ชัน y =

ปริมาณที่ต้องการคือ

ภารกิจที่ 5 คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = x 2 และเส้นตรง y = 0 และ y = 4 รอบแกน O y

สารละลาย.เรามี:

ทบทวนคำถาม

มาดูการประยุกต์ใช้แคลคูลัสอินทิกรัลกันต่อ ในบทนี้เราจะดูปัญหาทั่วไปและปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในการคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต ในที่สุด ให้ทุกคนที่แสวงหาความหมายในคณิตศาสตร์ชั้นสูงค้นพบมัน คุณไม่มีทางรู้ ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณพล็อตเดชาโดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน และค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวน

หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาให้สำเร็จ คุณต้อง:

1) ทำความเข้าใจอินทิกรัลไม่ จำกัด อย่างน้อยในระดับกลาง ดังนั้น พวกหุ่นควรจะทำความคุ้นเคยกับบทเรียนของพระองค์ก่อน

2) สามารถใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซและคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตได้ คุณสามารถสร้างความสัมพันธ์ฉันมิตรอันอบอุ่นกับอินทิกรัลชี้ขาดได้ในหน้าอินทิกรัลชี้ขาด ตัวอย่างการแก้ปัญหา งาน “คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัด” เกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอ ดังนั้นความรู้และทักษะของคุณในการสร้างภาพวาดจึงเป็นประเด็นสำคัญเช่นกัน อย่างน้อยที่สุด คุณจะต้องสามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งกันก่อน สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง ย = ฉ(x) แกน วัวและเส้น x = ก; x = ข.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอน

อินทิกรัลจำกัดจำนวนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในบทเรียนปริพันธ์กำหนด ตัวอย่างการแก้ปัญหา เราบอกว่าอินทิกรัลจำกัดจำนวนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวถึงข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตคือ AREA นั่นคืออินทิกรัลบางอย่าง (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปหนึ่งทางเรขาคณิต พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต

ปริพันธ์

กำหนดเส้นโค้งบนระนาบ (สามารถวาดได้หากต้องการ) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีค่าเท่ากับตัวเลขกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

, , , .

นี่คือคำสั่งมอบหมายงานทั่วไป จุดที่สำคัญที่สุดในการตัดสินใจคือการสร้างแบบร่าง นอกจากนี้ภาพวาดจะต้องถูกสร้างขึ้นอย่างถูกต้อง

เมื่อสร้างภาพวาด ฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้ อันดับแรก ควรสร้างเส้นตรงทั้งหมด (ถ้ามี) จะดีกว่า จากนั้นจึงสร้างพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา และกราฟของฟังก์ชันอื่นๆ เท่านั้น เทคนิคของการสร้างแบบ pointwise สามารถพบได้ในกราฟวัสดุอ้างอิงและคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐาน ที่นั่นคุณยังสามารถค้นหาสื่อที่มีประโยชน์มากสำหรับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะเช่นนี้

มาวาดรูปกันดีกว่า (โปรดสังเกตว่าสมการ ย= 0 ระบุแกน วัว):

เราจะไม่แรเงาสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ตรงนี้ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงบริเวณใด การแก้ปัญหายังคงดำเนินต่อไปเช่นนี้:

ในส่วน [-2; 1] กราฟฟังก์ชัน ย = x 2 + 2 อยู่เหนือแกน วัวนั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ: .

ใครมีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตและประยุกต์สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

,

อ้างถึงการบรรยาย Definite Integral ตัวอย่างการแก้ปัญหา หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด "ด้วยตา" - จะมีประมาณ 9 ซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบ: 20 ตารางหน่วยก็เห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหา อย่างน้อยที่สุดก็หนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น เอ็กซ์ซี = 4, x = 2, x= 4 และแกน วัว.

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ามีสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ใต้แกน วัว?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = อดีต, x= 1 และแกนพิกัด

วิธีแก้ปัญหา: มาวาดรูปกันเถอะ:

หากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ใต้แกนจนสุด วัวจากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:

ในกรณีนี้:

.

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้แค่อินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ค่านั้นอาจเป็นค่าลบ

2) หากคุณถูกขอให้ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือสาเหตุที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งกล่าวถึง

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้น จากปัญหาที่ง่ายที่สุดของโรงเรียน เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = 2x – x 2 , ย = -x.

วิธีแก้ปัญหา: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากัน ย = 2x – x 2 และตรง ย = -x- ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการบูรณาการ ก= 0 ขีดจำกัดบนของการรวม ข= 3. มักจะสร้างผลกำไรได้มากกว่าและเร็วกว่าในการสร้างบรรทัดทีละจุด และขีดจำกัดของการบูรณาการจะชัดเจน "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:

ขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการบูรณาการมักถูกกำหนด "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน:

หากอยู่ในส่วน [ ก; ข] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ฉ(x) มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชัน ก(x) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ของรูปที่เกี่ยวข้องได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดว่ารูปนั้นอยู่ที่ตำแหน่งใด - เหนือแกนหรือใต้แกนอีกต่อไป แต่สิ่งสำคัญคือกราฟใดสูงกว่า (สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และกราฟใดอยู่ด้านล่าง

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าบนส่วนพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจาก 2 x – x 2 ต้องถูกลบ – x.

โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลา ย = 2x – x 2 ด้านบนและตรง ย = -xด้านล่าง.

ในส่วนที่ 2 x – x 2 ≥ -x- ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ: .

ที่จริงแล้วสูตรของโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างที่ 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร

.

เพราะว่าแกน วัวกำหนดโดยสมการ ย= 0 และกราฟของฟังก์ชัน ก(x) ซึ่งอยู่ใต้แกน วัว, ที่

.

และตอนนี้มีตัวอย่างบางส่วนสำหรับโซลูชันของคุณเอง

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

หาพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต บางครั้งเหตุการณ์ตลกๆ ก็เกิดขึ้น วาดเสร็จถูกต้อง คำนวณถูก แต่เนื่องจากความประมาท...จึงพบพื้นที่ผิดรูป

ตัวอย่างที่ 7

ก่อนอื่นมาวาดรูปกันก่อน:

ร่างที่เราต้องหาพื้นที่นั้นแรเงาด้วยสีน้ำเงิน (ดูสภาพอย่างละเอียด - ร่างนั้นมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจผู้คนมักตัดสินใจว่าจำเป็นต้องหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาเป็นสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์เนื่องจากจะคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนสองตัว จริงหรือ:

1) ในส่วน [-1; 1] เหนือแกน วัวกราฟจะอยู่ตรง ย = x+1;

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกน วัวกราฟของไฮเปอร์โบลาตั้งอยู่ ย = (2/x).

เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน"

และทำการวาดภาพแบบจุดต่อจุด:

จากภาพวาดชัดเจนว่าขีดจำกัดบนของเรา “ดี”: ข = 1.

แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไรล่ะ! เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่คืออะไร?

อาจจะ, ก=(-1/3)? แต่การรับประกันว่าการวาดภาพนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำสมบูรณ์แบบอยู่ที่ไหนก็อาจกลายเป็นอย่างนั้นได้ ก=(-1/4) =(-1/4) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราสร้างกราฟไม่ถูกต้อง?

ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและชี้แจงขีดจำกัดของการผสานรวมเชิงวิเคราะห์

ลองหาจุดตัดกันของกราฟกัน

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ:

.

เพราะฉะนั้น, ก=(-1/3).

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการทดแทนและสัญญาณ การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด บนส่วน

, ,

ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

เพื่อสรุปบทเรียน มาดูงานที่ยากอีกสองงานกัน

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

วิธีแก้ไข: ลองพรรณนารูปนี้ในภาพวาด

ในการสร้างภาพวาดแบบจุดต่อจุด คุณจำเป็นต้องทราบลักษณะของไซนัสอยด์ โดยทั่วไป การรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด รวมถึงค่าไซน์บางค่าจะเป็นประโยชน์ สามารถพบได้ในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ในบางกรณี (เช่น ในกรณีนี้) สามารถสร้างแผนผังได้ ซึ่งกราฟและขีดจำกัดของการรวมควรแสดงอย่างถูกต้องโดยพื้นฐาน

ไม่มีปัญหากับข้อจำกัดของการบูรณาการที่นี่ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขโดยตรง:

– “x” เปลี่ยนจากศูนย์เป็น “pi” มาตัดสินใจเพิ่มเติมกัน:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชัน ย= บาป 3 xซึ่งอยู่เหนือแกน วัวนั่นเป็นเหตุผล:

(1) คุณสามารถดูว่าไซน์และโคไซน์ถูกรวมเข้าไว้ในกำลังคี่ได้อย่างไรในบทเรียนปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราบีบไซนัสหนึ่งอัน

(2) เราใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักในรูปแบบ

(3) มาเปลี่ยนตัวแปรกัน ที=คอส xดังนั้น: อยู่เหนือแกน ดังนั้น:

.

.

หมายเหตุ: สังเกตว่าอินทิกรัลของแทนเจนต์กำลังสามถูกนำมาใช้อย่างไร ข้อพิสูจน์ของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานถูกนำมาใช้ที่นี่

.

อินทิกรัลที่แน่นอน วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูป

มาดูการประยุกต์ใช้แคลคูลัสอินทิกรัลกันต่อ ในบทนี้เราจะวิเคราะห์ปัญหาทั่วไปและปัญหาที่พบบ่อยที่สุด - วิธีคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต สุดท้ายนี้ ผู้ที่กำลังมองหาความหมายในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ขอให้พวกเขาค้นพบมัน คุณไม่มีทางรู้ ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณพล็อตเดชาโดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน และค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวน

หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาให้สำเร็จ คุณต้อง:

1) ทำความเข้าใจอินทิกรัลไม่ จำกัด อย่างน้อยในระดับกลาง ดังนั้นหุ่นควรทำความคุ้นเคยกับบทเรียนไม่ใช่ก่อน

2) สามารถใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซและคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตได้ คุณสามารถสร้างความสัมพันธ์ฉันมิตรอันอบอุ่นกับอินทิกรัลชี้ขาดได้ในหน้าอินทิกรัลชี้ขาด ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ที่จริงแล้ว เพื่อที่จะหาพื้นที่ของรูป คุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้เรื่องอินทิกรัลไม่แน่นอนและอินทิกรัลจำกัดมากนัก งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัด" เกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอ ดังนั้นความรู้และทักษะของคุณในการสร้างภาพวาดจึงเป็นคำถามเร่งด่วนกว่ามาก ในเรื่องนี้ จะมีประโยชน์ในการรีเฟรชหน่วยความจำกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน และอย่างน้อยที่สุดก็สามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้ สิ่งนี้สามารถทำได้ (สำหรับหลาย ๆ คนจำเป็น) ด้วยความช่วยเหลือของสื่อระเบียบวิธีและบทความเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ

จริงๆ แล้ว ทุกคนคุ้นเคยกับภารกิจในการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนมาตั้งแต่สมัยเรียน และเราจะไม่ไปไกลกว่าหลักสูตรของโรงเรียนมากนัก บทความนี้อาจไม่มีอยู่เลย แต่ความจริงก็คือปัญหาเกิดขึ้นใน 99 กรณีจาก 100 กรณี เมื่อนักเรียนคนหนึ่งต้องทนทุกข์ทรมานจากโรงเรียนที่เกลียดชังและเชี่ยวชาญหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับสูงอย่างกระตือรือร้น

เนื้อหาในการประชุมเชิงปฏิบัติการนี้นำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และมีทฤษฎีขั้นต่ำ

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งกันก่อน

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคือรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันบนส่วนที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้รูปนี้ตั้งอยู่ ไม่ต่ำกว่าแกน x:

จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะเท่ากับตัวเลขกับอินทิกรัลจำกัดเขต อินทิกรัลจำกัดจำนวนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในบทเรียนปริพันธ์กำหนด ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา ผมบอกว่าอินทิกรัลจำกัดจำนวนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวถึงข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตคือ AREA

นั่นคืออินทิกรัลบางอย่าง (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปหนึ่งทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการวาดภาพได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

นี่คือคำสั่งมอบหมายงานทั่วไป จุดแรกและสำคัญที่สุดในการตัดสินใจคือการวาด นอกจากนี้ภาพวาดจะต้องถูกสร้างขึ้นอย่างถูกต้อง

เมื่อสร้างภาพวาด ฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้ อันดับแรก ควรสร้างเส้นตรงทั้งหมด (ถ้ามี) จะดีกว่า จากนั้นจึงสร้างพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา และกราฟของฟังก์ชันอื่นๆ เท่านั้น การสร้างกราฟของฟังก์ชันตามจุดจะให้ผลกำไรมากกว่า เทคนิคการสร้างกราฟตามจุดสามารถพบได้ในกราฟวัสดุอ้างอิงและคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐาน ที่นั่นคุณยังสามารถค้นหาสื่อที่มีประโยชน์มากสำหรับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะเช่นนี้
มาวาดรูปกัน (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):

ฉันจะไม่แรเงาสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง เห็นได้ชัดว่าเรากำลังพูดถึงบริเวณใด การแก้ปัญหายังคงดำเนินต่อไปเช่นนี้:

ในส่วนนั้น กราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น:

คำตอบ:

ใครมีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตและประยุกต์สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ โปรดดูการบรรยาย Definite Integral ตัวอย่างการแก้ปัญหา

หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด "ด้วยตา" - จะมีประมาณ 9 ซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบ: 20 ตารางหน่วยก็เห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหา อย่างน้อยที่สุดก็หนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น , และแกน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ามีสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ใต้แกน?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้นและพิกัดแกน

วิธีแก้ปัญหา: มาวาดรูปกันเถอะ:

หากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ใต้แกน (หรืออย่างน้อย ไม่สูงกว่าแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:
ในกรณีนี้:

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้แค่อินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ค่านั้นอาจเป็นค่าลบ

2) หากคุณถูกขอให้ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือสาเหตุที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งกล่าวถึง

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้น จากปัญหาที่ง่ายที่สุดของโรงเรียน เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

วิธีแก้ปัญหา: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราจะสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการรวมคือ ขีดจำกัดบนของการรวมคือ
จะดีกว่าถ้าเป็นไปได้อย่าใช้วิธีนี้

การสร้างบรรทัดทีละจุดจะทำกำไรได้มากกว่าและรวดเร็วกว่ามาก และขีดจำกัดของการรวมระบบก็ชัดเจน "ด้วยตัวเอง" เทคนิคการสร้างกราฟแบบ pointwise สำหรับกราฟต่างๆ จะมีการกล่าวถึงโดยละเอียดใน Help Graph และคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการบูรณาการมักจะถูกค้นพบ "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากฟังก์ชันต่อเนื่องบางส่วนมากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชันในส่วนใดส่วนหนึ่ง ก็สามารถหาพื้นที่ของรูปที่จำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้นตรงได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดว่ารูปนั้นอยู่ที่ตำแหน่งใดอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกน และพูดโดยคร่าวๆ สิ่งสำคัญคือกราฟใดสูงกว่า (สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และกราฟใดอยู่ต่ำกว่า

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรงบนส่วน ดังนั้น จึงจำเป็นต้องลบออกจาก

โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาด้านบนและเส้นตรงด้านล่าง
ในส่วนตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

ที่จริงแล้ว สูตรโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างง่ายๆ หมายเลข 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร - เนื่องจากสมการระบุแกนและกราฟของฟังก์ชันจึงอยู่ ไม่สูงกว่าขวานแล้ว

และตอนนี้มีตัวอย่างบางส่วนสำหรับโซลูชันของคุณเอง

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

หาพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต บางครั้งเหตุการณ์ตลกๆ ก็เกิดขึ้น การวาดภาพทำอย่างถูกต้อง การคำนวณถูกต้อง แต่เนื่องจากความประมาท... พบพื้นที่ของร่างที่ไม่ถูกต้อง นี่คือสิ่งที่ผู้รับใช้ผู้ต่ำต้อยของคุณผิดพลาดหลายครั้ง นี่คือกรณีชีวิตจริง:

ตัวอย่างที่ 7

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

วิธีแก้ไข: ก่อนอื่น มาวาดรูปกันก่อน:

...เอ๊ะ ภาพวาดออกมาห่วย แต่ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน

ร่างที่เราต้องหาพื้นที่นั้นแรเงาด้วยสีน้ำเงิน (ดูสภาพอย่างละเอียด - ร่างนั้นมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจมักมี "ความผิดพลาด" เกิดขึ้นโดยคุณต้องค้นหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาเป็นสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์เนื่องจากคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนสองตัว จริงหรือ:

1) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟเป็นเส้นตรง

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟของไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น:

คำตอบ:

เรามาดูงานที่มีความหมายอื่นกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น
นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน" และวาดภาพแบบจุดต่อจุด:

จากรูปวาดชัดเจนว่าขีดจำกัดบนของเรานั้น “ดี”: .
แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไรล่ะ! เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่คืออะไร? อาจจะ ? แต่ที่รับประกันว่าการวาดแบบจะแม่นยำสมบูรณ์แบบกลับกลายเป็นว่า... หรือราก. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราสร้างกราฟไม่ถูกต้อง?

ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและชี้แจงขีดจำกัดของการผสานรวมเชิงวิเคราะห์

ลองหาจุดตัดของเส้นตรงและพาราโบลากัน
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ:


,

จริงหรือ, .

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการทดแทนและเครื่องหมาย การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด

บนส่วน ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

คำตอบ:

เพื่อสรุปบทเรียน เรามาดูงานที่ยากอีกสองงานกัน

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

วิธีแก้ไข: ลองพรรณนารูปนี้ในภาพวาด

ให้ตายเถอะ ฉันลืมเซ็นกำหนดการ และขอโทษด้วย ฉันไม่ต้องการทำภาพซ้ำ ไม่ใช่วันจับฉลาก สรุปคือ วันนี้คือวัน =)

สำหรับการก่อสร้างแบบจุดต่อจุดคุณจำเป็นต้องทราบลักษณะของไซนัสอยด์ (และโดยทั่วไปแล้วการรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมดจะมีประโยชน์) รวมถึงค่าไซน์บางค่าที่สามารถพบได้ ตารางตรีโกณมิติ ในบางกรณี (เช่นในกรณีนี้) เป็นไปได้ที่จะสร้างแผนผังซึ่งควรแสดงกราฟและขีดจำกัดของการรวมอย่างถูกต้องโดยพื้นฐาน

ไม่มีปัญหากับข้อจำกัดของการรวมที่นี่ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขโดยตรง: "x" เปลี่ยนจากศูนย์เป็น "pi" มาตัดสินใจเพิ่มเติมกัน:

ในส่วนนั้น กราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น: