இந்த கட்டுரையில், ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள். உயர்நிலைப் பள்ளியில் இதுபோன்ற ஒரு சிக்கலை உருவாக்குவதை நாங்கள் முதலில் எதிர்கொள்கிறோம், நாங்கள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளின் படிப்பை முடித்ததும், நடைமுறையில் பெற்ற அறிவின் வடிவியல் விளக்கத்தைத் தொடங்க வேண்டிய நேரம் இது.

எனவே, ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலை வெற்றிகரமாக தீர்க்க என்ன தேவை:

• திறமையான வரைபடங்களை உருவாக்கும் திறன்;
• நன்கு அறியப்பட்ட நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்கும் திறன்;
• மிகவும் இலாபகரமான தீர்வு விருப்பத்தை "பார்க்கும்" திறன் - அதாவது. ஒரு சந்தர்ப்பத்தில் அல்லது மற்றொன்றில் ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு மேற்கொள்வது மிகவும் வசதியாக இருக்கும் என்பதைப் புரிந்துகொள்கிறீர்களா? x- அச்சில் (OX) அல்லது y- அச்சில் (OY)?
• சரி, சரியான கணக்கீடுகள் இல்லாமல் நாம் எங்கே இருப்போம்?) மற்ற வகை ஒருங்கிணைப்புகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது மற்றும் எண் கணக்கீடுகளை எவ்வாறு சரிசெய்வது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது இதில் அடங்கும்.

கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை:

1. நாங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம். பெரிய அளவில், ஒரு சரிபார்க்கப்பட்ட காகிதத்தில் இதைச் செய்வது நல்லது. இந்த செயல்பாட்டின் பெயரை ஒவ்வொரு வரைபடத்திற்கும் மேலே பென்சிலால் கையொப்பமிடுகிறோம். வரைபடங்களில் கையொப்பமிடுவது மேலும் கணக்கீடுகளின் வசதிக்காக மட்டுமே செய்யப்படுகிறது. விரும்பிய உருவத்தின் வரைபடத்தைப் பெற்ற பிறகு, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் ஒருங்கிணைப்பின் எந்த வரம்புகள் பயன்படுத்தப்படும் என்பது உடனடியாகத் தெளிவாகிவிடும். எனவே, சிக்கலை வரைபடமாக தீர்க்கிறோம். இருப்பினும், வரம்புகளின் மதிப்புகள் பகுதியளவு அல்லது பகுத்தறிவற்றவை. எனவே, நீங்கள் கூடுதல் கணக்கீடுகளை செய்யலாம், படி இரண்டுக்குச் செல்லவும்.

2. ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால், வரைபடங்கள் ஒன்றோடொன்று வெட்டும் புள்ளிகளைக் கண்டறிந்து, எங்கள் வரைகலை தீர்வு பகுப்பாய்வுடன் ஒத்துப்போகிறதா என்பதைப் பார்க்கிறோம்.

3. அடுத்து, நீங்கள் வரைபடத்தை பகுப்பாய்வு செய்ய வேண்டும். செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் எவ்வாறு ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளன என்பதைப் பொறுத்து, உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறிய வெவ்வேறு அணுகுமுறைகள் உள்ளன. ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான வெவ்வேறு எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

3.1. வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டியிருக்கும் போது சிக்கலின் மிகவும் உன்னதமான மற்றும் எளிமையான பதிப்பு. வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு என்றால் என்ன? இது x அச்சில் வரையறுக்கப்பட்ட தட்டையான உருவம் (y = 0), நேராக x = a, x = bமற்றும் எந்த வளைவும் இருந்து இடைவெளியில் தொடர்கிறது அசெய்ய பி. மேலும், இந்த எண்ணிக்கை எதிர்மறையானது அல்ல, மேலும் இது x அச்சுக்குக் கீழே இல்லை. இந்த வழக்கில், நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமம்:

எடுத்துக்காட்டு 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

உருவம் என்ன கோடுகளால் கட்டப்பட்டுள்ளது? எங்களிடம் ஒரு பரவளைய உள்ளது y = x2 – 3x + 3, இது அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ளது ஓ, இது எதிர்மறையானது அல்ல, ஏனெனில் இந்த பரவளையத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் நேர்மறை மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. அடுத்து, நேர்கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன x = 1மற்றும் x = 3, இது அச்சுக்கு இணையாக இயங்கும் Op-amp, இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள உருவத்தின் எல்லைக் கோடுகள். சரி y = 0, இது x-அச்சு ஆகும், இது உருவத்தை கீழே இருந்து கட்டுப்படுத்துகிறது. இதன் விளைவாக உருவம் நிழலாடுகிறது, இடதுபுறத்தில் உள்ள உருவத்திலிருந்து பார்க்க முடியும். இந்த வழக்கில், நீங்கள் உடனடியாக சிக்கலை தீர்க்க ஆரம்பிக்கலாம். வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் எளிய உதாரணம் நமக்கு முன் உள்ளது, அதை நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மேலும் தீர்க்கிறோம்.

3.2. முந்தைய பத்தி 3.1 இல், ஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு x-அச்சுக்கு மேலே அமைந்திருக்கும் போது வழக்கை ஆய்வு செய்தோம். x-அச்சின் கீழ் செயல்பாடு இருப்பதைத் தவிர, சிக்கலின் நிலைமைகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்போது இப்போது வழக்கைக் கவனியுங்கள். நிலையான நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தில் ஒரு கழித்தல் சேர்க்கப்பட்டது. அத்தகைய சிக்கலை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை கீழே கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2 . கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள் y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

இந்த எடுத்துக்காட்டில் நமக்கு ஒரு பரவளைய உள்ளது y = x2 + 6x + 2, இது அச்சில் இருந்து உருவாகிறது ஓ, நேராக x = -4, x = -1, y = 0. இங்கே y = 0மேலே இருந்து விரும்பிய எண்ணிக்கையை கட்டுப்படுத்துகிறது. நேரடி x = -4மற்றும் x = -1இவை திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு கணக்கிடப்படும் எல்லைகளாகும். ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான கொள்கையானது உதாரண எண் 1 உடன் முற்றிலும் ஒத்துப்போகிறது. ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு நேர்மறையாக இல்லை, மேலும் இடைவெளியில் தொடர்ந்து இருக்கும் [-4; -1] . பாசிட்டிவ் இல்லை என்று என்ன சொல்கிறீர்கள்? படத்தில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், கொடுக்கப்பட்ட x க்குள் இருக்கும் உருவம் பிரத்தியேகமாக "எதிர்மறை" ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது, சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது நாம் பார்க்கவும் நினைவில் கொள்ளவும் வேண்டும். நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பரப்பளவைத் தேடுகிறோம், ஆரம்பத்தில் ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் மட்டுமே.

கட்டுரை முடிக்கப்படவில்லை.

ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் பயன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்ள செல்லலாம். இந்த பாடத்தில் வழக்கமான மற்றும் மிகவும் பொதுவான பணியை பகுப்பாய்வு செய்வோம் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமான உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுதல். இறுதியாக, உயர் கணிதத்தில் பொருள் தேடும் அனைவரும் அதைக் கண்டுபிடிக்கட்டும். உனக்கு தெரியாது. நிஜ வாழ்க்கையில், நீங்கள் அடிப்படை செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு டச்சா சதித்திட்டத்தை தோராயமாக மதிப்பிட வேண்டும் மற்றும் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி அதன் பகுதியைக் கண்டறிய வேண்டும்.

பொருள் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற, நீங்கள் கண்டிப்பாக:

1) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பை குறைந்தபட்சம் ஒரு இடைநிலை மட்டத்திலாவது புரிந்து கொள்ளுங்கள். எனவே, டம்மிகள் முதலில் பாடத்தைப் படிக்க வேண்டும் இல்லை.

2) நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடவும் முடியும். பக்கத்தில் உள்ள சில ஒருங்கிணைப்புகளுடன் நீங்கள் அன்பான நட்புறவை ஏற்படுத்தலாம் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். "ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கணக்கிடுதல்" என்ற பணி எப்போதும் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதை உள்ளடக்கியது, எனவே உங்கள் அறிவு மற்றும் வரைதல் திறன் ஆகியவை பொருத்தமான பிரச்சினையாக இருக்கும். குறைந்தபட்சம், நீங்கள் ஒரு நேர் கோடு, பரவளைய மற்றும் ஹைப்பர்போலாவைக் கட்டமைக்க வேண்டும்.

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுடன் ஆரம்பிக்கலாம். வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு என்பது சில செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு தட்டையான உருவமாகும் ஒய் = f(x), அச்சு OXமற்றும் வரிகள் x = அ; x = பி.

ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு எண்ணியல் ரீதியாக ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்

எந்தவொரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பும் (இருக்கிறது) ஒரு நல்ல வடிவியல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது. வகுப்பில் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு எண் என்று சொன்னோம். இப்போது மற்றொரு பயனுள்ள உண்மையைக் கூற வேண்டிய நேரம் இது. வடிவவியலின் பார்வையில், திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த பகுதி AREA ஆகும். அதாவது, திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு (அது இருந்தால்) வடிவியல் ரீதியாக ஒரு குறிப்பிட்ட உருவத்தின் பகுதிக்கு ஒத்திருக்கிறது. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள்

ஒருங்கிணைந்த

விமானத்தில் ஒரு வளைவை வரையறுக்கிறது (விரும்பினால் அது வரையப்படலாம்), மேலும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது, தொடர்புடைய வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதிக்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1

, , , .

இது ஒரு பொதுவான பணி அறிக்கை. முடிவின் மிக முக்கியமான புள்ளி வரைபடத்தின் கட்டுமானமாகும். மேலும், வரைதல் கட்டப்பட வேண்டும் வலது.

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் வரிசையை நான் பரிந்துரைக்கிறேன்: முதலில்அனைத்து நேர் கோடுகளையும் (அவை இருந்தால்) மற்றும் மட்டும் கட்டமைப்பது நல்லது பிறகு- பரவளையங்கள், ஹைபர்போலாக்கள், பிற செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள். புள்ளி-மூலம்-புள்ளி கட்டுமான நுட்பத்தை குறிப்புப் பொருளில் காணலாம் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள். எங்கள் பாடத்திற்கு மிகவும் பயனுள்ள பொருட்களையும் நீங்கள் காணலாம் - ஒரு பரவளையை எவ்வாறு விரைவாக உருவாக்குவது.

இந்த சிக்கலில், தீர்வு இப்படி இருக்கலாம்.

வரைவோம் (சமன்பாடு என்பதை கவனத்தில் கொள்ளவும் ஒய்= 0 அச்சைக் குறிப்பிடுகிறது OX):

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டை நாங்கள் நிழலிட மாட்டோம்; இங்கே நாம் எந்தப் பகுதியைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பது தெளிவாகிறது. தீர்வு பின்வருமாறு தொடர்கிறது:

பிரிவில் [-2; 1] செயல்பாடு வரைபடம் ஒய் = x 2 + 2 அமைந்துள்ளது அச்சுக்கு மேலேOX, அதனால்தான்:

பதில்: .

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதில் மற்றும் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதில் யாருக்கு சிரமங்கள் உள்ளன

,

விரிவுரையைப் பார்க்கவும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். பணி முடிந்ததும், வரைபடத்தைப் பார்த்து, பதில் உண்மையானதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எப்போதும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், வரைபடத்தில் உள்ள கலங்களின் எண்ணிக்கையை “கண்ணால்” கணக்கிடுகிறோம் - சரி, சுமார் 9 இருக்கும், இது உண்மையாகத் தெரிகிறது. 20 சதுர அலகுகள் என்ற பதிலைப் பெற்றிருந்தால், எங்காவது ஒரு தவறு நடந்துள்ளது என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது - 20 செல்கள் கேள்விக்குரிய உருவத்துடன் பொருந்தாது, அதிகபட்சம் ஒரு டஜன். பதில் எதிர்மறையாக இருந்தால், பணியும் தவறாக தீர்க்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 2

கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள் xy = 4, x = 2, x= 4 மற்றும் அச்சு OX.

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு அமைந்திருந்தால் என்ன செய்வது அச்சின் கீழ்OX?

எடுத்துக்காட்டு 3

கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள் ஒய் = e-x, x= 1 மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள்.

தீர்வு: வரைவோம்:

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு என்றால் முற்றிலும் அச்சின் கீழ் அமைந்துள்ளது OX , அதன் பகுதியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

இந்த வழக்கில்:

.

கவனம்! இரண்டு வகையான பணிகளும் குழப்பமடையக்கூடாது:

1) எந்த வடிவியல் அர்த்தமும் இல்லாமல் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்கும்படி உங்களிடம் கேட்கப்பட்டால், அது எதிர்மறையாக இருக்கலாம்.

2) திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியும்படி உங்களிடம் கேட்கப்பட்டால், அந்த பகுதி எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும்! அதனால்தான் இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தில் கழித்தல் தோன்றும்.

நடைமுறையில், பெரும்பாலும் இந்த எண்ணிக்கை மேல் மற்றும் கீழ் அரை விமானம் இரண்டிலும் அமைந்துள்ளது, எனவே, எளிமையான பள்ளி சிக்கல்களிலிருந்து நாம் மிகவும் அர்த்தமுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு செல்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு விமான உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் ஒய் = 2x – x 2 , ஒய் = -x.

தீர்வு: முதலில் நீங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க வேண்டும். பகுதி சிக்கல்களில் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும்போது, ​​​​கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளில் நாங்கள் மிகவும் ஆர்வமாக உள்ளோம். பரவளையத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம் ஒய் = 2x – x 2 மற்றும் நேராக ஒய் = -x. இதை இரண்டு வழிகளில் செய்யலாம். முதல் முறை பகுப்பாய்வு ஆகும். நாங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்:

இதன் பொருள் ஒருங்கிணைப்பின் குறைந்த வரம்பு அ= 0, ஒருங்கிணைப்பின் உச்ச வரம்பு பி= 3. புள்ளிக்கு புள்ளியாக வரிகளை உருவாக்குவது பெரும்பாலும் அதிக லாபம் தரக்கூடியது மற்றும் விரைவானது, மேலும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் "தாங்களே" தெளிவாகின்றன. ஆயினும்கூட, வரம்புகளைக் கண்டறியும் பகுப்பாய்வு முறை சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, வரைபடம் போதுமானதாக இருந்தால், அல்லது விரிவான கட்டுமானம் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை வெளிப்படுத்தவில்லை (அவை பகுதியளவு அல்லது பகுத்தறிவற்றதாக இருக்கலாம்). எங்கள் பணிக்குத் திரும்புவோம்: முதலில் ஒரு நேர்கோட்டை உருவாக்குவது மிகவும் பகுத்தறிவு மற்றும் பின்னர் ஒரு பரவளையமாகும். வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

புள்ளியில் கட்டமைக்கும்போது, ​​ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் பெரும்பாலும் "தானாகவே" தீர்மானிக்கப்படுகின்றன என்பதை மீண்டும் கூறுவோம்.

இப்போது வேலை சூத்திரம்:

பிரிவில் இருந்தால் [ அ; பி] சில தொடர்ச்சியான செயல்பாடு f(x) அதிகமாக அல்லது சமமாகசில தொடர்ச்சியான செயல்பாடு g(x), பின்னர் தொடர்புடைய உருவத்தின் பகுதியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

அச்சுக்கு மேலே அல்லது அச்சுக்குக் கீழே - உருவம் எங்கு அமைந்துள்ளது என்பதைப் பற்றி இங்கே நீங்கள் இனி சிந்திக்க வேண்டியதில்லை எந்த வரைபடம் அதிகமாக உள்ளது என்பது முக்கியம்(மற்றொரு வரைபடத்துடன் தொடர்புடையது), மற்றும் எது கீழே உள்ளது.

பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், பிரிவில் பரவளையம் நேர் கோட்டிற்கு மேலே அமைந்துள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, எனவே 2 இலிருந்து x – x 2 கழிக்கப்பட வேண்டும் - x.

முடிக்கப்பட்ட தீர்வு இப்படி இருக்கலாம்:

விரும்பிய எண்ணிக்கை ஒரு பரவளையத்தால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது ஒய் = 2x – x 2 மேல் மற்றும் நேராக ஒய் = -xகீழே.

பிரிவு 2 இல் x – x 2 ≥ -x. தொடர்புடைய சூத்திரத்தின் படி:

பதில்: .

உண்மையில், கீழ் அரை-தளத்தில் உள்ள வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதிக்கான பள்ளி சூத்திரம் (எண். 3-ஐப் பார்க்கவும்) சூத்திரத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு.

.

ஏனெனில் அச்சு OXசமன்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது ஒய்= 0, மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடம் g(x) அச்சுக்கு கீழே அமைந்துள்ளது OX, அது

.

இப்போது உங்கள் சொந்த தீர்வுக்கான இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 5

எடுத்துக்காட்டு 6

கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​சில நேரங்களில் ஒரு வேடிக்கையான சம்பவம் நடக்கும். வரைதல் சரியாக இருந்தது, கணக்கீடுகள் சரியாக இருந்தன, ஆனால் கவனக்குறைவால் ... தவறான உருவத்தின் பகுதி கண்டறியப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 7

முதலில் ஒரு ஓவியம் வரைவோம்:

நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய பகுதி நீல நிறத்தில் உள்ளது(நிலையை கவனமாகப் பாருங்கள் - எண்ணிக்கை எவ்வாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது!). ஆனால் நடைமுறையில், கவனக்குறைவு காரணமாக, பச்சை நிறத்தில் நிழலாடிய உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று மக்கள் அடிக்கடி முடிவு செய்கிறார்கள்!

இரண்டு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதில் இந்த எடுத்துக்காட்டு பயனுள்ளதாக இருக்கும். உண்மையில்:

1) பிரிவில் [-1; 1] அச்சுக்கு மேலே OXவரைபடம் நேராக அமைந்துள்ளது ஒய் = x+1;

2) அச்சுக்கு மேலே உள்ள ஒரு பிரிவில் OXஹைப்பர்போலாவின் வரைபடம் அமைந்துள்ளது ஒய் = (2/x).

பகுதிகள் சேர்க்கப்படலாம் (மற்றும் வேண்டும்) என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது, எனவே:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 8

கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்

சமன்பாடுகளை "பள்ளி" வடிவத்தில் முன்வைப்போம்

மற்றும் புள்ளிக்கு-புள்ளி வரைதல்:

வரைபடத்திலிருந்து எங்கள் மேல் வரம்பு "நல்லது" என்பது தெளிவாகிறது: பி = 1.

ஆனால் குறைந்த வரம்பு என்ன?! இது முழு எண் அல்ல என்பது தெளிவாகிறது, ஆனால் அது என்ன?

இருக்கலாம், அ=(-1/3)? ஆனால் வரைதல் சரியான துல்லியத்துடன் செய்யப்படுகிறது என்பதற்கான உத்தரவாதம் எங்கே, அது நன்றாக மாறக்கூடும் அ=(-1/4). வரைபடத்தை தவறாக உருவாக்கினால் என்ன செய்வது?

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் கூடுதல் நேரத்தை செலவிட வேண்டும் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை பகுப்பாய்வு ரீதியாக தெளிவுபடுத்த வேண்டும்.

வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்

இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

.

எனவே, அ=(-1/3).

மேலும் தீர்வு அற்பமானது. முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், மாற்றீடுகள் மற்றும் அறிகுறிகளில் குழப்பமடையக்கூடாது. இங்கே கணக்கீடுகள் எளிமையானவை அல்ல. பிரிவில்

, ,

தொடர்புடைய சூத்திரத்தின் படி:

பதில்:

பாடத்தை முடிக்க, இன்னும் இரண்டு கடினமான பணிகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 9

கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு: இந்த உருவத்தை வரைபடத்தில் சித்தரிக்கலாம்.

ஒரு புள்ளி-மூலம்-புள்ளி வரைபடத்தை உருவாக்க, நீங்கள் ஒரு சைனூசாய்டின் தோற்றத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். பொதுவாக, அனைத்து அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களையும், சில சைன் மதிப்புகளையும் அறிந்து கொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும். அவற்றை மதிப்புகளின் அட்டவணையில் காணலாம் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள். சில சந்தர்ப்பங்களில் (உதாரணமாக, இந்த விஷயத்தில்), ஒரு திட்ட வரைபடத்தை உருவாக்க முடியும், அதில் வரைபடங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் அடிப்படையில் சரியாகக் காட்டப்பட வேண்டும்.

இங்கே ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை, அவை நிபந்தனையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றுகின்றன:

- "x" பூஜ்ஜியத்திலிருந்து "பை" ஆக மாறுகிறது. மேலும் ஒரு முடிவை எடுப்போம்:

ஒரு பிரிவில், ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒய்= பாவம் 3 xஅச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ளது OX, அதனால்தான்:

(1) பாடத்தில் ஒற்றைப்படை சக்திகளில் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள் எவ்வாறு ஒருங்கிணைக்கப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள். நாங்கள் ஒரு சைனஸைக் கிள்ளுகிறோம்.

(2) படிவத்தில் முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

(3) மாறியை மாற்றுவோம் டி=காஸ் x, பின்னர்: அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ளது, எனவே:

.

.

குறிப்பு:தொடுகோடு கனசதுரத்தின் ஒருங்கிணைப்பு எவ்வாறு எடுக்கப்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள்;

.

பணி எண். 3. ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கி, கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்

பயன்பாட்டு சிக்கல்களின் தீர்வுக்கான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடு

பகுதி கணக்கீடு

ஒரு தொடர்ச்சியான எதிர்மறை அல்லாத செயல்பாட்டின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு f(x) எண்ணியல் ரீதியாக சமம்வளைவு y = f(x), O x அச்சு மற்றும் நேர் கோடுகள் x = a மற்றும் x = b ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி. இதற்கு இணங்க, பகுதி சூத்திரம் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

விமான புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

பணி எண். 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 கோடுகளால் கட்டப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு.ஒரு உருவத்தை உருவாக்குவோம், அதன் பகுதியை நாம் கணக்கிட வேண்டும்.

y = x 2 + 1 என்பது ஒரு பரவளையமாகும், அதன் கிளைகள் மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன, மேலும் பரவளையமானது O y அச்சுக்கு ஒரு அலகு மூலம் மேல்நோக்கி மாற்றப்படுகிறது (படம் 1).

படம் 1. y = x 2 + 1 செயல்பாட்டின் வரைபடம்

பணி எண். 2. 0 முதல் 1 வரையிலான வரம்பில் y = x 2 - 1, y = 0 கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு.இந்தச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் மேல்நோக்கி இயக்கப்படும் கிளைகளின் பரவளையமாகும், மேலும் பரவளையமானது O y அச்சுடன் தொடர்புடைய ஒரு அலகால் கீழ்நோக்கி மாற்றப்படுகிறது (படம் 2).

படம் 2. செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = x 2 – 1

பணி எண். 3. ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கி, கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்

y = 8 + 2x – x 2 மற்றும் y = 2x – 4.

தீர்வு.இந்த இரண்டு வரிகளில் முதலாவது ஒரு பரவளையமாகும், அதன் கிளைகள் கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் x 2 இன் குணகம் எதிர்மறையாக உள்ளது, மேலும் இரண்டாவது கோடு இரண்டு ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளையும் வெட்டும் ஒரு நேர் கோடாகும்.

ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்க, அதன் உச்சியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம்: y'=2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - உச்சியின் abscissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 என்பது அதன் ஆர்டினேட், N(1;9) என்பது உச்சி.

இப்போது சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பரவளைய மற்றும் நேர்கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இடது பக்கங்கள் சமமாக இருக்கும் சமன்பாட்டின் வலது பக்கங்களை சமன் செய்தல்.

நாம் 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 அல்லது x 2 – 12 = 0, எங்கிருந்து பெறுகிறோம் .

எனவே, புள்ளிகள் ஒரு பரவளைய மற்றும் ஒரு நேர்கோட்டின் வெட்டுப்புள்ளிகள் (படம் 1).

படம் 3 சார்புகளின் வரைபடங்கள் y = 8 + 2x – x 2 மற்றும் y = 2x – 4

y = 2x – 4 என்ற நேர்கோட்டை உருவாக்குவோம். இது ஆய அச்சுகளில் உள்ள புள்ளிகள் (0;-4), (2;0) வழியாக செல்கிறது.

ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்க, அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை 0x அச்சுடன் பயன்படுத்தலாம், அதாவது 8 + 2x – x 2 = 0 அல்லது x 2 – 2x – 8 = 0 சமன்பாட்டின் வேர்கள். வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, இது எளிதானது அதன் வேர்களைக் கண்டறிய: x 1 = 2, x 2 = 4.

படம் 3 இந்த கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு உருவத்தை (பரவளையப் பிரிவு M 1 N M 2) காட்டுகிறது.

சிக்கலின் இரண்டாம் பகுதி இந்த உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். சூத்திரத்தின்படி ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி அதன் பகுதியைக் காணலாம் .

இந்த நிபந்தனை தொடர்பாக, நாம் ஒருங்கிணைந்ததைப் பெறுகிறோம்:

2 சுழற்சியின் உடலின் அளவைக் கணக்கிடுதல்

O x அச்சில் வளைவு y = f(x) சுழற்சியில் இருந்து பெறப்பட்ட உடலின் அளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

O y அச்சில் சுழலும் போது, ​​சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்:

பணி எண். 4. O x அச்சைச் சுற்றி x = 0 x = 3 மற்றும் வளைவு y = என்ற நேர் கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் சுழற்சியிலிருந்து பெறப்பட்ட உடலின் அளவைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு.ஒரு படம் வரைவோம் (படம் 4).

படம் 4. செயல்பாட்டின் வரைபடம் y =

தேவையான அளவு உள்ளது

பணி எண் 5. வளைவு y = x 2 மற்றும் O y அச்சைச் சுற்றி y = 0 மற்றும் y = 4 என்ற நேர் கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் சுழற்சியிலிருந்து பெறப்பட்ட உடலின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது:

கேள்விகளை மதிப்பாய்வு செய்யவும்

இந்த கட்டுரையில், ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள். உயர்நிலைப் பள்ளியில் இதுபோன்ற ஒரு சிக்கலை உருவாக்குவதை நாங்கள் முதலில் எதிர்கொள்கிறோம், நாங்கள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளின் படிப்பை முடித்ததும், நடைமுறையில் பெற்ற அறிவின் வடிவியல் விளக்கத்தைத் தொடங்க வேண்டிய நேரம் இது.

எனவே, ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலை வெற்றிகரமாக தீர்க்க என்ன தேவை:

• திறமையான வரைபடங்களை உருவாக்கும் திறன்;
• நன்கு அறியப்பட்ட நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்கும் திறன்;
• மிகவும் இலாபகரமான தீர்வு விருப்பத்தை "பார்க்கும்" திறன் - அதாவது. ஒரு சந்தர்ப்பத்தில் அல்லது மற்றொன்றில் ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு மேற்கொள்வது மிகவும் வசதியாக இருக்கும் என்பதைப் புரிந்துகொள்கிறீர்களா? x- அச்சில் (OX) அல்லது y- அச்சில் (OY)?
• சரி, சரியான கணக்கீடுகள் இல்லாமல் நாம் எங்கே இருப்போம்?) மற்ற வகை ஒருங்கிணைப்புகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது மற்றும் எண் கணக்கீடுகளை எவ்வாறு சரிசெய்வது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது இதில் அடங்கும்.

கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை:

1. நாங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம். பெரிய அளவில், ஒரு சரிபார்க்கப்பட்ட காகிதத்தில் இதைச் செய்வது நல்லது. இந்த செயல்பாட்டின் பெயரை ஒவ்வொரு வரைபடத்திற்கும் மேலே பென்சிலால் கையொப்பமிடுகிறோம். வரைபடங்களில் கையொப்பமிடுவது மேலும் கணக்கீடுகளின் வசதிக்காக மட்டுமே செய்யப்படுகிறது. விரும்பிய உருவத்தின் வரைபடத்தைப் பெற்ற பிறகு, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் ஒருங்கிணைப்பின் எந்த வரம்புகள் பயன்படுத்தப்படும் என்பது உடனடியாகத் தெளிவாகிவிடும். எனவே, சிக்கலை வரைபடமாக தீர்க்கிறோம். இருப்பினும், வரம்புகளின் மதிப்புகள் பகுதியளவு அல்லது பகுத்தறிவற்றவை. எனவே, நீங்கள் கூடுதல் கணக்கீடுகளை செய்யலாம், படி இரண்டுக்குச் செல்லவும்.

2. ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால், வரைபடங்கள் ஒன்றோடொன்று வெட்டும் புள்ளிகளைக் கண்டறிந்து, எங்கள் வரைகலை தீர்வு பகுப்பாய்வுடன் ஒத்துப்போகிறதா என்பதைப் பார்க்கிறோம்.

3. அடுத்து, நீங்கள் வரைபடத்தை பகுப்பாய்வு செய்ய வேண்டும். செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் எவ்வாறு ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளன என்பதைப் பொறுத்து, உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறிய வெவ்வேறு அணுகுமுறைகள் உள்ளன. ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான வெவ்வேறு எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

3.1. வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டியிருக்கும் போது சிக்கலின் மிகவும் உன்னதமான மற்றும் எளிமையான பதிப்பு. வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு என்றால் என்ன? இது x அச்சில் வரையறுக்கப்பட்ட தட்டையான உருவம் (y = 0), நேராக x = a, x = bமற்றும் எந்த வளைவும் இருந்து இடைவெளியில் தொடர்கிறது அசெய்ய பி. மேலும், இந்த எண்ணிக்கை எதிர்மறையானது அல்ல, மேலும் இது x அச்சுக்குக் கீழே இல்லை. இந்த வழக்கில், நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமம்:

எடுத்துக்காட்டு 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

உருவம் என்ன கோடுகளால் கட்டப்பட்டுள்ளது? எங்களிடம் ஒரு பரவளைய உள்ளது y = x2 – 3x + 3, இது அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ளது ஓ, இது எதிர்மறையானது அல்ல, ஏனெனில் இந்த பரவளையத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் நேர்மறை மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. அடுத்து, நேர்கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன x = 1மற்றும் x = 3, இது அச்சுக்கு இணையாக இயங்கும் Op-amp, இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள உருவத்தின் எல்லைக் கோடுகள். சரி y = 0, இது x-அச்சு ஆகும், இது உருவத்தை கீழே இருந்து கட்டுப்படுத்துகிறது. இதன் விளைவாக உருவம் நிழலாடுகிறது, இடதுபுறத்தில் உள்ள உருவத்திலிருந்து பார்க்க முடியும். இந்த வழக்கில், நீங்கள் உடனடியாக சிக்கலை தீர்க்க ஆரம்பிக்கலாம். வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் எளிய உதாரணம் நமக்கு முன் உள்ளது, அதை நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மேலும் தீர்க்கிறோம்.

3.2. முந்தைய பத்தி 3.1 இல், ஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு x-அச்சுக்கு மேலே அமைந்திருக்கும் போது வழக்கை ஆய்வு செய்தோம். x-அச்சின் கீழ் செயல்பாடு இருப்பதைத் தவிர, சிக்கலின் நிலைமைகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்போது இப்போது வழக்கைக் கவனியுங்கள். நிலையான நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தில் ஒரு கழித்தல் சேர்க்கப்பட்டது. அத்தகைய சிக்கலை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை கீழே கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2 . கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள் y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

இந்த எடுத்துக்காட்டில் நமக்கு ஒரு பரவளைய உள்ளது y = x2 + 6x + 2, இது அச்சில் இருந்து உருவாகிறது ஓ, நேராக x = -4, x = -1, y = 0. இங்கே y = 0மேலே இருந்து விரும்பிய எண்ணிக்கையை கட்டுப்படுத்துகிறது. நேரடி x = -4மற்றும் x = -1இவை திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு கணக்கிடப்படும் எல்லைகளாகும். ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான கொள்கையானது உதாரண எண் 1 உடன் முற்றிலும் ஒத்துப்போகிறது. ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு நேர்மறையாக இல்லை, மேலும் இடைவெளியில் தொடர்ந்து இருக்கும் [-4; -1] . பாசிட்டிவ் இல்லை என்று என்ன சொல்கிறீர்கள்? படத்தில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், கொடுக்கப்பட்ட x க்குள் இருக்கும் உருவம் பிரத்தியேகமாக "எதிர்மறை" ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது, சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது நாம் பார்க்கவும் நினைவில் கொள்ளவும் வேண்டும். நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பரப்பளவைத் தேடுகிறோம், ஆரம்பத்தில் ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் மட்டுமே.

கட்டுரை முடிக்கப்படவில்லை.

உண்மையில், ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்க, காலவரையற்ற மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய அறிவு உங்களுக்குத் தேவையில்லை. "ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கணக்கிடுதல்" என்ற பணி எப்போதும் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதை உள்ளடக்கியது, எனவே உங்கள் அறிவு மற்றும் வரைதல் திறன் மிகவும் அழுத்தமான பிரச்சினையாக இருக்கும். இது சம்பந்தமாக, அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களின் நினைவகத்தைப் புதுப்பிப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும், மேலும் குறைந்தபட்சம் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஹைபர்போலாவை உருவாக்க முடியும்.

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு என்பது ஒரு அச்சு, நேர் கோடுகள் மற்றும் இந்த இடைவெளியில் அடையாளத்தை மாற்றாத ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு தட்டையான உருவமாகும். இந்த எண்ணிக்கை அமைந்திருக்கட்டும் குறைவாக இல்லை x-அச்சு:

பிறகு ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமம். எந்தவொரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பும் (இருக்கிறது) ஒரு நல்ல வடிவியல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது.

வடிவவியலின் பார்வையில், திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த பகுதி AREA ஆகும்.

அதாவது,ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைந்த (அது இருந்தால்) வடிவியல் ரீதியாக ஒரு குறிப்பிட்ட உருவத்தின் பகுதிக்கு ஒத்திருக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள். ஒருங்கிணைப்பானது அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ள விமானத்தின் மீது ஒரு வளைவை வரையறுக்கிறது (விரும்புபவர்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கலாம்), மேலும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது எண்ணியல் ரீதியாக தொடர்புடைய வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1

இது ஒரு பொதுவான பணி அறிக்கை. முடிவின் முதல் மற்றும் மிக முக்கியமான புள்ளி வரைபடத்தின் கட்டுமானமாகும். மேலும், வரைதல் கட்டப்பட வேண்டும் வலது.

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் வரிசையை நான் பரிந்துரைக்கிறேன்: முதலில்அனைத்து நேர் கோடுகளையும் (அவை இருந்தால்) மற்றும் மட்டும் கட்டமைப்பது நல்லது பிறகு- parabolas, hyperbolas, மற்ற செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள். செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவது மிகவும் லாபகரமானது புள்ளி புள்ளி.

இந்த சிக்கலில், தீர்வு இப்படி இருக்கலாம்.
வரைபடத்தை வரைவோம் (சமன்பாடு அச்சை வரையறுக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க):

பிரிவில், செயல்பாட்டின் வரைபடம் அமைந்துள்ளது அச்சுக்கு மேலே, அதனால்தான்:

பதில்:

பணி முடிந்ததும், வரைபடத்தைப் பார்த்து, பதில் உண்மையானதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எப்போதும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், “கண்ணால்” வரைபடத்தில் உள்ள கலங்களின் எண்ணிக்கையை எண்ணுகிறோம் - சரி, சுமார் 9 இருக்கும், அது உண்மையாகத் தெரிகிறது. 20 சதுர அலகுகள் என்ற பதிலைப் பெற்றிருந்தால், எங்காவது ஒரு தவறு நடந்துள்ளது என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது - 20 செல்கள் கேள்விக்குரிய உருவத்துடன் பொருந்தாது, அதிகபட்சம் ஒரு டஜன். பதில் எதிர்மறையாக இருந்தால், பணியும் தவறாக தீர்க்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 3

கோடுகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு: வரைவோம்:

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு அமைந்திருந்தால் அச்சின் கீழ்(அல்லது குறைந்தபட்சம் அதிகமாக இல்லைகொடுக்கப்பட்ட அச்சு), அதன் பகுதியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

இந்த வழக்கில்:

கவனம்! இரண்டு வகையான பணிகளும் குழப்பமடையக்கூடாது:

1) எந்த வடிவியல் அர்த்தமும் இல்லாமல் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்கும்படி உங்களிடம் கேட்கப்பட்டால், அது எதிர்மறையாக இருக்கலாம்.

2) திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியும்படி உங்களிடம் கேட்கப்பட்டால், அந்த பகுதி எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும்! அதனால்தான் இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தில் கழித்தல் தோன்றும்.

நடைமுறையில், பெரும்பாலும் இந்த எண்ணிக்கை மேல் மற்றும் கீழ் அரை விமானம் இரண்டிலும் அமைந்துள்ளது, எனவே, எளிமையான பள்ளி சிக்கல்களிலிருந்து நாம் மிகவும் அர்த்தமுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு செல்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு விமான உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: முதலில் நீங்கள் வரைபடத்தை முடிக்க வேண்டும். பொதுவாக, பகுதி சிக்கல்களில் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும்போது, ​​​​கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளில் நாங்கள் மிகவும் ஆர்வமாக உள்ளோம். பரவளைய மற்றும் நேர்கோட்டின் வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதை இரண்டு வழிகளில் செய்யலாம். முதல் முறை பகுப்பாய்வு ஆகும். நாங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்:

இதன் பொருள் ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் வரம்பு , ஒருங்கிணைப்பின் மேல் வரம்பு .

முடிந்தால், இந்த முறையைப் பயன்படுத்தாமல் இருப்பது நல்லது..

புள்ளிக்கு புள்ளியாக வரிகளை உருவாக்குவது மிகவும் லாபகரமானது மற்றும் விரைவானது, மேலும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் "தாங்களே" தெளிவாகின்றன. ஆயினும்கூட, வரம்புகளைக் கண்டறியும் பகுப்பாய்வு முறை சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, வரைபடம் போதுமானதாக இருந்தால், அல்லது விரிவான கட்டுமானம் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை வெளிப்படுத்தவில்லை (அவை பகுதியளவு அல்லது பகுத்தறிவற்றதாக இருக்கலாம்). அத்தகைய உதாரணத்தையும் நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

எங்கள் பணிக்குத் திரும்புவோம்: முதலில் ஒரு நேர்கோட்டை உருவாக்குவது மிகவும் பகுத்தறிவு மற்றும் பின்னர் ஒரு பரவளையமாகும். வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

இப்போது வேலை சூத்திரம்: பிரிவில் சில தொடர்ச்சியான செயல்பாடு இருந்தால் அதிகமாக அல்லது சமமாகசில தொடர்ச்சியான செயல்பாடு , பின்னர் இந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு , சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

அச்சுக்கு மேலே அல்லது அச்சுக்குக் கீழே, மற்றும், தோராயமாகச் சொன்னால், உருவம் எங்கு அமைந்துள்ளது என்பதைப் பற்றி நீங்கள் இனி சிந்திக்க வேண்டியதில்லை. எந்த வரைபடம் அதிகமாக உள்ளது என்பது முக்கியம்(மற்றொரு வரைபடத்துடன் தொடர்புடையது), மற்றும் எது கீழே உள்ளது.

பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், பிரிவில் பரவளையம் நேர் கோட்டிற்கு மேலே அமைந்துள்ளது என்பது வெளிப்படையானது, எனவே இதிலிருந்து கழிக்க வேண்டியது அவசியம்.

முடிக்கப்பட்ட தீர்வு இப்படி இருக்கலாம்:

விரும்பிய உருவம் மேலே ஒரு பரவளையத்தாலும் கீழே ஒரு நேர்கோட்டாலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
பிரிவில், தொடர்புடைய சூத்திரத்தின்படி:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 4

கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும், , , .

தீர்வு: முதலில், ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய பகுதி நீல நிறத்தில் உள்ளது(நிலையை கவனமாகப் பாருங்கள் - எண்ணிக்கை எவ்வாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது!). ஆனால் நடைமுறையில், கவனக்குறைவு காரணமாக, பச்சை நிறத்தில் நிழலாடிய ஒரு உருவத்தின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய "தடுமாற்றம்" அடிக்கடி நிகழ்கிறது!

இரண்டு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதில் இந்த எடுத்துக்காட்டு பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

உண்மையில்:

1) அச்சுக்கு மேலே உள்ள பிரிவில் ஒரு நேர் கோட்டின் வரைபடம் உள்ளது;

2) அச்சுக்கு மேலே உள்ள பிரிவில் ஹைப்பர்போலாவின் வரைபடம் உள்ளது.

பகுதிகள் சேர்க்கப்படலாம் (மற்றும் வேண்டும்) என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது, எனவே: