நாங்கள் உங்கள் கவனத்திற்குக் கொண்டு வரும் இலவச கால்குலேட்டரில் கணிதக் கணக்கீடுகளுக்கான சாத்தியக்கூறுகளின் வளமான ஆயுதக் களஞ்சியம் உள்ளது. பல்வேறு செயல்பாட்டுத் துறைகளில் ஆன்லைன் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்த இது உங்களை அனுமதிக்கிறது: கல்வி, தொழில்முறைமற்றும் வணிக. நிச்சயமாக, ஆன்லைன் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்துவது குறிப்பாக பிரபலமானது மாணவர்கள்மற்றும் பள்ளி குழந்தைகள், அவர்கள் பல்வேறு கணக்கீடுகளைச் செய்வதை மிகவும் எளிதாக்குகிறது.

அதே நேரத்தில், கால்குலேட்டர் வணிகத்தின் சில பகுதிகளில் மற்றும் பல்வேறு தொழில்களில் உள்ளவர்களுக்கு ஒரு பயனுள்ள கருவியாக மாறும். நிச்சயமாக, வணிகம் அல்லது வேலையில் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியம் முதன்மையாக செயல்பாட்டின் வகையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. உங்கள் வணிகம் மற்றும் தொழில் நிலையான கணக்கீடுகள் மற்றும் கணக்கீடுகளுடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால், ஒரு மின்னணு கால்குலேட்டரை முயற்சிப்பது மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட பணிக்கு அதன் பயனின் அளவை மதிப்பிடுவது மதிப்பு.

இந்த ஆன்லைன் கால்குலேட்டரால் முடியும்

• ஒரு வரியில் எழுதப்பட்ட நிலையான கணித செயல்பாடுகளை சரியாகச் செய்யவும் - 12*3-(7/2) ஆன்லைன் கால்குலேட்டரில் பெரிய எண்களை எண்ணுவதை விட பெரிய எண்களை செயலாக்க முடியும். 34 எழுத்துக்கள் உள்ளன, இது வரம்பு அல்ல).
• தவிர தொடுகோடு, கொசைன், பாவம்மற்றும் பிற நிலையான செயல்பாடுகள் - கால்குலேட்டர் கணக்கீட்டு செயல்பாடுகளை ஆதரிக்கிறது வளைவு, ஆர்க்கோடேன்ஜென்ட்மற்றும் மற்றவர்கள்.
• ஆர்சனலில் கிடைக்கிறது மடக்கைகள், காரணிகள்மற்றும் பிற சுவாரஸ்யமான அம்சங்கள்
• இந்த ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் வரைபடங்களை உருவாக்குவது எப்படி என்று தெரியும்!!!

வரைபடங்களைத் திட்டமிட, சேவையானது ஒரு சிறப்பு பொத்தானைப் பயன்படுத்துகிறது (வரைபடம் சாம்பல் நிறத்தில் வரையப்பட்டுள்ளது) அல்லது இந்தச் செயல்பாட்டின் எழுத்துப் பிரதிநிதித்துவம் (Plot). ஆன்லைன் கால்குலேட்டரில் வரைபடத்தை உருவாக்க, செயல்பாட்டை எழுதவும்: சதி(டான்(x)),x=-360..360.

நாம் தொடுகோடுக்கான எளிய வரைபடத்தை எடுத்தோம், மேலும் தசம புள்ளிக்குப் பிறகு -360 முதல் 360 வரையிலான X மாறியின் வரம்பைக் குறிப்பிட்டோம்.

நீங்கள் எந்த எண்ணிக்கையிலான மாறிகள் மூலம் எந்த செயல்பாட்டையும் உருவாக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக இது: சதி(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)அல்லது நீங்கள் கொண்டு வரக்கூடிய மிகவும் சிக்கலானது. X மாறியின் நடத்தைக்கு கவனம் செலுத்துங்கள் - இருந்து மற்றும் இரண்டு புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி இடைவெளி குறிக்கப்படுகிறது.

இந்த ஆன்லைன் கால்குலேட்டரின் ஒரே எதிர்மறையான (அதை ஒரு குறைபாடு என்று அழைப்பது கடினம் என்றாலும்) அது கோளங்கள் மற்றும் பிற முப்பரிமாண உருவங்களை உருவாக்க முடியாது - ஒரு விமானம் மட்டுமே.

கணித கால்குலேட்டரை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது

1. காட்சி (கால்குலேட்டர் திரை) உள்ளிடப்பட்ட வெளிப்பாட்டையும் அதன் கணக்கீட்டின் முடிவையும் சாதாரண குறியீடுகளில் காண்பிக்கும், நாம் காகிதத்தில் எழுதுகிறோம். இந்த புலம் தற்போதைய பரிவர்த்தனையைப் பார்ப்பதற்கு மட்டுமே. உள்ளீட்டு வரியில் கணித வெளிப்பாட்டைத் தட்டச்சு செய்யும் போது உள்ளீடு காட்சியில் தோன்றும்.

2. எக்ஸ்ப்ரெஷன் உள்ளீட்டு புலம் கணக்கிடப்பட வேண்டிய வெளிப்பாட்டைப் பதிவுசெய்வதற்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. கம்ப்யூட்டர் புரோகிராம்களில் பயன்படுத்தப்படும் கணிதக் குறியீடுகள் நாம் வழக்கமாக காகிதத்தில் பயன்படுத்துவதைப் போல எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்காது என்பதை இங்கே கவனிக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு கால்குலேட்டர் செயல்பாட்டின் கண்ணோட்டத்திலும், ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டிற்கான சரியான பதவி மற்றும் கால்குலேட்டரில் உள்ள கணக்கீடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை நீங்கள் காணலாம். கீழே உள்ள இந்தப் பக்கத்தில் கால்குலேட்டரில் சாத்தியமான அனைத்து செயல்பாடுகளின் பட்டியலையும், அவற்றின் சரியான எழுத்துப்பிழையையும் குறிக்கிறது.

3. கருவிப்பட்டி - இவை தொடர்புடைய செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் கணித சின்னங்களின் கையேடு உள்ளீட்டை மாற்றும் கால்குலேட்டர் பொத்தான்கள். சில கால்குலேட்டர் பொத்தான்கள் (கூடுதல் செயல்பாடுகள், அலகு மாற்றி, தீர்க்கும் மெட்ரிக்குகள் மற்றும் சமன்பாடுகள், வரைபடங்கள்) ஒரு குறிப்பிட்ட கணக்கீட்டிற்கான தரவு உள்ளிடப்படும் புதிய புலங்களுடன் பணிப்பட்டியில் துணைபுரிகிறது. "வரலாறு" புலத்தில் கணித வெளிப்பாடுகளை எழுதுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் உங்களின் மிக சமீபத்திய ஆறு உள்ளீடுகள் உள்ளன.

கூடுதல் செயல்பாடுகளை அழைப்பதற்கும், அலகு மாற்றி, மெட்ரிக்குகள் மற்றும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கும், வரைபடங்களைத் திட்டமிடுவதற்கும் பொத்தான்களை அழுத்தும்போது, ​​முழு கால்குலேட்டர் பேனலும் மேலே நகரும், காட்சியின் ஒரு பகுதியை உள்ளடக்கும். தேவையான புலங்களை நிரப்பி, "I" விசையை அழுத்தவும் (படத்தில் சிவப்பு நிறத்தில் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ளது) முழு அளவிலான காட்சியைப் பார்க்கவும்.

4. எண் விசைப்பலகையில் எண்கள் மற்றும் எண்கணித குறியீடுகள் உள்ளன. "C" பொத்தான் வெளிப்பாடு நுழைவு புலத்தில் உள்ள முழு உள்ளீட்டையும் நீக்குகிறது. எழுத்துக்களை ஒவ்வொன்றாக நீக்க, உள்ளீட்டு வரியின் வலதுபுறத்தில் உள்ள அம்புக்குறியைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

வெளிப்பாட்டின் முடிவில் எப்போதும் அடைப்புக்குறிகளை மூட முயற்சிக்கவும். பெரும்பாலான செயல்பாடுகளுக்கு இது முக்கியமானதல்ல; ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் எல்லாவற்றையும் சரியாகக் கணக்கிடும். இருப்பினும், சில சந்தர்ப்பங்களில் பிழைகள் ஏற்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பகுதியளவு சக்தியை உயர்த்தும் போது, ​​மூடப்படாத அடைப்புக்குறிகள், அடுக்குகளில் உள்ள பின்னத்தின் வகுப்பினை அடித்தளத்தின் வகுப்பிற்குள் செல்லச் செய்யும். மூடும் அடைப்புக்குறி காட்சியில் வெளிர் சாம்பல் நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது மற்றும் பதிவு முடிந்ததும் மூடப்பட வேண்டும்.

முக்கிய	சின்னம்	ஆபரேஷன்
பை	பை	நிலையான பை
இ	இ	ஆய்லர் எண்
%	%	சதவீதம்
()	()	அடைப்புக்குறிகளைத் திற/மூடு
,	,	கமா
பாவம்	பாவம்(?)	கோணத்தின் சைன்
cos	cos(?)	கொசைன்
பழுப்பு	டான்(y)	தொடுகோடு
sinh	sinh()	ஹைபர்போலிக் சைன்
செலவு	cosh()	ஹைபர்போலிக் கொசைன்
tanh	tanh()	ஹைபர்போலிக் டேன்ஜென்ட்
பாவம் -1	அசின்()	தலைகீழ் சைன்
காஸ் -1	acos()	தலைகீழ் கொசைன்
பழுப்பு -1	atan()	தலைகீழ் தொடுகோடு
sinh -1	அசின்()	தலைகீழ் ஹைபர்போலிக் சைன்
cosh -1	அகோஷ்()	தலைகீழ் ஹைபர்போலிக் கொசைன்
tanh -1	அதான்()	தலைகீழ் ஹைபர்போலிக் டேன்ஜென்ட்
x 2	^2	சதுரம்
x 3	^3	கன சதுரம்
x ஒய்	^	விரிவடைதல்
10 x	10^()	அடிப்படை 10க்கு விரிவுபடுத்தல்
இ x	exp()	ஆய்லரின் எண்ணின் விரிவாக்கம்
vx	சதுரம்(x)	சதுர வேர்
3 விஎக்ஸ்	சதுர 3(x)	3வது வேர்
yvx	சதுரம்(x,y)	வேர் பிரித்தெடுத்தல்
பதிவு 2 x	பதிவு2(x)	பைனரி மடக்கை
பதிவு	பதிவு(x)	தசம மடக்கை
ln	ln(x)	இயற்கை மடக்கை
பதிவு y x	பதிவு(x,y)	மடக்கை
I/II		கூடுதல் செயல்பாடுகளை சுருக்கு/அழை
அலகு		அலகு மாற்றி
மேட்ரிக்ஸ்		மெட்ரிக்குகள்
தீர்க்கவும்		சமன்பாடுகள் மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்
		வரைபடமாக்கல்
கூடுதல் செயல்பாடுகள் (விசை II உடன் அழைப்பு)
mod	mod	மீதியுடன் பிரிவு
!	!	காரணியான
i/j	i/j	கற்பனை அலகு
ரெ	மறு()	முழு உண்மையான பகுதியையும் தனிமைப்படுத்துதல்
இம்	நான்()	உண்மையான பகுதியைத் தவிர்த்து
|x|	ஏபிஎஸ்()	எண் மாடுலஸ்
Arg	arg()	செயல்பாட்டு வாதம்
nCr	என்சிஆர்()	பைனோமினல் குணகம்
ஜிசிடி	gcd()	ஜிசிடி
lcm	lcm()	என்ஓசி
தொகை	தொகை ()	அனைத்து முடிவுகளின் மொத்த மதிப்பு
முகம்	காரணியாக்கு	முதன்மை காரணியாக்கம்
வேறுபாடு	வேறுபாடு()	வேறுபாடு
Deg		பட்டங்கள்
ராட்		ரேடியன்கள்

7ம் வகுப்பு கணித பாடத்தில், முதல்முறையாக சந்திக்கிறோம் இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகள், ஆனால் அவை இரண்டு அறியப்படாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் சூழலில் மட்டுமே ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. அதனால்தான், சமன்பாட்டின் குணகங்களில் சில நிபந்தனைகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட சிக்கல்களின் முழுத் தொடர் பார்வையில் இருந்து விழுகிறது. கூடுதலாக, "இயற்கை அல்லது முழு எண்களில் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்" போன்ற சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளும் புறக்கணிக்கப்படுகின்றன, இருப்பினும் இதுபோன்ற சிக்கல்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுப் பொருட்கள் மற்றும் நுழைவுத் தேர்வுகளில் அடிக்கடி காணப்படுகின்றன.

எந்த சமன்பாடு இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடுகள் 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, அல்லது xy = 12 இரண்டு மாறிகளில் உள்ள சமன்பாடுகள்.

2x – y = 1 என்ற சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இது x = 2 மற்றும் y = 3 ஆக இருக்கும்போது உண்மையாகிறது, எனவே இந்த ஜோடி மாறி மதிப்புகள் கேள்விக்குரிய சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாகும்.

எனவே, இரண்டு மாறிகள் கொண்ட எந்த சமன்பாட்டிற்கும் தீர்வு என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் தொகுப்பாகும் (x; y), இந்த சமன்பாட்டை உண்மையான எண் சமத்துவமாக மாற்றும் மாறிகளின் மதிப்புகள்.

அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகள்:

A) ஒரு தீர்வு வேண்டும்.எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு x 2 + 5y 2 = 0 ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது (0; 0);

b) பல தீர்வுகள் உள்ளன.எடுத்துக்காட்டாக, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) தீர்வுகள் இல்லை.எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு x 2 + y 2 + 1 = 0 தீர்வுகள் இல்லை;

ஜி) எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.எடுத்துக்காட்டாக, x + y = 3. இந்தச் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள், கூட்டுத்தொகை 3க்கு சமமான எண்களாக இருக்கும். இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பை வடிவத்தில் (k; 3 – k) எழுதலாம், இதில் k என்பது உண்மையானது. எண்.

இரண்டு மாறிகள் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய முறைகள் காரணி வெளிப்பாடுகளின் அடிப்படையிலான முறைகள், ஒரு முழுமையான சதுரத்தை தனிமைப்படுத்துதல், இருபடி சமன்பாட்டின் பண்புகள், வரையறுக்கப்பட்ட வெளிப்பாடுகள் மற்றும் மதிப்பீட்டு முறைகள். சமன்பாடு பொதுவாக ஒரு வடிவமாக மாற்றப்படுகிறது, அதில் இருந்து தெரியாதவற்றைக் கண்டறியும் அமைப்பைப் பெறலாம்.

காரணியாக்கம்

எடுத்துக்காட்டு 1.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: xy – 2 = 2x – y.

தீர்வு.

காரணியாக்கலின் நோக்கத்திற்காக நாங்கள் விதிமுறைகளை தொகுக்கிறோம்:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலிருந்தும் நாம் ஒரு பொதுவான காரணியை எடுக்கிறோம்:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. எங்களிடம் உள்ளது:

y = 2, x – ஏதேனும் உண்மையான எண் அல்லது x = -1, y – ஏதேனும் உண்மையான எண்.

இவ்வாறு, பதில் படிவத்தின் அனைத்து ஜோடிகளும் (x; 2), x € R மற்றும் (-1; y), y € R.

பூஜ்ஜியத்திற்கு எதிர்மறை எண்களின் சமத்துவம்

எடுத்துக்காட்டு 2.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

தீர்வு.

குழுவாக்கம்:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. இப்போது ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியையும் வர்க்க வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மடிக்கலாம்.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

3x – 2 = 0 மற்றும் 2y – 3 = 0 ஆகிய இரண்டு எதிர்மறை வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாகும்.

இதன் பொருள் x = 2/3 மற்றும் y = 3/2.

பதில்: (2/3; 3/2).

மதிப்பீட்டு முறை

எடுத்துக்காட்டு 3.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

தீர்வு.

ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலும் ஒரு முழுமையான சதுரத்தை முன்னிலைப்படுத்துகிறோம்:

((x + 1) 2 + 1)((y - 2) 2 + 2) = 2. மதிப்பிடுவோம் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடுகளின் பொருள்.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 மற்றும் (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, பின்னர் சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் எப்போதும் குறைந்தது 2. சமத்துவம் சாத்தியம் என்றால்:

(x + 1) 2 + 1 = 1 மற்றும் (y – 2) 2 + 2 = 2, அதாவது x = -1, y = 2.

பதில்: (-1; 2).

இரண்டாவது பட்டத்தின் இரண்டு மாறிகள் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மற்றொரு முறையைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். இந்த முறை சமன்பாட்டைக் கையாளுவதைக் கொண்டுள்ளது சில மாறிகளைப் பொறுத்து சதுரம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

தீர்வு.

சமன்பாட்டை xக்கான இருபடிச் சமன்பாடாகத் தீர்ப்போம். பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . சமன்பாடு D = 0, அதாவது y = 4 எனில் மட்டுமே தீர்வு கிடைக்கும். அசல் சமன்பாட்டில் y இன் மதிப்பை மாற்றி x = 3 என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பதில்: (3; 4).

பெரும்பாலும் இரண்டு அறியப்படாத சமன்பாடுகளில் அவை குறிப்பிடுகின்றன மாறிகள் மீதான கட்டுப்பாடுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 5.

சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

தீர்வு.

சமன்பாட்டை x 2 = -5y 2 + 20x + 2 வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம். 5 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் 2 ஐ அளிக்கிறது. எனவே, x 2 ஐ 5 ஆல் வகுக்க முடியாது. ஆனால் a இன் வர்க்கம் 5 ஆல் வகுபடாத எண் 1 அல்லது 4 இன் மீதியை அளிக்கிறது. எனவே, சமத்துவம் சாத்தியமற்றது மற்றும் தீர்வுகள் இல்லை.

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 6.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

தீர்வு.

ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலும் முழுமையான சதுரங்களை முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் எப்போதும் 3 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். சமத்துவம் வழங்கப்படுவது சாத்தியம் |x| – 2 = 0 மற்றும் y + 3 = 0. எனவே, x = ± 2, y = -3.

பதில்: (2; -3) மற்றும் (-2; -3).

எடுத்துக்காட்டு 7.

சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒவ்வொரு ஜோடி எதிர்மறை முழு எண்களுக்கும் (x;y).
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, தொகையைக் கணக்கிடவும் (x + y). உங்கள் பதிலில் சிறிய தொகையைக் குறிப்பிடவும்.

தீர்வு.

முழுமையான சதுரங்களைத் தேர்ந்தெடுப்போம்:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x மற்றும் y ஆகியவை முழு எண்களாக இருப்பதால், அவற்றின் சதுரங்களும் முழு எண்களாகும். 1 + 36ஐ கூட்டினால் இரண்டு முழு எண்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை 37 க்கு சமமாக கிடைக்கும். எனவே:

(x – y) 2 = 36 மற்றும் (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 மற்றும் (y + 2) 2 = 36.

இந்த அமைப்புகளைத் தீர்த்து, x மற்றும் y எதிர்மறையாக இருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, தீர்வுகளைக் காண்கிறோம்: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

பதில்:-17.

தெரியாத இரண்டு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் உங்களுக்கு சிரமம் இருந்தால் விரக்தியடைய வேண்டாம். ஒரு சிறிய பயிற்சி மூலம், நீங்கள் எந்த சமன்பாட்டையும் கையாளலாம்.

இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா? இரண்டு மாறிகளில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எப்படி என்று தெரியவில்லையா?
ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.
முதல் பாடம் இலவசம்!

இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​அசல் மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

சமன்பாடுகள்

சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

இந்த பிரிவில் நாம் மிகவும் அடிப்படை சமன்பாடுகளை நினைவுபடுத்துவோம் (அல்லது படிப்பது, நீங்கள் யாரைத் தேர்வு செய்கிறீர்கள் என்பதைப் பொறுத்து). எனவே சமன்பாடு என்ன? மனித அடிப்படையில், இது ஒரு சமமான அடையாளம் மற்றும் அறியப்படாத ஒரு கணித வெளிப்பாடு ஆகும். இது பொதுவாக கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது "எக்ஸ்". சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்- இது x இன் அத்தகைய மதிப்புகளைக் கண்டறிவதாகும், அதற்கு மாற்றாக அசல்வெளிப்பாடு நமக்கு சரியான அடையாளத்தை கொடுக்கும். கணித அறிவில் முற்றிலும் சுமை இல்லாத ஒருவருக்கு கூட அடையாளம் சந்தேகத்திற்கு அப்பாற்பட்ட ஒரு வெளிப்பாடு என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். 2=2, 0=0, ab=ab போன்றவை. எனவே சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?அதை கண்டுபிடிக்கலாம்.

எல்லா வகையான சமன்பாடுகளும் உள்ளன (எனக்கு ஆச்சரியமாக இருக்கிறது, இல்லையா?). ஆனால் அவற்றின் எல்லையற்ற வகைகளை நான்கு வகைகளாக மட்டுமே பிரிக்க முடியும்.

4. மற்ற அனைவரும்.)

மற்ற அனைத்தும், நிச்சயமாக, எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஆம்...) இதில் கன, அதிவேக, மடக்கை, முக்கோணவியல் மற்றும் அனைத்து வகையான பிறவும் அடங்கும். பொருத்தமான பிரிவுகளில் அவர்களுடன் நெருக்கமாகப் பணியாற்றுவோம்.

சில சமயங்களில் முதல் மூன்று வகைகளின் சமன்பாடுகளை நீங்கள் அடையாளம் காண முடியாத அளவுக்கு திருகப்படுகிறது என்று நான் இப்போதே கூறுவேன்... ஒன்றுமில்லை. அவற்றை எவ்வாறு அகற்றுவது என்பதை நாங்கள் கற்றுக்கொள்வோம்.

இந்த நான்கு வகைகள் நமக்கு ஏன் தேவை? பின்னர் என்ன நேரியல் சமன்பாடுகள்ஒரு வழியில் தீர்க்கப்பட்டது சதுரம்மற்றவர்கள், பகுதியளவு பகுத்தறிவுகள் - மூன்றாவது,ஏ ஓய்வுஅவர்களுக்கு சிறிதும் தைரியம் இல்லை! சரி, அவர்களால் முடிவெடுக்க முடியாது என்பதல்ல, நான் கணிதத்தில் தவறு செய்தேன் என்பதுதான்.) அவர்கள் தங்களுடைய சொந்த சிறப்பு நுட்பங்களையும் முறைகளையும் கொண்டுள்ளனர்.

ஆனால் எதற்கும் (நான் மீண்டும் சொல்கிறேன் - க்கு ஏதேனும்!) சமன்பாடுகள் தீர்க்க நம்பகமான மற்றும் தோல்வி-பாதுகாப்பான அடிப்படையை வழங்குகின்றன. எல்லா இடங்களிலும் எப்போதும் வேலை செய்கிறது. இந்த அடித்தளம் - பயமாக இருக்கிறது, ஆனால் இது மிகவும் எளிது. மற்றும் மிகவும் (மிகவும்!)முக்கியமான.

உண்மையில், சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு இந்த மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது. 99% என்ற கேள்விக்கான பதில்: " சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?"இந்த மாற்றங்களில் துல்லியமாக உள்ளது. குறிப்பு தெளிவாக உள்ளதா?)

சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள்.

IN ஏதேனும் சமன்பாடுகள்தெரியாததைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் அசல் உதாரணத்தை மாற்றி எளிமைப்படுத்த வேண்டும். அதனால் தோற்றம் மாறும்போது சமன்பாட்டின் சாராம்சம் மாறவில்லை.இத்தகைய மாற்றங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன ஒரே மாதிரியானஅல்லது அதற்கு சமமான.

இந்த மாற்றங்கள் பொருந்தும் என்பதை நினைவில் கொள்க குறிப்பாக சமன்பாடுகளுக்கு.கணிதத்திலும் அடையாள மாற்றங்கள் உள்ளன வெளிப்பாடுகள்.இது மற்றொரு தலைப்பு.

இப்போது நாம் அனைத்து, அனைத்து, அனைத்து அடிப்படை மீண்டும் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள்.

அடிப்படை, ஏனெனில் அவை பயன்படுத்தப்படலாம் ஏதேனும்சமன்பாடுகள் - நேரியல், இருபடி, பின்னம், முக்கோணவியல், அதிவேக, மடக்கை, முதலியன. முதலியன

முதல் அடையாள மாற்றம்: எந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் நீங்கள் சேர்க்கலாம் (கழித்தல்). ஏதேனும்(ஆனால் ஒன்றுதான்!) எண் அல்லது வெளிப்பாடு (தெரியாத ஒரு வெளிப்பாடு உட்பட!). இது சமன்பாட்டின் சாரத்தை மாற்றாது.

மூலம், நீங்கள் தொடர்ந்து இந்த மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறீர்கள், சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு அடையாள மாற்றத்துடன் சில சொற்களை மாற்றுகிறீர்கள் என்று நினைத்தீர்கள். வகை:

வழக்கு நன்கு தெரிந்ததே, இரண்டையும் வலப்புறமாக நகர்த்துகிறோம், பின் பெறுகிறோம்:

உண்மையில் நீங்கள் எடுத்துச் செல்லப்பட்டதுசமன்பாட்டின் இருபுறமும் இரண்டு. முடிவு ஒன்றே:

x+2 - 2 = 3 - 2

குறியீட்டின் மாற்றத்துடன் சொற்களை இடது மற்றும் வலதுபுறமாக நகர்த்துவது முதல் ஒரே மாதிரியான மாற்றத்தின் சுருக்கப்பட்ட பதிப்பாகும். நமக்கு ஏன் இவ்வளவு ஆழமான அறிவு தேவை? - நீங்கள் கேட்கிறீர்கள். சமன்பாடுகளில் எதுவும் இல்லை. கடவுளின் பொருட்டு, அதை தாங்க. அடையாளத்தை மாற்ற மறக்காதீர்கள். ஆனால் ஏற்றத்தாழ்வுகளில், இடமாற்றம் செய்யும் பழக்கம் ஒரு முட்டுச்சந்திற்கு வழிவகுக்கும்...

இரண்டாவது அடையாள மாற்றம்: சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரே பொருளால் பெருக்கலாம் (வகுக்கலாம்). பூஜ்யம் அல்லாதஎண் அல்லது வெளிப்பாடு. இங்கே புரிந்துகொள்ளக்கூடிய வரம்பு ஏற்கனவே தோன்றுகிறது: பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்குவது முட்டாள்தனமானது, மற்றும் வகுப்பது முற்றிலும் சாத்தியமற்றது. இது போன்ற குளிர்ச்சியான ஒன்றை நீங்கள் தீர்க்கும் போது நீங்கள் பயன்படுத்தும் மாற்றமாகும்

தெளிவாக இருக்கிறது எக்ஸ்= 2. அதை எப்படி கண்டுபிடித்தீர்கள்? தேர்வு மூலம்? அல்லது இப்போதுதான் விடிந்ததா? தேர்வு செய்யாமல், நுண்ணறிவுக்காக காத்திருக்காமல் இருக்க, நீங்கள் நியாயமானவர் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பிரிக்கப்பட்டது 5 ஆல். இடது பக்கத்தை (5x) வகுக்கும் போது, ​​ஐந்து குறைக்கப்பட்டது, தூய X விட்டு. எதுதான் நமக்குத் தேவைப்பட்டது. மேலும் (10) வலது பக்கத்தை ஐந்தால் வகுத்தால், விளைவு நிச்சயமாக இரண்டு.

அவ்வளவுதான்.

இது வேடிக்கையானது, ஆனால் இந்த இரண்டு (இரண்டு மட்டுமே!) ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள் தீர்வின் அடிப்படையாகும் கணிதத்தின் அனைத்து சமன்பாடுகளும்.ஆஹா! என்ன, எப்படி என்பதற்கான உதாரணங்களைப் பார்ப்பது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, இல்லையா?)

சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள். முக்கிய பிரச்சனைகள்.

ஆரம்பிப்போம் முதலில்அடையாள மாற்றம். இடது-வலது இடமாற்றம்.

இளையவர்களுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு.)

பின்வரும் சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

3-2x=5-3x

மந்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம்: "எக்ஸ் உடன் - இடதுபுறம், எக்ஸ் இல்லாமல் - வலதுபுறம்!"இந்த எழுத்துப்பிழை என்பது முதல் அடையாள உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான வழிமுறைகள்.) வலதுபுறத்தில் X உள்ள வெளிப்பாடு என்ன? 3x? பதில் தவறானது! எங்கள் வலதுபுறம் - 3x! கழித்தல்மூன்று x! எனவே, இடதுபுறம் நகரும் போது, ​​குறி பிளஸ் ஆக மாறும். இது மாறிவிடும்:

3-2x+3x=5

எனவே, எக்ஸ் ஒரு குவியலில் சேகரிக்கப்பட்டது. எண்களுக்குள் வருவோம். இடதுபுறம் மூன்று உள்ளது. எந்த அடையாளத்துடன்? "எதுவும் இல்லை" என்ற பதில் ஏற்றுக்கொள்ளப்படவில்லை!) மூன்றுக்கு முன்னால், உண்மையில், எதுவும் வரையப்படவில்லை. மூன்றுக்கும் முன் உள்ளது என்பது இதன் பொருள் கூடுதலாக.எனவே கணிதவியலாளர்கள் ஒப்புக்கொண்டனர். எதுவும் எழுதப்படவில்லை, அதாவது கூடுதலாக.எனவே, மூன்று வலது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படும் ஒரு கழித்தல்.நாங்கள் பெறுகிறோம்:

-2x+3x=5-3

இன்னும் அற்ப விஷயங்கள் மட்டுமே உள்ளன. இடதுபுறத்தில் - ஒத்தவற்றைக் கொண்டு வாருங்கள், வலதுபுறம் - எண்ணுங்கள். பதில் உடனடியாக வருகிறது:

இந்த எடுத்துக்காட்டில், ஒரு அடையாள மாற்றம் போதுமானது. இரண்டாவது தேவையில்லை. சரி, சரி.)

வயதான குழந்தைகளுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு.)

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு இரண்டு வகையான தீர்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

1. மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்பது.
2. கணினி சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) மூலம் கணினியைத் தீர்ப்பது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்காக மாற்று முறை மூலம்நீங்கள் ஒரு எளிய வழிமுறையைப் பின்பற்ற வேண்டும்:
1. எக்ஸ்பிரஸ். எந்த சமன்பாட்டிலிருந்தும் நாம் ஒரு மாறியை வெளிப்படுத்துகிறோம்.
2. மாற்று. வெளிப்படுத்தப்பட்ட மாறிக்கு பதிலாக மற்றொரு சமன்பாட்டில் விளைந்த மதிப்பை மாற்றுகிறோம்.
3. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கவும். அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வைக் காண்கிறோம்.

முடிவு செய்ய கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) முறை மூலம் அமைப்புவேண்டும்:
1. ஒரே மாதிரியான குணகங்களை உருவாக்கும் ஒரு மாறியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
2. சமன்பாடுகளைச் சேர்க்கிறோம் அல்லது கழிக்கிறோம், இதன் விளைவாக ஒரு மாறியுடன் ஒரு சமன்பாடு உருவாகிறது.
3. இதன் விளைவாக வரும் நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வைக் காண்கிறோம்.

அமைப்புக்கான தீர்வு செயல்பாட்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி அமைப்புகளின் தீர்வை விரிவாகக் கருதுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு #1:

மாற்று முறையில் தீர்வு காண்போம்

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

2x+5y=1 (1 சமன்பாடு)
x-10y=3 (2வது சமன்பாடு)

1. எக்ஸ்பிரஸ்
இரண்டாவது சமன்பாட்டில் 1 இன் குணகம் கொண்ட மாறி x இருப்பதைக் காணலாம், அதாவது இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து மாறி x ஐ வெளிப்படுத்துவது எளிதானது.
x=3+10y

2. நாம் அதை வெளிப்படுத்திய பிறகு, x மாறிக்கு பதிலாக முதல் சமன்பாட்டில் 3+10y ஐ மாற்றுவோம்.
2(3+10y)+5y=1

3. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கவும்.
2(3+10y)+5y=1 (அடைப்புக்குறிகளைத் திற)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

சமன்பாடு அமைப்புக்கான தீர்வு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள், எனவே நாம் x மற்றும் y ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், ஏனெனில் வெட்டுப்புள்ளி x மற்றும் y ஐக் கொண்டுள்ளது, அதை வெளிப்படுத்திய முதல் புள்ளியில் y ஐக் கண்டுபிடிப்போம் .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

முதலில் x என்ற மாறியை எழுதும்போது புள்ளிகளை எழுதுவது வழக்கம், இரண்டாவது இடத்தில் y என்ற மாறி.
பதில்: (1; -0.2)

எடுத்துக்காட்டு #2:

கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம்.

கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

3x-2y=1 (1 சமன்பாடு)
2x-3y=-10 (2வது சமன்பாடு)

1. நாம் ஒரு மாறியை தேர்வு செய்கிறோம், x ஐ தேர்வு செய்கிறோம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். முதல் சமன்பாட்டில், மாறி x 3 இன் குணகத்தைக் கொண்டுள்ளது, இரண்டாவது - 2. குணகங்களை ஒரே மாதிரியாக மாற்ற வேண்டும், இதற்காக சமன்பாடுகளைப் பெருக்க அல்லது எந்த எண்ணாலும் வகுக்க உரிமை உண்டு. முதல் சமன்பாட்டை 2 ஆல் பெருக்கி, இரண்டாவது 3 ஆல் பெருக்கி மொத்த குணகம் 6 ஐப் பெறுகிறோம்.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவதாகக் கழிக்கவும்.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x ஐக் கண்டுபிடி. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட y ஐ ஏதேனும் சமன்பாடுகளில் மாற்றுவோம், முதல் சமன்பாட்டில் கூறுவோம்.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

வெட்டுப்புள்ளி x=4.6 ஆக இருக்கும்; y=6.4
பதில்: (4.6; 6.4)

தேர்வுகளுக்கு இலவசமாகத் தயாராக விரும்புகிறீர்களா? ஆன்லைன் ஆசிரியர் இலவசமாக. நகைச்சுவை இல்லை.

இந்த வீடியோவில், ஒரே வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் முழு தொகுப்பையும் பகுப்பாய்வு செய்வோம் - அதனால்தான் அவை எளிமையானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

முதலில், வரையறுப்போம்: நேரியல் சமன்பாடு என்றால் என்ன, எது எளிமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது?

ஒரு நேரியல் சமன்பாடு என்பது ஒரே ஒரு மாறி, முதல் நிலை வரை மட்டுமே இருக்கும்.

எளிமையான சமன்பாடு என்பது கட்டுமானத்தைக் குறிக்கிறது:

மற்ற அனைத்து நேரியல் சமன்பாடுகளும் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி எளிமையானதாகக் குறைக்கப்படுகின்றன:

1. அடைப்புக்குறிகள் ஏதேனும் இருந்தால் விரிவாக்கவும்;
2. மாறி உள்ள சொற்களை சம அடையாளத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கும், மாறி இல்லாத விதிமுறைகளை மற்றொன்றுக்கும் நகர்த்தவும்;
3. சம அடையாளத்தின் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் ஒத்த சொற்களைக் கொடுங்கள்;
4. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை $x$ மாறியின் குணகத்தால் வகுக்கவும்.

நிச்சயமாக, இந்த அல்காரிதம் எப்போதும் உதவாது. உண்மை என்னவென்றால், சில நேரங்களில் இந்த அனைத்து சூழ்ச்சிகளுக்கும் பிறகு $x$ மாறியின் குணகம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக மாறும். இந்த வழக்கில், இரண்டு விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும்:

1. சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் எதுவும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, $0\cdot x=8$ என ஏதாவது மாறும்போது, ​​அதாவது. இடதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியம் உள்ளது, வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண் உள்ளது. கீழே உள்ள வீடியோவில் இந்த நிலைமை ஏன் சாத்தியமாகிறது என்பதற்கான பல காரணங்களைப் பார்ப்போம்.
2. தீர்வு அனைத்து எண்கள். சமன்பாடு $0\cdot x=0$ என குறைக்கப்பட்டால் மட்டுமே இது சாத்தியமாகும். நாம் எந்த $x$ ஐ மாற்றினாலும், அது "பூஜ்ஜியம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்" என்று மாறிவிடும் என்பது மிகவும் தர்க்கரீதியானது, அதாவது. சரியான எண் சமத்துவம்.

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி இவை அனைத்தும் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதை இப்போது பார்ப்போம்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

இன்று நாம் நேரியல் சமன்பாடுகளைக் கையாளுகிறோம், எளிமையானவை மட்டுமே. பொதுவாக, ஒரு நேரியல் சமன்பாடு என்பது சரியாக ஒரு மாறியைக் கொண்டிருக்கும் எந்த சமத்துவத்தையும் குறிக்கிறது, மேலும் அது முதல் நிலைக்கு மட்டுமே செல்கிறது.

இத்தகைய கட்டுமானங்கள் தோராயமாக அதே வழியில் தீர்க்கப்படுகின்றன:

1. முதலில், அடைப்புக்குறிகள் ஏதேனும் இருந்தால் (எங்கள் கடைசி எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல) விரிவாக்க வேண்டும்;
2. பின்னர் இதேபோல் இணைக்கவும்
3. இறுதியாக, மாறியை தனிமைப்படுத்தவும், அதாவது. மாறியுடன் இணைக்கப்பட்ட அனைத்தையும்-அது அடங்கியுள்ள விதிமுறைகளை-ஒரு பக்கத்திற்கு நகர்த்தவும், அது இல்லாமல் மீதமுள்ள அனைத்தையும் மறுபக்கத்திற்கு நகர்த்தவும்.

பின்னர், ஒரு விதியாக, விளைவான சமத்துவத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் ஒத்தவற்றை நீங்கள் கொண்டு வர வேண்டும், அதன் பிறகு "x" இன் குணகத்தால் வகுக்க வேண்டும், மேலும் இறுதி பதிலைப் பெறுவோம்.

கோட்பாட்டில், இது அழகாகவும் எளிமையாகவும் தெரிகிறது, ஆனால் நடைமுறையில், அனுபவம் வாய்ந்த உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்கள் கூட மிகவும் எளிமையான நேரியல் சமன்பாடுகளில் புண்படுத்தும் தவறுகளைச் செய்யலாம். பொதுவாக, அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கும்போது அல்லது "பிளஸ்கள்" மற்றும் "மைனஸ்கள்" கணக்கிடும்போது பிழைகள் செய்யப்படுகின்றன.

கூடுதலாக, ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் இல்லை அல்லது தீர்வு முழு எண் கோடு, அதாவது. எந்த எண். இந்த நுணுக்கங்களை இன்றைய பாடத்தில் பார்ப்போம். ஆனால் நீங்கள் ஏற்கனவே புரிந்து கொண்டபடி, எளிமையான பணிகளுடன் தொடங்குவோம்.

எளிய நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான திட்டம்

முதலில், எளிமையான நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முழுத் திட்டத்தையும் மீண்டும் ஒருமுறை எழுதுகிறேன்:

1. அடைப்புக்குறிகள் ஏதேனும் இருந்தால் விரிவாக்கவும்.
2. நாம் மாறிகளை தனிமைப்படுத்துகிறோம், அதாவது. "எக்ஸ்" உள்ள அனைத்தையும் ஒரு பக்கத்திற்கும், "எக்ஸ்" இல்லாத அனைத்தையும் மறுபக்கத்திற்கும் நகர்த்துகிறோம்.
3. இதே போன்ற விதிமுறைகளை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்.
4. எல்லாவற்றையும் "x" குணகத்தால் பிரிக்கிறோம்.

நிச்சயமாக, இந்த திட்டம் எப்போதும் வேலை செய்யாது;

எளிய நேரியல் சமன்பாடுகளின் உண்மையான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது

பணி எண் 1

முதல் படி அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டும். ஆனால் அவை இந்த எடுத்துக்காட்டில் இல்லை, எனவே இந்த படிநிலையைத் தவிர்க்கிறோம். இரண்டாவது கட்டத்தில் நாம் மாறிகளை தனிமைப்படுத்த வேண்டும். தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: நாங்கள் தனிப்பட்ட விதிமுறைகளைப் பற்றி மட்டுமே பேசுகிறோம். அதை எழுதுவோம்:

இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் இதே போன்ற சொற்களை நாங்கள் வழங்குகிறோம், ஆனால் இது ஏற்கனவே இங்கே செய்யப்பட்டுள்ளது. எனவே, நாம் நான்காவது படிக்குச் செல்கிறோம்: குணகத்தால் வகுக்கவும்:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

எனவே விடை கிடைத்தது.

பணி எண் 2

இந்தச் சிக்கலில் அடைப்புக்குறிகளைக் காணலாம், எனவே அவற்றை விரிவாக்குவோம்:

இடது மற்றும் வலதுபுறம் இரண்டும் தோராயமாக ஒரே வடிவமைப்பைக் காண்கிறோம், ஆனால் வழிமுறையின்படி செயல்படுவோம், அதாவது. மாறிகளை பிரித்தல்:

இதோ சில ஒத்தவை:

இது எந்த வேர்களில் வேலை செய்கிறது? பதில்: எதற்கும். எனவே, $x$ எந்த எண் என்று எழுதலாம்.

பணி எண். 3

மூன்றாவது நேரியல் சமன்பாடு மிகவும் சுவாரஸ்யமானது:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

இங்கே பல அடைப்புக்குறிகள் உள்ளன, ஆனால் அவை எதையும் பெருக்கவில்லை, அவை வெறுமனே வெவ்வேறு அறிகுறிகளால் முன்வைக்கப்படுகின்றன. அவற்றை உடைப்போம்:

எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரிந்த இரண்டாவது படியை நாங்கள் செய்கிறோம்:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

கணிதத்தைச் செய்வோம்:

நாங்கள் கடைசி படியைச் செய்கிறோம் - எல்லாவற்றையும் “x” குணகத்தால் வகுக்கிறோம்:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது நினைவில் கொள்ள வேண்டியவை

மிகவும் எளிமையான பணிகளை நாம் புறக்கணித்தால், பின்வருவனவற்றைச் சொல்ல விரும்புகிறேன்:

• நான் மேலே கூறியது போல், ஒவ்வொரு நேரியல் சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு தீர்வு இல்லை - சில நேரங்களில் வெறுமனே வேர்கள் இல்லை;
• வேர்கள் இருந்தாலும், அவற்றில் பூஜ்ஜியம் இருக்கலாம் - அதில் தவறில்லை.

பூஜ்ஜியம் என்பது மற்ற எண்களைப் போன்றே இருக்கும்;

மற்றொரு அம்சம் அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பது தொடர்பானது. தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: அவர்களுக்கு முன்னால் "மைனஸ்" இருந்தால், அதை அகற்றுவோம், ஆனால் அடைப்புக்குறிக்குள் அடையாளங்களை மாற்றுகிறோம் எதிர். நிலையான வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தி அதைத் திறக்கலாம்: மேலே உள்ள கணக்கீடுகளில் நாம் பார்த்ததைப் பெறுவோம்.

இந்த எளிய உண்மையைப் புரிந்துகொள்வது, உயர்நிலைப் பள்ளியில் முட்டாள்தனமான மற்றும் புண்படுத்தும் தவறுகளைச் செய்வதைத் தவிர்க்க உதவும்.

சிக்கலான நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

இன்னும் சிக்கலான சமன்பாடுகளுக்கு செல்லலாம். இப்போது கட்டுமானங்கள் மிகவும் சிக்கலானதாக மாறும் மற்றும் பல்வேறு மாற்றங்களைச் செய்யும்போது ஒரு இருபடி செயல்பாடு தோன்றும். இருப்பினும், இதைப் பற்றி நாம் பயப்படக்கூடாது, ஏனென்றால், ஆசிரியரின் திட்டத்தின் படி, நாம் ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம் என்றால், உருமாற்றத்தின் போது ஒரு இருபடி செயல்பாட்டைக் கொண்ட அனைத்து மோனோமியல்களும் நிச்சயமாக ரத்து செய்யப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

வெளிப்படையாக, முதல் படி அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டும். இதை மிகவும் கவனமாக செய்வோம்:

இப்போது தனியுரிமையைப் பார்ப்போம்:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

இதோ சில ஒத்தவை:

வெளிப்படையாக, இந்த சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை, எனவே இதை பதிலில் எழுதுவோம்:

\[\வர்ணமில்லை\]

அல்லது வேர்கள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2

நாங்கள் அதே செயல்களைச் செய்கிறோம். முதல் படி:

எல்லாவற்றையும் ஒரு மாறியுடன் இடதுபுறமாக நகர்த்துவோம், அது இல்லாமல் - வலதுபுறம்:

இதோ சில ஒத்தவை:

வெளிப்படையாக, இந்த நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு இல்லை, எனவே இதை இவ்வாறு எழுதுவோம்:

\[\varnothing\],

அல்லது வேர்கள் இல்லை.

தீர்வின் நுணுக்கங்கள்

இரண்டு சமன்பாடுகளும் முழுமையாக தீர்க்கப்படுகின்றன. இந்த இரண்டு வெளிப்பாடுகளையும் உதாரணமாகப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், எளிமையான நேரியல் சமன்பாடுகளில் கூட, எல்லாம் அவ்வளவு எளிதல்ல என்று நாங்கள் மீண்டும் நம்பினோம்: ஒன்று, அல்லது எதுவுமில்லை, அல்லது எண்ணற்ற பல வேர்கள் இருக்கலாம். எங்கள் விஷயத்தில், இரண்டு சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொண்டோம், இவை இரண்டும் வெறுமனே வேர்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை.

ஆனால் நான் உங்கள் கவனத்தை மற்றொரு உண்மைக்கு ஈர்க்க விரும்புகிறேன்: அடைப்புக்குறிக்குள் எவ்வாறு வேலை செய்வது மற்றும் அவர்களுக்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் அடையாளம் இருந்தால் அவற்றை எவ்வாறு திறப்பது. இந்த வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

திறப்பதற்கு முன், நீங்கள் எல்லாவற்றையும் "X" ஆல் பெருக்க வேண்டும். தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: பெருக்குகிறது ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட கால. உள்ளே இரண்டு சொற்கள் உள்ளன - முறையே, இரண்டு சொற்கள் மற்றும் பெருக்கல்.

இந்த வெளித்தோற்றத்தில் அடிப்படை, ஆனால் மிக முக்கியமான மற்றும் ஆபத்தான மாற்றங்கள் முடிந்த பின்னரே, அதற்குப் பிறகு ஒரு கழித்தல் அடையாளம் உள்ளது என்ற உண்மையின் பார்வையில் அடைப்புக்குறியைத் திறக்க முடியும். ஆம், ஆம்: இப்போதுதான், மாற்றங்கள் முடிந்ததும், அடைப்புக்குறிகளுக்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் அடையாளம் இருப்பதை நினைவில் கொள்கிறோம், அதாவது கீழே உள்ள அனைத்தும் வெறுமனே அறிகுறிகளை மாற்றுகிறது. அதே நேரத்தில், அடைப்புக்குறிகள் மறைந்துவிடும், மிக முக்கியமாக, முன் "கழித்தல்" கூட மறைந்துவிடும்.

இரண்டாவது சமன்பாட்டிலும் இதைச் செய்கிறோம்:

இந்த சிறிய, முக்கியமற்ற உண்மைகளுக்கு நான் கவனம் செலுத்துவது தற்செயலாக அல்ல. சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எப்போதுமே அடிப்படை மாற்றங்களின் வரிசையாக இருப்பதால், எளிய செயல்களை தெளிவாகவும் திறமையாகவும் செய்ய இயலாமை உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்கள் என்னிடம் வந்து மீண்டும் அத்தகைய எளிய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்கிறார்கள்.

நிச்சயமாக, நீங்கள் இந்த திறன்களை தன்னியக்க நிலைக்கு மேம்படுத்தும் நாள் வரும். ஒவ்வொரு முறையும் நீங்கள் பல மாற்றங்களைச் செய்ய வேண்டியதில்லை, எல்லாவற்றையும் ஒரே வரியில் எழுதுவீர்கள். ஆனால் நீங்கள் கற்றுக் கொண்டிருக்கும் போது, ​​ஒவ்வொரு செயலையும் தனித்தனியாக எழுத வேண்டும்.

இன்னும் சிக்கலான நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

நாம் இப்போது தீர்க்கப் போவதை எளிமையான பணி என்று அழைக்க முடியாது, ஆனால் பொருள் அப்படியே உள்ளது.

பணி எண் 1

\[\இடது(7x+1 \வலது)\இடது(3x-1 \வலது)-21((x)^(2))=3\]

முதல் பகுதியில் உள்ள அனைத்து கூறுகளையும் பெருக்குவோம்:

சில தனியுரிமை செய்வோம்:

இதோ சில ஒத்தவை:

கடைசி படியை முடிப்போம்:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

இங்கே எங்கள் இறுதி பதில். மேலும், தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் இருபடி சார்புடன் குணகங்கள் இருந்தபோதிலும், அவை ஒருவருக்கொருவர் ரத்துசெய்தன, இது சமன்பாட்டை நேரியல் மற்றும் இருபடி அல்ல.

பணி எண் 2

\[\இடது(1-4x \வலது)\இடது(1-3x \வலது)=6x\இடது(2x-1 \வலது)\]

முதல் படியை கவனமாகச் செய்வோம்: முதல் அடைப்புக்குறியிலிருந்து ஒவ்வொரு உறுப்பையும் இரண்டிலிருந்து ஒவ்வொரு தனிமத்தால் பெருக்கவும். மாற்றங்களுக்குப் பிறகு மொத்தம் நான்கு புதிய சொற்கள் இருக்க வேண்டும்:

இப்போது ஒவ்வொரு காலத்திலும் பெருக்கத்தை கவனமாக செய்வோம்:

"X" உடன் உள்ள விதிமுறைகளை இடதுபுறமாகவும், இல்லாதவற்றை வலதுபுறமாகவும் நகர்த்துவோம்:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

இதே போன்ற சொற்கள் இங்கே:

மீண்டும் ஒருமுறை இறுதி விடை கிடைத்துள்ளது.

தீர்வின் நுணுக்கங்கள்

இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பற்றிய மிக முக்கியமான குறிப்பு பின்வருமாறு: ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சொற்களைக் கொண்ட அடைப்புக்குறிகளைப் பெருக்கத் தொடங்கியவுடன், இது பின்வரும் விதியின்படி செய்யப்படுகிறது: முதல் சொல்லிலிருந்து முதல் வார்த்தையை எடுத்து ஒவ்வொரு உறுப்புடன் பெருக்குகிறோம். இரண்டாவது; பின்னர் நாம் முதல் உறுப்பிலிருந்து இரண்டாவது உறுப்பை எடுத்துக் கொள்கிறோம். இதன் விளைவாக, நாங்கள் நான்கு பதவிகளைப் பெறுவோம்.

இயற்கணிதத் தொகை பற்றி

இந்த கடைசி உதாரணத்துடன், இயற்கணிதத் தொகை என்றால் என்ன என்பதை மாணவர்களுக்கு நினைவூட்ட விரும்புகிறேன். கிளாசிக்கல் கணிதத்தில், $1-7$ என்றால், எளிமையான கட்டுமானத்தைக் குறிக்கிறோம்: ஒன்றிலிருந்து ஏழரைக் கழிக்கவும். இயற்கணிதத்தில், நாம் பின்வருவனவற்றைக் குறிக்கிறோம்: "ஒன்று" என்ற எண்ணில் நாம் மற்றொரு எண்ணைச் சேர்க்கிறோம், அதாவது "மைனஸ் ஏழு". ஒரு சாதாரண எண்கணிதத் தொகையிலிருந்து இயற்கணிதத் தொகை இப்படித்தான் வேறுபடுகிறது.

அனைத்து மாற்றங்களையும், ஒவ்வொரு கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் போது, ​​​​மேலே விவரிக்கப்பட்டதைப் போன்ற கட்டுமானங்களைப் பார்க்கத் தொடங்கினால், பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் சமன்பாடுகளுடன் பணிபுரியும் போது இயற்கணிதத்தில் உங்களுக்கு எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது.

இறுதியாக, நாம் இப்போது பார்த்ததை விட சிக்கலானதாக இருக்கும் இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம், அவற்றைத் தீர்க்க, எங்கள் நிலையான வழிமுறையை சற்று விரிவுபடுத்த வேண்டும்.

பின்னங்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

அத்தகைய பணிகளைத் தீர்க்க, எங்கள் வழிமுறையில் மேலும் ஒரு படி சேர்க்க வேண்டும். ஆனால் முதலில், எங்கள் அல்காரிதத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

1. அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும்.
2. தனி மாறிகள்.
3. ஒத்தவற்றைக் கொண்டு வாருங்கள்.
4. விகிதத்தால் வகுக்கவும்.

ஐயோ, இந்த அற்புதமான அல்காரிதம், அதன் அனைத்து செயல்திறனுக்காகவும், நமக்கு முன்னால் பின்னங்கள் இருக்கும்போது முற்றிலும் பொருத்தமானதாக இருக்காது. நாம் கீழே காண்பதில், இரண்டு சமன்பாடுகளிலும் இடது மற்றும் வலது இரண்டிலும் ஒரு பின்னம் உள்ளது.

இந்த வழக்கில் எப்படி வேலை செய்வது? ஆம், இது மிகவும் எளிமையானது! இதைச் செய்ய, நீங்கள் அல்காரிதத்தில் இன்னும் ஒரு படியைச் சேர்க்க வேண்டும், இது முதல் செயலுக்கு முன்னும் பின்னும் செய்யப்படலாம், அதாவது பின்னங்களை அகற்றுவது. எனவே அல்காரிதம் பின்வருமாறு இருக்கும்:

1. பின்னங்களை அகற்றவும்.
2. அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும்.
3. தனி மாறிகள்.
4. ஒத்தவற்றைக் கொண்டு வாருங்கள்.
5. விகிதத்தால் வகுக்கவும்.

"பின்னங்களை அகற்றுவது" என்றால் என்ன? முதல் நிலையான படிக்குப் பிறகும் அதற்கு முன்பும் இதை ஏன் செய்ய முடியும்? உண்மையில், எங்கள் விஷயத்தில், அனைத்து பின்னங்களும் அவற்றின் வகுப்பில் எண்களாக உள்ளன, அதாவது. எல்லா இடங்களிலும் வகுத்தல் என்பது ஒரு எண் மட்டுமே. எனவே, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் இந்த எண்ணால் பெருக்கினால், பின்னங்களிலிருந்து விடுபடுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள பின்னங்களை அகற்றுவோம்:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: எல்லாம் ஒரு முறை "நான்கு" ஆல் பெருக்கப்படுகிறது, அதாவது. உங்களிடம் இரண்டு அடைப்புக்குறிகள் இருப்பதால், ஒவ்வொன்றையும் "நான்கால்" பெருக்க வேண்டும் என்று அர்த்தமல்ல. எழுதுவோம்:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

இப்போது விரிவாக்குவோம்:

மாறியை நாங்கள் ஒதுக்குகிறோம்:

இதே போன்ற சொற்களின் குறைப்பை நாங்கள் செய்கிறோம்:

\[-4x=-1\இடது| :\இடது(-4 \வலது) \வலது.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

இறுதி தீர்வை நாங்கள் பெற்றுள்ளோம், இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

இங்கே நாம் ஒரே மாதிரியான செயல்களைச் செய்கிறோம்:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது.

உண்மையில், இன்று நான் உங்களிடம் சொல்ல விரும்பியது அவ்வளவுதான்.

முக்கிய புள்ளிகள்

முக்கிய கண்டுபிடிப்புகள்:

• நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதத்தை அறிந்து கொள்ளுங்கள்.
• அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கும் திறன்.
• நீங்கள் எங்காவது இருபடி செயல்பாடுகளை வைத்திருந்தால் கவலைப்பட வேண்டாம், மேலும் மாற்றங்களின் செயல்பாட்டில் அவை குறைக்கப்படும்.
• நேரியல் சமன்பாடுகளில் மூன்று வகையான வேர்கள் உள்ளன, எளிமையானவை கூட: ஒரு ஒற்றை ரூட், முழு எண் கோடு ஒரு ரூட், மற்றும் வேர்கள் இல்லை.

இந்த பாடம் அனைத்து கணிதத்தையும் மேலும் புரிந்துகொள்ள எளிய, ஆனால் மிக முக்கியமான தலைப்பில் தேர்ச்சி பெற உதவும் என்று நம்புகிறேன். ஏதாவது தெளிவாக தெரியவில்லை என்றால், தளத்திற்குச் சென்று அங்கு வழங்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கவும். காத்திருங்கள், இன்னும் பல சுவாரஸ்யமான விஷயங்கள் உங்களுக்காகக் காத்திருக்கின்றன!