சமன்பாடுகள்

சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

இந்த பிரிவில் நாம் மிகவும் அடிப்படை சமன்பாடுகளை நினைவுபடுத்துவோம் (அல்லது படிப்பது, நீங்கள் யாரைத் தேர்வு செய்கிறீர்கள் என்பதைப் பொறுத்து). எனவே சமன்பாடு என்ன? மனித அடிப்படையில், இது ஒரு சமமான அடையாளம் மற்றும் அறியப்படாத ஒரு கணித வெளிப்பாடு ஆகும். இது பொதுவாக கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது "எக்ஸ்". சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்- இது x இன் அத்தகைய மதிப்புகளைக் கண்டறிவதாகும், அதற்கு மாற்றாக அசல்வெளிப்பாடு நமக்கு சரியான அடையாளத்தை கொடுக்கும். கணித அறிவில் முற்றிலும் சுமை இல்லாத ஒருவருக்கு கூட அடையாளம் சந்தேகத்திற்கு அப்பாற்பட்ட ஒரு வெளிப்பாடு என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். 2=2, 0=0, ab=ab போன்றவை. எனவே சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?அதை கண்டுபிடிக்கலாம்.

எல்லா வகையான சமன்பாடுகளும் உள்ளன (எனக்கு ஆச்சரியமாக இருக்கிறது, இல்லையா?). ஆனால் அவற்றின் எல்லையற்ற வகைகளை நான்கு வகைகளாக மட்டுமே பிரிக்க முடியும்.

4. மற்ற அனைவரும்.)

மற்ற அனைத்தும், நிச்சயமாக, எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஆம்...) இதில் கன, அதிவேக, மடக்கை, முக்கோணவியல் மற்றும் அனைத்து வகையான பிறவும் அடங்கும். பொருத்தமான பிரிவுகளில் அவர்களுடன் நெருக்கமாகப் பணியாற்றுவோம்.

சில சமயங்களில் முதல் மூன்று வகைகளின் சமன்பாடுகளை நீங்கள் அடையாளம் காண முடியாத அளவுக்கு திருகப்படுகிறது என்று நான் இப்போதே கூறுவேன்... ஒன்றுமில்லை. அவற்றை எவ்வாறு அகற்றுவது என்பதை நாங்கள் கற்றுக்கொள்வோம்.

இந்த நான்கு வகைகள் நமக்கு ஏன் தேவை? பின்னர் என்ன நேரியல் சமன்பாடுகள்ஒரு வழியில் தீர்க்கப்பட்டது சதுரம்மற்றவர்கள், பகுதியளவு பகுத்தறிவுகள் - மூன்றாவது,ஏ ஓய்வுஅவர்களுக்கு சிறிதும் தைரியம் இல்லை! சரி, அவர்களால் முடிவெடுக்க முடியாது என்பதல்ல, நான் கணிதத்தில் தவறு செய்தேன் என்பதுதான்.) அவர்கள் தங்களுடைய சொந்த சிறப்பு நுட்பங்களையும் முறைகளையும் கொண்டுள்ளனர்.

ஆனால் எதற்கும் (நான் மீண்டும் சொல்கிறேன் - க்கு ஏதேனும்!) சமன்பாடுகள் தீர்க்க நம்பகமான மற்றும் தோல்வி-பாதுகாப்பான அடிப்படையை வழங்குகின்றன. எல்லா இடங்களிலும் எப்போதும் வேலை செய்கிறது. இந்த அடித்தளம் - பயமாக இருக்கிறது, ஆனால் இது மிகவும் எளிது. மற்றும் மிகவும் (மிகவும்!)முக்கியமான.

உண்மையில், சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு இந்த மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது. 99% என்ற கேள்விக்கான பதில்: " சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?"இந்த மாற்றங்களில் துல்லியமாக உள்ளது. குறிப்பு தெளிவாக உள்ளதா?)

சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள்.

IN ஏதேனும் சமன்பாடுகள்தெரியாததைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் அசல் உதாரணத்தை மாற்றி எளிமைப்படுத்த வேண்டும். அதனால் தோற்றம் மாறும்போது சமன்பாட்டின் சாராம்சம் மாறவில்லை.இத்தகைய மாற்றங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன ஒரே மாதிரியானஅல்லது அதற்கு சமமான.

இந்த மாற்றங்கள் பொருந்தும் என்பதை நினைவில் கொள்க குறிப்பாக சமன்பாடுகளுக்கு.கணிதத்திலும் அடையாள மாற்றங்கள் உள்ளன வெளிப்பாடுகள்.இது மற்றொரு தலைப்பு.

இப்போது நாம் அனைத்து, அனைத்து, அனைத்து அடிப்படை மீண்டும் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள்.

அடிப்படை, ஏனெனில் அவை பயன்படுத்தப்படலாம் ஏதேனும்சமன்பாடுகள் - நேரியல், இருபடி, பின்னம், முக்கோணவியல், அதிவேக, மடக்கை, முதலியன. முதலியன

முதல் அடையாள மாற்றம்: எந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் நீங்கள் சேர்க்கலாம் (கழித்தல்). ஏதேனும்(ஆனால் ஒன்றுதான்!) எண் அல்லது வெளிப்பாடு (தெரியாத ஒரு வெளிப்பாடு உட்பட!). இது சமன்பாட்டின் சாரத்தை மாற்றாது.

மூலம், நீங்கள் தொடர்ந்து இந்த மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறீர்கள், சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு அடையாள மாற்றத்துடன் சில சொற்களை மாற்றுகிறீர்கள் என்று நினைத்தீர்கள். வகை:

வழக்கு நன்கு தெரிந்ததே, இரண்டையும் வலப்புறமாக நகர்த்துகிறோம், பின் பெறுகிறோம்:

உண்மையில் நீங்கள் எடுத்துச் செல்லப்பட்டதுசமன்பாட்டின் இருபுறமும் இரண்டு. முடிவு ஒன்றே:

x+2 - 2 = 3 - 2

குறியீட்டின் மாற்றத்துடன் சொற்களை இடது மற்றும் வலதுபுறமாக நகர்த்துவது முதல் ஒரே மாதிரியான மாற்றத்தின் சுருக்கப்பட்ட பதிப்பாகும். நமக்கு ஏன் இவ்வளவு ஆழமான அறிவு தேவை? - நீங்கள் கேட்கிறீர்கள். சமன்பாடுகளில் எதுவும் இல்லை. கடவுளின் பொருட்டு, அதை தாங்க. அடையாளத்தை மாற்ற மறக்காதீர்கள். ஆனால் ஏற்றத்தாழ்வுகளில், இடமாற்றம் செய்யும் பழக்கம் ஒரு முட்டுச்சந்திற்கு வழிவகுக்கும்...

இரண்டாவது அடையாள மாற்றம்: சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரே பொருளால் பெருக்கலாம் (வகுக்கலாம்). பூஜ்யம் அல்லாதஎண் அல்லது வெளிப்பாடு. இங்கே புரிந்துகொள்ளக்கூடிய வரம்பு ஏற்கனவே தோன்றுகிறது: பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்குவது முட்டாள்தனமானது, மற்றும் வகுப்பது முற்றிலும் சாத்தியமற்றது. இது போன்ற குளிர்ச்சியான ஒன்றை நீங்கள் தீர்க்கும் போது நீங்கள் பயன்படுத்தும் மாற்றமாகும்

தெளிவாக இருக்கிறது எக்ஸ்= 2. அதை எப்படி கண்டுபிடித்தீர்கள்? தேர்வு மூலம்? அல்லது இப்போதுதான் விடிந்ததா? தேர்வு செய்யாமல், நுண்ணறிவுக்காக காத்திருக்காமல் இருக்க, நீங்கள் நியாயமானவர் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பிரிக்கப்பட்டது 5 ஆல். இடது பக்கத்தை (5x) வகுக்கும் போது, ​​ஐந்து குறைக்கப்பட்டது, தூய X விட்டு. எதுதான் நமக்குத் தேவைப்பட்டது. மேலும் (10) வலது பக்கத்தை ஐந்தால் வகுத்தால், விளைவு நிச்சயமாக இரண்டு.

அவ்வளவுதான்.

இது வேடிக்கையானது, ஆனால் இந்த இரண்டு (இரண்டு மட்டுமே!) ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள் தீர்வின் அடிப்படையாகும் கணிதத்தின் அனைத்து சமன்பாடுகளும்.ஆஹா! என்ன, எப்படி என்பதற்கான உதாரணங்களைப் பார்ப்பது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, இல்லையா?)

சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள். முக்கிய பிரச்சனைகள்.

ஆரம்பிப்போம் முதலில்அடையாள மாற்றம். இடது-வலது இடமாற்றம்.

இளையவர்களுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு.)

பின்வரும் சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

3-2x=5-3x

மந்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம்: "எக்ஸ் உடன் - இடதுபுறம், எக்ஸ் இல்லாமல் - வலதுபுறம்!"இந்த எழுத்துப்பிழை என்பது முதல் அடையாள உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான வழிமுறைகள்.) வலதுபுறத்தில் X உள்ள வெளிப்பாடு என்ன? 3x? பதில் தவறானது! எங்கள் வலதுபுறம் - 3x! கழித்தல்மூன்று x! எனவே, இடதுபுறம் நகரும் போது, ​​குறி பிளஸ் ஆக மாறும். இது மாறிவிடும்:

3-2x+3x=5

எனவே, எக்ஸ் ஒரு குவியலில் சேகரிக்கப்பட்டது. எண்களுக்குள் வருவோம். இடதுபுறம் மூன்று உள்ளது. எந்த அடையாளத்துடன்? "எதுவும் இல்லை" என்ற பதில் ஏற்றுக்கொள்ளப்படவில்லை!) மூன்றுக்கு முன்னால், உண்மையில், எதுவும் வரையப்படவில்லை. மூன்றுக்கும் முன் உள்ளது என்பது இதன் பொருள் கூடுதலாக.எனவே கணிதவியலாளர்கள் ஒப்புக்கொண்டனர். எதுவும் எழுதப்படவில்லை, அதாவது கூடுதலாக.எனவே, மூன்று வலது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படும் ஒரு கழித்தல்.நாங்கள் பெறுகிறோம்:

-2x+3x=5-3

இன்னும் அற்ப விஷயங்கள் மட்டுமே உள்ளன. இடதுபுறத்தில் - ஒத்தவற்றைக் கொண்டு வாருங்கள், வலதுபுறம் - எண்ணுங்கள். பதில் உடனடியாக வருகிறது:

இந்த எடுத்துக்காட்டில், ஒரு அடையாள மாற்றம் போதுமானது. இரண்டாவது தேவையில்லை. சரி, சரி.)

வயதான குழந்தைகளுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு.)

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு இரண்டு வகையான தீர்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

1. மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்பது.
2. கணினி சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) மூலம் கணினியைத் தீர்ப்பது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்காக மாற்று முறை மூலம்நீங்கள் ஒரு எளிய வழிமுறையைப் பின்பற்ற வேண்டும்:
1. எக்ஸ்பிரஸ். எந்த சமன்பாட்டிலிருந்தும் நாம் ஒரு மாறியை வெளிப்படுத்துகிறோம்.
2. மாற்று. வெளிப்படுத்தப்பட்ட மாறிக்கு பதிலாக மற்றொரு சமன்பாட்டில் விளைந்த மதிப்பை மாற்றுகிறோம்.
3. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கவும். அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வைக் காண்கிறோம்.

முடிவு செய்ய கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) முறை மூலம் அமைப்புவேண்டும்:
1. ஒரே மாதிரியான குணகங்களை உருவாக்கும் ஒரு மாறியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
2. சமன்பாடுகளைச் சேர்க்கிறோம் அல்லது கழிக்கிறோம், இதன் விளைவாக ஒரு மாறியுடன் ஒரு சமன்பாடு உருவாகிறது.
3. இதன் விளைவாக வரும் நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வைக் காண்கிறோம்.

அமைப்புக்கான தீர்வு செயல்பாட்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி அமைப்புகளின் தீர்வை விரிவாகக் கருதுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு #1:

மாற்று முறையில் தீர்வு காண்போம்

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

2x+5y=1 (1 சமன்பாடு)
x-10y=3 (2வது சமன்பாடு)

1. எக்ஸ்பிரஸ்
இரண்டாவது சமன்பாட்டில் 1 இன் குணகம் கொண்ட மாறி x இருப்பதைக் காணலாம், அதாவது இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து மாறி x ஐ வெளிப்படுத்துவது எளிதானது.
x=3+10y

2. நாம் அதை வெளிப்படுத்திய பிறகு, x மாறிக்கு பதிலாக முதல் சமன்பாட்டில் 3+10y ஐ மாற்றுவோம்.
2(3+10y)+5y=1

3. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கவும்.
2(3+10y)+5y=1 (அடைப்புக்குறிகளைத் திற)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

சமன்பாடு அமைப்புக்கான தீர்வு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள், எனவே நாம் x மற்றும் y ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், ஏனெனில் வெட்டுப்புள்ளி x மற்றும் y ஐக் கொண்டுள்ளது, அதை வெளிப்படுத்திய முதல் புள்ளியில் y ஐக் கண்டுபிடிப்போம் .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

முதலில் x என்ற மாறியை எழுதும்போது புள்ளிகளை எழுதுவது வழக்கம், இரண்டாவது இடத்தில் y என்ற மாறி.
பதில்: (1; -0.2)

எடுத்துக்காட்டு #2:

கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம்.

கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

3x-2y=1 (1 சமன்பாடு)
2x-3y=-10 (2வது சமன்பாடு)

1. நாம் ஒரு மாறியை தேர்வு செய்கிறோம், x ஐ தேர்வு செய்கிறோம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். முதல் சமன்பாட்டில், மாறி x 3 இன் குணகத்தைக் கொண்டுள்ளது, இரண்டாவது - 2. குணகங்களை ஒரே மாதிரியாக மாற்ற வேண்டும், இதற்காக சமன்பாடுகளைப் பெருக்க அல்லது எந்த எண்ணாலும் வகுக்க உரிமை உண்டு. முதல் சமன்பாட்டை 2 ஆல் பெருக்கி, இரண்டாவது 3 ஆல் பெருக்கி மொத்த குணகம் 6 ஐப் பெறுகிறோம்.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவதாகக் கழிக்கவும்.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x ஐக் கண்டுபிடி. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட y ஐ ஏதேனும் சமன்பாடுகளில் மாற்றுவோம், முதல் சமன்பாட்டில் கூறுவோம்.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

வெட்டுப்புள்ளி x=4.6 ஆக இருக்கும்; y=6.4
பதில்: (4.6; 6.4)

தேர்வுகளுக்கு இலவசமாகத் தயாராக விரும்புகிறீர்களா? ஆன்லைன் ஆசிரியர் இலவசமாக. நகைச்சுவை இல்லை.

I. கோடாரி 2 =0 – முழுமையற்றது இருபடி சமன்பாடு (b=0, c=0 ) தீர்வு: x=0. பதில்: 0.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

தீர்வு.பெருக்குவதன் மூலம் அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம் 2xஅடைப்புக்குறிக்குள் ஒவ்வொரு காலத்திற்கும்:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; விதிமுறைகளை வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கம் நகர்த்துகிறோம்:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; இதே போன்ற சொற்கள் இங்கே:

3x 2 =0, எனவே x=0.

பதில்: 0.

II. கோடாரி 2 +bx=0 –முழுமையற்றது இருபடி சமன்பாடு (c=0 ) தீர்வு: x (ax+b)=0 → x 1 =0 அல்லது ax+b=0 → x 2 =-b/a. பதில்: 0; -b/a.

5x 2 -26x=0.

தீர்வு.பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம் எக்ஸ்அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே:

x(5x-26)=0; ஒவ்வொரு காரணியும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம்:

x=0அல்லது 5x-26=0→ 5x=26, சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் வகுக்கவும் 5 மற்றும் நாம் பெறுகிறோம்: x=5.2.

பதில்: 0; 5,2.

எடுத்துக்காட்டு 3. 64x+4x 2 =0.

தீர்வு.பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம் 4xஅடைப்புக்குறிக்கு வெளியே:

4x(16+x)=0. எங்களிடம் மூன்று காரணிகள் உள்ளன, 4≠0, எனவே, அல்லது x=0அல்லது 16+x=0. கடைசி சமத்துவத்திலிருந்து நாம் x=-16 ஐப் பெறுகிறோம்.

பதில்: -16; 0.

எடுத்துக்காட்டு 4.(x-3) 2 +5x=9.

தீர்வு.இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் வேறுபாட்டின் சதுரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்:

x 2 -6x+9+5x=9; படிவத்திற்கு மாற்றவும்: x 2 -6x+9+5x-9=0; இதே போன்ற சொற்களை முன்வைப்போம்:

x 2 -x=0; நாங்கள் அதை வெளியே எடுப்போம் எக்ஸ்அடைப்புக்குறிகளுக்கு வெளியே, நாம் பெறுகிறோம்: x (x-1)=0. இங்கிருந்து அல்லது x=0அல்லது x-1=0→ x=1.

பதில்: 0; 1.

III. கோடாரி 2 +c=0 –முழுமையற்றது இருபடி சமன்பாடு (b=0 ); தீர்வு: கோடாரி 2 =-c → x 2 =-c/a.

என்றால் (-c/a)<0 , பின்னர் உண்மையான வேர்கள் இல்லை. என்றால் (-с/а)>0

எடுத்துக்காட்டு 5. x 2 -49=0.

தீர்வு.

x 2 =49, இங்கிருந்து x=±7. பதில்:-7; 7.

எடுத்துக்காட்டு 6. 9x 2 -4=0.

தீர்வு.

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை (x 1 2 +x 2 2) அல்லது கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை (x 1 3 +x 2 3) அடிக்கடி நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், குறைவாக அடிக்கடி - பரஸ்பர மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை வேர்களின் சதுரங்கள் அல்லது இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்கணித வர்க்க வேர்களின் கூட்டுத்தொகை:

வியட்டாவின் தேற்றம் இதற்கு உதவும்:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

வெளிப்படுத்துவோம் மூலம் பமற்றும் கே:

1) சமன்பாட்டின் வேர்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை x 2 +px+q=0;

2) சமன்பாட்டின் வேர்களின் கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை x 2 +px+q=0.

தீர்வு.

1) வெளிப்பாடு x 1 2 +x 2 2சமன்பாட்டின் இருபுறமும் சதுரப்படுத்துவதன் மூலம் பெறப்பட்டது x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும்: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; தேவையான தொகையை வெளிப்படுத்துகிறோம்: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. பயனுள்ள சமத்துவத்தைப் பெற்றுள்ளோம்: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) வெளிப்பாடு x 1 3 +x 2 3சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிப்பிடுவோம்:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

மற்றொரு பயனுள்ள சமன்பாடு: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

எடுத்துக்காட்டுகள்.

3) x 2 -3x-4=0.சமன்பாட்டைத் தீர்க்காமல், வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள் x 1 2 +x 2 2.

தீர்வு.

x 1 +x 2 =-p=3,மற்றும் வேலை x 1 ∙x 2 =q=உதாரணம் 1) சமத்துவம்:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.எங்களிடம் உள்ளது -ப=x 1 +x 2 = 3 → ப 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. பிறகு x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

பதில்: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0.கணக்கிடு: x 1 3 +x 2 3 .

தீர்வு.

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, இந்த குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x 1 +x 2 =-p=2,மற்றும் வேலை x 1 ∙x 2 =q=-4. நாம் பெற்றதைப் பயன்படுத்துவோம் ( உதாரணம் 2) சமத்துவம்: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

பதில்: x 1 3 +x 2 3 =32.

கேள்வி: குறைக்கப்படாத இருபடிச் சமன்பாடு நமக்குக் கொடுக்கப்பட்டால் என்ன செய்வது? பதில்: முதல் குணகத்தால் காலத்தால் காலத்தை வகுப்பதன் மூலம் எப்போதும் "குறைக்கப்படலாம்".

5) 2x 2 -5x-7=0.தீர்மானிக்காமல், கணக்கிடுங்கள்: x 1 2 +x 2 2.

தீர்வு.எங்களுக்கு ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் வகுத்து (முதல் குணகம்) பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறவும்: x 2 -2.5x-3.5=0.

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் 2,5 ; வேர்களின் தயாரிப்பு சமம் -3,5 .

உதாரணத்தைப் போலவே நாங்கள் அதைத் தீர்க்கிறோம் 3) சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

பதில்: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0.கண்டுபிடி:

இந்த சமத்துவத்தை மாற்றி, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, வேர்களின் கூட்டுத்தொகையை மாற்றுவோம் -ப, மற்றும் மூலம் வேர்கள் தயாரிப்பு கே, மற்றொரு பயனுள்ள சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். சூத்திரத்தைப் பெறும்போது, ​​சமத்துவம் 1 ஐப் பயன்படுத்தினோம்: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

எங்கள் உதாரணத்தில் x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரத்தில் இந்த மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம்:

7) x 2 -13x+36=0.கண்டுபிடி:

இந்தக் கூட்டுத்தொகையை மாற்றி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களிலிருந்து எண்கணித வர்க்கமூலங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியப் பயன்படும் சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்.

எங்களிடம் உள்ளது x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரத்தில் இந்த மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம்:

ஆலோசனை : பொருத்தமான முறையைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சாத்தியத்தை எப்போதும் சரிபார்க்கவும் 4 மதிப்பாய்வு செய்யப்பட்டது பயனுள்ள சூத்திரங்கள்ஒரு பணியை விரைவாக முடிக்க உங்களை அனுமதிக்கும், குறிப்பாக பாகுபாடு "சங்கடமான" எண்ணாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில். அனைத்து எளிய நிகழ்வுகளிலும், வேர்களைக் கண்டுபிடித்து அவற்றை இயக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, கடைசி எடுத்துக்காட்டில், வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்க வேண்டும். 13 , மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு 36 . இந்த எண்கள் என்ன? நிச்சயமாக, 4 மற்றும் 9.இப்போது இந்த எண்களின் வர்க்க மூலங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுங்கள்: 2+3=5. அவ்வளவுதான்!

I. வியட்டாவின் தேற்றம்குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கு.

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x 2 +px+q=0எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம், மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம்:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1) x 2 -x-30=0.இது குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு ஆகும் ( x 2 +px+q=0), இரண்டாவது குணகம் ப=-1, மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=-30.முதலில், இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருப்பதையும், வேர்கள் (ஏதேனும் இருந்தால்) முழு எண்களில் வெளிப்படுத்தப்படுவதையும் உறுதி செய்வோம். இதைச் செய்ய, பாகுபாடு ஒரு முழு எண்ணின் சரியான சதுரமாக இருந்தால் போதும்.

பாகுபாடு காண்பவரைக் கண்டறிதல் டி=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

இப்போது, ​​வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது. ( -ப), மற்றும் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம், அதாவது. ( கே) பிறகு:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.அவற்றின் தயாரிப்பு சமமாக இருக்கும் இரண்டு எண்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் -30 , மற்றும் தொகை அலகு. இவை எண்கள் -5 மற்றும் 6 . பதில்: -5; 6.

எடுத்துக்காட்டு 2) x 2 +6x+8=0.இரண்டாவது குணகத்துடன் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடு எங்களிடம் உள்ளது ப=6மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=8. முழு எண் வேர்கள் இருப்பதை உறுதி செய்வோம். பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் டி 1 டி 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . பாரபட்சமான D 1 என்பது எண்ணின் சரியான சதுரம் 1 , அதாவது இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்கள். வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்போம்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் –р=-6, மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு சமம் q=8. இவை எண்கள் -4 மற்றும் -2 .

உண்மையில்: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=கே. பதில்: -4; -2.

எடுத்துக்காட்டு 3) x 2 +2x-4=0. இந்த குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டில், இரண்டாவது குணகம் ப=2, மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=-4. பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் டி 1, இரண்டாவது குணகம் இரட்டை எண் என்பதால். டி 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. பாகுபாடு என்பது எண்ணின் சரியான சதுரம் அல்ல, எனவே நாங்கள் செய்கிறோம் முடிவு: இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்கள் அல்ல மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்க முடியாது.இதன் பொருள், இந்த சமன்பாட்டை வழக்கம் போல், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (இந்த விஷயத்தில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி) தீர்க்கிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4).இருபடி சமன்பாட்டை அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி எழுதவும் x 1 =-7, x 2 =4.

தீர்வு.தேவையான சமன்பாடு படிவத்தில் எழுதப்படும்: x 2 +px+q=0, மற்றும், வியட்டாவின் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → ப=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: x 2 +3x-28=0.

எடுத்துக்காட்டு 5).ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி எழுதவும்:

II. வியட்டாவின் தேற்றம்ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிற்கு கோடாரி 2 +bx+c=0.

வேர்களின் கூட்டுத்தொகை கழித்தல் பி, வகுத்தல் ஏ, வேர்களின் தயாரிப்பு சமம் உடன், வகுத்தல் A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

எடுத்துக்காட்டு 6).இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும் 2x 2 -7x-11=0.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருக்கும் என்பதை உறுதி செய்கிறோம். இதைச் செய்ய, பாகுபாடு காட்டுபவர்களுக்கு ஒரு வெளிப்பாட்டை உருவாக்கினால் போதும், அதைக் கணக்கிடாமல், பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருப்பதை உறுதிப்படுத்தவும். டி=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . இப்போது பயன்படுத்துவோம் தேற்றம் வியட்டாமுழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

எடுத்துக்காட்டு 7). இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் பலனைக் கண்டறியவும் 3x 2 +8x-21=0.

தீர்வு.

பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் டி 1, இரண்டாவது குணகம் முதல் ( 8 ) என்பது இரட்டை எண். டி 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . இருபடி சமன்பாடு உள்ளது 2 ரூட், வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, வேர்களின் தயாரிப்பு x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. கோடாரி 2 +bx+c=0- பொது இருபடி சமன்பாடு

பாகுபாடு காட்டுபவர் D=b 2 - 4ac.

என்றால் D>0, எங்களுக்கு இரண்டு உண்மையான வேர்கள் உள்ளன:

என்றால் D=0, பின்னர் எங்களிடம் ஒரு ஒற்றை வேர் உள்ளது (அல்லது இரண்டு சம வேர்கள்) x=-b/(2a).

டி என்றால்<0, то действительных корней нет.

உதாரணம் 1) 2x 2 +5x-3=0.

தீர்வு. அ=2; பி=5; c=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 உண்மையான வேர்கள்.

4x 2 +21x+5=0.

தீர்வு. அ=4; பி=21; c=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 உண்மையான வேர்கள்.

II. கோடாரி 2 +bx+c=0 – குறிப்பிட்ட வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டாவது கூட

குணகம் பி

உதாரணம் 3) 3x 2 -10x+3=0.

தீர்வு. அ=3; பி=-10 (இரட்டை எண்); c=3.

எடுத்துக்காட்டு 4) 5x 2 -14x-3=0.

தீர்வு. அ=5; பி= -14 (இரட்டை எண்); c=-3.

எடுத்துக்காட்டு 5) 71x 2 +144x+4=0.

தீர்வு. அ=71; பி=144 (இரட்டை எண்); c=4.

எடுத்துக்காட்டு 6) 9x 2 -30x+25=0.

தீர்வு. அ=9; பி=-30 (இரட்டை எண்); c=25.

III. கோடாரி 2 +bx+c=0 – இருபடி சமன்பாடு தனிப்பட்ட வகை வழங்கப்படுகிறது: a-b+c=0.

முதல் ரூட் எப்பொழுதும் கழித்தல் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும், இரண்டாவது ரூட் எப்பொழுதும் மைனஸுக்கு சமமாக இருக்கும் உடன், வகுத்தல் ஏ:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

எடுத்துக்காட்டு 7) 2x 2 +9x+7=0.

தீர்வு. அ=2; பி=9; c=7. சமத்துவத்தை சரிபார்க்கலாம்: a-b+c=0.நாங்கள் பெறுகிறோம்: 2-9+7=0 .

பிறகு x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3.5.பதில்: -1; -3,5.

IV. கோடாரி 2 +bx+c=0 – ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்தின் இருபடி சமன்பாடு உட்பட்டது : a+b+c=0.

முதல் வேர் எப்போதும் ஒன்றுக்கு சமம், இரண்டாவது வேர் சமம் உடன், வகுத்தல் ஏ:

x 1 =1, x 2 =c/a.

எடுத்துக்காட்டு 8) 2x 2 -9x+7=0.

தீர்வு. அ=2; பி=-9; c=7. சமத்துவத்தை சரிபார்க்கலாம்: a+b+c=0.நாங்கள் பெறுகிறோம்: 2-9+7=0 .

பிறகு x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3.5.பதில்: 1; 3,5.

பக்கம் 1 இல் 1 1

கணிதத்தை தீர்க்க. சீக்கிரம் கண்டுபிடி ஒரு கணித சமன்பாட்டை தீர்க்கிறதுமுறையில் ஆன்லைன். www.site என்ற இணையதளம் அனுமதிக்கிறது சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்கிட்டத்தட்ட ஏதேனும் கொடுக்கப்பட்டவை இயற்கணிதம், முக்கோணவியல்அல்லது ஆழ்நிலை சமன்பாடு ஆன்லைன். வெவ்வேறு நிலைகளில் கணிதத்தின் எந்தப் பிரிவையும் படிக்கும்போது நீங்கள் முடிவு செய்ய வேண்டும் ஆன்லைன் சமன்பாடுகள். உடனடியாக ஒரு பதிலைப் பெறவும், மிக முக்கியமாக துல்லியமான பதிலைப் பெறவும், இதைச் செய்ய உங்களை அனுமதிக்கும் ஆதாரம் உங்களுக்குத் தேவை. www.site தளத்திற்கு நன்றி ஆன்லைனில் சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்சில நிமிடங்கள் எடுக்கும். கணிதத்தை தீர்க்கும் போது www.site இன் முக்கிய நன்மை ஆன்லைன் சமன்பாடுகள்- இது வழங்கப்பட்ட பதிலின் வேகம் மற்றும் துல்லியம். தளம் எதையும் தீர்க்க முடியும் ஆன்லைனில் இயற்கணித சமன்பாடுகள், முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் ஆன்லைன், ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள் ஆன்லைன், மேலும் சமன்பாடுகள்பயன்முறையில் தெரியாத அளவுருக்கள் ஆன்லைன். சமன்பாடுகள்ஒரு சக்திவாய்ந்த கணித கருவியாக செயல்படும் தீர்வுகள்நடைமுறை சிக்கல்கள். உதவியுடன் கணித சமன்பாடுகள்முதல் பார்வையில் குழப்பமானதாகவும் சிக்கலானதாகவும் தோன்றும் உண்மைகள் மற்றும் உறவுகளை வெளிப்படுத்துவது சாத்தியமாகும். அறியப்படாத அளவுகள் சமன்பாடுகள்சிக்கலை உருவாக்குவதன் மூலம் கண்டுபிடிக்க முடியும் கணிதவியல்வடிவத்தில் மொழி சமன்பாடுகள்மற்றும் முடிவு செய்யுங்கள்முறையில் பணியைப் பெற்றார் ஆன்லைன் www.site என்ற இணையதளத்தில். ஏதேனும் இயற்கணித சமன்பாடு, முக்கோணவியல் சமன்பாடுஅல்லது சமன்பாடுகள்கொண்டிருக்கும் ஆழ்நிலைநீங்கள் எளிதாக செய்யக்கூடிய அம்சங்கள் முடிவு செய்யுங்கள்ஆன்லைன் மற்றும் சரியான பதில் கிடைக்கும். இயற்கை அறிவியலைப் படிக்கும்போது, ​​நீங்கள் தவிர்க்க முடியாமல் தேவையை எதிர்கொள்கிறீர்கள் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. இந்த வழக்கில், பதில் துல்லியமாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் பயன்முறையில் உடனடியாகப் பெறப்பட வேண்டும் ஆன்லைன். எனவே கணித சமன்பாடுகளை ஆன்லைனில் தீர்க்கிறது www.site என்ற தளத்தை நாங்கள் பரிந்துரைக்கிறோம், இது உங்கள் இன்றியமையாத கால்குலேட்டராக மாறும் இயற்கணித சமன்பாடுகளை ஆன்லைனில் தீர்க்கவும், முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் ஆன்லைன், மேலும் ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள் ஆன்லைன்அல்லது சமன்பாடுகள்அறியப்படாத அளவுருக்களுடன். பல்வேறு வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான நடைமுறைச் சிக்கல்களுக்கு கணித சமன்பாடுகள்வள www.. தீர்வு ஆன்லைன் சமன்பாடுகள்நீங்களே, பெறப்பட்ட பதிலைப் பயன்படுத்தி சரிபார்ப்பது பயனுள்ளது ஆன்லைன் சமன்பாடு தீர்வு www.site என்ற இணையதளத்தில். நீங்கள் சமன்பாட்டை சரியாக எழுதி உடனடியாக பெற வேண்டும் ஆன்லைன் தீர்வு, அதன் பிறகு சமன்பாட்டிற்கான உங்கள் தீர்வுடன் பதிலை ஒப்பிட்டுப் பார்ப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. பதிலைச் சரிபார்க்க ஒரு நிமிடத்திற்கு மேல் ஆகாது, அது போதும் சமன்பாட்டை ஆன்லைனில் தீர்க்கவும்மற்றும் பதில்களை ஒப்பிடவும். இது தவறுகளைத் தவிர்க்க உதவும் முடிவுமற்றும் சரியான நேரத்தில் பதிலை சரிசெய்யவும் ஆன்லைனில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுஅது இருக்கும் இயற்கணிதம், முக்கோணவியல், ஆழ்நிலைஅல்லது சமன்பாடுஅறியப்படாத அளவுருக்களுடன்.

7ம் வகுப்பு கணித பாடத்தில், முதல்முறையாக சந்திக்கிறோம் இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகள், ஆனால் அவை இரண்டு அறியப்படாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் சூழலில் மட்டுமே ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. அதனால்தான், சமன்பாட்டின் குணகங்களில் சில நிபந்தனைகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட சிக்கல்களின் முழுத் தொடர் பார்வையில் இருந்து விழுகிறது. கூடுதலாக, "இயற்கை அல்லது முழு எண்களில் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்" போன்ற சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளும் புறக்கணிக்கப்படுகின்றன, இருப்பினும் இதுபோன்ற சிக்கல்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுப் பொருட்கள் மற்றும் நுழைவுத் தேர்வுகளில் அடிக்கடி காணப்படுகின்றன.

எந்த சமன்பாடு இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடுகள் 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, அல்லது xy = 12 இரண்டு மாறிகளில் உள்ள சமன்பாடுகள்.

2x – y = 1 என்ற சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இது x = 2 மற்றும் y = 3 ஆக இருக்கும்போது உண்மையாகிறது, எனவே இந்த ஜோடி மாறி மதிப்புகள் கேள்விக்குரிய சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாகும்.

எனவே, இரண்டு மாறிகள் கொண்ட எந்த சமன்பாட்டிற்கும் தீர்வு என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் தொகுப்பாகும் (x; y), இந்த சமன்பாட்டை உண்மையான எண் சமத்துவமாக மாற்றும் மாறிகளின் மதிப்புகள்.

அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகள்:

A) ஒரு தீர்வு வேண்டும்.எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு x 2 + 5y 2 = 0 ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது (0; 0);

b) பல தீர்வுகள் உள்ளன.எடுத்துக்காட்டாக, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) தீர்வுகள் இல்லை.எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு x 2 + y 2 + 1 = 0 தீர்வுகள் இல்லை;

ஜி) எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.எடுத்துக்காட்டாக, x + y = 3. இந்தச் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள், கூட்டுத்தொகை 3க்கு சமமான எண்களாக இருக்கும். இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பை வடிவத்தில் (k; 3 – k) எழுதலாம், இதில் k என்பது உண்மையானது. எண்.

இரண்டு மாறிகள் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய முறைகள் காரணி வெளிப்பாடுகளின் அடிப்படையிலான முறைகள், ஒரு முழுமையான சதுரத்தை தனிமைப்படுத்துதல், இருபடி சமன்பாட்டின் பண்புகள், வரையறுக்கப்பட்ட வெளிப்பாடுகள் மற்றும் மதிப்பீட்டு முறைகள். சமன்பாடு பொதுவாக ஒரு வடிவமாக மாற்றப்படுகிறது, அதில் இருந்து தெரியாதவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு அமைப்பைப் பெறலாம்.

காரணியாக்கம்

எடுத்துக்காட்டு 1.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: xy – 2 = 2x – y.

தீர்வு.

காரணியாக்கலின் நோக்கத்திற்காக நாங்கள் விதிமுறைகளை தொகுக்கிறோம்:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலிருந்தும் நாம் ஒரு பொதுவான காரணியை எடுக்கிறோம்:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. எங்களிடம் உள்ளது:

y = 2, x – ஏதேனும் உண்மையான எண் அல்லது x = -1, y – ஏதேனும் உண்மையான எண்.

இவ்வாறு, பதில் படிவத்தின் அனைத்து ஜோடிகளும் (x; 2), x € R மற்றும் (-1; y), y € R.

பூஜ்ஜியத்திற்கு எதிர்மறை எண்களின் சமத்துவம்

எடுத்துக்காட்டு 2.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

தீர்வு.

குழுவாக்கம்:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. இப்போது ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியையும் வர்க்க வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மடிக்கலாம்.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

3x – 2 = 0 மற்றும் 2y – 3 = 0 ஆகிய இரண்டு எதிர்மறை வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாகும்.

இதன் பொருள் x = 2/3 மற்றும் y = 3/2.

பதில்: (2/3; 3/2).

மதிப்பீட்டு முறை

எடுத்துக்காட்டு 3.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

தீர்வு.

ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலும் ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்:

((x + 1) 2 + 1)((y - 2) 2 + 2) = 2. மதிப்பிடுவோம் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடுகளின் பொருள்.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 மற்றும் (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, பின்னர் சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் எப்போதும் குறைந்தது 2. சமத்துவம் சாத்தியம் என்றால்:

(x + 1) 2 + 1 = 1 மற்றும் (y – 2) 2 + 2 = 2, அதாவது x = -1, y = 2.

பதில்: (-1; 2).

இரண்டாவது பட்டத்தின் இரண்டு மாறிகள் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மற்றொரு முறையைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். இந்த முறை சமன்பாட்டைக் கையாளுவதைக் கொண்டுள்ளது சில மாறிகளைப் பொறுத்து சதுரம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

தீர்வு.

சமன்பாட்டை xக்கான இருபடிச் சமன்பாடாகத் தீர்ப்போம். பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . சமன்பாடு D = 0, அதாவது y = 4 எனில் மட்டுமே தீர்வு கிடைக்கும். அசல் சமன்பாட்டில் y இன் மதிப்பை மாற்றி x = 3 என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பதில்: (3; 4).

பெரும்பாலும் இரண்டு அறியப்படாத சமன்பாடுகளில் அவை குறிப்பிடுகின்றன மாறிகள் மீதான கட்டுப்பாடுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 5.

சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

தீர்வு.

சமன்பாட்டை x 2 = -5y 2 + 20x + 2 வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம். 5 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் 2 ஐ அளிக்கிறது. எனவே, x 2 ஐ 5 ஆல் வகுக்க முடியாது. ஆனால் a இன் வர்க்கம் 5 ஆல் வகுபடாத எண் 1 அல்லது 4 இன் மீதியை அளிக்கிறது. எனவே, சமத்துவம் சாத்தியமற்றது மற்றும் தீர்வுகள் இல்லை.

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 6.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

தீர்வு.

ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலும் முழுமையான சதுரங்களை முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் எப்போதும் 3 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். சமத்துவம் வழங்கப்படுவது சாத்தியம் |x| – 2 = 0 மற்றும் y + 3 = 0. எனவே, x = ± 2, y = -3.

பதில்: (2; -3) மற்றும் (-2; -3).

எடுத்துக்காட்டு 7.

சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒவ்வொரு ஜோடி எதிர்மறை முழு எண்களுக்கும் (x;y).
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, தொகையைக் கணக்கிடவும் (x + y). உங்கள் பதிலில் சிறிய தொகையைக் குறிப்பிடவும்.

தீர்வு.

முழுமையான சதுரங்களைத் தேர்ந்தெடுப்போம்:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x மற்றும் y ஆகியவை முழு எண்களாக இருப்பதால், அவற்றின் சதுரங்களும் முழு எண்களாகும். 1 + 36ஐ கூட்டினால் இரண்டு முழு எண்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை 37 க்கு சமமாக கிடைக்கும். எனவே:

(x – y) 2 = 36 மற்றும் (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 மற்றும் (y + 2) 2 = 36.

இந்த அமைப்புகளைத் தீர்த்து, x மற்றும் y எதிர்மறையாக இருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, தீர்வுகளைக் காண்கிறோம்: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

பதில்:-17.

தெரியாத இரண்டு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் உங்களுக்கு சிரமம் இருந்தால் விரக்தியடைய வேண்டாம். ஒரு சிறிய பயிற்சி மூலம், நீங்கள் எந்த சமன்பாட்டையும் கையாளலாம்.

இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா? இரண்டு மாறிகளில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எப்படி என்று தெரியவில்லையா?
ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.
முதல் பாடம் இலவசம்!

இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​அசல் மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.