ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சமம். முக்கோணக் கோணத் தொகை தேற்றம்

தேற்றம். ஒரு முக்கோணத்தின் உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்.

சில முக்கோண ABC ஐ எடுத்துக் கொள்வோம் (படம் 208). அதன் உள் கோணங்களை எண்கள் 1, 2 மற்றும் 3 மூலம் குறிப்போம். அதை நிரூபிப்போம்

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

முக்கோணத்தின் சில உச்சியை வரைவோம், எடுத்துக்காட்டாக B, AC க்கு இணையான MN என்ற நேர்கோடு.

B உச்சியில் மூன்று கோணங்களைப் பெற்றோம்: ∠4, ∠2 மற்றும் ∠5. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை நேரான கோணம், எனவே இது 180°க்கு சமம்:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

ஆனால் ∠4 = ∠1 என்பது எம்என் மற்றும் ஏசி மற்றும் செகண்ட் ஏபி ஆகியவற்றுடன் இணையான கோடுகளுடன் உள் குறுக்கு கோணங்களாகும்.

∠5 = ∠3 - இவை இணையான கோடுகள் MN மற்றும் AC மற்றும் செகண்ட் BC கொண்ட உள் குறுக்கு கோணங்கள்.

அதாவது ∠4 மற்றும் ∠5 ஐ அவற்றின் சமமான ∠1 மற்றும் ∠3 ஆல் மாற்றலாம்.

எனவே, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

2. ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புற கோணத்தின் சொத்து.

தேற்றம். ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம், அதற்கு அருகில் இல்லாத இரண்டு உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

உண்மையில், ABC முக்கோணத்தில் (படம். 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ஆனால் ∠ВСD, இந்த முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம், ∠1 மற்றும் ∠2 க்கு அருகில் இல்லை, 180°க்கு சமம். - ∠3 .

இவ்வாறு:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

எனவே, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணத்தின் பெறப்பட்ட பண்பு, ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணத்தில் முன்னர் நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தின் உள்ளடக்கத்தை தெளிவுபடுத்துகிறது, இது ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணமானது முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு உள் கோணத்தையும் விட அதிகமாக இருப்பதாக மட்டுமே கூறுகிறது; வெளிப்புறக் கோணம், அதனுடன் இல்லாத இரு உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பது இப்போது நிறுவப்பட்டுள்ளது.

3. 30° கோணம் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் சொத்து.

தேற்றம். 30° கோணத்திற்கு எதிரே அமைந்துள்ள ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால், ஹைப்போடென்யூஸின் பாதிக்கு சமம்.

வலது முக்கோண ACB இல் உள்ள கோணம் B 30°க்கு சமமாக இருக்கட்டும் (படம் 210). பின்னர் அதன் மற்ற தீவிர கோணம் 60°க்கு சமமாக இருக்கும்.

லெக் ஏசி பாதி ஹைப்போடென்யூஸ் ஏபிக்கு சமம் என்பதை நிரூபிப்போம். லெக் ஏசியை வலது கோணம் சியின் உச்சிக்கு அப்பால் நீட்டி, ஏசி பிரிவுக்கு சமமான செக்மென்ட் சிஎம்மை ஒதுக்குவோம். புள்ளி M ஐ புள்ளி B உடன் இணைப்போம். இதன் விளைவாக வரும் முக்கோணம் ВСМ முக்கோண ACB க்கு சமம். ABM முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு கோணமும் 60°க்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், எனவே இந்த முக்கோணம் ஒரு சமபக்க முக்கோணமாகும்.

லெக் ஏசி அரை ஏஎம்க்கு சமம், ஏஎம் என்பது ஏபிக்கு சமம் என்பதால், லெக் ஏசி பாதி ஹைப்போடென்யூஸ் ஏபிக்கு சமமாக இருக்கும்.

இலக்குகள் மற்றும் நோக்கங்கள்:

கல்வி:

• முக்கோணத்தைப் பற்றிய அறிவை மீண்டும் செய்யவும் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தவும்;
• ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் தேற்றத்தை நிரூபிக்கவும்;
• தேற்றத்தின் உருவாக்கத்தின் சரியான தன்மையை நடைமுறையில் சரிபார்க்கவும்;
• சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது பெற்ற அறிவைப் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

கல்வி:

• வடிவியல் சிந்தனை, பாடத்தில் ஆர்வம், மாணவர்களின் அறிவாற்றல் மற்றும் ஆக்கபூர்வமான செயல்பாடு, கணித பேச்சு மற்றும் சுயாதீனமாக அறிவைப் பெறும் திறன் ஆகியவற்றை உருவாக்குதல்.

கல்வி:

• உறுதி, விடாமுயற்சி, துல்லியம் மற்றும் ஒரு குழுவில் பணிபுரியும் திறன் போன்ற மாணவர்களின் தனிப்பட்ட குணங்களை உருவாக்குதல்.

உபகரணங்கள்:மல்டிமீடியா ப்ரொஜெக்டர், வண்ண காகிதத்தால் செய்யப்பட்ட முக்கோணங்கள், கல்வி வளாகம் "வாழும் கணிதம்", கணினி, திரை.

ஆயத்த நிலை:"ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை" என்ற தேற்றம் பற்றிய வரலாற்றுக் குறிப்பைத் தயாரிக்கும் பணியை ஆசிரியர் மாணவருக்கு வழங்குகிறார்.

பாடம் வகை: புதிய பொருள் கற்றல்.

பாடம் முன்னேற்றம்

I. நிறுவன தருணம்

வாழ்த்துக்கள். வேலை செய்வதற்கான மாணவர்களின் உளவியல் அணுகுமுறை.

II. வார்ம்-அப்

முந்தைய பாடங்களில் வடிவியல் உருவம் "முக்கோணம்" பற்றி நன்கு அறிந்தோம். முக்கோணத்தைப் பற்றி நமக்குத் தெரிந்ததை மீண்டும் சொல்கிறோமா?

மாணவர்கள் குழுக்களாக வேலை செய்கிறார்கள். ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புகொள்வதற்கான வாய்ப்பு அவர்களுக்கு வழங்கப்படுகிறது, ஒவ்வொன்றும் அறிவாற்றல் செயல்முறையை சுயாதீனமாக உருவாக்க.

என்ன நடந்தது? ஒவ்வொரு குழுவும் தங்கள் திட்டங்களை முன்வைக்கின்றன, ஆசிரியர் அவற்றை பலகையில் எழுதுகிறார். முடிவுகள் விவாதிக்கப்படுகின்றன:

படம் 1

III. பாடத்தின் நோக்கத்தை உருவாக்குதல்

எனவே, முக்கோணத்தைப் பற்றி நமக்கு ஏற்கனவே நிறைய தெரியும். ஆனால் அனைத்து இல்லை. நீங்கள் ஒவ்வொருவருக்கும் உங்கள் மேசையில் முக்கோணங்கள் மற்றும் ப்ரொட்ராக்டர்கள் உள்ளன. நாங்கள் என்ன மாதிரியான பிரச்சனையை உருவாக்க முடியும் என்று நினைக்கிறீர்கள்?

மாணவர்கள் பாடத்தின் பணியை உருவாக்குகிறார்கள் - ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய.

IV. புதிய பொருள் விளக்கம்

நடைமுறை பகுதி(அறிவு மற்றும் சுய அறிவு திறன்களை மேம்படுத்துகிறது). உங்கள் நோட்புக்கில் முடிவுகளை எழுதுங்கள் (பெறப்பட்ட பதில்களைக் கேளுங்கள்). ஒவ்வொருவருக்கும் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டது என்பதை நாங்கள் கண்டறிந்துள்ளோம் (இது நிகழலாம், ஏனெனில் ப்ரோட்ராக்டர் துல்லியமாகப் பயன்படுத்தப்படவில்லை, கணக்கீடு கவனக்குறைவாக மேற்கொள்ளப்பட்டது போன்றவை).

புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகளுடன் மடித்து, ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறு எதற்கு சமம் என்பதைக் கண்டறியவும்:

A)
படம் 2

b)
படம் 3

V)
படம் 4

ஜி)
படம் 5

ஈ)
படம் 6

நடைமுறைப் பணியை முடித்த பிறகு, மாணவர்கள் பதிலை உருவாக்குகிறார்கள்: முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை விரிந்த கோணத்தின் டிகிரி அளவிற்கு சமம், அதாவது 180°.

ஆசிரியர்: கணிதத்தில், நடைமுறை வேலை ஒருவித அறிக்கையை மட்டுமே சாத்தியமாக்குகிறது, ஆனால் அது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும். ஆதாரத்தின் மூலம் உறுதிப்படுத்தப்பட்ட ஒரு அறிக்கை தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நாம் என்ன தேற்றத்தை உருவாக்கி நிரூபிக்க முடியும்?

மாணவர்கள்: ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரி ஆகும்.

வரலாற்று தகவல்கள்:ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை பண்டைய எகிப்தில் நிறுவப்பட்டது. நவீன பாடப்புத்தகங்களில் உள்ள ஆதாரம், யூக்ளிடின் கூறுகள் பற்றிய ப்ரோக்லஸின் விளக்கத்தில் உள்ளது. இந்த ஆதாரம் (படம் 8) பித்தகோரியர்களால் (கிமு 5 ஆம் நூற்றாண்டு) கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்று ப்ரோக்லஸ் கூறுகிறார். தனிமங்களின் முதல் புத்தகத்தில், யூக்ளிட் ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் தேற்றத்தின் மற்றொரு ஆதாரத்தை அமைக்கிறார், இது வரைபடத்தின் உதவியுடன் புரிந்து கொள்ள எளிதானது (படம் 7):

படம் 7

படம் 8

வரைபடங்கள் ஒரு ப்ரொஜெக்டர் மூலம் திரையில் காட்டப்படும்.

வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி தேற்றத்தை நிரூபிக்க ஆசிரியர் முன்வருகிறார்.

பின்னர் "வாழும் கணிதம்" கற்பித்தல் மற்றும் கற்றல் வளாகத்தைப் பயன்படுத்தி ஆதாரம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.. ஆசிரியர் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை கணினியில் முன்வைக்கிறார்.

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றம்: "ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180°"

படம் 9

ஆதாரம்:

A)

படம் 10

b)

படம் 11

V)

படம் 12

மாணவர்கள் தங்கள் குறிப்பேடுகளில் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை சுருக்கமாகக் குறிப்பிடுகிறார்கள்:

தேற்றம்:ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்.

படம் 13

கொடுக்கப்பட்டது:Δ ஏபிசி

நிரூபிக்க: A + B + C = 180°.

ஆதாரம்:

என்ன நிரூபிக்க வேண்டும்.

V. இயற்பியல் ஒரு நிமிடம்.

VI. புதிய பொருளின் விளக்கம் (தொடரும்)

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் உள்ள தேற்றம் மாணவர்களால் சுயாதீனமாக கழிக்கப்படுகிறது, இது அவர்களின் சொந்தக் கண்ணோட்டத்தை உருவாக்குவதற்கும், வெளிப்படுத்துவதற்கும், வாதிடுவதற்கும் திறனை வளர்ப்பதற்கு பங்களிக்கிறது:

எந்த முக்கோணத்திலும், அனைத்து கோணங்களும் கூர்மையானவை, அல்லது இரண்டு கூர்மையானவை மற்றும் மூன்றாவது மழுங்கிய அல்லது வலதுபுறமாக இருக்கும்..

ஒரு முக்கோணம் அனைத்து கடுமையான கோணங்களையும் கொண்டிருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது கடுமையான கோணம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களில் ஒன்று மழுங்கியதாக இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது மழுங்கிய கோணலான.

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களில் ஒன்று சரியாக இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது செவ்வக.

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றம் முக்கோணங்களை பக்கங்களால் மட்டுமல்ல, கோணங்களின் மூலமும் வகைப்படுத்த அனுமதிக்கிறது. (மாணவர்கள் முக்கோண வகைகளை அறிமுகப்படுத்தும்போது, ​​மாணவர்கள் அட்டவணையை நிரப்புகிறார்கள்)

அட்டவணை 1

முக்கோணக் காட்சி	ஐசோசெல்ஸ்	சமபக்க	பல்துறை
செவ்வக வடிவமானது
மழுங்கிய
கடுமையான கோணம்

VII. படித்த பொருளின் ஒருங்கிணைப்பு.

1. பிரச்சனைகளை வாய்வழியாக தீர்க்கவும்:

(வரைபடங்கள் ப்ரொஜெக்டர் மூலம் திரையில் காட்டப்படும்)

பணி 1. கோணத்தை கண்டுபிடி C.

படம் 14

சிக்கல் 2. F கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

படம் 15

பணி 3. K மற்றும் N கோணங்களைக் கண்டறியவும்.

படம் 16

சிக்கல் 4. P மற்றும் T கோணங்களைக் கண்டறியவும்.

படம் 17

1. பிரச்சனை எண். 223 (b, d) ஐ நீங்களே தீர்க்கவும்.
2. போர்டு மற்றும் குறிப்பேடுகளில் உள்ள சிக்கலைத் தீர்க்க, மாணவர் எண். 224.
3. கேள்விகள்: ஒரு முக்கோணத்தில் இருக்க முடியுமா: அ) இரண்டு செங்கோணங்கள்; b) இரண்டு மழுங்கிய கோணங்கள்; c) ஒரு வலது மற்றும் ஒரு மழுங்கிய கோணம்.
4. (வாய்வழியாக செய்யப்பட்டது) ஒவ்வொரு மேசையிலும் உள்ள அட்டைகள் பல்வேறு முக்கோணங்களைக் காட்டுகின்றன. ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் வகையையும் கண்ணால் தீர்மானிக்கவும்.

படம் 18

1. 1, 2 மற்றும் 3 கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

படம் 19

VIII. பாடத்தின் சுருக்கம்.

ஆசிரியர்: நாம் என்ன கற்றுக்கொண்டோம்? தேற்றம் எந்த முக்கோணத்திற்கும் பொருந்துமா?

IX. பிரதிபலிப்பு.

உங்கள் மனநிலையை சொல்லுங்கள் நண்பர்களே! முக்கோணத்தின் பின்புறத்தில், உங்கள் முகபாவனைகளை சித்தரிக்கவும்.

படம் 20

வீட்டுப்பாடம்:பத்தி 30 (பகுதி 1), கேள்வி 1 அத்தியாயம். பாடப்புத்தகத்தின் IV பக்கம் 89; எண். 223 (a, c), எண். 225.

>>வடிவியல்: ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை. முழுமையான பாடங்கள்

பாடம் தலைப்பு: ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை.

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

• தலைப்பில் மாணவர்களின் அறிவை ஒருங்கிணைத்தல் மற்றும் சோதனை செய்தல்: "ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை";
• ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் பண்புகளின் சான்று;
• எளிய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் இந்த சொத்தின் பயன்பாடு;
• மாணவர்களின் அறிவாற்றல் செயல்பாட்டை மேம்படுத்த வரலாற்றுப் பொருட்களைப் பயன்படுத்துதல்;
• வரைபடங்களைக் கட்டமைக்கும் போது துல்லியத் திறனை வளர்த்தல்.

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

• மாணவர்களின் சிக்கலைத் தீர்க்கும் திறன்களை சோதிக்கவும்.

பாடத் திட்டம்:

1. முக்கோணம்;
2. ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றம்;
3. எடுத்துக்காட்டு பணிகள்.

முக்கோணம்.

கோப்பு:O.gif முக்கோணம்- 3 செங்குத்துகள் (கோணங்கள்) மற்றும் 3 பக்கங்களைக் கொண்ட எளிய பலகோணம்; இந்த புள்ளிகளை ஜோடிகளாக இணைக்கும் மூன்று புள்ளிகள் மற்றும் மூன்று பிரிவுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட விமானத்தின் ஒரு பகுதி.
ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகள் ஒரே ஒரு விமானத்திற்கு ஒத்திருக்கும்.
எந்த பலகோணத்தையும் முக்கோணங்களாக பிரிக்கலாம் - இந்த செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது முக்கோணம்.
முக்கோணங்களின் விதிகள் பற்றிய ஆய்வுக்கு முற்றிலும் அர்ப்பணிக்கப்பட்ட கணிதத்தின் ஒரு பகுதி உள்ளது - முக்கோணவியல்.

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றம்.

கோப்பு:T.gif முக்கோணத் தொகை தேற்றம் என்பது யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் உன்னதமான தேற்றம் ஆகும், இது ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்.

ஆதாரம்" :

Δ ABC கொடுக்கப்படட்டும். (AC) க்கு இணையான ஒரு கோடு B உச்சியில் வரைந்து அதன் மீது புள்ளி D ஐக் குறிப்போம், இதனால் A மற்றும் D புள்ளிகள் BC கோட்டின் எதிர் பக்கங்களில் இருக்கும். பின்னர் கோணம் (DBC) மற்றும் கோணம் (ACB) ஆகியவை BD மற்றும் AC மற்றும் செகண்ட் (BC) ஆகிய இணைக் கோடுகளுடன் உள்ள உள் குறுக்கு வழியில் சமமாக இருக்கும். பின்னர் B மற்றும் C முனைகளில் உள்ள முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை கோணத்திற்கு (ABD) சமமாக இருக்கும். ஆனால் ABC முக்கோணத்தின் உச்சியில் உள்ள கோணம் (ABD) மற்றும் கோணம் (BAC) ஆகியவை BD மற்றும் AC மற்றும் செகண்ட் (AB) ஆகிய இணைக் கோடுகளுடன் உள் ஒருபக்கமாக இருக்கும், மேலும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும். எனவே, ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும். தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

விளைவுகள்.

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம், அதற்கு அருகில் இல்லாத முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

ஆதாரம்:

Δ ABC கொடுக்கப்படட்டும். புள்ளி D ஆனது கோடு AC இல் உள்ளது, அதனால் A C மற்றும் D க்கு இடையில் இருக்கும். பின்னர் BAD ஆனது முக்கோணத்தின் கோணத்திற்கு வெளியில் A மற்றும் A + BAD = 180° ஆகும். ஆனால் A + B + C = 180°, எனவே B + C = 180° – A. எனவே BAD = B + C. இதன் தொடர்ச்சி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

விளைவுகள்.

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம், அதனுடன் இல்லாத முக்கோணத்தின் எந்தக் கோணத்தையும் விட அதிகமாக இருக்கும்.

பணி.

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம் என்பது முக்கோணத்தின் எந்தக் கோணத்தையும் ஒட்டிய கோணமாகும். ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம், அதற்கு அருகில் இல்லாத முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்கவும்.
(படம்.1)

தீர்வு:

Δ ABC ∠DAС வெளிப்புறமாக இருக்கட்டும் (படம் 1). பின்னர் ∠DAC = 180°-∠BAC (அருகிலுள்ள கோணங்களின் பண்புகளால்), ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றத்தால் ∠B+∠C = 180°-∠BAC. இந்த சமத்துவங்களிலிருந்து நாம் ∠DAС=∠В+∠С ஐப் பெறுகிறோம்

சுவாரஸ்யமான உண்மை:

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை" :

லோபசெவ்ஸ்கி வடிவவியலில், ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180 ஐ விடக் குறைவாக இருக்கும். யூக்ளிடியன் வடிவவியலில் அது எப்போதும் 180க்கு சமமாக இருக்கும். ரீமான் வடிவவியலில், ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்.

கணித வரலாற்றிலிருந்து:

யூக்லிட் (கிமு 3 ஆம் நூற்றாண்டு) தனது படைப்பான "கூறுகள்" பின்வரும் வரையறையை அளிக்கிறது: "இணை கோடுகள் ஒரே விமானத்தில் இருக்கும் கோடுகள், காலவரையின்றி இரு திசைகளிலும் நீட்டிக்கப்படுவதால், இருபுறமும் சந்திக்காது."
Posidonius (கிமு 1 ஆம் நூற்றாண்டு) "ஒரே விமானத்தில் இரண்டு நேர்கோடுகள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இடைவெளியில் உள்ளன"
பண்டைய கிரேக்க விஞ்ஞானி பாப்பஸ் (கிமு III நூற்றாண்டு) இணையான கோடுகளின் சின்னத்தை அறிமுகப்படுத்தினார் - = அடையாளம். அதைத் தொடர்ந்து, ஆங்கிலப் பொருளாதார நிபுணர் ரிக்கார்டோ (1720-1823) இந்தச் சின்னத்தை சமமான அடையாளமாகப் பயன்படுத்தினார்.
18 ஆம் நூற்றாண்டில்தான் இணையான கோடுகளுக்கான சின்னத்தைப் பயன்படுத்தத் தொடங்கினர் - அடையாளம் ||.
தலைமுறைகளுக்கிடையேயான வாழ்க்கைத் தொடர்பு ஒரு கணம் கூட தடைபடாது; பண்டைய கிரேக்கர்கள், அவதானிப்புகள் மற்றும் நடைமுறை அனுபவத்தின் அடிப்படையில், முடிவுகளை எடுத்தனர், கருதுகோள்களை வெளிப்படுத்தினர், பின்னர், விஞ்ஞானிகளின் கூட்டங்களில் - சிம்போசியா (அதாவது "விருந்து") - அவர்கள் இந்த கருதுகோள்களை உறுதிப்படுத்தவும் நிரூபிக்கவும் முயன்றனர். அந்த நேரத்தில், "உண்மை சர்ச்சையில் பிறக்கிறது" என்ற அறிக்கை எழுந்தது.

கேள்விகள்:

1. முக்கோணம் என்றால் என்ன?
2. ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை பற்றிய தேற்றம் என்ன சொல்கிறது?
3. முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம் என்ன?

இந்த தேற்றம் பாடப்புத்தகத்தில் எல்.எஸ். , மற்றும் பாடப்புத்தகத்தில் Pogorelov ஏ.வி. . இந்த பாடப்புத்தகங்களில் இந்த தேற்றத்தின் சான்றுகள் கணிசமாக வேறுபடுவதில்லை, எனவே அதன் ஆதாரத்தை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, A.V.

தேற்றம்: ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்

ஆதாரம். ABC கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணமாக இருக்கட்டும். AC வரிக்கு இணையாக B உச்சியில் ஒரு கோடு வரைவோம். A மற்றும் D புள்ளிகள் BC யின் எதிர் பக்கங்களில் இருக்கும்படி புள்ளி D ஐ அதில் குறிப்போம் (படம் 6).

டிபிசி மற்றும் ஏசிபி ஆகிய கோணங்கள், ஏசி மற்றும் பிடி ஆகியவற்றுடன் இணையான நேர்கோடுகளுடன் செக்கன்ட் BC ஆல் உருவாக்கப்பட்ட உள் குறுக்கு-பொய்களாக சமமாக இருக்கும். எனவே, B மற்றும் C செங்குத்துகளில் ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை கோணம் ABD க்கு சமம். மேலும் ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை ABD மற்றும் BAC ஆகிய கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். இவை இணையான ஏசி மற்றும் பிடி மற்றும் செகண்ட் ஏபி ஆகியவற்றிற்கான ஒரு பக்க உள் கோணங்கள் என்பதால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும். தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இந்த ஆதாரத்தின் யோசனை ஒரு இணையான கோட்டை வரைந்து தேவையான கோணங்கள் சமமாக இருப்பதைக் குறிக்கிறது. ஒரு சிந்தனை பரிசோதனையின் கருத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த தேற்றத்தை நிரூபிப்பதன் மூலம் அத்தகைய கூடுதல் கட்டுமானத்தின் யோசனையை மறுகட்டமைப்போம். ஒரு சிந்தனை பரிசோதனையைப் பயன்படுத்தி தேற்றத்தின் ஆதாரம். எனவே, நமது சிந்தனைப் பரிசோதனையின் பொருள் ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள். அவரது சாராம்சத்தை குறிப்பிட்ட உறுதியுடன் வெளிப்படுத்தக்கூடிய சூழ்நிலையில் அவரை மனரீதியாக வைப்போம் (நிலை 1).

இத்தகைய நிலைமைகள் முக்கோணத்தின் மூலைகளின் அத்தகைய ஏற்பாடாக இருக்கும், அதில் அவற்றின் மூன்று முனைகளும் ஒரு கட்டத்தில் இணைக்கப்படும். சாய்வின் கோணத்தை மாற்றாமல் முக்கோணத்தின் பக்கங்களை நகர்த்துவதன் மூலம் மூலைகளை "நகர்த்தும்" சாத்தியத்தை அனுமதித்தால் அத்தகைய கலவை சாத்தியமாகும் (படம் 1). இத்தகைய இயக்கங்கள் அடிப்படையில் அடுத்தடுத்த மன மாற்றங்கள் (நிலை 2).

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள் மற்றும் பக்கங்களை நியமிப்பதன் மூலம் (படம் 2), "நகரும்" மூலம் பெறப்பட்ட கோணங்கள், அதன் மூலம் நாம் மனதளவில் சூழலை உருவாக்குகிறோம், நமது சிந்தனைப் பொருளை (நிலை 3) வைக்கிறோம்.

கோடு AB, BC கோட்டுடன் "நகரும்" மற்றும் அதற்கு சாய்வின் கோணத்தை மாற்றாமல், கோணம் 1 ஐ கோணம் 5 க்கு மாற்றுகிறது, மேலும் "நகரும்" கோடு AC க்கு மாற்றுகிறது, கோணம் 2 க்கு கோணம் 4. அத்தகைய "இயக்கம்" வரியுடன் AB AC மற்றும் BC கோடுகளுக்கு சாய்வின் கோணத்தை மாற்றாது, பின்னர் முடிவு தெளிவாக உள்ளது: கதிர்கள் a மற்றும் a1 AB க்கு இணையாக உள்ளன மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் உருமாறும், மற்றும் கதிர்கள் b மற்றும் b1 ஆகியவை முறையே BC மற்றும் AC பக்கங்களின் தொடர்ச்சியாகும். கோணம் 3 மற்றும் b மற்றும் b1 கதிர்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் செங்குத்தாக இருப்பதால், அவை சமமாக இருக்கும். இந்த கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சுழற்றப்பட்ட கோணம் aa1 - அதாவது 180°.

முடிவுரை

ஆய்வறிக்கையில், சில பள்ளி வடிவியல் கோட்பாடுகளின் "கட்டமைக்கப்பட்ட" சான்றுகள் ஒரு சிந்தனை பரிசோதனையின் கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்பட்டன, இது வடிவமைக்கப்பட்ட கருதுகோளை உறுதிப்படுத்தியது.

வழங்கப்பட்ட சான்றுகள் அத்தகைய காட்சி மற்றும் உணர்ச்சி இலட்சியங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டவை: "அமுக்கம்", "நீட்டுதல்", "ஸ்லைடிங்", இது அசல் வடிவியல் பொருளை ஒரு சிறப்பு வழியில் மாற்றவும் அதன் அத்தியாவசிய பண்புகளை முன்னிலைப்படுத்தவும் சாத்தியமாக்கியது, இது ஒரு சிந்தனைக்கு பொதுவானது. பரிசோதனை. இந்த வழக்கில், சிந்தனை சோதனை ஒரு குறிப்பிட்ட "படைப்பாற்றல் கருவியாக" செயல்படுகிறது, இது வடிவியல் அறிவின் தோற்றத்திற்கு பங்களிக்கிறது (உதாரணமாக, ஒரு ட்ரேப்சாய்டின் நடுப்பகுதி அல்லது ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள் பற்றி). இத்தகைய இலட்சியமயமாக்கல் ஆதாரத்தின் முழு யோசனையையும், "கூடுதல் கட்டுமானத்தை" மேற்கொள்வதற்கான யோசனையையும் புரிந்துகொள்வதை சாத்தியமாக்குகிறது, இது முறையான துப்பறியும் ஆதாரத்தின் செயல்முறையைப் பற்றி பள்ளி மாணவர்களால் மிகவும் நனவான புரிதலின் சாத்தியத்தைப் பற்றி பேச அனுமதிக்கிறது. வடிவியல் தேற்றங்கள்.

ஜியோமெட்ரிக் தேற்றங்களைப் பெறுவதற்கும் கண்டறிவதற்குமான அடிப்படை முறைகளில் சிந்தனைப் பரிசோதனையும் ஒன்றாகும். அந்த முறையை மாணவருக்கு மாற்றுவதற்கான வழிமுறையை உருவாக்குவது அவசியம். இந்த முறையை "ஏற்றுக்கொள்ள" ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மாணவரின் வயது, இந்த வழியில் வழங்கப்பட்ட ஆதாரங்களின் "பக்க விளைவுகள்" பற்றி கேள்வி திறந்தே உள்ளது.

இந்த சிக்கல்களுக்கு கூடுதல் ஆய்வு தேவை. ஆனால் எப்படியிருந்தாலும், ஒன்று நிச்சயம்: ஒரு சிந்தனை பரிசோதனை பள்ளி மாணவர்களில் தத்துவார்த்த சிந்தனையை உருவாக்குகிறது, அதன் அடிப்படையாகும், எனவே, சிந்தனை பரிசோதனைக்கான திறனை உருவாக்க வேண்டும்.

"சொல்லு நான் மறந்துடுவேன்.
எனக்குக் காட்டுங்கள், நான் நினைவில் கொள்கிறேன்
என்னை ஈடுபடுத்துங்கள், நான் கற்றுக்கொள்வேன்”
கிழக்கு பழமொழி

குறிக்கோள்: ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பற்றிய தேற்றத்தை நிரூபிக்கவும், இந்தத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்க்க பயிற்சி செய்யவும், பல்வேறு மூலங்களிலிருந்து கூடுதல் பொருட்களைப் பயன்படுத்தி மாணவர்களின் அறிவாற்றல் செயல்பாட்டை மேம்படுத்தவும், மற்றவர்களைக் கேட்கும் திறனை வளர்க்கவும்.

உபகரணங்கள்:ப்ரோட்ராக்டர், ரூலர், முக்கோண மாதிரிகள், மூட் ஸ்ட்ரிப்.

பாடத்தின் முன்னேற்றம்

1. நிறுவன தருணம்.

பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உங்கள் மனநிலையை மூட் டேப்பில் குறிக்கவும்.

2. மீண்டும் மீண்டும்.

தேற்றத்தை நிரூபிப்பதில் பயன்படுத்தப்படும் கருத்துகளை மதிப்பாய்வு செய்யவும்: இணையான கோடுகளுடன் கூடிய கோணங்களின் பண்புகள், வளர்ந்த கோணத்தின் வரையறை, வளர்ந்த கோணத்தின் அளவு அளவீடு.

3. புதிய பொருள்.

3.1 நடைமுறை வேலை.

ஒவ்வொரு மாணவருக்கும் ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று மாதிரிகள் உள்ளன: கடுமையான, செவ்வக மற்றும் மழுங்கிய. ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களை அளந்து அவற்றின் தொகையைக் கண்டறிய முன்மொழியப்பட்டது. முடிவை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள். நீங்கள் 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 டிகிரி மதிப்புகளைப் பெறலாம். எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடவும் (=180°) கோணங்கள் 180 டிகிரி அளவைக் கொண்டிருக்கும் போது நினைவில் கொள்ள பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. இது நேரான கோணம் மற்றும் ஒரு பக்க கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை என்பதை மாணவர்கள் நினைவில் கொள்கிறார்கள்.

ஓரிகமியைப் பயன்படுத்தி ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பெற முயற்சிப்போம்.

வரலாற்று பின்னணி

ஓரிகமி (ஜப்பனீஸ், லிட்.: "மடிந்த காகிதம்") என்பது காகித உருவங்களை மடிக்கும் பண்டைய கலை. ஓரிகமி கலை பண்டைய சீனாவில் அதன் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு காகிதம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

3.2 பாடப்புத்தகத்திலிருந்து தேற்றத்தின் ஆதாரம் அதனஸ்யன் எல்.எஸ்.

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றம்.

வடிவவியலின் மிக முக்கியமான தேற்றங்களில் ஒன்றை நிரூபிப்போம் - ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றம்.

தேற்றம்.ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்.

ஆதாரம்.ஏபிசியின் தன்னிச்சையான முக்கோணத்தைக் கருத்தில் கொண்டு A + B + C = 180° என்பதை நிரூபிக்கவும்.

AC க்கு இணையாக, உச்சி B வழியாக ஒரு நேர்கோட்டை வரைவோம். கோணங்கள் 1 மற்றும் 4 ஆகியவை இணைக் கோடுகள் a மற்றும் AC இரண்டையும் AB ஆல் வெட்டும்போது, ​​3 மற்றும் 5 கோணங்கள் அதே இணையான கோடுகள் BC ஆல் வெட்டப்படும் போது குறுக்கு-பொய் கோணங்களாகும். எனவே, கோணம் 4 என்பது கோணம் 1, கோணம் 5 என்பது கோணம் 3 க்கு சமம்.

வெளிப்படையாக, 4, 2 மற்றும் 5 கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையானது B உச்சியுடன் கூடிய விரிந்த கோணத்திற்கு சமம், அதாவது கோணம் 4 + கோணம் 2 + கோணம் 5 = 180°. இங்கிருந்து, முந்தைய சமன்பாடுகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், நாம் பெறுகிறோம்: கோணம் 1 + கோணம் 2+ கோணம் 3 = 180°, அல்லது A + B+ C = 180°. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

3.3 A.V. Pogorelov பாடநூலில் இருந்து தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

நிரூபிக்கவும்: A + B + C = 180°

ஆதாரம்:

1. BD // AC என்ற உச்சியின் வழியாக ஒரு கோடு வரைக

2. DBC=ACB, AC//BD மற்றும் செகண்ட் BC இல் குறுக்காக கிடக்கிறது.

3. ABD =ACB +CBD

எனவே, A + B+C = ABD+BAC

4. ABD மற்றும் BAC ஆகியவை BD // AC மற்றும் secant AB உடன் ஒருபக்கமாக உள்ளன, அதாவது அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 180 ° க்கு சமம், அதாவது. A+B + C=180°, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியது.

3. 4. கிசெலெவ் ஏ.என்., ரைப்கினா என்.ஏ பாடநூலில் இருந்து தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

கொடுக்கப்பட்டது:ஏபிசி

நிரூபிக்க: A+B +C=180°

ஆதாரம்:

1. ஏசி பக்கம் தொடர்வோம். நாங்கள் SE//AV ஐ மேற்கொள்வோம்

2. A=ESD, AB//CE மற்றும் AD - secant உடன் தொடர்புடையது

3. B = ALL, AB//CE மற்றும் BC இல் குறுக்கு வழியில் கிடக்கிறது - செகண்ட்.

4. ESD + ALL + C = 180 °, அதாவது A + B + C = 180 °, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியிருந்தது.

3.5 தொடர்ச்சிகள் 1. எந்த முக்கோணத்திலும், அனைத்து கோணங்களும் கூர்மையானவை, அல்லது இரண்டு கோணங்கள் கடுமையானவை, மூன்றாவது மழுங்கிய அல்லது நேராக இருக்கும்.

முடிவு 2.

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம், அதற்கு அருகில் இல்லாத முக்கோணத்தின் மற்ற இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

3.6 முக்கோணங்களை பக்கங்களால் மட்டுமல்ல, கோணங்களிலும் வகைப்படுத்த தேற்றம் அனுமதிக்கிறது.

முக்கோணக் காட்சி	ஐசோசெல்ஸ்	சமபக்க	பல்துறை
செவ்வக
மழுங்கிய
கடுமையான கோணம்

4. ஒருங்கிணைப்பு.

4.1 ஆயத்த வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது.

முக்கோணத்தின் அறியப்படாத கோணங்களைக் கண்டறியவும்.

4.2 அறிவு சோதனை.

1. எங்கள் பாடத்தின் முடிவில், கேள்விகளுக்கு பதிலளிக்கவும்:

கோணங்களுடன் முக்கோணங்கள் உள்ளனவா:

a) 30, 60, 90 டிகிரி,

b) 46, 4, 140 டிகிரி,

c) 56, 46, 72 டிகிரி?

2. ஒரு முக்கோணத்தில் இருக்க முடியுமா:

a) இரண்டு மழுங்கிய கோணங்கள்,

b) மழுங்கிய மற்றும் வலது கோணங்கள்,

c) இரண்டு வலது கோணங்கள்?

3. ஒரு கோணம் 45 டிகிரி, மற்றொன்று 90 டிகிரி என்றால் முக்கோணத்தின் வகையைத் தீர்மானிக்கவும்.

4. எந்த முக்கோணத்தில் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை அதிகமாக உள்ளது: கடுமையான, மழுங்கிய அல்லது செவ்வக?

5. எந்த முக்கோணத்தின் கோணங்களையும் அளவிட முடியுமா?

இது ஒரு நகைச்சுவையான கேள்வி, ஏனென்றால்... பெர்முடா முக்கோணம், அட்லாண்டிக் பெருங்கடலில் பெர்முடா, புவேர்ட்டோ ரிக்கோ மாநிலம் மற்றும் புளோரிடா தீபகற்பத்திற்கு இடையே அமைந்துள்ளது, அதன் கோணங்களை அளவிட முடியாது. (இணைப்பு 1)

5. பாடம் சுருக்கம்.

பாடத்தின் முடிவில் உங்கள் மனநிலையை மூட் டேப்பில் குறிக்கவும்.

வீட்டுப்பாடம்.

பி. 30–31; எண். 223 a, b; எண் 227 a; பணிப்புத்தகம் எண் 116, 118.