இரண்டைக் கடந்து செல்லும் கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள். ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாடு

வரையறை.விமானத்தின் எந்த நேர்கோட்டையும் முதல்-வரிசை சமன்பாட்டின் மூலம் குறிப்பிடலாம்

Ax + Wu + C = 0,

மேலும், A மற்றும் B மாறிலிகள் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது. இந்த முதல் வரிசை சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது ஒரு நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாடு.மாறிலிகள் A, B மற்றும் C ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைப் பொறுத்து, பின்வரும் சிறப்பு நிகழ்வுகள் சாத்தியமாகும்:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - நேர் கோடு தோற்றம் வழியாக செல்கிறது

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையான நேர்கோடு

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - Oy அச்சுக்கு இணையான நேர்கோடு

B = C = 0, A ≠0 - நேர் கோடு Oy அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது

A = C = 0, B ≠0 - நேர்கோடு ஆக்ஸ் அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது

ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலைகளைப் பொறுத்து வெவ்வேறு வடிவங்களில் வழங்கப்படலாம்.

ஒரு புள்ளி மற்றும் சாதாரண திசையன் ஆகியவற்றிலிருந்து நேர்கோட்டின் சமன்பாடு

வரையறை.கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு திசையன் (A, B) Ax + By + C = 0 என்ற சமன்பாட்டின் நேர்கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

உதாரணம். புள்ளி A(1, 2) க்கு செங்குத்தாக (3, -1) வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. A = 3 மற்றும் B = -1 உடன், நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்: 3x – y + C = 0. குணகம் C ஐக் கண்டறிய, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி A இன் ஆயங்களை நாம் பெறுகிறோம்: 3 – 2 + C = 0, எனவே, C = -1 . மொத்தம்: தேவையான சமன்பாடு: 3x – y – 1 = 0.

இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு

இரண்டு புள்ளிகள் M 1 (x 1, y 1, z 1) மற்றும் M 2 (x 2, y 2, z 2) ஆகியவை விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்டால், இந்த புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு:

எந்தப் பிரிவும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய எண் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக அமைக்கப்பட வேண்டும், மேலே எழுதப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு:

x 1 ≠ x 2 மற்றும் x = x 1 என்றால், x 1 = x 2.

பின்னம் = k என்று அழைக்கப்படுகிறது சாய்வுநேரடி.

உதாரணம். புள்ளிகள் A(1, 2) மற்றும் B(3, 4) வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.மேலே எழுதப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

ஒரு புள்ளி மற்றும் சாய்விலிருந்து ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு

மொத்த Ax + Bu + C = 0 என்றால், படிவத்திற்கு வழிவகுக்கும்:

மற்றும் நியமிக்கவும் , அதன் விளைவாக சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது சாய்வுடன் கூடிய நேர்கோட்டின் சமன்பாடுகே.

ஒரு புள்ளி மற்றும் திசை வெக்டரில் இருந்து நேர்கோட்டின் சமன்பாடு

ஒரு சாதாரண திசையன் வழியாக ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு புள்ளியுடன் ஒப்புமை மூலம், நீங்கள் ஒரு நேர்கோட்டின் வரையறையை ஒரு புள்ளி மற்றும் நேர்கோட்டின் இயக்கும் திசையன் மூலம் உள்ளிடலாம்.

வரையறை.ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் (α 1, α 2), A α 1 + B α 2 = 0 என்ற நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யும் கூறுகள் கோட்டின் இயக்கும் திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

Ax + Wu + C = 0.

உதாரணம். ஒரு திசை திசையன் (1, -1) மற்றும் புள்ளி A (1, 2) வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.நாம் விரும்பிய கோட்டின் சமன்பாட்டை வடிவத்தில் தேடுவோம்: Ax + By + C = 0. வரையறைக்கு இணங்க, குணகங்கள் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

1 * A + (-1) * B = 0, அதாவது. ஏ = பி.

பின்னர் நேர் கோட்டின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: Ax + Ay + C = 0, அல்லது x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 க்கு நாம் C/ A = -3 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது. தேவையான சமன்பாடு:

பிரிவுகளில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு

நேர் கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டில் Ах + Ву + С = 0 С≠0 எனில், –С ஆல் வகுத்தால், நாம் பெறுவோம்: அல்லது

குணகங்களின் வடிவியல் பொருள் குணகம் ஏஆக்ஸ் அச்சுடன் கோட்டின் வெட்டும் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு, மற்றும் பி- Oy அச்சுடன் நேர் கோட்டின் வெட்டும் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு.

உதாரணம். x – y + 1 = 0 என்ற வரியின் பொதுவான சமன்பாடு இந்த வரியின் சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் கண்டறியவும்.

C = 1, , a = -1, b = 1.

ஒரு கோட்டின் இயல்பான சமன்பாடு

Ax + By + C = 0 என்ற சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால் என்று அழைக்கப்படும் இயல்பாக்கும் காரணி, பிறகு நாம் பெறுவோம்

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

ஒரு கோட்டின் இயல்பான சமன்பாடு. இயல்பாக்கும் காரணியின் ± அடையாளம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும், அதனால் μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

உதாரணம். 12x – 5y – 65 = 0 என்ற வரியின் பொதுவான சமன்பாடு இந்த வரிக்கு பல்வேறு வகையான சமன்பாடுகளை எழுத வேண்டும்.

பிரிவுகளில் இந்த வரியின் சமன்பாடு:

சாய்வுடன் இந்தக் கோட்டின் சமன்பாடு: (5 ஆல் வகுக்கவும்)

; cos φ = 12/13; பாவம் φ= -5/13; ப = 5.

ஒவ்வொரு நேர் கோட்டையும் பிரிவுகளில் உள்ள சமன்பாட்டால் குறிப்பிட முடியாது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, கோடாரிகளுக்கு இணையான நேர் கோடுகள் அல்லது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் வழியாக செல்கின்றன.

உதாரணம். நேர்கோடு ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் சம நேர்மறை பிரிவுகளை வெட்டுகிறது. இந்த பிரிவுகளால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 8 செமீ 2 ஆக இருந்தால் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தீர்வு.நேர்கோட்டின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

உதாரணம். புள்ளி A(-2, -3) மற்றும் தோற்றம் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டிற்கான சமன்பாட்டை எழுதவும்.

தீர்வு. நேர்கோட்டின் சமன்பாடு: , x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

ஒரு விமானத்தில் நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

வரையறை.இரண்டு கோடுகள் y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 என வழங்கப்பட்டால், இந்தக் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கடுமையான கோணம் இவ்வாறு வரையறுக்கப்படும்.

.

k 1 = k 2 எனில் இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருக்கும். k 1 = -1/ k 2 எனில் இரண்டு கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்கும்.

தேற்றம். A 1 = λA, B 1 = λB ஆகிய குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருக்கும்போது Ax + Bу + C = 0 மற்றும் A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ஆகிய கோடுகள் இணையாக இருக்கும். C 1 = λC என்றால், கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன. இந்த கோடுகளின் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கு தீர்வாக இரண்டு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் காணப்படுகின்றன.

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு

வரையறை.புள்ளி M 1 (x 1, y 1) மற்றும் y = kx + b என்ற நேர்கோட்டிற்கு செங்குத்தாக செல்லும் ஒரு நேர்கோடு சமன்பாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது:

புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம்

தேற்றம்.ஒரு புள்ளி M(x 0, y 0) கொடுக்கப்பட்டால், Ax + Bу + C = 0 என்ற கோட்டிற்கான தூரம் இவ்வாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது

.

ஆதாரம்.புள்ளி M 1 (x 1, y 1) என்பது செங்குத்தாக M புள்ளியில் இருந்து கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டிற்கு கீழே விடப்படும். பின்னர் புள்ளிகள் M மற்றும் M 1 இடையே உள்ள தூரம்:

(1)

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் x 1 மற்றும் y 1 ஆயங்களைக் காணலாம்:

கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாடு, கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி M 0 வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும். கணினியின் முதல் சமன்பாட்டை வடிவத்திற்கு மாற்றினால்:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

பின்னர், தீர்க்கும், நாம் பெறுகிறோம்:

இந்த வெளிப்பாடுகளை சமன்பாடு (1) இல் மாற்றுவதன் மூலம், நாம் காண்கிறோம்:

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

உதாரணம். கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை தீர்மானிக்கவும்: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

கே 1 = -3; கே 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

உதாரணம். 3x – 5y + 7 = 0 மற்றும் 10x + 6y – 3 = 0 கோடுகள் செங்குத்தாக இருப்பதைக் காட்டுங்கள்.

தீர்வு. நாம் காண்கிறோம்: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, எனவே, கோடுகள் செங்குத்தாக உள்ளன.

உதாரணம். A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) முக்கோணத்தின் முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. சியின் உச்சியிலிருந்து வரையப்பட்ட உயரத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. AB பக்கத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம்: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

தேவையான உயரச் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: Ax + By + C = 0 அல்லது y = kx + b. கே = பின்னர் y = . ஏனெனில் உயரம் புள்ளி C வழியாக செல்கிறது, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் இந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கின்றன: எங்கிருந்து b = 17. மொத்தம்: .

பதில்: 3 x + 2 y – 34 = 0.

புள்ளி K(x 0 ; y 0) மற்றும் y = kx + a என்ற கோட்டிற்கு இணையாக செல்லும் கோடு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

எங்கே k என்பது கோட்டின் சாய்வு.

மாற்று சூத்திரம்:
புள்ளி M 1 (x 1 ; y 1) மற்றும் Ax+By+C=0 என்ற கோட்டிற்கு இணையாக செல்லும் ஒரு கோடு சமன்பாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

புள்ளி K() வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதவும் ;) நேர் கோட்டிற்கு இணையாக y = x+ .

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. புள்ளி M 0 (-2,1) மற்றும் அதே நேரத்தில் கடந்து செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டிற்கான சமன்பாட்டை எழுதவும்:
a) நேர் கோட்டிற்கு இணையாக 2x+3y -7 = 0;
b) 2x+3y -7 = 0 என்ற நேர் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக.
தீர்வு . சாய்வுடன் சமன்பாட்டை y = kx + a வடிவத்தில் குறிப்பிடுவோம். இதைச் செய்ய, y தவிர அனைத்து மதிப்புகளையும் வலது பக்கத்திற்கு நகர்த்தவும்: 3y = -2x + 7 . பின்னர் வலது பக்கத்தை 3 காரணியால் வகுக்கவும். நாம் பெறுகிறோம்: y = -2/3x + 7/3
y = -2 / 3 x + 7 / 3 என்ற நேர் கோட்டிற்கு இணையான புள்ளி K(-2;1) வழியாகச் செல்லும் NK சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்.
x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 ஐ மாற்றினால் நாம் பெறுகிறோம்:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
அல்லது
y = -2 / 3 x - 1 / 3 அல்லது 3y + 2x +1 = 0

எடுத்துக்காட்டு எண். 2. 2x + 5y = 0 என்ற கோட்டிற்கு இணையாக ஒரு கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதவும், ஆய அச்சுகளுடன் சேர்ந்து, 5 பகுதி கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்கவும்.
தீர்வு . கோடுகள் இணையாக இருப்பதால், விரும்பிய கோட்டின் சமன்பாடு 2x + 5y + C = 0 ஆகும். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, இதில் a மற்றும் b அதன் கால்கள். ஆய அச்சுகளுடன் விரும்பிய வரியின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:
;
.
எனவே, A(-C/2,0), B(0,-C/5). பகுதிக்கான சூத்திரத்தில் அதை மாற்றுவோம்: . நாங்கள் இரண்டு தீர்வுகளைப் பெறுகிறோம்: 2x + 5y + 10 = 0 மற்றும் 2x + 5y - 10 = 0.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3. புள்ளி (-2; 5) மற்றும் 5x-7y-4=0 கோட்டிற்கு இணையாக செல்லும் கோட்டிற்கான சமன்பாட்டை எழுதவும்.
தீர்வு. இந்த நேர்கோட்டை y = 5 / 7 x – 4 / 7 (இங்கே a = 5 / 7) சமன்பாட்டால் குறிப்பிடலாம். விரும்பிய கோட்டின் சமன்பாடு y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), அதாவது. 7(y-5)=5(x+2) அல்லது 5x-7y+45=0 .

எடுத்துக்காட்டு எண். 4. சூத்திரம் (2) ஐப் பயன்படுத்தி உதாரணம் 3 (A=5, B=-7) ஐத் தீர்த்த பிறகு, 5(x+2)-7(y-5)=0 ஐக் காண்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 5. புள்ளி (-2;5) மற்றும் 7x+10=0 வரிக்கு இணையாக செல்லும் கோட்டிற்கு சமன்பாட்டை எழுதவும்.
தீர்வு. இங்கே A=7, B=0. ஃபார்முலா (2) 7(x+2)=0 தருகிறது, அதாவது. x+2=0. சூத்திரம் (1) பொருந்தாது, ஏனெனில் இந்த சமன்பாட்டை y ஐப் பொறுத்து தீர்க்க முடியாது (இந்த நேர்கோடு ஆர்டினேட் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது).

இந்த கட்டுரை ஒரு விமானத்தில் அமைந்துள்ள ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றலை வெளிப்படுத்துகிறது. ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். உள்ளடக்கப்பட்ட பொருள் தொடர்பான பல எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தெளிவாகக் காண்பிப்போம் மற்றும் தீர்ப்போம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கு முன், சில உண்மைகளுக்கு கவனம் செலுத்த வேண்டியது அவசியம். ஒரு விமானத்தில் இரண்டு மாறுபட்ட புள்ளிகள் மூலம் ஒரு நேர்க்கோட்டை வரைய முடியும் என்று ஒரு கோட்பாடு உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு விமானத்தில் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் இந்த புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டால் வரையறுக்கப்படுகின்றன.

செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பான Oxy மூலம் விமானம் வரையறுக்கப்பட்டால், அதில் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ள எந்த நேர்கோடும் விமானத்தின் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை தொகுக்க இந்த தரவு போதுமானது.

இதேபோன்ற சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் அமைந்துள்ள M 1 (x 1, y 1) மற்றும் M 2 (x 2, y 2) ஆகிய இரண்டு மாறுபட்ட புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டிற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம்.

x - x 1 a x = y - y 1 a y வடிவத்தைக் கொண்ட ஒரு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் நியதிச் சமன்பாட்டில், ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y ஆனது M 1 (x) ஆயங்களுடன் ஒரு புள்ளியில் வெட்டும் கோட்டுடன் குறிப்பிடப்படுகிறது. 1, y 1) வழிகாட்டி திசையன் a → = (a x , a y) .

M 1 (x 1, y 1) மற்றும் M 2 (x 2, y 2) ஆயத்தொலைவுகளுடன் இரண்டு புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டின் நியதிச் சமன்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம்.

நேராக a ஆனது M 1 மற்றும் M 2 புள்ளிகளை வெட்டுவதால், ஆய (x 2 - x 1, y 2 - y 1) உடன் M 1 M 2 → திசை திசையன் உள்ளது. திசைத் திசையன் M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) மற்றும் அவற்றின் மீது இருக்கும் M 1 புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் நியமனச் சமன்பாட்டை மாற்றுவதற்குத் தேவையான தரவைப் பெற்றுள்ளோம். (x 1, y 1) மற்றும் M 2 (x 2, y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 அல்லது x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 வடிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

கீழே உள்ள படத்தைக் கவனியுங்கள்.

கணக்கீடுகளைப் பின்பற்றி, M 1 (x 1, y 1) மற்றும் M 2 (x 2, y 2) ஆயத்தொலைவுகளுடன் இரண்டு புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை எழுதுகிறோம். x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ அல்லது x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ வடிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

பல எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதில் ஒரு நெருக்கமான தோற்றத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 ஆகிய ஆயத்தொலைவுகளுடன் கொடுக்கப்பட்ட 2 புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதவும்.

தீர்வு

x 1, y 1 மற்றும் x 2, y 2 ஆகிய ஆயத்தொகுதிகளுடன் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டும் கோட்டிற்கான நியதிச் சமன்பாடு x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 வடிவத்தைப் பெறுகிறது. சிக்கலின் நிபந்தனைகளின்படி, எங்களிடம் x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. எண் மதிப்புகளை x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 சமன்பாட்டில் மாற்றுவது அவசியம். இங்கிருந்து நியதிச் சமன்பாடு x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 வடிவத்தைப் பெறுகிறது.

பதில்: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

நீங்கள் வேறு வகையான சமன்பாட்டுடன் ஒரு சிக்கலைத் தீர்க்க வேண்டும் என்றால், முதலில் நீங்கள் நியமனத்திற்குச் செல்லலாம், ஏனெனில் அதிலிருந்து வேறு எந்த சமன்பாட்டிற்கும் வருவது எளிது.

எடுத்துக்காட்டு 2

O x y ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் M 1 (1, 1) மற்றும் M 2 (4, 2) ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்.

தீர்வு

முதலில், கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் நியமன சமன்பாட்டை நீங்கள் எழுத வேண்டும். x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 வடிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

நியமன சமன்பாட்டை விரும்பிய வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம், பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

பதில்: x - 3 y + 2 = 0 .

அல்ஜீப்ரா பாடங்களின் போது பள்ளி பாடப்புத்தகங்களில் இத்தகைய பணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் விவாதிக்கப்பட்டன. y = k x + b வடிவத்தைக் கொண்ட கோணக் குணகத்துடன் கூடிய நேர்கோட்டின் சமன்பாடு அறியப்பட்டதில் பள்ளிச் சிக்கல்கள் வேறுபடுகின்றன. நீங்கள் சாய்வின் மதிப்பையும் b எண்ணையும் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், y = k x + b என்ற சமன்பாடு O x y அமைப்பில் M 1 (x 1, y 1) மற்றும் M 2 ஆகிய புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் ஒரு கோட்டை வரையறுக்கிறது. (x 2, y 2), இங்கு x 1 ≠ x 2. எப்போது x 1 = x 2 , பின்னர் கோணக் குணகம் முடிவிலியின் மதிப்பைப் பெறுகிறது, மேலும் M 1 M 2 என்ற நேர்கோடு x - x 1 = 0 வடிவத்தின் பொதுவான முழுமையற்ற சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது. .

ஏனெனில் புள்ளிகள் எம் 1மற்றும் எம் 2ஒரு நேர் கோட்டில் உள்ளன, பின்னர் அவற்றின் ஆய சமன்பாடு y 1 = k x 1 + b மற்றும் y 2 = k x 2 + b. y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b சமன்பாடுகளின் அமைப்பை k மற்றும் b க்கு தீர்க்க வேண்டியது அவசியம்.

இதைச் செய்ய, k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 அல்லது k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

k மற்றும் b இன் இந்த மதிப்புகளுடன், கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x ஆக மாறும் 1 அல்லது y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

ஒரே நேரத்தில் இவ்வளவு பெரிய எண்ணிக்கையிலான சூத்திரங்களை நினைவில் கொள்வது சாத்தியமில்லை. இதைச் செய்ய, சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் மீண்டும் மீண்டும் எண்ணிக்கையை அதிகரிக்க வேண்டியது அவசியம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

M 2 (2, 1) மற்றும் y = k x + b ஆகிய ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் கோணக் குணகம் கொண்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதவும்.

தீர்வு

சிக்கலைத் தீர்க்க, y = k x + b வடிவத்தின் கோணக் குணகம் கொண்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். குணகங்கள் k மற்றும் b அத்தகைய மதிப்பை எடுக்க வேண்டும், இந்த சமன்பாடு M 1 (- 7, - 5) மற்றும் M 2 (2, 1) ஆயத்தொலைவுகளுடன் இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது.

புள்ளிகள் எம் 1மற்றும் எம் 2ஒரு நேர் கோட்டில் அமைந்துள்ளன, பின்னர் அவற்றின் ஆயங்கள் y = k x + b சமன்பாட்டை உண்மையான சமத்துவமாக மாற்ற வேண்டும். இதிலிருந்து நாம் பெறுவது - 5 = k · (- 7) + b மற்றும் 1 = k · 2 + b. சமன்பாட்டை கணினியில் இணைப்போம் - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b மற்றும் தீர்க்கவும்.

மாற்றீட்டின் போது நாம் அதைப் பெறுகிறோம்

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

இப்போது k = 2 3 மற்றும் b = - 1 3 மதிப்புகள் y = k x + b சமன்பாட்டில் மாற்றப்பட்டுள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் தேவையான சமன்பாடு y = 2 3 x - 1 3 வடிவத்தின் சமன்பாடாக இருக்கும் என்பதைக் காண்கிறோம்.

இந்த தீர்வு முறை நிறைய நேர விரயத்தை முன்னரே தீர்மானிக்கிறது. பணி இரண்டு படிகளில் தீர்க்கப்படும் ஒரு வழி உள்ளது.

x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) வடிவத்தைக் கொண்ட M 2 (2, 1) மற்றும் M 1 (- 7, - 5) வழியாகச் செல்லும் கோட்டின் நியதிச் சமன்பாட்டை எழுதுவோம். ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

இப்போது சரிவு சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம். நாம் இதைப் பெறுகிறோம்: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

பதில்: y = 2 3 x - 1 3 .

முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y z இருந்தால், M 1 (x 1, y 1, z 1) மற்றும் M 2 (x 2, y 2, z 2), தி. நேராக கோடு M அவர்கள் வழியாக 1 M 2 , இந்த வரியின் சமன்பாட்டைப் பெறுவது அவசியம்.

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z வடிவத்தின் நியதிச் சமன்பாடுகளும் x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z வடிவத்தின் அளவுரு சமன்பாடுகளும் எங்களிடம் உள்ளன. 1 + a z · λ ஆனது O x y z ஆய அமைப்பில் ஒரு வரியை வரையறுக்க முடியும், ஒரு திசை திசையன் a → = (a x, a y, a z) கொண்ட ஆய (x 1, y 1, z 1) புள்ளிகளைக் கடந்து செல்கிறது.

நேராக எம் 1 எம் 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) வடிவத்தின் திசை திசையன் உள்ளது, அங்கு நேர் கோடு M 1 (x 1, y 1, z 1) மற்றும் M 2 (x 2 , y 2 , z 2), எனவே நியமனச் சமன்பாடு x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 வடிவத்தில் இருக்கலாம் z 2 - z 1 அல்லது x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, இதையொட்டி அளவுரு x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ அல்லது x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்ட 2 புள்ளிகள் மற்றும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காட்டும் வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 4

M 1 (2, - 3, 0) மற்றும் M 2 (1, - 3, - 5) ஆகிய ஆயத்தொகுதிகளுடன் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளைக் கடந்து, முப்பரிமாண இடைவெளியின் O x y z என்ற செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதவும்.

தீர்வு

நியதிச் சமன்பாட்டைக் கண்டறிவது அவசியம். நாம் முப்பரிமாண இடத்தைப் பற்றி பேசுவதால், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் வழியாக ஒரு கோடு செல்லும் போது, ​​விரும்பிய நியதிச் சமன்பாடு x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z வடிவத்தை எடுக்கும். - z 1 z 2 - z 1 .

நிபந்தனையின்படி x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. தேவையான சமன்பாடுகள் பின்வருமாறு எழுதப்படும்:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

பதில்: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு. கட்டுரையில்" " ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் மற்றும் இந்த வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு கொடுக்கப்பட்ட, வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதில் வழங்கப்பட்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான இரண்டாவது முறையைப் பார்ப்பதாக நான் உங்களுக்கு உறுதியளித்தேன். இந்த முறையைப் பற்றி விவாதிப்போம் , தவறவிடாதீர்கள்! ஏன்அடுத்ததில்?

உண்மை என்னவென்றால், ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டிற்கான சூத்திரம் அங்கு பயன்படுத்தப்படும். நிச்சயமாக, நாங்கள் இந்த சூத்திரத்தைக் காட்டலாம் மற்றும் அதைக் கற்றுக்கொள்ள உங்களுக்கு அறிவுறுத்தலாம். ஆனால் அது எங்கிருந்து வருகிறது (எப்படி பெறப்பட்டது) என்பதை விளக்குவது நல்லது. இது அவசியம்! நீங்கள் அதை மறந்துவிட்டால், அதை விரைவாக மீட்டெடுக்கலாம்கடினமாக இருக்காது. எல்லாம் கீழே விரிவாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் A உள்ளது(x 1;y 1) மற்றும் B(x 2;y 2), சுட்டிக்காட்டப்பட்ட புள்ளிகள் வழியாக ஒரு நேர் கோடு வரையப்படுகிறது:

இங்கே நேரடி சூத்திரம் உள்ளது:

*அதாவது, புள்ளிகளின் குறிப்பிட்ட ஆயங்களை மாற்றும்போது, ​​y=kx+b வடிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

**நீங்கள் இந்த சூத்திரத்தை "மனப்பாடம்" செய்தால், குறியீடுகளுடன் குழப்பமடைய அதிக நிகழ்தகவு உள்ளது எக்ஸ். கூடுதலாக, குறியீடுகளை வெவ்வேறு வழிகளில் நியமிக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக:

அதனால்தான் அர்த்தத்தைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம்.

இப்போது இந்த சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல். இது மிகவும் எளிமையானது!

முக்கோணங்கள் ABE மற்றும் ACF ஆகியவை கடுமையான கோணத்தில் ஒத்திருக்கும் (வலது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் முதல் அறிகுறி). இதிலிருந்து தொடர்புடைய உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும், அதாவது:

இப்போது நாம் இந்த பிரிவுகளை புள்ளிகளின் ஆய வேறுபாடு மூலம் வெளிப்படுத்துகிறோம்:

நிச்சயமாக, உறுப்புகளின் உறவுகளை வேறு வரிசையில் எழுதினால் பிழை இருக்காது (முக்கிய விஷயம் நிலைத்தன்மையை பராமரிப்பது):

இதன் விளைவாக வரியின் அதே சமன்பாடு இருக்கும். இதெல்லாம்!

அதாவது, புள்ளிகள் (மற்றும் அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகள்) எவ்வாறு நியமிக்கப்பட்டாலும், இந்த சூத்திரத்தைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம் நீங்கள் எப்போதும் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காணலாம்.

திசையன்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சூத்திரத்தைப் பெறலாம், ஆனால் வழித்தோன்றலின் கொள்கை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், ஏனெனில் அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகளின் விகிதாசாரத்தைப் பற்றி நாம் பேசுவோம். இந்த வழக்கில், வலது முக்கோணங்களின் அதே ஒற்றுமை வேலை செய்கிறது. என் கருத்துப்படி, மேலே விவரிக்கப்பட்ட முடிவு இன்னும் தெளிவாக உள்ளது)).

வெக்டார் ஆய >>> வழியாக வெளியீட்டைக் காண்க

கொடுக்கப்பட்ட A(x 1;y 1) மற்றும் B(x 2;y 2) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் ஒருங்கிணைப்புத் தளத்தில் ஒரு நேர்கோடு அமைக்கப்பட வேண்டும். ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி C ஐ வரியில் ஆயத்தொலைவுகளுடன் குறிப்போம் ( x; ஒய்) நாங்கள் இரண்டு திசையன்களையும் குறிக்கிறோம்:

இணையான கோடுகளில் (அல்லது ஒரே வரியில்) இருக்கும் திசையன்களுக்கு, அவற்றின் தொடர்புடைய ஆயங்கள் விகிதாசாரமாக இருக்கும் என்பது அறியப்படுகிறது, அதாவது:

- தொடர்புடைய ஆயங்களின் விகிதங்களின் சமத்துவத்தை நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

ஆய (2;5) மற்றும் (7:3) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

நீங்கள் நேர்கோட்டை கூட உருவாக்க வேண்டியதில்லை. நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

விகிதத்தை வரையும்போது கடிதப் பரிமாற்றத்தைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம். நீங்கள் எழுதினால் தவறு செய்ய முடியாது:

பதில்: y=-2/5x+29/5 செல் y=-0.4x+5.8

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு சரியாகக் கண்டறியப்பட்டுள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்த, சரிபார்க்கவும் - புள்ளிகளின் நிலையில் உள்ள தரவின் ஆயங்களை மாற்றவும். சமன்பாடுகள் சரியாக இருக்க வேண்டும்.

அவ்வளவுதான். பொருள் உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருந்தது என்று நம்புகிறேன்.

வாழ்த்துக்கள், அலெக்சாண்டர்.

பி.எஸ்: சமூக வலைப்பின்னல்களில் தளத்தைப் பற்றி என்னிடம் சொன்னால் நான் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன்.

இந்த கட்டுரையில் ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த கோட்டின் இரண்டு புள்ளிகள் தெரிந்தால் அல்லது ஒரு புள்ளி மற்றும் இந்த வரியின் சாதாரண திசையன் தெரிந்தால் ஒரு கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம். பொதுவான வடிவத்தில் ஒரு சமன்பாட்டை நியமன மற்றும் அளவுரு வடிவங்களாக மாற்றுவதற்கான முறைகளை முன்வைப்போம்.

ஒரு தன்னிச்சையான கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு கொடுக்கப்பட வேண்டும் ஆக்சி. முதல் பட்டம் அல்லது நேரியல் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

Ax+By+C=0,

(1)

எங்கே ஏ, பி, சி− சில மாறிலிகள் மற்றும் குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு ஏமற்றும் பிபூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது.

ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேரியல் சமன்பாடு ஒரு நேர்கோட்டை வரையறுக்கிறது என்பதைக் காண்பிப்போம். பின்வரும் தேற்றத்தை நிரூபிப்போம்.

தேற்றம் 1. ஒரு விமானத்தில் தன்னிச்சையான கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், ஒவ்வொரு நேர்கோடும் ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்படலாம். மாறாக, ஒரு விமானத்தில் தன்னிச்சையான கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு நேரியல் சமன்பாடும் (1) ஒரு நேர் கோட்டை வரையறுக்கிறது.

ஆதாரம். நேர்கோடு என்பதை நிரூபித்தாலே போதும் எல்எந்த ஒரு கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கான நேரியல் சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அதன்பின்னர் அது கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் எந்தவொரு தேர்வுக்கும் நேரியல் சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படும்.

விமானத்தில் ஒரு நேர்கோடு கொடுக்கப்பட வேண்டும் எல். ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைத் தேர்வு செய்வோம், அதனால் அச்சு எருதுஒரு நேர்கோட்டுடன் ஒத்துப்போனது எல், மற்றும் அச்சு ஓஅதற்கு செங்குத்தாக இருந்தது. பின்னர் கோட்டின் சமன்பாடு எல்பின்வரும் படிவத்தை எடுக்கும்:

y=0.

(2)

ஒரு வரியில் அனைத்து புள்ளிகளும் எல்நேரியல் சமன்பாட்டை (2) பூர்த்தி செய்யும், மேலும் இந்த கோட்டிற்கு வெளியே உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் சமன்பாட்டை (2) பூர்த்தி செய்யாது. தேற்றத்தின் முதல் பகுதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டு, ஒரு நேரியல் சமன்பாடு (1) கொடுக்கப்பட வேண்டும், அங்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு ஏமற்றும் பிபூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. சமன்பாட்டை (1) பூர்த்தி செய்யும் ஆயப் புள்ளிகளின் வடிவியல் இடத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். குணகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று என்பதால் ஏமற்றும் பிபூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, பின்னர் சமன்பாடு (1) குறைந்தது ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது எம்(x 0 ,ஒய் 0) (உதாரணமாக, எப்போது ஏ≠0, புள்ளி எம் 0 (−சி/ஏ, 0) கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தைச் சேர்ந்தது). இந்த ஆயங்களை (1) இல் மாற்றுவதன் மூலம் நாம் அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம்

கோடாரி 0 +மூலம் 0 +சி=0.

(3)

அடையாளத்தை (3) (1) இலிருந்து கழிப்போம்:

ஏ(x−x 0)+பி(ஒய்−ஒய் 0)=0.

(4)

வெளிப்படையாக, சமன்பாடு (4) சமன்பாடு (1) க்கு சமம். எனவே, (4) ஒரு குறிப்பிட்ட வரியை வரையறுக்கிறது என்பதை நிரூபிக்க போதுமானது.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைப் பற்றி நாங்கள் பரிசீலித்து வருகிறோம் என்பதால், அது சமத்துவத்திலிருந்து (4) பின்வருபவை பாகங்களைக் கொண்ட திசையன் ( x−x 0 , y−y 0 ) திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல் nஒருங்கிணைப்புகளுடன் ( ஏ, பி}.

சில நேர்க்கோட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம் எல், புள்ளி வழியாக செல்கிறது எம் 0 (x 0 , ஒய் 0) மற்றும் வெக்டருக்கு செங்குத்தாக n(படம்.1). புள்ளியை விடுங்கள் எம்(x,y) வரிக்கு சொந்தமானது எல். பின்னர் ஆயத்தொலைவுகளுடன் திசையன் x−x 0 , y−y 0 செங்குத்தாக nமற்றும் சமன்பாடு (4) திருப்தி அடைந்தது (வெக்டார்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு nமற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்). மாறாக, புள்ளி என்றால் எம்(x,y) ஒரு வரியில் பொய் இல்லை எல், பின்னர் ஆயத்தொலைவுகளுடன் திசையன் x−x 0 , y−yவெக்டருக்கு 0 ஆர்த்தோகனல் இல்லை nமற்றும் சமன்பாடு (4) திருப்தி அடையவில்லை. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஆதாரம். கோடுகள் (5) மற்றும் (6) ஒரே வரியை வரையறுப்பதால், சாதாரண திசையன்கள் n 1 ={ஏ 1 ,பி 1) மற்றும் n 2 ={ஏ 2 ,பி 2) கோலினியர். திசையன்கள் என்பதால் n 1 ≠0, n 2 ≠0, பின்னர் அத்தகைய எண் உள்ளது λ , என்ன n 2 =n 1 λ . இங்கிருந்து எங்களிடம் உள்ளது: ஏ 2 =ஏ 1 λ , பி 2 =பி 1 λ . என்பதை நிரூபிப்போம் சி 2 =சி 1 λ . வெளிப்படையாக, ஒத்துப்போகும் கோடுகள் ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளன எம் 0 (x 0 , ஒய் 0) சமன்பாட்டை (5) ஆல் பெருக்குதல் λ அதிலிருந்து சமன்பாட்டை (6) கழித்தால் நாம் பெறுவோம்:

வெளிப்பாடுகளிலிருந்து முதல் இரண்டு சமத்துவங்கள் (7) திருப்தி அடைந்ததால், பின்னர் சி 1 λ −சி 2 =0. அந்த. சி 2 =சி 1 λ . கருத்து நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

சமன்பாடு (4) புள்ளியின் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை வரையறுக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க எம் 0 (x 0 , ஒய் 0) மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் உள்ளது n={ஏ, பி) எனவே, ஒரு கோட்டின் இயல்பான திசையன் மற்றும் இந்த வரிக்கு சொந்தமான புள்ளி தெரிந்தால், கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டை சமன்பாடு (4) ஐப் பயன்படுத்தி உருவாக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு நேர்கோடு ஒரு புள்ளி வழியாக செல்கிறது எம்=(4,−1) மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் உள்ளது n=(3, 5). ஒரு கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. எங்களிடம் உள்ளது: x 0 =4, ஒய் 0 =−1, ஏ=3, பி=5. ஒரு நேர் கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டை உருவாக்க, இந்த மதிப்புகளை சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம் (4):

பதில்:

திசையன் கோட்டிற்கு இணையாக உள்ளது எல்மற்றும், எனவே, கோட்டின் சாதாரண வெக்டருக்கு செங்குத்தாக எல். ஒரு சாதாரண வரி வெக்டரை உருவாக்குவோம் எல், திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு என்று கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது nமற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். உதாரணமாக, நாம் எழுதலாம். n={1,−3}.

ஒரு நேர் கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டை உருவாக்க, நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (4). புள்ளியின் ஆயங்களை (4) என்று மாற்றுவோம் எம் 1 (புள்ளியின் ஆயங்களையும் நாம் எடுத்துக் கொள்ளலாம் எம் 2) மற்றும் சாதாரண திசையன் n:

புள்ளிகளின் ஆயங்களை மாற்றுதல் எம் 1 மற்றும் எம் 2 இல் (9) சமன்பாடு (9) மூலம் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு இந்த புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது என்பதை உறுதி செய்யலாம்.

பதில்:

(1) இலிருந்து (10) கழிக்கவும்:

கோட்டின் நியதிச் சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம். திசையன் கே={−பி, ஏ) என்பது கோட்டின் திசை திசையன் (12).

தலைகீழ் மாற்றத்தைப் பார்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 3. ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோடு பின்வரும் பொதுவான சமன்பாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது:

இரண்டாவது காலத்தை வலது பக்கம் நகர்த்தி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2·5 ஆல் வகுப்போம்.