முக்கோண பிரமிட்டின் S அடிப்பகுதி. வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு

வீடியோ டுடோரியல் 2: பிரமிட் பிரச்சனை. பிரமிட்டின் அளவு

வீடியோ டுடோரியல் 3: பிரமிட் பிரச்சனை. சரியான பிரமிடு

விரிவுரை: பிரமிட், அதன் அடிப்படை, பக்கவாட்டு விலா எலும்புகள், உயரம், பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு; முக்கோண பிரமிடு; வழக்கமான பிரமிடு

பிரமிட், அதன் பண்புகள்

பிரமிட்ஒரு முப்பரிமாண உடல் அதன் அடிப்பகுதியில் பலகோணத்தைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அதன் அனைத்து முகங்களும் முக்கோணங்களைக் கொண்டிருக்கும்.

ஒரு பிரமிட்டின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு அதன் அடிப்பகுதியில் ஒரு வட்டத்துடன் கூடிய ஒரு கூம்பு ஆகும்.

பிரமிட்டின் முக்கிய கூறுகளைப் பார்ப்போம்:

அபோதெம்- இது பிரமிட்டின் மேற்புறத்தை பக்க முகத்தின் கீழ் விளிம்பின் நடுவில் இணைக்கும் ஒரு பகுதி. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது பிரமிட்டின் விளிம்பின் உயரம்.

படத்தில் நீங்கள் ADS, ABS, BCS, CDS முக்கோணங்களைக் காணலாம். நீங்கள் பெயர்களை உற்று நோக்கினால், ஒவ்வொரு முக்கோணத்திற்கும் அதன் பெயரில் ஒரு பொதுவான எழுத்து இருப்பதைக் காணலாம் - எஸ். அதாவது, அனைத்து பக்க முகங்களும் (முக்கோணங்கள்) ஒரு கட்டத்தில் ஒன்றிணைகின்றன, இது பிரமிட்டின் மேல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. .

அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளியுடன் உச்சியை இணைக்கும் பிரிவு OS (முக்கோணங்களின் விஷயத்தில் - உயரங்களின் வெட்டும் புள்ளியில்) அழைக்கப்படுகிறது பிரமிடு உயரம்.

மூலைவிட்டப் பகுதி என்பது பிரமிட்டின் மேற்புறம் வழியாக செல்லும் ஒரு விமானம், அத்துடன் அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டங்களில் ஒன்றாகும்.

பிரமிட்டின் பக்க மேற்பரப்பு முக்கோணங்களைக் கொண்டிருப்பதால், பக்க மேற்பரப்பின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு முகத்தின் பகுதியையும் கண்டுபிடித்து அவற்றைச் சேர்க்க வேண்டியது அவசியம். முகங்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் வடிவம் அடித்தளத்தில் இருக்கும் பலகோணத்தின் பக்கங்களின் வடிவம் மற்றும் அளவைப் பொறுத்தது.

ஒரு பிரமிட்டில் அதன் உச்சிக்கு சொந்தமில்லாத ஒரே விமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படையில்பிரமிடுகள்.

படத்தில் நாம் அடிப்படை ஒரு இணையான வரைபடம் என்று பார்க்கிறோம், இருப்பினும், அது எந்த தன்னிச்சையான பலகோணமாக இருக்கலாம்.

பண்புகள்:

ஒரு பிரமிட்டின் முதல் வழக்கைக் கவனியுங்கள், அதில் ஒரே நீளத்தின் விளிம்புகள் உள்ளன:

• அத்தகைய பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை வரையலாம். அத்தகைய பிரமிட்டின் மேற்புறத்தை நீங்கள் முன்வைத்தால், அதன் திட்டம் வட்டத்தின் மையத்தில் அமைந்திருக்கும்.
• பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் உள்ள கோணங்கள் ஒவ்வொரு முகத்திலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
• இந்த வழக்கில், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடியும் என்பதற்கும், அனைத்து விளிம்புகளும் வெவ்வேறு நீளங்களைக் கொண்டிருப்பதற்கும் போதுமான நிபந்தனை, அடித்தளத்திற்கும் முகங்களின் ஒவ்வொரு விளிம்பிற்கும் இடையில் ஒரே கோணங்களாகக் கருதப்படலாம்.

பக்க முகங்களுக்கும் அடித்தளத்திற்கும் இடையிலான கோணங்கள் சமமாக இருக்கும் ஒரு பிரமிட்டை நீங்கள் கண்டால், பின்வரும் பண்புகள் உண்மையாக இருக்கும்:

• பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை நீங்கள் விவரிக்க முடியும், அதன் உச்சம் சரியாக மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.
• நீங்கள் உயரத்தின் ஒவ்வொரு பக்க விளிம்பையும் அடித்தளத்திற்கு வரைந்தால், அவை சம நீளமாக இருக்கும்.
• அத்தகைய பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பைக் கண்டுபிடிக்க, அடித்தளத்தின் சுற்றளவைக் கண்டுபிடித்து உயரத்தின் பாதி நீளத்தால் பெருக்க போதுமானது.
• S bp = 0.5P oc H.
• பிரமிடு வகைகள்.
• பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் எந்த பலகோணம் உள்ளது என்பதைப் பொறுத்து, அவை முக்கோண, நாற்கர வடிவமாக இருக்கலாம். பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் வழக்கமான பலகோணம் (சம பக்கங்களுடன்) இருந்தால், அத்தகைய பிரமிடு வழக்கமானது என்று அழைக்கப்படும்.

வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு

வரையறை

பிரமிட்ஒரு பலகோணம் \(A_1A_2...A_n\) மற்றும் \(n\) முக்கோணங்கள் ஒரு பொதுவான உச்சியில் \(P\) (பலகோணத்தின் விமானத்தில் பொய் இல்லை) மற்றும் அதற்கு எதிரே உள்ள பக்கங்களுடன் இணைந்த ஒரு பாலிஹெட்ரான் பலகோணத்தின் பக்கங்கள்.
பதவி: \(PA_1A_2...A_n\) .
எடுத்துக்காட்டு: பென்டகோனல் பிரமிடு \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

முக்கோணங்கள் \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), போன்றவை. அழைக்கப்படுகின்றன பக்க முகங்கள்பிரமிடுகள், பிரிவுகள் \(PA_1, PA_2\) போன்றவை. – பக்கவாட்டு விலா எலும்புகள், பலகோணம் \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – அடிப்படையில், புள்ளி \(P\) – மேல்.

உயரம்பிரமிடுகள் என்பது பிரமிட்டின் உச்சியில் இருந்து அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இறங்கும்.

அதன் அடிவாரத்தில் முக்கோணத்துடன் கூடிய பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது டெட்ராஹெட்ரான்.

பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது சரி, அதன் அடிப்படை வழக்கமான பலகோணமாக இருந்தால் மற்றும் பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால்:

\((a)\) பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் சமம்;

\((b)\) பிரமிட்டின் உயரம் அடிப்பகுதிக்கு அருகில் வட்டத்தின் மையப்பகுதி வழியாக செல்கிறது;

\((c)\) பக்க விலா எலும்புகள் ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்திருக்கும்.

\((d)\) பக்க முகங்கள் ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்திருக்கும்.

வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான்ஒரு முக்கோண பிரமிடு, அதன் அனைத்து முகங்களும் சமமான சமபக்க முக்கோணங்கள்.

தேற்றம்

நிபந்தனைகள் \((a), (b), (c), (d)\) சமமானவை.

ஆதாரம்

பிரமிட்டின் உயரத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் \(PH\) . \(\alpha\) என்பது பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் விமானமாக இருக்கட்டும்.

1) \((a)\) இலிருந்து \((b)\) பின்வருமாறு வருகிறது என்பதை நிரூபிப்போம். \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

ஏனெனில் \(PH\perp \alpha\), பின்னர் \(PH\) இந்த விமானத்தில் இருக்கும் எந்த கோட்டிற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும், அதாவது முக்கோணங்கள் வலது கோணத்தில் இருக்கும். இதன் பொருள் இந்த முக்கோணங்கள் பொதுவான கால் \(PH\) மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . இதன் பொருள் \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . அதாவது \(A_1, A_2, ..., A_n\) புள்ளிகள் \(H\) புள்ளியில் இருந்து அதே தூரத்தில் உள்ளன, எனவே, அவை \(A_1H\) ஆரம் கொண்ட ஒரே வட்டத்தில் உள்ளன. இந்த வட்டம், வரையறையின்படி, பலகோணத்தைப் பற்றி சுருக்கப்பட்டுள்ளது \(A_1A_2...A_n\) .

2) \((b)\) என்பது \((c)\) என்பதை நிரூபிப்போம்.

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)செவ்வக மற்றும் இரண்டு கால்களில் சமமானது. இதன் பொருள் அவற்றின் கோணங்களும் சமமானவை, எனவே, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) \((c)\) என்பது \((a)\) என்பதை நிரூபிப்போம்.

முதல் புள்ளியைப் போலவே, முக்கோணங்களும் \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்தில் செவ்வக வடிவமானது. அதாவது, அவற்றின் ஹைப்போடெனஸ்களும் சமமாக இருக்கும், அதாவது \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) \((b)\) என்பது \((d)\) என்பதை நிரூபிப்போம்.

ஏனெனில் ஒரு வழக்கமான பலகோணத்தில், சுற்றப்பட்ட மற்றும் பொறிக்கப்பட்ட வட்டங்களின் மையங்கள் ஒன்றிணைகின்றன (பொதுவாக, இந்த புள்ளி வழக்கமான பலகோணத்தின் மையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது), பின்னர் \(H\) என்பது பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையமாகும். \(H\) புள்ளியில் இருந்து அடித்தளத்தின் பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக வரைவோம்: \(HK_1, HK_2\), முதலியன. இவை பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரங்கள் (வரையறையின்படி). பின்னர் TTP படி (\(PH\) விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது, \(HK_1, HK_2\) போன்றவை பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் கணிப்புகள்) சாய்ந்த \(PK_1, PK_2\) போன்றவை. பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக \(A_1A_2, A_2A_3\), முதலியன. முறையே. எனவே, வரையறையின்படி \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)பக்க முகங்கள் மற்றும் அடித்தளத்திற்கு இடையே உள்ள கோணங்களுக்கு சமம். ஏனெனில் முக்கோணங்கள் \(PK_1H, PK_2H, ...\) சமமாக இருக்கும் (இரண்டு பக்கங்களிலும் செவ்வகமாக), பின்னர் கோணங்கள் \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\)சமமாக உள்ளன.

5) \((d)\) என்பது \((b)\) என்பதை நிரூபிப்போம்.

நான்காவது புள்ளியைப் போலவே, முக்கோணங்கள் \(PK_1H, PK_2H, ...\) சமமாக இருக்கும் (கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்தில் செவ்வகமாக), அதாவது பிரிவுகள் \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) சமமான. இதன் பொருள், வரையறையின்படி, \(H\) என்பது அடித்தளத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு வட்டத்தின் மையம். ஆனால் ஏனெனில் வழக்கமான பலகோணங்களுக்கு, பொறிக்கப்பட்ட மற்றும் சுற்றப்பட்ட வட்டங்களின் மையங்கள் ஒன்றிணைகின்றன, பின்னர் \(H\) என்பது சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் மையமாகும். Chtd.

விளைவு

வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகங்கள் சம ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்களாகும்.

வரையறை

அதன் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகத்தின் உயரம் அழைக்கப்படுகிறது apothem.
ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் அபோதெம்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவை மற்றும் இடைநிலைகள் மற்றும் இருபிரிவுகளாகும்.

முக்கிய குறிப்புகள்

1. ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் உயரம் அடிப்பகுதியின் உயரங்கள் (அல்லது இருசமப்பிரிவுகள் அல்லது இடைநிலைகள்) வெட்டும் இடத்தில் விழுகிறது (அடிப்படையானது வழக்கமான முக்கோணம்).

2. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் உயரம் அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் விழுகிறது (அடிப்படை ஒரு சதுரம்).

3. ஒரு வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் உயரம் அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் விழுகிறது (அடிப்படை ஒரு வழக்கமான அறுகோணம்).

4. பிரமிட்டின் உயரம் அடிவாரத்தில் இருக்கும் எந்த நேர்கோட்டிற்கும் செங்குத்தாக உள்ளது.

வரையறை

பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது செவ்வக, அதன் பக்க விளிம்புகளில் ஒன்று அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால்.

முக்கிய குறிப்புகள்

1. ஒரு செவ்வக பிரமிட்டில், அடிப்பகுதிக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் விளிம்பு பிரமிட்டின் உயரமாகும். அதாவது, \(SR\) என்பது உயரம்.

2. ஏனெனில் \(SR\) அடிவாரத்தில் இருந்து எந்தக் கோட்டிற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும் \(\முக்கோணம் எஸ்ஆர்எம், \முக்கோணம் எஸ்ஆர்பி\)- வலது முக்கோணங்கள்.

3. முக்கோணங்கள் \(\முக்கோணம் SRN, \முக்கோணம் SRK\)- மேலும் செவ்வக.
அதாவது, இந்த விளிம்பால் உருவாகும் எந்த முக்கோணமும், அடிவாரத்தில் இருக்கும் இந்த விளிம்பின் உச்சியிலிருந்து வெளிவரும் மூலைவிட்டமும் செவ்வகமாக இருக்கும்.

\[(\பெரியது(\உரை(பிரமிட்டின் அளவு மற்றும் பரப்பளவு)))\]

தேற்றம்

பிரமிட்டின் அளவு அடித்தளத்தின் பரப்பளவு மற்றும் பிரமிட்டின் உயரத்தின் மூன்றில் ஒரு பங்கிற்கு சமம்: \

விளைவுகள்

\(a\) அடித்தளத்தின் பக்கமாக இருக்கட்டும், \(h\) பிரமிட்டின் உயரமாக இருக்கட்டும்.

1. வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அளவு \(V_(\text(right triangle.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் கன அளவு \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் அளவு \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் அளவு \(V_(\text(வலது tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

தேற்றம்

ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அடித்தளம் மற்றும் அபோதெமின் சுற்றளவு பாதி தயாரிப்புக்கு சமம்.

\[(\பெரிய(\உரை(விரக்தி)))\]

வரையறை

தன்னிச்சையான பிரமிடு \(PA_1A_2A_3...A_n\) . பிரமிட்டின் பக்க விளிம்பில் இருக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் வழியாக பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கு இணையாக ஒரு விமானத்தை வரைவோம். இந்த விமானம் பிரமிட்டை இரண்டு பாலிஹெட்ராவாகப் பிரிக்கும், அதில் ஒன்று பிரமிடு (\(PB_1B_2...B_n\)), மற்றொன்று அழைக்கப்படுகிறது துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு இரண்டு தளங்களைக் கொண்டுள்ளது - பலகோணங்கள் \(A_1A_2...A_n\) மற்றும் \(B_1B_2...B_n\) இவை ஒன்றுக்கொன்று ஒத்தவை.

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் உயரம், மேல் தளத்தின் சில புள்ளிகளிலிருந்து கீழ் தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக வரையப்பட்டதாகும்.

முக்கிய குறிப்புகள்

1. துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களும் ட்ரேப்சாய்டுகள்.

2. வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் தளங்களின் மையங்களை இணைக்கும் பிரிவு (அதாவது, வழக்கமான பிரமிட்டின் குறுக்குவெட்டு மூலம் பெறப்பட்ட பிரமிடு) உயரம்.

கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பணிகளை நாங்கள் தொடர்ந்து பரிசீலித்து வருகிறோம். நிபந்தனை கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் சிக்கல்களை நாங்கள் ஏற்கனவே ஆய்வு செய்துள்ளோம், மேலும் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் அல்லது ஒரு கோணத்திற்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிய வேண்டும்.

ஒரு பிரமிடு என்பது ஒரு பாலிஹெட்ரான், அதன் அடிப்பகுதி பலகோணம், மீதமுள்ள முகங்கள் முக்கோணங்கள், மேலும் அவை பொதுவான உச்சியைக் கொண்டுள்ளன.

ஒரு வழக்கமான பிரமிடு என்பது ஒரு பிரமிடு ஆகும், அதன் அடிப்பகுதியில் ஒரு வழக்கமான பலகோணம் உள்ளது, மேலும் அதன் உச்சியானது அடித்தளத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு - அடித்தளம் ஒரு சதுரம் (சதுரம்) குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் பிரமிட்டின் மேற்பகுதி திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

எம்எல் - அபோதெம்
∠MLO - பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் இருமுனை கோணம்
∠MCO - பக்கவாட்டு விளிம்பிற்கும் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கும் இடையே உள்ள கோணம்

இந்த கட்டுரையில் வழக்கமான பிரமிட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சிக்கல்களைப் பார்ப்போம். நீங்கள் சில உறுப்பு, பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு, தொகுதி, உயரம் ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நிச்சயமாக, நீங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றம், ஒரு பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதிக்கான சூத்திரம் மற்றும் ஒரு பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரம் ஆகியவற்றை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

கட்டுரையில் ஸ்டீரியோமெட்ரியில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்க தேவையான சூத்திரங்களை "" வழங்குகிறது. எனவே, பணிகள்:

SABCDபுள்ளி ஓ- அடித்தளத்தின் மையம்,எஸ்உச்சி, SO = 51, ஏ.சி.= 136. பக்க விளிம்பைக் கண்டறியவும்எஸ்.சி..

இந்த வழக்கில், அடிப்படை ஒரு சதுரம். இதன் பொருள் AC மற்றும் BD ஆகிய மூலைவிட்டங்கள் சமமாக உள்ளன, அவை வெட்டும் மற்றும் வெட்டும் புள்ளியால் பிரிக்கப்படுகின்றன. ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டில் அதன் மேல் இருந்து கீழே விழுந்த உயரம் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் மையத்தின் வழியாக செல்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. எனவே SO என்பது உயரமும் முக்கோணமும் ஆகும்SOCசெவ்வக. பின்னர் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் படி:

ஒரு பெரிய எண்ணின் மூலத்தை எவ்வாறு பிரித்தெடுப்பது.

பதில்: 85

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டில் SABCDபுள்ளி ஓ- அடித்தளத்தின் மையம், எஸ்உச்சி, SO = 4, ஏ.சி.= 6. பக்க விளிம்பைக் கண்டறியவும் எஸ்.சி..

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டில் SABCDபுள்ளி ஓ- அடித்தளத்தின் மையம், எஸ்உச்சி, எஸ்.சி. = 5, ஏ.சி.= 6. பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் SO.

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டில் SABCDபுள்ளி ஓ- அடித்தளத்தின் மையம், எஸ்உச்சி, SO = 4, எஸ்.சி.= 5. பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் ஏ.சி..

SABC ஆர்- விலா எலும்பின் நடுப்பகுதி கி.மு., எஸ்- மேல். என்பது தெரிந்ததே ஏபி= 7, ஏ எஸ்.ஆர்.= 16. பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும்.

ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அடித்தளம் மற்றும் அபோதெம் ஆகியவற்றின் சுற்றளவின் பாதி உற்பத்திக்கு சமம் (அபோதெம் என்பது அதன் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகத்தின் உயரம்):

அல்லது நாம் இதைச் சொல்லலாம்: பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு மூன்று பக்கவாட்டு முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டில் உள்ள பக்கவாட்டு முகங்கள் சம பரப்பளவு கொண்ட முக்கோணங்களாகும். இந்த வழக்கில்:

பதில்: 168

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டில் SABC ஆர்- விலா எலும்பின் நடுப்பகுதி கி.மு., எஸ்- மேல். என்பது தெரிந்ததே ஏபி= 1, ஏ எஸ்.ஆர்.= 2. பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும்.

வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டில் SABC ஆர்- விலா எலும்பின் நடுப்பகுதி கி.மு., எஸ்- மேல். என்பது தெரிந்ததே ஏபி= 1, மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு 3. பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் எஸ்.ஆர்..

வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டில் SABC எல்- விலா எலும்பின் நடுப்பகுதி கி.மு., எஸ்- மேல். என்பது தெரிந்ததே எஸ்.எல்= 2, மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு 3. பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் ஏபி.

வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டில் SABC எம். ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஏபிசி 25 ஆகும், பிரமிட்டின் கன அளவு 100. பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் எம்.எஸ்.

பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி ஒரு சமபக்க முக்கோணமாகும். அதனால் தான் எம்அடித்தளத்தின் மையம், மற்றும்எம்.எஸ்- ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் உயரம்SABC. பிரமிட்டின் அளவு SABCசமம்: தீர்வு காண்க

வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டில் SABCஅடிப்பகுதியின் இடைநிலைகள் புள்ளியில் வெட்டுகின்றன எம். ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஏபிசிசமம் 3, எம்.எஸ்= 1. பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறியவும்.

வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டில் SABCஅடிப்பகுதியின் இடைநிலைகள் புள்ளியில் வெட்டுகின்றன எம். பிரமிட்டின் அளவு 1, எம்.எஸ்= 1. முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் ஏபிசி.

இங்கே முடிக்கலாம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சிக்கல்கள் ஒன்று அல்லது இரண்டு படிகளில் தீர்க்கப்படுகின்றன. எதிர்காலத்தில், புரட்சியின் உடல்கள் வழங்கப்படும் இந்த பகுதியிலிருந்து பிற சிக்கல்களை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம், அதை தவறவிடாதீர்கள்!

உங்களுக்கு நல்ல அதிர்ஷ்டம்!

உண்மையுள்ள, அலெக்சாண்டர் க்ருடிட்ஸ்கிக்.

பி.எஸ்: சமூக வலைப்பின்னல்களில் தளத்தைப் பற்றி நீங்கள் சொன்னால் நான் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன்.

வடிவவியலைப் படிப்பதற்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே மாணவர்கள் பிரமிடு என்ற கருத்தை எதிர்கொள்கின்றனர். தவறு உலகின் புகழ்பெற்ற பெரிய எகிப்திய அதிசயங்களில் உள்ளது. எனவே, இந்த அற்புதமான பாலிஹெட்ரானைப் படிக்கத் தொடங்கும் போது, ​​பெரும்பாலான மாணவர்கள் ஏற்கனவே தெளிவாக கற்பனை செய்கிறார்கள். மேலே குறிப்பிடப்பட்ட அனைத்து இடங்களும் சரியான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. என்ன நடந்தது வழக்கமான பிரமிடு, மற்றும் அது என்ன பண்புகள் மேலும் விவாதிக்கப்படும்.

வரையறை

ஒரு பிரமிடுக்கு நிறைய வரையறைகள் உள்ளன. பண்டைய காலங்களிலிருந்து, இது மிகவும் பிரபலமாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிட் அதை ஒரு உடல் உருவமாக வரையறுத்துள்ளார், இது ஒன்றிலிருந்து தொடங்கி, ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஒன்றிணைகிறது.

ஹெரான் மிகவும் துல்லியமான சூத்திரத்தை வழங்கினார். இதுதான் அந்த உருவம் என்று அவர் வலியுறுத்தினார் முக்கோண வடிவில் ஒரு தளம் மற்றும் விமானங்கள் உள்ளன,ஒரு கட்டத்தில் ஒன்றிணைகிறது.

நவீன விளக்கத்தின் அடிப்படையில், பிரமிடு ஒரு குறிப்பிட்ட k-gon மற்றும் k தட்டையான முக்கோண உருவங்களைக் கொண்ட இடஞ்சார்ந்த பாலிஹெட்ரானாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது, இது ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது.

அதை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம், இது என்ன கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது:

• k-gon உருவத்தின் அடிப்படையாகக் கருதப்படுகிறது;
• 3-கோனல் வடிவங்கள் பக்க பகுதியின் விளிம்புகளாக நீண்டு செல்கின்றன;
• பக்க உறுப்புகள் உருவாகும் மேல் பகுதி உச்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது;
• உச்சியை இணைக்கும் அனைத்து பிரிவுகளும் விளிம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன;
• 90 டிகிரி கோணத்தில் உச்சியில் இருந்து உருவத்தின் விமானத்திற்கு ஒரு நேர் கோடு குறைக்கப்பட்டால், அதன் உள் இடத்தில் உள்ள பகுதி பிரமிட்டின் உயரம்;
• எந்தவொரு பக்கவாட்டு உறுப்புகளிலும், செங்குத்தாக, அபோதெம் எனப்படும், நமது பாலிஹெட்ரானின் பக்கமாக வரையப்படலாம்.

விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை 2*k சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது, இங்கு k என்பது k-gon இன் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை. பிரமிடு போன்ற பாலிஹெட்ரானுக்கு எத்தனை முகங்கள் உள்ளன என்பதை k+1 என்ற வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்க முடியும்.

முக்கியமானது!வழக்கமான வடிவத்தின் ஒரு பிரமிடு என்பது ஒரு ஸ்டீரியோமெட்ரிக் உருவமாகும், அதன் அடிப்படைத் தளம் சமமான பக்கங்களைக் கொண்ட கே-கோன் ஆகும்.

அடிப்படை பண்புகள்

சரியான பிரமிடு பல பண்புகளை கொண்டது,அவளுக்கு தனித்துவமானவை. அவற்றை பட்டியலிடுவோம்:

1. அடிப்படையானது சரியான வடிவத்தின் உருவம்.
2. பக்க உறுப்புகளை கட்டுப்படுத்தும் பிரமிட்டின் விளிம்புகள் சம எண் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன.
3. பக்க உறுப்புகள் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்கள்.
4. உருவத்தின் உயரத்தின் அடிப்பகுதி பலகோணத்தின் மையத்தில் விழுகிறது, அதே நேரத்தில் அது பொறிக்கப்பட்ட மற்றும் சுற்றப்பட்டவற்றின் மையப் புள்ளியாகும்.
5. அனைத்து பக்க விலா எலும்புகளும் ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்துள்ளன.
6. அனைத்து பக்க மேற்பரப்புகளும் அடித்தளத்துடன் தொடர்புடைய சாய்வின் ஒரே கோணத்தைக் கொண்டுள்ளன.

பட்டியலிடப்பட்ட அனைத்து பண்புகளுக்கும் நன்றி, உறுப்பு கணக்கீடுகளைச் செய்வது மிகவும் எளிமையானது. மேலே உள்ள பண்புகளின் அடிப்படையில், நாங்கள் கவனம் செலுத்துகிறோம் இரண்டு அறிகுறிகள்:

1. பலகோணம் ஒரு வட்டத்தில் பொருந்தினால், பக்க முகங்கள் அடித்தளத்துடன் சமமான கோணங்களைக் கொண்டிருக்கும்.
2. ஒரு பலகோணத்தைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்கும் போது, ​​உச்சியில் இருந்து வெளிப்படும் பிரமிட்டின் அனைத்து விளிம்புகளும் சம நீளம் மற்றும் அடித்தளத்துடன் சமமான கோணங்களைக் கொண்டிருக்கும்.

அடிப்படை ஒரு சதுரம்

வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு - ஒரு சதுரமாக இருக்கும் ஒரு பாலிஹெட்ரான்.

இது நான்கு பக்க முகங்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை தோற்றத்தில் ஐசோசெல்ஸ் ஆகும்.

ஒரு சதுரம் ஒரு விமானத்தில் சித்தரிக்கப்படுகிறது, ஆனால் வழக்கமான நாற்கரத்தின் அனைத்து பண்புகளையும் அடிப்படையாகக் கொண்டது.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சதுரத்தின் பக்கத்தை அதன் மூலைவிட்டத்துடன் தொடர்புபடுத்துவது அவசியமானால், பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: மூலைவிட்டமானது சதுரத்தின் பக்கத்தின் பெருக்கத்திற்கும் இரண்டின் வர்க்க மூலத்திற்கும் சமம்.

இது வழக்கமான முக்கோணத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது

ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு என்பது ஒரு பாலிஹெட்ரான் ஆகும், அதன் அடிப்படை வழக்கமான 3-கோன் ஆகும்.

அடிப்படை ஒரு வழக்கமான முக்கோணமாக இருந்தால், மற்றும் பக்க விளிம்புகள் அடித்தளத்தின் விளிம்புகளுக்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய உருவம் டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

டெட்ராஹெட்ரானின் அனைத்து முகங்களும் சமபக்க 3-கோன்கள். இந்த வழக்கில், நீங்கள் சில புள்ளிகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் கணக்கிடும்போது நேரத்தை வீணாக்காதீர்கள்:

• எந்த அடித்தளத்திற்கும் விலா எலும்புகளின் சாய்வின் கோணம் 60 டிகிரி ஆகும்;
• அனைத்து உள் முகங்களின் அளவும் 60 டிகிரி;
• எந்த முகமும் ஒரு தளமாக செயல்பட முடியும்;
• , உருவத்தின் உள்ளே வரையப்பட்டால், இவை சமமான கூறுகள்.

ஒரு பாலிஹெட்ரானின் பிரிவுகள்

எந்த பாலிஹெட்ரானில் உள்ளன பல வகையான பிரிவுகள்தட்டையானது. பெரும்பாலும் பள்ளி வடிவியல் பாடத்தில் அவர்கள் இருவருடன் வேலை செய்கிறார்கள்:

• அச்சு;
• அடிப்படைக்கு இணையாக.

உச்சி, பக்க விளிம்புகள் மற்றும் அச்சின் வழியாக செல்லும் ஒரு விமானத்துடன் ஒரு பாலிஹெட்ரானை வெட்டுவதன் மூலம் ஒரு அச்சுப் பிரிவு பெறப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், அச்சு என்பது உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட உயரம். வெட்டு விமானம் அனைத்து முகங்களுடனும் வெட்டும் கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, இதன் விளைவாக ஒரு முக்கோணம்.

கவனம்!ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டில், அச்சுப் பகுதி ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணமாகும்.

வெட்டு விமானம் அடித்தளத்திற்கு இணையாக இயங்கினால், இதன் விளைவாக இரண்டாவது விருப்பம். இந்த வழக்கில், அடிப்படைக்கு ஒத்த குறுக்கு வெட்டு உருவம் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டாக, அடிவாரத்தில் ஒரு சதுரம் இருந்தால், அடித்தளத்திற்கு இணையான பகுதியும் ஒரு சதுரமாக இருக்கும், சிறிய பரிமாணங்கள் மட்டுமே.

இந்த நிலையில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​அவை உருவங்களின் ஒற்றுமையின் அடையாளங்களையும் பண்புகளையும் பயன்படுத்துகின்றன. தேல்ஸின் தேற்றத்தின் அடிப்படையில். முதலில், ஒற்றுமை குணகத்தை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

விமானம் அடித்தளத்திற்கு இணையாக வரையப்பட்டால், அது பாலிஹெட்ரானின் மேல் பகுதியை வெட்டினால், கீழ் பகுதியில் ஒரு வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு பெறப்படுகிறது. பின்னர் துண்டிக்கப்பட்ட பாலிஹெட்ரானின் தளங்கள் ஒத்த பலகோணங்கள் என்று கூறப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பக்க முகங்கள் ஐசோசெல்ஸ் ட்ரெப்சாய்டுகள். அச்சுப் பகுதியும் ஐசோசெல்ஸ் ஆகும்.

துண்டிக்கப்பட்ட பாலிஹெட்ரானின் உயரத்தை தீர்மானிக்க, அச்சு பிரிவில், அதாவது ட்ரெப்சாய்டில் உயரத்தை வரைய வேண்டியது அவசியம்.

மேற்பரப்பு பகுதிகள்

பள்ளி வடிவியல் பாடத்தில் தீர்க்கப்பட வேண்டிய முக்கிய வடிவியல் சிக்கல்கள் ஒரு பிரமிட்டின் பரப்பளவு மற்றும் அளவைக் கண்டறிதல்.

இரண்டு வகையான மேற்பரப்பு மதிப்புகள் உள்ளன:

• பக்க உறுப்புகளின் பகுதி;
• முழு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு.

பெயரிலிருந்தே நாம் எதைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பது தெளிவாகிறது. பக்க மேற்பரப்பு பக்க கூறுகளை மட்டுமே உள்ளடக்கியது. இதிலிருந்து அதைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பக்கவாட்டு விமானங்களின் பகுதிகளைச் சேர்க்க வேண்டும், அதாவது ஐசோசெல்ஸ் 3-கோன்களின் பகுதிகள். பக்க உறுப்புகளின் பகுதிக்கான சூத்திரத்தைப் பெற முயற்சிப்போம்:

1. ஐசோசெல்ஸ் 3-கோனின் பரப்பளவு Str=1/2(aL) க்கு சமம், இங்கு a என்பது அடித்தளத்தின் பக்கம், L என்பது அபோதெம்.
2. பக்கவாட்டு விமானங்களின் எண்ணிக்கையானது அடிவாரத்தில் உள்ள k-gon வகையைப் பொறுத்தது. உதாரணமாக, ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு நான்கு பக்கவாட்டு விமானங்களைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L ஆகிய நான்கு உருவங்களின் பகுதிகளைச் சேர்க்க வேண்டும். 4a = Rosn என்ற மதிப்பு இந்த வழியில் எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இங்கு Rosn என்பது அடித்தளத்தின் சுற்றளவு. மற்றும் வெளிப்பாடு 1/2*Rosn அதன் அரை சுற்றளவு.
3. எனவே, ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு கூறுகளின் பரப்பளவு அடித்தளத்தின் அரை சுற்றளவு மற்றும் அபோதெம் ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமம் என்று முடிவு செய்கிறோம்: Sside = Rosn * L.

பிரமிட்டின் மொத்த மேற்பரப்பின் பரப்பளவு பக்க விமானங்களின் பகுதிகள் மற்றும் அடித்தளத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டுள்ளது: Sp.p = Sside + Sbas.

அடித்தளத்தின் பரப்பளவைப் பொறுத்தவரை, இங்கே பலகோணத்தின் வகைக்கு ஏற்ப சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வழக்கமான பிரமிட்டின் அளவுஅடிப்படை விமானத்தின் பரப்பளவு மற்றும் உயரத்தை மூன்றால் வகுக்க சமம்: V=1/3*Sbas*H, இங்கு H என்பது பாலிஹெட்ரானின் உயரம்.

வடிவவியலில் வழக்கமான பிரமிடு என்றால் என்ன

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் பண்புகள்