கணிதம் அறிவியலின் ஞானத்தின் சின்னமாகும்,

விஞ்ஞான கடுமை மற்றும் எளிமையின் மாதிரி,

அறிவியலில் சிறப்பு மற்றும் அழகுக்கான தரநிலை.

ரஷ்ய தத்துவஞானி, பேராசிரியர் ஏ.வி. வோலோஷினோவ்

மாடுலஸ் உடன் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

பள்ளி கணிதத்தில் தீர்க்க மிகவும் கடினமான பிரச்சனைகள் சமத்துவமின்மை, மாடுலஸ் குறியின் கீழ் மாறிகள் கொண்டிருக்கும். இத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகளை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, நீங்கள் தொகுதியின் பண்புகளை நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும் மற்றும் அவற்றைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறன்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

அடிப்படை கருத்துக்கள் மற்றும் பண்புகள்

ஒரு உண்மையான எண்ணின் மாடுலஸ் (முழுமையான மதிப்பு).மூலம் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

ஒரு தொகுதியின் எளிய பண்புகள் பின்வரும் உறவுகளை உள்ளடக்கியது:

மற்றும் .

குறிப்பு, கடைசி இரண்டு பண்புகள் எந்த சீரான பட்டத்திற்கும் செல்லுபடியாகும்.

மேலும், என்றால், எங்கே, பின்னர் மற்றும்

மிகவும் சிக்கலான தொகுதி பண்புகள், சமன்பாடுகள் மற்றும் சமத்துவமின்மைகளை மாடுலியுடன் தீர்க்கும் போது திறம்பட பயன்படுத்தப்படலாம், பின்வரும் கோட்பாடுகள் மூலம் உருவாக்கப்படுகின்றன:

தேற்றம் 1.எந்த பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளுக்கும்மற்றும் சமத்துவமின்மை உண்மை.

தேற்றம் 2.சமத்துவம் சமத்துவமின்மைக்கு சமம்.

தேற்றம் 3.சமத்துவம் சமத்துவமின்மைக்கு சமம்.

பள்ளிக் கணிதத்தில் மிகவும் பொதுவான ஏற்றத்தாழ்வுகள், மாடுலஸ் அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத மாறிகளைக் கொண்டுள்ளது, வடிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகள்மற்றும் , எங்கே சில நேர்மறை மாறிலி.

தேற்றம் 4.சமத்துவமின்மை இரட்டை சமத்துவமின்மைக்கு சமம், மற்றும் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பைத் தீர்க்க குறைக்கிறதுமற்றும் .

இந்த தேற்றம் 6 மற்றும் 7 தேற்றங்களின் சிறப்பு வழக்கு.

மிகவும் சிக்கலான ஏற்றத்தாழ்வுகள், ஒரு தொகுதியைக் கொண்டிருப்பது படிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகள் ஆகும், மற்றும்.

இத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை பின்வரும் மூன்று தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கலாம்.

தேற்றம் 5.சமத்துவமின்மை இரண்டு சமத்துவமின்மை அமைப்புகளின் கலவைக்கு சமம்

நான் (1)

ஆதாரம்.அன்றிலிருந்து

இது (1) இன் செல்லுபடியைக் குறிக்கிறது.

தேற்றம் 6.சமத்துவமின்மை சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கு சமமானதாகும்

ஆதாரம்.ஏனெனில், பின்னர் சமத்துவமின்மையிலிருந்துஅதை பின்பற்றுகிறது . இந்த நிலையில், சமத்துவமின்மைஇந்த வழக்கில் சமத்துவமின்மைகளின் இரண்டாவது அமைப்பு (1) சீரற்றதாக மாறும்.

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

தேற்றம் 7.சமத்துவமின்மை ஒரு சமத்துவமின்மை மற்றும் இரண்டு சமத்துவமின்மை அமைப்புகளின் கலவைக்கு சமம்

நான் (3)

ஆதாரம்., பின்னர் சமத்துவமின்மை எப்போதும் செயல்படுத்தப்படும், என்றால்.

விடுங்கள் பின்னர் சமத்துவமின்மைசமத்துவமின்மைக்கு சமமாக இருக்கும், இதிலிருந்து இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பைப் பின்பற்றுகிறதுமற்றும் .

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

"சமத்துவமின்மைகள்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம், மாடுலஸ் குறியின் கீழ் மாறிகளைக் கொண்டுள்ளது."

மாடுலஸ் மூலம் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

மாடுலஸ் மூலம் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய முறை முறை, தொகுதி விரிவாக்கத்தின் அடிப்படையில். இந்த முறை உலகளாவியது, இருப்பினும், பொது வழக்கில், அதன் பயன்பாடு மிகவும் சிக்கலான கணக்கீடுகளுக்கு வழிவகுக்கும். எனவே, இத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பிற (மிகவும் பயனுள்ள) முறைகள் மற்றும் நுட்பங்களை மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டும். குறிப்பாக, தேற்றங்களைப் பயன்படுத்துவதில் திறமை இருப்பது அவசியம், இந்த கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 1.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (4)

தீர்வு."கிளாசிக்கல்" முறையைப் பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மையை (4) தீர்ப்போம் - தொகுதிகளை வெளிப்படுத்தும் முறை. இந்த நோக்கத்திற்காக, நாம் எண் அச்சை பிரிக்கிறோம்புள்ளிகள் மற்றும் இடைவெளியில் மற்றும் மூன்று வழக்குகளை கருத்தில்.

1. என்றால் , பின்னர் , , , சமத்துவமின்மை (4) வடிவம் பெறுகிறதுஅல்லது .

வழக்கு இங்கே கருதப்படுவதால், அது சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வாகும் (4).

2. என்றால், சமத்துவமின்மையிலிருந்து (4) நாம் பெறுகிறோம்அல்லது . இடைவெளிகளின் குறுக்குவெட்டு என்பதால்மற்றும் காலியாக உள்ளது, பின்னர் பரிசீலனையில் உள்ள தீர்வுகளின் இடைவெளியில் சமத்துவமின்மை இல்லை (4).

3. என்றால், பின்னர் சமத்துவமின்மை (4) வடிவம் பெறுகிறதுஅல்லது . என்பது வெளிப்படையானது சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வாகவும் உள்ளது (4).

பதில்:,.

எடுத்துக்காட்டு 2.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.என்று வைத்துக் கொள்வோம். ஏனெனில், பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மை வடிவம் பெறுகிறதுஅல்லது . அன்றிலிருந்து மற்றும் இங்கிருந்து அது பின்வருமாறுஅல்லது .

எனினும், எனவே அல்லது.

எடுத்துக்காட்டு 3.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (5)

தீர்வு.ஏனெனில், சமத்துவமின்மை (5) சமத்துவமின்மைக்கு சமம்அல்லது . இங்கிருந்து, தேற்றம் 4 இன் படி, எங்களிடம் சமத்துவமின்மைகள் உள்ளனமற்றும் .

பதில்:,.

எடுத்துக்காட்டு 4.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (6)

தீர்வு.குறிப்போம். சமத்துவமின்மையிலிருந்து (6) நாம் ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பெறுகிறோம், , அல்லது .

இங்கிருந்து, இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம். ஏனெனில், பின்னர் இங்கே சமத்துவமின்மை அமைப்பு உள்ளது

அமைப்பின் முதல் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு (7) இரண்டு இடைவெளிகளின் ஒன்றியம் ஆகும்மற்றும், மற்றும் இரண்டாவது சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வு இரட்டை சமத்துவமின்மை ஆகும். இதிலிருந்து பின்வருமாறு, சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கான தீர்வு (7) இரண்டு இடைவெளிகளின் ஒன்றியம் ஆகும்மற்றும் .

பதில்:,

எடுத்துக்காட்டு 5.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (8)

தீர்வு. சமத்துவமின்மையை (8) பின்வருமாறு மாற்றுவோம்:

அல்லது .

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்துதல், சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வைப் பெறுகிறோம் (8).

பதில்: .

குறிப்பு. தேற்றம் 5 இன் நிபந்தனைகளை வைத்து, நாம் பெறுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (9)

தீர்வு. சமத்துவமின்மையிலிருந்து (9) அது பின்வருமாறு. சமத்துவமின்மையை (9) பின்வருமாறு மாற்றுவோம்:

அல்லது

முதல் , பின்னர் அல்லது .

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 7.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (10)

தீர்வு.இருந்து மற்றும், பின்னர் அல்லது.

இது தொடர்பாக சமத்துவமின்மை (10) வடிவம் பெறுகிறது

அல்லது

. (11)

அது பின்வருமாறு அல்லது . இருந்து, சமத்துவமின்மை (11) மேலும் குறிக்கிறது அல்லது .

பதில்: .

குறிப்பு. சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கம் தேற்றம் 1ஐப் பயன்படுத்தினால் (10), பிறகு நாம் பெறுவோம் . இதிலிருந்து சமத்துவமின்மை (10) பின்வருமாறு, என்ன அல்லது . ஏனெனில், பின்னர் சமத்துவமின்மை (10) வடிவம் பெறுகிறதுஅல்லது .

எடுத்துக்காட்டு 8.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (12)

தீர்வு.அன்றிலிருந்து மற்றும் சமத்துவமின்மையிலிருந்து (12) அது பின்வருமாறுஅல்லது . எனினும், எனவே அல்லது. இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம் அல்லது .

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 9.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (13)

தீர்வு.தேற்றம் 7 இன் படி, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு (13) அல்லது .

இப்போது இருக்கட்டும். அந்த வழக்கில் சமத்துவமின்மை (13) வடிவம் பெறுகிறதுஅல்லது .

நீங்கள் இடைவெளிகளை இணைத்தால்மற்றும், பின்னர் படிவத்தின் சமத்துவமின்மைக்கு (13) தீர்வைப் பெறுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 10.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (14)

தீர்வு.சமத்துவமின்மையை (14) சமமான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்: . இந்த சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் தேற்றம் 1 ஐப் பயன்படுத்தினால், சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம்.

இங்கிருந்து மற்றும் தேற்றம் 1 இலிருந்து அது பின்வருமாறு, சமத்துவமின்மை (14) எந்த மதிப்புகளுக்கும் திருப்தி அளிக்கிறது.

பதில்: எந்த எண்.

எடுத்துக்காட்டு 11.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (15)

தீர்வு. சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கம் தேற்றம் 1 ஐப் பயன்படுத்துதல் (15), நாம் பெறுகிறோம் . இது மற்றும் சமத்துவமின்மை (15) சமன்பாட்டை அளிக்கிறது, வடிவம் கொண்டது.

தேற்றம் 3 இன் படி, சமன்பாடு சமத்துவமின்மைக்கு சமம். இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 12.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (16)

தீர்வு. சமத்துவமின்மையிலிருந்து (16), தேற்றம் 4 இன் படி, நாம் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

சமத்துவமின்மையை தீர்க்கும் போதுதேற்றம் 6 ஐப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைப் பெறுவோம்அதில் இருந்து பின்வருமாறு.

சமத்துவமின்மையைக் கருதுங்கள். தேற்றம் 7 இன் படி, சமத்துவமின்மைகளின் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம்மற்றும் . இரண்டாவது மக்கள்தொகை சமத்துவமின்மை எந்த உண்மைக்கும் செல்லுபடியாகும்.

எனவே, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு (16)..

எடுத்துக்காட்டு 13.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (17)

தீர்வு.தேற்றம் 1ன் படி எழுதலாம்

(18)

சமத்துவமின்மையை (17) கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், இரண்டு சமத்துவமின்மைகளும் (18) சமத்துவங்களாக மாறும் என்று முடிவு செய்கிறோம், அதாவது. சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது

தேற்றம் 3 மூலம், இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கு சமம்

அல்லது

எடுத்துக்காட்டு 14.சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

. (19)

தீர்வு.அப்போதிருந்து. சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் (19) வெளிப்பாடு மூலம் பெருக்கலாம், இது எந்த மதிப்புகளுக்கும் நேர்மறை மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும். பின்னர் சமத்துவமின்மைக்கு (19) சமமான சமத்துவமின்மையை நாம் பெறுகிறோம்

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம் அல்லது , எங்கே . முதல் மற்றும் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு (19) ஆகும்மற்றும் .

பதில்:,.

ஒரு மாடுலஸ் மூலம் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் பற்றிய ஆழமான ஆய்வுக்கு, பாடப்புத்தகங்களுக்குத் திரும்புவதை நாங்கள் பரிந்துரைக்கிறோம்., பரிந்துரைக்கப்பட்ட இலக்கியங்களின் பட்டியலில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

1. கல்லூரிகளுக்கு விண்ணப்பிப்பவர்களுக்கு கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்களின் தொகுப்பு / எட். எம்.ஐ. ஸ்கானாவி. - எம்.: அமைதி மற்றும் கல்வி, 2013. – 608 பக்.

2. சுப்ருன் வி.பி. உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கான கணிதம்: சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்க்கும் மற்றும் நிரூபிக்கும் முறைகள். – எம்.: லெனாண்ட் / யுஆர்எஸ்எஸ், 2018. – 264 பக்.

3. சுப்ருன் வி.பி. உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கான கணிதம்: சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான தரமற்ற முறைகள். – எம்.: குறுவட்டு “லிப்ரோகாம்” / யுஆர்எஸ்எஸ், 2017. – 296 பக்.

இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா?

ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.

இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

விண்ணப்பம்

மாணவர்கள் மற்றும் பள்ளி மாணவர்களுக்கு அவர்கள் உள்ளடக்கிய விஷயங்களை ஒருங்கிணைப்பதற்காக Math24.biz இல் ஆன்லைனில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது. மற்றும் உங்கள் நடைமுறை திறன்களைப் பயிற்றுவிக்கவும். கணிதத்தில் சமத்துவமின்மை என்பது இரண்டு பொருட்களின் ஒப்பீட்டு அளவு அல்லது வரிசை (ஒரு பொருள் மற்றொன்றை விட சிறியது அல்லது பெரியது அல்ல), அல்லது இரண்டு பொருள்கள் ஒன்றல்ல (சமத்துவ மறுப்பு) பற்றிய அறிக்கை. அடிப்படைக் கணிதத்தில், எண்சார்ந்த ஏற்றத்தாழ்வுகள் பொது இயற்கணிதம், பகுப்பாய்வு மற்றும் வடிவவியலில் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன, எண்ணற்ற இயல்புடைய பொருட்களுக்கு இடையே உள்ள ஏற்றத்தாழ்வுகளும் கருதப்படுகின்றன. சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க, அதன் இரு பகுதிகளும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள சமத்துவமின்மை அறிகுறிகளில் ஒன்றைக் கொண்டு தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும். கடுமையான ஏற்றத்தாழ்வுகள் இரண்டு பொருள்களுக்கு இடையிலான சமத்துவமின்மையைக் குறிக்கின்றன. கடுமையான ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் போலன்றி, கடுமையான சமத்துவமின்மைகள் அதில் உள்ள பொருட்களின் சமத்துவத்தை அனுமதிக்கின்றன. நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் தொடங்குவதற்கு எளிமையான வெளிப்பாடுகள் ஆகும், மேலும் அத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க எளிய நுட்பங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆன்லைனில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது மாணவர்கள் செய்யும் முக்கிய தவறு என்னவென்றால், அவர்கள் கடுமையான மற்றும் கண்டிப்பான சமத்துவமின்மையின் அம்சங்களை வேறுபடுத்துவதில்லை, இது இறுதிப் பதிலில் எல்லை மதிப்புகள் சேர்க்கப்படுமா இல்லையா என்பதை தீர்மானிக்கிறது. பல அறியப்படாதவர்களால் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட பல ஏற்றத்தாழ்வுகள் சமத்துவமின்மை அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அமைப்பில் இருந்து ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு தீர்வு ஒரு விமானத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதி, அல்லது முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு முப்பரிமாண உருவம். இதனுடன், அவை n- பரிமாண இடைவெளிகளால் சுருக்கப்படுகின்றன, ஆனால் இத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது சிறப்பு கணினிகள் இல்லாமல் செய்ய இயலாது. ஒவ்வொரு சமத்துவமின்மைக்கும் தனித்தனியாக, தீர்வு பகுதியின் எல்லைகளில் தெரியாதவற்றின் மதிப்புகளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். சமத்துவமின்மைக்கான அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்பு அதன் பதில். ஒரு சமத்துவமின்மையை அதற்குச் சமமான மற்றொரு சமத்துவமின்மையுடன் மாற்றுவது ஒரு சமத்துவமின்மையிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு சமமான மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதேபோன்ற அணுகுமுறை மற்ற துறைகளிலும் காணப்படுகிறது, ஏனெனில் இது வெளிப்பாடுகளை ஒரு நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வர உதவுகிறது. எங்கள் இணையதளத்தில் ஆன்லைனில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதன் அனைத்து நன்மைகளையும் நீங்கள் பாராட்டுவீர்கள். சமத்துவமின்மை என்பது => அறிகுறிகளில் ஒன்றைக் கொண்ட ஒரு வெளிப்பாடு ஆகும். அடிப்படையில் இது ஒரு தர்க்கரீதியான வெளிப்பாடு. இது உண்மையாகவோ அல்லது பொய்யாகவோ இருக்கலாம் - இந்த சமத்துவமின்மையில் வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் இருப்பதைப் பொறுத்து. சமத்துவமின்மையின் அர்த்தத்தின் விளக்கம் மற்றும் சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை நுட்பங்கள் பல்வேறு படிப்புகளிலும், பள்ளியிலும் படிக்கப்படுகின்றன. ஆன்லைனில் ஏதேனும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது - இணையத்தில் மாடுலஸ், இயற்கணிதம், முக்கோணவியல், ஆழ்நிலை ஏற்றத்தாழ்வுகளுடன் ஏற்றத்தாழ்வுகள். ஒரே மாதிரியான ஏற்றத்தாழ்வுகள், கண்டிப்பான மற்றும் கண்டிப்பான சமத்துவமின்மை போன்றவை, இறுதி முடிவை அடைவதற்கான செயல்முறையை எளிதாக்குகிறது மற்றும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு துணை கருவியாகும். எந்த ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் சமத்துவமின்மை அமைப்புகளுக்கான தீர்வு, அவை மடக்கை, அதிவேக, முக்கோணவியல் அல்லது இருபடி ஏற்றத்தாழ்வுகளாக இருந்தாலும், இந்த முக்கியமான செயல்முறைக்கு ஆரம்பத்தில் சரியான அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்தி உறுதி செய்யப்படுகிறது. தளத்தில் உள்ள சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பது எல்லா பயனர்களுக்கும் எப்போதும் கிடைக்கும் மற்றும் முற்றிலும் இலவசம். ஒரு மாறியில் உள்ள சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகள் மாறியின் மதிப்புகள் அதை சரியான எண் வெளிப்பாடாக மாற்றும். மாடுலஸுடன் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்: ஒரு உண்மையான எண்ணின் மாடுலஸ் அந்த எண்ணின் முழுமையான மதிப்பாகும். இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நிலையான முறையானது, சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் விரும்பிய சக்திக்கு உயர்த்துவதாகும். ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்பது எண்களின் ஒப்பீட்டைக் குறிக்கும் வெளிப்பாடுகள், எனவே ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது அத்தகைய ஒப்பீடுகளின் துல்லியத்தை உறுதி செய்கிறது. அவை கண்டிப்பானவை (அதிகமானவை, குறைவாக) மற்றும் கண்டிப்பானவை அல்ல (அதிக அல்லது சமமானவை, குறைவாக அல்லது சமமானவை). சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது என்பது மாறிகளின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டுபிடிப்பதாகும், இது அசல் வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றாக, சமத்துவமின்மையின் கருத்து, அதன் சாராம்சம் மற்றும் அம்சங்கள், வகைப்பாடு மற்றும் வகைகள் - இது பிரத்தியேகங்களை தீர்மானிக்கிறது. இந்த கணிதப் பிரிவு. இந்த வகுப்பின் அனைத்து பொருட்களுக்கும் பொருந்தக்கூடிய எண் சமத்துவமின்மையின் அடிப்படை பண்புகள், இந்த தலைப்பைப் பற்றிய அறிமுகத்தின் ஆரம்ப கட்டத்தில் மாணவர்களால் படிக்கப்பட வேண்டும். இணையத்தில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் எண் வரி இடைவெளிகள் மிகவும் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை. ஒரு சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வின் கிராஃபிக் பதவி அத்தகைய வெளிப்பாட்டின் சாரத்தை தெளிவாகக் காட்டுகிறது; சமத்துவமின்மை என்ற கருத்து இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பொருட்களை ஒப்பிடுவதை உள்ளடக்கியது. ஒரு மாறியைக் கொண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள் இதேபோன்ற சமன்பாடுகளாக தீர்க்கப்படுகின்றன, அதன் பிறகு இடைவெளிகளின் தேர்வு செய்யப்படுகிறது, அது விடையாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும். எங்களின் இலவசச் சேவையைப் பயன்படுத்தி, எந்த இயற்கணித சமத்துவமின்மை, முக்கோணவியல் சமத்துவமின்மை அல்லது ஆழ்நிலை செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகளை நீங்கள் எளிதாகவும் உடனடியாகவும் தீர்க்கலாம். ஒரு மாறிக்கு பதிலாக இந்த எண்ணை மாற்றினால், ஒரு எண் சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வாகும், அதாவது, சமத்துவமின்மை அடையாளம் உண்மையான கருத்தை காட்டுகிறது பொருள் உள்ளடக்கியது மற்றும் அவர்களின் நடைமுறை திறன்களை ஒருங்கிணைக்கிறது. பெரும்பாலும், கணிதத்தில் ஆன்லைன் சமத்துவமின்மை என்ற தலைப்பு சமன்பாடுகள் பிரிவை முடித்த பிறகு பள்ளி மாணவர்களால் படிக்கப்படுகிறது. எதிர்பார்த்தபடி, தீர்வு இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்க அனைத்து தீர்வுக் கொள்கைகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரே காரியத்தை எண் வடிவத்தில் செய்வதை விட பகுப்பாய்வு வடிவத்தில் பதிலைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் கடினம். இருப்பினும், இந்த அணுகுமுறை சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வின் ஒருமைப்பாடு பற்றிய தெளிவான மற்றும் முழுமையான படத்தை அளிக்கிறது. அப்சிஸ்ஸா கோடு கட்டும் கட்டத்தில் சிரமம் ஏற்படலாம் மற்றும் ஒத்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுப் புள்ளிகளைத் திட்டமிடலாம். இதற்குப் பிறகு, செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு அல்லது குறைவைத் தீர்மானிக்க ஒவ்வொரு அடையாளம் காணப்பட்ட இடைவெளியிலும் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தை நிர்ணயிப்பதில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது குறைக்கப்படுகிறது. இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் உள்ள மதிப்புகளை அசல் செயல்பாட்டில் மாற்றியமைக்க வேண்டும் மற்றும் அதன் மதிப்பை நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை சரிபார்க்க வேண்டும். தீர்வு இடைவெளிகள் உட்பட அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டுபிடிப்பதன் சாராம்சம் இதுதான். சமத்துவமின்மையை நீங்களே தீர்த்து, தீர்வுகளுடன் அனைத்து இடைவெளிகளையும் பார்க்கும்போது, ​​மேலும் நடவடிக்கைகளுக்கு இந்த அணுகுமுறை எவ்வளவு பொருந்தும் என்பதை நீங்கள் புரிந்துகொள்வீர்கள். இந்தப் பக்கத்தில் உள்ள சக்திவாய்ந்த நவீன கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி உங்கள் கணக்கீட்டு முடிவுகளை இருமுறை சரிபார்க்க இணையதளம் உங்களை அழைக்கிறது. உங்கள் கணக்கீடுகளில் உள்ள பிழைகள் மற்றும் குறைபாடுகளை நீங்கள் ஒரு தனித்துவமான சமத்துவமின்மை தீர்வியைப் பயன்படுத்தி எளிதாகக் கண்டறியலாம். அத்தகைய பயனுள்ள ஆதாரத்தை எங்கே கண்டுபிடிப்பது என்று மாணவர்கள் அடிக்கடி ஆச்சரியப்படுகிறார்கள்? பொறியாளர்களின் தேவைகளை தீர்மானிக்கும் திறனுக்கான ஒரு புதுமையான அணுகுமுறைக்கு நன்றி, புதிய தொழில்நுட்பங்களை மட்டுமே பயன்படுத்தி சக்திவாய்ந்த கணினி சேவையகங்களின் அடிப்படையில் கால்குலேட்டர் உருவாக்கப்பட்டது. அடிப்படையில், சமத்துவமின்மையை ஆன்லைனில் தீர்ப்பது என்பது ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது மற்றும் சாத்தியமான அனைத்து வேர்களைக் கணக்கிடுவதும் ஆகும். இதன் விளைவாக தீர்வுகள் வரியில் குறிக்கப்படுகின்றன, பின்னர் ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்பை தீர்மானிக்க ஒரு நிலையான செயல்பாடு செய்யப்படுகிறது. ஆனால் சமன்பாட்டின் வேர்கள் சிக்கலானதாக மாறினால் என்ன செய்வது, இந்த விஷயத்தில் சமத்துவமின்மையை முழு வடிவத்தில் எவ்வாறு தீர்க்க முடியும், இது முடிவை எழுதுவதற்கான அனைத்து விதிகளையும் பூர்த்தி செய்யும்? இந்த மற்றும் பல கேள்விகளுக்கான பதில்களை எங்கள் சேவை இணையதளத்தில் எளிதாக பதிலளிக்க முடியும், இதற்காக ஆன்லைனில் கணித சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் எதுவும் சாத்தியமில்லை. மேற்கூறியவற்றிற்கு ஆதரவாக, நாங்கள் பின்வருவனவற்றைச் சேர்க்கிறோம்: கணிதம் போன்ற ஒரு துறையைப் படிப்பதில் தீவிரமாக ஈடுபட்டுள்ள ஒவ்வொருவரும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தலைப்பைப் படிக்கக் கடமைப்பட்டுள்ளனர். பல்வேறு வகையான ஏற்றத்தாழ்வுகள் உள்ளன, மேலும் ஆன்லைனில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது சில நேரங்களில் எளிதானது அல்ல, ஏனெனில் அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் அணுகுமுறைகளின் கொள்கைகளை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இதுவே வெற்றிக்கும் ஸ்திரத்தன்மைக்கும் அடிப்படை. எடுத்துக்காட்டாக, மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகள் அல்லது ஆழ்நிலை ஏற்றத்தாழ்வுகள் போன்ற வகைகளை நாம் கருத்தில் கொள்ளலாம். இது பொதுவாக ஒரு சிறப்பு வகை பணியாகும், இது மாணவர்களுக்கு, குறிப்பாக பள்ளி மாணவர்களுக்கு முதல் பார்வையில் கடினமாக உள்ளது. நிறுவன ஆசிரியர்கள் தங்கள் பணியில் தொழில்முறை திறன்களை அடைய பயிற்சியாளர்களுக்கு நிறைய நேரம் ஒதுக்குகிறார்கள். ஒரே வகைகளில் முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைச் சேர்த்து, முன்வைக்கப்பட்ட சிக்கலில் இருந்து பல நடைமுறை உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான அணுகுமுறையைக் குறிக்கிறோம். சில சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் முதலில் எல்லாவற்றையும் ஒரு சமன்பாட்டிற்கு குறைக்க வேண்டும், அதை எளிமைப்படுத்த வேண்டும், வெவ்வேறு காரணிகளாக சிதைக்க வேண்டும், சுருக்கமாக, அதை முற்றிலும் தெளிவான வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும். எல்லா நேரங்களிலும், எந்தவொரு முயற்சியிலும் உகந்த அணுகுமுறையைக் கண்டறிய மனிதகுலம் முயன்றது. நவீன தொழில்நுட்பங்களுக்கு நன்றி, மனிதகுலம் அதன் எதிர்கால வளர்ச்சியில் ஒரு பெரிய திருப்புமுனையை ஏற்படுத்தியுள்ளது. நாளுக்கு நாள் புதுமைகள் நம் வாழ்வில் அதிகமாகப் பெருகி வருகின்றன. கணினி தொழில்நுட்பத்தின் அடிப்படையானது, நிச்சயமாக, கணிதம் அதன் சொந்த கொள்கைகள் மற்றும் வணிகத்திற்கான கடுமையான அணுகுமுறை ஆகும். தளம் என்பது ஒரு பொதுவான கணித வளமாகும், இதில் வளர்ந்த ஏற்றத்தாழ்வு கால்குலேட்டர் மற்றும் பல பயனுள்ள சேவைகள் உள்ளன. எங்கள் தளத்தைப் பயன்படுத்தவும், தீர்க்கப்பட்ட சிக்கல்களின் சரியான தன்மையில் நீங்கள் நம்பிக்கையுடன் இருப்பீர்கள். எண்ணற்ற இயல்புடைய பொருள்களும் ஆன்லைனில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பயன்படுத்தி ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன என்பது கோட்பாட்டிலிருந்து அறியப்படுகிறது, இந்த அணுகுமுறை மட்டுமே இயற்கணிதம், வடிவியல் மற்றும் கணிதத்தின் பிற பகுதிகளில் இந்த பகுதியைப் படிப்பதற்கான ஒரு சிறப்பு வழியாகும். சமத்துவமின்மைகளை வெவ்வேறு வழிகளில் தீர்க்க முடியும்; தீர்வுகளின் இறுதி சரிபார்ப்பு மாறாமல் இருக்கும், மேலும் இது சமத்துவமின்மைக்கு நேரடியாக மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் சிறப்பாக செய்யப்படுகிறது. பல சந்தர்ப்பங்களில், பதில் வெளிப்படையானது மற்றும் மனதளவில் சரிபார்க்க எளிதானது. ஒரு பகுதியளவு சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க நாம் கேட்கப்படுகிறோம், அதில் விரும்பிய மாறிகள் பகுதியளவு வெளிப்பாடுகளின் வகுப்பினரில் உள்ளன. பின்னர் சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பது, முதலில் சமத்துவமின்மையின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களுக்கு எல்லாவற்றையும் நகர்த்தி, அனைத்து விதிமுறைகளையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வரும். அடுத்து, பின்னத்தின் வகுப்பில் பெறப்பட்ட ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும். இந்த எண் வேர்கள் சமத்துவமின்மையின் பொதுவான தீர்வின் இடைவெளியில் சேர்க்கப்படாத புள்ளிகளாக இருக்கும், அல்லது அவை துளையிடப்பட்ட புள்ளிகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, இதில் செயல்பாடு முடிவிலிக்கு செல்கிறது, அதாவது செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை, ஆனால் நீங்கள் அதன் வரம்பை மட்டுமே பெற முடியும். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் மதிப்பு. எண்களில் பெறப்பட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு, எண் அச்சில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளையும் நாங்கள் திட்டமிடுகிறோம். பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியமாக மாறும் புள்ளிகளை நிழலிடுவோம். அதன்படி, மற்ற எல்லா புள்ளிகளையும் காலியாகவோ அல்லது துளையிடவோ விடுகிறோம். ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் பின்னம் குறியைக் கண்டுபிடித்து இறுதிப் பதிலை எழுதுவோம். இடைவெளியின் எல்லைகளில் நிழல் புள்ளிகள் இருந்தால், இந்த மதிப்புகளை தீர்வில் சேர்க்கிறோம். இடைவெளியின் எல்லைகளில் துளையிடப்பட்ட புள்ளிகள் இருந்தால், இந்த மதிப்புகளை நாங்கள் தீர்வில் சேர்க்க மாட்டோம். சமத்துவமின்மையைத் தீர்த்த பிறகு, உங்கள் முடிவை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும். நீங்கள் இதை கைமுறையாக செய்யலாம், ஒவ்வொரு மதிப்பையும் மறுமொழி இடைவெளியில் இருந்து ஒவ்வொன்றாக ஆரம்ப வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றவும் மற்றும் பிழைகளை அடையாளம் காணவும். இணையத்தளம் சமத்துவமின்மைக்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் உங்களுக்கு எளிதாக வழங்கும், மேலும் நீங்கள் பெற்ற பதில்களை உடனடியாக கால்குலேட்டருடன் ஒப்பிடுவீர்கள். ஆயினும்கூட, பிழை ஏற்பட்டால், எங்கள் வளத்தில் ஆன்லைனில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது உங்களுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். அனைத்து மாணவர்களும் முதலில் சமத்துவமின்மையை நேரடியாகத் தீர்க்காமல் தொடங்க பரிந்துரைக்கிறோம், ஆனால் முதலில் இணையதளத்தில் முடிவைப் பெறுங்கள், ஏனென்றால் எதிர்காலத்தில் சரியான கணக்கீட்டை நீங்களே செய்வது மிகவும் எளிதாக இருக்கும். வார்த்தை சிக்கல்களில், தீர்வு எப்போதும் பல அறியப்படாதவர்களுடன் சமத்துவமின்மை அமைப்பை உருவாக்குகிறது. ஆன்லைனில் சமத்துவமின்மையை சில நொடிகளில் தீர்க்க எங்கள் ஆதாரம் உதவும். இந்த வழக்கில், தீர்வு அதிக துல்லியத்துடன் மற்றும் இறுதி பதிலில் எந்த பிழையும் இல்லாமல் சக்திவாய்ந்த கணினி நிரல் மூலம் தயாரிக்கப்படும். எனவே, இந்த கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி உதாரணங்களைத் தீர்க்கும் நேரத்தை நீங்கள் மிச்சப்படுத்தலாம். பல சந்தர்ப்பங்களில், பள்ளிக் குழந்தைகள் நடைமுறையிலோ அல்லது ஆய்வகப் பணியிலோ மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளைச் சந்திக்கும் போது சிரமங்களை அனுபவிக்கின்றனர், மேலும் சைன்கள், கொசைன்கள் அல்லது தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட சிக்கலான பகுதியளவு வெளிப்பாடுகளுடன் கூடிய முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைக் காணும்போது இன்னும் மோசமாக இருக்கும். ஒருவர் என்ன சொன்னாலும், சமத்துவமின்மை கால்குலேட்டரின் உதவியின்றி சமாளிப்பது மிகவும் கடினம் மற்றும் சிக்கலைத் தீர்க்கும் எந்த நிலையிலும் பிழைகள் சாத்தியமாகும். தள வளத்தை முற்றிலும் இலவசமாகப் பயன்படுத்துங்கள், இது ஒவ்வொரு பயனருக்கும் ஒவ்வொரு நாளும் கிடைக்கும். எங்கள் உதவியாளர் சேவையைப் பயன்படுத்தத் தொடங்குவது மிகவும் நல்ல யோசனையாகும், ஏனெனில் பல ஒப்புமைகள் உள்ளன, ஆனால் சில உண்மையான உயர்தர சேவைகள் மட்டுமே உள்ளன. பதிலைத் தேடுவதற்கு சில வினாடிகள் எடுக்கும் போது கணக்கீடுகளின் துல்லியத்திற்கு நாங்கள் உத்தரவாதம் அளிக்கிறோம். நீங்கள் செய்ய வேண்டியது இணையத்தில் ஏற்றத்தாழ்வுகளை எழுதுவது மட்டுமே, சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதற்கான சரியான முடிவை நாங்கள் உடனடியாக உங்களுக்கு வழங்குவோம். அத்தகைய ஆதாரத்தைத் தேடுவது அர்த்தமற்ற செயலாக இருக்கலாம், ஏனென்றால் எங்களுடைய அதே உயர்தர சேவையை நீங்கள் காண்பது சாத்தியமில்லை. ஆன்லைனில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது பற்றிய கோட்பாடு இல்லாமல் நீங்கள் செய்ய முடியும், ஆனால் உயர்தர மற்றும் வேகமான கால்குலேட்டர் இல்லாமல் நீங்கள் செய்ய முடியாது. உங்கள் படிப்பில் வெற்றி பெற வாழ்த்துகிறோம்! ஆன்லைனில் சமத்துவமின்மைக்கான உகந்த தீர்வைத் தேர்ந்தெடுப்பது பெரும்பாலும் சீரற்ற மாறிக்கான தர்க்கரீதியான அணுகுமுறையை உள்ளடக்கியது. மூடிய புலத்தின் சிறிய விலகலை நாம் புறக்கணித்தால், அதிகரிக்கும் மதிப்பின் திசையன், ஆர்டினேட் கோடு குறையும் இடைவெளியில் உள்ள சிறிய மதிப்புக்கு விகிதாசாரமாகும். மாறாதது, வெளிச்செல்லும் பூஜ்யம் அல்லாத வெக்டருடன் இரண்டு மடங்கு மேப் செய்யப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கு விகிதாசாரமாகும். சிறந்த பதில் எப்போதும் கணக்கீட்டின் துல்லியத்தைக் கொண்டுள்ளது. சமத்துவமின்மைக்கான நமது தீர்வு, முக்கிய திசையின் எண்ணியல் துணைக்குழுக்களை தொடர்ச்சியாக இணைத்து ஒரே மாதிரியான செயல்பாட்டின் வடிவத்தை எடுக்கும். முதல் இடைவெளியில், மாறியின் எங்கள் பிரதிநிதித்துவத்தின் மிக மோசமான துல்லியமான மதிப்பை சரியாக எடுப்போம். அதிகபட்ச விலகலுக்கு முந்தைய வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிடுவோம். தேவைக்கேற்ப முன்மொழியப்பட்ட விருப்பங்களின் விருப்பப்படி சேவையைப் பயன்படுத்துவோம். அதன் வகுப்பில் உள்ள ஒரு நல்ல கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி ஆன்லைனில் ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு தீர்வு காணப்படுமா என்பது ஒரு சொல்லாட்சிக் கேள்வி, மாணவர்கள் அத்தகைய கருவியால் மட்டுமே பயனடைவார்கள் மற்றும் கணிதத்தில் பெரும் வெற்றியைப் பெறுவார்கள். ஒரு தொகுப்பைக் கொண்ட பகுதியில் ஒரு கட்டுப்பாட்டை விதிக்கலாம், இது மின்னழுத்த தூண்டுதல்களின் உணர்வைக் கொண்ட உறுப்புகளாகக் குறைப்போம். இத்தகைய தீவிரத்தின் இயற்பியல் மதிப்புகள், துண்டு துண்டாக தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவை கணித ரீதியாக விவரிக்கின்றன. வழியில், விஞ்ஞானிகள் ஆய்வின் வெவ்வேறு நிலைகளில் தனிமங்கள் இருப்பதற்கான ஆதாரங்களைக் கண்டறிந்துள்ளனர். பந்து, கன சதுரம் அல்லது உருளை போன்ற பொருட்களைக் கொண்டு ஒரு வரிசையில் ஒரு சிக்கலான இடத்தின் அனைத்து துணைக்குழுக்களையும் வரிசைப்படுத்துவோம். எங்கள் முடிவில் இருந்து நாம் ஒரு தெளிவான முடிவை எடுக்க முடியும், மேலும் நீங்கள் சமத்துவமின்மையை தீர்க்கும் போது, ​​வெளியீடு நிச்சயமாக நடைமுறையில் உள்ள முறையின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய கூறப்பட்ட கணித அனுமானத்தின் மீது வெளிச்சம் போடும். தற்போதைய சூழ்நிலையில், தேவையான நிபந்தனையும் போதுமான நிபந்தனையாக இருக்கும். நிச்சயமற்ற அளவுகோல்கள் பெரும்பாலும் நம்பகத்தன்மையற்ற தரவு காரணமாக மாணவர்களிடையே கருத்து வேறுபாடுகளை ஏற்படுத்துகின்றன. கல்வியின் ஆரம்ப கட்டத்தில் இதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம் என்பதால், பல்கலைக்கழக ஆசிரியர்களும், பள்ளி ஆசிரியர்களும் இந்த புறக்கணிப்புக்கு பொறுப்பேற்க வேண்டும். மேலே உள்ள முடிவில் இருந்து, அனுபவம் வாய்ந்தவர்களின் கருத்துப்படி, பல்வேறு வகையான தரவுகளின் அறியப்படாத சமத்துவமின்மைக்குள் நுழையும் போது, ​​ஆன்லைனில் சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது மிகவும் கடினமான பணியாகும் என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். இது மேற்கு மாவட்டத்தில் நடந்த அறிவியல் மாநாட்டில் கூறப்பட்டது, இதில் கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் துறைகளில் அறிவியல் கண்டுபிடிப்புகள் மற்றும் உயிரியல் ரீதியாக கட்டமைக்கப்பட்ட அமைப்புகளின் மூலக்கூறு பகுப்பாய்வு குறித்து பல்வேறு நியாயங்கள் முன்வைக்கப்பட்டன. உகந்த தீர்வைக் கண்டறிவதில், அனைத்து மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளும் அனைத்து மனிதகுலத்திற்கும் அறிவியல் மதிப்புடையவை. ஏற்கனவே உள்ள ஒரு பொருளைப் பற்றிய கருத்துகளின் மிக உயர்ந்த மட்டத்தில் உள்ள பல முரண்பாடுகள் தொடர்பான தர்க்கரீதியான முடிவுகளுக்கு இந்த அணுகுமுறையை ஆராய்வோம். ஒரு அனுபவமற்ற மாணவருக்கு முதல் பார்வையில் தோன்றுவதை விட வித்தியாசமான ஒன்றை தர்க்கம் கட்டளையிடுகிறது. பெரிய அளவிலான ஒப்புமைகளின் தோற்றம் காரணமாக, ஆய்வுக்கு உட்பட்ட பகுதியின் பொருள்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு முதலில் உறவுகளை சமன் செய்வது பகுத்தறிவாக இருக்கும், பின்னர் நடைமுறையில் ஒரு பொதுவான பகுப்பாய்வு முடிவு இருப்பதைக் காட்டுகிறது. ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது முற்றிலும் கோட்பாட்டின் பயன்பாட்டைப் பொறுத்தது, மேலும் இந்த கணிதப் பிரிவைப் படிப்பது அனைவருக்கும் முக்கியமானது, இது மேலும் ஆராய்ச்சிக்கு அவசியமாகும். இருப்பினும், ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​தொகுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், பின்னர் மட்டுமே அனைத்து புள்ளிகளையும் ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட அச்சில் திட்டமிடுங்கள். சில புள்ளிகள் துளையிடப்படும், மீதமுள்ளவை பொதுவான தீர்வுடன் இடைவெளியில் சேர்க்கப்படும். பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் மிக முக்கியமான ஒழுக்கத்தின் அடிப்படைகளுடன் கணிதப் பகுதியைப் படிக்கத் தொடங்குவோம். முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் ஒரு சொல் சிக்கலின் ஒருங்கிணைந்த பகுதியாக இருந்தால், பதிலைக் கணக்கிடுவதற்கு ஆதாரத்தைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். சமத்துவமின்மையின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை சரியாக உள்ளிடவும், பொத்தானை அழுத்தி சில நொடிகளில் முடிவைப் பெறவும். தெரியாதவர்களுக்கு முன்னால் எண்ணியல் அல்லது குறியீட்டு குணகங்களுடன் கூடிய வேகமான மற்றும் துல்லியமான கணிதக் கணக்கீடுகளுக்கு, உங்களுக்கு எப்பொழுதும் போல், உங்கள் பிரச்சனைக்கான பதிலை சில நொடிகளில் வழங்கக்கூடிய உலகளாவிய ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் சமன்பாடுகளின் கால்குலேட்டர் தேவைப்படும். எழுதப்பட்ட பயிற்சிகளின் முழுத் தொடரையும் எழுத உங்களுக்கு நேரம் இல்லையென்றால், சேவையின் செல்லுபடியாகும் என்பது நிர்வாணக் கண்ணுக்கு கூட மறுக்க முடியாதது. மாணவர்களைப் பொறுத்தவரை, இந்த அணுகுமுறை பொருள் வளங்களையும் நேரத்தையும் சேமிப்பதில் மிகவும் உகந்தது மற்றும் நியாயமானது. காலுக்கு எதிரே ஒரு கோணம் உள்ளது, அதை அளவிட உங்களுக்கு ஒரு திசைகாட்டி தேவை, ஆனால் நீங்கள் எந்த நேரத்திலும் குறிப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தாமல் சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கலாம். தொடங்கப்பட்ட செயலை வெற்றிகரமாக முடித்ததாக இது அர்த்தப்படுத்துகிறதா? பதில் நிச்சயமாக நேர்மறையாக இருக்கும்.

இன்று நண்பர்களே, துளியும் உணர்ச்சியும் இருக்காது. அதற்குப் பதிலாக, 8-9 வகுப்பு இயற்கணிதம் பாடத்திட்டத்தில் மிகவும் வலிமையான எதிரிகளில் ஒருவருடன் போருக்கு, எந்த கேள்வியும் கேட்கப்படாமல், உங்களை அனுப்புவேன்.

ஆம், நீங்கள் எல்லாவற்றையும் சரியாகப் புரிந்துகொண்டீர்கள்: நாங்கள் மாடுலஸுடன் ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பற்றி பேசுகிறோம். இதுபோன்ற 90% சிக்கல்களைத் தீர்க்க நீங்கள் கற்றுக் கொள்ளும் நான்கு அடிப்படை நுட்பங்களைப் பார்ப்போம். மீதமுள்ள 10% பற்றி என்ன? சரி, அவற்றைப் பற்றி ஒரு தனி பாடத்தில் பேசுவோம்.

இருப்பினும், எந்தவொரு நுட்பத்தையும் பகுப்பாய்வு செய்வதற்கு முன், நீங்கள் ஏற்கனவே தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய இரண்டு உண்மைகளை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்ட விரும்புகிறேன். இல்லையெனில், இன்றைய பாடத்தின் பொருளை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளாமல் இருப்பீர்கள்.

நீங்கள் ஏற்கனவே தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது

மாடுலஸ் மூலம் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க நீங்கள் இரண்டு விஷயங்களைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்பதை கேப்டன் வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடுகிறார்:

1. ஏற்றத்தாழ்வுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன;
2. தொகுதி என்றால் என்ன?

இரண்டாவது புள்ளியுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

தொகுதி வரையறை

இங்கே எல்லாம் எளிது. இரண்டு வரையறைகள் உள்ளன: இயற்கணிதம் மற்றும் வரைகலை. தொடங்குவதற்கு - இயற்கணிதம்:

வரையறை. $x$ என்ற எண்ணின் மாடுலஸ், அது எதிர்மில்லாத எண்ணாக இருந்தால், அல்லது அசல் $x$ இன்னும் எதிர்மறையாக இருந்தால் அதற்கு நேர் எதிரான எண்ணாக இருக்கும்.

இது இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

\[\இடது| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

எளிமையான சொற்களில், மாடுலஸ் என்பது "மைனஸ் இல்லாத எண்" ஆகும். துல்லியமாக இந்த இரட்டைத்தன்மையில் தான் (சில இடங்களில் அசல் எண்ணுடன் நீங்கள் எதுவும் செய்ய வேண்டியதில்லை, ஆனால் மற்றவற்றில் நீங்கள் ஒருவித மைனஸை அகற்ற வேண்டியிருக்கும்) அங்குதான் ஆரம்ப மாணவர்களுக்கு முழு சிரமமும் உள்ளது.

வடிவியல் வரையறையும் உள்ளது. தெரிந்துகொள்வதும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஆனால் சிக்கலான மற்றும் சில சிறப்பு நிகழ்வுகளில் மட்டுமே இதைப் பயன்படுத்துவோம், அங்கு இயற்கணிதத்தை விட வடிவியல் அணுகுமுறை மிகவும் வசதியானது (ஸ்பாய்லர்: இன்று இல்லை).

வரையறை. எண் வரியில் புள்ளி $a$ குறிக்கப்படட்டும். பின்னர் தொகுதி $\இடது| x-a \right|$ என்பது இந்த வரியில் உள்ள புள்ளி $x$ இலிருந்து $a$ வரை உள்ள தூரம்.

நீங்கள் ஒரு படத்தை வரைந்தால், இது போன்ற ஒன்றை நீங்கள் பெறுவீர்கள்:

வரைகலை தொகுதி வரையறை

ஒரு வழி அல்லது வேறு, ஒரு தொகுதியின் வரையறையிலிருந்து அதன் முக்கிய சொத்து உடனடியாக பின்வருமாறு: ஒரு எண்ணின் மாடுலஸ் எப்பொழுதும் எதிர்மில்லாத அளவு. இந்த உண்மை இன்று நமது முழு கதையிலும் ஒரு சிவப்பு இழையாக இருக்கும்.

ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது. இடைவெளி முறை

இப்போது ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பார்ப்போம். அவற்றில் பல உள்ளன, ஆனால் இப்போது எங்கள் பணி அவற்றில் குறைந்தபட்சம் எளிமையானவற்றையாவது தீர்க்க முடியும். நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கும், இடைவெளி முறைக்கும் குறைப்பவை.

இந்த தலைப்பில் எனக்கு இரண்டு பெரிய பாடங்கள் உள்ளன (மூலம், மிகவும், மிகவும் பயனுள்ளது - அவற்றைப் படிக்க பரிந்துரைக்கிறேன்):

1. ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான இடைவெளி முறை (குறிப்பாக வீடியோவைப் பார்க்கவும்);
2. பகுதியளவு பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள் மிகவும் விரிவான பாடம், ஆனால் அதன் பிறகு உங்களுக்கு எந்த கேள்வியும் இருக்காது.

இவை அனைத்தும் உங்களுக்குத் தெரிந்தால், "சமத்துவமின்மையிலிருந்து சமன்பாட்டிற்குச் செல்வோம்" என்ற சொற்றொடர் உங்களை சுவரில் தாக்கும் தெளிவற்ற விருப்பத்தை ஏற்படுத்தவில்லை என்றால், நீங்கள் தயாராக உள்ளீர்கள்: பாடத்தின் முக்கிய தலைப்புக்கு நரகத்திற்கு வரவேற்கிறோம்.

1. "மாடுலஸ் செயல்பாட்டை விட குறைவாக உள்ளது" என்ற வடிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

தொகுதிகளில் இது மிகவும் பொதுவான சிக்கல்களில் ஒன்றாகும். படிவத்தின் சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க இது தேவைப்படுகிறது:

\[\இடது| f\வலது| \ltg\]

$f$ மற்றும் $g$ செயல்பாடுகள் எதுவும் இருக்கலாம், ஆனால் பொதுவாக அவை பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும். அத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

\[\தொடங்கு(சீரமைக்க) & \இடது| 2x+3 \வலது| \lt x+7; \\ & \இடது| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \இடது| ((x)^(2))-2\இடது| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\ end(align)\]

பின்வரும் திட்டத்தின் படி அவை அனைத்தும் ஒரே வரியில் தீர்க்கப்படலாம்:

\[\இடது| f\வலது| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\ end(align) \வலது.\வலது)\]

நாம் தொகுதியிலிருந்து விடுபடுவதைப் பார்ப்பது எளிது, ஆனால் அதற்கு ஈடாக இரட்டை சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம் (அல்லது, இது ஒரே விஷயம், இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பு). ஆனால் இந்த மாற்றம் சாத்தியமான அனைத்து சிக்கல்களையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது: மாடுலஸின் கீழ் உள்ள எண் நேர்மறையாக இருந்தால், முறை வேலை செய்கிறது; எதிர்மறையாக இருந்தால், அது இன்னும் வேலை செய்கிறது; மற்றும் $f$ அல்லது $g$ க்கு பதிலாக மிகவும் போதுமான செயல்பாடு இல்லை, முறை இன்னும் வேலை செய்யும்.

இயற்கையாகவே, கேள்வி எழுகிறது: இது எளிமையாக இருக்க முடியாதா? துரதிர்ஷ்டவசமாக, அது சாத்தியமில்லை. இது தொகுதியின் முழு புள்ளி.

இருப்பினும், தத்துவமயமாக்கல் போதும். ஓரிரு சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம்:

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\இடது| 2x+3 \வலது| \lt x+7\]

தீர்வு. எனவே, "மாடுலஸ் குறைவாக உள்ளது" என்ற வடிவத்தின் உன்னதமான சமத்துவமின்மை நமக்கு முன் உள்ளது - மாற்றுவதற்கு கூட எதுவும் இல்லை. அல்காரிதம் படி நாங்கள் வேலை செய்கிறோம்:

\[\தொடங்கு(சீரமைக்க) & \இடது| f\வலது| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \இடது| 2x+3 \வலது| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\ end(align)\]

"மைனஸ்" க்கு முந்தைய அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க அவசரப்பட வேண்டாம்: உங்கள் அவசரத்தில் நீங்கள் புண்படுத்தும் தவறு செய்ய வாய்ப்புள்ளது.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

பிரச்சனை இரண்டு அடிப்படை ஏற்றத்தாழ்வுகளாக குறைக்கப்பட்டது. இணை எண் கோடுகளில் அவற்றின் தீர்வுகளை நாம் கவனிக்கலாம்:

தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு

இந்த தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு விடையாக இருக்கும்.

பதில்: $x\in \இடது(-\frac(10)(3);4 \வலது)$

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\இடது| ((x)^(2))+2x-3 \வலது|+3\இடது(x+1 \வலது) \lt 0\]

தீர்வு. இந்த பணி சற்று கடினமானது. முதலில், இரண்டாவது வார்த்தையை வலதுபுறமாக நகர்த்துவதன் மூலம் தொகுதியை தனிமைப்படுத்தலாம்:

\[\இடது| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\இடது(x+1 \வலது)\]

வெளிப்படையாக, "தொகுதி சிறியது" என்ற படிவத்தின் சமத்துவமின்மையை நாங்கள் மீண்டும் கொண்டுள்ளோம், எனவே ஏற்கனவே அறியப்பட்ட வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி தொகுதியை அகற்றுவோம்:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

இப்போது கவனம்: இந்த அடைப்புக்குறிக்குள் நான் கொஞ்சம் வக்கிரமானவன் என்று யாராவது சொல்வார்கள். ஆனால் எங்களின் முக்கிய குறிக்கோள் என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை நினைவுபடுத்துகிறேன் சமத்துவமின்மையை சரியாக தீர்த்து பதில் கிடைக்கும். பின்னர், இந்த பாடத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள அனைத்தையும் நீங்கள் முழுமையாக தேர்ச்சி பெற்றால், நீங்கள் விரும்பியபடி அதை நீங்களே திசைதிருப்பலாம்: அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும், மைனஸ்களைச் சேர்க்கவும்.

தொடங்குவதற்கு, இடதுபுறத்தில் உள்ள இரட்டை கழித்தலை அகற்றுவோம்:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\இடது(x+1 \வலது)\]

இப்போது இரட்டை சமத்துவமின்மையில் உள்ள அனைத்து அடைப்புக்குறிகளையும் திறப்போம்:

இரட்டை சமத்துவமின்மைக்கு செல்லலாம். இந்த முறை கணக்கீடுகள் மிகவும் தீவிரமாக இருக்கும்:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \முடிவு(சீரமை) \வலது.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( சீரமை)\வலது.\]

இரண்டு சமத்துவமின்மைகளும் இருபடியானவை மற்றும் இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும் (அதனால்தான் நான் சொல்கிறேன்: இது என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால், தொகுதிகளை இன்னும் எடுக்காமல் இருப்பது நல்லது). முதல் சமத்துவமின்மையின் சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம்:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\இடது(x+5 \வலது)=0; \\ & (((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\முடிவு(சீரமை)\]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வெளியீடு ஒரு முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு ஆகும், இது ஒரு அடிப்படை வழியில் தீர்க்கப்படும். இப்போது அமைப்பின் இரண்டாவது சமத்துவமின்மையைப் பார்ப்போம். அங்கு நீங்கள் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& (((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\முடிவு(சீரமை)\]

இதன் விளைவாக வரும் எண்களை இரண்டு இணை கோடுகளில் குறிக்கிறோம் (முதல் சமத்துவமின்மைக்கு தனி மற்றும் இரண்டாவது தனி):

மீண்டும், நாம் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதால், ஷேடட் செட்களின் குறுக்குவெட்டில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம்: $x\in \left(-5;-2 \right)$. இதுதான் பதில்.

பதில்: $x\in \இடது(-5;-2 \வலது)$

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பிறகு தீர்வுத் திட்டம் மிகவும் தெளிவாக உள்ளது என்று நான் நினைக்கிறேன்:

1. சமத்துவமின்மையின் எதிர் பக்கத்திற்கு மற்ற எல்லா சொற்களையும் நகர்த்துவதன் மூலம் தொகுதியை தனிமைப்படுத்தவும். இவ்வாறு நாம் $\left| வடிவத்தின் சமத்துவமின்மையை பெறுகிறோம் f\வலது| \ltg$.
2. மேலே விவரிக்கப்பட்ட திட்டத்தின் படி தொகுதியை அகற்றுவதன் மூலம் இந்த சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும். ஒரு கட்டத்தில், இரட்டை சமத்துவமின்மையிலிருந்து இரண்டு சுயாதீன வெளிப்பாடுகளின் அமைப்புக்கு செல்ல வேண்டியது அவசியம், ஒவ்வொன்றும் ஏற்கனவே தனித்தனியாக தீர்க்கப்படலாம்.
3. இறுதியாக, இந்த இரண்டு சுயாதீன வெளிப்பாடுகளின் தீர்வுகளை வெட்டுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது - அவ்வளவுதான், இறுதி பதிலைப் பெறுவோம்.

பின்வரும் வகையின் ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு இதேபோன்ற அல்காரிதம் உள்ளது, தொகுதியானது செயல்பாட்டை விட அதிகமாக இருக்கும் போது. இருப்பினும், இரண்டு தீவிரமான "ஆனால்" உள்ளன. இந்த "ஆனால்" பற்றி இப்போது பேசுவோம்.

2. வடிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகள் "செயல்பாட்டை விட மாடுலஸ் அதிகம்"

அவை இப்படி இருக்கும்:

\[\இடது| f\வலது| \gtg\]

முந்தையதைப் போன்றதா? தெரிகிறது. இன்னும் இதுபோன்ற பிரச்சினைகள் முற்றிலும் மாறுபட்ட வழியில் தீர்க்கப்படுகின்றன. முறைப்படி, திட்டம் பின்வருமாறு:

\[\இடது| f\வலது| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\ end(align) \right.\]

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இரண்டு நிகழ்வுகளை நாங்கள் கருதுகிறோம்:

1. முதலில், நாம் வெறுமனே தொகுதியை புறக்கணித்து வழக்கமான சமத்துவமின்மையை தீர்க்கிறோம்;
2. பின்னர், சாராம்சத்தில், மைனஸ் அடையாளத்துடன் தொகுதியை விரிவுபடுத்துகிறோம், பின்னர் சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் −1 ஆல் பெருக்குகிறோம், அதே சமயம் என்னிடம் அடையாளம் உள்ளது.

இந்த வழக்கில், விருப்பங்கள் ஒரு சதுர அடைப்புக்குறியுடன் இணைக்கப்படுகின்றன, அதாவது. இரண்டு தேவைகளின் கலவையை நம் முன் வைத்துள்ளோம்.

தயவுசெய்து மீண்டும் கவனிக்கவும்: இது ஒரு அமைப்பு அல்ல, ஆனால் ஒரு முழுமை, எனவே பதிலில் செட்டுகள் குறுக்கிடுவதை விட இணைக்கப்படுகின்றன. முந்தைய புள்ளியிலிருந்து இது ஒரு அடிப்படை வேறுபாடு!

பொதுவாக, பல மாணவர்கள் தொழிற்சங்கங்கள் மற்றும் குறுக்குவெட்டுகளுடன் முற்றிலும் குழப்பமடைந்துள்ளனர், எனவே இந்த சிக்கலை ஒருமுறை மற்றும் அனைவருக்கும் வரிசைப்படுத்தலாம்:

• "∪" என்பது ஒரு தொழிற்சங்க அடையாளம். உண்மையில், இது ஒரு பகட்டான எழுத்து "U" ஆகும், இது ஆங்கில மொழியிலிருந்து எங்களுக்கு வந்தது மற்றும் "யூனியன்" என்பதன் சுருக்கமாகும், அதாவது. "சங்கங்கள்".
• "∩" என்பது குறுக்குவெட்டு அடையாளம். இந்த முட்டாள்தனம் எங்கிருந்தும் வரவில்லை, ஆனால் வெறுமனே "∪" க்கு எதிர்முனையாகத் தோன்றியது.

நினைவில் கொள்வதை இன்னும் எளிதாக்க, கண்ணாடிகளை உருவாக்க இந்த அறிகுறிகளுக்கு கால்களை வரையவும் (போதைக்கு அடிமையாதல் மற்றும் குடிப்பழக்கத்தை ஊக்குவிப்பதாக இப்போது என்னைக் குற்றம் சாட்ட வேண்டாம்: நீங்கள் இந்த பாடத்தை தீவிரமாகப் படிக்கிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் ஏற்கனவே போதைக்கு அடிமையானவர்):

குறுக்குவெட்டு மற்றும் தொகுப்புகளின் ஒன்றியம் இடையே வேறுபாடு

ரஷ்ய மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டால், இது பின்வருவனவற்றைக் குறிக்கிறது: தொழிற்சங்கம் (மொத்தம்) இரண்டு தொகுப்புகளிலிருந்தும் கூறுகளை உள்ளடக்கியது, எனவே அவை ஒவ்வொன்றையும் விட இது எந்த வகையிலும் குறைவாக இல்லை; ஆனால் குறுக்குவெட்டு (அமைப்பு) முதல் தொகுப்பு மற்றும் இரண்டாவது இரண்டிலும் ஒரே நேரத்தில் இருக்கும் கூறுகளை மட்டுமே உள்ளடக்கியது. எனவே, தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு மூலத் தொகுப்புகளை விட பெரியதாக இருக்காது.

எனவே அது தெளிவாகியது? அருமை. பயிற்சிக்கு செல்லலாம்.

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\இடது| 3x+1 \வலது| \gt 5-4x\]

தீர்வு. திட்டத்தின் படி நாங்கள் தொடர்கிறோம்:

\[\இடது| 3x+1 \வலது| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\ end(align) \ சரி.\]

மக்கள்தொகையில் உள்ள ஒவ்வொரு சமத்துவமின்மையையும் நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

இதன் விளைவாக வரும் ஒவ்வொரு தொகுப்பையும் எண் வரிசையில் குறிக்கிறோம், பின்னர் அவற்றை இணைக்கவும்:

தொகுப்புகளின் ஒன்றியம்

பதில் $x\in \இடது(\frac(4)(7);+\infty \right)$ என இருக்கும் என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது.

பதில்: $x\in \இடது(\frac(4)(7);+\infty \right)$

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\இடது| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

தீர்வு. சரி? எதுவும் இல்லை - எல்லாம் ஒன்றுதான். ஒரு மாடுலஸ் கொண்ட சமத்துவமின்மையிலிருந்து இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பிற்கு நகர்கிறோம்:

\[\இடது| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\முடிவு(சீரமை) \வலது.\]

ஒவ்வொரு சமத்துவமின்மையையும் நாங்கள் தீர்க்கிறோம். துரதிர்ஷ்டவசமாக, வேர்கள் மிகவும் நன்றாக இருக்காது:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\முடிவு(சீரமை)\]

இரண்டாவது சமத்துவமின்மையும் கொஞ்சம் காட்டுத்தனமானது:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & (((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\முடிவு(சீரமை)\]

இப்போது நீங்கள் இந்த எண்களை இரண்டு அச்சுகளில் குறிக்க வேண்டும் - ஒவ்வொரு சமத்துவமின்மைக்கும் ஒரு அச்சு. இருப்பினும், நீங்கள் புள்ளிகளை சரியான வரிசையில் குறிக்க வேண்டும்: பெரிய எண், மேலும் புள்ளி வலதுபுறமாக நகரும்.

இங்கே ஒரு அமைப்பு எங்களுக்கு காத்திருக்கிறது. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (முதல் எண்ணில் உள்ள விதிமுறைகள்) மூலம் அனைத்தும் தெளிவாக இருந்தால் பின்னம் என்பது இரண்டாவது எண்ணில் உள்ள சொற்களை விட குறைவாக உள்ளது, எனவே தொகையும் குறைவாக உள்ளது), $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ எந்த சிரமமும் இருக்காது (நேர்மறை எண் வெளிப்படையாக மிகவும் எதிர்மறையானது), பின்னர் கடைசி ஜோடியுடன் எல்லாம் அவ்வளவு தெளிவாக இல்லை. எது பெரியது: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ அல்லது $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? எண் கோடுகளில் புள்ளிகளின் இடம் மற்றும், உண்மையில், பதில் இந்த கேள்விக்கான பதிலைப் பொறுத்தது.

எனவே ஒப்பிடுவோம்:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\ end(matrix)\]

நாங்கள் மூலத்தை தனிமைப்படுத்தினோம், சமத்துவமின்மையின் இருபுறமும் எதிர்மறை எண்களைப் பெற்றுள்ளோம், எனவே இரு பக்கங்களையும் சதுரப்படுத்த எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\ end(matrix)\]

$4\sqrt(13) \gt 3$, எனவே $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, அச்சுகளின் இறுதிப் புள்ளிகள் இப்படி வைக்கப்படும்:

அசிங்கமான வேர்களின் வழக்கு

நாங்கள் ஒரு தொகுப்பைத் தீர்க்கிறோம் என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், எனவே பதில் ஒரு தொழிற்சங்கமாக இருக்கும், ஷேடட் செட்களின் குறுக்குவெட்டு அல்ல.

பதில்: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எங்கள் திட்டம் எளிய மற்றும் மிகவும் கடினமான பிரச்சனைகளுக்கு சிறப்பாக செயல்படுகிறது. இந்த அணுகுமுறையின் ஒரே "பலவீனமான புள்ளி" என்னவென்றால், நீங்கள் பகுத்தறிவற்ற எண்களை சரியாக ஒப்பிட வேண்டும் (என்னை நம்புங்கள்: இவை வேர்கள் மட்டுமல்ல). ஆனால் ஒரு தனி (மற்றும் மிகவும் தீவிரமான) பாடம் ஒப்பீட்டு சிக்கல்களுக்கு அர்ப்பணிக்கப்படும். மற்றும் நாம் செல்ல.

3. எதிர்மறை அல்லாத "வால்கள்" கொண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள்

இப்போது நாம் மிகவும் சுவாரஸ்யமான பகுதிக்கு வருவோம். இவை படிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகள்:

\[\இடது| f\வலது| \gt\left| g\வலது|\]

பொதுவாக, இப்போது நாம் பேசும் அல்காரிதம் தொகுதிக்கு மட்டுமே சரியானது. இது அனைத்து ஏற்றத்தாழ்வுகளிலும் செயல்படுகிறது, அங்கு இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் எதிர்மறை அல்லாத வெளிப்பாடுகள் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகின்றன:

இந்த பணிகளை என்ன செய்வது? நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

எதிர்மறையான "வால்கள்" கொண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகளில், இரு பக்கமும் எந்த இயற்கை சக்திக்கும் உயர்த்தப்படலாம். கூடுதல் கட்டுப்பாடுகள் எதுவும் இருக்காது.

முதலில், நாங்கள் ஸ்கொயர் செய்வதில் ஆர்வமாக இருப்போம் - இது தொகுதிகள் மற்றும் வேர்களை எரிக்கிறது:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\முடிவு(சீரமை)\]

சதுரத்தின் மூலத்தை எடுத்துக்கொண்டு இதை குழப்ப வேண்டாம்:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\இடது| f \right|\ne f\]

ஒரு மாணவர் ஒரு தொகுதியை நிறுவ மறந்தபோது எண்ணற்ற தவறுகள் செய்யப்பட்டன! ஆனால் இது முற்றிலும் மாறுபட்ட கதை (இவை பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகள்), எனவே நாம் இப்போது இதற்குள் செல்ல மாட்டோம். இரண்டு சிக்கல்களை சிறப்பாக தீர்ப்போம்:

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\இடது| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \வலது|\]

தீர்வு. இரண்டு விஷயங்களை உடனடியாக கவனிப்போம்:

1. இது கடுமையான சமத்துவமின்மை அல்ல. எண் வரிசையில் உள்ள புள்ளிகள் துளைக்கப்படும்.
2. சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களும் வெளிப்படையாக எதிர்மறையானவை அல்ல (இது தொகுதியின் பண்பு: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

எனவே, சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் சமன்பாட்டிலிருந்து விடுவித்து, வழக்கமான இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்க்கலாம்:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\இடது(x+2 \வலது))^(2))\ge ((\இடது(2x-1 \வலது))^(2)). \\\முடிவு(சீரமை)\]

கடைசி கட்டத்தில், நான் கொஞ்சம் ஏமாற்றினேன்: தொகுதியின் சமநிலையைப் பயன்படுத்தி, சொற்களின் வரிசையை மாற்றினேன் (உண்மையில், நான் $1-2x$ என்ற வெளிப்பாட்டை −1 ஆல் பெருக்கினேன்).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ வலது)\வலது)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறோம். சமத்துவமின்மையிலிருந்து சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம்:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\முடிவு(சீரமை)\]

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை எண் வரிசையில் குறிக்கிறோம். மீண்டும் ஒருமுறை: அசல் சமத்துவமின்மை கண்டிப்பாக இல்லாததால் அனைத்து புள்ளிகளும் நிழலாடுகின்றன!

மாடுலஸ் அடையாளத்திலிருந்து விடுபடுதல்

குறிப்பாக பிடிவாதமாக இருப்பவர்களுக்கு நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: சமன்பாட்டிற்குச் செல்வதற்கு முன் எழுதப்பட்ட கடைசி சமத்துவமின்மையின் அறிகுறிகளை நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம். அதே சமத்துவமின்மையில் தேவையான பகுதிகளை நாங்கள் வரைகிறோம். எங்கள் விஷயத்தில் இது $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

சரி, அவ்வளவுதான். பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது.

பதில்: $x\in \இடது[ -\frac(1)(3);3 \வலது]$.

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\இடது| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \வலது|\]

தீர்வு. நாங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரே மாதிரியாக செய்கிறோம். நான் கருத்து சொல்ல மாட்டேன் - செயல்களின் வரிசையைப் பாருங்கள்.

சதுரம்:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \right|)^(2)); \\ & ((\இடது(((x)^(2))+x+1 \வலது))^(2))\le (\left(((x)^(2))+3x+4 \வலது))^(2)); \\ & ((\இடது(((x)^(2))+x+1 \வலது))^(2))-(\இடது(((x)^(2))+3x+4 \ வலது))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\time \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \வலது)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

இடைவெளி முறை:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ ரைட்டாரோ x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\முடிவு(சீரமை)\]

எண் வரிசையில் ஒரே ஒரு வேர் உள்ளது:

பதில் ஒரு முழு இடைவெளி

பதில்: $x\in \இடது[ -1.5;+\infty \right)$.

கடைசி பணி பற்றி ஒரு சிறிய குறிப்பு. எனது மாணவர்களில் ஒருவர் துல்லியமாக குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இந்த சமத்துவமின்மையில் உள்ள இரண்டு துணைமட்ட வெளிப்பாடுகளும் வெளிப்படையாக நேர்மறையானவை, எனவே ஆரோக்கியத்திற்கு தீங்கு விளைவிக்காமல் மாடுலஸ் அடையாளத்தை தவிர்க்கலாம்.

ஆனால் இது முற்றிலும் மாறுபட்ட சிந்தனை நிலை மற்றும் வேறுபட்ட அணுகுமுறை - இது நிபந்தனையுடன் விளைவுகளின் முறை என்று அழைக்கப்படலாம். அதைப் பற்றி - ஒரு தனி பாடத்தில். இப்போது இன்றைய பாடத்தின் இறுதிப் பகுதிக்குச் சென்று, எப்போதும் செயல்படும் உலகளாவிய வழிமுறையைப் பார்ப்போம். முந்தைய அணுகுமுறைகள் அனைத்தும் சக்தியற்றதாக இருந்தபோதும்.

4. விருப்பங்களை கணக்கிடும் முறை

இந்த நுட்பங்கள் அனைத்தும் உதவவில்லை என்றால் என்ன செய்வது? சமத்துவமின்மையை எதிர்மறையான வால்களாகக் குறைக்க முடியாவிட்டால், தொகுதியை தனிமைப்படுத்துவது சாத்தியமில்லை என்றால், பொதுவாக வலி, சோகம், மனச்சோர்வு இருந்தால்?

பின்னர் அனைத்து கணிதத்தின் "கனரக பீரங்கி" காட்சிக்கு வருகிறது - மிருகத்தனமான முறை. மாடுலஸுடனான ஏற்றத்தாழ்வுகள் தொடர்பாக இது போல் தெரிகிறது:

1. அனைத்து சப்மாடுலர் வெளிப்பாடுகளையும் எழுதி அவற்றை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக அமைக்கவும்;
2. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து, ஒரு எண் வரியில் காணப்படும் வேர்களைக் குறிக்கவும்;
3. நேர் கோடு பல பிரிவுகளாக பிரிக்கப்படும், அதற்குள் ஒவ்வொரு தொகுதிக்கும் ஒரு நிலையான அடையாளம் உள்ளது, எனவே தனித்துவமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது;
4. அத்தகைய ஒவ்வொரு பிரிவிலும் உள்ள சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும் (படி 2 இல் பெறப்பட்ட வேர்கள்-எல்லைகளை நீங்கள் தனித்தனியாகக் கருதலாம் - நம்பகத்தன்மைக்காக). முடிவுகளை இணைக்கவும் - இது பதில்.

எனவே எப்படி? பலவீனமா? எளிதாக! நீண்ட காலத்திற்கு மட்டுமே. நடைமுறையில் பார்ப்போம்:

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\இடது| x+2 \வலது| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

தீர்வு. $\left| போன்ற ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு இந்த தனம் கொதிக்கவில்லை f\வலது| \lt g$, $\left| f\வலது| \gt g$ அல்லது $\left| f\வலது| \lt \left| g \right|$, எனவே நாங்கள் முன்னோக்கிச் செயல்படுகிறோம்.

நாங்கள் சப்மாடுலர் வெளிப்பாடுகளை எழுதுகிறோம், அவற்றை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம் மற்றும் வேர்களைக் கண்டறிகிறோம்:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\முடிவு(சீரமை)\]

மொத்தத்தில், எங்களிடம் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன, அவை எண் கோட்டை மூன்று பிரிவுகளாகப் பிரிக்கின்றன, அதில் ஒவ்வொரு தொகுதியும் தனித்தனியாக வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன:

சப்மோடுலர் செயல்பாடுகளின் பூஜ்ஜியங்களால் எண் கோட்டைப் பிரித்தல்

ஒவ்வொரு பகுதியையும் தனித்தனியாகப் பார்ப்போம்.

1. $x \lt -2$. இரண்டு சப்மோடுலர் வெளிப்பாடுகளும் எதிர்மறையானவை, மேலும் அசல் சமத்துவமின்மை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படும்:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\ end(align)\]

எங்களுக்கு மிகவும் எளிமையான வரம்பு உள்ளது. $x \lt -2$ என்ற ஆரம்ப அனுமானத்துடன் அதை வெட்டுவோம்:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\ end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnoth \]

வெளிப்படையாக, மாறி $x$ ஒரே நேரத்தில் −2 ஐ விட குறைவாகவும் 1.5 ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கக்கூடாது. இந்த பகுதியில் தீர்வுகள் இல்லை.

1.1 எல்லைக்கோடு வழக்கைத் தனித்தனியாகக் கருதுவோம்: $x=-2$. இந்த எண்ணை அசல் சமத்துவமின்மையில் மாற்றி சரிபார்ப்போம்: இது உண்மையா?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\வலது|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\முடிவு(சீரமை)\]

கணக்கீடுகளின் சங்கிலி நம்மை ஒரு தவறான சமத்துவமின்மைக்கு இட்டுச் சென்றது என்பது வெளிப்படையானது. எனவே, அசல் சமத்துவமின்மையும் தவறானது, மேலும் $x=-2$ பதிலில் சேர்க்கப்படவில்லை.

2. இப்போது $-2 \lt x \lt 1$. இடது தொகுதி ஏற்கனவே "பிளஸ்" உடன் திறக்கும், ஆனால் வலதுபுறம் "மைனஸ்" உடன் திறக்கும். எங்களிடம் உள்ளது:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\ முடிவு(சீரமை)\]

மீண்டும் நாம் அசல் தேவையுடன் குறுக்கிடுகிறோம்:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\ end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

மீண்டும் தீர்வுகளின் தொகுப்பு காலியாக உள்ளது, ஏனெனில் −2.5 க்கும் குறைவான மற்றும் −2 ஐ விட அதிகமான எண்கள் எதுவும் இல்லை.

2.1 மீண்டும் ஒரு சிறப்பு வழக்கு: $x=1$. அசல் சமத்துவமின்மையை நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \இடது| 3\வலது| \lt \left| 0\வலது|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\முடிவு(சீரமை)\]

முந்தைய "சிறப்பு வழக்கு" போலவே, $x=1$ என்ற எண் தெளிவாக பதிலில் சேர்க்கப்படவில்லை.

3. வரியின் கடைசி பகுதி: $x \gt 1$. இங்கே அனைத்து தொகுதிகளும் பிளஸ் அடையாளத்துடன் திறக்கப்படுகின்றன:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \ end(align)\ ]

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தொகுப்பை அசல் தடையுடன் மீண்டும் வெட்டுகிறோம்:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\ end(align) \right.\rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

சரி, இறுதியாக! விடையாக இருக்கும் ஒரு இடைவெளியைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம்.

பதில்: $x\in \இடது(4,5;+\infty \right)$

இறுதியாக, உண்மையான சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது முட்டாள்தனமான தவறுகளிலிருந்து உங்களைக் காப்பாற்றும் ஒரு குறிப்பு:

மாடுலியுடன் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகள் பொதுவாக எண் வரிசையில் தொடர்ச்சியான தொகுப்புகளைக் குறிக்கின்றன - இடைவெளிகள் மற்றும் பிரிவுகள். தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகள் மிகவும் குறைவாகவே காணப்படுகின்றன. இன்னும் குறைவாகவே, தீர்வின் எல்லை (பிரிவின் முடிவு) பரிசீலனையில் உள்ள வரம்பின் எல்லையுடன் ஒத்துப்போகிறது.

இதன் விளைவாக, எல்லைகள் (அதே "சிறப்பு வழக்குகள்") பதிலில் சேர்க்கப்படவில்லை என்றால், இந்த எல்லைகளின் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள பகுதிகள் நிச்சயமாக பதிலில் சேர்க்கப்படாது. மற்றும் நேர்மாறாக: எல்லை பதிலில் நுழைந்தது, அதாவது அதைச் சுற்றியுள்ள சில பகுதிகளும் பதில்களாக இருக்கும்.

உங்கள் தீர்வுகளை மதிப்பாய்வு செய்யும் போது இதை மனதில் கொள்ளுங்கள்.

இந்த ஆன்லைன் கணித கால்குலேட்டர் உங்களுக்கு உதவும் ஒரு சமன்பாடு அல்லது சமத்துவமின்மையை மாடுலி மூலம் தீர்க்கவும். இதற்கான திட்டம்சமன்பாடுகள் மற்றும் சமத்துவமின்மைகளை மாடுலி மூலம் தீர்க்கிறது பிரச்சனைக்கான பதிலை மட்டும் கொடுக்கவில்லை, அது வழிநடத்துகிறதுவிளக்கங்களுடன் விரிவான தீர்வு

பொதுக் கல்விப் பள்ளிகளில் உள்ள உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு, சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளுக்குத் தயாராகும் போது, ​​ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கு முன் அறிவைப் பரிசோதிக்கும் போது, ​​கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோருக்கு இந்தத் திட்டம் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

அல்லது நீங்கள் ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது உங்கள் கணிதம் அல்லது இயற்கணிதம் வீட்டுப்பாடத்தை கூடிய விரைவில் முடிக்க வேண்டுமா? இந்த வழக்கில், விரிவான தீர்வுகளுடன் எங்கள் நிரல்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

இந்த வழியில், நீங்கள் உங்கள் சொந்த பயிற்சி மற்றும்/அல்லது உங்கள் இளைய சகோதரர்கள் அல்லது சகோதரிகளின் பயிற்சியை நடத்தலாம், அதே நேரத்தில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் துறையில் கல்வியின் நிலை அதிகரிக்கிறது.

|x|

மாடுலியுடன் ஒரு சமன்பாடு அல்லது சமத்துவமின்மையை உள்ளிடவும்

x^2 + 2|x-1| -6 = 0
ஒரு சமன்பாடு அல்லது சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்
இந்த சிக்கலை தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மேலும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம்.

நீங்கள் AdBlock இயக்கப்பட்டிருக்கலாம்.
இந்த வழக்கில், அதை முடக்கி, பக்கத்தைப் புதுப்பிக்கவும்.
உங்கள் உலாவியில் JavaScript முடக்கப்பட்டுள்ளது.

தீர்வு தோன்றுவதற்கு, நீங்கள் JavaScript ஐ இயக்க வேண்டும்.
உங்கள் உலாவியில் ஜாவாஸ்கிரிப்டை எவ்வாறு இயக்குவது என்பதற்கான வழிமுறைகள் இங்கே உள்ளன.
ஏனெனில் பிரச்சனையை தீர்க்க நிறைய பேர் தயாராக உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசையாக உள்ளது. சில நொடிகளில் தீர்வு கீழே தோன்றும்.

தயவுசெய்து காத்திருக்கவும் நொடி...நீங்கள் என்றால்
தீர்வில் பிழை இருப்பதை கவனித்தேன் , பிறகு இதைப் பற்றி பின்னூட்டப் படிவத்தில் எழுதலாம்.மறக்காதே எந்த பணியைக் குறிக்கவும்.

நீங்கள் என்ன முடிவு செய்யுங்கள்

துறைகளில் நுழையுங்கள்

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

ஒரு சிறிய கோட்பாடு.

மாடுலியுடன் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

ஒரு அடிப்படை பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்திட்டத்தில், நீங்கள் எளிமையான சமன்பாடுகள் மற்றும் சமத்துவமின்மைகளை மாடுலியுடன் சந்திக்கலாம். அவற்றைத் தீர்க்க, \(|x-a| \) என்பது புள்ளிகள் x மற்றும் a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) எண் கோட்டில் உள்ள தூரம் என்பதன் அடிப்படையில் ஒரு வடிவியல் முறையைப் பயன்படுத்தலாம். \). எடுத்துக்காட்டாக, \(|x-3|=2\) சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, புள்ளி 3 இலிருந்து 2 தொலைவில் உள்ள எண் வரியில் புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டும். அத்தகைய இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன: \(x_1=1 \) மற்றும் \(x_2=5\) .
சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது \(|2x+7|
ஆனால் சமன்பாடுகள் மற்றும் சமத்துவமின்மைகளை மாடுலியுடன் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய வழி "வரையறையின் மூலம் மாடுலஸின் வெளிப்பாடு" என்று அழைக்கப்படுவதோடு தொடர்புடையது:

\(a \geq 0 \) என்றால் \(|a|=a \);
1) \(c > 0\) எனில், \(|f(x)|=c \) சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமம்: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) \(c > 0 \), சமத்துவமின்மை \(|f(x)| 3) \(c \geq 0 \) எனில், சமத்துவமின்மை \(|f(x)| > c \) ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பிற்கு சமமானது: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) சமத்துவமின்மையின் இருபுறமும் \(f(x) எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

\(x-1 \geq 0\) எனில், \(|x-1| = x-1\) மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
\(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இரண்டு நிகழ்வுகளில் ஒவ்வொன்றிலும் தனித்தனியாகக் கருதப்பட வேண்டும்.
1) விடு \(x-1 \geq 0 \), அதாவது. \(x\geq 1\). சமன்பாட்டிலிருந்து \(x^2 +2x -8 = 0\) \(x_1=2, \; x_2=-4\) ஐக் காணலாம்.
\(x \geq 1 \) நிபந்தனை \(x_1=2\) மதிப்பால் மட்டுமே திருப்தி அடையும்.

2) \(x-1 விடை: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).முதல் வழி
(வரையறையின்படி தொகுதி விரிவாக்கம்).

உதாரணம் 1 இல் உள்ளதைப் போல, இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தனித்தனியாகக் கருதப்பட வேண்டும் என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம்: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) அல்லது \(x^2-6x+7
1) \(x^2-6x+7 \geq 0 \), பின்னர் \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(x வடிவத்தை எடுக்கும் ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு, நாம் பெறுவது: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6\) மதிப்பு \(x^2-6x+7 \geq 0\) நிபந்தனையை பூர்த்திசெய்கிறதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மதிப்பை இருபடி சமத்துவமின்மையில் மாற்றவும். நாம் பெறுவது: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), அதாவது. \(7 \geq 0 \) ஒரு உண்மையான சமத்துவமின்மை.

இதன் பொருள் \(x_1=6\) என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் ரூட் ஆகும்.

\(x_2=\frac(5)(3) \) மதிப்பு \(x^2-6x+7 \geq 0 \) நிபந்தனையை பூர்த்திசெய்கிறதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மதிப்பை இருபடி சமத்துவமின்மையில் மாற்றவும். நாம் பெறுவது: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), அதாவது. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) என்பது தவறான சமத்துவமின்மை. இதன் பொருள் \(x_2=\frac(5)(3)\) என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல. 2) \(x^2-6x+7 மதிப்பு \(x_3=3\) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால் \(x^2-6x+7 மதிப்பு \(x_4=\frac(4)(3) \) பூர்த்தி செய்யவில்லை நிபந்தனை \ (x^2-6x+7 எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: \(x=6, \; x=3 \).
இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளும் மேலே தீர்க்கப்பட்டன (கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் முதல் முறையைப் பயன்படுத்தி), அவற்றின் வேர்கள் பின்வருமாறு: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). இந்த நான்கு மதிப்புகளின் நிபந்தனை \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) இரண்டால் மட்டுமே பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது: 6 மற்றும் 3. இதன் பொருள் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: \(x=6 , \; x=3 \ ).

மூன்றாவது வழி(கிராஃபிக்).
1) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் \(y = |x^2-6x+7| \). முதலில், ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்குவோம் \(y = x^2-6x+7\).
எங்களிடம் \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). செயல்பாட்டின் வரைபடம் \(y = (x-3)^2-2\) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திலிருந்து \(y = x^2 \) 3 அளவு அலகுகளால் வலதுபுறமாக (உடன்) மாற்றுவதன் மூலம் பெறலாம் x-அச்சு) மற்றும் 2 அளவு அலகுகள் கீழே (y- அச்சில்).
நேர்கோடு x=3 என்பது நாம் விரும்பும் பரவளையத்தின் அச்சாகும். மிகவும் துல்லியமான சதித்திட்டத்திற்கான கட்டுப்பாட்டுப் புள்ளிகளாக, பரவளையத்தின் உச்சி (0; 7) மற்றும் புள்ளி (6; 7) மற்றும் பரவளையத்தின் அச்சுக்கு சமச்சீர் புள்ளி (3; -2) ஆகியவற்றை எடுத்துக்கொள்வது வசதியானது. .

இப்போது செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்க \(y = |x^2-6x+7| \), x-அச்சுக்கு கீழே இல்லாத கட்டப்பட்ட பரவளையத்தின் பகுதிகளை மாற்றாமல் விட்டு, அந்த பகுதியை பிரதிபலிக்க வேண்டும். x அச்சுடன் தொடர்புடைய x அச்சுக்குக் கீழே இருக்கும் பரவளையம்.

2) நேரியல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் \(y = \frac(5x-9)(3)\). புள்ளிகள் (0; –3) மற்றும் (3; 2) கட்டுப்பாட்டு புள்ளிகளாக எடுத்துக்கொள்வது வசதியானது. abscissa அச்சுடன் நேர்கோட்டின் குறுக்குவெட்டின் புள்ளி x = 1.8 என்பது abscissa அச்சுடன் பரவளையத்தின் இடது வெட்டுப் புள்ளியின் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளது - இது புள்ளி \(x=3-\ sqrt(2) \) (\(3-\sqrt(2 ) 3) வரைதல் மூலம் ஆராயும்போது, ​​வரைபடங்கள் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன - A(3; 2) மற்றும் B(6; 7) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் x = 3 மற்றும் x = 6 புள்ளிகள், இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் சரியான எண் சமத்துவம் பெறப்படுகிறது என்று நாங்கள் நம்புகிறோம் - இதன் பொருள் எங்கள் கருதுகோள் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது - சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது x = 6. பதில்: 3;

கருத்து

எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
. வரைகலை முறை, அதன் அனைத்து நேர்த்தியுடன், மிகவும் நம்பகமானதாக இல்லை. கருதப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்களாக இருப்பதால் மட்டுமே அது வேலை செய்தது.

எடுத்துக்காட்டு 3. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
2x–4 என்ற வெளிப்பாடு x = 2 புள்ளியில் 0 ஆகவும், x + 3 என்ற வெளிப்பாடு x = –3 புள்ளியில் 0 ஆகவும் மாறும். இந்த இரண்டு புள்ளிகளும் எண் கோட்டை மூன்று இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன: \(x
முதல் இடைவெளியைக் கவனியுங்கள்: \((-\infty; \; -3) \).

இடைவெளியில் (-3;0), தொகுதியை விரிவுபடுத்தி, செயல்பாட்டின் அடையாளத்தை எதிர்க்கு மாற்றுகிறோம்

சமத்துவமின்மை வெளிப்பாட்டின் பகுதியை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், தீர்வு வடிவம் கொண்டிருக்கும்

முந்தைய பகுதியுடன் சேர்ந்து இது இரண்டு அரை இடைவெளிகளைக் கொடுக்கும்

எடுத்துக்காட்டு 5. சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வு காணவும்
9x^2-|x-3|>=9x-2

தீர்வு:
x=3 என்ற புள்ளியில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான துணைமட்டுச் செயல்பாடு இருக்கும் கடுமையான சமத்துவமின்மை வழங்கப்படுகிறது.<3.

சிறிய மதிப்புகளுக்கு எதிர்மறையானது, பெரிய மதிப்புகளுக்கு நேர்மறை. x இடைவெளியில் தொகுதியை விரிவாக்கவும்

சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைக் கண்டறிதல்

மற்றும் வேர்கள்