முழு இருபடி சமன்பாடு சூத்திரம். முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

", அதாவது, முதல் பட்டத்தின் சமன்பாடுகள். இந்த பாடத்தில் நாம் பார்ப்போம் இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறதுமற்றும் அதை எவ்வாறு தீர்ப்பது.

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன?

முக்கியமானது!

ஒரு சமன்பாட்டின் அளவு அறியப்படாதது எந்த அளவிற்கு உயர்ந்தது என்பதை தீர்மானிக்கிறது.

அறியப்படாத அதிகபட்ச சக்தி “2” என்றால், உங்களிடம் இருபடி சமன்பாடு உள்ளது.

இருபடி சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

முக்கியமானது! இருபடி சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவம் இதுபோல் தெரிகிறது:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" மற்றும் "c" எண்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

• "a" என்பது முதல் அல்லது உயர்ந்த குணகம்;
• "b" என்பது இரண்டாவது குணகம்;
• "c" ஒரு இலவச உறுப்பினர்.

"a", "b" மற்றும் "c" ஆகியவற்றைக் கண்டறிய, உங்கள் சமன்பாட்டை "ax 2 + bx + c = 0" என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவத்துடன் ஒப்பிட வேண்டும்.

இருபடி சமன்பாடுகளில் "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை நிர்ணயிப்பதை பயிற்சி செய்வோம்.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 - 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

சமன்பாடு	முரண்பாடுகள்
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

நேரியல் சமன்பாடுகளைப் போலன்றி, இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க ஒரு சிறப்பு முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க உங்களுக்கு இது தேவைப்படும்:

• இருபடி சமன்பாட்டை "ax 2 + bx + c = 0" என்ற பொது வடிவத்திற்கு கொண்டு வரவும்.
• அதாவது, வலது பக்கத்தில் "0" மட்டுமே இருக்க வேண்டும்;

வேர்களுக்கு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய சூத்திரத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

X 2 - 3x - 4 = 0 "x 2 - 3x - 4 = 0" என்ற சமன்பாடு ஏற்கனவே "ax 2 + bx + c = 0" என்ற பொது வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் கூடுதல் எளிமைப்படுத்தல் தேவையில்லை. அதைத் தீர்க்க, நாம் விண்ணப்பிக்க வேண்டும்.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்

இந்த சமன்பாட்டிற்கான "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை நிர்ணயிப்போம்.
இந்த சமன்பாட்டிற்கான "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை நிர்ணயிப்போம்.
இந்த சமன்பாட்டிற்கான "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை நிர்ணயிப்போம்.
இந்த சமன்பாட்டிற்கான "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை நிர்ணயிப்போம்.

x 1;2 =

எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க இதைப் பயன்படுத்தலாம்.
"x 1;2 =" சூத்திரத்தில் தீவிர வெளிப்பாடு அடிக்கடி மாற்றப்படுகிறது

"D" என்ற எழுத்துக்கான "b 2 - 4ac" மற்றும் பாரபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு பாகுபாடு பற்றிய கருத்து "பாகுபாடு என்றால் என்ன" என்ற பாடத்தில் இன்னும் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது.

இருபடி சமன்பாட்டின் மற்றொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

x 2 + 9 + x = 7x

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

இப்போது நீங்கள் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
பதில்: x = 3

இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு வேர்கள் இல்லாத நேரங்களும் உண்டு. சூத்திரம் மூலத்தின் கீழ் எதிர்மறை எண்ணைக் கொண்டிருக்கும்போது இந்த நிலை ஏற்படுகிறது.

நவீன சமுதாயத்தில், ஒரு சதுர மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யும் திறன் செயல்பாட்டின் பல பகுதிகளில் பயனுள்ளதாக இருக்கும் மற்றும் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப வளர்ச்சிகளில் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கடல் மற்றும் நதிக் கப்பல்கள், விமானங்கள் மற்றும் ராக்கெட்டுகளின் வடிவமைப்பில் இதற்கான சான்றுகள் உள்ளன. இத்தகைய கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி, விண்வெளிப் பொருள்கள் உட்பட பல்வேறு வகையான உடல்களின் இயக்கத்தின் பாதைகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பொருளாதார முன்கணிப்பில், கட்டிடங்களின் வடிவமைப்பு மற்றும் கட்டுமானத்தில் மட்டுமல்ல, மிகவும் சாதாரண அன்றாட சூழ்நிலைகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஹைகிங் பயணங்கள், விளையாட்டு நிகழ்வுகள், கடைகளில் வாங்கும் போது மற்றும் பிற பொதுவான சூழ்நிலைகளில் அவை தேவைப்படலாம்.

வெளிப்பாட்டை அதன் கூறு காரணிகளாக உடைப்போம்

ஒரு சமன்பாட்டின் அளவு, வெளிப்பாடு கொண்டிருக்கும் மாறியின் பட்டத்தின் அதிகபட்ச மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இது 2 க்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு இருபடி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நாம் சூத்திரங்களின் மொழியில் பேசினால், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வெளிப்பாடுகள், அவை எப்படித் தோன்றினாலும், வெளிப்பாட்டின் இடது பக்கம் மூன்று சொற்களைக் கொண்டிருக்கும்போது எப்போதும் வடிவத்திற்கு கொண்டு வர முடியும். அவற்றில்: கோடாரி 2 (அதாவது, அதன் குணகத்துடன் ஒரு மாறி ஸ்கொயர்), bx (அதன் குணகத்துடன் சதுரம் இல்லாதது) மற்றும் c (ஒரு இலவச கூறு, அதாவது ஒரு சாதாரண எண்). வலதுபுறத்தில் உள்ள இவை அனைத்தும் 0 க்கு சமமாக இருக்கும். அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவை அதன் கூறு 2 ஐத் தவிர்த்து, அதன் கூறுகளில் ஒன்று இல்லாதபோது, ​​அது முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எனப்படும். இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், எளிதில் கண்டுபிடிக்கக்கூடிய மாறிகளின் மதிப்புகள் முதலில் கருதப்பட வேண்டும்.

வெளிப்பாட்டில் வலது பக்கத்தில் இரண்டு சொற்கள் இருப்பது போல் தோன்றினால், இன்னும் துல்லியமாக ax 2 மற்றும் bx, x ஐக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எளிதான வழி, அடைப்புக்குறிக்குள் மாறியை வைப்பதாகும். இப்போது நமது சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: x(ax+b). அடுத்து, x=0 அல்லது சிக்கல் பின்வரும் வெளிப்பாட்டிலிருந்து மாறியைக் கண்டறிவதில் வரும் என்பது தெளிவாகிறது: ax+b=0. இது பெருக்கத்தின் பண்புகளில் ஒன்றால் கட்டளையிடப்படுகிறது. இரண்டு காரணிகளின் பலன்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே 0 இல் விளைகிறது என்று விதி கூறுகிறது.

உதாரணம்

x=0 அல்லது 8x - 3 = 0

இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: 0 மற்றும் 0.375.

இந்த வகையான சமன்பாடுகள் புவியீர்ப்பு செல்வாக்கின் கீழ் உடல்களின் இயக்கத்தை விவரிக்க முடியும், இது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றமாக எடுக்கப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து நகரத் தொடங்கியது. இங்கே கணிதக் குறியீடு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்: y = v 0 t + gt 2/2. தேவையான மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், வலது பக்கத்தை 0 க்கு சமன் செய்வதன் மூலம் மற்றும் தெரியாதவற்றைக் கண்டறிவதன் மூலம், உடல் உயரும் தருணத்திலிருந்து அது விழும் வரை கடந்து செல்லும் நேரத்தையும், பல அளவுகளையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம். ஆனால் இதைப் பற்றி பின்னர் பேசுவோம்.

ஒரு வெளிப்பாட்டைக் காரணியாக்குதல்

மேலே விவரிக்கப்பட்ட விதி இந்த சிக்கல்களை மிகவும் சிக்கலான நிகழ்வுகளில் தீர்க்க உதவுகிறது. இந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

X 2 - 33x + 200 = 0

இந்த இருபடி முக்கோணம் முடிந்தது. முதலில், வெளிப்பாட்டை மாற்றி அதை காரணியாக்குவோம். அவற்றில் இரண்டு உள்ளன: (x-8) மற்றும் (x-25) = 0. இதன் விளைவாக, நமக்கு இரண்டு வேர்கள் 8 மற்றும் 25 உள்ளன.

தரம் 9 இல் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், இந்த முறையானது, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது வரிசைகளின் வெளிப்பாடுகளில் ஒரு மாறியைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. வலது பக்கத்தை ஒரு மாறியுடன் காரணிகளாக மாற்றும்போது, ​​அவற்றில் மூன்று உள்ளன, அதாவது (x+1), (x-3) மற்றும் (x+ 3)

இதன் விளைவாக, இந்த சமன்பாடு மூன்று வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது: -3; -1; 3.

சதுர வேர்

முழுமையடையாத இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாட்டின் மற்றொரு நிகழ்வு, எழுத்துகளின் மொழியில் குறிப்பிடப்படும் ஒரு வெளிப்பாடாகும், இது வலதுபுறம் கோடாரி 2 மற்றும் c கூறுகளிலிருந்து கட்டமைக்கப்படுகிறது. இங்கே, மாறியின் மதிப்பைப் பெற, இலவச சொல் வலது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது, அதன் பிறகு வர்க்க மூலமானது சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் பிரித்தெடுக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் பொதுவாக சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஒரே விதிவிலக்கு என்பது ஒரு சொல்லைக் கொண்டிருக்காத சமத்துவங்களாக இருக்கலாம், அங்கு மாறி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதே போல் வலது பக்கம் எதிர்மறையாக மாறும் போது வெளிப்பாடுகளின் மாறுபாடுகள். பிந்தைய வழக்கில், மேலே உள்ள செயல்களை வேர்கள் மூலம் செய்ய முடியாது என்பதால், தீர்வுகள் எதுவும் இல்லை. இந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் -4 மற்றும் 4 ஆக இருக்கும்.

நிலப்பரப்பின் கணக்கீடு

இந்த வகையான கணக்கீடுகளின் தேவை பண்டைய காலங்களில் தோன்றியது, ஏனென்றால் அந்த தொலைதூர காலங்களில் கணிதத்தின் வளர்ச்சி பெரும்பாலும் நில அடுக்குகளின் பகுதிகள் மற்றும் சுற்றளவுகளை மிகத் துல்லியமாக தீர்மானிக்க வேண்டியதன் அவசியத்தால் தீர்மானிக்கப்பட்டது.

இந்த வகையான சிக்கல்களின் அடிப்படையில் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணங்களையும் நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

எனவே, ஒரு செவ்வக நிலம் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம், அதன் நீளம் அகலத்தை விட 16 மீட்டர் அதிகமாகும். தளத்தின் பரப்பளவு 612 மீ 2 என்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால், தளத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் சுற்றளவு ஆகியவற்றை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

தொடங்குவதற்கு, முதலில் தேவையான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். பகுதியின் அகலத்தை x ஆல் குறிப்போம், அதன் நீளம் (x+16) இருக்கும். எழுதப்பட்டவற்றிலிருந்து, பகுதி x(x+16) என்ற வெளிப்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இது எங்கள் பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின்படி, 612 ஆகும். இதன் பொருள் x(x+16) = 612.

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, மற்றும் இந்த வெளிப்பாடு சரியாக உள்ளது, அதே வழியில் செய்ய முடியாது. ஏன்? இடது பக்கம் இன்னும் இரண்டு காரணிகளைக் கொண்டிருந்தாலும், அவற்றின் தயாரிப்பு 0 க்கு சமமாக இல்லை, எனவே வெவ்வேறு முறைகள் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பாகுபாடு காட்டுபவர்

முதலில், தேவையான மாற்றங்களைச் செய்வோம், பின்னர் இந்த வெளிப்பாட்டின் தோற்றம் இப்படி இருக்கும்: x 2 + 16x - 612 = 0. இதன் பொருள், முன்னர் குறிப்பிட்ட தரநிலையுடன் தொடர்புடைய வடிவத்தில் வெளிப்பாட்டை நாங்கள் பெற்றுள்ளோம். a=1, b=16, c= -612.

ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இங்கே தேவையான கணக்கீடுகள் திட்டத்தின் படி செய்யப்படுகின்றன: D = b 2 - 4ac. இந்த துணை அளவு, இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டில் தேவையான அளவுகளை கண்டுபிடிப்பது மட்டுமல்லாமல், சாத்தியமான விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையையும் தீர்மானிக்கிறது. D>0 எனில், அவற்றில் இரண்டு உள்ளன; D=0 க்கு ஒரு ரூட் உள்ளது. வழக்கில் டி<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

வேர்கள் மற்றும் அவற்றின் சூத்திரம் பற்றி

எங்கள் விஷயத்தில், பாரபட்சமானது இதற்குச் சமம்: 256 - 4(-612) = 2704. இது எங்கள் பிரச்சனைக்கு விடை உள்ளது என்று தெரிவிக்கிறது. உங்களுக்கு k தெரிந்தால், இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு கீழே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தொடர வேண்டும். இது வேர்களைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.

இதன் பொருள் வழங்கப்பட்ட வழக்கில்: x 1 =18, x 2 =-34. இந்த இக்கட்டான சூழ்நிலையில் இரண்டாவது விருப்பம் ஒரு தீர்வாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் நிலத்தின் பரிமாணங்களை எதிர்மறையான அளவுகளில் அளவிட முடியாது, அதாவது x (அதாவது, சதித்திட்டத்தின் அகலம்) 18 மீ +16=34, மற்றும் சுற்றளவு 2(34+ 18)=104(மீ2).

எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பணிகள்

இருபடிச் சமன்பாடுகள் பற்றிய ஆய்வைத் தொடர்கிறோம். அவற்றில் பலவற்றின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் விரிவான தீர்வுகள் கீழே கொடுக்கப்படும்.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

எல்லாவற்றையும் சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திற்கு நகர்த்துவோம், மாற்றத்தை உருவாக்குவோம், அதாவது, வழக்கமாக நிலையானது என்று அழைக்கப்படும் சமன்பாட்டின் வகையைப் பெறுவோம், அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

ஒத்தவற்றைச் சேர்த்து, நாம் பாகுபாட்டைத் தீர்மானிக்கிறோம்: D = 49 - 48 = 1. இதன் பொருள் நமது சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். மேலே உள்ள சூத்திரத்தின்படி அவற்றைக் கணக்கிடுவோம், அதாவது அவற்றில் முதலாவது 4/3 ஆகவும், இரண்டாவது 1 ஆகவும் இருக்கும்.

2) இப்போது வேறு வகையான மர்மங்களைத் தீர்ப்போம்.

இங்கே x 2 - 4x + 5 = 1 வேர்கள் உள்ளதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்? ஒரு விரிவான பதிலைப் பெற, பல்லுறுப்புக்கோவையை தொடர்புடைய வழக்கமான வடிவத்திற்குக் குறைத்து, பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் இது சிக்கலின் சாராம்சம் அல்ல. இந்த வழக்கில், D = 16 - 20 = -4, அதாவது உண்மையில் வேர்கள் இல்லை.

வியட்டாவின் தேற்றம்

பிந்தையவற்றின் மதிப்பிலிருந்து வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளும்போது, ​​மேற்கூறிய சூத்திரங்கள் மற்றும் பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது வசதியானது. ஆனால் இது எப்போதும் நடக்காது. இருப்பினும், இந்த வழக்கில் மாறிகளின் மதிப்புகளைப் பெற பல வழிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டு: வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. 16 ஆம் நூற்றாண்டில் பிரான்சில் வாழ்ந்த ஒருவரின் நினைவாக அவர் பெயரிடப்பட்டார் மற்றும் அவரது கணிதத் திறமை மற்றும் நீதிமன்றத்தில் உள்ள தொடர்புகளுக்கு நன்றி. அவரது உருவப்படத்தை கட்டுரையில் காணலாம்.

புகழ்பெற்ற பிரெஞ்சுக்காரர் கவனித்த முறை பின்வருமாறு. சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்களின் அடிப்படையில் -p=b/a ஐக் கூட்டுகின்றன, மேலும் அவற்றின் தயாரிப்பு q=c/a உடன் ஒத்துள்ளது என்பதை அவர் நிரூபித்தார்.

இப்போது குறிப்பிட்ட பணிகளைப் பார்ப்போம்.

3x 2 + 21x - 54 = 0

எளிமைக்காக, வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

x 2 + 7x - 18 = 0

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம், இது பின்வருவனவற்றைக் கொடுக்கும்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை -7, அவற்றின் தயாரிப்பு -18. இங்கிருந்து நாம் சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் -9 மற்றும் 2 என்று பெறுகிறோம். சரிபார்த்த பிறகு, இந்த மாறி மதிப்புகள் உண்மையில் வெளிப்பாட்டிற்கு பொருந்துமா என்பதை உறுதி செய்வோம்.

பரவளைய வரைபடம் மற்றும் சமன்பாடு

இருபடிச் செயல்பாடு மற்றும் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் கருத்துக்கள் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. இதற்கான உதாரணங்கள் முன்பே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இப்போது சில கணிதப் புதிர்களை சற்று விரிவாகப் பார்ப்போம். விவரிக்கப்பட்ட வகையின் எந்த சமன்பாடும் பார்வைக்கு குறிப்பிடப்படலாம். ஒரு வரைபடமாக வரையப்பட்ட அத்தகைய உறவு, பரவளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் பல்வேறு வகைகள் கீழே உள்ள படத்தில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

எந்தவொரு பரவளையத்திற்கும் ஒரு உச்சி உள்ளது, அதாவது அதன் கிளைகள் வெளிப்படும் புள்ளி. a>0 எனில், அவை முடிவிலிக்கு உயரச் செல்கின்றன, எப்போது a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

செயல்பாடுகளின் காட்சி பிரதிநிதித்துவங்கள் இருபடி சமன்பாடுகள் உட்பட எந்த சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உதவுகின்றன. இந்த முறை வரைகலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் x மாறியின் மதிப்பு, வரைபடக் கோடு 0x உடன் வெட்டும் புள்ளிகளில் உள்ள abscissa ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். x 0 = -b/2a கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உச்சியின் ஆயங்களைக் கண்டறியலாம். இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை செயல்பாட்டின் அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் y 0 ஐக் கண்டறியலாம், அதாவது பரவளையத்தின் உச்சியின் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு, இது ஆர்டினேட் அச்சுக்கு சொந்தமானது.

abscissa அச்சுடன் ஒரு பரவளையத்தின் கிளைகளின் குறுக்குவெட்டு

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு நிறைய எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன, ஆனால் பொதுவான வடிவங்களும் உள்ளன. அவற்றைப் பார்ப்போம். 0 எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுத்தால் மட்டுமே a>0க்கான 0x அச்சுடன் வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு சாத்தியமாகும் என்பது தெளிவாகிறது. மற்றும் ஒரு<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. இல்லையெனில் டி<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

பரவளையத்தின் வரைபடத்திலிருந்து நீங்கள் வேர்களையும் தீர்மானிக்கலாம். இதற்கு நேர்மாறாகவும் உள்ளது. அதாவது, ஒரு இருபடிச் செயல்பாட்டின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பெறுவது எளிதல்ல என்றால், வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தை 0க்கு சமன் செய்து அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கலாம். மற்றும் 0x அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளை அறிந்து, வரைபடத்தை உருவாக்குவது எளிது.

வரலாற்றில் இருந்து

ஒரு சதுர மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, பழைய நாட்களில் அவர்கள் கணிதக் கணக்கீடுகளை மட்டும் செய்யவில்லை மற்றும் வடிவியல் புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளை தீர்மானித்தனர். இயற்பியல் மற்றும் வானியல் துறைகளில் மகத்தான கண்டுபிடிப்புகளுக்கும், ஜோதிட கணிப்புகளைச் செய்வதற்கும் பழங்காலங்களுக்கு இத்தகைய கணக்கீடுகள் தேவைப்பட்டன.

நவீன விஞ்ஞானிகள் கூறுவது போல், இருபடி சமன்பாடுகளை முதலில் தீர்த்தவர்களில் பாபிலோனில் வசிப்பவர்கள் இருந்தனர். இது நமது சகாப்தத்திற்கு நான்கு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது. நிச்சயமாக, அவர்களின் கணக்கீடுகள் தற்போது ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டவற்றிலிருந்து முற்றிலும் வேறுபட்டவை மற்றும் மிகவும் பழமையானவை. உதாரணமாக, மெசபடோமிய கணிதவியலாளர்களுக்கு எதிர்மறை எண்கள் இருப்பதைப் பற்றி எதுவும் தெரியாது. எந்தவொரு நவீன பள்ளிக்குழந்தைக்கும் தெரிந்த மற்ற நுணுக்கங்களையும் அவர்கள் அறிந்திருக்கவில்லை.

ஒருவேளை பாபிலோனின் விஞ்ஞானிகளை விட முன்னதாகவே, இந்தியாவைச் சேர்ந்த பௌதயாமா முனிவர் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கத் தொடங்கினார். இது கிறிஸ்துவின் சகாப்தத்திற்கு சுமார் எட்டு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது. உண்மை, இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடுகள், அவர் கொடுத்த தீர்வுக்கான முறைகள் எளிமையானவை. அவரைத் தவிர, சீனக் கணிதவியலாளர்களும் பழைய நாட்களில் இதே போன்ற கேள்விகளில் ஆர்வமாக இருந்தனர். ஐரோப்பாவில், இருபடி சமன்பாடுகள் 13 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் மட்டுமே தீர்க்கப்படத் தொடங்கின, ஆனால் பின்னர் அவை நியூட்டன், டெஸ்கார்ட்ஸ் மற்றும் பலர் போன்ற சிறந்த விஞ்ஞானிகளால் தங்கள் படைப்புகளில் பயன்படுத்தப்பட்டன.

எடுத்துக்காட்டாக, டிரினோமியலுக்கு \(3x^2+2x-7\), பாரபட்சமானது \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\)க்கு சமமாக இருக்கும். மற்றும் முக்கோணத்திற்கு \(x^2-5x+11\), இது \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)க்கு சமமாக இருக்கும்.

பாகுபாடு என்பது \(D\) என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் பெரும்பாலும் தீர்க்க பயன்படுகிறது. மேலும், பாகுபாடு காண்பவரின் மதிப்பின் மூலம், வரைபடம் தோராயமாக எப்படி இருக்கும் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளலாம் (கீழே காண்க).

இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு மற்றும் வேர்கள்

பாகுபாடு மதிப்பு இருபடி சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகிறது:
- \(D\) நேர்மறையாக இருந்தால், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்;
- \(D\) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் - ஒரே ஒரு ரூட் மட்டுமே உள்ளது;
- \(D\) எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இல்லை.

இதை கற்பிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, பாகுபாடு காட்டுபவர்களிடமிருந்து (அதாவது \(\sqrt(D)\) ஒரு இருபடியின் வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது என்பதை அறிந்தால், அத்தகைய முடிவுக்கு வருவது கடினம் அல்ல. சமன்பாடு: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) மற்றும் \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) மேலும் விவரங்கள் ஒவ்வொன்றையும் பார்க்கலாம்.

பாகுபாடு பாசிட்டிவ் என்றால்

இந்த வழக்கில், அதன் மூலமானது சில நேர்மறை எண்ணாகும், அதாவது \(x_(1)\) மற்றும் \(x_(2)\) வெவ்வேறு அர்த்தங்களைக் கொண்டிருக்கும், ஏனெனில் முதல் சூத்திரத்தில் \(\sqrt(D)\ ) சேர்க்கப்பட்டது, மற்றும் இரண்டாவது அது கழிக்கப்படுகிறது. மேலும் எங்களுக்கு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்கள் உள்ளன.

உதாரணம் : சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் \(x^2+2x-3=0\)
தீர்வு :

பதில் : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால்

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் எத்தனை வேர்கள் இருக்கும்? பகுத்தறிவோம்.

மூல சூத்திரங்கள் இப்படி இருக்கும்: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) மற்றும் \(x_(2)=\)\(\frac(-- b- \sqrt(D))(2a)\) . மேலும் பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அதன் மூலமும் பூஜ்ஜியமாகும். பின்னர் அது மாறிவிடும்:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

அதாவது, சமன்பாட்டின் வேர்களின் மதிப்புகள் ஒத்துப்போகின்றன, ஏனென்றால் பூஜ்ஜியத்தைக் கூட்டுவது அல்லது கழிப்பது எதையும் மாற்றாது.

உதாரணம் : சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் \(x^2-4x+4=0\)
தீர்வு :

\(x^2-4x+4=0\)		நாங்கள் குணகங்களை எழுதுகிறோம்:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		\(D=b^2-4ac\) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுகிறோம்
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிதல்
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		எங்களுக்கு இரண்டு ஒத்த வேர்கள் கிடைத்தன, எனவே அவற்றைத் தனித்தனியாக எழுதுவதில் அர்த்தமில்லை - அவற்றை ஒன்றாக எழுதுகிறோம்.

பதில் : \(x=2\)

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்கள். உண்மையான, பல மற்றும் சிக்கலான வேர்களின் வழக்குகள் கருதப்படுகின்றன. ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல். வடிவியல் விளக்கம். வேர்கள் மற்றும் காரணிகளை தீர்மானிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

அடிப்படை சூத்திரங்கள்

இருபடிச் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(1) .
இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள்(1) சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
; .
இந்த சூத்திரங்களை இவ்வாறு இணைக்கலாம்:
.
ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் அறியப்படும் போது, ​​இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணிகளின் (காரணி) விளைபொருளாகக் குறிப்பிடப்படலாம்:
.

அடுத்து அவை உண்மையான எண்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
கருத்தில் கொள்வோம் இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு:
.
பாகுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாடு (1) இரண்டு வெவ்வேறு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
; .
பின்னர் இருபடி முக்கோணத்தின் காரணியாக்கம் வடிவம் கொண்டது:
.
பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாடு (1) இரண்டு பல (சமமான) உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
.
காரணியாக்கம்:
.
பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாடு (1) இரண்டு சிக்கலான இணைந்த வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
;
.
இங்கே கற்பனை அலகு, ;
மற்றும் வேர்களின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகள்:
; .
பிறகு

.

கிராஃபிக் விளக்கம்

நீங்கள் செயல்பாட்டைத் திட்டமிட்டால்
,
இது ஒரு பரவளையமாகும், பின்னர் வரைபடத்தின் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகள் சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கும்
.
இல் , வரைபடம் x- அச்சை (அச்சு) இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
போது , வரைபடம் ஒரு புள்ளியில் x- அச்சைத் தொடும்.
எப்போது , வரைபடம் x- அச்சைக் கடக்காது.

அத்தகைய வரைபடங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன.

இருபடிச் சமன்பாடு தொடர்பான பயனுள்ள சூத்திரங்கள்

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

நாங்கள் மாற்றங்களைச் செய்து, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம் (f.1) மற்றும் (f.3):




,
எங்கே
; .

எனவே, வடிவத்தில் இரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கான சூத்திரம் கிடைத்தது:
.
சமன்பாடு என்பதை இது காட்டுகிறது

இல் நிகழ்த்தப்பட்டது
மற்றும் .
அதாவது, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள்
.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தீர்மானிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

(1.1) .

தீர்வு

.
எங்கள் சமன்பாடு (1.1) உடன் ஒப்பிடுகையில், குணகங்களின் மதிப்புகளைக் காண்கிறோம்:
.
நாங்கள் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:
.
பாகுபாடு நேர்மறையாக இருப்பதால், சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
;
;
.

இதிலிருந்து இருபடி முக்கோணத்தின் காரணியாக்கத்தைப் பெறுகிறோம்:

.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = 2 x 2 + 7 x + 3 x அச்சை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.

செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம்
.
இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும். இது இரண்டு புள்ளிகளில் abscissa அச்சை (அச்சு) கடக்கிறது:
மற்றும் .
இந்த புள்ளிகள் அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் (1.1).

பதில்

;
;
.

எடுத்துக்காட்டு 2

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்:
(2.1) .

தீர்வு

இருபடி சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் எழுதுவோம்:
.
அசல் சமன்பாட்டுடன் (2.1) ஒப்பிடுகையில், குணகங்களின் மதிப்புகளைக் காண்கிறோம்:
.
நாங்கள் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:
.
பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், சமன்பாடு இரண்டு பல (சமமான) வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
;
.

பின்னர் முக்கோணத்தின் காரணியாக்கம் வடிவம் கொண்டது:
.

y = x செயல்பாட்டின் வரைபடம் 2 - 4 x + 4ஒரு புள்ளியில் x அச்சை தொடுகிறது.

செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம்
.
இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும். இது ஒரு கட்டத்தில் x- அச்சை (அச்சு) தொடுகிறது:
.
இந்த புள்ளியானது அசல் சமன்பாட்டின் (2.1) வேர் ஆகும். இந்த ரூட் இரண்டு முறை காரணியாக இருப்பதால்:
,
அத்தகைய வேர் பொதுவாக பல என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதாவது, இரண்டு சம வேர்கள் இருப்பதாக அவர்கள் நம்புகிறார்கள்:
.

பதில்

;
.

எடுத்துக்காட்டு 3

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்:
(3.1) .

தீர்வு

இருபடி சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் எழுதுவோம்:
(1) .
அசல் சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம் (3.1):
.
(1) உடன் ஒப்பிடுகையில், குணகங்களின் மதிப்புகளைக் காண்கிறோம்:
.
நாங்கள் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:
.
பாகுபாடு எதிர்மறையானது, .

எனவே உண்மையான வேர்கள் இல்லை.
;
;
.

நீங்கள் சிக்கலான வேர்களைக் காணலாம்:


.

பிறகு

செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம்
.
செயல்பாட்டின் வரைபடம் x- அச்சைக் கடக்காது. உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

பதில்

இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும். இது x- அச்சை (அச்சு) வெட்டுவதில்லை. எனவே உண்மையான வேர்கள் இல்லை.
;
;
.

உண்மையான வேர்கள் இல்லை. சிக்கலான வேர்கள்:

சமன்பாடுகளின் பயன்பாடு நம் வாழ்வில் பரவலாக உள்ளது. அவை பல கணக்கீடுகள், கட்டமைப்புகளின் கட்டுமானம் மற்றும் விளையாட்டுகளில் கூட பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பழங்காலத்தில் மனிதன் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தினான், அதன்பிறகு அவற்றின் பயன்பாடு அதிகரித்தது. பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்ட ஒரு பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க பாரபட்சம் உங்களை அனுமதிக்கிறது:

பாகுபாடு சூத்திரம் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவைப் பொறுத்தது. மேலே உள்ள சூத்திரம் பின்வரும் படிவத்தின் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு ஏற்றது:

நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய பின்வரும் பண்புகளை பாரபட்சம் கொண்டவர்:

பல்லுறுப்புக்கோவை பல வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் போது "D" என்பது 0 க்கு சமம் (சம வேர்கள்);

* "D" என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைப் பொறுத்து ஒரு சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், எனவே அதன் குணகங்களில் இது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்; மேலும், இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் வேர்கள் எந்த நீட்டிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல் முழு எண்களாகும்.

பின்வரும் படிவத்தின் இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

1 சமன்பாடு

எங்களிடம் உள்ள சூத்திரத்தின் படி:

\ என்பதால், சமன்பாடு 2 வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றை வரையறுப்போம்:

பாரபட்சமான ஆன்லைன் தீர்வைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டை நான் எங்கே தீர்க்க முடியும்?