முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளுக்கான பொதுவான சூத்திரம். முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள்

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் எளிதான தலைப்பு அல்ல. அவை மிகவும் வேறுபட்டவை.) எடுத்துக்காட்டாக, இவை:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

பாவம்(5x+π /4) = கட்டில்(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

மற்றும் போன்ற...

ஆனால் இந்த (மற்றும் மற்ற அனைத்து) முக்கோணவியல் அரக்கர்கள் இரண்டு பொதுவான மற்றும் கட்டாய அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளனர். முதலில் - நீங்கள் நம்பமாட்டீர்கள் - சமன்பாடுகளில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் உள்ளன.) இரண்டாவது: x உடன் அனைத்து வெளிப்பாடுகளும் காணப்படுகின்றன இதே செயல்பாடுகளுக்குள்.மற்றும் அங்கு மட்டுமே! X எங்காவது தோன்றினால் வெளியே,உதாரணமாக, sin2x + 3x = 3,இது ஏற்கனவே கலப்பு வகையின் சமன்பாடாக இருக்கும். இத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு தனிப்பட்ட அணுகுமுறை தேவைப்படுகிறது. அவற்றை இங்கு கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம்.

இந்தப் பாடத்திலும் தீய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க மாட்டோம்.) இங்கே நாம் சமாளிப்போம் எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.ஏன்? ஆம் ஏனெனில் தீர்வு ஏதேனும்முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது. முதல் கட்டத்தில், பல்வேறு மாற்றங்களின் மூலம் தீய சமன்பாடு எளிமையான ஒன்றாக குறைக்கப்படுகிறது. இரண்டாவதாக, இந்த எளிய சமன்பாடு தீர்க்கப்படுகிறது. இல்லையெனில், வழியில்லை.

எனவே, இரண்டாவது கட்டத்தில் உங்களுக்கு சிக்கல்கள் இருந்தால், முதல் நிலை மிகவும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்காது.)

அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் எப்படி இருக்கும்?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

இங்கே ஏ எந்த எண்ணையும் குறிக்கிறது. ஏதேனும்.

மூலம், ஒரு செயல்பாட்டிற்குள் ஒரு தூய X இல்லாமல் இருக்கலாம், ஆனால் சில வகையான வெளிப்பாடு, இது போன்றது:

cos(3x+π /3) = 1/2

மற்றும் போன்றவை. இது வாழ்க்கையை சிக்கலாக்குகிறது, ஆனால் முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை தீர்க்கும் முறையை பாதிக்காது.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கலாம். முதல் வழி: தர்க்கம் மற்றும் முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்துதல். இந்த பாதையை இங்கு பார்ப்போம். இரண்டாவது வழி - நினைவகம் மற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல் - அடுத்த பாடத்தில் விவாதிக்கப்படும்.

முதல் வழி தெளிவானது, நம்பகமானது மற்றும் மறக்க கடினமாக உள்ளது.) முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள், ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் அனைத்து வகையான தந்திரமான தரமற்ற எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கு இது நல்லது. நினைவகத்தை விட தர்க்கம் வலிமையானது!)

முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

நாங்கள் அடிப்படை தர்க்கம் மற்றும் முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தும் திறன் ஆகியவற்றை உள்ளடக்குகிறோம். எப்படி என்று உங்களுக்குத் தெரியாதா? இருப்பினும்... டிரிகோனோமெட்ரியில் உங்களுக்கு கடினமாக இருக்கும்...) ஆனால் அது முக்கியமில்லை. "முக்கோணவியல் வட்டம்...... அது என்ன?" என்ற பாடங்களைப் பாருங்கள். மற்றும் "ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தில் கோணங்களை அளவிடுதல்." அங்கு எல்லாம் எளிமையானது. பாடப்புத்தகங்களைப் போலல்லாமல்...)

ஓ, தெரியுமா!? மேலும் "முக்கோணவியல் வட்டத்துடன் நடைமுறை வேலை" கூட மாஸ்டர்!? வாழ்த்துகள். இந்த தலைப்பு உங்களுக்கு நெருக்கமாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் இருக்கும்.) நீங்கள் எந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கிறீர்கள் என்பதை முக்கோணவியல் வட்டம் கவனிக்கவில்லை என்பது மிகவும் மகிழ்ச்சி அளிக்கிறது. சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோட்டான்ஜென்ட் - எல்லாமே அவருக்கு ஒன்றுதான். ஒரே ஒரு தீர்வு கொள்கை உள்ளது.

எனவே நாம் எந்த அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாட்டையும் எடுத்துக்கொள்கிறோம். குறைந்தபட்சம் இது:

cosx = 0.5

நாம் X ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். மனித மொழியில் பேசுவது அவசியம் கோசைன் 0.5 ஆக இருக்கும் கோணத்தை (x) கண்டறியவும்.

நாம் முன்பு வட்டத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்தினோம்? அதில் ஒரு கோணத்தை வரைந்தோம். டிகிரி அல்லது ரேடியன்களில். மற்றும் உடனே பார்த்தேன் இந்த கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள். இப்போது எதிர் செய்வோம். வட்டத்தில் 0.5 க்கு சமமான மற்றும் உடனடியாக ஒரு கொசைனை வரைவோம் நாம் பார்ப்போம் மூலையில். பதிலை எழுதுவதுதான் மிச்சம்.) ஆம், ஆம்!

ஒரு வட்டத்தை வரைந்து, கோசைனை 0.5க்கு சமமாகக் குறிக்கவும். கொசைன் அச்சில், நிச்சயமாக. இது போல்:

இப்போது இந்த கொசைன் நமக்குத் தரும் கோணத்தை வரைவோம். படத்தின் மீது உங்கள் சுட்டியை வைக்கவும் (அல்லது உங்கள் டேப்லெட்டில் உள்ள படத்தைத் தொடவும்), மற்றும் நீங்கள் பார்ப்பீர்கள்இந்த மூலையில் எக்ஸ்.

எந்த கோணத்தின் கொசைன் 0.5?

x = π /3

cos 60°= காஸ்( π /3) = 0,5

சிலர் சந்தேகத்துடன் சிரிப்பார்கள், ஆம்... எல்லாம் ஏற்கனவே தெளிவாக இருக்கும்போது ஒரு வட்டத்தை உருவாக்குவது மதிப்புக்குரியதா ... நீங்கள் நிச்சயமாக சிரிக்கலாம் ...) ஆனால் உண்மை என்னவென்றால் இது ஒரு தவறான பதில். அல்லது மாறாக, போதாது. 0.5 என்ற கோசைனைக் கொடுக்கும் கோணங்களின் முழுக் கொத்து இங்கே இருப்பதை வட்ட ஆர்வலர்கள் புரிந்துகொள்கிறார்கள்.

நீங்கள் நகரும் பக்க OA திரும்பினால் முழு திருப்பம், புள்ளி A அதன் அசல் நிலைக்குத் திரும்பும். அதே கொசைன் 0.5க்கு சமம். அந்த. கோணம் மாறும் 360° அல்லது 2π ரேடியன்கள், மற்றும் கொசைன் - இல்லை.புதிய கோணம் 60° + 360° = 420° நமது சமன்பாட்டிற்கு தீர்வாக இருக்கும், ஏனெனில்

இப்படி எண்ணற்ற முழுமையான புரட்சிகளை உருவாக்க முடியும்... மேலும் இந்த புதிய கோணங்கள் அனைத்தும் நமது முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகளாக இருக்கும். மேலும் அவை அனைத்தும் பதிலுக்கு எப்படியாவது எழுதப்பட வேண்டும். அனைத்து.இல்லையெனில், முடிவு கணக்கிடப்படாது, ஆம்...)

கணிதம் இதை எளிமையாகவும் நேர்த்தியாகவும் செய்ய முடியும். ஒரு குறுகிய பதிலில் எழுதுங்கள் எல்லையற்ற தொகுப்புமுடிவுகள். எங்கள் சமன்பாட்டிற்கு இது எப்படி இருக்கும் என்பது இங்கே:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

நான் அதை புரிந்துகொள்கிறேன். இன்னும் எழுதுங்கள் அர்த்தமுள்ளதாகசில மர்மமான எழுத்துக்களை முட்டாள்தனமாக வரைவதை விட இது மிகவும் இனிமையானது, இல்லையா?)

π /3 - இது நாம் இருக்கும் அதே மூலை பார்த்தேன்வட்டத்தில் மற்றும் தீர்மானிக்கப்பட்டதுகொசைன் அட்டவணையின்படி.

2π ரேடியன்களில் ஒரு முழுமையான புரட்சி.

n - இது முழுமையானவற்றின் எண்ணிக்கை, அதாவது. முழுவதும்ஆர்பிஎம் என்பது தெளிவாகிறது n 0, ±1, ±2, ±3.... மற்றும் பலவற்றிற்கு சமமாக இருக்கலாம். குறுகிய பதிவில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளபடி:

n ∈ Z

n சொந்தமானது ( ∈ முழு எண்களின் தொகுப்பு ( Z ) மூலம், கடிதத்திற்கு பதிலாக n எழுத்துக்களை நன்றாகப் பயன்படுத்தலாம் கே, மீ, டி முதலியன

இந்த குறியீடானது நீங்கள் எந்த முழு எண்ணையும் எடுக்கலாம் n . குறைந்தது -3, குறைந்தது 0, குறைந்தது +55. என்ன வேணும்னாலும். இந்த எண்ணை நீங்கள் பதிலில் மாற்றினால், நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தைப் பெறுவீர்கள், இது நிச்சயமாக எங்கள் கடுமையான சமன்பாட்டிற்கு தீர்வாக இருக்கும்.)

அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், x = π /3 எல்லையற்ற தொகுப்பின் ஒரே வேர். மற்ற எல்லா வேர்களையும் பெற, π /3 ( n ) ரேடியன்களில். அந்த. 2πn ரேடியன்.

அனைத்து? இல்லை நான் வேண்டுமென்றே மகிழ்ச்சியை நீட்டிக்கிறேன். நன்றாக நினைவில் கொள்ள.) எங்கள் சமன்பாட்டிற்கான பதில்களில் ஒரு பகுதியை மட்டுமே நாங்கள் பெற்றோம். தீர்வின் முதல் பகுதியை இப்படி எழுதுகிறேன்:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ஒரு ரூட் மட்டுமல்ல, ஒரு முழுத் தொடர் வேர்கள், குறுகிய வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன.

ஆனால் 0.5 கொசைனைக் கொடுக்கும் கோணங்களும் உள்ளன!

பதிலை எழுதிய நம் படத்திற்கு வருவோம். இதோ:

படத்தின் மீது உங்கள் சுட்டியை நகர்த்தவும் நாம் பார்க்கிறோம்மற்றொரு கோணம் 0.5 என்ற கொசைனையும் கொடுக்கிறது.இது எதற்கு சமம் என்று நினைக்கிறீர்கள்? முக்கோணங்களும் ஒன்றே... ஆம்! இது கோணத்திற்கு சமம் எக்ஸ் , எதிர்மறை திசையில் மட்டுமே தாமதம். இதுதான் மூலை -எக்ஸ். ஆனால் நாம் ஏற்கனவே x கணக்கிட்டுள்ளோம். π /3 அல்லது 60°. எனவே, நாம் பாதுகாப்பாக எழுதலாம்:

x 2 = - π /3

சரி, நிச்சயமாக, முழு புரட்சிகள் மூலம் பெறப்பட்ட அனைத்து கோணங்களையும் நாங்கள் சேர்க்கிறோம்:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

இப்போது அவ்வளவுதான்.) முக்கோணவியல் வட்டத்தில் நாம் பார்த்தேன்(நிச்சயமாக யார் புரிந்துகொள்கிறார்கள்)) அனைத்து 0.5 கோசைனைக் கொடுக்கும் கோணங்கள். இந்த கோணங்களை ஒரு குறுகிய கணித வடிவத்தில் எழுதினோம். பதில் இரண்டு முடிவிலா தொடர் வேர்களை விளைவித்தது:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

இதுவே சரியான விடை.

நம்பிக்கை, முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான கொள்கைஒரு வட்டத்தைப் பயன்படுத்துவது தெளிவாக உள்ளது. ஒரு வட்டத்தில் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து கோசைனை (சைன், டேன்ஜென்ட், கோட்டான்ஜென்ட்) குறிக்கிறோம், அதற்குரிய கோணங்களை வரைந்து பதிலை எழுதுகிறோம்.நிச்சயமாக, நாம் என்ன மூலைகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் பார்த்தேன்வட்டத்தில். சில நேரங்களில் அது அவ்வளவு தெளிவாக இல்லை. சரி, இங்கே தர்க்கம் தேவை என்று சொன்னேன்.)

எடுத்துக்காட்டாக, மற்றொரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

சமன்பாடுகளில் 0.5 என்ற எண் மட்டுமே சாத்தியமான எண் அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க!) வேர்கள் மற்றும் பின்னங்களை விட இதை எழுதுவது எனக்கு மிகவும் வசதியானது.

நாங்கள் பொதுவான கொள்கையின்படி செயல்படுகிறோம். நாங்கள் ஒரு வட்டத்தை வரைகிறோம், குறி (சைன் அச்சில், நிச்சயமாக!) 0.5. இந்த சைனுடன் தொடர்புடைய அனைத்து கோணங்களையும் ஒரே நேரத்தில் வரைகிறோம். இந்த படத்தைப் பெறுகிறோம்:

முதலில் கோணத்தை கையாள்வோம் எக்ஸ் முதல் காலாண்டில். நாம் சைன்களின் அட்டவணையை நினைவுபடுத்துகிறோம் மற்றும் இந்த கோணத்தின் மதிப்பை தீர்மானிக்கிறோம். இது ஒரு எளிய விஷயம்:

x = π /6

முழு திருப்பங்களைப் பற்றி நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம், தெளிவான மனசாட்சியுடன், முதல் தொடர் பதில்களை எழுதுங்கள்:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

பாதி வேலை முடிந்தது. ஆனால் இப்போது நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும் இரண்டாவது மூலையில்...கொசைன்களைப் பயன்படுத்துவதை விட இது தந்திரமானது, ஆம்... ஆனால் தர்க்கம் நம்மைக் காப்பாற்றும்! இரண்டாவது கோணத்தை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது x மூலம்? இது எளிதானது! படத்தில் உள்ள முக்கோணங்கள் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் சிவப்பு மூலையில் உள்ளன எக்ஸ் கோணத்திற்கு சமம் எக்ஸ் . எதிர்மறை திசையில் π கோணத்தில் இருந்து மட்டுமே அது கணக்கிடப்படுகிறது. அதனால்தான் இது சிவப்பு.) மேலும் பதிலுக்கு, நேர்மறை அரை-அச்சு OX இலிருந்து சரியாகக் கணக்கிடப்பட்ட கோணம் நமக்குத் தேவை, அதாவது. 0 டிகிரி கோணத்தில் இருந்து.

வரைபடத்தின் மேல் கர்சரை வைத்து எல்லாவற்றையும் பார்க்கிறோம். படத்தை சிக்கலாக்காதபடி முதல் மூலையை அகற்றினேன். நாம் விரும்பும் கோணம் (பச்சை நிறத்தில் வரையப்பட்டது) இதற்கு சமமாக இருக்கும்:

π - x

X இது எங்களுக்குத் தெரியும் π /6 . எனவே, இரண்டாவது கோணம் இருக்கும்:

π - π /6 = 5π /6

முழு புரட்சிகளைச் சேர்ப்பதைப் பற்றி மீண்டும் நினைவில் கொள்கிறோம் மற்றும் இரண்டாவது தொடர் பதில்களை எழுதுகிறோம்:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

அவ்வளவுதான். ஒரு முழுமையான பதில் இரண்டு தொடர் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான கொள்கையைப் பயன்படுத்தி தொடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் சமன்பாடுகளை எளிதாகத் தீர்க்க முடியும். ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தில் தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் எப்படி வரைய வேண்டும் என்பது உங்களுக்குத் தெரிந்திருந்தால்.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில், நான் சைன் மற்றும் கொசைனின் அட்டவணை மதிப்பைப் பயன்படுத்தினேன்: 0.5. அந்த. மாணவருக்குத் தெரிந்த அர்த்தங்களில் ஒன்று கடமைப்பட்டுள்ளது.இப்போது நமது திறன்களை விரிவுபடுத்துவோம் மற்ற அனைத்து மதிப்புகள்.முடிவு செய்யுங்கள், எனவே முடிவு செய்யுங்கள்!)

எனவே, இந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று சொல்லலாம்:

குறுகிய அட்டவணைகளில் அத்தகைய கொசைன் மதிப்பு இல்லை. இந்த கொடூரமான உண்மையை நாங்கள் அமைதியாக புறக்கணிக்கிறோம். ஒரு வட்டத்தை வரையவும், கோசைன் அச்சில் 2/3 ஐக் குறிக்கவும் மற்றும் தொடர்புடைய கோணங்களை வரையவும். இந்தப் படம் நமக்குக் கிடைக்கிறது.

முதலில், முதல் காலாண்டில் கோணத்தில் பார்க்கலாம். x என்றால் என்ன என்று தெரிந்தால் உடனே பதிலை எழுதி விடுவோம்! நமக்குத் தெரியாது... தோல்வி!? அமைதி! கணிதம் தனது சொந்த மக்களை சிக்கலில் விடாது! அவள் இந்த வழக்கிற்காக ஆர்க் கொசைன்களை கொண்டு வந்தாள். தெரியாதா? வீண். கண்டுபிடிக்கவும், நீங்கள் நினைப்பதை விட இது மிகவும் எளிதானது. இந்த இணைப்பில் "தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்" பற்றி ஒரு தந்திரமான எழுத்துப்பிழை இல்லை... இந்த தலைப்பில் இது மிகையானது.

உங்களுக்குத் தெரிந்திருந்தால், நீங்களே சொல்லுங்கள்: "எக்ஸ் என்பது கோசைன் 2/3க்கு சமமான கோணம்." உடனடியாக, ஆர்க் கொசைனின் வரையறையின்படி, நாம் எழுதலாம்:

கூடுதல் புரட்சிகளைப் பற்றி நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம் மற்றும் எங்கள் முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் வேர்களின் முதல் தொடரை அமைதியாக எழுதுகிறோம்:

x 1 = ஆர்க்கோஸ் 2/3 + 2π n, n ∈ Z

இரண்டாவது கோணத்திற்கான இரண்டாவது தொடர் வேர்கள் தானாகவே எழுதப்படும். எல்லாம் ஒன்றுதான், எக்ஸ் (ஆர்க்கோஸ் 2/3) மட்டுமே மைனஸுடன் இருக்கும்:

x 2 = - ஆர்க்கோஸ் 2/3 + 2π n, n ∈ Z

அவ்வளவுதான்! இதுவே சரியான விடை. அட்டவணை மதிப்புகளைக் காட்டிலும் எளிதானது. எதையும் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.) இந்த படம் ஆர்க் கொசைன் மூலம் தீர்வு காண்பதை மிகவும் கவனத்துடன் கவனிப்பார்கள். சாராம்சத்தில், cosx = 0.5 என்ற சமன்பாட்டிற்கான படத்திலிருந்து வேறுபட்டது இல்லை.

அது சரி! பொதுவான கொள்கை அவ்வளவுதான்! கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியான இரண்டு படங்களை வேண்டுமென்றே வரைந்தேன். வட்டம் நமக்கு கோணத்தைக் காட்டுகிறது எக்ஸ் அதன் கொசைன் மூலம். இது டேபுலர் கொசைனா இல்லையா என்பது அனைவருக்கும் தெரியாது. இது என்ன வகையான கோணம், π /3, அல்லது ஆர்க் கொசைன் என்றால் என்ன - அதை நாம்தான் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

சைனுடன் அதே பாடல். உதாரணமாக:

மீண்டும் ஒரு வட்டத்தை வரையவும், சைனை 1/3 க்கு சமமாகக் குறிக்கவும், கோணங்களை வரையவும். நமக்குக் கிடைத்த படம் இதுதான்:

மீண்டும் படம் கிட்டத்தட்ட சமன்பாட்டைப் போலவே உள்ளது sinx = 0.5.மீண்டும் நாம் முதல் காலாண்டில் மூலையில் இருந்து தொடங்குகிறோம். அதன் சைன் 1/3 என்றால் X என்பது எதற்கு சமம்? கேள்வி இல்லை!

இப்போது வேர்களின் முதல் பேக் தயாராக உள்ளது:

x 1 = ஆர்க்சின் 1/3 + 2π n, n ∈ Z

இரண்டாவது கோணத்தை கையாள்வோம். 0.5 அட்டவணை மதிப்பு கொண்ட எடுத்துக்காட்டில், இது சமமாக இருந்தது:

π - x

இங்கேயும் சரியாகவே இருக்கும்! x மட்டும் வேறுபட்டது, ஆர்க்சின் 1/3. அதனால் என்ன!? இரண்டாவது பேக் வேர்களை நீங்கள் பாதுகாப்பாக எழுதலாம்:

x 2 = π - ஆர்க்சின் 1/3 + 2π n, n ∈ Z

இது முற்றிலும் சரியான பதில். இது மிகவும் பழக்கமானதாகத் தெரியவில்லை என்றாலும். ஆனால் அது தெளிவாக உள்ளது, நான் நம்புகிறேன்.)

ஒரு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் இப்படித்தான் தீர்க்கப்படுகின்றன. இந்த பாதை தெளிவாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் இருக்கிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில், முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளில் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளில் சேமிப்பவர் அவர்தான் - அவை பொதுவாக எப்போதும் ஒரு வட்டத்தில் தீர்க்கப்படுகின்றன. சுருக்கமாக, எந்தவொரு பணியிலும் நிலையானவற்றை விட சற்று கடினமாக இருக்கும்.

அறிவை நடைமுறையில் பயன்படுத்தலாமா?)

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

இந்த பாடத்திலிருந்து முதலில், எளிமையானது.

இப்போது அது மிகவும் சிக்கலானது.

குறிப்பு: இங்கே நீங்கள் வட்டத்தைப் பற்றி சிந்திக்க வேண்டும். தனிப்பட்ட முறையில்.)

இப்போது அவை வெளிப்புறமாக எளிமையானவை ... அவை சிறப்பு வழக்குகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

குறிப்பு: இங்கே நீங்கள் ஒரு வட்டத்தில் இரண்டு தொடர் பதில்கள் மற்றும் ஒன்று எங்கே என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்... மேலும் இரண்டு தொடர் பதில்களுக்குப் பதிலாக ஒன்றை எழுதுவது எப்படி. ஆம், முடிவில்லாத எண்ணிலிருந்து ஒரு ரூட் கூட இழக்கப்படாது!)

சரி, மிகவும் எளிமையானது):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

குறிப்பு: ஆர்க்சைன் மற்றும் ஆர்க்கோசின் என்ன என்பதை இங்கே நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்? ஆர்க்டேன்ஜென்ட், ஆர்க்கோடேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன? எளிமையான வரையறைகள். ஆனால் நீங்கள் எந்த அட்டவணை மதிப்புகளையும் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டியதில்லை!)

பதில்கள், நிச்சயமாக, ஒரு குழப்பம்:

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - ஆர்க்சின்0.3 + 2

எல்லாம் சரியாகவில்லையா? நடக்கும். பாடத்தை மீண்டும் படியுங்கள். மட்டுமே சிந்தனையுடன்(அப்படி ஒரு காலாவதியான வார்த்தை உள்ளது...) மற்றும் இணைப்புகளைப் பின்பற்றவும். முக்கிய இணைப்புகள் வட்டத்தைப் பற்றியது. அது இல்லாமல், முக்கோணவியல் என்பது கண்களை மூடிக்கொண்டு சாலையைக் கடப்பது போன்றது. சில நேரங்களில் அது வேலை செய்கிறது.)

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

ஒருமுறை இரண்டு விண்ணப்பதாரர்களுக்கு இடையே நடந்த உரையாடலை நான் கண்டேன்:

– எப்போது 2πn ஐ சேர்க்க வேண்டும், எப்போது πn ஐ சேர்க்க வேண்டும்? என்னால் நினைவில் இல்லை!

- எனக்கும் அதே பிரச்சனை உள்ளது.

நான் அவர்களிடம் சொல்ல விரும்பினேன்: "நீங்கள் மனப்பாடம் செய்ய வேண்டியதில்லை, ஆனால் புரிந்து கொள்ளுங்கள்!"

இந்த கட்டுரை முதன்மையாக உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு உரையாற்றப்படுகிறது, மேலும் "புரிதல்" மூலம் எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க அவர்களுக்கு உதவும் என்று நம்புகிறேன்:

எண் வட்டம்

எண் கோடு என்ற கருத்துடன், எண் வட்டம் என்ற கருத்தும் உள்ளது. நமக்குத் தெரியும் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், புள்ளி (0;0) மற்றும் ஆரம் 1 இல் ஒரு மையம் கொண்ட ஒரு வட்டம் அலகு வட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.ஒரு எண் கோட்டை மெல்லிய நூலாகக் கற்பனை செய்து, அதை இந்த வட்டத்தில் சுற்றிக் கொள்வோம்: மூலத்தை (புள்ளி 0) அலகு வட்டத்தின் “வலது” புள்ளியுடன் இணைப்போம், நேர்மறை அரை அச்சை எதிரெதிர் திசையிலும், எதிர்மறை அரையிலும் மடிப்போம். திசையில் அச்சு (படம் 1). அத்தகைய அலகு வட்டம் எண் வட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எண் வட்டத்தின் பண்புகள்

• ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணும் எண் வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியில் உள்ளது.
• எண் வட்டத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் எண்ணற்ற உண்மையான எண்கள் உள்ளன. அலகு வட்டத்தின் நீளம் 2π என்பதால், வட்டத்தின் ஒரு புள்ளியில் உள்ள எந்த இரண்டு எண்களுக்கும் இடையிலான வேறுபாடு எண்களில் ஒன்றான ±2πக்கு சமமாக இருக்கும்; ± 4π ; ±6π ; ...

முடிவுக்கு வருவோம்: புள்ளி A இன் எண்களில் ஒன்றை அறிந்தால், புள்ளி A இன் அனைத்து எண்களையும் காணலாம்.

ஏசியின் விட்டத்தை வரைவோம் (படம் 2). x_0 என்பது புள்ளி A இன் எண்களில் ஒன்றாக இருப்பதால், எண்கள் x_0±π ; x_0 ±3π; x_0 ± 5π; ... மேலும் அவை மட்டுமே புள்ளி C இன் எண்களாக இருக்கும். இந்த எண்களில் ஒன்றைத் தேர்வு செய்வோம், சொல்லுங்கள், x_0+π, மேலும் C புள்ளியின் அனைத்து எண்களையும் எழுத அதைப் பயன்படுத்துவோம்: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. புள்ளிகள் A மற்றும் C இல் உள்ள எண்களை ஒரு சூத்திரமாக இணைக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (k = 0; ±2; ±4; ... க்கு நாம் எண்களைப் பெறுகிறோம் புள்ளி A, மற்றும் k = ± 3 … – புள்ளி C).

முடிவுக்கு வருவோம்: விட்டம் ஏசியின் A அல்லது C புள்ளிகளில் ஒன்றில் உள்ள எண்களில் ஒன்றை அறிந்தால், இந்த புள்ளிகளில் உள்ள அனைத்து எண்களையும் நாம் காணலாம்.

• இரண்டு எதிர் எண்கள் அப்சிஸ்ஸா அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீர் வட்டத்தின் புள்ளிகளில் அமைந்துள்ளன.

செங்குத்து நாண் AB (படம் 2) வரைவோம். புள்ளிகள் A மற்றும் B ஆக்ஸ் அச்சில் சமச்சீராக இருப்பதால், எண் -x_0 புள்ளி B இல் அமைந்துள்ளது, எனவே, புள்ளி B இன் அனைத்து எண்களும் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகின்றன: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. ஒரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி A மற்றும் B புள்ளிகளில் எண்களை எழுதுகிறோம்: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. முடிவுக்கு வருவோம்: செங்குத்து நாண் AB இன் A அல்லது B புள்ளிகளில் ஒன்றில் உள்ள எண்களில் ஒன்றை அறிந்து, இந்த புள்ளிகளில் அனைத்து எண்களையும் காணலாம். கிடைமட்ட நாண் AD ஐக் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் புள்ளி D இன் எண்களைக் கண்டறியலாம் (படம் 2). BD ஒரு விட்டம் மற்றும் எண் -x_0 புள்ளி B க்கு சொந்தமானது, பின்னர் -x_0 + π என்பது புள்ளி D இன் எண்களில் ஒன்றாகும், எனவே, இந்த புள்ளியின் அனைத்து எண்களும் x_D=-x_0+π+ சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகின்றன. 2πk ,k∈Z. புள்ளிகள் A மற்றும் D இல் உள்ள எண்களை ஒரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம்: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (k= 0; ±2; ±4; … புள்ளி A இன் எண்களைப் பெறுகிறோம், மேலும் k = ±1; ±3; ±5; … - புள்ளி D இன் எண்கள்).

முடிவுக்கு வருவோம்: கிடைமட்ட நாண் AD இன் A அல்லது D புள்ளிகளில் ஒன்றில் உள்ள எண்களில் ஒன்றை அறிந்தால், இந்த புள்ளிகளில் அனைத்து எண்களையும் காணலாம்.

எண் வட்டத்தின் பதினாறு முக்கிய புள்ளிகள்

நடைமுறையில், எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளில் பெரும்பாலானவற்றைத் தீர்ப்பது ஒரு வட்டத்தில் பதினாறு புள்ளிகளை உள்ளடக்கியது (படம் 3). இந்த புள்ளிகள் என்ன? சிவப்பு, நீலம் மற்றும் பச்சை புள்ளிகள் வட்டத்தை 12 சம பாகங்களாக பிரிக்கின்றன. அரைவட்டத்தின் நீளம் π ஆக இருப்பதால், வில் A1A2 இன் நீளம் π/2 ஆகவும், A1B1 வளைவின் நீளம் π/6 ஆகவும், A1C1 வில் நீளம் π/3 ஆகவும் இருக்கும்.

இப்போது நாம் ஒரு நேரத்தில் ஒரு எண்ணைக் குறிப்பிடலாம்:

C1 இல் π/3 மற்றும்

ஆரஞ்சு சதுரத்தின் செங்குத்துகள் ஒவ்வொரு காலாண்டின் வளைவுகளின் நடுப்புள்ளிகளாகும், எனவே, A1D1 வளைவின் நீளம் π/4 க்கு சமமாக இருக்கும், எனவே, π/4 என்பது புள்ளி D1 இன் எண்களில் ஒன்றாகும். எண் வட்டத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, நமது வட்டத்தின் அனைத்து குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளிலும் அனைத்து எண்களையும் எழுத சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த புள்ளிகளின் ஆயங்களும் படத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன (அவற்றின் கையகப்படுத்தல் விளக்கத்தை நாங்கள் தவிர்ப்போம்).

மேற்கூறியவற்றில் தேர்ச்சி பெற்ற பிறகு, சிறப்பு வழக்குகளைத் தீர்ப்பதற்கான போதுமான தயாரிப்பு எங்களிடம் உள்ளது (எண்ணின் ஒன்பது மதிப்புகளுக்கு a)எளிமையான சமன்பாடுகள்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்

1)sinx=1⁄(2).

- நமக்கு என்ன தேவை?

– x எண் 1/2 ஆக உள்ள அனைத்து எண்களையும் கண்டறியவும்.

சைன் வரையறையை நினைவில் கொள்வோம்: sinx - எண் x அமைந்துள்ள எண் வட்டத்தில் உள்ள புள்ளியின் வரிசை. வட்டத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன, அதன் ஆர்டினேட் 1/2 க்கு சமம். இவை கிடைமட்ட நாண் B1B2 இன் முனைகளாகும். இதன் பொருள் “சின்க்ஸ்=1⁄2 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்” என்பது “எல்லா எண்களையும் புள்ளி B1 இல் மற்றும் அனைத்து எண்களையும் புள்ளி B2 இல் கண்டறியவும்” என்ற தேவைக்கு சமம்.

2)sinx=-√3⁄2 .

C4 மற்றும் C3 புள்ளிகளில் உள்ள அனைத்து எண்களையும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

3) sinx=1. வட்டத்தில் ஆர்டினேட் 1 - புள்ளி A2 உடன் ஒரே ஒரு புள்ளி மட்டுமே உள்ளது, எனவே, இந்த புள்ளியின் அனைத்து எண்களையும் மட்டுமே நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

பதில்: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

A_4 புள்ளியில் மட்டும் -1 ஆர்டினேட் உள்ளது. இந்த புள்ளியின் அனைத்து எண்களும் சமன்பாட்டின் குதிரைகளாக இருக்கும்.

பதில்: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

வட்டத்தில் ஆர்டினேட் 0 - புள்ளிகள் A1 மற்றும் A3 உடன் இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் உள்ள எண்களை நீங்கள் தனித்தனியாகக் குறிப்பிடலாம், ஆனால் இந்த புள்ளிகள் முற்றிலும் நேர்மாறாக இருப்பதால், அவற்றை ஒரு சூத்திரத்தில் இணைப்பது நல்லது: x=πk,k∈Z.

பதில்: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

கொசைன் வரையறையை நினைவில் கொள்வோம்: cosx என்பது x எண் அமைந்துள்ள எண் வட்டத்தில் உள்ள புள்ளியின் abscissa ஆகும்.வட்டத்தில் நாம் abscissa √2⁄2 உடன் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளோம் - கிடைமட்ட நாண் D1D4 இன் முனைகள். இந்த புள்ளிகளில் உள்ள அனைத்து எண்களையும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அவற்றை ஒரே சூத்திரமாக இணைத்து எழுதுவோம்.

பதில்: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

C_2 மற்றும் C_3 புள்ளிகளில் உள்ள எண்களைக் கண்டறிய வேண்டும்.

பதில்: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

புள்ளிகள் A2 மற்றும் A4 மட்டுமே 0 இன் abscissa ஐக் கொண்டுள்ளன, அதாவது இந்த ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் உள்ள அனைத்து எண்களும் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளாக இருக்கும்.
.

அமைப்பின் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் சமத்துவமின்மைக்கான புள்ளிகள் B_3 மற்றும் B_4 ஆகும்<0 удовлетворяют только числа b_3
பதில்: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

x இன் எந்தவொரு ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புக்கும், இரண்டாவது காரணி நேர்மறையாக இருக்கும், எனவே, சமன்பாடு கணினிக்கு சமமானதாகும்.

கணினி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் D_2 மற்றும் D_3 புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை. புள்ளி D_2 இன் எண்கள் சமத்துவமின்மை sinx≤0.5 ஐ பூர்த்தி செய்யாது, ஆனால் புள்ளி D_3 இன் எண்கள் பூர்த்தி செய்கின்றன.

blog.site, உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​அசல் மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான கருத்து.

• ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதை ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளாக மாற்றவும். ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது இறுதியில் நான்கு அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வரும்.

அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

• அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளில் 4 வகைகள் உள்ளன:
• பாவம் x = a; cos x = a
• டான் x = a; ctg x = a
• அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, அலகு வட்டத்தில் வெவ்வேறு x நிலைகளைப் பார்ப்பதும், மாற்று அட்டவணையை (அல்லது கால்குலேட்டர்) பயன்படுத்துவதும் அடங்கும்.
• எடுத்துக்காட்டு 1. sin x = 0.866. மாற்று அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி (அல்லது கால்குலேட்டர்) நீங்கள் பதிலைப் பெறுவீர்கள்: x = π/3. அலகு வட்டம் மற்றொரு பதிலை அளிக்கிறது: 2π/3. நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் அவ்வப்போது உள்ளன, அதாவது அவற்றின் மதிப்புகள் மீண்டும் மீண்டும் வருகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, sin x மற்றும் cos x இன் கால அளவு 2πn, மற்றும் tg x மற்றும் ctg x இன் கால அளவு πn ஆகும். எனவே பதில் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• எடுத்துக்காட்டு 2. cos x = -1/2. மாற்று அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி (அல்லது கால்குலேட்டர்) நீங்கள் பதிலைப் பெறுவீர்கள்: x = 2π/3. அலகு வட்டம் மற்றொரு பதிலை அளிக்கிறது: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• எடுத்துக்காட்டு 3. tg (x - π/4) = 0.
• பதில்: x = π/4 + πn.
• எடுத்துக்காட்டு 4. ctg 2x = 1.732.
• பதில்: x = π/12 + πn.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படும் மாற்றங்கள்.

• முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை மாற்ற, இயற்கணித மாற்றங்கள் (காரணியாக்கம், ஒரே மாதிரியான சொற்களின் குறைப்பு போன்றவை) மற்றும் முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
• எடுத்துக்காட்டு 5: முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி, sin x + sin 2x + sin 3x = 0 சமன்பாடு 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 என மாற்றப்படுகிறது. எனவே, பின்வரும் அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்பட வேண்டும்: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• அறியப்பட்ட செயல்பாட்டு மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி கோணங்களைக் கண்டறிதல்.

  • முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வதற்கு முன், அறியப்பட்ட செயல்பாட்டு மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி கோணங்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும். மாற்று அட்டவணை அல்லது கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்யலாம்.
  • எடுத்துக்காட்டு: cos x = 0.732. கால்குலேட்டர் x = 42.95 டிகிரி என்ற பதிலைக் கொடுக்கும். அலகு வட்டம் கூடுதல் கோணங்களைக் கொடுக்கும், அதன் கொசைன் 0.732 ஆகும்.

• அலகு வட்டத்தில் தீர்வு ஒதுக்கி வைக்கவும்.

  • அலகு வட்டத்தில் ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளை நீங்கள் திட்டமிடலாம். அலகு வட்டத்தில் ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் வழக்கமான பலகோணத்தின் முனைகளாகும்.
  • எடுத்துக்காட்டு: அலகு வட்டத்தில் உள்ள தீர்வுகள் x = π/3 + πn/2 சதுரத்தின் முனைகளைக் குறிக்கின்றன.
  • எடுத்துக்காட்டு: அலகு வட்டத்தில் உள்ள தீர்வுகள் x = π/4 + πn/3 வழக்கமான அறுகோணத்தின் முனைகளைக் குறிக்கும்.

• முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்.

  • கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் சமன்பாட்டில் ஒரே ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாடு இருந்தால், அந்த சமன்பாட்டை அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடாக தீர்க்கவும். கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாட்டைத் தீர்க்க 2 முறைகள் உள்ளன (அதன் மாற்றத்தின் சாத்தியத்தைப் பொறுத்து).
    • முறை 1.
  • இந்த சமன்பாட்டை படிவத்தின் சமன்பாட்டாக மாற்றவும்: f(x)*g(x)*h(x) = 0, f(x), g(x), h(x) ஆகியவை அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.
  • எடுத்துக்காட்டு 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • தீர்வு. இரட்டை கோண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி sin 2x = 2*sin x*cos x, sin 2x ஐ மாற்றவும்.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. இப்போது இரண்டு அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்: cos x = 0 மற்றும் (sin x + 1) = 0.
  • எடுத்துக்காட்டு 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • தீர்வு: முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாட்டை படிவத்தின் சமன்பாடாக மாற்றவும்: cos 2x(2cos x + 1) = 0. இப்போது இரண்டு அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்: cos 2x = 0 மற்றும் (2cos x + 1) = 0.
  • உதாரணம் 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • தீர்வு: முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாட்டை படிவத்தின் சமன்பாட்டாக மாற்றவும்: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. இப்போது இரண்டு அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்: cos 2x = 0 மற்றும் (2sin x + 1) = 0 .
    • முறை 2.
  • கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை ஒரே ஒரு முக்கோணவியல் சார்பு கொண்ட சமன்பாடாக மாற்றவும். இந்த முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை அறியப்படாத ஒன்றைக் கொண்டு மாற்றவும், எடுத்துக்காட்டாக, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, முதலியன).
  • எடுத்துக்காட்டு 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • தீர்வு. இந்த சமன்பாட்டில், (cos^2 x) ஐ (1 - sin^2 x) (அடையாளத்தின் படி) மாற்றவும். மாற்றப்பட்ட சமன்பாடு:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x ஐ t உடன் மாற்றவும். இப்போது சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது: 5t^2 - 4t - 9 = 0. இது ஒரு இருபடி சமன்பாடு ஆகும், இதில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன: t1 = -1 மற்றும் t2 = 9/5. இரண்டாவது ரூட் t2 செயல்பாட்டு வரம்பை திருப்திப்படுத்தவில்லை (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • எடுத்துக்காட்டு 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • தீர்வு. tg x ஐ t உடன் மாற்றவும். அசல் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதவும்: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. இப்போது t ஐக் கண்டுபிடி, பின்னர் t = tan x க்கு x ஐக் கண்டறியவும்.

உங்கள் பிரச்சனைக்கு விரிவான தீர்வை ஆர்டர் செய்யலாம்!!!

முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் (`sin x, cos x, tan x` அல்லது `ctg x`) அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத ஒரு சமத்துவம் ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அவற்றின் சூத்திரங்களை நாம் மேலும் கருத்தில் கொள்வோம்.

எளிமையான சமன்பாடுகள் `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` என அழைக்கப்படுகின்றன, இங்கு `x` என்பது கோணத்தைக் கண்டறியும், `a` என்பது எந்த எண்ணாகும். அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் ரூட் ஃபார்முலாக்களை எழுதுவோம்.

1. சமன்பாடு `sin x=a`.

`|a|>1` க்கு தீர்வுகள் இல்லை.

எப்போது `|அ| \leq 1` எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. சமன்பாடு `cos x=a`

`|a|>1` -க்கு - சைன் விஷயத்தில், உண்மையான எண்களுக்கு இடையே தீர்வுகள் இல்லை.

எப்போது `|அ| \leq 1` எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

வரைபடங்களில் சைன் மற்றும் கொசைனுக்கான சிறப்பு வழக்குகள்.

3. சமன்பாடு `tg x=a`

`a` இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

ரூட் சூத்திரம்: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. சமன்பாடு `ctg x=a`

`a` இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

ரூட் சூத்திரம்: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

அட்டவணையில் உள்ள முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்கள்

சைனுக்காக:
கொசைனுக்கு:
தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கு:
தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள்:

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டையும் தீர்ப்பது இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:

• எளிமையானதாக மாற்றும் உதவியுடன்;
• மேலே எழுதப்பட்ட ரூட் சூத்திரங்கள் மற்றும் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட எளிய சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி முக்கிய தீர்வு முறைகளைப் பார்ப்போம்.

இயற்கணித முறை.

இந்த முறையானது ஒரு மாறியை மாற்றி சமத்துவமாக மாற்றுவதை உள்ளடக்குகிறது.

உதாரணம். சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

மாற்றீடு செய்யுங்கள்: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, பிறகு `2y^2-3y+1=0`,

நாம் வேர்களைக் கண்டறிகிறோம்: `y_1=1, y_2=1/2`, அதில் இருந்து இரண்டு நிகழ்வுகள் பின்பற்றப்படுகின்றன:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

பதில்: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

காரணியாக்கம்.

உதாரணம். சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `sin x+cos x=1`.

தீர்வு. சமத்துவத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்துவோம்: `sin x+cos x-1=0`. பயன்படுத்தி, இடது பக்கத்தை மாற்றி, காரணியாக்குகிறோம்:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

பதில்: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பு

முதலில், இந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை இரண்டு வடிவங்களில் ஒன்றாகக் குறைக்க வேண்டும்:

`a sin x+b cos x=0` (முதல் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு) அல்லது `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு).

இரண்டு பகுதிகளையும் முதல் வழக்கில் `cos x \ne 0` ஆல் வகுக்கவும், இரண்டாவதாக `cos^2 x \ne 0` ஆகவும். `tg x`க்கான சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்: `a tg x+b=0` மற்றும் `a tg^2 x + b tg x +c =0`, இவை அறியப்பட்ட முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்பட வேண்டும்.

உதாரணம். சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

தீர்வு. வலது பக்கத்தை `1=sin^2 x+cos^2 x` என எழுதுவோம்:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

இது இரண்டாவது பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடு ஆகும், அதன் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை `cos^2 x \ne 0` ஆல் வகுக்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. மாற்றாக `tg x=t` ஐ அறிமுகப்படுத்துவோம், இதன் விளைவாக `t^2 + t - 2=0`. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் `t_1=-2` மற்றும் `t_2=1` ஆகும். பிறகு:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

பதில். `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

அரை கோணத்திற்கு நகரும்

உதாரணம். சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

தீர்வு. இரட்டை கோண சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம், இதன் விளைவாக: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

மேலே விவரிக்கப்பட்ட இயற்கணித முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

பதில். `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

துணை கோணத்தின் அறிமுகம்

முக்கோணவியல் சமன்பாட்டில் `a sin x + b cos x =c`, இதில் a,b,c குணகங்கள் மற்றும் x என்பது மாறி, இரு பக்கங்களையும் `sqrt (a^2+b^2)` ஆல் வகுக்கவும்:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =``\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

இடதுபுறத்தில் உள்ள குணகங்கள் சைன் மற்றும் கொசைன் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது அவற்றின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமம் மற்றும் அவற்றின் தொகுதிகள் 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லை. அவற்றைப் பின்வருமாறு குறிப்பிடுவோம்: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, பின்னர்:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

பின்வரும் உதாரணத்தை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்:

உதாரணம். சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `3 sin x+4 cos x=2`.

தீர்வு. சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் `sqrt (3^2+4^2)` ​​ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 பாவம் x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` என்பதைக் குறிப்போம். `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` என்பதால், `\varphi=arcsin 4/5`ஐ துணைக் கோணமாக எடுத்துக்கொள்வோம். பின்னர் எங்கள் சமத்துவத்தை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

சைனுக்கான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பின்வரும் வடிவத்தில் நமது சமத்துவத்தை எழுதுகிறோம்:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

பதில். `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

பின்னம் பகுத்தறிவு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்

இவை பின்னங்களுடனான சமத்துவங்களாகும், அதன் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன.

உதாரணம். சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

தீர்வு. சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தை `(1+cos x)` ஆல் பெருக்கி வகுக்கவும். இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்க முடியாது என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்வோம்: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. பிறகு `sin x=0` அல்லது `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, தீர்வுகள் `x=2\pi n, n \in Z` மற்றும் `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

பதில். `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

முக்கோணவியல், மற்றும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள், வடிவியல், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியலின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பகுதிகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. 10 ஆம் வகுப்பில் படிப்பது தொடங்குகிறது, ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான பணிகள் எப்போதும் உள்ளன, எனவே முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் அனைத்து சூத்திரங்களையும் நினைவில் வைக்க முயற்சிக்கவும் - அவை நிச்சயமாக உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்!

இருப்பினும், நீங்கள் அவற்றை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை, முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், சாரத்தை புரிந்துகொண்டு அதைப் பெற முடியும். இது தோன்றுவது போல் கடினம் அல்ல. வீடியோவைப் பார்த்து நீங்களே பாருங்கள்.

தலைப்பில் பாடம் மற்றும் விளக்கக்காட்சி: "எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது"

கூடுதல் பொருட்கள்
அன்பான பயனர்களே, உங்கள் கருத்துகள், மதிப்புரைகள், விருப்பங்களை மறக்க வேண்டாம்! அனைத்து பொருட்களும் வைரஸ் தடுப்பு நிரலால் சரிபார்க்கப்பட்டன.

1C இலிருந்து கிரேடு 10க்கான ஒருங்கிணைந்த ஆன்லைன் ஸ்டோரில் கையேடுகள் மற்றும் சிமுலேட்டர்கள்
வடிவவியலில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கிறோம். விண்வெளியில் கட்டுமானத்திற்கான ஊடாடும் பணிகள்
மென்பொருள் சூழல் "1C: கணிதக் கட்டமைப்பாளர் 6.1"

நாம் என்ன படிப்போம்:
1. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் என்றால் என்ன?

3. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான இரண்டு முக்கிய முறைகள்.
4. ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.
5. எடுத்துக்காட்டுகள்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் என்றால் என்ன?

நண்பர்களே, நாம் ஏற்கனவே ஆர்க்சைன், ஆர்க்கோசின், ஆர்க்டேன்ஜென்ட் மற்றும் ஆர்க்கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றைப் படித்திருக்கிறோம். இப்போது பொதுவாக முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் என்பது முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு மாறி கொண்டிருக்கும் சமன்பாடுகள் ஆகும்.

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வடிவத்தை மீண்டும் செய்வோம்:

1) |a|≤ 1 எனில், cos(x) = a சமன்பாடு ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது:

X= ± ஆர்க்கோஸ்(a) + 2πk

2) |a|≤ 1 எனில், sin(x) = a சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு உள்ளது:

3) என்றால் |a| > 1, பின்னர் சமன்பாடு sin(x) = a மற்றும் cos(x) = a தீர்வுகள் இல்லை 4) tg(x)=a சமன்பாடு ஒரு தீர்வு உள்ளது: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a சமன்பாடு ஒரு தீர்வு உள்ளது: x=arcctg(a)+ πk

அனைத்து சூத்திரங்களுக்கும் k என்பது ஒரு முழு எண்

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன: T(kx+m)=a, T என்பது சில முக்கோணவியல் செயல்பாடு.

உதாரணம்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்: a) sin(3x)= √3/2

தீர்வு:

A) 3x=t ஐக் குறிப்போம், பின்னர் நமது சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்:

இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

மதிப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து நாம் பெறுகிறோம்: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

நமது மாறிக்கு வருவோம்: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

பிறகு x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

பதில்: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, இங்கு n என்பது ஒரு முழு எண். (-1)^n – n இன் சக்தியிலிருந்து ஒன்றைக் கழித்தல்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகள்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

தீர்வு:

A) இந்த முறை சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கு நேரடியாகச் செல்வோம்:

X/5= ± ஆர்க்கோஸ்(1) + 2πk. பிறகு x/5= πk => x=5πk

பதில்: x=5πk, k என்பது ஒரு முழு எண்.

B) நாம் அதை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. நமக்குத் தெரியும்: ஆர்க்டான்(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

பதில்: x=2π/9 + πk/3, இங்கு k என்பது ஒரு முழு எண்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்: cos(4x)= √2/2. மற்றும் பிரிவில் உள்ள அனைத்து வேர்களையும் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

நமது சமன்பாட்டை பொதுவான வடிவத்தில் தீர்ப்போம்: 4x= ± ஆர்க்கோஸ்(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

இப்போது நமது பிரிவில் என்ன வேர்கள் விழுகின்றன என்று பார்ப்போம். k இல் k=0, x= π/16 இல், நாம் கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் இருக்கிறோம்.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 உடன், மீண்டும் அடித்தோம்.
k=2க்கு, x= π/16+ π=17π/16, ஆனால் இங்கே நாம் அடிக்கவில்லை, அதாவது பெரிய k க்கு நாமும் அடிக்க மாட்டோம்.

பதில்: x= π/16, x= 9π/16

இரண்டு முக்கிய தீர்வு முறைகள்.

நாங்கள் எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைப் பார்த்தோம், ஆனால் மிகவும் சிக்கலானவைகளும் உள்ளன. அவற்றைத் தீர்க்க, ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தும் முறை மற்றும் காரணிமயமாக்கல் முறை ஆகியவை பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

தீர்வு:
எங்கள் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்: t=tg(x).

மாற்றீட்டின் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்: t 2 + 2t -1 = 0

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்: t=-1 மற்றும் t=1/3

பின்னர் tg(x)=-1 மற்றும் tg(x)=1/3, நாம் எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், அதன் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

பதில்: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

தீர்வு:

அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

எங்கள் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: 2t 2 -3t - 2 = 0

எங்கள் இருபடி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு வேர்கள்: t=2 மற்றும் t=-1/2

பின்னர் cos(x)=2 மற்றும் cos(x)=-1/2.

ஏனெனில் cosine ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மதிப்புகளை எடுக்க முடியாது, பிறகு cos(x)=2க்கு வேர்கள் இல்லை.

cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

பதில்: x= ±2π/3 + 2πk

ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.

வரையறை: a sin(x)+b cos(x) வடிவத்தின் சமன்பாடுகள் முதல் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் எனப்படும்.

படிவத்தின் சமன்பாடுகள்

இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.

முதல் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதை cos(x) ஆல் வகுக்கவும்: கோசைன் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் அதை நீங்கள் வகுக்க முடியாது, இது அவ்வாறு இல்லை என்பதை உறுதி செய்வோம்:
cos(x)=0, பிறகு asin(x)+0=0 => sin(x)=0 என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் சைனும் கொசைனும் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, நமக்கு ஒரு முரண்பாடு கிடைக்கிறது, எனவே நாம் பாதுகாப்பாக பிரிக்கலாம். பூஜ்ஜியத்தால்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
எடுத்துக்காட்டு: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

தீர்வு:

பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

பின்னர் நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளை தீர்க்க வேண்டும்:

Cos(x)=0 மற்றும் cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 இல் x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 சமன்பாட்டை கருத்தில் கொள்ளுங்கள், cos(x) மூலம் நமது சமன்பாட்டை வகுக்கவும்:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

பதில்: x= π/2 + πk மற்றும் x= -π/4+πk

இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?
நண்பர்களே, இந்த விதிகளை எப்போதும் பின்பற்றுங்கள்!

1. குணகம் எதற்குச் சமம் என்பதைப் பார்க்கவும், a=0 எனில், நமது சமன்பாடு cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) வடிவத்தை எடுக்கும், இதற்கு முந்தைய ஸ்லைடில் உள்ள தீர்வுக்கான உதாரணம்

2. ஒரு

t=tg(x) என்ற மாறியை மாற்றி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

தீர்வு உதாரணம் எண்:3

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
தீர்வு:

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் கொசைன் சதுரத்தால் வகுப்போம்:

t=tg(x) மாறியை மாற்றுகிறோம்: t 2 + 2 t - 3 = 0

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்: t=-3 மற்றும் t=1

பிறகு: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

பதில்: x=-arctg(3) + πk மற்றும் x= π/4+ πk

தீர்வு உதாரணம் எண்:4

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:
நமது வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

அத்தகைய சமன்பாடுகளை நாம் தீர்க்கலாம்: x= - π/4 + 2πk மற்றும் x=5π/4 + 2πk

பதில்: x= - π/4 + 2πk மற்றும் x=5π/4 + 2πk

தீர்வு உதாரணம் எண்: 5

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:
நமது வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்

எங்கள் இருபடி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு வேர்களாக இருக்கும்: t=-2 மற்றும் t=1/2

பின்னர் நாம் பெறுவோம்: tg(2x)=-2 மற்றும் tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

பதில்: x=-arctg(2)/2 + πk/2 மற்றும் x=arctg(1/2)/2+ πk/2

சுயாதீன தீர்வுக்கான சிக்கல்கள்.

1) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்: sin(3x)= √3/2. மற்றும் பிரிவில் உள்ள அனைத்து வேர்களையும் கண்டறியவும் [π/2; π].

3) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: கட்டில் 2 (x) + 2 கட்டில் (x) + 1 =0

4) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)