விண்வெளியில் எந்த வடிவியல் உருவத்தின் முக்கிய பண்பு அதன் தொகுதி ஆகும். இந்த கட்டுரையில் அடிவாரத்தில் ஒரு முக்கோணத்துடன் கூடிய பிரமிடு என்ன என்பதைப் பார்ப்போம், மேலும் ஒரு முக்கோண பிரமிட்டின் அளவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதையும் காண்பிப்போம் - வழக்கமான முழு மற்றும் துண்டிக்கப்பட்ட.
இது என்ன - ஒரு முக்கோண பிரமிடு?
பண்டைய எகிப்திய பிரமிடுகளைப் பற்றி எல்லோரும் கேள்விப்பட்டிருக்கிறார்கள், ஆனால் அவை வழக்கமான நாற்கோணமாக இருக்கின்றன, முக்கோணமாக இல்லை. ஒரு முக்கோண பிரமிடு எப்படி பெறுவது என்பதை விளக்குவோம்.
ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தை எடுத்து, அதன் அனைத்து முனைகளையும் இந்த முக்கோணத்தின் விமானத்திற்கு வெளியே அமைந்துள்ள சில ஒற்றை புள்ளியுடன் இணைப்போம். இதன் விளைவாக உருவம் ஒரு முக்கோண பிரமிடு என்று அழைக்கப்படும். இது கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கேள்விக்குரிய உருவம் நான்கு முக்கோணங்களால் உருவாகிறது, அவை பொதுவாக வேறுபட்டவை. ஒவ்வொரு முக்கோணமும் பிரமிட்டின் பக்கங்கள் அல்லது அதன் முகமாகும். இந்த பிரமிடு பெரும்பாலும் டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது டெட்ராஹெட்ரல் முப்பரிமாண உருவம்.
பக்கங்களுக்கு கூடுதலாக, பிரமிட்டில் விளிம்புகள் (அவற்றில் 6 உள்ளன) மற்றும் செங்குத்துகள் (4 இல்) உள்ளன.
முக்கோண அடித்தளத்துடன்
ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணம் மற்றும் விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியைப் பயன்படுத்தி பெறப்படும் ஒரு உருவம் பொது வழக்கில் ஒரு ஒழுங்கற்ற சாய்ந்த பிரமிடாக இருக்கும். அசல் முக்கோணத்திற்கு ஒரே மாதிரியான பக்கங்கள் இருப்பதாகவும், விண்வெளியில் ஒரு புள்ளி அதன் வடிவியல் மையத்திற்கு மேலே முக்கோணத்தின் விமானத்திலிருந்து h தொலைவில் அமைந்துள்ளது என்றும் இப்போது கற்பனை செய்து பாருங்கள். இந்த ஆரம்ப தரவுகளைப் பயன்படுத்தி கட்டப்பட்ட பிரமிடு சரியாக இருக்கும்.
வெளிப்படையாக, ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் விளிம்புகள், பக்கங்கள் மற்றும் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்திலிருந்து கட்டப்பட்ட பிரமிட்டின் எண்ணிக்கையைப் போலவே இருக்கும்.
இருப்பினும், சரியான எண்ணிக்கை சில தனித்துவமான அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது:
- உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட அதன் உயரம், வடிவியல் மையத்தில் (இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி) அடித்தளத்தை சரியாக வெட்டும்;
- அத்தகைய பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு மூன்று ஒத்த முக்கோணங்களால் உருவாகிறது, அவை சமபக்க அல்லது சமபக்கமாக இருக்கும்.
ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு என்பது முற்றிலும் கோட்பாட்டு வடிவியல் பொருள் மட்டுமல்ல. இயற்கையில் உள்ள சில கட்டமைப்புகள் அதன் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, உதாரணமாக வைர படிக லட்டு, ஒரு கார்பன் அணு ஒரே நான்கு அணுக்களுடன் கோவலன்ட் பிணைப்புகள் அல்லது மீத்தேன் மூலக்கூறால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, அங்கு பிரமிட்டின் முனைகள் ஹைட்ரஜன் அணுக்களால் உருவாகின்றன.
முக்கோண பிரமிடு
பின்வரும் வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அடிவாரத்தில் தன்னிச்சையான n-gon உடன் எந்த பிரமிட்டின் அளவையும் நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம்:
இங்கே So என்ற குறியீடு அடிப்பகுதியின் பகுதியைக் குறிக்கிறது, h என்பது பிரமிட்டின் மேலிருந்து குறிக்கப்பட்ட தளத்திற்கு வரையப்பட்ட உருவத்தின் உயரம்.
ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் பக்கத்தின் நீளத்தின் பாதிப் பெருக்கத்திற்குச் சமமாக இருக்கும் a மற்றும் apothem h a இந்தப் பக்கத்தில் கைவிடப்பட்டதால், ஒரு முக்கோண பிரமிட்டின் அளவுக்கான சூத்திரத்தை பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதலாம்:
V = 1/6 × a × h a × h
பொது வகைக்கு, உயரத்தை தீர்மானிப்பது எளிதான பணி அல்ல. அதைத் தீர்க்க, பொதுவான சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்படும் ஒரு புள்ளி (உச்சி) மற்றும் ஒரு விமானம் (முக்கோண அடித்தளம்) இடையே உள்ள தூரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது எளிதான வழி.
சரியானதற்கு, இது ஒரு குறிப்பிட்ட தோற்றத்தைக் கொண்டுள்ளது. அடித்தளத்தின் பரப்பளவு (சமபக்க முக்கோணத்தின்) இதற்கு சமம்:
V க்கான பொது வெளிப்பாட்டிற்கு பதிலாக, நாம் பெறுகிறோம்:
V = √3/12 × a 2 × h
ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் அனைத்து பக்கங்களும் ஒரே மாதிரியான சமபக்க முக்கோணங்களாக மாறும் சூழ்நிலை ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு. இந்த வழக்கில், அதன் விளிம்பின் அளவுருவின் அறிவின் அடிப்படையில் மட்டுமே அதன் அளவை தீர்மானிக்க முடியும் a. தொடர்புடைய வெளிப்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:
துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு
உச்சியைக் கொண்டிருக்கும் மேல் பகுதி வழக்கமான முக்கோண பிரமிடிலிருந்து துண்டிக்கப்பட்டால், நீங்கள் ஒரு துண்டிக்கப்பட்ட உருவத்தைப் பெறுவீர்கள். அசல் போலல்லாமல், இது இரண்டு சமபக்க முக்கோண தளங்களையும் மூன்று ஐசோசெல்ஸ் ட்ரேப்சாய்டுகளையும் கொண்டிருக்கும்.
காகிதத்தால் செய்யப்பட்ட வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட முக்கோண பிரமிடு எப்படி இருக்கும் என்பதை கீழே உள்ள புகைப்படம் காட்டுகிறது.
துண்டிக்கப்பட்ட முக்கோண பிரமிட்டின் அளவைத் தீர்மானிக்க, அதன் மூன்று நேரியல் பண்புகளை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்: தளங்களின் பக்கங்கள் மற்றும் உருவத்தின் உயரம், மேல் மற்றும் கீழ் தளங்களுக்கு இடையிலான தூரத்திற்கு சமம். தொகுதிக்கான தொடர்புடைய சூத்திரம் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
இங்கே h என்பது உருவத்தின் உயரம், A மற்றும் a என்பது முறையே பெரிய (கீழ்) மற்றும் சிறிய (மேல்) சமபக்க முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் நீளம்.
பிரச்சனை தீர்வு
கட்டுரையில் உள்ள தகவல்களை வாசகருக்கு தெளிவுபடுத்த, எழுதப்பட்ட சில சூத்திரங்களை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை ஒரு தெளிவான உதாரணத்துடன் காண்பிப்போம்.
முக்கோண பிரமிட்டின் கன அளவு 15 செமீ 3 ஆக இருக்கட்டும். அந்த எண்ணிக்கை சரிதான் என்பது தெரிந்தது. பிரமிட்டின் உயரம் 4 சென்டிமீட்டர் என்று தெரிந்தால், பக்கவாட்டு விளிம்பின் அபோதெம் a b ஐக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.
உருவத்தின் அளவு மற்றும் உயரம் அறியப்பட்டதால், அதன் அடித்தளத்தின் பக்கத்தின் நீளத்தைக் கணக்கிட பொருத்தமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். எங்களிடம் உள்ளது:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 செ.மீ.
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 செ.மீ.
உருவத்தின் apothem இன் கணக்கிடப்பட்ட நீளம் அதன் உயரத்தை விட அதிகமாக மாறியது, இது எந்த வகையான பிரமிடுக்கும் பொருந்தும்.
எளிமையான முப்பரிமாண உருவங்களில் ஒன்று முக்கோண பிரமிடு ஆகும், ஏனெனில் இது விண்வெளியில் ஒரு உருவத்தை உருவாக்கக்கூடிய மிகச்சிறிய எண்ணிக்கையிலான முகங்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்தக் கட்டுரையில் ஒரு முக்கோண வழக்கமான பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தக்கூடிய சூத்திரங்களைப் பார்ப்போம்.
முக்கோண பிரமிடு
பொதுவான வரையறையின்படி, ஒரு பிரமிடு என்பது பலகோணம் ஆகும், அதன் செங்குத்துகள் அனைத்தும் இந்த பலகோணத்தின் விமானத்தில் இல்லாத ஒரு புள்ளியுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. பிந்தையது ஒரு முக்கோணமாக இருந்தால், முழு உருவமும் முக்கோண பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
கேள்விக்குரிய பிரமிடு ஒரு அடிப்படை (முக்கோணம்) மற்றும் மூன்று பக்க முகங்கள் (முக்கோணங்கள்) ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. மூன்று பக்க முகங்கள் இணைக்கப்பட்டுள்ள புள்ளி உருவத்தின் உச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த உச்சியில் இருந்து செங்குத்தாக அடிப்பகுதிக்கு கீழே விழுந்தது பிரமிட்டின் உயரம். அடித்தளத்துடன் செங்குத்தாக வெட்டும் புள்ளியானது அடிவாரத்தில் உள்ள முக்கோணத்தின் இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியுடன் இணைந்தால், நாம் ஒரு வழக்கமான பிரமிடு பற்றி பேசுகிறோம். இல்லையெனில் அது சாய்வாக இருக்கும்.
குறிப்பிட்டுள்ளபடி, முக்கோண பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி ஒரு பொதுவான வகை முக்கோணமாக இருக்கலாம். இருப்பினும், அது சமபக்கமாக இருந்தால், மற்றும் பிரமிடு நேராக இருந்தால், அவர்கள் வழக்கமான முப்பரிமாண உருவத்தைப் பற்றி பேசுகிறார்கள்.
எந்த முக்கோண பிரமிடும் 4 முகங்கள், 6 விளிம்புகள் மற்றும் 4 செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது. அனைத்து விளிம்புகளின் நீளமும் சமமாக இருந்தால், அத்தகைய உருவம் டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
பொது முக்கோண பிரமிட்டின் அளவு
வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அளவுக்கான சூத்திரத்தை எழுதுவதற்கு முன், ஒரு பொதுவான வகை பிரமிடுக்கான இந்த இயற்பியல் அளவிற்கு ஒரு வெளிப்பாட்டைக் கொடுக்கிறோம். இந்த வெளிப்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:
தலைப்பில்: "குளோபல் ஃபைனான்ஸ்": ஊழியர்கள் மற்றும் வாடிக்கையாளர்களிடமிருந்து நிறுவனத்தின் மதிப்புரைகள்
இங்கே So என்பது அடித்தளத்தின் பரப்பளவு, h என்பது உருவத்தின் உயரம். இந்த சமத்துவம் எந்த வகையான பிரமிடு பலகோண தளத்திற்கும், அதே போல் ஒரு கூம்புக்கும் செல்லுபடியாகும். அடிவாரத்தில் பக்க நீளம் a மற்றும் உயரம் h o உடன் ஒரு முக்கோணம் இருந்தால், தொகுதிக்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு எழுதப்படும்:
V = 1/6*a*h o *h.
வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் தொகுதிக்கான சூத்திரங்கள்
ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு அடிவாரத்தில் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த முக்கோணத்தின் உயரம் அதன் பக்கத்தின் நீளத்துடன் சமத்துவத்துடன் தொடர்புடையது என்பது அறியப்படுகிறது:
முந்தைய பத்தியில் எழுதப்பட்ட முக்கோண பிரமிட்டின் தொகுதிக்கான சூத்திரத்தில் இந்த வெளிப்பாட்டை மாற்றுவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
ஒரு முக்கோண அடித்தளத்துடன் கூடிய வழக்கமான பிரமிட்டின் அளவு என்பது அடித்தளத்தின் பக்கத்தின் நீளம் மற்றும் உருவத்தின் உயரத்தின் செயல்பாடாகும்.
எந்தவொரு வழக்கமான பலகோணத்தையும் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்க முடியும் என்பதால், அதன் ஆரம் பலகோணத்தின் பக்கத்தின் நீளத்தை தனித்துவமாக தீர்மானிக்கும், பின்னர் இந்த சூத்திரத்தை தொடர்புடைய ஆரம் r மூலம் எழுதலாம்:
V = √3/4*h*r 2 .
முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம் வழியாக சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் r வெளிப்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை நாம் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், முந்தைய சூத்திரத்திலிருந்து இந்த சூத்திரத்தை எளிதாகப் பெறலாம்:
டெட்ராஹெட்ரானின் அளவை தீர்மானிப்பதில் சிக்கல்
குறிப்பிட்ட வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது மேலே உள்ள சூத்திரங்களை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் காண்பிப்போம்.
ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் விளிம்பு நீளம் 7 செமீ என்று அறியப்படுகிறது.
டெட்ராஹெட்ரான் என்பது ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு என்பதை நினைவில் கொள்க, அதில் அனைத்து தளங்களும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும். வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் தொகுதிக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த, நீங்கள் இரண்டு அளவுகளைக் கணக்கிட வேண்டும்:
தலைப்பில்: இந்த அசாதாரண பொருட்கள் விரைவில் கார் இருக்கைகளை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படும்
- முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம்;
- உருவத்தின் உயரம்.
சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து முதல் அளவு அறியப்படுகிறது:
உயரத்தை தீர்மானிக்க, படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தை கவனியுங்கள்.
குறிக்கப்பட்ட முக்கோணம் ABC என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும், இதில் கோணம் ABC 90 o ஆகும். பக்க ஏசி என்பது ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் அதன் நீளம் a. எளிய வடிவியல் பகுத்தறிவைப் பயன்படுத்தி, BC பக்கத்தின் நீளம் இருப்பதைக் காட்டலாம்:
BC நீளம் என்பது முக்கோணத்தைச் சுற்றியுள்ள வட்டத்தின் ஆரம் என்பதை நினைவில் கொள்க.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2/3) = a*√(2/3).
இப்போது நீங்கள் h மற்றும் a ஐ தொகுதிக்கான தொடர்புடைய சூத்திரத்தில் மாற்றலாம்:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
எனவே, டெட்ராஹெட்ரானின் தொகுதிக்கான சூத்திரத்தைப் பெற்றுள்ளோம். தொகுதி விளிம்பின் நீளத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது என்பதைக் காணலாம். சிக்கல் நிலையில் இருந்து வெளிப்பாட்டிற்கு மதிப்பை மாற்றினால், பதில் கிடைக்கும்:
V = √2/12*7 3 ≈ 40.42 செமீ 3.
இந்த மதிப்பை அதே விளிம்பில் உள்ள கனசதுரத்தின் கன அளவோடு ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், டெட்ராஹெட்ரானின் அளவு 8.5 மடங்கு குறைவாக இருப்பதைக் காணலாம். டெட்ராஹெட்ரான் என்பது சில இயற்கை பொருட்களில் ஏற்படும் ஒரு சிறிய உருவம் என்பதை இது குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, மீத்தேன் மூலக்கூறு ஒரு டெட்ராஹெட்ரல் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் வைரத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு கார்பன் அணுவும் மற்ற நான்கு அணுக்களுடன் இணைக்கப்பட்டு டெட்ராஹெட்ரானை உருவாக்குகிறது.
