ஒரு நேர் கோட்டின் சாய்வு. நேரடி சாய்வு (மற்றும் பல)

முந்தைய அத்தியாயத்தில், விமானத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், தற்போதைய ஆயங்களுக்கு இடையிலான சமன்பாட்டின் மூலம் பகுப்பாய்வு ரீதியாக பரிசீலனையில் உள்ள கோட்டின் புள்ளிகளை வகைப்படுத்தும் வடிவியல் பண்புகளை வெளிப்படுத்தலாம் என்று காட்டப்பட்டது. இவ்வாறு நாம் கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்த அத்தியாயம் நேர்கோட்டு சமன்பாடுகளைப் பார்க்கும்.

கார்ட்டீசியன் ஆயங்களில் ஒரு நேர் கோட்டிற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்க, ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் ஒப்பிடும்போது அதன் நிலையை தீர்மானிக்கும் நிபந்தனைகளை நீங்கள் எப்படியாவது அமைக்க வேண்டும்.

முதலில், ஒரு கோட்டின் கோண குணகம் என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம், இது ஒரு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் நிலையை வகைப்படுத்தும் அளவுகளில் ஒன்றாகும்.

ஆக்ஸ் அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தை எருது அச்சை சுழற்ற வேண்டிய கோணம் என்று அழைக்கலாம், இதனால் அது கொடுக்கப்பட்ட கோட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது (அல்லது அதற்கு இணையாக உள்ளது). வழக்கம் போல், அடையாளத்தை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளும் கோணத்தை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் (அடையாளம் சுழற்சியின் திசையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: எதிரெதிர் அல்லது கடிகார திசையில்). 180° கோணத்தின் மூலம் ஆக்ஸ் அச்சின் கூடுதல் சுழற்சி அதை மீண்டும் நேர் கோட்டுடன் சீரமைக்கும் என்பதால், அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தை சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி தேர்வு செய்ய முடியாது (இன் பெருக்கல் வரை) .

இந்த கோணத்தின் தொடுகோடு தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது (கோணத்தை மாற்றுவதால் அதன் தொடுகோடு மாறாது).

ஆக்ஸ் அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு நேர்கோட்டின் கோண குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

கோண குணகம் நேர் கோட்டின் திசையை வகைப்படுத்துகிறது (நேர் கோட்டின் இரண்டு எதிரெதிர் திசைகளை நாம் இங்கு வேறுபடுத்தவில்லை). ஒரு கோட்டின் சாய்வு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அந்தக் கோடு x அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும். நேர்கோண குணகத்துடன், ஆக்ஸ் அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணம் கடுமையானதாக இருக்கும் (சாய்வு கோணத்தின் மிகச்சிறிய நேர்மறை மதிப்பை நாங்கள் இங்கே கருதுகிறோம்) (படம் 39); மேலும், அதிக கோண குணகம், ஆக்ஸ் அச்சுக்கு அதன் சாய்வின் கோணம் அதிகமாகும். கோண குணகம் எதிர்மறையாக இருந்தால், ஆக்ஸ் அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணம் மழுங்கியதாக இருக்கும் (படம் 40). ஆக்ஸ் அச்சுக்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர்கோட்டில் கோண குணகம் இல்லை (கோணத்தின் தொடுகோடு இல்லை) என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

தலைப்பின் தொடர்ச்சி, ஒரு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு இயற்கணிதம் பாடங்களில் இருந்து ஒரு நேர்கோட்டின் படிப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த கட்டுரை ஒரு சாய்வுடன் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு என்ற தலைப்பில் பொதுவான தகவல்களை வழங்குகிறது. வரையறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், சமன்பாட்டைப் பெறுவோம், மற்ற வகை சமன்பாடுகளுடன் தொடர்பை அடையாளம் காண்போம். சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி எல்லாம் விவாதிக்கப்படும்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

அத்தகைய சமன்பாட்டை எழுதுவதற்கு முன், O x அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தை அவற்றின் கோண குணகத்துடன் வரையறுக்க வேண்டியது அவசியம். விமானத்தில் ஒரு கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

வரையறை 1

O x அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணம்,விமானத்தில் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் O x y இல் அமைந்துள்ளது, இது நேர்கோடு O x இலிருந்து எதிர் கடிகார திசையில் அளவிடப்படும் கோணமாகும்.

கோடு O x க்கு இணையாக இருக்கும்போது அல்லது அதனுடன் இணைந்தால், சாய்வின் கோணம் 0 ஆகும். பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணம் α இடைவெளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது [0 , π) .

வரையறை 2

நேரடி சாய்வுகொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு ஆகும்.

நிலையான பதவி கே. வரையறையிலிருந்து நாம் k = t g α என்பதைக் காண்கிறோம். கோடு எருதுக்கு இணையாக இருக்கும்போது, ​​​​அது முடிவிலிக்குச் செல்வதால், சாய்வு இல்லை என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் அதிகரிக்கும் போது சாய்வு நேர்மறையாகவும், நேர்மாறாகவும் இருக்கும். குணகத்தின் மதிப்புடன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் தொடர்புடைய வலது கோணத்தின் இருப்பிடத்தில் பல்வேறு மாறுபாடுகளை படம் காட்டுகிறது.

இந்த கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்க, கோணக் குணகத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவது மற்றும் விமானத்தில் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகைக் கணக்கிடுவது அவசியம்.

தீர்வு

நிபந்தனையிலிருந்து நாம் α = 120°. வரையறையின்படி, சாய்வு கணக்கிடப்பட வேண்டும். k = t g α = 120 = - 3 என்ற சூத்திரத்திலிருந்து அதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பதில்:கே = - 3 .

கோண குணகம் அறியப்பட்டால், அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டறிவது அவசியம் என்றால், கோணக் குணகத்தின் மதிப்பை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். k > 0 எனில், வலது கோணம் தீவிரமானது மற்றும் α = a r c t g k என்ற சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படும். என்றால் கே< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

எடுத்துக்காட்டு 2

கொடுக்கப்பட்ட நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தை O x க்கு கோண குணகம் 3 உடன் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு

கோண குணகம் நேர்மறையாக இருக்கும் நிலையில் இருந்து, O x க்கு சாய்வின் கோணம் 90 டிகிரிக்கும் குறைவாக உள்ளது. α = a r c t g k = a r c t g 3 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகள் செய்யப்படுகின்றன.

பதில்: α = a r c t g 3 .

எடுத்துக்காட்டு 3

சாய்வு = - 1 3 எனில் O x அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

கோணக் குணகத்தின் பெயராக k என்ற எழுத்தை எடுத்துக் கொண்டால், α என்பது O x நேர்மறை திசையில் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சாய்வின் கோணமாகும். எனவே k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

பதில்: 5 π 6 .

y = k x + b வடிவத்தின் சமன்பாடு, இதில் k என்பது சாய்வாகவும், b என்பது சில உண்மையான எண்ணாகவும் இருக்கும், இது சாய்வுடன் கூடிய கோட்டின் சமன்பாடு எனப்படும். O y அச்சுக்கு இணையாக இல்லாத எந்த நேர்கோட்டிற்கும் சமன்பாடு பொதுவானது.

y = k x + b வடிவத்தைக் கொண்ட கோணக் குணகம் கொண்ட சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்படும் நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர்கோட்டை விரிவாகக் கருத்தில் கொண்டால். இந்த வழக்கில், சமன்பாடு கோட்டின் எந்த புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கும் ஒத்திருக்கிறது என்று அர்த்தம். புள்ளி M, M 1 (x 1, y 1) இன் ஆயங்களை y = k x + b என்ற சமன்பாட்டில் மாற்றினால், இந்த விஷயத்தில் வரி இந்த புள்ளியைக் கடந்து செல்லும், இல்லையெனில் புள்ளி வரிக்கு சொந்தமானது அல்ல.

எடுத்துக்காட்டு 4

சாய்வு y = 1 3 x - 1 உடன் நேர்கோடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. M 1 (3, 0) மற்றும் M 2 (2, - 2) ஆகிய புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்ட வரியைச் சேர்ந்ததா என்பதைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் புள்ளி M 1 (3, 0) இன் ஆயங்களை மாற்றுவது அவசியம், பின்னர் நாம் 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 ஐப் பெறுகிறோம். சமத்துவம் உண்மை, அதாவது புள்ளி கோட்டிற்கு சொந்தமானது.

புள்ளி M 2 (2, - 2) இன் ஆயங்களை மாற்றினால், படிவத்தின் தவறான சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம் - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. புள்ளி M 2 வரிக்கு சொந்தமானது அல்ல என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.

பதில்: M 1 வரிக்கு சொந்தமானது, ஆனால் M 2 இல்லை.

கோடு y = k · x + b என்ற சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது, M 1 (0, b) வழியாகச் செல்லும்போது, ​​மாற்றீட்டின் போது b = k · 0 + b ⇔ b = b வடிவத்தின் சமத்துவத்தைப் பெற்றோம். இதிலிருந்து விமானத்தில் கோண குணகம் y = k x + b கொண்ட ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு புள்ளி 0, b வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டை வரையறுக்கிறது என்று முடிவு செய்யலாம். இது O x அச்சின் நேர் திசையுடன் α கோணத்தை உருவாக்குகிறது, இங்கு k = t g α.

உதாரணமாக, y = 3 · x - 1 வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்ட கோணக் குணகத்தைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு நேர்கோட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். O x அச்சின் நேர்மறையான திசையில் α = a r c t g 3 = π 3 ரேடியன்களின் சாய்வுடன் 0, - 1 ஆயப் புள்ளியுடன் நேர்கோடு கடந்து செல்லும் என்பதை நாங்கள் பெறுகிறோம். குணகம் 3 என்பதை இது காட்டுகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி வழியாகச் செல்லும் சாய்வுடன் கூடிய நேர்கோட்டின் சமன்பாடு

M 1 (x 1, y 1) புள்ளியின் வழியாக கொடுக்கப்பட்ட சாய்வுடன் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுவது அவசியமான ஒரு சிக்கலைத் தீர்ப்பது அவசியம்.

சமத்துவம் y 1 = k · x + b என்பது செல்லுபடியாகும் என்று கருதலாம், ஏனெனில் கோடு M 1 (x 1, y 1) புள்ளியின் வழியாக செல்கிறது. எண்ணை b ஐ அகற்ற, இடது மற்றும் வலது பக்கங்களிலிருந்து சாய்வுடன் சமன்பாட்டைக் கழிக்க வேண்டும். இதிலிருந்து y - y 1 = k · (x - x 1) . இந்த சமத்துவமானது, M 1 (x 1, y 1) புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் வழியாக செல்லும், கொடுக்கப்பட்ட சாய்வு k உடன் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 5

புள்ளி M 1 வழியாக ஆயத்தொலைவுகளுடன் (4, - 1), ஒரு கோணக் குணகம் - 2 க்கு சமமான ஒரு நேர் கோட்டிற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தீர்வு

நிபந்தனையின்படி x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. இங்கிருந்து வரியின் சமன்பாடு பின்வருமாறு எழுதப்படும்: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

பதில்: y = - 2 x + 7 .

எடுத்துக்காட்டு 6

y = 2 x - 2 என்ற நேர் கோட்டிற்கு இணையாக, ஆயத்தொலைவுகளுடன் (3, 5) புள்ளி M 1 ஐக் கடந்து செல்லும் கோணக் குணகத்துடன் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதவும்.

தீர்வு

நிபந்தனையின்படி, இணையான கோடுகள் ஒரே மாதிரியான சாய்வு கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது கோண குணகங்கள் சமமாக இருக்கும். இந்த சமன்பாட்டிலிருந்து சாய்வைக் கண்டுபிடிக்க, அதன் அடிப்படை சூத்திரமான y = 2 x - 2 ஐ நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும், அது k = 2 ஐப் பின்பற்றுகிறது. சாய்வு குணகத்துடன் ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்கி பெறுகிறோம்:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

பதில்: y = 2 x - 1 .

ஒரு சாய்வுடன் கூடிய நேர்கோட்டு சமன்பாட்டிலிருந்து மற்ற வகை நேர்கோட்டு சமன்பாடுகள் மற்றும் பின்புறத்திற்கு மாறுதல்

சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு இந்த சமன்பாடு எப்போதும் பொருந்தாது, ஏனெனில் இது மிகவும் வசதியாக எழுதப்படவில்லை. இதைச் செய்ய, நீங்கள் அதை வேறு வடிவத்தில் வழங்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, y = k x + b வடிவத்தின் சமன்பாடு, ஒரு நேர்கோட்டின் திசை திசையன் அல்லது சாதாரண திசையன் ஆய ஆயங்களை எழுத அனுமதிக்காது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் வேறு வகையான சமன்பாடுகளுடன் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்.

கோணக் குணகம் கொண்ட கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விமானத்தில் உள்ள கோட்டின் நியதிச் சமன்பாட்டைப் பெறலாம். நாம் x - x 1 a x = y - y 1 a y ஐப் பெறுகிறோம். b என்ற சொல்லை இடது பக்கம் நகர்த்தி, விளைந்த சமத்துவமின்மையின் வெளிப்பாட்டால் வகுக்க வேண்டியது அவசியம். பின்னர் y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k வடிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

ஒரு சாய்வுடன் கூடிய கோட்டின் சமன்பாடு இந்தக் கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடாக மாறியுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 7

கோணக் குணகம் y = - 3 x + 12 உடன் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை நியமன வடிவத்திற்குக் கொண்டு வாருங்கள்.

தீர்வு

அதை ஒரு நேர்கோட்டின் நியதிச் சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் கணக்கிட்டு வழங்குவோம். படிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

பதில்: x 1 = y - 12 - 3.

ஒரு நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாடு y = k · x + b இலிருந்து பெற எளிதானது, ஆனால் இதற்கு மாற்றங்களைச் செய்வது அவசியம்: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டிலிருந்து வேறு வகையான சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு மாற்றம் செய்யப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 8

y = 1 7 x - 2 வடிவத்தின் நேர்கோட்டு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. ஒரு → = (- 1, 7) ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட திசையன் ஒரு சாதாரண வரி திசையன் என்பதை அறியவும்?

தீர்வு

தீர்க்க, இந்த சமன்பாட்டின் மற்றொரு வடிவத்திற்கு செல்ல வேண்டியது அவசியம், இதற்காக நாம் எழுதுகிறோம்:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

மாறிகளுக்கு முன்னால் உள்ள குணகங்கள் கோட்டின் சாதாரண திசையனின் ஆயத்தொலைவுகளாகும். இதை இப்படி எழுதலாம்: n → = 1 7, - 1, எனவே 1 7 x - y - 2 = 0. திசையன் a → = (- 1, 7) என்பது திசையன் n → = 1 7, - 1 க்கு நேர்கோட்டில் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, ஏனெனில் நமக்கு நியாயமான தொடர்பு a → = - 7 · n →. அசல் திசையன் a → = - 1, 7 என்பது 1 7 x - y - 2 = 0 என்ற வரியின் இயல்பான திசையன் ஆகும், அதாவது இது y = 1 7 x - 2 வரிக்கான சாதாரண திசையன் என்று கருதப்படுகிறது.

பதில்:உள்ளது

இதன் தலைகீழ் சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

A x + B y + C = 0 என்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவத்திலிருந்து, B ≠ 0, ஒரு கோணக் குணகம் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு நகர்த்துவது அவசியம். இதைச் செய்ய, y க்கான சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம். நாம் A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B ஐப் பெறுகிறோம்.

இதன் விளைவாக - A B க்கு சமமான சாய்வுடன் கூடிய சமன்பாடு.

எடுத்துக்காட்டு 9

2 3 x - 4 y + 1 = 0 வடிவத்தின் நேர்கோட்டு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு கோண குணகத்துடன் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறவும்.

தீர்வு

நிபந்தனையின் அடிப்படையில், y ஐ தீர்க்க வேண்டியது அவசியம், பின்னர் படிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

பதில்: y = 1 6 x + 1 4 .

x a + y b = 1 வடிவத்தின் சமன்பாடு இதே வழியில் தீர்க்கப்படுகிறது, இது பிரிவுகளில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு அல்லது x - x 1 a x = y - y 1 a y வடிவத்தின் நியதி என அழைக்கப்படுகிறது. நாம் அதை y க்கு தீர்க்க வேண்டும், அப்போதுதான் சாய்வுடன் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

நியதிச் சமன்பாட்டை கோணக் குணகம் கொண்ட வடிவமாகக் குறைக்கலாம். இதைச் செய்ய:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

எடுத்துக்காட்டு 10

x 2 + y - 3 = 1 என்ற சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு நேர்கோடு உள்ளது. கோணக் குணகத்துடன் கூடிய சமன்பாட்டின் வடிவத்தைக் குறைக்கவும்.

தீர்வு.

நிபந்தனையின் அடிப்படையில், மாற்றுவது அவசியம், பின்னர் நாம் _formula_ வடிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். தேவையான சாய்வு சமன்பாட்டைப் பெற, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் - 3 ஆல் பெருக்கப்பட வேண்டும். மாற்றுவது, நாம் பெறுகிறோம்:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

பதில்: y = 3 2 x - 3 .

எடுத்துக்காட்டு 11

x - 2 2 = y + 1 5 வடிவத்தின் நேர்கோட்டுச் சமன்பாட்டை கோணக் குணகம் கொண்ட படிவமாகக் குறைக்கவும்.

தீர்வு

x - 2 2 = y + 1 5 என்ற வெளிப்பாட்டை விகிதமாகக் கணக்கிடுவது அவசியம். 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . இப்போது நீங்கள் அதை முழுமையாக இயக்க வேண்டும், இதைச் செய்ய:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

பதில்: y = 5 2 x - 6 .

இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்க்க, x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ வடிவத்தின் கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகள் கோட்டின் நியமனச் சமன்பாட்டிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும், இதற்குப் பிறகுதான் ஒருவர் சமன்பாட்டிற்குச் செல்ல முடியும். சாய்வு குணகம்.

எடுத்துக்காட்டு 12

x = λ y = - 1 + 2 · λ என்ற அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால், கோட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

பாராமெட்ரிக் பார்வையில் இருந்து சாய்வுக்கு மாறுவது அவசியம். இதைச் செய்ய, கொடுக்கப்பட்ட அளவுரு ஒன்றிலிருந்து நியமன சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம்:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

இப்போது கோணக் குணகத்துடன் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கு y ஐப் பொறுத்து இந்த சமத்துவத்தை தீர்க்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, இந்த வழியில் எழுதலாம்:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

கோட்டின் சாய்வு 2 என்பதை இது பின்பற்றுகிறது. இது k = 2 என எழுதப்பட்டுள்ளது.

பதில்:கே = 2.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

சாய்வு நேராக உள்ளது. இந்த கட்டுரையில் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள ஒருங்கிணைப்பு விமானம் தொடர்பான சிக்கல்களைப் பார்ப்போம். இவை இதற்கான பணிகள்:

- ஒரு நேர் கோட்டின் கோண குணகத்தை அது கடந்து செல்லும் இரண்டு புள்ளிகள் அறியப்படும் போது தீர்மானித்தல்;
- ஒரு விமானத்தில் இரண்டு நேர் கோடுகளை வெட்டும் புள்ளியின் abscissa அல்லது ordinate ஐ தீர்மானித்தல்.

ஒரு புள்ளியின் abscissa மற்றும் ordinate என்றால் என்ன என்பது இந்த பகுதியில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. அதில் ஒருங்கிணைப்பு விமானம் தொடர்பான பல சிக்கல்களை நாங்கள் ஏற்கனவே கருத்தில் கொண்டுள்ளோம். பரிசீலனையில் உள்ள பிரச்சனையின் வகைக்கு நீங்கள் என்ன புரிந்து கொள்ள வேண்டும்? ஒரு சிறிய கோட்பாடு.

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு வடிவம் உள்ளது:

எங்கே கே – இது கோட்டின் சாய்வு.

அடுத்த கணம்! நேர்கோட்டின் சாய்வு நேர்கோட்டின் சாய்வு கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக இருக்கும். இது கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கும் அச்சிற்கும் இடையே உள்ள கோணம்ஓ

இது 0 முதல் 180 டிகிரி வரை இருக்கும்.

அதாவது, கோட்டின் சமன்பாட்டை வடிவத்திற்குக் குறைத்தால் ஒய் = kx + பி, பின்னர் நாம் எப்போதும் குணகம் k (சரிவு குணகம்) தீர்மானிக்க முடியும்.

மேலும், நிபந்தனையின் அடிப்படையில் நாம் நேர்கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு தீர்மானிக்க முடியும் என்றால், அதன் மூலம் அதன் கோணக் குணகத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.

அடுத்த தத்துவார்த்த புள்ளி!கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு.சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

பணிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம் (திறந்த பணி வங்கியின் பணிகளைப் போன்றது):

ஆய (–6;0) மற்றும் (0;6) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்.

இந்த சிக்கலில், x அச்சுக்கும் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டிற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு கண்டறிவதே தீர்க்க மிகவும் பகுத்தறிவு வழி. அது சரிவுக்கு சமம் என்பது தெரியும். ஒரு நேர் கோடு மற்றும் அச்சுகள் x மற்றும் oy ஆகியவற்றால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள்:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது எதிர் பக்கத்திற்கும் அருகில் உள்ள பக்கத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும்:

*இரண்டு கால்களும் ஆறுக்கு சமம் (இவை அவற்றின் நீளம்).

நிச்சயமாக, கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியும். ஆனால் இது ஒரு நீண்ட தீர்வாக இருக்கும்.

பதில்: 1

ஆய (5;0) மற்றும் (0;5) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்.

எங்கள் புள்ளிகள் ஆய (5;0) மற்றும் (0;5) உள்ளன. பொருள்

ஃபார்முலாவை ஃபார்மில் வைப்போம் ஒய் = kx + பி

சரிவைக் கண்டோம் கே = – 1.

பதில்:-1

நேராக அஆய (0;6) மற்றும் (8;0) புள்ளிகளைக் கடந்து செல்கிறது. நேராக பிஆய (0;10) உடன் புள்ளி வழியாக செல்கிறது மற்றும் கோட்டிற்கு இணையாக உள்ளது அ பிஅச்சுடன் ஓ

இந்த சிக்கலில் நீங்கள் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காணலாம் அ, அதற்கான சாய்வைத் தீர்மானிக்கவும். நேர் கோட்டில் பிஅவை இணையாக இருப்பதால் சாய்வு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். அடுத்து நீங்கள் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காணலாம் பி. பின்னர், y = 0 மதிப்பை அதற்குப் பதிலாக, abscissa ஐக் கண்டறியவும். ஆனால்!

இந்த வழக்கில், முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் சொத்தைப் பயன்படுத்துவது எளிது.

இந்த (இணை) கோடுகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளால் உருவாக்கப்பட்ட வலது முக்கோணங்கள் ஒரே மாதிரியானவை, அதாவது அவற்றின் தொடர்புடைய பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும்.

தேவையான abscissa 40/3.

பதில்: 40/3

நேராக அஆய (0;8) மற்றும் (–12;0) புள்ளிகளைக் கடந்து செல்கிறது. நேராக பிஆய (0; –12) உடன் புள்ளி வழியாக செல்கிறது மற்றும் கோட்டிற்கு இணையாக உள்ளது அ. கோட்டின் வெட்டும் புள்ளியின் abscissa ஐக் கண்டறியவும் பிஅச்சுடன் ஓ.

இந்த சிக்கலுக்கு, அதைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் பகுத்தறிவு வழி முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் சொத்தைப் பயன்படுத்துவதாகும். ஆனால் நாங்கள் அதை வேறு வழியில் தீர்ப்போம்.

கோடு கடந்து செல்லும் புள்ளிகளை நாம் அறிவோம் ஏ. ஒரு நேர்கோட்டிற்கு சமன்பாட்டை எழுதலாம். கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டிற்கான சூத்திரம் வடிவம் கொண்டது:

நிபந்தனையின்படி, புள்ளிகள் ஆய (0;8) மற்றும் (–12;0) உள்ளன. பொருள்

அதை மனதில் கொண்டு வருவோம் ஒய் = kx + பி:

அந்த மூலை கிடைத்தது கே = 2/3.

*கோண குணகம் 8 மற்றும் 12 கால்கள் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கோணத்தின் தொடுகோடு மூலம் கண்டறியப்படலாம்.

இணையான கோடுகள் சம கோண குணகங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பது அறியப்படுகிறது. இதன் பொருள், புள்ளி (0;-12) வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:

மதிப்பைக் கண்டறியவும் பிநாம் abscissa ஐ மாற்றலாம் மற்றும் சமன்பாட்டிற்குள் ஒழுங்குபடுத்தலாம்:

எனவே, நேர் கோடு இதுபோல் தெரிகிறது:

இப்போது, ​​x அச்சுடன் கோடு வெட்டும் புள்ளியின் விரும்பிய abscissa ஐக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் y = 0 ஐ மாற்ற வேண்டும்:

பதில்: 18

அச்சு வெட்டுப்புள்ளியின் ஆர்டினேட்டைக் கண்டறியவும் ஓமற்றும் புள்ளி B(10;12) வழியாக செல்லும் ஒரு கோடு மற்றும் தோற்றம் மற்றும் புள்ளி A(10;24) வழியாக செல்லும் ஒரு கோட்டிற்கு இணையாக உள்ளது.

ஆய (0;0) மற்றும் (10;24) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்.

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டிற்கான சூத்திரம் வடிவம் கொண்டது:

எங்கள் புள்ளிகள் ஆய (0;0) மற்றும் (10;24) உள்ளன. பொருள்

அதை மனதில் கொண்டு வருவோம் ஒய் = kx + பி

இணையான கோடுகளின் கோண குணகங்கள் சமமாக இருக்கும். இதன் பொருள் B (10;12) புள்ளியின் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:

பொருள் பிபுள்ளி B (10;12) இன் ஆயங்களை இந்த சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம் கண்டுபிடிப்போம்:

நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெற்றோம்:

அச்சுடன் இந்தக் கோடு வெட்டும் புள்ளியின் ஆர்டினேட்டைக் கண்டறிய ஓகண்டுபிடிக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் மாற்றப்பட வேண்டும் எக்ஸ்= 0:

*மிக எளிய தீர்வு. இணையான மொழிபெயர்ப்பைப் பயன்படுத்தி, இந்த வரியை அச்சில் கீழே மாற்றுவோம் ஓசுட்டிக்காட்ட (10;12). மாற்றமானது 12 அலகுகளால் நிகழ்கிறது, அதாவது புள்ளி A(10;24) புள்ளி B (10;12) க்கு "நகர்த்தப்பட்டது", மற்றும் புள்ளி O (0;0) "நகர்த்தப்பட்டது" (0;-12). இதன் விளைவாக வரும் நேர்கோடு அச்சை வெட்டும் ஓபுள்ளியில் (0;–12).

தேவையான ஆர்டினேட் -12.

பதில்: –12

சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் வெட்டுப்புள்ளியின் ஆர்டினேட்டைக் கண்டறியவும்

3x + 2у = 6, அச்சுடன் ஓ.

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் வெட்டுப் புள்ளியை அச்சுடன் ஒருங்கிணைக்கவும் ஓவடிவம் உள்ளது (0; மணிக்கு) சமன்பாட்டில் அப்சிஸ்ஸாவை மாற்றுவோம் எக்ஸ்= 0, மற்றும் ஒழுங்குமுறையைக் கண்டறியவும்:

கோடு மற்றும் அச்சின் வெட்டும் புள்ளியின் ஆர்டினேட் ஓசமம் 3.

* அமைப்பு தீர்க்கப்பட்டது:

பதில்: 3

சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளை வெட்டும் புள்ளியின் ஆர்டினேட்டைக் கண்டறியவும்

3x + 2y = 6மற்றும் y = – x.

இரண்டு கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டால், இந்த கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது பற்றிய கேள்வி, இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பு தீர்க்கப்படுகிறது:

முதல் சமன்பாட்டில் நாம் மாற்றுகிறோம் - எக்ஸ்பதிலாக மணிக்கு:

ஆர்டினேட் மைனஸ் ஆறுக்கு சமம்.

பதில்: – 6

ஆய (–2;0) மற்றும் (0;2) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்.

ஆய (2;0) மற்றும் (0;2) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்.

ஒரு கோடு ஆய (0;4) மற்றும் (6;0) புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது. கோடு b ஆய (0;8) உடன் புள்ளி வழியாக செல்கிறது மற்றும் வரி a க்கு இணையாக உள்ளது. ஆக்ஸ் அச்சுடன் b கோடு வெட்டும் புள்ளியின் abscissa ஐக் கண்டறியவும்.

ஒய் அச்சின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஆர்டினேட் மற்றும் புள்ளி B (6;4) வழியாக செல்லும் ஒரு கோடு மற்றும் தோற்றம் மற்றும் புள்ளி A (6;8) வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கு இணையாகக் கண்டறியவும்.

1. ஒரு நேர்கோட்டின் கோண குணகம் நேர்கோட்டின் சாய்வு கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக இருக்கும் என்பதை தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். இது போன்ற பல பிரச்சனைகளை தீர்க்க இது உதவும்.

2. கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக ஒரு நேர்கோட்டைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும். அதன் உதவியுடன், ஒரு கோட்டின் இரண்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் சமன்பாட்டை நீங்கள் எப்போதும் கண்டுபிடிப்பீர்கள்.

3. இணையான கோடுகளின் சரிவுகள் சமமாக இருப்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

4. நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, சில சிக்கல்களில் முக்கோண ஒற்றுமை அம்சத்தைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது. சிக்கல்கள் நடைமுறையில் வாய்வழியாக தீர்க்கப்படுகின்றன.

5. இரண்டு கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் மற்றும் அவற்றின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் abscissa அல்லது ordinate ஐக் கண்டறிய வேண்டிய சிக்கல்கள் வரைகலை முறையில் தீர்க்கப்படும். அதாவது, அவற்றை ஒரு ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் (ஒரு சதுரத்தில் ஒரு தாளில்) உருவாக்கி, வெட்டும் புள்ளியை பார்வைக்கு தீர்மானிக்கவும். * ஆனால் இந்த முறை எப்போதும் பொருந்தாது.

6. மற்றும் கடைசியாக. ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஆய அச்சுகளுடன் அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டால், அத்தகைய சிக்கல்களில், உருவாக்கப்பட்ட வலது முக்கோணத்தில் கோணத்தின் தொடுகைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் கோண குணகத்தைக் கண்டுபிடிப்பது வசதியானது. விமானத்தில் நேர்கோடுகளின் வெவ்வேறு இடங்களைக் கொண்ட இந்த முக்கோணத்தை எப்படி "பார்ப்பது" என்பது கீழே திட்டவட்டமாக காட்டப்பட்டுள்ளது:

>> 0 முதல் 90 டிகிரி வரை நேரான கோணம்<<

>> 90 முதல் 180 டிகிரி வரை நேரான கோணம்<<

அவ்வளவுதான். உங்களுக்கு நல்ல அதிர்ஷ்டம்!

வாழ்த்துக்கள், அலெக்சாண்டர்.

பி.எஸ்: சமூக வலைப்பின்னல்களில் தளத்தைப் பற்றி என்னிடம் சொன்னால் நான் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் கடினமான தலைப்புகளில் ஒன்றாகும். டெரிவேட்டிவ் என்றால் என்ன என்ற கேள்விக்கு ஒவ்வொரு பட்டதாரியும் பதில் சொல்ல மாட்டார்கள்.

இந்த கட்டுரை ஒரு வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன, அது ஏன் தேவைப்படுகிறது என்பதை எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் விளக்குகிறது.. விளக்கக்காட்சியில் கணித கடுமைக்காக நாங்கள் இப்போது பாடுபட மாட்டோம். மிக முக்கியமான விஷயம், அர்த்தத்தைப் புரிந்துகொள்வது.

வரையறையை நினைவில் கொள்வோம்:

வழித்தோன்றல் என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதமாகும்.

படம் மூன்று செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களைக் காட்டுகிறது. எது வேகமாக வளரும் என்று நினைக்கிறீர்கள்?

பதில் வெளிப்படையானது - மூன்றாவது. இது அதிக மாற்ற விகிதத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது மிகப்பெரிய வழித்தோன்றல்.

இதோ இன்னொரு உதாரணம்.

கோஸ்ட்யா, க்ரிஷா மற்றும் மேட்வி ஆகியோருக்கு ஒரே நேரத்தில் வேலை கிடைத்தது. வருடத்தில் அவர்களின் வருமானம் எப்படி மாறியது என்று பார்ப்போம்:

வரைபடம் எல்லாவற்றையும் ஒரே நேரத்தில் காட்டுகிறது, இல்லையா? ஆறு மாதங்களில் கோஸ்டியாவின் வருமானம் இரட்டிப்பாகும். மேலும் க்ரிஷாவின் வருமானமும் அதிகரித்தது, ஆனால் கொஞ்சம். மேலும் மேட்வியின் வருமானம் பூஜ்ஜியமாகக் குறைந்தது. தொடக்க நிலைகள் ஒரே மாதிரியானவை, ஆனால் செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதம், அதாவது வழித்தோன்றல், - வேறுபட்டது. மேட்வியைப் பொறுத்தவரை, அவரது வருமான வழித்தோன்றல் பொதுவாக எதிர்மறையானது.

உள்ளுணர்வாக, ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தை எளிதாக மதிப்பிடுகிறோம். ஆனால் இதை எப்படி செய்வது?

நாம் உண்மையில் பார்ப்பது ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் எவ்வளவு செங்குத்தாக மேலே செல்கிறது (அல்லது கீழே). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், x மாறும்போது y எவ்வளவு விரைவாக மாறுகிறது? வெளிப்படையாக, வெவ்வேறு புள்ளிகளில் ஒரே செயல்பாடு வெவ்வேறு வழித்தோன்றல் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம் - அதாவது, அது வேகமாகவோ அல்லது மெதுவாகவோ மாறலாம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் குறிக்கப்படுகிறது.

வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி அதை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நாங்கள் உங்களுக்குக் காண்பிப்போம்.

சில செயல்பாட்டின் வரைபடம் வரையப்பட்டுள்ளது. அதில் ஒரு abscissa உள்ள ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைவோம். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் எவ்வளவு செங்குத்தாக மேலே செல்கிறது என்பதை மதிப்பிட விரும்புகிறோம். இதற்கு ஒரு வசதியான மதிப்பு தொடுகோடு கோணத்தின் தொடுகோடு.

ஒரு புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இந்த புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடு கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக இருக்கும்.

தொடுகோடு சாய்வின் கோணமாக, அச்சு மற்றும் அச்சின் நேர்மறை திசைக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

சில நேரங்களில் மாணவர்கள் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு என்ன என்று கேட்கிறார்கள். இது இந்தப் பிரிவில் உள்ள வரைபடத்துடன் ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு நேர்கோடு மற்றும் எங்கள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. இது ஒரு வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு போல் தெரிகிறது.

அதை கண்டுபிடிக்கலாம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள தீவிர கோணத்தின் தொடுகோடு, எதிரெதிர் பக்கத்தின் அடுத்த பக்கத்தின் விகிதத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்கிறோம். முக்கோணத்தில் இருந்து:

செயல்பாட்டின் சூத்திரம் கூட தெரியாமல் ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலைக் கண்டோம். இத்தகைய சிக்கல்கள் பெரும்பாலும் எண்களின் கீழ் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் காணப்படுகின்றன.

இன்னொரு முக்கியமான உறவு இருக்கிறது. நேர்கோடு சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க

இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள அளவு அழைக்கப்படுகிறது ஒரு நேர் கோட்டின் சாய்வு. இது அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு சமம்.

.

நமக்கு அது கிடைக்கும்

இந்த சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம். இது வழித்தோன்றலின் வடிவியல் அர்த்தத்தை வெளிப்படுத்துகிறது.

ஒரு புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், அந்த புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் சாய்வுக்கு சமம்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வழித்தோன்றல் தொடு கோணத்தின் தொடுகோடு சமம்.

ஒரே செயல்பாடு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெவ்வேறு வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கலாம் என்று நாங்கள் ஏற்கனவே கூறியுள்ளோம். செயல்பாட்டின் நடத்தையுடன் வழித்தோன்றல் எவ்வாறு தொடர்புடையது என்பதைப் பார்ப்போம்.

சில செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரைவோம். இந்த செயல்பாடு சில பகுதிகளில் அதிகரிக்கட்டும், மற்றவற்றில் குறையட்டும், மற்றும் வெவ்வேறு விகிதங்களில். இந்த செயல்பாடு அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கட்டும்.

ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது. புள்ளியில் வரையப்பட்ட வரைபடத்தின் தொடுகோடு ஒரு தீவிர கோணத்தை உருவாக்குகிறது; நேர்மறை அச்சு திசையுடன். இதன் பொருள் புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக உள்ளது.

அந்த நேரத்தில் நமது செயல்பாடு குறைகிறது. இந்த இடத்தில் தொடுகோடு ஒரு மழுங்கிய கோணத்தை உருவாக்குகிறது; நேர்மறை அச்சு திசையுடன். ஒரு மழுங்கிய கோணத்தின் தொடுகோடு எதிர்மறையாக இருப்பதால், புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இருக்கும்.

என்ன நடக்கிறது என்பது இங்கே:

ஒரு செயல்பாடு அதிகரித்தால், அதன் வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக இருக்கும்.

அது குறைந்தால், அதன் வழித்தோன்றல் எதிர்மறையானது.

அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளில் என்ன நடக்கும்? புள்ளிகளில் (அதிகபட்ச புள்ளி) மற்றும் (குறைந்தபட்ச புள்ளி) தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். எனவே, இந்த புள்ளிகளில் உள்ள தொடுகோடுகளின் தொடுகோடு பூஜ்ஜியமாகும், மேலும் வழித்தோன்றலும் பூஜ்ஜியமாகும்.

புள்ளி - அதிகபட்ச புள்ளி. இந்த கட்டத்தில், செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு குறைவால் மாற்றப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, வழித்தோன்றலின் அடையாளம் “பிளஸ்” இலிருந்து “மைனஸ்” ஆக மாறுகிறது.

புள்ளியில் - குறைந்தபட்ச புள்ளி - வழித்தோன்றலும் பூஜ்ஜியமாகும், ஆனால் அதன் அடையாளம் "மைனஸ்" இலிருந்து "பிளஸ்" ஆக மாறுகிறது.

முடிவு: வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டின் நடத்தை பற்றி நமக்கு ஆர்வமுள்ள அனைத்தையும் கண்டுபிடிக்கலாம்.

வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக இருந்தால், செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.

வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இருந்தால், செயல்பாடு குறைகிறது.

அதிகபட்ச புள்ளியில், வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகும் மற்றும் அடையாளத்தை "பிளஸ்" இலிருந்து "மைனஸ்" ஆக மாற்றுகிறது.

குறைந்தபட்ச புள்ளியில், வழித்தோன்றலும் பூஜ்ஜியமாகும் மற்றும் மைனஸில் இருந்து கூட்டலுக்கு அடையாளத்தை மாற்றுகிறது.

இந்த முடிவுகளை அட்டவணை வடிவில் எழுதுவோம்:

	அதிகரிக்கிறது	அதிகபட்ச புள்ளி	குறைகிறது	குறைந்தபட்ச புள்ளி	அதிகரிக்கிறது
+	0	-	0	+

இரண்டு சிறிய தெளிவுபடுத்துவோம். சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது அவற்றில் ஒன்று உங்களுக்குத் தேவைப்படும். மற்றொன்று - முதல் ஆண்டில், செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களின் தீவிர ஆய்வுடன்.

சில புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம், ஆனால் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் இல்லை. இதுவே அழைக்கப்படுகிறது :

ஒரு கட்டத்தில், வரைபடத்தின் தொடுகோடு கிடைமட்டமாகவும், வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகவும் இருக்கும். இருப்பினும், புள்ளிக்கு முன் செயல்பாடு அதிகரித்தது - புள்ளிக்குப் பிறகு அது தொடர்ந்து அதிகரிக்கிறது. வழித்தோன்றலின் அடையாளம் மாறாது - அது இருந்ததைப் போலவே நேர்மறையாக உள்ளது.

அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளியில் வழித்தோன்றல் இல்லை என்பதும் நடக்கும். வரைபடத்தில், இது ஒரு கூர்மையான இடைவெளிக்கு ஒத்திருக்கிறது, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் ஒரு தொடுகோடு வரைய இயலாது.

சார்பு ஒரு வரைபடத்தால் அல்ல, ஆனால் ஒரு சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்டால் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இந்த வழக்கில் அது பொருந்தும்

நேர்கோடு y=f(x) ஆய (x0; f(x0)) மற்றும் கோண குணகம் f"(x0) கொண்ட புள்ளியின் வழியாக சென்றால், x0 புள்ளியில் உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடத்துடன் தொடுகோடு இருக்கும். அத்தகைய குணகம், ஒரு தொடுகோடுகளின் அம்சங்களை அறிவது கடினம் அல்ல.

உங்களுக்கு தேவைப்படும்

• - கணித குறிப்பு புத்தகம்;
• - ஒரு எளிய பென்சில்;
• - நோட்புக்;
• - புரோட்ராக்டர்;
• - திசைகாட்டி;
• - பேனா.

வழிமுறைகள்

மதிப்பு f‘(x0) இல்லை என்றால், தொடுகோடு இல்லை, அல்லது அது செங்குத்தாக இயங்கும். இதைக் கருத்தில் கொண்டு, x0 புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இருப்பது, புள்ளியில் (x0, f(x0)) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு செங்குத்து அல்லாத தொடுகோடு இருப்பதன் காரணமாகும். இந்த வழக்கில், தொடுகோட்டின் கோண குணகம் f "(x0) க்கு சமமாக இருக்கும். இதனால், வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள் தெளிவாகிறது - தொடுகோட்டின் கோண குணகத்தின் கணக்கீடு.

x1, x2 மற்றும் x3 புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடர்பில் இருக்கும் கூடுதல் தொடுகோடுகளை வரையவும், மேலும் இந்த தொடுகோணங்களால் உருவாக்கப்பட்ட கோணங்களை x- அச்சைக் கொண்டு குறிக்கவும் (இந்த கோணம் அச்சில் இருந்து நேர்மறை திசையில் கணக்கிடப்படுகிறது. தொடுகோடு). எடுத்துக்காட்டாக, கோணம், அதாவது α1, கடுமையானதாகவும், இரண்டாவது (α2) மழுங்கியதாகவும், மூன்றாவது (α3) பூஜ்ஜியமாகவும் இருக்கும், ஏனெனில் தொடுகோடு OX அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், ஒரு மழுங்கிய கோணத்தின் தொடுகோடு எதிர்மறையானது, கடுமையான கோணத்தின் தொடுகோடு நேர்மறை மற்றும் tg0 இல் முடிவு பூஜ்ஜியமாகும்.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்

தொடுகால் உருவான கோணத்தை சரியாக தீர்மானிக்கவும். இதைச் செய்ய, ஒரு புரோட்ராக்டரைப் பயன்படுத்தவும்.

பயனுள்ள ஆலோசனை

கோண குணகங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்தால் இரண்டு சாய்ந்த கோடுகள் இணையாக இருக்கும்; இந்த தொடுகோடுகளின் கோண குணகங்களின் பெருக்கல் -1க்கு சமமாக இருந்தால் செங்குத்தாக.

ஆதாரங்கள்:

• ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு

கோசைன், சைனைப் போலவே, "நேரடி" முக்கோணவியல் செயல்பாடாக வகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. டேன்ஜென்ட் (கோட்டான்ஜென்ட் உடன்) "டெரிவேடிவ்கள்" எனப்படும் மற்றொரு ஜோடியாக வகைப்படுத்தப்படுகிறது. இந்த செயல்பாடுகளுக்கு பல வரையறைகள் உள்ளன, அவை அதே மதிப்பின் அறியப்பட்ட கொசைன் மதிப்பால் கொடுக்கப்பட்ட தொடுகோட்டைக் கண்டறிவதை சாத்தியமாக்குகின்றன.

வழிமுறைகள்

கொடுக்கப்பட்ட கோணத்தின் கோசைனுக்கு உயர்த்தப்பட்ட மதிப்பின் மூலம் ஒற்றுமையின் பங்கைக் கழிக்கவும், அதன் விளைவாக இருந்து வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கவும் - இது கோணத்தின் தொடு மதிப்பாக இருக்கும், அதன் கோசைன் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும்: tg(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . சூத்திரத்தில் கோசைன் பின்னத்தின் வகுப்பில் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கும் சாத்தியமற்றது, 90°க்கு சமமான கோணங்களுக்கு இந்த வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதைத் தடுக்கிறது, அதே போல் 180° (270°, 450°, -90°, முதலியன) இன் பெருக்கல் எண்களால் இந்த மதிப்பிலிருந்து வேறுபடும்.

அறியப்பட்ட கொசைன் மதிப்பிலிருந்து தொடுகைக் கணக்கிட மாற்று வழி உள்ளது. மற்றவர்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு எந்தத் தடையும் இல்லை என்றால் அதைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த முறையைச் செயல்படுத்த, முதலில் அறியப்பட்ட கொசைன் மதிப்பிலிருந்து கோண மதிப்பைத் தீர்மானிக்கவும் - ஆர்க் கொசைன் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்யலாம். பின்னர் பெறப்பட்ட மதிப்பின் கோணத்திற்கான தொடுகோடு கணக்கிடுங்கள். பொதுவாக, இந்த அல்காரிதம் பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கடுமையான கோணங்கள் மூலம் கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் வரையறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு கவர்ச்சியான விருப்பமும் உள்ளது. இந்த வரையறையில், கோசைன் என்பது ஹைபோடென்யூஸின் நீளத்திற்கு பரிசீலிக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு அருகில் உள்ள காலின் நீளத்தின் விகிதத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. கொசைனின் மதிப்பை அறிந்து, இந்த இரண்டு பக்கங்களின் தொடர்புடைய நீளத்தை நீங்கள் தேர்ந்தெடுக்கலாம். உதாரணமாக, cos(α) = 0.5 என்றால், அருகில் உள்ளதை 10 செ.மீ.க்கு சமமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம், மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் - 20 செ.மீ. குறிப்பிட்ட எண்கள் இங்கு ஒரு பொருட்டல்ல - ஒரே மாதிரியான மதிப்புகள் உள்ள அதே மற்றும் சரியான எண்களைப் பெறுவீர்கள். பின்னர், பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, காணாமல் போன பக்கத்தின் நீளத்தை தீர்மானிக்கவும் - எதிர் கால். இது ஸ்கொயர் ஹைபோடென்யூஸின் நீளத்திற்கும் அறியப்பட்ட காலுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டின் வர்க்க மூலத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்: √(20²-10²)=√300. வரையறையின்படி, தொடுவானானது எதிரெதிர் மற்றும் அருகில் உள்ள கால்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது (√300/10) - அதைக் கணக்கிட்டு, கொசைனின் கிளாசிக்கல் வரையறையைப் பயன்படுத்தி காணப்படும் தொடுகோடு மதிப்பைப் பெறவும்.

ஆதாரங்கள்:

• தொடுகோடு சூத்திரம் மூலம் கொசைன்

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளில் ஒன்று, பெரும்பாலும் tg என்ற எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகிறது, இருப்பினும் டான் கூட பயன்படுத்தப்படுகிறது. தொடுகோட்டைக் குறிப்பிடுவதற்கான எளிதான வழி சைன் விகிதமாகும் கோணம்அதன் கொசைனுக்கு. இது ஒரு ஒற்றைப்படை கால மற்றும் தொடர்ச்சியற்ற செயல்பாடாகும், இதன் ஒவ்வொரு சுழற்சியும் பை எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் இடைவெளி புள்ளி இந்த எண்ணின் பாதிக்கு ஒத்திருக்கும்.