பிரமிட்டின் பக்க முகத்தைக் கண்டறியவும். வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்

ஒரு சிலிண்டர் என்பது இரண்டு இணையான விமானங்கள் மற்றும் ஒரு உருளை மேற்பரப்புடன் இணைக்கப்பட்ட ஒரு வடிவியல் உடல் ஆகும். கட்டுரையில் ஒரு சிலிண்டரின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது பற்றி பேசுவோம், மேலும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, பல சிக்கல்களை உதாரணமாக தீர்ப்போம்.

ஒரு சிலிண்டர் மூன்று மேற்பரப்புகளைக் கொண்டுள்ளது: ஒரு மேல், ஒரு அடித்தளம் மற்றும் ஒரு பக்க மேற்பரப்பு.

ஒரு சிலிண்டரின் மேற்பகுதியும் அடிப்பகுதியும் வட்டங்கள் மற்றும் எளிதில் அடையாளம் காணக்கூடியவை.

ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவு πr 2 க்கு சமம் என்பது அறியப்படுகிறது. எனவே, இரண்டு வட்டங்களின் பகுதிக்கான சூத்திரம் (உருளையின் மேல் மற்றும் அடிப்பகுதி) πr 2 + πr 2 = 2πr 2 ஆக இருக்கும்.

சிலிண்டரின் மூன்றாவது, பக்க மேற்பரப்பு, சிலிண்டரின் வளைந்த சுவர். இந்த மேற்பரப்பை சிறப்பாக கற்பனை செய்ய, அடையாளம் காணக்கூடிய வடிவத்தைப் பெற அதை மாற்ற முயற்சிப்போம். சிலிண்டர் என்பது மேல் மூடி அல்லது கீழே இல்லாத ஒரு சாதாரண டின் கேன் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். பக்கச் சுவரில் மேலிருந்து கேனின் அடிப்பகுதி வரை செங்குத்தாக வெட்டுவோம் (படத்தில் படி 1) மற்றும் முடிந்தவரை (படி 2) விளைந்த உருவத்தை திறக்க (நேராக்க) முயற்சிப்போம்.

இதன் விளைவாக ஜாடி முழுமையாக திறக்கப்பட்ட பிறகு, நாம் ஒரு பழக்கமான உருவத்தைப் பார்ப்போம் (படி 3), இது ஒரு செவ்வகம். ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவது எளிது. ஆனால் அதற்கு முன், அசல் சிலிண்டருக்கு ஒரு கணம் திரும்புவோம். அசல் சிலிண்டரின் உச்சி ஒரு வட்டம், மேலும் சுற்றளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது என்பதை நாம் அறிவோம்: L = 2πr. இது படத்தில் சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது.

சிலிண்டரின் பக்கச் சுவர் முழுவதுமாகத் திறக்கப்பட்டால், சுற்றளவு அதன் விளைவாக வரும் செவ்வகத்தின் நீளமாக மாறுவதைக் காண்கிறோம். இந்த செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் சுற்றளவு (L = 2πr) மற்றும் சிலிண்டரின் உயரம் (h) இருக்கும். ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவு அதன் பக்கங்களின் உற்பத்திக்கு சமம் - S = நீளம் x அகலம் = L x h = 2πr x h = 2πrh. இதன் விளைவாக, சிலிண்டரின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெற்றோம்.

ஒரு சிலிண்டரின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்புக்கான சூத்திரம்
எஸ் பக்கம் = 2πrh

ஒரு சிலிண்டரின் மொத்த பரப்பளவு

இறுதியாக, மூன்று மேற்பரப்புகளின் பரப்பளவைச் சேர்த்தால், ஒரு சிலிண்டரின் மொத்த பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். சிலிண்டரின் பரப்பளவு சிலிண்டரின் மேற்பகுதி + சிலிண்டரின் அடிப்பகுதி + சிலிண்டரின் பக்க மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அல்லது S = πr 2 + க்கு சமம். πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. சில நேரங்களில் இந்த வெளிப்பாடு 2πr (r + h) சூத்திரத்திற்கு ஒத்ததாக எழுதப்படுகிறது.

ஒரு சிலிண்டரின் மொத்த பரப்பளவுக்கான சூத்திரம்
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r - உருளையின் ஆரம், h - சிலிண்டரின் உயரம்

சிலிண்டரின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மேலே உள்ள சூத்திரங்களைப் புரிந்து கொள்ள, எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி உருளையின் பரப்பளவைக் கணக்கிட முயற்சிப்போம்.

1. சிலிண்டரின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் 2, உயரம் 3. சிலிண்டரின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைத் தீர்மானிக்கவும்.

மொத்த பரப்பளவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது: S பக்க. = 2πrh

எஸ் பக்கம் = 2 * 3.14 * 2 * 3

எஸ் பக்கம் = 6.28 * 6

எஸ் பக்கம் = 37.68

சிலிண்டரின் பக்கவாட்டு பரப்பளவு 37.68 ஆகும்.

2. உயரம் 4 ஆகவும் ஆரம் 6 ஆகவும் இருந்தால் உருளையின் பரப்பளவை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது?

மொத்த பரப்பளவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

பிரமிட்டின் மேற்பரப்பு பகுதி. இந்த கட்டுரையில் வழக்கமான பிரமிடுகளின் சிக்கல்களைப் பார்ப்போம். ஒரு வழக்கமான பிரமிடு என்பது ஒரு பிரமிடு என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், அதன் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான பலகோணமாகும், பிரமிட்டின் மேற்பகுதி இந்த பலகோணத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

அத்தகைய பிரமிட்டின் பக்க முகம் ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணமாகும்.வழக்கமான பிரமிட்டின் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட இந்த முக்கோணத்தின் உயரம், அபோதெம், SF - apothem என்று அழைக்கப்படுகிறது:

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சிக்கலின் வகையில், முழு பிரமிட்டின் பரப்பளவு அல்லது அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். வலைப்பதிவு ஏற்கனவே வழக்கமான பிரமிடுகளுடன் பல சிக்கல்களைப் பற்றி விவாதித்துள்ளது, அங்கு உறுப்புகளை (உயரம், அடிப்படை விளிம்பு, பக்க விளிம்பு) கண்டுபிடிக்கும் கேள்வி எழுப்பப்பட்டது.

ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள் வழக்கமாக வழக்கமான முக்கோண, நாற்கர மற்றும் அறுகோண பிரமிடுகளை ஆய்வு செய்கின்றன. வழக்கமான ஐங்கோண மற்றும் ஹெப்டகோனல் பிரமிடுகளில் எந்த பிரச்சனையும் நான் காணவில்லை.

முழு மேற்பரப்பின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம் எளிதானது - நீங்கள் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு மற்றும் அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

பணிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கங்கள் 72, பக்க விளிம்புகள் 164. இந்த பிரமிட்டின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

பிரமிட்டின் பரப்பளவு பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு மற்றும் அடித்தளத்தின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

*பக்க மேற்பரப்பு சம பரப்பில் நான்கு முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது. பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி ஒரு சதுரம்.

பிரமிட்டின் பக்கத்தின் பகுதியைப் பயன்படுத்தி நாம் கணக்கிடலாம்:

எனவே, பிரமிட்டின் பரப்பளவு:

பதில்: 28224

வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கங்கள் 22 க்கு சமம், பக்க விளிம்புகள் 61 க்கு சமம். இந்த பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான அறுகோணமாகும்.

இந்த பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு 61,61 மற்றும் 22 பக்கங்களுடன் சமமான முக்கோணங்களின் ஆறு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது:

ஹெரானின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எனவே, பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதி:

பதில்: 3240

*மேலே வழங்கப்பட்ட சிக்கல்களில், பக்க முகத்தின் பகுதியை மற்றொரு முக்கோண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியலாம், ஆனால் இதற்கு நீங்கள் அபோதைமை கணக்கிட வேண்டும்.

27155. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும், அதன் அடிப்படை பக்கங்கள் 6 மற்றும் அதன் உயரம் 4.

பிரமிட்டின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, அடித்தளத்தின் பரப்பளவு மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியை நாம் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்:

அடித்தளத்தின் பரப்பளவு 36 ஆகும், ஏனெனில் இது பக்க 6 உடன் ஒரு சதுரம்.

பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு நான்கு முகங்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை சமமான முக்கோணங்கள். அத்தகைய முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் அதன் அடிப்பகுதி மற்றும் உயரத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் (apothem):

* ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அடித்தளத்தின் பாதிப் பெருக்கத்திற்கும், இந்த அடித்தளத்திற்கு வரையப்பட்ட உயரத்திற்கும் சமம்.

அடிப்படை அறியப்படுகிறது, அது ஆறுக்கு சமம். உயரத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள் (மஞ்சள் நிறத்தில் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ளது):

ஒரு கால் 4 க்கு சமம், இது பிரமிட்டின் உயரம் என்பதால், மற்றொன்று 3 க்கு சமம், ஏனெனில் இது அடித்தளத்தின் பாதி விளிம்பிற்கு சமம். பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஹைப்போடென்யூஸைக் கண்டறியலாம்:

இதன் பொருள் பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு:

எனவே, முழு பிரமிட்டின் பரப்பளவு:

பதில்: 96

27069. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் அடித்தளத்தின் பக்கங்கள் 10 க்கு சமம், பக்க விளிம்புகள் 13 க்கு சமம். இந்த பிரமிட்டின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

27070. வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கங்கள் 10 க்கு சமம், பக்க விளிம்புகள் 13 க்கு சமம். இந்த பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்புக்கான சூத்திரங்களும் உள்ளன. ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டில், அடித்தளமானது பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் ஒரு ஆர்த்தோகனல் திட்டமாகும், எனவே:

பி- அடிப்படை சுற்றளவு, எல்- பிரமிட்டின் அபோதெம்

*இந்த சூத்திரம் ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

இந்த சூத்திரங்கள் எவ்வாறு பெறப்படுகின்றன என்பதைப் பற்றி மேலும் அறிய விரும்பினால், அதைத் தவறவிடாதீர்கள், கட்டுரைகளின் வெளியீட்டைப் பின்பற்றவும்.அவ்வளவுதான். உங்களுக்கு நல்ல அதிர்ஷ்டம்!

உண்மையுள்ள, அலெக்சாண்டர் க்ருடிட்ஸ்கிக்.

பி.எஸ்: சமூக வலைப்பின்னல்களில் தளத்தைப் பற்றி என்னிடம் சொன்னால் நான் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன்.

விமானம் மற்றும் முப்பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள பொதுவான வடிவியல் சிக்கல்கள் வெவ்வேறு உருவங்களின் மேற்பரப்பு பகுதிகளை தீர்மானிப்பதில் உள்ள சிக்கல்கள். இந்த கட்டுரையில், வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்புக்கான சூத்திரத்தை நாங்கள் வழங்குகிறோம்.

பிரமிடு என்றால் என்ன?

ஒரு பிரமிடுக்கு கடுமையான வடிவியல் வரையறையை வழங்குவோம். n பக்கங்களும் n கோணங்களும் கொண்ட பலகோணம் நம்மிடம் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். குறிப்பிட்ட n-gon இன் விமானத்தில் இல்லாத ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை விண்வெளியில் தேர்வு செய்து, அதை பலகோணத்தின் ஒவ்வொரு முனையுடனும் இணைப்போம். ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு கொண்ட ஒரு உருவத்தைப் பெறுவோம், இது n-gonal பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஐங்கோண பிரமிடு எப்படி இருக்கும் என்பதை கீழே உள்ள படத்தில் காண்போம்.

எந்தவொரு பிரமிட்டின் இரண்டு முக்கிய கூறுகள் அதன் அடிப்படை (n-gon) மற்றும் அதன் உச்சம். இந்த உறுப்புகள் n முக்கோணங்களால் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன, அவை பொதுவாக ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்காது. மேலிருந்து அடிப்பகுதிக்கு செங்குத்தாக இறங்குவது உருவத்தின் உயரம் எனப்படும். இது வடிவியல் மையத்தில் அடித்தளத்தை வெட்டினால் (பலகோணத்தின் வெகுஜன மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது), அத்தகைய பிரமிடு ஒரு நேர் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த நிலைக்கு கூடுதலாக, அடிப்படை ஒரு வழக்கமான பலகோணமாக இருந்தால், முழு பிரமிடும் வழக்கமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. வழக்கமான பிரமிடுகள் முக்கோண, நாற்கர, ஐங்கோண மற்றும் அறுகோண தளங்களுடன் எப்படி இருக்கும் என்பதை கீழே உள்ள படம் காட்டுகிறது.

பிரமிட்டின் மேற்பரப்பு

ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பற்றிய கேள்விக்கு செல்வதற்கு முன், மேற்பரப்பின் கருத்தை நாம் இன்னும் விரிவாகக் கூற வேண்டும்.

மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, எந்த பிரமிடும் முகங்கள் அல்லது பக்கங்களின் தொகுப்பால் உருவாகிறது. ஒரு பக்கம் அடிப்படை மற்றும் n பக்கங்கள் முக்கோணங்கள். முழு உருவத்தின் மேற்பரப்பு அதன் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

ஒரு உருவத்தின் வளர்ச்சியின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு மேற்பரப்பைப் படிப்பது வசதியானது. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடுக்கான வளர்ச்சி கீழே உள்ள புள்ளிவிவரங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

அதன் பரப்பளவு ஒரே மாதிரியான ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்களின் நான்கு பகுதிகள் மற்றும் ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவுக்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

ஒரு உருவத்தின் பக்கங்களை உருவாக்கும் அனைத்து முக்கோணங்களின் மொத்த பரப்பளவு பொதுவாக பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடுக்கு அதை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை அடுத்து காண்பிப்போம்.

ஒரு நாற்கர வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு

சுட்டிக்காட்டப்பட்ட உருவத்தின் பக்கவாட்டு பரப்பளவைக் கணக்கிட, மேலே உள்ள வளர்ச்சிக்கு மீண்டும் திரும்புவோம். சதுர தளத்தின் பக்கம் நமக்குத் தெரியும் என்று வைத்துக் கொள்வோம். அதை a என்ற குறியீட்டால் குறிப்போம். ஒரே மாதிரியான நான்கு முக்கோணங்களில் ஒவ்வொன்றும் நீளத்தின் அடித்தளத்தைக் கொண்டிருப்பதைக் காணலாம். அவற்றின் மொத்த பரப்பளவைக் கணக்கிட, ஒரு முக்கோணத்திற்கான இந்த மதிப்பை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒரு முக்கோணத்தின் S t பகுதியானது அடித்தளத்தின் பெருக்கத்திற்கும் உயரத்திற்கும் சமம் என்பதை வடிவியல் பாடத்தில் இருந்து நாம் அறிவோம், இது பாதியாக பிரிக்கப்பட வேண்டும். அதாவது:

இங்கு h b என்பது ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் உயரம் a அடிப்பகுதிக்கு வரையப்பட்டது. ஒரு பிரமிடுக்கு, இந்த உயரம் ஒரு அபிநயம். கேள்விக்குரிய பிரமிடுக்கான பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் S b பகுதியைப் பெற, விளைவான வெளிப்பாட்டை 4 ஆல் பெருக்க வேண்டும்:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

இந்த சூத்திரத்தில் இரண்டு அளவுருக்கள் உள்ளன: அபோதெம் மற்றும் அடித்தளத்தின் பக்கம். பெரும்பாலான சிக்கல் நிலைகளில் பிந்தையது தெரிந்தால், முந்தையதை மற்ற அளவுகளை அறிந்து கணக்கிட வேண்டும். இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கான apothem h b ஐக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் இங்கே உள்ளன:

• பக்க விலா எலும்பின் நீளம் அறியப்படும் போது;
• பிரமிட்டின் உயரம் தெரியும் போது.

L என்ற குறியீட்டால் பக்கவாட்டு விளிம்பின் நீளத்தை (சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கம்) குறிக்கிறோம் என்றால், h b என்பது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

h b = √(L 2 - a 2/4).

இந்த வெளிப்பாடு பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு முக்கோணத்திற்கு பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவாகும்.

பிரமிட்டின் உயரம் h அறியப்பட்டால், apothem h b ஐ பின்வருமாறு கணக்கிடலாம்:

h b = √(h 2 + a 2/4).

கால்கள் h மற்றும் a/2 மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் h b ஆகியவற்றால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு வலது கோண முக்கோணத்தை பிரமிடுக்குள் நாம் கருத்தில் கொண்டால் இந்த வெளிப்பாட்டைப் பெறுவது கடினம் அல்ல.

இரண்டு சுவாரஸ்யமான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் இந்த சூத்திரங்களை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் காண்பிப்போம்.

அறியப்பட்ட மேற்பரப்பு பகுதியில் சிக்கல்

நாற்கரத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு 108 செமீ 2 என்று அறியப்படுகிறது. பிரமிட்டின் உயரம் 7 சென்டிமீட்டர் என்றால் அதன் அபோதெம் h b இன் நீளத்தை கணக்கிடுவது அவசியம்.

பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் S b பகுதிக்கான சூத்திரத்தை உயரத்தின் அடிப்படையில் எழுதுவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

S b = 2*√(h 2 + a 2/4) *a.

இங்கே நாம் S b க்கான வெளிப்பாடாக பொருத்தமான அபோதெம் சூத்திரத்தை வெறுமனே மாற்றியமைத்தோம். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் சதுரமாக்குவோம்:

S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.

a இன் மதிப்பைக் கண்டறிய, நாம் மாறிகளின் மாற்றத்தைச் செய்கிறோம்:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

இப்போது நாம் அறியப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றி, இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

இந்த சமன்பாட்டின் நேர்மறை மூலத்தை மட்டுமே நாங்கள் எழுதியுள்ளோம். பின்னர் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கங்கள் சமமாக இருக்கும்:

a = √t = √47.8355 ≈ 6.916 செ.மீ.

apothem இன் நீளத்தைப் பெற, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

h b = √(h 2 + a 2/4) = √(7 2 + 6.916 2/4) ≈ 7.808 செ.மீ.

சேப்ஸ் பிரமிட்டின் பக்க மேற்பரப்பு

மிகப் பெரிய எகிப்திய பிரமிடுக்கான பக்கவாட்டுப் பரப்பின் மதிப்பைத் தீர்மானிப்போம். அதன் அடிவாரத்தில் 230.363 மீட்டர் பக்க நீளம் கொண்ட ஒரு சதுரம் உள்ளது என்று அறியப்படுகிறது. கட்டிடத்தின் உயரம் ஆரம்பத்தில் 146.5 மீட்டர். இந்த எண்களை S b க்கான தொடர்புடைய சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம், நாம் பெறுகிறோம்:

S b = 2*√(h 2 + a 2/4) *a = 2*√(146.5 2 +230.363 2/4)*230.363 ≈ 85860 m 2.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பு 17 கால்பந்து மைதானங்களின் பரப்பளவை விட சற்று பெரியது.

பிரமிட்- பலகோணங்கள் மற்றும் முக்கோணங்களிலிருந்து உருவாகும் பாலிஹெட்ரானின் வகைகளில் ஒன்று, அவை அடிவாரத்தில் அமைந்துள்ளன மற்றும் அதன் முகங்களாகும்.

மேலும், பிரமிட்டின் உச்சியில் (அதாவது ஒரு கட்டத்தில்) அனைத்து முகங்களும் ஒன்றுபட்டுள்ளன.

ஒரு பிரமிட்டின் பரப்பளவைக் கணக்கிட, அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பல முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். மேலும் நாம் அவர்களின் பகுதிகளை பயன்படுத்தி எளிதாக கண்டுபிடிக்க முடியும்

பல்வேறு சூத்திரங்கள். முக்கோணங்களைப் பற்றி நமக்குத் தெரிந்த தரவுகளைப் பொறுத்து, அவற்றின் பகுதியைத் தேடுகிறோம்.

முக்கோணங்களின் பரப்பளவைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தக்கூடிய சில சூத்திரங்களை நாங்கள் பட்டியலிடுகிறோம்:

1. S = (a*h)/2 . இந்த வழக்கில், முக்கோணத்தின் உயரம் நமக்குத் தெரியும் ம , இது பக்கமாக குறைக்கப்படுகிறது அ .
2. S = a*b*sinβ . இங்கே முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் உள்ளன அ , பி , மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . இங்கே முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் உள்ளன a, b, c . ஒரு முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆர் .
4. S = (a*b*c)/4*R . ஒரு முக்கோணத்தைச் சுற்றியுள்ள வட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆர் .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . முக்கோணம் வலது கோணத்தில் இருக்கும்போது மட்டுமே இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
6. S = (a²*√3)/4 . இந்த சூத்திரத்தை ஒரு சமபக்க முக்கோணத்திற்குப் பயன்படுத்துகிறோம்.

நமது பிரமிட்டின் முகங்களாக இருக்கும் அனைத்து முக்கோணங்களின் பகுதிகளையும் கணக்கிட்ட பின்னரே, அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவைக் கணக்கிட முடியும். இதைச் செய்ய, மேலே உள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம்.

ஒரு பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கணக்கிட, எந்த சிரமமும் ஏற்படாது: அனைத்து முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதை சூத்திரத்துடன் வெளிப்படுத்துவோம்:

Sp = ΣSi

இங்கே எஸ்.ஐ முதல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, மற்றும் எஸ் n - பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு வழக்கமான பிரமிடு கொடுக்கப்பட்டால், அதன் பக்கவாட்டு முகங்கள் பல சமபக்க முக்கோணங்களால் உருவாகின்றன,

« நமது மனத் திறன்களைக் கூர்மைப்படுத்துவதற்கான மிக சக்திவாய்ந்த கருவி வடிவியல் ஆகும்».

கலிலியோ கலிலி.

மற்றும் சதுரம் பிரமிட்டின் அடிப்படை. மேலும், பிரமிட்டின் விளிம்பு 17 செமீ நீளம் கொண்டது, இந்த பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்.

நாங்கள் இதைப் பற்றி நியாயப்படுத்துகிறோம்: பிரமிட்டின் முகங்கள் முக்கோணங்கள், அவை சமபக்கமானவை என்பதை நாங்கள் அறிவோம். இந்த பிரமிட்டின் விளிம்பு நீளம் என்ன என்பதையும் நாம் அறிவோம். அனைத்து முக்கோணங்களும் சமமான பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் அவற்றின் நீளம் 17 செ.மீ.

இந்த முக்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவையும் கணக்கிட, நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 செமீ²

எனவே, சதுரம் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் உள்ளது என்பதை நாம் அறிந்திருப்பதால், நமக்கு நான்கு சமபக்க முக்கோணங்கள் உள்ளன என்று மாறிவிடும். இதன் பொருள் பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு பரப்பளவை பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எளிதாகக் கணக்கிடலாம்: 125.137 செமீ² * 4 = 500.548 செமீ²

எங்கள் பதில் பின்வருமாறு: 500.548 செமீ² - இது இந்த பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு.

கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராகும் போது, ​​மாணவர்கள் இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலின் அறிவை முறைப்படுத்த வேண்டும். அறியப்பட்ட அனைத்து தகவல்களையும் இணைக்க விரும்புகிறேன், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பிரமிட்டின் பரப்பளவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது. மேலும், அடிப்படை மற்றும் பக்க விளிம்புகளில் இருந்து முழு மேற்பரப்பு பகுதி வரை. பக்க முகங்களின் நிலைமை தெளிவாக இருந்தால், அவை முக்கோணங்களாக இருப்பதால், அடித்தளம் எப்போதும் வித்தியாசமாக இருக்கும்.

பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

இது முற்றிலும் எந்த உருவமாகவும் இருக்கலாம்: தன்னிச்சையான முக்கோணத்திலிருந்து n-gon வரை. இந்த அடிப்படை, கோணங்களின் எண்ணிக்கையில் உள்ள வேறுபாட்டிற்கு கூடுதலாக, ஒரு வழக்கமான உருவமாகவோ அல்லது ஒழுங்கற்றதாகவோ இருக்கலாம். பள்ளி மாணவர்களுக்கு ஆர்வமுள்ள ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு பணிகளில், அடிப்பகுதியில் சரியான புள்ளிவிவரங்களைக் கொண்ட பணிகள் மட்டுமே உள்ளன. எனவே, நாங்கள் அவர்களைப் பற்றி மட்டுமே பேசுவோம்.

வழக்கமான முக்கோணம்

அதாவது சமபக்கமானது. அனைத்து பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும் மற்றும் "a" என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படும் ஒன்று. இந்த வழக்கில், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

S = (a 2 * √3) / 4.

சதுரம்

அதன் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் எளிமையானது, இங்கே "a" மீண்டும் பக்கமாகும்:

தன்னிச்சையான வழக்கமான n-gon

பலகோணத்தின் பக்கமும் ஒரே குறியீட்டைக் கொண்டுள்ளது. கோணங்களின் எண்ணிக்கைக்கு, லத்தீன் எழுத்து n பயன்படுத்தப்படுகிறது.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

பக்கவாட்டு மற்றும் மொத்த பரப்பளவைக் கணக்கிடும்போது என்ன செய்வது?

அடிப்படை ஒரு வழக்கமான உருவமாக இருப்பதால், பிரமிட்டின் அனைத்து முகங்களும் சமமாக இருக்கும். மேலும், அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணமாகும், ஏனெனில் பக்க விளிம்புகள் சமமாக இருக்கும். பின்னர், பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு பகுதியைக் கணக்கிட, ஒரே மாதிரியான மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கொண்ட ஒரு சூத்திரம் உங்களுக்குத் தேவைப்படும். சொற்களின் எண்ணிக்கை அடித்தளத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது, இதில் அடித்தளத்தின் பாதி உற்பத்தி உயரத்தால் பெருக்கப்படுகிறது. பிரமிட்டில் உள்ள இந்த உயரம் அபோதெம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் பெயர் "A". பக்கவாட்டு மேற்பரப்புக்கான பொதுவான சூத்திரம்:

S = ½ P*A, இங்கு P என்பது பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு.

அடித்தளத்தின் பக்கங்கள் அறியப்படாத சூழ்நிலைகள் உள்ளன, ஆனால் பக்க விளிம்புகள் (c) மற்றும் அதன் உச்சியில் (α) தட்டையான கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு பகுதியைக் கணக்கிட பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

S = n/2 * in 2 sin α .

பணி எண் 1

நிபந்தனை.பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி 4 செமீ பக்கமும், அபோதெம் மதிப்பு √3 சென்டிமீட்டரும் இருந்தால் அதன் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.அடித்தளத்தின் சுற்றளவைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் நீங்கள் தொடங்க வேண்டும். இது ஒரு வழக்கமான முக்கோணம் என்பதால், பி = 3*4 = 12 செ.மீ.

அடிவாரத்தில் உள்ள முக்கோணத்திற்கு, பின்வரும் பகுதி மதிப்பைப் பெறுவீர்கள்: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 செமீ 2.

முழுப் பகுதியையும் தீர்மானிக்க, நீங்கள் இரண்டு விளைவான மதிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும்: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

பதில். 10√3 செமீ 2.

பிரச்சனை எண் 2

நிபந்தனை. வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு உள்ளது. அடிப்படை பக்கத்தின் நீளம் 7 மிமீ, பக்க விளிம்பு 16 மிமீ. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறிய வேண்டியது அவசியம்.

தீர்வு.பாலிஹெட்ரான் நாற்கோணமாகவும் ஒழுங்காகவும் இருப்பதால், அதன் அடிப்பகுதி ஒரு சதுரமாகும். அடித்தளம் மற்றும் பக்க முகங்களின் பரப்பளவை நீங்கள் அறிந்தவுடன், நீங்கள் பிரமிட்டின் பரப்பளவைக் கணக்கிட முடியும். சதுரத்திற்கான சூத்திரம் மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. பக்க முகங்களுக்கு, முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களும் அறியப்படுகின்றன. எனவே, நீங்கள் ஹெரானின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் பகுதிகளைக் கணக்கிடலாம்.

முதல் கணக்கீடுகள் எளிமையானவை மற்றும் பின்வரும் எண்ணுக்கு வழிவகுக்கும்: 49 மிமீ 2. இரண்டாவது மதிப்புக்கு, நீங்கள் அரை சுற்றளவு கணக்கிட வேண்டும்: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 மிமீ. இப்போது நீங்கள் ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடலாம்: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 மிமீ 2. இதுபோன்ற நான்கு முக்கோணங்கள் மட்டுமே உள்ளன, எனவே இறுதி எண்ணைக் கணக்கிடும்போது அதை 4 ஆல் பெருக்க வேண்டும்.

இது மாறிவிடும்: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 மிமீ 2.

பதில். விரும்பிய மதிப்பு 267.576 மிமீ 2 ஆகும்.

பிரச்சனை எண் 3

நிபந்தனை. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடுக்கு, நீங்கள் பகுதியை கணக்கிட வேண்டும். சதுரத்தின் பக்கம் 6 செமீ என்றும் உயரம் 4 செமீ என்றும் அறியப்படுகிறது.

தீர்வு.சுற்றளவு மற்றும் அபோதெம் ஆகியவற்றின் தயாரிப்புடன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது எளிதான வழி. முதல் மதிப்பு கண்டுபிடிக்க எளிதானது. இரண்டாவது இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது.

நாம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நினைவில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டும் மற்றும் இது பிரமிட்டின் உயரம் மற்றும் அபோதெம் ஆகியவற்றின் உயரத்தால் உருவாகிறது, இது ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகும். பாலிஹெட்ரானின் உயரம் அதன் நடுவில் விழுவதால், இரண்டாவது கால் சதுரத்தின் பாதி பக்கத்திற்கு சமம்.

தேவையான apothem (செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைபோடென்யூஸ்) √(3 2 + 4 2) = 5 (cm) க்கு சமம்.

இப்போது நீங்கள் தேவையான மதிப்பைக் கணக்கிடலாம்: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

பதில். 96 செமீ 2.

பிரச்சனை எண். 4

நிபந்தனை.சரியான பக்கம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: அதன் அடித்தளத்தின் பக்கங்கள் 22 மிமீ, பக்க விளிம்புகள் 61 மிமீ. இந்த பாலிஹெட்ரானின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு என்ன?

தீர்வு.இதில் உள்ள தர்க்கம் பணி எண் 2 இல் விவரிக்கப்பட்டுள்ளதைப் போன்றது. அடிவாரத்தில் ஒரு சதுரத்துடன் ஒரு பிரமிடு மட்டுமே கொடுக்கப்பட்டது, இப்போது அது ஒரு அறுகோணமாக உள்ளது.

முதலில், மேற்கூறிய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அடிப்படைப் பகுதி கணக்கிடப்படுகிறது: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

இப்போது நீங்கள் ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இது பக்க முகமாகும். (22+61*2):2 = 72 செ.மீ., ஹெரானின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவையும் கணக்கிட்டு, அதை ஆறால் பெருக்கி, அடித்தளத்திற்குப் பெறப்பட்டவற்றுடன் சேர்ப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது.

ஹெரானின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகள்: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 செமீ 2. பக்கவாட்டு பரப்பளவைக் கொடுக்கும் கணக்கீடுகள்: 660 * 6 = 3960 செமீ 2. முழு மேற்பரப்பையும் கண்டறிய அவற்றைச் சேர்க்க வேண்டும்: 5217.47≈5217 செமீ 2.

பதில்.அடித்தளம் 726√3 செமீ2, பக்க மேற்பரப்பு 3960 செமீ2, முழு பகுதி 5217 செமீ2.