ஒரு பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பு. ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பு

1. செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டறிந்து, அதில் முழுப் பகுதியும் உள்ளதா எனச் சரிபார்க்கவும்.

2. பிரிவில் உள்ள அனைத்து நிலையான புள்ளிகளையும் தீர்மானிக்கவும். இதைச் செய்ய, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடித்து, அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, அதன் விளைவாக சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, பொருத்தமான வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

3. நிலையான புள்ளிகள் எதுவும் இல்லை அல்லது அவை எதுவும் பிரிவில் வரவில்லை என்றால், அடுத்த புள்ளிக்குச் செல்லவும்.

4. செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நிலையான புள்ளிகளில் (ஏதேனும் இருந்தால்), அதே போல் x = a மற்றும் x = b இல் கணக்கிடுகிறோம்.

5. பெறப்பட்ட செயல்பாட்டு மதிப்புகளிலிருந்து, மிகப்பெரிய மற்றும் சிறியதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் - அவை நாம் தேடும் ஒன்றாக இருக்கும்.

10) குவிவு (குழிவு) போதுமான நிலை.இருமுறை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் X தொகுப்பில் நேர்மறையாக (எதிர்மறையாக) இருந்தால், இந்த தொகுப்பில் செயல்பாடு கீழ்நோக்கி (மேல்நோக்கி) குவிந்திருக்கும்.

11) ஊடுருவல் புள்ளிகளுக்கு தேவையான நிபந்தனை. ஊடுருவல் புள்ளி x0 இல் இரண்டு முறை தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் f""(x) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது. f""(x0) = 0.

12) ஊடுருவல் புள்ளிகளுக்கு போதுமான நிபந்தனை.இருமுறை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் x0 புள்ளியைக் கடக்கும்போது அதன் அடையாளத்தை மாற்றினால், அதில் f""(x0) = 0, அதன் வரைபடத்தின் ஊடுருவல் புள்ளி x0 ஆகும்.

6.பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் வேறுபட்ட கால்குலஸ்.

செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் z = f(x,y) செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புகளின் விகிதத்தின் வரம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன z = z(x,y)திசைகளில் தொடர்புடைய வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு ஓஅல்லது ஓமணிக்கு Δx → 0மற்றும் Δу → 0முறையே:

x ஐப் பொறுத்தவரை பகுதி வழித்தோன்றல்:

கணக்கிடும் போது, ​​y = const என்று கருதுங்கள்.

y தொடர்பான பகுதி வழித்தோன்றல்:

கணக்கிடும் போது, ​​x = const ஐக் கவனியுங்கள்.

இரண்டு மாறிகளின் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வாதங்களின் அனைத்து ஜோடி மதிப்புகளின் தொகுப்பு G அழைக்கப்படுகிறது இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம்.

z = f(x,y) சார்பு அழைக்கப்படுகிறது தொடர்ச்சியானபுள்ளி M0(x0,y0) இல், அது இந்த புள்ளியில் வரையறுக்கப்பட்டால் மற்றும் அதன் சுற்றுப்புறம் மற்றும் திருப்தி

எண் A அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் வரம்பு z = f(x,y) புள்ளியில் M0(x0,y0):

செயல்பாட்டின் மொத்த அதிகரிப்பின் நேரியல் (டெல்டா x மற்றும் டெல்டா IG உடன் தொடர்புடையது) பகுதி அழைக்கப்படுகிறது முழு வேறுபாடுமற்றும் dz ஆல் குறிக்கப்படுகிறது:

டீக்ஸ் மற்றும் டீக்ரிக் ஆகியவை சுயாதீன மாறிகளின் வேறுபாடுகள், அவை வரையறையின்படி, தொடர்புடைய அதிகரிப்புக்கு சமம்

புள்ளி (x 0; y 0)ஒரு புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது அதிகபட்ச செயல்பாடு z = f(x; y) (x 0; y 0)க்கு

= <δ f(x; y)≤ f(x 0; y 0).

புள்ளி (x 0; y 0)ஒரு புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச செயல்பாடு z = f(x; y) , புள்ளியின் அக்கம் பக்கத்தில் எல்லா இடங்களிலும் இருந்தால் (x 0; y 0)க்கு

= <δ f(x; y) ≥ f(x 0; y 0).

சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பு இருக்கட்டும் . கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் மேற்பரப்பில் உள்ள கோடுகளுக்கு அனைத்து தொடுகோடுகளும் அமைந்துள்ள விமானம் , அழைக்கப்பட்டது தொடுகோடு விமானம்புள்ளி M0 இல் மேற்பரப்புக்கு.

ஒரு புள்ளி வழியாக வரையப்பட்ட ஒரு நேர்கோடு மேற்பரப்புகள் , தொடுவான விமானத்திற்கு செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகிறது மேற்பரப்புக்கு இயல்பானது.

மேற்பரப்பு சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்பட்டால் , பின்னர் புள்ளியில் இந்த மேற்பரப்புக்கு தொடுவான விமானத்தின் சமன்பாடு வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது: , மற்றும் அதே புள்ளியில் மேற்பரப்புக்கு இயல்பான சமன்பாடு வடிவத்தில் உள்ளது:

வேறுபாட்டிற்கு தேவையான நிபந்தனைகள்:ஒரு புள்ளி x0 இல் ஒரு சார்பு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், இந்த கட்டத்தில் அது அனைத்து மாறிகள் தொடர்பாக பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது, x0 புள்ளியில் ஒரு சார்பு வேறுபட்டால், அது இந்த கட்டத்தில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

வேறுபாட்டிற்கு போதுமான நிபந்தனைகள்: x0 புள்ளியின் சில பகுதியில் f() செயல்பாடு வரையறுக்கப்படட்டும். இந்த அருகாமையில் உள்ள ஒரு சார்பு அனைத்து மாறிகளையும் பொறுத்து தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கட்டும், இந்த கட்டத்தில் f சார்பு வேறுபடுத்தப்படும்.

முன்நிபந்தனைகள்ஒரு உச்சநிலையின் இருப்பு : அல்லது குறைந்தது ஒரு பகுதி வழித்தோன்றல் இல்லை.

போதுமான நிபந்தனைகள்ஒரு உச்சநிலையின் இருப்பு இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடுகள்:என்றால் > 0

பிறகு அ) > 0 செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் ( நிமிடம்)

IN) < 0 செயல்பாடு அதிகபட்சம் ( அதிகபட்சம்)

என்றால்<0 என்று உச்சநிலை இல்லை.

என்றால்= 0, பின்னர் உயர் ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி கூடுதல் ஆராய்ச்சி அவசியம்.

சிக்கலான எண்கள்

வரையறைகள்:

1) சிக்கலான எண்- உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் விரிவாக்கம், பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு கலப்பு எண்ணையும் முறையான தொகையாகக் குறிப்பிடலாம், அங்கு உண்மையான எண்கள் மற்றும் கற்பனை அலகு ஆகும்.

2) ஒரு கலப்பு எண்ணை படிவத்தில் எழுதுவது , எனப்படும் இயற்கணித வடிவம்சிக்கலான எண்.

3) எண்ணுடன் தொடர்புடைய புள்ளியின் ஆரம் வெக்டரின் கோணம் (ரேடியன்களில்) அழைக்கப்படுகிறது வாதம்எண்கள் மற்றும் ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

4) தொகுதிஒரு கலப்பு எண் என்பது சிக்கலான விமானத்தின் தொடர்புடைய புள்ளியின் ஆரம் திசையன் நீளம் (அல்லது, இந்த எண்ணுடன் தொடர்புடைய சிக்கலான விமானத்தின் புள்ளிக்கும் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்திற்கும் இடையிலான தூரம்).

ஒரு கலப்பு எண்ணின் மாடுலஸ் என்பது வெளிப்பாட்டால் குறிக்கப்பட்டு வரையறுக்கப்படுகிறது . பெரும்பாலும் எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகிறது அல்லது . இது ஒரு உண்மையான எண்ணாக இருந்தால், அது இந்த உண்மையான எண்ணின் முழுமையான மதிப்புடன் ஒத்துப்போகிறது.

5) ஒரு கலப்பு எண் என்றால், அந்த எண் அழைக்கப்படுகிறது இணை(அல்லது சிக்கலான இணைப்பு) க்கு (மேலும் குறிக்கப்படுகிறது). சிக்கலான விமானத்தில், இணை எண்கள் உண்மையான அச்சுடன் தொடர்புடைய ஒருவருக்கொருவர் கண்ணாடிப் படங்களாகப் பெறப்படுகின்றன. இணை எண்ணின் மாடுலஸ் அசல் ஒன்றைப் போலவே உள்ளது, மேலும் அவற்றின் வாதங்கள் அடையாளத்தில் வேறுபடுகின்றன.

6) ஒரு கலப்பு எண்ணின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகள் மாடுலஸ் மற்றும் வாதம் ( , ) மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்டால், பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர எந்த கலப்பு எண்ணையும் எழுதலாம் முக்கோணவியல் வடிவங்கள்இ

7) வரையறை சிக்கலான எண்களின் தயாரிப்புகள் a + b·i மற்றும் a′ + b′i எண்களை இயற்கணித இருசொற்களாகப் பெருக்க முடியும், மேலும் i எண்ணில் i 2 =−1 என்ற பண்பு உள்ளது.

8) தன்னிச்சையான இயற்கை எண்ணாக இருக்கட்டும் . ஒரு கலப்பு எண்ணின் n வது வேர் z என்பது ஒரு கலப்பு எண்.

9) சிக்கலான எண்களை எழுதும் அதிவேக வடிவம்

ஒரு சிக்கலான அடுக்குக்கு அடுக்கு விரிவாக்கம் எங்கே.

பண்புகள் மற்றும் கோட்பாடுகள்:

1) இயற்கணித வடிவில் உள்ள இரண்டு கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்ஒரு கலப்பு எண், அதன் மாடுலஸ் காரணிகளின் மாடுலியின் பெருக்கத்திற்கு சமம், மற்றும் அதன் வாதம் காரணிகளின் வாதங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

2) பொருட்டு முக்கோணவியல் வடிவத்தில் இரண்டு கலப்பு எண்களை பெருக்கவும்பதிவுகள் அவற்றின் தொகுதிகளால் பெருக்கப்பட வேண்டும், மேலும் வாதங்கள் சேர்க்கப்பட வேண்டும். முக்கோணவியல் வடிவத்தில் எழுதப்பட்ட இரண்டு தன்னிச்சையான கலப்பு எண்கள் எங்கே, எங்கே மற்றும் , எங்கே. பிறகு .

3) Moivre இன் சூத்திரம்கலப்பு எண்களுக்கு எதற்கும் என்று கூறுகிறது

4) பொருட்டு ஒரு கலப்பு எண்ணை வகுக்கவும் (அ 1 + பி 1 i) மற்றொரு கலப்பு எண்ணுக்கு ( அ 2 + பி 2 i), அதாவது கண்டுபிடி , நீங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பு இரண்டையும் வகுப்போடு இணைந்த எண்ணால் பெருக்க வேண்டும்.

5)

8.ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்.

1) ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்

ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் (a,b) வேறுபடுத்தக்கூடிய F(x) சார்பு, ஒவ்வொரு x (a,b) க்கும் சமத்துவம் உண்மையாக இருந்தால், இந்த இடைவெளியில் f(x) செயல்பாட்டிற்கு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் எனப்படும்.

2) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு

ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் f(x) செயல்பாட்டிற்கு F(x) எதிர்வழியாக இருந்தால், F(x)+C என்ற வெளிப்பாடு f(x) செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு என அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது.

3) திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு மூலம் f(x) கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில், அதன் ஆண்டிடெரிவேட்டிவின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பைக் குறிக்கிறோம், அதாவது.

4) இடைவிடாத செயல்பாட்டின் முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு

f(x) சார்பு தொடர்ந்து a ≤x≤b ஆகவும், x=b இல் தொடர்ச்சியற்ற புள்ளியாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் தொடர்ச்சியற்ற செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

மற்றும் சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள வரம்பு இருக்கிறதா இல்லையா என்பதைப் பொறுத்து குவிந்து அல்லது வேறுபட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

5) எல்லையற்ற ஒருங்கிணைப்பு இடைவெளியுடன் முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு

a≤x≤b+∞க்கு f(x) சார்பு தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். பின்னர் வரையறை மூலம்

வரம்பு இருந்தால், சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு ஒருமுகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் அதன் மதிப்பு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது; இல்லையெனில், சமத்துவம் அதன் அர்த்தத்தை இழக்கிறது, இடதுபுறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பானது வேறுபட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் அதற்கு எண் மதிப்பு எதுவும் ஒதுக்கப்படவில்லை.

பண்புகள் மற்றும் கோட்பாடுகள்

6) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம்

7) பகுதியளவு-பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பதற்கான விதிகளை உருவாக்கவும்

1. எண்ணை வகுப்பால் வகுக்கவும்

2. Q(x) =(x- )(x-)…

3. நாம் பின்னத்தை எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக விரிவுபடுத்துகிறோம்; ; ; ;

வகை 1 மற்றும் 2 இன் பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்பு, 3 மற்றும் 4 என்ற வேறுபாடு அடையாளத்தின் கீழ் செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்தி, முதலில் வகுப்பில் ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது.

8) முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பதற்கான விதியை உருவாக்கவும்

9) ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளை உருவாக்கவும்

1. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு ஒருங்கிணைப்பு மாறியின் பதவியைப் பொறுத்தது அல்ல, அதாவது.

2. அதே வரம்புகளைக் கொண்ட திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்

3. ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை மறுசீரமைக்கும்போது, ​​திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு அதன் அடையாளத்தை எதிர்க்கு மாற்றுகிறது

4. ஒருங்கிணைப்பு இடைவெளியானது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பகுதி இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டால், அந்த இடைவெளியில் எடுக்கப்பட்ட திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது அதன் அனைத்து பகுதி இடைவெளிகளிலும் எடுக்கப்பட்ட திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாகும்.

5. நிலையான காரணியை திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்

6. வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் இயற்கணிதத் தொகையின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு, இந்தச் சார்புகளின் அதே இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்.

10) நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்

ஒரு இடைவெளியில் f என்பது தொடர்ச்சியாகவும், F என்பது இந்த இடைவெளியில் ஏதேனும் எதிர்ப்பொருளாகவும் இருந்தால், சமத்துவம் உள்ளது

11) ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம்

சுருக்கத்திற்கு, நாம் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்

2) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளை உருவாக்கவும்

1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம், மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்

2. தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, இந்தச் சார்புக்கு ஒரு நிலையான காலவரை சமமாக இருக்கும்.

3. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து பூஜ்ஜியம் அல்லாத நிலையான காரணி எடுக்கப்படலாம்

4. வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தொடர்ச்சியான சார்புகளின் இயற்கணிதத் தொகையின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, இந்தச் சார்புகளின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அதே இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்.

5) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில் மாறியின் மாற்றம்

நாம் ஒருங்கிணைந்ததைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒரு புதிய மாறி t ஐ அறிமுகப்படுத்துவோம், x= (t) அமைப்போம், அங்கு (t) என்பது ஒரு தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலுடன் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு ஆகும், இது t=Ψ(t) என்ற தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர், ஒருங்கிணைத்த பிறகு வலது பக்கத்தில், ஒருவர் t=Ψ(x) ஐ மாற்ற வேண்டும்.

3) ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை

மடக்கைகள்

அதிவேக செயல்பாடுகள்

பகுத்தறிவற்ற செயல்பாடுகள்

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்

12) ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பில் மாறியின் மாற்றம்

f(x) சார்பு இடைவெளியில் தொடர்கிறது, x= (t) சார்பு இடைவேளையில் [, a≤ (t)≤b மற்றும் =a, =b உடன் தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது.

13) ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல்

f(x) சார்பு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். f(x)≥0 ஆன் என்றால், y=f(x), y=0, x=a, x=b என்ற கோடுகளால் கட்டப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படும்:

f(x)≤0 on என்றால், –f(x)≥0 on . எனவே, தொடர்புடைய வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி S சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது

துருவ ஆயங்களில்

ஒரு நடைமுறைக் கண்ணோட்டத்தில், ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிய வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்துவதில் மிகப்பெரிய ஆர்வம் உள்ளது. இது எதனுடன் தொடர்புடையது? லாபத்தை அதிகரிப்பது, செலவுகளைக் குறைத்தல், உபகரணங்களின் உகந்த சுமையை தீர்மானித்தல் ... வேறுவிதமாகக் கூறினால், வாழ்க்கையின் பல பகுதிகளில் சில அளவுருக்களை மேம்படுத்துவதில் உள்ள சிக்கல்களை நாம் தீர்க்க வேண்டும். மேலும் இவை ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியும் பணிகளாகும்.

ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புகள் பொதுவாக ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் X இல் தேடப்படுகின்றன என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், இது செயல்பாட்டின் முழு டொமைன் அல்லது வரையறையின் டொமைனின் பகுதியாகும். இடைவெளி X என்பது ஒரு பிரிவாக இருக்கலாம், ஒரு திறந்த இடைவெளியாக இருக்கலாம் , எல்லையற்ற இடைவெளி.

இந்தக் கட்டுரையில் y=f(x) என்ற ஒரு மாறியின் வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிவது பற்றிப் பேசுவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பு - வரையறைகள், விளக்கப்படங்கள்.

முக்கிய வரையறைகளை சுருக்கமாகப் பார்ப்போம்.

செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பு யாருக்கும் என்று சமத்துவமின்மை உண்மை.

செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பு X இடைவெளியில் உள்ள y=f(x) அத்தகைய மதிப்பு எனப்படும் யாருக்கும் என்று சமத்துவமின்மை உண்மை.

இந்த வரையறைகள் உள்ளுணர்வு கொண்டவை: ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பு என்பது அப்சிஸ்ஸாவில் பரிசீலிக்கப்படும் இடைவெளியில் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பாகும்.

நிலையான புள்ளிகள்- இவை செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக மாறும் வாதத்தின் மதிப்புகள்.

மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியும் போது நமக்கு ஏன் நிலையான புள்ளிகள் தேவை? இந்த கேள்விக்கான பதில் ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது. இந்த தேற்றத்திலிருந்து, வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கு ஒரு கட்டத்தில் உச்சநிலை (உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் அல்லது உள்ளூர் அதிகபட்சம்) இருந்தால், இந்த புள்ளி நிலையானது. எனவே, செயல்பாடு பெரும்பாலும் இந்த இடைவெளியில் இருந்து நிலையான புள்ளிகளில் ஒன்றில் இடைவெளி X இல் அதன் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பை எடுக்கும்.

மேலும், இந்தச் செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் இல்லாத புள்ளிகளில் ஒரு செயல்பாடு அதன் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைப் பெறலாம், மேலும் செயல்பாடு தானே வரையறுக்கப்படுகிறது.

இந்த தலைப்பில் மிகவும் பொதுவான கேள்விகளில் ஒன்றிற்கு உடனடியாக பதிலளிப்போம்: "ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பை எப்போதும் தீர்மானிக்க முடியுமா"? இல்லை, எப்போதும் இல்லை. சில நேரங்களில் இடைவெளி X இன் எல்லைகள் செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தின் எல்லைகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன, அல்லது இடைவெளி X எல்லையற்றது. முடிவிலி மற்றும் வரையறையின் எல்லையில் உள்ள சில செயல்பாடுகள் எல்லையற்ற பெரிய மற்றும் எல்லையற்ற சிறிய மதிப்புகளை எடுக்கலாம். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைப் பற்றி எதுவும் கூற முடியாது.

தெளிவுக்காக, நாங்கள் ஒரு கிராஃபிக் விளக்கத்தை தருவோம். படங்களைப் பாருங்கள், நிறைய தெளிவாகிவிடும்.

பிரிவில்

முதல் படத்தில், செயல்பாடு [-6;6] பிரிவில் அமைந்துள்ள நிலையான புள்ளிகளில் மிகப்பெரிய (அதிகபட்சம் y) மற்றும் சிறிய (நிமிடம் y) மதிப்புகளை எடுக்கும்.

இரண்டாவது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வழக்கைக் கவனியுங்கள். பிரிவை மாற்றுவோம். இந்த எடுத்துக்காட்டில், செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பு ஒரு நிலையான புள்ளியில் அடையப்படுகிறது, மேலும் இடைவெளியின் வலது எல்லையுடன் தொடர்புடைய அப்சிஸ்ஸாவுடன் கூடிய புள்ளியில் மிகப்பெரியது.

படம் 3 இல், பிரிவின் எல்லைப் புள்ளிகள் [-3;2] செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளின் அப்சிசாஸ் ஆகும்.

திறந்த இடைவெளியில்

நான்காவது படத்தில், செயல்பாடு திறந்த இடைவெளியில் (-6;6) அமைந்துள்ள நிலையான புள்ளிகளில் மிகப்பெரிய (அதிகபட்சம் y) மற்றும் சிறிய (நிமிடம் y) மதிப்புகளை எடுக்கும்.

இடைவெளியில், மிகப்பெரிய மதிப்பைப் பற்றி எந்த முடிவும் எடுக்க முடியாது.

முடிவிலியில்

ஏழாவது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டில், செயல்பாடு abscissa x=1 உடன் நிலையான புள்ளியில் மிகப்பெரிய மதிப்பை (அதிகபட்சம் y) எடுக்கும், மேலும் சிறிய மதிப்பு (min y) இடைவெளியின் வலது எல்லையில் அடையப்படுகிறது. மைனஸ் இன்ஃபினிட்டியில், செயல்பாட்டு மதிப்புகள் அறிகுறியற்ற முறையில் y=3ஐ அணுகும்.

இடைவெளியில், செயல்பாடு சிறிய அல்லது பெரிய மதிப்பை அடையாது. வலதுபுறத்தில் இருந்து x=2 நெருங்கும்போது, ​​செயல்பாட்டு மதிப்புகள் மைனஸ் முடிவிலிக்கு முனைகின்றன (வரி x=2 ஒரு செங்குத்து அறிகுறியாகும்), மேலும் abscissa ஆனது முடிவிலியைக் கூட்டுவதால், செயல்பாட்டு மதிப்புகள் y=3 ஐ அறிகுறியில்லாமல் அணுகும். இந்த உதாரணத்தின் கிராஃபிக் விளக்கம் படம் 8 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்.

ஒரு பிரிவில் ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும் ஒரு வழிமுறையை எழுதுவோம்.

1. செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டறிந்து, அதில் முழுப் பகுதியும் உள்ளதா எனச் சரிபார்க்கிறோம்.
2. முதல் வழித்தோன்றல் இல்லாத மற்றும் பிரிவில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளையும் நாங்கள் காண்கிறோம் (வழக்கமாக இதுபோன்ற புள்ளிகள் மாடுலஸ் குறியின் கீழ் ஒரு வாதத்துடன் செயல்பாடுகளிலும் மற்றும் பின்னம்-பகுத்தறிவு அடுக்குடன் கூடிய சக்தி செயல்பாடுகளிலும் காணப்படுகின்றன). அத்தகைய புள்ளிகள் இல்லை என்றால், அடுத்த புள்ளிக்குச் செல்லவும்.
3. பிரிவில் உள்ள அனைத்து நிலையான புள்ளிகளையும் நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். இதைச் செய்ய, அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம், இதன் விளைவாக சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, பொருத்தமான வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். நிலையான புள்ளிகள் எதுவும் இல்லை அல்லது அவை எதுவும் பிரிவில் வரவில்லை என்றால், அடுத்த புள்ளிக்குச் செல்லவும்.
4. செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நிலையான புள்ளிகளில் (ஏதேனும் இருந்தால்), முதல் வழித்தோன்றல் இல்லாத புள்ளிகளில் (ஏதேனும் இருந்தால்), அதே போல் x=a மற்றும் x=b இல் கணக்கிடுகிறோம்.
5. செயல்பாட்டின் பெறப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து, நாங்கள் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறியதைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம் - அவை முறையே செயல்பாட்டின் தேவையான மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளாக இருக்கும்.

ஒரு பிரிவில் ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிய ஒரு உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

உதாரணம்.

செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைக் கண்டறியவும்

• பிரிவில்;
• பிரிவில் [-4;-1] .

தீர்வு.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் என்பது பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர, உண்மையான எண்களின் முழு தொகுப்பாகும். இரண்டு பிரிவுகளும் வரையறை டொமைனுக்குள் அடங்கும்.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

வெளிப்படையாக, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பிரிவுகளின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் உள்ளது மற்றும் [-4;-1].

சமன்பாட்டிலிருந்து நிலையான புள்ளிகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். ஒரே உண்மையான ரூட் x=2. இந்த நிலையான புள்ளி முதல் பிரிவில் விழுகிறது.

முதல் வழக்கில், பிரிவின் முனைகளிலும் நிலையான புள்ளியிலும், அதாவது x=1, x=2 மற்றும் x=4 ஆகியவற்றில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறோம்:

எனவே, செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பு x=1 மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்பில் அடையப்படுகிறது – x=2 இல்.

இரண்டாவது வழக்கில், பிரிவின் [-4;-1] முனைகளில் மட்டுமே செயல்பாட்டு மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறோம் (இது ஒரு நிலையான புள்ளியைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதால்):

மடக்கைகளுடன் கூடிய செயல்பாடுகள் (பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பு). இந்த கட்டுரை ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்களில் கவனம் செலுத்தும். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் சிக்கல்களின் குழு சேர்க்கப்பட்டுள்ளது - இவை மடக்கைகளில் உள்ள சிக்கல்கள். ஆராய்ச்சி செயல்பாடுகள் தொடர்பான பணிகள் வேறுபட்டவை. மடக்கை செயல்பாடுகளுக்கு கூடுதலாக, இருக்க முடியும்: முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுடன் செயல்பாடுகள், பின்னம்-பகுத்தறிவு செயல்பாடுகள் மற்றும் பிற.

எப்படியிருந்தாலும், "" கட்டுரையில் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ள கோட்பாட்டை மீண்டும் ஒருமுறை மதிப்பாய்வு செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன். நீங்கள் இந்த பொருளைப் புரிந்துகொண்டு, வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் நல்ல திறமை இருந்தால், இந்த தலைப்பில் எந்த பிரச்சனையும் சிரமமின்றி தீர்க்க முடியும்.

கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய அல்லது சிறிய மதிப்பைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறையை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

1. வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுங்கள்.

2. நாம் அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்.

3. இதன் விளைவாக வரும் வேர்கள் (வழித்தோன்றலின் பூஜ்ஜியங்கள்) இந்தப் பிரிவைச் சேர்ந்ததா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். சொந்தமானவற்றை நாங்கள் குறிக்கிறோம்.

4. பிரிவின் எல்லைகள் மற்றும் இந்த பிரிவுக்கு சொந்தமான புள்ளிகளில் (முந்தைய பத்தியில் பெறப்பட்ட) செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்.

பணிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

y=5x–ln (x+5) 5 செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்பைக் கண்டறியவும் பிரிவில் [–4.5;0].

இந்த இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பை இடைவெளியின் முனைகளிலும், தீவிர புள்ளிகளிலும், ஏதேனும் இருந்தால், இந்த இடைவெளியில் கணக்கிடுவது அவசியம், மேலும் அவற்றில் சிறியதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட்டு, அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம்.

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் வழித்தோன்றலின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

*எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

புள்ளி x= ​​– 4 கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியைச் சேர்ந்தது.

இவ்வாறு, செயல்பாட்டின் மதிப்பை புள்ளிகளில் கணக்கிடுகிறோம்: - 4.5; – 4; 0.

நாம் பெற்ற மடக்கைகளுடன் கூடிய மதிப்புகளை கணக்கிடலாம் (அல்லது பகுப்பாய்வு செய்யலாம்). இந்த பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பு "- 20" என்பதை நீங்கள் காண்பீர்கள்.

ஆனால் அவற்றைக் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை. ஏன்? பதில் ஒரு முழு எண் அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட தசம பின்னமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம் (இது பகுதி B இல் உள்ள ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு நிலை). ஆனால் மடக்கைகள் கொண்ட மதிப்புகள்: – 22.5 – ln 0.5 5 மற்றும் – ln3125 அத்தகைய பதிலை அளிக்காது.

x=–4 செயல்பாடு குறைந்தபட்ச மதிப்பைப் பெறுகிறது, இதிலிருந்து (– 5: – 4) மற்றும் (– 4; + ∞ ).

வழித்தோன்றல்களில் சிரமம் இல்லாதவர்களுக்கான தகவல் மற்றும் இதுபோன்ற சிக்கல்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது. வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடாமல், தேவையற்ற கணக்கீடுகள் இல்லாமல் எப்படிச் செய்ய முடியும்?

எனவே, பதில் ஒரு முழு எண்ணாகவோ அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட தசமப் பின்னமாகவோ இருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், x ஒரு முழு எண்ணாகவோ அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட தசமப் பகுதியைக் கொண்ட முழு எண்ணாகவோ இருக்கும்போது மட்டுமே அத்தகைய மதிப்பைப் பெற முடியும். மடக்கை அடைப்புக்குறிக்குள் நாம் அலகு அல்லது எண் e இல்லை, நாம் ஒப்புக்கொள்ளப்பட்ட மதிப்பைப் பெற முடியாது. மேலும் இது x = – 4 இல் மட்டுமே சாத்தியமாகும்.

இதன் பொருள் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு மிகச் சிறியதாக இருக்கும், அதைக் கணக்கிடுவோம்:

பதில்: – 20

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

[–2.5;0] பிரிவில் y=3x– ln (x+3) 3 செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

y=ln (x+5) செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பைக் கண்டறியவும் 5 - 5x பிரிவில் [–4.5;0].

பிரிவில் y=x 2 –13x+11∙lnx+12 செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

ஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பைக் கண்டறிய, இந்த இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவது அவசியம்.

வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட்டு, அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது, நாம் பெறுகிறோம்

புள்ளி x = 1 கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளிக்கு உரியது.

x = 22/4 என்ற புள்ளி அவருக்கு சொந்தமானது அல்ல.

எனவே, செயல்பாட்டின் மதிப்பை புள்ளிகளில் கணக்கிடுகிறோம்:

பதில் ஒரு முழு எண் அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட தசம பின்னம் என்று நமக்குத் தெரியும், அதாவது செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பு 0 ஆகும். முதல் மற்றும் மூன்றாவது நிகழ்வுகளில், இந்த பின்னங்களின் இயற்கை மடக்கை இல்லை என்பதால், அத்தகைய மதிப்பை நாம் பெற மாட்டோம். அத்தகைய முடிவைக் கொடுங்கள்.

கூடுதலாக, புள்ளியில் என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்x = 1 செயல்பாடு அதன் அதிகபட்ச மதிப்பைப் பெறுகிறது, (0:1 ) மற்றும் (1 ; + ∞ ).

வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடாமல் இந்த வகை சிக்கலை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

பதில் ஒரு முழு எண் அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட தசமப் பின்னமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், x ஒரு முழு எண் அல்லது முழு எண்ணாக வரையறுக்கப்பட்ட தசமப் பகுதியுடன் இருக்கும் போது மட்டுமே இந்த நிலை உறுதி செய்யப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் நமக்கு ஒரு அலகு அல்லது எண் e இருக்கும். மடக்கை குறியின் கீழ்.

x = 1 ஆக இருந்தால் மட்டுமே இது சாத்தியமாகும்.

அதாவது x = 1 (அல்லது 14/14) புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதிகமாக இருக்கும், அதைக் கணக்கிடுவோம்:

பதில்: 0

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

பிரிவில் y = 2x 2 –13x+9∙lnx+8 செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியாமல் இதுபோன்ற பணிகளைத் தீர்க்கும் முறை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் பணியைக் கணக்கிடும்போது நேரத்தை மிச்சப்படுத்த மட்டுமே பயன்படுத்த முடியும் என்பதை நான் கவனிக்கிறேன். வழித்தோன்றலைக் (அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி) கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் இதுபோன்ற சிக்கல்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நீங்கள் சரியாகப் புரிந்துகொண்டு அதைச் செய்வதில் நன்றாக இருந்தால் மட்டுமே. வழித்தோன்றல் இல்லாமல் தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் பகுப்பாய்வுகளில் சில அனுபவம் பெற்றிருக்க வேண்டும் என்பதில் சந்தேகமில்லை.

சில நேரங்களில் குறிப்பிட்ட பணிகளில் உதவும் பல "தந்திரமான" நுட்பங்கள் உள்ளன, மேலும் அவை அனைத்தையும் நினைவில் கொள்வது சாத்தியமில்லை. தீர்வு மற்றும் பண்புகளின் கொள்கைகளைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம். சில நுட்பங்களில் உங்கள் நம்பிக்கையை நீங்கள் பொருத்தினால், அது ஒரு எளிய காரணத்திற்காக வேலை செய்யாமல் போகலாம்: நீங்கள் அதை மறந்துவிடுவீர்கள் அல்லது நீங்கள் முதல் முறையாகப் பார்க்கும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் ஒரு வகையான பணியைப் பெறுவீர்கள்.

இந்தப் பிரிவில் உள்ள பணிகளை நாங்கள் தொடர்ந்து பரிசீலிப்போம், தவறவிடாதீர்கள்!

அவ்வளவுதான். உங்களுக்கு நல்ல அதிர்ஷ்டம்!

உண்மையுள்ள, அலெக்சாண்டர் க்ருடிட்ஸ்கிக்.

பி.எஸ்: சமூக வலைப்பின்னல்களில் தளத்தைப் பற்றி என்னிடம் சொன்னால் நான் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன்.

அதிகபட்ச புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு இந்த புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் மட்டுமே அதிகமாக இருக்கும், அது அவசியமில்லை. செயல்பாட்டின் வரையறையின் முழுத் துறையில் மிகப்பெரிய மதிப்பு. குறைந்தபட்சம் பற்றி இதைச் சொல்லலாம். இந்த வழக்கில், அவை பெரும்பாலும் உள்ளூர் (உள்ளூர்) அதிகபட்சம் மற்றும் நிமிடம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை முழுமையானவற்றுக்கு மாறாக, அதாவது. - மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பு. வரையறை பகுதி முழுவதும். f(x) சார்பு а,в மீது கொடுக்கப்பட்டு அதன் மீது தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அது சில புள்ளிகளில் அதன் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளை அடைகிறது. அவர்களை எப்படி கண்டுபிடிப்பது? a,b இல் பல அதிகபட்சம் இருந்தால், அதிகபட்சம். உள்ளே உள்ள மதிப்பு (அடைந்தால்) அவற்றில் ஒன்றுடன் பொருந்துகிறது. அதே நேரத்தில், செயல்பாடு ஒரு முனையில் உள்ள அனைத்து a,b க்கும் அதன் மிகப்பெரிய மதிப்பை அடையலாம்.

விதி..

அனைத்து நிமிட மற்றும் எல்லை மதிப்புகளை f(a) மற்றும் f(b) ஒப்பிடுவது அவசியம். சிறிய மதிப்பு a,b இல் செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்பாக இருக்கும்.

பொதுவாக அவர்கள் அதிகம் கண்டுபிடிக்கும் போது செயல்படுவார்கள். மற்றும் பெயர் எளிமையான மதிப்புகள்:

a,b பிரிவில் உள்ள அனைத்து முக்கிய புள்ளிகளையும் கண்டறியவும், அவற்றில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடவும் (அவை ஒரு உச்சநிலை உள்ளதா என்பதை தீர்மானிக்காமல்), 2) f(a) மற்றும் f ஆகிய முனைகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள். (b), 3) இடையில் பெறப்பட்ட மதிப்புகளை ஒப்பிடுக: இந்த மதிப்புகளின் மிகச்சிறிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பாக இருக்கும், பெரியது a,b இல் மிகப்பெரியதாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

நைதி நைப். மற்றும் செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பு y=na-1.2,

1. (-1,2) இல் முக்கியமான புள்ளிகளைத் தேடுகிறது.
U"= =0, 2x+2x 3 -2x 3 =0, 2x=0,

=0. மற்றவர்கள் இல்லை.

2. f(-1)=1/2, f(2)=4/5.

f(0)=0, சிறிய மதிப்பு, f(2)=4/5.- மிகப்பெரிய மதிப்பு அதிகபட்சம், இது а,в இல் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பு, இது நிமிடம் என்றால், இது а,в இல் மிகச்சிறிய மதிப்பு. செயல்பாட்டு வெளிப்பாடு நேரடி வெளிப்பாடுகளை உள்ளடக்கிய சந்தர்ப்பங்களில் இது முக்கியமானது மற்றும் முனைகளில் உள்ள மதிப்புகளை ஒப்பிடுவதை விட உச்சநிலையை ஆராய்வது எளிதாக இருக்கும்.

அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளைக் கண்டறிவது பற்றி கூறப்பட்ட அனைத்தும் (a, b) மற்றும் எல்லையற்ற இடைவெளி  ஆகிய இரண்டிற்கும் பொருந்தும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், இந்த விஷயத்தில் மட்டுமே மதிப்புகள் முனைகள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படவில்லை.

§4. வளைவு மற்றும் ஊடுருவல் புள்ளியின் குழிவு திசை

y=f(x) im செயல்பாட்டை விடுங்கள். உட்பட இறுதி வழித்தோன்றல். பிறகு அவர்களிடம் சொன்னாள். இந்த கட்டத்தில் தொடுகோடு அதன் சமன்பாடு y- =f "( )(எக்ஸ்- ) அல்லது y=f( )+(x- )
.

சில சுற்றுப்புறங்களில் ( -செயல்பாட்டின் வரைபடம் பல்வேறு வழிகளில் அமைந்திருக்கும்: தொடுகோட்டுக்கு மேலே, அல்லது கீழே அல்லது இருபுறமும்.

வரையறை.

அவர்கள் t.M( ,y=f(x) வளைவு கீழ்நோக்கி குழிவானதாகவோ அல்லது வெறுமனே குழிவானதாகவோ (குழிவான மேல்நோக்கி அல்லது குவிந்ததாக) இருந்தால், சில அக்கம் பக்கத்திலிருந்து அனைத்து xக்கும் ( - புள்ளிகள் வளைவின் அனைத்து புள்ளிகளும் தொடுகோடு மேலே அமைந்துள்ளன (தொடுகோட்டுக்கு கீழே).

T.M இல் வளைவு தொடுகோட்டின் ஒரு பக்கத்திலிருந்து மறுபுறம் சென்றால், T.M எனப்படும். வளைவின் ஊடுருவல் புள்ளி.

t இல் M1 - வளைவு குழிவானது, M2 குவிந்துள்ளது, M3 ஒரு ஊடுருவலாகும்.

ஊடுருவல் புள்ளியில், வளைவு குவிந்த நிலையில் இருந்து குழிவான அல்லது நேர்மாறாக மாறுகிறது. ஊடுருவல் புள்ளி என்பது வளைவின் குவிந்த மற்றும் குழிவான பிரிவுகளுக்கு இடையிலான எல்லையாகும்.

வளைவு y = f (x)க்கான தொடுகோடு செங்குத்தாக இருக்கும் போது, ​​ஊடுருவல் புள்ளியின் வரையறை செல்லுபடியாகும். அச்சுகள் ஓ, t இல் உள்ளவர்கள். வழித்தோன்றல் "( )=, முதலியன யாவல் அல்ல. வளைவின் முனை புள்ளி. வழக்குகளைப் போலன்றி (வரைபடத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளது),

x x

எங்கே டி. மற்றும் x என்பது ஊடுருவல் புள்ளிகள் அல்ல.

அவை எந்த நிலையில் உள்ளன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். ஒரு குறிப்பிட்ட திசையின் குழிவு அல்லது ஒரு வளைவின் ஊடுருவலின் இடம். y=f(x) ஒரு தன்னிச்சையான t.x= இல் .

எடுத்துக்காட்டாக, t.M( இல் ஒரு வளைவு ,) குவிந்த. பின்னர் அது சில சுற்றுப்புறத்தில் அமைந்துள்ளது ( -இந்தப் புள்ளியின்  தொடுகோடு y=f( )+f "( )(எக்ஸ்- ) துணை செயல்பாட்டைக் கருதுவோம்(x)= f(x)-f( )-f "( )(எக்ஸ்- ) உட்பட. ()=0, in-அருகில் டி.
. இது புள்ளியில் பின்வருமாறு செயல்பாடு
ஹாஸ்மேக்ஸ். எனவே புள்ளியில் ""(). ஆனால் ""( )=f ""(x) எனவே உட்பட. f ""( ).

எனவே, y=f(x) வளைவு t.x0 இல் குவிந்திருக்க, f ""( ). t.x0 f "" இல் இருந்தால் ), பின்னர் உட்பட. -அதிகபட்சம் மற்றும் வளைவு எனவே குவிந்துள்ளது. நிபந்தனை f ""( .

) குவிவு உட்பட. முற்றிலும் ஒத்த வழியில் நியாயப்படுத்துவதன் மூலம், f ""( ) t.x0 இல் குழிவுறுவதற்கு அவசியம், மற்றும் f ""(

) குழிவுறுவதற்கு போதுமானது.

முடிவு: t இல் இருந்தால். இரண்டாவது வழித்தோன்றல் நேர்மறை ""( இரண்டாவது வழித்தோன்றல் எதிர்மறையானது ""( ), இந்த இடத்தில் வளைவு குவிந்திருக்கும்.

"கப்" விதி வசதியானது:

ஊடுருவல் புள்ளிகளில் திட்டவட்டமான குழிவு அல்லது குவிவு இல்லை, எனவே அவை f ""() புள்ளிகளில் மட்டுமே இருக்க முடியும். )=0. ஆனால் நிபந்தனை f ""( ) இன்னும் சரியாக உறுதிப்படுத்தவில்லை - ஊடுருவல் புள்ளி. எடுத்துக்காட்டாக, வளைவுகளுக்கு y=x 4 மற்றும் y=-x 4, incl. f ""( )=0, ஆனால் அதில் முதல் வளைவு குழிவானது, இரண்டாவது குவிந்தது.

) குழிவுறுவதற்கு போதுமானது. நிபந்தனை f ""( )=0 யாவல். ஒரு ஊடுருவலின் இருப்புக்கு தேவையான நிபந்தனை, உட்பட . ஆனால், நாம் பார்த்தபடி, இரண்டாவது வழித்தோன்றல் f""(

)= வண்டல் மண் இல்லை. வளைவின் ஊடுருவலுக்கு போதுமான நிபந்தனை, உட்பட. யாவல் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் அடையாள மாற்றம் f ""( ) டி வழியாக செல்லும் போது. . மேலும், t வழியாக செல்லும் போது 2வது வழித்தோன்றல் மாறினால். + இலிருந்து -, பின்னர் உள்ளிட்ட குழிவிலிருந்து குவிந்த நிலைக்கு மாற்றத்துடன் வளைக்கவும், Iff ""( ) t வழியாக செல்லும் போது - முதல் + வரை அடையாளத்தை மாற்றுகிறது. , பின்னர் உட்பட.

குழிவுத்தன்மையிலிருந்து குழிவு நிலைக்கு மாற்றத்துடன் வளைக்கவும். வரையறை

. ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் ஒரு வளைவு குழிவாக (குவிந்த) இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது. இந்த இடைவெளியில் குழிவான (குவிந்த).

y=f(x) செயல்பாட்டின் குவிவு, குழிவு மற்றும் ஊடுருவல் புள்ளிகளுக்கான ஆய்வு பின்வரும் திட்டத்தின் படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

1. ஊடுருவலுக்கு சந்தேகத்திற்குரிய அனைத்து புள்ளிகளையும் கண்டறியவும், அதற்காக:

a) இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடித்து, அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும்,

b) f ""(x) வரையறுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல் இல்லாத புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்,

2. சந்தேகத்திற்கிடமான ஒவ்வொரு புள்ளியையும் கடந்து செல்லும் போது அடையாளத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்திற்காக f ""(x) ஐ ஆராயவும். அடையாளம் மாறினால், ஒரு வளைவு இல்லை;

வரையறை.

f ""(x0)  வளைவு குழிவாக இருக்கும் புள்ளிகளுக்கு, மாறாக, அது குவிந்திருக்கும். எக்ஸ்ட்ரீமாவைப் போலவே, ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகள் சந்தேகத்திற்குரியதாக இருந்தால், இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தவும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் ஒரு வளைவு குவிந்ததாக (குழிவாக) இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது. இந்த இடைவெளியில் குவிந்த (குழிவான)

உதாரணம்

protrusion, concavity, அதாவது f-iu = x 4 -6x 2 +5 இன் ஊடுருவலை ஆராயவும். பிராந்தியம் def. X=.

1. கண்டுபிடி y"=4x 3 -12x, y""=12x 2 -12=12(x 2 -1), y""=0, x 2 -1=0, x 1.2 =-t . சந்தேகத்திற்குரியது வளைப்பதற்கு, மற்றவர்கள் இல்லை.

முழு பிராந்தியமும் def. இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது (--1), (-1,1), (1, , அவை ஒவ்வொன்றிலும் f ""(x) ஒரு நிலையான அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் அது அவற்றில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது. பார்க்க எளிதானது , (--1) +, (-1,1) - மற்றும் (1,  + இல். இங்கிருந்து புள்ளிகள் -1 மற்றும் 1 இல் ஒரு ஊடுருவல் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. , மற்றும் ( -1) இல் செயல்பாட்டின் வரைபடம் குழிவானது, (-1,1) இல் அது குவிந்துள்ளது, (1,  இல் இது குழிவானது. இந்த சேவை மூலம் உங்களால் முடியும்வேர்டில் வடிவமைக்கப்பட்ட தீர்வுடன் ஒரு மாறி f(x). f(x,y) சார்பு கொடுக்கப்பட்டால், இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவது அவசியம். செயல்பாடுகளை அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் இடைவெளிகளையும் நீங்கள் காணலாம்.

செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைக் கண்டறியவும்

y=

பிரிவில் [ ;]

கோட்பாட்டைச் சேர்க்கவும்

செயல்பாடுகளை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்:

ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை

சமன்பாடு f" 0 (x *) = 0 என்பது ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு அவசியமான நிபந்தனையாகும், அதாவது x * புள்ளியில் செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் மறைந்துவிட வேண்டும். இது நிலையான புள்ளிகள் x c ஐ அடையாளம் காட்டுகிறது. அதிகரிக்க அல்லது குறைக்க.

ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனை

F 0 (x) ஆனது D தொகுப்பிற்குச் சொந்தமான x ஐப் பொறுத்தமட்டில் இருமடங்கு வேறுபடக்கூடியதாக இருக்கட்டும். x * புள்ளியில் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால்:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

பின்னர் புள்ளி x * என்பது செயல்பாட்டின் உள்ளூர் (உலகளாவிய) குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்.

x * புள்ளியில் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால்:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

பின்னர் புள்ளி x * என்பது உள்ளூர் (உலகளாவிய) அதிகபட்சம்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்: பிரிவில்.
தீர்வு.

முக்கியமான புள்ளி ஒன்று x 1 = 2 (f'(x)=0). இந்த புள்ளி பிரிவுக்கு சொந்தமானது. (புள்ளி x=0 முக்கியமானதல்ல, ஏனெனில் 0∉).
பிரிவின் முனைகளிலும் முக்கியமான புள்ளியிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறோம்.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
பதில்: f min = 5/2 at x=2; f அதிகபட்சம் =9 x=1

எடுத்துக்காட்டு எண். 2. உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி, y=x-2sin(x) செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு.
செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்: y'=1-2cos(x) . முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. நாம் y’’=2sin(x), கணக்கிடுகிறோம், அதாவது x= π / 3 +2πk, k∈Z ஆகியவை செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்; , அதாவது x=- π / 3 +2πk, kZ ஆகியவை செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளிகள்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3. x=0 புள்ளிக்கு அருகில் உள்ள தீவிர செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள்.
தீர்வு. இங்கே செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம். எக்ஸ்ட்ரம் x=0 எனில், அதன் வகையைக் கண்டறியவும் (குறைந்தபட்சம் அல்லது அதிகபட்சம்). கண்டுபிடிக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் x = 0 இல்லை என்றால், f(x=0) செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள வழித்தோன்றல் அதன் அடையாளத்தை மாற்றாதபோது, ​​​​சாத்தியமான சூழ்நிலைகள் வேறுபட்ட செயல்பாடுகளுக்கு கூட தீர்ந்துவிடாது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்: புள்ளி x 0 இன் ஒரு பக்கத்தில் தன்னிச்சையாக சிறிய சுற்றுப்புறத்திற்கு இருபுறமும் வழித்தோன்றல் மாற்றங்கள் அடையாளம். இந்த புள்ளிகளில், தீவிரத்திற்கான செயல்பாடுகளைப் படிக்க மற்ற முறைகளைப் பயன்படுத்துவது அவசியம்.