வரைபடத்தில் ஒரு கோட்டின் சாய்வை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. நேரடி சாய்வு (மற்றும் பல)

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் கடினமான தலைப்புகளில் ஒன்றாகும். டெரிவேட்டிவ் என்றால் என்ன என்ற கேள்விக்கு ஒவ்வொரு பட்டதாரியும் பதில் சொல்ல மாட்டார்கள்.

இந்த கட்டுரை ஒரு வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன, அது ஏன் தேவைப்படுகிறது என்பதை எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் விளக்குகிறது.. விளக்கக்காட்சியில் கணித கடுமைக்காக நாங்கள் இப்போது பாடுபட மாட்டோம். மிக முக்கியமான விஷயம், அர்த்தத்தைப் புரிந்துகொள்வது.

வரையறையை நினைவில் கொள்வோம்:

வழித்தோன்றல் என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதமாகும்.

படம் மூன்று செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களைக் காட்டுகிறது. எது வேகமாக வளரும் என்று நினைக்கிறீர்கள்?

பதில் வெளிப்படையானது - மூன்றாவது. இது அதிக மாற்ற விகிதத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது மிகப்பெரிய வழித்தோன்றல்.

இதோ இன்னொரு உதாரணம்.

கோஸ்ட்யா, க்ரிஷா மற்றும் மேட்வி ஆகியோருக்கு ஒரே நேரத்தில் வேலை கிடைத்தது. வருடத்தில் அவர்களின் வருமானம் எப்படி மாறியது என்று பார்ப்போம்:

வரைபடம் எல்லாவற்றையும் ஒரே நேரத்தில் காட்டுகிறது, இல்லையா? ஆறு மாதங்களில் கோஸ்டியாவின் வருமானம் இரட்டிப்பாகும். மேலும் க்ரிஷாவின் வருமானமும் அதிகரித்தது, ஆனால் கொஞ்சம். மேலும் மேட்வியின் வருமானம் பூஜ்ஜியமாகக் குறைந்தது. தொடக்க நிலைகள் ஒரே மாதிரியானவை, ஆனால் செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதம், அதாவது வழித்தோன்றல், - வேறுபட்டது. மேட்வியைப் பொறுத்தவரை, அவரது வருமான வழித்தோன்றல் பொதுவாக எதிர்மறையானது.

உள்ளுணர்வாக, ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தை எளிதாக மதிப்பிடுகிறோம். ஆனால் இதை எப்படி செய்வது?

நாம் உண்மையில் பார்ப்பது ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் எவ்வளவு செங்குத்தாக மேலே செல்கிறது (அல்லது கீழே). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், x மாறும்போது y எவ்வளவு விரைவாக மாறுகிறது? வெளிப்படையாக, வெவ்வேறு புள்ளிகளில் ஒரே செயல்பாடு வெவ்வேறு வழித்தோன்றல் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம் - அதாவது, அது வேகமாகவோ அல்லது மெதுவாகவோ மாறலாம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் குறிக்கப்படுகிறது.

வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி அதை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நாங்கள் உங்களுக்குக் காண்பிப்போம்.

சில செயல்பாட்டின் வரைபடம் வரையப்பட்டுள்ளது. அதில் ஒரு abscissa உள்ள ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைவோம். செயல்பாட்டு வரைபடம் எவ்வளவு செங்குத்தாக மேலே செல்கிறது என்பதை மதிப்பிட விரும்புகிறோம். இதற்கு ஒரு வசதியான மதிப்பு தொடு கோணத்தின் தொடுகோடு.

ஒரு புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இந்த புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடு கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக இருக்கும்.

தொடுகோடு சாய்வின் கோணமாக, அச்சு மற்றும் அச்சின் நேர்மறை திசைக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

சில நேரங்களில் மாணவர்கள் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு என்ன என்று கேட்கிறார்கள். இது இந்தப் பிரிவில் உள்ள வரைபடத்துடன் ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு நேர்கோடு மற்றும் எங்கள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. இது ஒரு வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு போல் தெரிகிறது.

அதை கண்டுபிடிக்கலாம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள தீவிர கோணத்தின் தொடுகோடு, எதிரெதிர் பக்கத்தின் அடுத்த பக்கத்தின் விகிதத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்கிறோம். முக்கோணத்தில் இருந்து:

செயல்பாட்டின் சூத்திரம் கூட தெரியாமல் ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலைக் கண்டோம். இத்தகைய சிக்கல்கள் பெரும்பாலும் எண்களின் கீழ் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் காணப்படுகின்றன.

இன்னொரு முக்கியமான உறவு இருக்கிறது. நேர்கோடு சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க

இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள அளவு அழைக்கப்படுகிறது ஒரு நேர் கோட்டின் சாய்வு. இது அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு சமம்.

.

நமக்கு அது கிடைக்கும்

இந்த சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம். இது வழித்தோன்றலின் வடிவியல் அர்த்தத்தை வெளிப்படுத்துகிறது.

ஒரு புள்ளியில் உள்ள சார்பின் வழித்தோன்றல், அந்த புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் சாய்வுக்கு சமம்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வழித்தோன்றல் தொடு கோணத்தின் தொடுகோடு சமம்.

ஒரே செயல்பாடு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெவ்வேறு வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கலாம் என்று நாங்கள் ஏற்கனவே கூறியுள்ளோம். செயல்பாட்டின் நடத்தையுடன் வழித்தோன்றல் எவ்வாறு தொடர்புடையது என்பதைப் பார்ப்போம்.

சில செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரைவோம். இந்த செயல்பாடு சில பகுதிகளில் அதிகரிக்கட்டும், மற்றவற்றில் குறையட்டும், மற்றும் வெவ்வேறு விகிதங்களில். இந்த செயல்பாடு அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கட்டும்.

ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது. புள்ளியில் வரையப்பட்ட வரைபடத்தின் தொடுகோடு ஒரு தீவிர கோணத்தை உருவாக்குகிறது; நேர்மறை அச்சு திசையுடன். இதன் பொருள் புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக உள்ளது.

அந்த நேரத்தில் நமது செயல்பாடு குறைகிறது. இந்த இடத்தில் தொடுகோடு ஒரு மழுங்கிய கோணத்தை உருவாக்குகிறது; நேர்மறை அச்சு திசையுடன். ஒரு மழுங்கிய கோணத்தின் தொடுகோடு எதிர்மறையாக இருப்பதால், புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இருக்கும்.

என்ன நடக்கிறது என்பது இங்கே:

ஒரு செயல்பாடு அதிகரித்தால், அதன் வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக இருக்கும்.

அது குறைந்தால், அதன் வழித்தோன்றல் எதிர்மறையானது.

அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளில் என்ன நடக்கும்? புள்ளிகளில் (அதிகபட்ச புள்ளி) மற்றும் (குறைந்தபட்ச புள்ளி) தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். எனவே, இந்த புள்ளிகளில் உள்ள தொடுகோடுகளின் தொடுகோடு பூஜ்ஜியமாகும், மேலும் வழித்தோன்றலும் பூஜ்ஜியமாகும்.

புள்ளி - அதிகபட்ச புள்ளி. இந்த கட்டத்தில், செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு குறைவால் மாற்றப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, வழித்தோன்றலின் அடையாளம் “பிளஸ்” இலிருந்து “மைனஸ்” ஆக மாறுகிறது.

புள்ளியில் - குறைந்தபட்ச புள்ளி - வழித்தோன்றலும் பூஜ்ஜியமாகும், ஆனால் அதன் அடையாளம் "மைனஸ்" இலிருந்து "பிளஸ்" ஆக மாறுகிறது.

முடிவு: வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டின் நடத்தை பற்றி நமக்கு ஆர்வமுள்ள அனைத்தையும் கண்டுபிடிக்கலாம்.

வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக இருந்தால், செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.

வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இருந்தால், செயல்பாடு குறைகிறது.

அதிகபட்ச புள்ளியில், வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகும் மற்றும் அடையாளத்தை "பிளஸ்" இலிருந்து "மைனஸ்" ஆக மாற்றுகிறது.

குறைந்தபட்ச புள்ளியில், வழித்தோன்றலும் பூஜ்ஜியமாகும் மற்றும் அடையாளத்தை "மைனஸ்" இலிருந்து "பிளஸ்" ஆக மாற்றுகிறது.

இந்த முடிவுகளை அட்டவணை வடிவில் எழுதுவோம்:

	அதிகரிக்கிறது	அதிகபட்ச புள்ளி	குறைகிறது	குறைந்தபட்ச புள்ளி	அதிகரிக்கிறது
+	0	-	0	+

இரண்டு சிறிய தெளிவுபடுத்துவோம். சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது அவற்றில் ஒன்று உங்களுக்குத் தேவைப்படும். மற்றொன்று - முதல் ஆண்டில், செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்கள் பற்றிய தீவிர ஆய்வுடன்.

சில புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம், ஆனால் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் இல்லை. இதுவே அழைக்கப்படுகிறது :

ஒரு கட்டத்தில், வரைபடத்தின் தொடுகோடு கிடைமட்டமாகவும், வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகவும் இருக்கும். இருப்பினும், புள்ளிக்கு முன் செயல்பாடு அதிகரித்தது - புள்ளிக்குப் பிறகு அது தொடர்ந்து அதிகரிக்கிறது. வழித்தோன்றலின் அடையாளம் மாறாது - அது இருந்ததைப் போலவே நேர்மறையாக உள்ளது.

அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளியில் வழித்தோன்றல் இல்லை என்பதும் நடக்கும். வரைபடத்தில், இது ஒரு கூர்மையான இடைவெளிக்கு ஒத்திருக்கிறது, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் ஒரு தொடுகோடு வரைய இயலாது.

சார்பு ஒரு வரைபடத்தால் அல்ல, ஆனால் ஒரு சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்டால் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இந்த வழக்கில் அது பொருந்தும்

கணிதத்தில், கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் நிலையை விவரிக்கும் அளவுருக்களில் ஒன்று இந்த கோட்டின் கோண குணகம் ஆகும். இந்த அளவுரு abscissa அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வை வகைப்படுத்துகிறது. சாய்வை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, முதலில் XY ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவத்தை நினைவுபடுத்தவும்.

பொதுவாக, எந்த நேர்கோட்டையும் ax+by=c என்ற வெளிப்பாடு மூலம் குறிப்பிடலாம், இதில் a, b மற்றும் c ஆகியவை தன்னிச்சையான உண்மையான எண்கள், ஆனால் a 2 + b 2 ≠ 0.

எளிய உருமாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அத்தகைய சமன்பாட்டை y=kx+d வடிவத்திற்குக் கொண்டு வரலாம், இதில் k மற்றும் d ஆகியவை உண்மையான எண்கள். எண் k என்பது சாய்வாகும், மேலும் இந்த வகையின் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு சாய்வுடன் கூடிய சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சாய்வைக் கண்டுபிடிக்க, மேலே சுட்டிக்காட்டப்பட்ட படிவத்திற்கு அசல் சமன்பாட்டை நீங்கள் குறைக்க வேண்டும் என்று மாறிவிடும். இன்னும் முழுமையான புரிதலுக்கு, ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:

சிக்கல்: 36x - 18y = 108 சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: அசல் சமன்பாட்டை மாற்றுவோம்.

பதில்: இந்தக் கோட்டின் தேவையான சாய்வு 2 ஆகும்.

சமன்பாட்டின் மாற்றத்தின் போது, ​​நாம் x = கான்ஸ்ட் போன்ற ஒரு வெளிப்பாட்டைப் பெற்றால், அதன் விளைவாக y ஐ x இன் செயல்பாடாகக் குறிக்க முடியவில்லை என்றால், நாம் X அச்சுக்கு இணையான ஒரு நேர்கோட்டைக் கையாளுகிறோம் ஒரு நேர் கோடு முடிவிலிக்கு சமம்.

y = const போன்ற சமன்பாட்டால் வெளிப்படுத்தப்படும் வரிகளுக்கு, சாய்வு பூஜ்ஜியமாகும். அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு இணையான நேர் கோடுகளுக்கு இது பொதுவானது. உதாரணமாக:

சிக்கல்: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 என்ற சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: அசல் சமன்பாட்டை அதன் பொதுவான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்

24x + 12y - 12y + 28 = 4

இதன் விளைவாக வெளிப்படும் வெளிப்பாட்டிலிருந்து y ஐ வெளிப்படுத்த முடியாது, எனவே இந்த கோட்டின் கோண குணகம் முடிவிலிக்கு சமம், மேலும் கோடு Y அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்.

வடிவியல் பொருள்

சிறந்த புரிதலுக்கு, படத்தைப் பார்ப்போம்:

படத்தில் y = kx போன்ற செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காண்கிறோம். எளிமைப்படுத்த, குணகம் c = 0 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். OAB முக்கோணத்தில், பக்க BA மற்றும் AO விகிதம் கோண குணகம் k க்கு சமமாக இருக்கும். அதே நேரத்தில், BA/AO விகிதமானது OAB வலது முக்கோணத்தில் α கடுமையான கோணத்தின் தொடுகோடு ஆகும். நேர்கோட்டின் கோண குணகம், இந்த நேர்கோடு ஒருங்கிணைப்பு கட்டத்தின் abscissa அச்சுடன் உருவாக்கும் கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக இருக்கும் என்று மாறிவிடும்.

ஒரு நேர் கோட்டின் கோண குணகத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற சிக்கலைத் தீர்ப்பது, அதற்கும் ஒருங்கிணைப்பு கட்டத்தின் X அச்சுக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு இருப்பதைக் காண்கிறோம். எல்லை வழக்குகள், கேள்விக்குரிய கோடு ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு இணையாக இருக்கும்போது, ​​மேலே உள்ளவற்றை உறுதிப்படுத்தவும். உண்மையில், y=const என்ற சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்பட்ட ஒரு நேர்கோட்டிற்கு, அதற்கும் abscissa அச்சுக்கும் இடையிலான கோணம் பூஜ்ஜியமாகும். பூஜ்ஜியக் கோணத்தின் தொடுகையும் பூஜ்யம் மற்றும் சாய்வும் பூஜ்ஜியமாகும்.

x-அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் மற்றும் x=const என்ற சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படும் நேர்கோடுகளுக்கு, அவற்றுக்கும் X-அச்சுக்கும் இடையே உள்ள கோணம் 90 டிகிரி ஆகும். ஒரு வலது கோணத்தின் தொடுகோடு முடிவிலிக்கு சமம், மேலும் இதேபோன்ற நேர்கோடுகளின் கோண குணகம் முடிவிலிக்கு சமம், இது மேலே எழுதப்பட்டதை உறுதிப்படுத்துகிறது.

தொடு சாய்வு

ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோட்டின் சாய்வைக் கண்டறிவது நடைமுறையில் அடிக்கடி எதிர்கொள்ளும் ஒரு பொதுவான பணியாகும். ஒரு தொடுகோடு என்பது ஒரு நேர் கோடு, எனவே சாய்வு என்ற கருத்து அதற்கும் பொருந்தும்.

தொடுகோட்டின் சாய்வை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க, வழித்தோன்றல் என்ற கருத்தை நாம் நினைவுபடுத்த வேண்டும். ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் உள்ள எந்தவொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது இந்தச் சார்பின் வரைபடத்திற்கும் அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கும் குறிப்பிட்ட புள்ளியில் உள்ள தொடுகோணத்திற்கு இடையில் உருவாகும் கோணத்தின் தொடுகோடுக்கு சமமான ஒரு மாறிலி ஆகும். புள்ளி x 0 இல் தொடுகோட்டின் கோண குணகத்தை தீர்மானிக்க, இந்த கட்டத்தில் அசல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பை நாம் கணக்கிட வேண்டும் k = f"(x 0). ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

சிக்கல்: x = 0.1 இல் y = 12x 2 + 2xe x செயல்பாட்டிற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: அசல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை பொதுவான வடிவத்தில் கண்டறியவும்

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

பதில்: x = 0.1 புள்ளியில் தேவையான சாய்வு 4.831 ஆகும்

சான்றிதழின் தேர்வில் "சாய்வு கோணத்தின் தொடுகோளாக ஒரு தொடுகோடுகளின் கோண குணகம்" என்ற தலைப்புக்கு பல பணிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவர்களின் நிலையைப் பொறுத்து, பட்டதாரி ஒரு முழுமையான பதிலையோ அல்லது குறுகிய பதிலையோ வழங்க வேண்டியிருக்கும். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வை எடுக்கத் தயாராகும் போது, ​​மாணவர் ஒரு தொடுகோடு சாய்வைக் கணக்கிட வேண்டிய பணிகளை நிச்சயமாக மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.

Shkolkovo கல்வி போர்டல் இதைச் செய்ய உங்களுக்கு உதவும். எங்கள் வல்லுநர்கள் கோட்பாட்டு மற்றும் நடைமுறைப் பொருட்களை மிகவும் அணுகக்கூடிய வகையில் தயாரித்து வழங்கினர். அதை நன்கு அறிந்த பிறகு, எந்த அளவிலான பயிற்சியும் கொண்ட பட்டதாரிகள், டெரிவேடிவ்கள் தொடர்பான சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க முடியும், அதில் தொடு கோணத்தின் தொடுகைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.

சிறப்பம்சங்கள்

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இத்தகைய பணிகளுக்கு சரியான மற்றும் பகுத்தறிவு தீர்வைக் கண்டறிய, அடிப்படை வரையறையை நினைவில் கொள்வது அவசியம்: வழித்தோன்றல் ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்றத்தின் விகிதத்தைக் குறிக்கிறது; இது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடு கோணத்தின் தொடுகோடுக்கு சமம். வரைபடத்தை முடிக்க சமமாக முக்கியமானது. வழித்தோன்றலில் பயன்படுத்தப்படும் சிக்கல்களுக்கான சரியான தீர்வைக் கண்டறிய இது உங்களை அனுமதிக்கும், இதில் நீங்கள் தொடு கோணத்தின் தொடுகைக் கணக்கிட வேண்டும். தெளிவுக்காக, OXY விமானத்தில் வரைபடத்தைத் திட்டமிடுவது சிறந்தது.

டெரிவேடிவ்கள் என்ற தலைப்பில் அடிப்படைப் பொருளை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருந்தால், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுப் பணிகளைப் போலவே, தொடு கோணத்தின் தொடுகைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கத் தயாராக இருந்தால், இதை ஆன்லைனில் செய்யலாம். ஒவ்வொரு பணிக்கும், எடுத்துக்காட்டாக, "உடலின் வேகம் மற்றும் முடுக்கத்துடன் ஒரு வழித்தோன்றலின் உறவு" என்ற தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்கள், சரியான பதில் மற்றும் தீர்வு வழிமுறையை நாங்கள் எழுதினோம். அதே நேரத்தில், மாணவர்கள் சிக்கலான பல்வேறு நிலைகளில் பணிகளைச் செய்ய பயிற்சி செய்யலாம். தேவைப்பட்டால், பயிற்சியை "பிடித்தவை" பிரிவில் சேமிக்கலாம், இதன் மூலம் நீங்கள் ஆசிரியருடன் தீர்வைப் பற்றி விவாதிக்கலாம்.

தலைப்பின் தொடர்ச்சி, ஒரு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு இயற்கணிதம் பாடங்களில் இருந்து ஒரு நேர்கோட்டின் படிப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த கட்டுரை ஒரு சாய்வுடன் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு என்ற தலைப்பில் பொதுவான தகவல்களை வழங்குகிறது. வரையறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், சமன்பாட்டைப் பெறுவோம், மற்ற வகை சமன்பாடுகளுடன் தொடர்பை அடையாளம் காண்போம். சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி எல்லாம் விவாதிக்கப்படும்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

அத்தகைய சமன்பாட்டை எழுதுவதற்கு முன், O x அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தை அவற்றின் கோண குணகத்துடன் வரையறுக்க வேண்டியது அவசியம். விமானத்தில் ஒரு கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

வரையறை 1

O x அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணம்,விமானத்தில் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் O x y இல் அமைந்துள்ளது, இது நேர்கோடு O x இலிருந்து எதிர் கடிகார திசையில் அளவிடப்படும் கோணமாகும்.

கோடு O x க்கு இணையாக அல்லது அதனுடன் இணைந்தால், சாய்வின் கோணம் 0 ஆகும். பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணம் α இடைவெளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது [0 , π) .

வரையறை 2

நேரடி சாய்வுகொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு ஆகும்.

நிலையான பதவி கே. வரையறையிலிருந்து நாம் k = t g α என்பதைக் காண்கிறோம். கோடு எருதுக்கு இணையாக இருக்கும்போது, ​​​​அது முடிவிலிக்குச் செல்வதால், சாய்வு இல்லை என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் அதிகரிக்கும் போது சாய்வு நேர்மறையாகவும், நேர்மாறாகவும் இருக்கும். குணகத்தின் மதிப்புடன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் தொடர்புடைய வலது கோணத்தின் இருப்பிடத்தில் பல்வேறு மாறுபாடுகளை படம் காட்டுகிறது.

இந்த கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்க, கோணக் குணகத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவது மற்றும் விமானத்தில் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகைக் கணக்கிடுவது அவசியம்.

தீர்வு

நிபந்தனையிலிருந்து நாம் α = 120°. வரையறையின்படி, சாய்வு கணக்கிடப்பட வேண்டும். k = t g α = 120 = - 3 என்ற சூத்திரத்திலிருந்து அதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பதில்:கே = - 3 .

கோண குணகம் அறியப்பட்டால், அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டறிய வேண்டியது அவசியம் என்றால், கோணக் குணகத்தின் மதிப்பை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். k > 0 எனில், வலது கோணம் தீவிரமானது மற்றும் α = a r c t g k என்ற சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படும். என்றால் கே< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

எடுத்துக்காட்டு 2

கொடுக்கப்பட்ட நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தை O x க்கு கோண குணகம் 3 உடன் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு

கோண குணகம் நேர்மறையாக இருக்கும் நிலையில் இருந்து, O x க்கு சாய்வின் கோணம் 90 டிகிரிக்கும் குறைவாக உள்ளது. α = a r c t g k = a r c t g 3 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகள் செய்யப்படுகின்றன.

பதில்: α = a r c t g 3 .

எடுத்துக்காட்டு 3

சாய்வு = - 1 3 எனில் O x அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

கோணக் குணகத்தின் பெயராக k என்ற எழுத்தை எடுத்துக் கொண்டால், α என்பது O x நேர்மறை திசையில் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சாய்வின் கோணமாகும். எனவே k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

பதில்: 5 π 6 .

y = k x + b வடிவத்தின் சமன்பாடு, இதில் k என்பது சாய்வாகவும், b என்பது சில உண்மையான எண்ணாகவும் இருக்கும், இது சாய்வுடன் கூடிய கோட்டின் சமன்பாடு எனப்படும். O y அச்சுக்கு இணையாக இல்லாத எந்த நேர்கோட்டிற்கும் சமன்பாடு பொதுவானது.

y = k x + b வடிவத்தைக் கொண்ட கோணக் குணகம் கொண்ட சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்படும் நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர்கோட்டை விரிவாகக் கருத்தில் கொண்டால். இந்த வழக்கில், சமன்பாடு கோட்டின் எந்த புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கும் ஒத்திருக்கிறது என்று அர்த்தம். புள்ளி M, M 1 (x 1, y 1) இன் ஆயங்களை y = k x + b என்ற சமன்பாட்டில் மாற்றினால், இந்த விஷயத்தில் வரி இந்த புள்ளியைக் கடந்து செல்லும், இல்லையெனில் புள்ளி வரிக்கு சொந்தமானது அல்ல.

எடுத்துக்காட்டு 4

சாய்வு y = 1 3 x - 1 உடன் நேர்கோடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. M 1 (3, 0) மற்றும் M 2 (2, - 2) ஆகிய புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்ட வரியைச் சேர்ந்ததா என்பதைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் புள்ளி M 1 (3, 0) இன் ஆயங்களை மாற்றுவது அவசியம், பின்னர் நாம் 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 ஐப் பெறுகிறோம். சமத்துவம் உண்மை, அதாவது புள்ளி கோட்டிற்கு சொந்தமானது.

புள்ளி M 2 (2, - 2) இன் ஆயங்களை மாற்றினால், படிவத்தின் தவறான சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம் - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. புள்ளி M 2 வரிக்கு சொந்தமானது அல்ல என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.

பதில்: M 1 வரிக்கு சொந்தமானது, ஆனால் M 2 இல்லை.

கோடு y = k · x + b என்ற சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது, M 1 (0, b) வழியாகச் செல்லும்போது, ​​மாற்றீட்டின் போது b = k · 0 + b ⇔ b = b வடிவத்தின் சமத்துவத்தைப் பெற்றோம். இதிலிருந்து விமானத்தில் கோண குணகம் y = k x + b கொண்ட ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு புள்ளி 0, b வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டை வரையறுக்கிறது என்று முடிவு செய்யலாம். இது O x அச்சின் நேர் திசையுடன் α கோணத்தை உருவாக்குகிறது, இங்கு k = t g α.

உதாரணமாக, y = 3 x - 1 வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்ட கோணக் குணகத்தைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு நேர்கோட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். O x அச்சின் நேர்மறையான திசையில் α = a r c t g 3 = π 3 ரேடியன்களின் சாய்வுடன் 0, - 1 ஆயப் புள்ளியுடன் நேர்கோடு கடந்து செல்லும் என்பதை நாங்கள் பெறுகிறோம். குணகம் 3 என்பதை இது காட்டுகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி வழியாகச் செல்லும் சாய்வுடன் கூடிய நேர்கோட்டின் சமன்பாடு

M 1 (x 1, y 1) புள்ளியின் வழியாக கொடுக்கப்பட்ட சாய்வுடன் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுவது அவசியமான ஒரு சிக்கலைத் தீர்ப்பது அவசியம்.

சமத்துவம் y 1 = k · x + b என்பது செல்லுபடியாகும் என்று கருதலாம், ஏனெனில் கோடு M 1 (x 1, y 1) புள்ளியின் வழியாக செல்கிறது. எண் b ஐ அகற்ற, இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் இருந்து சாய்வுடன் சமன்பாட்டை கழிக்க வேண்டியது அவசியம். இதிலிருந்து y - y 1 = k · (x - x 1) . இந்த சமத்துவமானது, M 1 (x 1, y 1) புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் வழியாக செல்லும், கொடுக்கப்பட்ட சாய்வு k உடன் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது.

உதாரணம் 5

புள்ளி M 1 வழியாக ஆயத்தொலைவுகளுடன் (4, - 1), ஒரு கோணக் குணகம் - 2 க்கு சமமான ஒரு நேர் கோட்டிற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தீர்வு

நிபந்தனையின்படி x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. இங்கிருந்து வரியின் சமன்பாடு பின்வருமாறு எழுதப்படும்: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

பதில்: y = - 2 x + 7 .

எடுத்துக்காட்டு 6

y = 2 x - 2 என்ற நேர் கோட்டிற்கு இணையாக, ஆயத்தொலைவுகளுடன் (3, 5) புள்ளி M 1 ஐக் கடந்து செல்லும் கோணக் குணகத்துடன் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதவும்.

தீர்வு

நிபந்தனையின்படி, இணையான கோடுகள் ஒரே மாதிரியான சாய்வு கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது கோண குணகங்கள் சமமாக இருக்கும். இந்த சமன்பாட்டிலிருந்து சாய்வைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் அதன் அடிப்படை சூத்திரமான y = 2 x - 2 ஐ நினைவில் கொள்ள வேண்டும், அது k = 2 ஐப் பின்பற்றுகிறது. சாய்வு குணகத்துடன் ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்கி பெறுகிறோம்:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

பதில்: y = 2 x - 1 .

ஒரு சாய்வுடன் கூடிய நேர்கோட்டு சமன்பாட்டிலிருந்து மற்ற வகை நேர்கோட்டு சமன்பாடுகளுக்கும் பின்புறத்திற்கும் மாறுதல்

சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு இந்த சமன்பாடு எப்போதும் பொருந்தாது, ஏனெனில் இது மிகவும் வசதியாக எழுதப்படவில்லை. இதைச் செய்ய, நீங்கள் அதை வேறு வடிவத்தில் வழங்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, y = k x + b வடிவத்தின் சமன்பாடு, ஒரு நேர் கோட்டின் திசை திசையன் அல்லது சாதாரண திசையன் ஆய ஆயங்களை எழுத அனுமதிக்காது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் வேறு வகையான சமன்பாடுகளுடன் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்.

கோணக் குணகம் கொண்ட கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விமானத்தில் உள்ள கோட்டின் நியதிச் சமன்பாட்டைப் பெறலாம். நாம் x - x 1 a x = y - y 1 a y ஐப் பெறுகிறோம். b என்ற சொல்லை இடது பக்கம் நகர்த்தி, விளைந்த சமத்துவமின்மையின் வெளிப்பாட்டால் வகுக்க வேண்டியது அவசியம். பின்னர் y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k வடிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

சாய்வுடன் கூடிய கோட்டின் சமன்பாடு இந்தக் கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடாக மாறியுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 7

கோணக் குணகம் y = - 3 x + 12 உடன் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை நியமன வடிவத்திற்குக் கொண்டு வாருங்கள்.

தீர்வு

அதை ஒரு நேர்கோட்டின் நியதிச் சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் கணக்கிட்டு வழங்குவோம். படிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

பதில்: x 1 = y - 12 - 3.

ஒரு நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாடு y = k · x + b இலிருந்து பெற எளிதானது, ஆனால் இதற்கு மாற்றங்களைச் செய்வது அவசியம்: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டிலிருந்து வேறு வகையான சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு மாற்றம் செய்யப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 8

y = 1 7 x - 2 வடிவத்தின் நேர்கோட்டு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. ஒரு → = (- 1, 7) ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட திசையன் ஒரு சாதாரண வரி திசையன் என்பதை அறியவும்?

தீர்வு

தீர்க்க, இந்த சமன்பாட்டின் மற்றொரு வடிவத்திற்கு செல்ல வேண்டியது அவசியம், இதற்காக நாம் எழுதுகிறோம்:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

மாறிகளுக்கு முன்னால் உள்ள குணகங்கள் கோட்டின் சாதாரண திசையனின் ஆயத்தொலைவுகளாகும். இதை இப்படி எழுதலாம்: n → = 1 7, - 1, எனவே 1 7 x - y - 2 = 0. திசையன் a → = (- 1, 7) என்பது திசையன் n → = 1 7, - 1 க்கு நேர்கோட்டில் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, ஏனெனில் நமக்கு நியாயமான தொடர்பு a → = - 7 · n →. அசல் திசையன் a → = - 1, 7 என்பது 1 7 x - y - 2 = 0 என்ற வரியின் இயல்பான திசையன் ஆகும், அதாவது இது y = 1 7 x - 2 வரிக்கான சாதாரண திசையன் என்று கருதப்படுகிறது.

பதில்:உள்ளது

இதன் தலைகீழ் சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

A x + B y + C = 0 என்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவத்திலிருந்து, B ≠ 0, ஒரு கோணக் குணகம் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு நகர்த்துவது அவசியம். இதைச் செய்ய, y க்கான சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம். நாம் A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B ஐப் பெறுகிறோம்.

இதன் விளைவாக - A B க்கு சமமான சாய்வுடன் கூடிய சமன்பாடு.

எடுத்துக்காட்டு 9

2 3 x - 4 y + 1 = 0 வடிவத்தின் நேர்கோட்டு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு கோண குணகத்துடன் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறவும்.

தீர்வு

நிபந்தனையின் அடிப்படையில், y ஐ தீர்க்க வேண்டியது அவசியம், பின்னர் படிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

பதில்: y = 1 6 x + 1 4 .

x a + y b = 1 வடிவத்தின் சமன்பாடு இதே வழியில் தீர்க்கப்படுகிறது, இது பிரிவுகளில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு அல்லது x - x 1 a x = y - y 1 a y வடிவத்தின் நியதி என அழைக்கப்படுகிறது. நாம் அதை y க்கு தீர்க்க வேண்டும், அப்போதுதான் சாய்வுடன் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

நியதிச் சமன்பாட்டை கோணக் குணகம் கொண்ட வடிவமாகக் குறைக்கலாம். இதைச் செய்ய:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

எடுத்துக்காட்டு 10

x 2 + y - 3 = 1 என்ற சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு நேர்கோடு உள்ளது. கோணக் குணகத்துடன் கூடிய சமன்பாட்டின் வடிவத்தைக் குறைக்கவும்.

தீர்வு.

நிபந்தனையின் அடிப்படையில், மாற்றுவது அவசியம், பின்னர் நாம் _formula_ வடிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். தேவையான சாய்வு சமன்பாட்டைப் பெற சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் - 3 ஆல் பெருக்கப்பட வேண்டும். மாற்றுவது, நாம் பெறுகிறோம்:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

பதில்: y = 3 2 x - 3 .

எடுத்துக்காட்டு 11

x - 2 2 = y + 1 5 வடிவத்தின் நேர்கோட்டுச் சமன்பாட்டை கோணக் குணகம் கொண்ட படிவமாகக் குறைக்கவும்.

தீர்வு

x - 2 2 = y + 1 5 என்ற வெளிப்பாட்டை விகிதமாகக் கணக்கிடுவது அவசியம். 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . இப்போது நீங்கள் அதை முழுமையாக இயக்க வேண்டும், இதைச் செய்ய:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

பதில்: y = 5 2 x - 6 .

இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்க்க, x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ வடிவத்தின் கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகள் கோட்டின் நியமனச் சமன்பாட்டிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும், இதற்குப் பிறகுதான் ஒருவர் சமன்பாட்டிற்குச் செல்ல முடியும். சாய்வு குணகம்.

எடுத்துக்காட்டு 12

x = λ y = - 1 + 2 · λ என்ற அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால், கோட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

பாராமெட்ரிக் பார்வையில் இருந்து சாய்வுக்கு மாறுவது அவசியம். இதைச் செய்ய, கொடுக்கப்பட்ட அளவுரு ஒன்றிலிருந்து நியமன சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம்:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

இப்போது கோண குணகத்துடன் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கு y ஐப் பொறுத்து இந்த சமத்துவத்தை தீர்க்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, இந்த வழியில் எழுதலாம்:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

கோட்டின் சாய்வு 2 என்பதை இது பின்பற்றுகிறது. இது k = 2 என எழுதப்பட்டுள்ளது.

பதில்:கே = 2.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

முந்தைய அத்தியாயத்தில், விமானத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், தற்போதைய ஆயங்களுக்கு இடையிலான சமன்பாட்டின் மூலம் பகுப்பாய்வு ரீதியாக பரிசீலனையில் உள்ள கோட்டின் புள்ளிகளை வகைப்படுத்தும் வடிவியல் பண்புகளை வெளிப்படுத்தலாம் என்று காட்டப்பட்டது. இவ்வாறு நாம் கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்த அத்தியாயம் நேர் கோடுகளின் சமன்பாடுகளைப் பார்க்கும்.

கார்ட்டீசியன் ஆயங்களில் ஒரு நேர் கோட்டிற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்க, ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் ஒப்பிடும்போது அதன் நிலையை தீர்மானிக்கும் நிபந்தனைகளை நீங்கள் எப்படியாவது அமைக்க வேண்டும்.

முதலில், ஒரு கோட்டின் கோண குணகம் என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம், இது ஒரு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் நிலையை வகைப்படுத்தும் அளவுகளில் ஒன்றாகும்.

ஆக்ஸ் அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தை ஆக்ஸ் அச்சை சுழற்ற வேண்டிய கோணம் என்று அழைப்போம், இதனால் அது கொடுக்கப்பட்ட கோட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது (அல்லது அதற்கு இணையாக மாறும்). வழக்கம் போல், அடையாளத்தை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளும் கோணத்தை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் (அடையாளம் சுழற்சியின் திசையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: எதிரெதிர் அல்லது கடிகார திசையில்). 180° கோணத்தின் மூலம் ஆக்ஸ் அச்சின் கூடுதல் சுழற்சி அதை மீண்டும் நேர் கோட்டுடன் சீரமைக்கும் என்பதால், அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தை சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி தேர்வு செய்ய முடியாது (இன் பெருக்கல் வரை) .

இந்த கோணத்தின் தொடுகோடு தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது (கோணத்தை மாற்றுவதால் அதன் தொடுகோடு மாறாது).

ஆக்ஸ் அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு நேர்கோட்டின் கோண குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

கோண குணகம் நேர் கோட்டின் திசையை வகைப்படுத்துகிறது (நேர் கோட்டின் இரண்டு எதிரெதிர் திசைகளை நாம் இங்கு வேறுபடுத்தவில்லை). ஒரு கோட்டின் சாய்வு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அந்தக் கோடு x அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும். நேர்மறை கோணக் குணகத்துடன், ஆக்ஸ் அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணம் கடுமையானதாக இருக்கும் (சாய்வு கோணத்தின் மிகச்சிறிய நேர்மறை மதிப்பை நாங்கள் இங்கே கருதுகிறோம்) (படம் 39); மேலும், அதிக கோண குணகம், ஆக்ஸ் அச்சுக்கு அதன் சாய்வின் கோணம் அதிகமாகும். கோண குணகம் எதிர்மறையாக இருந்தால், ஆக்ஸ் அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணம் மழுங்கியதாக இருக்கும் (படம் 40). ஆக்ஸ் அச்சுக்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர்கோட்டில் கோண குணகம் இல்லை (கோணத்தின் தொடுகோடு இல்லை) என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.