செயல்பாடுகள் மற்றும் கிராபிக்ஸ். அதிவேக செயல்பாடு

பாடம் எண்.2

தலைப்பு: அதிவேக செயல்பாடு, அதன் பண்புகள் மற்றும் வரைபடம்.

இலக்கு:"அதிவேக செயல்பாடு" என்ற கருத்தை மாஸ்டரிங் செய்வதன் தரத்தை சரிபார்க்கவும்; ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டை அங்கீகரிக்க, அதன் பண்புகள் மற்றும் வரைபடங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறன்கள் மற்றும் திறன்களை வளர்ப்பது, ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டை எழுதுவதற்கான பகுப்பாய்வு மற்றும் வரைகலை வடிவங்களைப் பயன்படுத்த மாணவர்களுக்கு கற்பித்தல்; வகுப்பறையில் வேலை செய்யும் சூழலை வழங்குதல்.

உபகரணங்கள்:பலகை, சுவரொட்டிகள்

பாடம் வடிவம்: வகுப்பு பாடம்

பாடம் வகை: நடைமுறை பாடம்

பாடம் வகை: கற்பித்தல் திறன்கள் மற்றும் திறன்களில் பாடம்

பாடத் திட்டம்

1. நிறுவன தருணம்

2. சுதந்திரமான வேலை மற்றும் வீட்டுப்பாடத்தை சரிபார்த்தல்

3. சிக்கலைத் தீர்ப்பது

4. சுருக்கமாக

5. வீட்டுப்பாடம்

பாடம் முன்னேற்றம்.

1. நிறுவன தருணம் :

வணக்கம். உங்கள் குறிப்பேடுகளைத் திறந்து, இன்றைய தேதி மற்றும் "அதிவேக செயல்பாடு" பாடத்தின் தலைப்பை எழுதவும். இன்று நாம் அதிவேக செயல்பாடு, அதன் பண்புகள் மற்றும் வரைபடத்தை தொடர்ந்து படிப்போம்.

2. சுதந்திரமான வேலை மற்றும் வீட்டுப்பாடத்தை சரிபார்த்தல் .

இலக்கு:"அதிவேக செயல்பாடு" என்ற கருத்தின் தேர்ச்சியின் தரத்தை சரிபார்த்து, வீட்டுப்பாடத்தின் கோட்பாட்டு பகுதியின் நிறைவை சரிபார்க்கவும்

முறை:சோதனை பணி, முன் ஆய்வு

வீட்டுப்பாடமாக, சிக்கல் புத்தகத்திலிருந்து எண்களும் பாடப்புத்தகத்திலிருந்து ஒரு பத்தியும் உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளன. பாடப்புத்தகத்திலிருந்து உங்கள் எண்களை செயல்படுத்துவதை நாங்கள் இப்போது சரிபார்க்க மாட்டோம், ஆனால் பாடத்தின் முடிவில் உங்கள் குறிப்பேடுகளை வழங்குவீர்கள். இப்போது கோட்பாடு ஒரு சிறிய சோதனை வடிவத்தில் சோதிக்கப்படும். பணி அனைவருக்கும் ஒரே மாதிரியானது: உங்களுக்கு செயல்பாடுகளின் பட்டியல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அவற்றில் எது சுட்டிக்காட்டுகிறது என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் (அவற்றை அடிக்கோடிட்டுக் காட்டவும்). மேலும் அதிவேக செயல்பாட்டிற்கு அடுத்ததாக அது அதிகரிக்கிறதா அல்லது குறைகிறதா என்பதை எழுத வேண்டும்.

விருப்பம் 1 பதில் B) D) - அதிவேக, குறைதல்	விருப்பம் 2 பதில் D) - அதிவேக, குறைதல் D) - அதிவேக, அதிகரிக்கும்
விருப்பம் 3 பதில் A) - அதிவேக, அதிகரிக்கும் B) - அதிவேக, குறைதல்	விருப்பம் 4 பதில் A) - அதிவேக, குறைதல் IN) - அதிவேக, அதிகரிக்கும்

இப்போது ஒன்றாக நினைவில் கொள்வோம் எந்த செயல்பாடு அதிவேகமாக அழைக்கப்படுகிறது?

படிவத்தின் செயல்பாடு , எங்கே மற்றும் , ஒரு அதிவேக செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த செயல்பாட்டின் நோக்கம் என்ன?

அனைத்து உண்மையான எண்கள்.

அதிவேக செயல்பாட்டின் வரம்பு என்ன?

அனைத்து நேர்மறை உண்மையான எண்கள்.

சக்தியின் அடிப்பகுதி பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தாலும் ஒன்றுக்கு குறைவாக இருந்தால் குறையும்.

எந்த நிலையில் ஒரு அதிவேக செயல்பாடு அதன் வரையறையின் களத்தில் குறைகிறது?

சக்தியின் அடிப்பகுதி ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால் அதிகரிக்கும்.

3. சிக்கலைத் தீர்ப்பது

இலக்கு: ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டை அங்கீகரிப்பதில் திறன்களை வளர்த்துக் கொள்ள, அதன் பண்புகள் மற்றும் வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி, ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டை எழுதுவதற்கான பகுப்பாய்வு மற்றும் வரைகலை வடிவங்களைப் பயன்படுத்த மாணவர்களுக்கு கற்பிக்கவும்.

முறை: வழக்கமான பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் ஆசிரியரின் ஆர்ப்பாட்டம், வாய்வழி வேலை, கரும்பலகையில் வேலை, ஒரு குறிப்பேட்டில் வேலை, ஆசிரியர் மற்றும் மாணவர்களிடையே உரையாடல்.

2 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை ஒப்பிடும்போது அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகள் பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக: எண். 000. மதிப்புகளை ஒப்பிடுக மற்றும் இருந்தால் a) ..gif" width="37" height="20 src=">, இது மிகவும் சிக்கலான வேலை: நாம் 3 மற்றும் 9 இன் கனசதுர மூலத்தை எடுத்து அவற்றை ஒப்பிட வேண்டும். ஆனால் அது அதிகரிக்கிறது என்பதை நாங்கள் அறிவோம், இது அதன் சொந்த வழியில் திரும்பினால், வாதம் அதிகரிக்கும் போது, ​​செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதிகரிக்கிறது, அதாவது, வாதத்தின் மதிப்புகளை நாம் ஒப்பிட்டுப் பார்க்க வேண்டும், அது வெளிப்படையானது (அதிகரிக்கும் அதிவேக செயல்பாட்டைக் காட்டும் ஒரு சுவரொட்டியில் நிரூபிக்கப்படலாம்). எப்பொழுதும், அத்தகைய உதாரணங்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் முதலில் அதிவேக செயல்பாட்டின் அடிப்படையை தீர்மானிக்கிறீர்கள், அதை 1 உடன் ஒப்பிட்டு, மோனோடோனிசிட்டியை தீர்மானித்து, வாதங்களை ஒப்பிடுவதற்கு தொடரவும். குறையும் செயல்பாட்டில்: வாதம் அதிகரிக்கும் போது, ​​செயல்பாட்டின் மதிப்பு குறைகிறது, எனவே, வாதங்களின் சமத்துவமின்மையிலிருந்து செயல்பாடுகளின் சமத்துவமின்மைக்கு நகரும் போது சமத்துவமின்மையின் அடையாளத்தை மாற்றுகிறோம். அடுத்து, நாங்கள் வாய்வழியாக தீர்க்கிறோம்: b)

-

IN)

-

ஜி)

-

- எண் 000. எண்களை ஒப்பிடுக: a) மற்றும்

எனவே, செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, பின்னர்

ஏன் ?

செயல்பாடு அதிகரிக்கும் மற்றும்

எனவே, செயல்பாடு குறைந்து வருகிறது

இரண்டு செயல்பாடுகளும் அவற்றின் வரையறையின் முழுப் பகுதியிலும் அதிகரிக்கின்றன, ஏனெனில் அவை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சக்தியின் அடிப்படையுடன் அதிவேகமாக உள்ளன.

அதன் பின்னால் உள்ள பொருள் என்ன?

நாங்கள் வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம்:

https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> முயற்சி செய்யும் போது எந்த செயல்பாடு வேகமாக அதிகரிக்கிறது

https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> முயற்சி செய்யும் போது எந்த செயல்பாடு வேகமாக குறைகிறது

இடைவெளியில், ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் எந்த செயல்பாடுகளுக்கு அதிக மதிப்பு உள்ளது?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. முதலில், இந்த செயல்பாடுகளின் வரையறையின் நோக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். அவை ஒத்துப்போகின்றனவா?

ஆம், இந்த செயல்பாடுகளின் டொமைன் அனைத்தும் உண்மையான எண்கள்.

இந்த செயல்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் நோக்கத்தையும் பெயரிடவும்.

இந்த செயல்பாடுகளின் வரம்புகள் ஒத்துப்போகின்றன: அனைத்து நேர்மறை உண்மையான எண்களும்.

ஒவ்வொரு செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி வகையைத் தீர்மானிக்கவும்.

மூன்று செயல்பாடுகளும் அவற்றின் வரையறையின் முழுப் பகுதியிலும் குறைகின்றன, ஏனெனில் அவை ஒன்றுக்கும் குறைவான மற்றும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான சக்திகளின் அடிப்படையுடன் அதிவேகமாக உள்ளன.

அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் என்ன சிறப்பு புள்ளி உள்ளது?

அதன் பின்னால் உள்ள பொருள் என்ன?

அதிவேகச் செயல்பாட்டின் அளவின் அடிப்படை எதுவாக இருந்தாலும், அடுக்கு 0 ஐக் கொண்டிருந்தால், இந்தச் சார்பின் மதிப்பு 1 ஆகும்.

நாங்கள் வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம்:

வரைபடங்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம். செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் எத்தனை குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன?

https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57"> முயற்சி செய்யும் போது எந்த செயல்பாடு வேகமாக குறைகிறது

https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57"> முயற்சி செய்யும் போது எந்த செயல்பாடு வேகமாக அதிகரிக்கிறது

இடைவெளியில், ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் எந்த செயல்பாடுகளுக்கு அதிக மதிப்பு உள்ளது?

இடைவெளியில், ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் எந்த செயல்பாடுகளுக்கு அதிக மதிப்பு உள்ளது?

வெவ்வேறு தளங்களைக் கொண்ட அதிவேக செயல்பாடுகள் ஏன் ஒரே ஒரு வெட்டுப்புள்ளியைக் கொண்டுள்ளன?

அதிவேக செயல்பாடுகள் அவற்றின் வரையறையின் முழுப் பகுதியிலும் கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் ஆகும், எனவே அவை ஒரு கட்டத்தில் மட்டுமே வெட்ட முடியும்.

அடுத்த பணி இந்த சொத்தைப் பயன்படுத்துவதில் கவனம் செலுத்தும். எண். 000. கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் a) . ஒரு கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்ட பிரிவின் முனைகளில் அதன் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. மேலும் செயல்பாடு அதிகரித்துக் கொண்டிருந்தால், அதன் மிகப்பெரிய மதிப்பு பிரிவின் வலது முனையிலும், சிறியது பிரிவின் இடது முனையிலும் இருக்கும் (சுவரொட்டியில் உள்ள ஆர்ப்பாட்டம், அதிவேக செயல்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி). செயல்பாடு குறைந்துவிட்டால், அதன் மிகப்பெரிய மதிப்பு பிரிவின் இடது முனையிலும், சிறியது பிரிவின் வலது முனையிலும் இருக்கும் (சுவரொட்டியில் உள்ள ஆர்ப்பாட்டம், அதிவேக செயல்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி). செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது, ஏனெனில், செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பு https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" என்ற புள்ளியில் இருக்கும். > புள்ளிகள் b) , V) ஈ) குறிப்பேடுகளை நீங்களே தீர்க்கவும், நாங்கள் அவற்றை வாய்வழியாக சரிபார்ப்போம்.

மாணவர்கள் தங்கள் குறிப்பேடுகளில் பணியைத் தீர்க்கிறார்கள்

செயல்பாடு குறைகிறது

செயல்பாடு குறைகிறது பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பு ஒரு பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பு

செயல்பாடு அதிகரிக்கும் ஒரு பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பு பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பு

- எண். 000. கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைக் கண்டறியவும் a) . இந்த பணி முந்தையதைப் போலவே உள்ளது. ஆனால் இங்கே கொடுக்கப்பட்டிருப்பது ஒரு பிரிவு அல்ல, ஆனால் ஒரு கதிர். செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது என்பதை நாங்கள் அறிவோம், மேலும் இது முழு எண் வரிசையில் மிகப்பெரிய அல்லது சிறிய மதிப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = 20 . புள்ளிகள் b) , V) , ஜி) குறிப்பேடுகளை நீங்களே தீர்க்கவும், நாங்கள் அவற்றை வாய்வழியாக சரிபார்ப்போம்.

1. ஒரு அதிவேகச் சார்பு என்பது y(x) = a x என்ற படிவத்தின் சார்பு ஆகும், இது x என்ற அதிவேகத்தைப் பொறுத்து, a > 0, a ≠ 0, xϵR (R என்பது பட்டம்) உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு).

கருத்தில் கொள்வோம் அடிப்படை நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை என்றால் செயல்பாட்டின் வரைபடம்: a>0
a) a< 0
ஒரு என்றால்< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2

a = 0 எனில், செயல்பாடு y = வரையறுக்கப்பட்டு 0 இன் நிலையான மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது

c) a =1
a = 1 எனில், செயல்பாடு y = வரையறுக்கப்பட்டு 1 இன் நிலையான மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது

2. அதிவேக செயல்பாட்டைக் கூர்ந்து கவனிப்போம்:

0

செயல்பாட்டு டொமைன் (DOF)

அனுமதிக்கப்பட்ட செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் வரம்பு (APV)

3. செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் (y = 0)

4. ஆர்டினேட் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகள் (x = 0)

5. செயல்பாடுகளை அதிகரிப்பது, குறைப்பது

என்றால், f(x) செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது
என்றால், f(x) செயல்பாடு குறைகிறது
செயல்பாடு y= , 0 இல் செயல்பாடு y =, a> 1க்கு, ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது
இது ஒரு உண்மையான அடுக்குடன் கூடிய சக்தியின் மோனோடோனிசிட்டியின் பண்புகளிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

6. சம, ஒற்றைப்படை செயல்பாடு

y = சார்பு 0y அச்சைப் பொறுத்தமட்டில் சமச்சீராக இல்லை மற்றும் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் சம்பந்தமாக, அது சமச்சீரற்றதாகவோ அல்லது ஒற்றைப்படையாகவோ இல்லை. (பொது செயல்பாடு)

7. செயல்பாடு y = எக்ஸ்ட்ரீமா இல்லை

8. உண்மையான அடுக்குடன் பட்டத்தின் பண்புகள்:

a > 0; a≠1
b> 0; b≠1

பின்னர் xϵRக்கு; yϵR:

பட்டம் மோனோடோனிசிட்டியின் பண்புகள்:

என்றால், பின்னர்
உதாரணமாக:

a> 0 எனில், .
அதிவேக செயல்பாடு எந்த புள்ளியிலும் ϵ R தொடர்கிறது.

9. செயல்பாட்டின் உறவினர் நிலை

பெரிய அடித்தளம், x மற்றும் oy அச்சுகளுக்கு நெருக்கமாக இருக்கும்

a > 1, a = 20

a0 என்றால், அதிவேக சார்பு y = 0 க்கு அருகில் ஒரு வடிவத்தை எடுக்கும்.
a1 எனில், ox மற்றும் oy அச்சுகளில் இருந்து மேலும் வரைபடம் y = 1 செயல்பாட்டிற்கு நெருக்கமான வடிவத்தை எடுக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.
y = இன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்

பெரும்பாலான கணித சிக்கல்களை ஒரு வழியில் அல்லது வேறு வழியில் தீர்ப்பது எண், இயற்கணிதம் அல்லது செயல்பாட்டு வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதை உள்ளடக்கியது. மேற்கூறியவை குறிப்பாக தீர்மானத்திற்கு பொருந்தும். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பதிப்புகளில், இந்த வகை சிக்கலில், குறிப்பாக, பணி C3 அடங்கும். சி 3 பணிகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்வது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெறுவது மட்டுமல்லாமல், உயர்நிலைப் பள்ளியில் கணிதப் பாடத்தைப் படிக்கும்போது இந்த திறன் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதற்காகவும் முக்கியமானது.

C3 பணிகளை முடிக்கும்போது, ​​நீங்கள் பல்வேறு வகையான சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்க வேண்டும். அவற்றில் பகுத்தறிவு, பகுத்தறிவற்ற, அதிவேக, மடக்கை, முக்கோணவியல், தொகுதிகள் (முழுமையான மதிப்புகள்) மற்றும் ஒருங்கிணைந்தவை. இந்த கட்டுரை அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் முக்கிய வகைகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான பல்வேறு முறைகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது. கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்விலிருந்து C3 சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட கட்டுரைகளில் "" பிரிவில் உள்ள பிற வகையான சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது பற்றி படிக்கவும்.

நாம் குறிப்பிட்ட பகுப்பாய்வு தொடங்கும் முன் அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள், ஒரு கணித ஆசிரியராக, எங்களுக்குத் தேவைப்படும் சில தத்துவார்த்த விஷயங்களைப் பற்றித் துலக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறேன்.

அதிவேக செயல்பாடு

அதிவேக செயல்பாடு என்றால் என்ன?

படிவத்தின் செயல்பாடு ஒய் = ஒரு x, எங்கே அ> 0 மற்றும் அ≠ 1 அழைக்கப்படுகிறது அதிவேக செயல்பாடு.

அடிப்படை அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகள் ஒய் = ஒரு x:

ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடம்

அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடம் அடுக்கு:

அதிவேக செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் (அடுக்குகள்)

அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

குறிக்கும்அறியப்படாத மாறி சில சக்திகளின் அடுக்குகளில் மட்டுமே காணப்படும் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

தீர்க்க அதிவேக சமன்பாடுகள்பின்வரும் எளிய தேற்றத்தை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் பயன்படுத்த முடியும்:

தேற்றம் 1.அதிவேக சமன்பாடு அ f(x) = அ g(x) (எங்கே அ > 0, அ≠ 1) சமன்பாட்டிற்குச் சமம் f(x) = g(x).

கூடுதலாக, டிகிரிகளுடன் அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் செயல்பாடுகளை நினைவில் கொள்வது பயனுள்ளது:

தலைப்பு=" QuickLaTeX.com ஆல் வழங்கப்பட்டுள்ளது">!}

எடுத்துக்காட்டு 1.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் மற்றும் மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

பின்னர் சமன்பாடு மாறும்:

இதன் விளைவாக வரும் இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு நேர்மறையானது:

தலைப்பு=" QuickLaTeX.com ஆல் வழங்கப்பட்டுள்ளது">!}

இதன் பொருள் இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. நாங்கள் அவற்றைக் காண்கிறோம்:

தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குச் செல்லும்போது, ​​​​நாம் பெறுகிறோம்:

இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் அதிவேக செயல்பாடு வரையறையின் முழு களத்திலும் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக உள்ளது. இரண்டாவது ஒன்றைத் தீர்ப்போம்:

தேற்றம் 1 இல் கூறப்பட்டதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நாம் சமமான சமன்பாட்டிற்கு செல்கிறோம்: x= 3. இது பணிக்கான விடையாக இருக்கும்.

பதில்: x = 3.

எடுத்துக்காட்டு 2.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:எந்தவொரு மதிப்பிற்கும் தீவிர வெளிப்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருப்பதால், சமன்பாட்டிற்கு அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பில் எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை. x(அதிவேக செயல்பாடு ஒய் = 9 4 -xநேர்மறை மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை).

பெருக்கல் மற்றும் அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்தி சமமான மாற்றங்களின் மூலம் சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

கடைசி மாற்றம் தேற்றம் 1 இன் படி மேற்கொள்ளப்பட்டது.

பதில்:x= 6.

எடுத்துக்காட்டு 3.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0.2 ஆல் வகுக்க முடியும் x. எந்த மதிப்பிற்கும் இந்த வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருப்பதால், இந்த மாற்றம் சமமானதாக இருக்கும் x(அதிவேக செயல்பாடு அதன் வரையறையின் களத்தில் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக உள்ளது). பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

பதில்: x = 0.

எடுத்துக்காட்டு 4.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:கட்டுரையின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்ட அதிகாரங்களைப் பிரித்தல் மற்றும் பெருக்குதல் ஆகியவற்றின் விதிகளைப் பயன்படுத்தி சமமான மாற்றங்களின் மூலம் சமன்பாட்டை ஒரு தொடக்க நிலைக்கு எளிதாக்குகிறோம்:

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 4 ஆல் வகுத்தல் x, முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போலவே, இந்த வெளிப்பாடு எந்த மதிப்புகளுக்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாததால், ஒரு சமமான மாற்றமாகும். x.

பதில்: x = 0.

எடுத்துக்காட்டு 5.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:செயல்பாடு ஒய் = 3x, சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் நின்று, அதிகரித்து வருகிறது. செயல்பாடு ஒய் = —xசமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் -2/3 குறைந்து வருகிறது. இதன் பொருள் இந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் வெட்டினால், அதிகபட்சம் ஒரு கட்டத்தில். இந்த வழக்கில், வரைபடங்கள் புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்று யூகிக்க எளிதானது x= -1. வேறு வேர்கள் இருக்காது.

பதில்: x = -1.

எடுத்துக்காட்டு 6.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:எந்தவொரு மதிப்பிற்கும் அதிவேக செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட கண்டிப்பாக அதிகமாக இருக்கும் என்பதை எல்லா இடங்களிலும் மனதில் வைத்து, சமமான மாற்றங்களின் மூலம் சமன்பாட்டை எளிதாக்குகிறோம். xகட்டுரையின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்ட தயாரிப்பு மற்றும் அதிகாரங்களின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்துதல்:

பதில்: x = 2.

அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

குறிக்கும்அறியப்படாத மாறி சில சக்திகளின் அடுக்குகளில் மட்டுமே இருக்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

தீர்க்க அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள்பின்வரும் கோட்பாட்டின் அறிவு தேவை:

தேற்றம் 2.என்றால் அ> 1, பின்னர் சமத்துவமின்மை அ f(x) > அ g(x) அதே பொருளின் சமத்துவமின்மைக்கு சமம்: f(x) > g(x) 0 என்றால்< அ < 1, то показательное неравенство அ f(x) > அ g(x) எதிர் அர்த்தத்தின் சமத்துவமின்மைக்கு சமம்: f(x) < g(x).

எடுத்துக்காட்டு 7.சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

தீர்வு:அசல் சமத்துவமின்மையை வடிவத்தில் முன்வைப்போம்:

இந்த சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் 3 2 ஆல் வகுப்போம் x, இந்த விஷயத்தில் (செயல்பாட்டின் நேர்மறை காரணமாக ஒய்= 3 2x) சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறாது:

மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்:

பின்னர் சமத்துவமின்மை வடிவம் எடுக்கும்:

எனவே, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இடைவெளி:

தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குச் செல்லும்போது, ​​​​நாம் பெறுகிறோம்:

அதிவேக செயல்பாட்டின் நேர்மறை காரணமாக, இடது சமத்துவமின்மை தானாகவே திருப்தி அடைகிறது. மடக்கையின் நன்கு அறியப்பட்ட பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சமமான சமத்துவமின்மைக்கு நாம் செல்கிறோம்:

பட்டத்தின் அடிப்பகுதி ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட எண்ணாக இருப்பதால், சமமான (தேற்றம் 2 மூலம்) பின்வரும் சமத்துவமின்மைக்கு மாற்றமாகும்:

எனவே, நாங்கள் இறுதியாக பெறுகிறோம் பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 8.சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

தீர்வு:பெருக்கல் மற்றும் அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதற்கான பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவமின்மையை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

இந்த மாற்றீட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், சமத்துவமின்மை வடிவம் பெறுகிறது:

பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 7 ஆல் பெருக்கினால், பின்வரும் சமமான சமத்துவமின்மையை நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே, மாறியின் பின்வரும் மதிப்புகள் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கின்றன டி:

பின்னர், தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குச் செல்லும்போது, ​​​​நாம் பெறுகிறோம்:

இங்கு பட்டத்தின் அடிப்பகுதி ஒன்று விட அதிகமாக இருப்பதால், சமத்துவமின்மைக்கான மாற்றம் சமமானதாக இருக்கும் (தேற்றம் 2 மூலம்):

இறுதியாக நாம் பெறுகிறோம் பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 9.சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

தீர்வு:

சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் வெளிப்பாட்டின் மூலம் பிரிக்கிறோம்:

இது எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும் (அதிவேக செயல்பாட்டின் நேர்மறை காரணமாக), எனவே சமத்துவமின்மை குறியை மாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

t இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது:

தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குச் செல்லும்போது, ​​அசல் சமத்துவமின்மை இரண்டு நிகழ்வுகளாகப் பிரிவதைக் காண்கிறோம்:

அதிவேக செயல்பாட்டின் நேர்மறை காரணமாக முதல் சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வுகள் இல்லை. இரண்டாவது ஒன்றைத் தீர்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 10.சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

தீர்வு:

பரவளைய கிளைகள் ஒய் = 2x+2-x 2 கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது, எனவே அது அதன் உச்சியில் அடையும் மதிப்பால் மேலே இருந்து வரம்பிடப்படுகிறது:

பரவளைய கிளைகள் ஒய் = x 2 -2xகுறிகாட்டியில் உள்ள +2 மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது, அதாவது அதன் உச்சியில் அடையும் மதிப்பின் கீழ் அது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது:

அதே நேரத்தில், செயல்பாடு கீழே இருந்து வரம்புக்குட்பட்டதாக மாறிவிடும் ஒய் = 3 x 2 -2x+2, இது சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ளது. இது அதிவேகத்தில் உள்ள பரவளையத்தின் அதே புள்ளியில் அதன் மிகச்சிறிய மதிப்பை அடைகிறது, மேலும் இந்த மதிப்பு 3 1 = 3. எனவே, இடதுபுறத்தில் உள்ள செயல்பாடு மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள செயல்பாடு மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டால் மட்டுமே அசல் சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கும். , 3 க்கு சமம் (இந்த செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் வரம்புகளின் குறுக்குவெட்டு இந்த எண் மட்டுமே). இந்த நிபந்தனை ஒரு கட்டத்தில் திருப்தி அடைகிறது x = 1.

பதில்: x= 1.

முடிவு செய்ய கற்றுக் கொள்வதற்காக அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்,அவற்றைத் தீர்ப்பதில் தொடர்ந்து பயிற்சி பெறுவது அவசியம். பல்வேறு கற்பித்தல் உதவிகள், தொடக்கக் கணிதத்தில் சிக்கல் புத்தகங்கள், போட்டி சிக்கல்களின் தொகுப்புகள், பள்ளியில் கணித வகுப்புகள், அத்துடன் தொழில்முறை ஆசிரியருடன் தனிப்பட்ட பாடங்கள் ஆகியவை இந்த கடினமான பணியில் உங்களுக்கு உதவும். உங்கள் தயாரிப்பில் நீங்கள் வெற்றிபெறவும், தேர்வில் சிறந்த முடிவுகளைப் பெறவும் நான் மனதார வாழ்த்துகிறேன்.

செர்ஜி வலேரிவிச்

P.S அன்புள்ள விருந்தினர்களே! கருத்துகளில் உங்கள் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க கோரிக்கைகளை எழுத வேண்டாம். துரதிர்ஷ்டவசமாக, இதற்கு எனக்கு நேரமில்லை. அத்தகைய செய்திகள் நீக்கப்படும். தயவுசெய்து கட்டுரையைப் படியுங்கள். உங்கள் பணியை நீங்களே தீர்க்க அனுமதிக்காத கேள்விகளுக்கான பதில்களை அதில் காணலாம்.

முதலில் ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

அதிவேக செயல்பாடு $f\left(x\right)=a^x$, இங்கு $a >1$.

$a >1$க்கான அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகளை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

\\[வேர்கள் இல்லை\] \

ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் வெட்டும். செயல்பாடு $Ox$ அச்சில் குறுக்கிடவில்லை, ஆனால் $(0,1)$ புள்ளியில் $Oy$ அச்சை வெட்டுகிறது.

$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$

\\[வேர்கள் இல்லை\] \

வரைபடம் (படம் 1).

படம் 1. செயல்பாட்டின் வரைபடம் $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$.

அதிவேக செயல்பாடு $f\left(x\right)=a^x$, இங்கு $0

அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகளை $0 இல் அறிமுகப்படுத்துவோம்

வரையறையின் களம் அனைத்தும் உண்மையான எண்கள்.

$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- செயல்பாடு சமமாகவோ அல்லது ஒற்றைப்படையாகவோ இல்லை.

$f(x)$ என்பது வரையறையின் முழுக் களத்திலும் தொடர்கிறது.

மதிப்புகளின் வரம்பு இடைவெளி $(0,+\infty)$ ஆகும்.

$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$

\ \[வேர்கள் இல்லை\] \ \[வேர்கள் இல்லை\] \

செயல்பாடு வரையறையின் முழு களத்திலும் குவிந்துள்ளது.

டொமைனின் முனைகளில் நடத்தை:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

வரைபடம் (படம் 2).

அதிவேக செயல்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான சிக்கலின் எடுத்துக்காட்டு

$y=2^x+3$ செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து திட்டமிடவும்.

தீர்வு.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஆய்வை மேற்கொள்வோம்:

வரையறையின் களம் அனைத்தும் உண்மையான எண்கள்.

$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- செயல்பாடு சமமாகவோ அல்லது ஒற்றைப்படையாகவோ இல்லை.

$f(x)$ என்பது வரையறையின் முழுக் களத்திலும் தொடர்கிறது.

மதிப்புகளின் வரம்பு இடைவெளி $(3,+\infty)$ ஆகும்.

$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$

வரையறையின் முழு களத்திலும் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.

வரையறையின் முழு டொமைன் முழுவதும் $f(x)\ge 0$.

ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் வெட்டும். செயல்பாடு $Ox$ அச்சில் குறுக்கிடவில்லை, ஆனால் $Oy$ அச்சை ($0,4)$ என்ற புள்ளியில் வெட்டுகிறது.

$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$

செயல்பாடு வரையறையின் முழு களத்திலும் குவிந்துள்ளது.

டொமைனின் முனைகளில் நடத்தை:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]

வரைபடம் (படம் 3).

படம் 3. செயல்பாட்டின் வரைபடம் $f\left(x\right)=2^x+3$

அறிவின் ஹைப்பர் மார்க்கெட் >>கணிதம் >>கணிதம் 10ம் வகுப்பு >>

அதிவேக செயல்பாடு, அதன் பண்புகள் மற்றும் வரைபடம்

2x என்ற வெளிப்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் x மாறியின் பல்வேறு பகுத்தறிவு மதிப்புகளுக்கு அதன் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம், எடுத்துக்காட்டாக, x = 2;

பொதுவாக, x மாறிக்கு நாம் என்ன பகுத்தறிவு அர்த்தத்தை வழங்கினாலும், 2 x என்ற வெளிப்பாட்டின் தொடர்புடைய எண் மதிப்பை எப்போதும் கணக்கிடலாம். எனவே, நாம் அதிவேகத்தைப் பற்றி பேசலாம் செயல்பாடுகள் y=2 x, பகுத்தறிவு எண்களின் Q தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது:

இந்த செயல்பாட்டின் சில அம்சங்களைப் பார்ப்போம்.

சொத்து 1.- செயல்பாடு அதிகரிக்கும். நாங்கள் இரண்டு நிலைகளில் ஆதாரத்தை மேற்கொள்கிறோம்.
முதல் நிலை. r என்பது நேர்மறை விகிதமுறு எண் என்றால், 2 r >1 என்பதை நிரூபிப்போம்.
இரண்டு சந்தர்ப்பங்கள் சாத்தியம்: 1) r என்பது இயற்கை எண், r = n; 2) சாதாரண குறைக்க முடியாதது பின்னம்,

நம்மிடம் உள்ள கடைசி சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் , மற்றும் வலது பக்கம் 1. அதாவது கடைசி சமத்துவமின்மையை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம்

எனவே, எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், சமத்துவமின்மை 2 r > 1 உள்ளது, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

இரண்டாம் நிலை. x 1 மற்றும் x 2 எண்களாகவும், x 1 மற்றும் x 2 ஆகவும் இருக்கட்டும்< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(x 2 - x 1 என்ற வித்தியாசத்தை r என்ற எழுத்தில் குறிப்பிட்டோம்).

r என்பது நேர்மறை விகிதமுறு எண் என்பதால், முதல் கட்டத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டதன் மூலம், 2 r > 1, அதாவது. 2 ஆர் -1 >0. 2x" என்ற எண்ணும் நேர்மறை, அதாவது 2 x-1 (2 Г -1) என்பதும் நேர்மறை. சமத்துவமின்மை 2 Xg -2x" >0.

எனவே, சமத்துவமின்மையிலிருந்து x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

சொத்து 2.கீழே இருந்து வரம்புக்குட்பட்டது மற்றும் மேலே இருந்து வரம்பு இல்லை.
கீழே இருந்து செயல்பாட்டின் எல்லையானது சமத்துவமின்மை 2 x >0 இலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, இது செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து x இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் செல்லுபடியாகும். அதே நேரத்தில், நீங்கள் எந்த நேர்மறை எண்ணை எடுத்தாலும், நீங்கள் எப்போதும் ஒரு அடுக்கு x ஐ தேர்வு செய்யலாம், அதாவது சமத்துவமின்மை 2 x >M திருப்தி அடையும் - இது மேலே இருந்து செயல்பாட்டின் வரம்பற்ற தன்மையை வகைப்படுத்துகிறது. பல உதாரணங்களைத் தருவோம்.

சொத்து 3.சிறிய அல்லது பெரிய மதிப்பு இல்லை.

இந்த செயல்பாடு மிகவும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது அல்ல என்பது வெளிப்படையானது, ஏனெனில், நாம் இப்போது பார்த்தபடி, அது மேலே வரம்பற்றது. ஆனால் அது கீழே இருந்து வரம்பிடப்பட்டுள்ளது, அது ஏன் குறைந்தபட்ச மதிப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை?

2 r என்பது செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பு (r என்பது சில பகுத்தறிவு காட்டி) என்று வைத்துக் கொள்வோம். q என்ற பகுத்தறிவு எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

இதெல்லாம் நல்லது, நீங்கள் சொல்கிறீர்கள், ஆனால் y-2 x செயல்பாட்டை ஏன் பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பில் மட்டுமே கருதுகிறோம், முழு எண் கோட்டில் அல்லது சில தொடர்ச்சியான இடைவெளியில் மற்ற அறியப்பட்ட செயல்பாடுகளைப் போல ஏன் கருதக்கூடாது? எண் கோடு? எது நம்மைத் தடுக்கிறது? நிலைமையை யோசிப்போம்.

எண் கோட்டில் பகுத்தறிவு மட்டுமல்ல, பகுத்தறிவற்ற எண்களும் உள்ளன. முன்பு படித்த செயல்பாடுகளுக்கு இது எங்களைத் தொந்தரவு செய்யவில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, x இன் பகுத்தறிவு மற்றும் பகுத்தறிவற்ற மதிப்புகள் இரண்டிற்கும் y = x2 செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை சமமாக எளிதாகக் கண்டறிந்தோம்: கொடுக்கப்பட்ட x மதிப்பை சதுரப்படுத்த இது போதுமானது.

ஆனால் y=2 x செயல்பாட்டில் நிலைமை மிகவும் சிக்கலானது. வாதம் x க்கு ஒரு பகுத்தறிவு அர்த்தம் கொடுக்கப்பட்டால், கொள்கையளவில் x ஐக் கணக்கிடலாம் (பத்தியின் தொடக்கத்திற்கு மீண்டும் செல்லுங்கள், அங்கு நாங்கள் இதைச் செய்தோம்). வாதம் x க்கு பகுத்தறிவற்ற அர்த்தம் கொடுக்கப்பட்டால் என்ன செய்வது? உதாரணமாக, எப்படி கணக்கிடுவது? இது எங்களுக்கு இன்னும் தெரியாது.
கணிதவியலாளர்கள் ஒரு வழியைக் கண்டுபிடித்துள்ளனர்; என்று அவர்கள் நியாயப்படுத்தினர்.

என்பது தெரிந்ததே பகுத்தறிவு எண்களின் வரிசையைக் கவனியுங்கள் - தீமையின்படி ஒரு எண்ணின் தசம தோராயங்கள்:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

1.732 = 1.7320, மற்றும் 1.732050 = 1.73205 என்பது தெளிவாகிறது. இதுபோன்ற மறுநிகழ்வுகளைத் தவிர்க்க, 0 என்ற எண்ணுடன் முடிவடையும் வரிசையின் உறுப்பினர்களை நிராகரிக்கிறோம்.

பின்னர் நாம் அதிகரிக்கும் வரிசையைப் பெறுகிறோம்:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

அதன்படி, வரிசை அதிகரிக்கிறது

இந்த வரிசையின் அனைத்து விதிமுறைகளும் 22 க்கும் குறைவான நேர்மறை எண்கள், அதாவது. இந்த வரிசை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. வீயர்ஸ்ட்ராஸின் தேற்றத்தின்படி (§ 30 ஐப் பார்க்கவும்), ஒரு வரிசை அதிகரித்து வரம்பாக இருந்தால், அது ஒன்றிணைகிறது. கூடுதலாக, § 30 இலிருந்து ஒரு வரிசை ஒன்றிணைந்தால், அது ஒரு வரம்புக்கு மட்டுமே செல்கிறது என்பதை அறிவோம். இந்த ஒற்றை வரம்பு எண் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பாகக் கருதப்பட வேண்டும் என்று ஒப்புக்கொள்ளப்பட்டது. எண் வெளிப்பாடு 2 இன் தோராயமான மதிப்பைக் கூட கண்டுபிடிப்பது மிகவும் கடினம் என்பது முக்கியமல்ல; இது ஒரு குறிப்பிட்ட எண் என்பது முக்கியம் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது ஒரு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர் என்று சொல்ல நாங்கள் பயப்படவில்லை, ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் வேர், உண்மையில் இந்த எண்கள் என்ன என்பதைப் பற்றி சிந்திக்காமல்:
எனவே, கணிதவியலாளர்கள் 2^ என்ற குறியீட்டில் என்ன அர்த்தத்தை வைக்கிறார்கள் என்பதை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம். இதேபோல், a என்றால் என்ன மற்றும் பொதுவாக என்ன என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம், இதில் a என்பது ஒரு விகிதாசார எண் மற்றும் a > 1.
ஆனால் 0 என்றால் என்ன<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
இப்போது நாம் தன்னிச்சையான பகுத்தறிவு அடுக்குகளைக் கொண்ட அதிகாரங்களைப் பற்றி மட்டுமல்ல, தன்னிச்சையான உண்மையான அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளைப் பற்றியும் பேசலாம். எந்த உண்மையான அடுக்குகளைக் கொண்ட டிகிரிகளும் டிகிரிகளின் அனைத்து வழக்கமான பண்புகளையும் கொண்டிருக்கின்றன என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது: அதே அடிப்படைகளுடன் சக்திகளைப் பெருக்கும்போது, ​​​​அடுக்குகள் சேர்க்கப்படுகின்றன, வகுக்கும் போது, ​​​​அவை கழிக்கப்படுகின்றன, ஒரு பட்டத்தை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும்போது, ​​அவை பெருக்கப்படுகின்றன, முதலியன ஆனால் மிக முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பிலும் வரையறுக்கப்பட்ட y-ax செயல்பாட்டைப் பற்றி இப்போது பேசலாம்.
y = 2 x செயல்பாட்டிற்கு திரும்பி அதன் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம். இதைச் செய்ய, y=2x செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணையை உருவாக்குவோம்:

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் (படம் 194) புள்ளிகளைக் குறிக்கலாம், அவை ஒரு குறிப்பிட்ட கோட்டைக் குறிக்கின்றன, அதை வரைவோம் (படம் 195).

y - 2 x செயல்பாட்டின் பண்புகள்:
1)
2) இரட்டை அல்லது இரட்டை இல்லை; 248
3) அதிகரிக்கிறது;

5) பெரிய அல்லது சிறிய மதிப்புகள் இல்லை;
6) தொடர்ச்சியான;
7)
8) குவிந்த கீழ்நோக்கி.

y-2 x செயல்பாட்டின் பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகளின் கடுமையான சான்றுகள் உயர் கணிதத்தின் போக்கில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த பண்புகளில் சிலவற்றை ஒரு பட்டம் அல்லது மற்றொன்றுக்கு முன்னர் நாங்கள் விவாதித்தோம், அவற்றில் சில கட்டப்பட்ட வரைபடத்தால் தெளிவாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன (படம் 195 ஐப் பார்க்கவும்). எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாட்டின் சமநிலை அல்லது ஒற்றைப்படைத்தன்மையின் பற்றாக்குறை, முறையே வரைபடத்தின் சமச்சீர் பற்றாக்குறையுடன் வடிவியல் ரீதியாக தொடர்புடையது, இது y- அச்சுடன் தொடர்புடையது அல்லது தோற்றத்துடன் தொடர்புடையது.

y = a x வடிவத்தின் எந்தச் செயல்பாடும், இங்கு a > 1, ஒத்த பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. படத்தில். ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் 196 கட்டப்பட்டது, y=2 x, y=3 x, y=5 x செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள்.

இப்போது செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு அதற்கான மதிப்புகளின் அட்டவணையை உருவாக்குவோம்:

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் (படம் 197) புள்ளிகளைக் குறிக்கலாம், அவை ஒரு குறிப்பிட்ட கோட்டைக் குறிக்கின்றன, அதை வரைவோம் (படம் 198).

செயல்பாட்டு பண்புகள்

1)
2) இரட்டை அல்லது இரட்டை இல்லை;
3) குறைகிறது;
4) மேலே இருந்து வரம்பற்றது, கீழே இருந்து வரம்புக்குட்பட்டது;
5) பெரிய அல்லது சிறிய மதிப்பு இல்லை;
6) தொடர்ச்சியான;
7)
8) குவிந்த கீழ்நோக்கி.
y = a x வடிவத்தின் எந்தச் செயல்பாடும் ஒத்த பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் அந்த. y=2 x, y அச்சில் சமச்சீர் (படம் 201). இது பொது அறிக்கையின் விளைவாகும் (§ 13 ஐப் பார்க்கவும்): y = f(x) மற்றும் y = f(-x) சார்புகளின் வரைபடங்கள் y-அச்சுக்கு சமச்சீராக இருக்கும். இதேபோல், y = 3 x மற்றும் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள்

சொல்லப்பட்டதைச் சுருக்கமாக, அதிவேக செயல்பாட்டின் வரையறையை வழங்குவோம் மற்றும் அதன் மிக முக்கியமான பண்புகளை முன்னிலைப்படுத்துவோம்.

வரையறை.படிவத்தின் செயல்பாடு ஒரு அதிவேக செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
அதிவேக செயல்பாட்டின் அடிப்படை பண்புகள் y = a x

a> 1 க்கு y=a x செயல்பாட்டின் வரைபடம் படம். 201, மற்றும் 0க்கு<а < 1 - на рис. 202.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வளைவு. 201 அல்லது 202 ஆனது அடுக்கு எனப்படும். உண்மையில், கணிதவியலாளர்கள் பொதுவாக அதிவேக செயல்பாட்டையே y = a x என்று அழைக்கிறார்கள். எனவே "அதிவேகம்" என்ற சொல் இரண்டு அர்த்தங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது: இரண்டும் அதிவேக செயல்பாட்டிற்கு பெயரிட மற்றும் அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை பெயரிட. பொதுவாக நாம் ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டைப் பற்றி பேசுகிறோமா அல்லது அதன் வரைபடத்தைப் பற்றி பேசுகிறோமா என்பது தெளிவாக இருக்கும்.

y=ax என்ற அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் வடிவியல் அம்சத்திற்கு கவனம் செலுத்துங்கள்: x-அச்சு என்பது வரைபடத்தின் கிடைமட்ட அறிகுறியாகும். உண்மை, இந்த அறிக்கை பொதுவாக பின்வருமாறு தெளிவுபடுத்தப்படுகிறது.
x-அச்சு என்பது செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் கிடைமட்ட அறிகுறியாகும்

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்

முதல் முக்கியமான குறிப்பு. பள்ளி குழந்தைகள் பெரும்பாலும் விதிமுறைகளை குழப்புகிறார்கள்: சக்தி செயல்பாடு, அதிவேக செயல்பாடு. ஒப்பிடு:

இவை சக்தி செயல்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்;

இவை அதிவேக செயல்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

பொதுவாக, y = x r, இங்கு r என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணாக இருக்கும், இது ஒரு சக்தி சார்பு (வாதம் x என்பது பட்டத்தின் அடிப்பகுதியில் உள்ளது);
y = a", இதில் a என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணாகும் (நேர்மறை மற்றும் 1 இலிருந்து வேறுபட்டது), ஒரு அதிவேகச் சார்பாகும் (வாதம் x என்பது அதிவேகத்தில் உள்ளது).

y = x" போன்ற "அயல்நாட்டு" செயல்பாடு அதிவேகமாகவோ அல்லது சக்தியாகவோ கருதப்படுவதில்லை (இது சில நேரங்களில் அதிவேகமாக அழைக்கப்படுகிறது).

இரண்டாவது முக்கியமான குறிப்பு. பொதுவாக ஒருவர் ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டை அடிப்படை a = 1 உடன் அல்லது அடிப்படையுடன் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துவதாக கருதுவதில்லை.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 மற்றும் a உண்மை என்னவென்றால், a = 1 என்றால், x இன் எந்த மதிப்பிற்கும் Ix = 1 ஆனது, a = 1 உடன் கூடிய y = a" ஒரு நிலையான செயல்பாடாக y = 1 ஆக மாறுகிறது. a = 0 எனில், x இன் எந்த நேர்மறை மதிப்புக்கும் 0x = 0, அதாவது x > 0 க்கு வரையறுக்கப்பட்ட y = 0 செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம் - இறுதியாக, a என்றால் இதுவும் ஆர்வமற்றது.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கு முன், அதிவேக செயல்பாடு நீங்கள் இதுவரை படித்த அனைத்து செயல்பாடுகளிலிருந்தும் கணிசமாக வேறுபட்டது என்பதைக் கவனியுங்கள். ஒரு புதிய பொருளை முழுமையாகப் படிக்க, நீங்கள் அதை வெவ்வேறு கோணங்களில், வெவ்வேறு சூழ்நிலைகளில் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும், எனவே பல எடுத்துக்காட்டுகள் இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு, a) ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y = 2 x மற்றும் y = 1 செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கி, அவை ஒரு பொதுவான புள்ளி (0; 1) இருப்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம் (படம் 203). அதாவது 2x = 1 என்ற சமன்பாடு x =0 என்ற ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே, 2x = 2° சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் x = 0 ஐப் பெறுகிறோம்.

b) ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y = 2 x மற்றும் y = 4 செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கி, அவை ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்டிருப்பதை (படம் 203) கவனிக்கிறோம் (2; 4). அதாவது 2x = 4 என்ற சமன்பாட்டில் x = 2 என்ற ஒற்றை வேர் உள்ளது.

எனவே, 2 x = 2 2 சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் x = 2 ஐப் பெறுகிறோம்.

c) மற்றும் d) அதே பரிசீலனைகளின் அடிப்படையில், சமன்பாடு 2 x = 8 ஒரு ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று முடிவு செய்கிறோம், அதைக் கண்டுபிடிக்க, தொடர்புடைய செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் உருவாக்கப்பட வேண்டியதில்லை;

2 3 = 8 என்பதால் x = 3 என்பது தெளிவாகிறது. இதேபோல், சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் காண்கிறோம்

எனவே, 2x = 2 3 சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் x = 3 ஐப் பெற்றோம், மேலும் 2 x = 2 x சமன்பாட்டிலிருந்து x = -4 ஐப் பெற்றோம்.
e) y = 2 x செயல்பாட்டின் வரைபடம் x > 0 க்கு y = 1 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு மேலே அமைந்துள்ளது - இது படத்தில் தெளிவாகப் படிக்கக்கூடியது. 203. சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு 2x > 1 என்பது இடைவெளி
f) y = 2 x செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = 4 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு கீழே x இல் அமைந்துள்ளது<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
உதாரணம் 1 ஐ தீர்க்கும் போது எடுக்கப்பட்ட அனைத்து முடிவுகளுக்கும் அடிப்படையானது y = 2 x செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி (அதிகரிப்பு) பண்பு என்பதை நீங்கள் கவனித்திருக்கலாம். இதே போன்ற பகுத்தறிவு பின்வரும் இரண்டு கோட்பாடுகளின் செல்லுபடியை சரிபார்க்க அனுமதிக்கிறது.

தீர்வு.நீங்கள் இவ்வாறு தொடரலாம்: y-3 x செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்கவும், பின்னர் அதை x அச்சில் இருந்து 3 காரணி மூலம் நீட்டி, அதன் விளைவாக வரைபடத்தை 2 அளவு அலகுகளால் உயர்த்தவும். ஆனால் 3- 3* = 3 * + 1 என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது, எனவே, y = 3 x * 1 + 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் நாம் பல முறை செய்ததைப் போல, புள்ளியில் (-1; 2) - புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகள் x = - 1 மற்றும் 1x = 2 இல் உள்ள ஒரு துணை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கு செல்லலாம். 207. புதிய ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y=3* செயல்பாட்டை "இணைப்போம்". இதைச் செய்ய, செயல்பாட்டிற்கான கட்டுப்பாட்டு புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் , ஆனால் அவற்றை பழைய முறையில் அல்ல, புதிய ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உருவாக்குவோம் (இந்த புள்ளிகள் படம் 207 இல் குறிக்கப்பட்டுள்ளன). பின்னர் புள்ளிகளில் இருந்து ஒரு அடுக்கு உருவாக்குவோம் - இது தேவையான வரைபடமாக இருக்கும் (படம் 207 ஐப் பார்க்கவும்).
[-2, 2] பிரிவில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிய, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்திக் கொள்கிறோம், எனவே அது முறையே அதன் சிறிய மற்றும் பெரிய மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறது. பிரிவின் இடது மற்றும் வலது முனைகள்.
எனவே:

எடுத்துக்காட்டு 4.சமன்பாடு மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கவும்:

தீர்வு, a) ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y=5* மற்றும் y=6-x செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் (படம் 208). அவை ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன; வரைபடத்தின் மூலம் மதிப்பிடுவது, இது புள்ளி (1; 5). உண்மையில் புள்ளி (1; 5) சமன்பாடு y = 5* மற்றும் சமன்பாடு y = 6-x இரண்டையும் திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை சரிபார்ப்பு காட்டுகிறது. இந்த புள்ளியின் abscissa கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் ஒரே வேராக செயல்படுகிறது.

எனவே, 5 x = 6 - x என்ற சமன்பாடு x = 1 என்ற ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

b) மற்றும் c) y-5x என்பது y=6-x என்ற நேர் கோட்டிற்கு மேலே உள்ளது, x>1 எனில், இது படத்தில் தெளிவாகத் தெரியும். 208. அதாவது சமத்துவமின்மை 5*>6 இன் தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்: x>1. மற்றும் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
பதில்: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.

எடுத்துக்காட்டு 5.ஒரு செயல்பாடு வழங்கப்பட்டது என்பதை நிரூபியுங்கள்
தீர்வு.நாம் வைத்திருக்கும் நிபந்தனையின்படி.