Në këtë artikull do të mësoni se si të gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga vija duke përdorur llogaritjet integrale. Për herë të parë formulimin e një problemi të tillë e hasim në shkollën e mesme, kur sapo kemi përfunduar studimin e integraleve të përcaktuara dhe është koha që të fillojmë interpretimin gjeometrik të njohurive të marra në praktikë.

Pra, çfarë kërkohet për të zgjidhur me sukses problemin e gjetjes së sipërfaqes së një figure duke përdorur integrale:

• Aftësia për të bërë vizatime kompetente;
• Aftësia për të zgjidhur një integral të caktuar duke përdorur formulën e njohur Newton-Leibniz;
• Aftësia për të "shikuar" një opsion zgjidhjeje më fitimprurëse - d.m.th. kuptoni se si do të jetë më i përshtatshëm për të kryer integrimin në një rast apo në një tjetër? Përgjatë boshtit x (OX) apo boshtit y (OY)?
• Epo, ku do të ishim pa llogaritjet e sakta?) Kjo përfshin të kuptuarit se si të zgjidhni atë lloj tjetër të integraleve dhe llogaritjet e sakta numerike.

Algoritmi për zgjidhjen e problemit të llogaritjes së sipërfaqes së një figure të kufizuar me vija:

1. Ne po ndërtojmë një vizatim. Këshillohet ta bëni këtë në një copë letre me kuadrate, në një shkallë të madhe. Ne nënshkruajmë emrin e këtij funksioni me një laps mbi çdo grafik. Nënshkrimi i grafikëve bëhet vetëm për lehtësinë e llogaritjeve të mëtejshme. Pasi të keni marrë një grafik të figurës së dëshiruar, në shumicën e rasteve do të jetë menjëherë e qartë se cilat kufij të integrimit do të përdoren. Kështu, ne e zgjidhim problemin grafikisht. Sidoqoftë, ndodh që vlerat e kufijve të jenë të pjesshme ose të paarsyeshme. Prandaj, mund të bëni llogaritje shtesë, shkoni në hapin e dytë.

2. Nëse kufijtë e integrimit nuk janë specifikuar në mënyrë eksplicite, atëherë gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve me njëri-tjetrin dhe shohim nëse zgjidhja jonë grafike përkon me atë analitike.

3. Tjetra, ju duhet të analizoni vizatimin. Në varësi të mënyrës se si janë rregulluar grafikët e funksionit, ekzistojnë qasje të ndryshme për të gjetur sipërfaqen e një figure. Le të shohim shembuj të ndryshëm të gjetjes së sipërfaqes së një figure duke përdorur integrale.

3.1. Versioni më klasik dhe i thjeshtë i problemit është kur ju duhet të gjeni zonën e një trapezi të lakuar. Çfarë është një trapez i lakuar? Kjo është një figurë e sheshtë e kufizuar nga boshti x (y = 0), drejt x = a, x = b dhe çdo kurbë e vazhdueshme në intervalin nga a para b. Për më tepër, kjo shifër është jo negative dhe ndodhet jo nën boshtin x. Në këtë rast, zona e trapezit lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar, të llogaritur duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

Shembulli 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Me cilat vija kufizohet figura? Kemi një parabolë y = x2 – 3x + 3, i cili ndodhet mbi bosht Oh, është jo negative, sepse të gjitha pikat e kësaj parabole kanë vlera pozitive. Tjetra, jepen linjat e drejta x = 1 Dhe x = 3, të cilat shkojnë paralelisht me boshtin OU, janë vijat kufitare të figurës majtas dhe djathtas. Epo y = 0, është edhe boshti x, i cili kufizon figurën nga poshtë. Figura që rezulton është e hijezuar, siç mund të shihet nga figura në të majtë. Në këtë rast, ju mund të filloni menjëherë zgjidhjen e problemit. Para nesh është një shembull i thjeshtë i një trapezi të lakuar, të cilin më pas e zgjidhim duke përdorur formulën Newton-Leibniz.

3.2. Në paragrafin e mëparshëm 3.1, ne shqyrtuam rastin kur një trapez i lakuar ndodhet mbi boshtin x. Tani merrni parasysh rastin kur kushtet e problemit janë të njëjta, përveç se funksioni shtrihet nën boshtin x. Një minus i shtohet formulës standarde të Newton-Leibniz. Ne do të shqyrtojmë se si ta zgjidhim një problem të tillë më poshtë.

Shembulli 2 . Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Në këtë shembull kemi një parabolë y = x2 + 6x + 2, e cila buron nga boshti Oh, drejt x = -4, x = -1, y = 0. Këtu y = 0 kufizon figurën e dëshiruar nga lart. E drejtpërdrejtë x = -4 Dhe x = -1 këta janë kufijtë brenda të cilëve do të llogaritet integrali i caktuar. Parimi i zgjidhjes së problemit të gjetjes së sipërfaqes së një figure pothuajse plotësisht përkon me shembullin numër 1. I vetmi ndryshim është se funksioni i dhënë nuk është pozitiv dhe është gjithashtu i vazhdueshëm në interval [-4; -1] . Çfarë do të thotë jo pozitive? Siç shihet nga figura, figura që shtrihet brenda x-ve të dhëna ka ekskluzivisht koordinata "negative", gjë që duhet të shohim dhe të mbajmë mend kur zgjidhim problemin. Ne kërkojmë sipërfaqen e figurës duke përdorur formulën Newton-Leibniz, vetëm me një shenjë minus në fillim.

Artikulli nuk është i plotësuar.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë aplikimet e llogaritjes integrale. Në këtë mësim do të analizojmë detyrën tipike dhe më të zakonshme llogaritja e sipërfaqes së një figure të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar. Më në fund, le ta gjejnë të gjithë ata që kërkojnë kuptim në matematikën e lartë. Ju kurrë nuk e dini. Në jetën reale, do t'ju duhet të përafroni një komplot dacha duke përdorur funksione elementare dhe të gjeni zonën e saj duke përdorur një integral të caktuar.

Për të zotëruar me sukses materialin, duhet:

1) Kuptoni integralin e pacaktuar të paktën në një nivel të ndërmjetëm. Kështu, dummies duhet së pari të lexojnë mësimin Jo.

2) Të jetë në gjendje të zbatojë formulën Njuton-Leibniz dhe të llogarisë integralin e caktuar. Mund të krijoni marrëdhënie të ngrohta miqësore me integrale të caktuara në faqe Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh. Detyra "llogaritja e zonës duke përdorur një integral të caktuar" përfshin gjithmonë ndërtimin e një vizatimi, kështu që njohuritë dhe aftësitë tuaja në vizatim do të jenë gjithashtu një çështje e rëndësishme. Së paku, duhet të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë, parabolë dhe hiperbolë.

Le të fillojmë me një trapez të lakuar. Një trapez i lakuar është një figurë e sheshtë e kufizuar nga grafiku i një funksioni y = f(x), boshti OK dhe linjat x = a; x = b.

Zona e një trapezi lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar

Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik. Në mësim Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh thamë se një integral i caktuar është një numër. Dhe tani është koha për të theksuar një tjetër fakt të dobishëm. Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA. Kjo eshte, integrali i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure të caktuar. Konsideroni integralin e caktuar

Integrand

përcakton një kurbë në aeroplan (mund të vizatohet nëse dëshironi), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës.

Shembulli 1

, , , .

Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Pika më e rëndësishme në vendim është ndërtimi i vizatimit. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet E DREJTË.

Kur ndërtoni një vizatim, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: ne fillimështë më mirë të ndërtohen të gjitha vijat e drejta (nëse ekzistojnë) dhe vetëm Pastaj– parabola, hiperbola, grafikë të funksioneve të tjera. Teknika e ndërtimit pikë për pikë mund të gjendet në materialin referues Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Aty mund të gjeni gjithashtu material shumë të dobishëm për mësimin tonë - si të ndërtoni shpejt një parabolë.

Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.

Le të bëjmë vizatimin (vini re se ekuacioni y= 0 specifikon boshtin OK):

Ne nuk do të hijeshojmë trapezin e lakuar këtu është e qartë se për cilën zonë po flasim. Zgjidhja vazhdon kështu:

Në segmentin [-2; 1] grafiku i funksionit y = x 2 + 2 ndodhet mbi boshtOK, Kjo është arsyeja pse:

Përgjigje: .

Kush ka vështirësi në llogaritjen e integralit të caktuar dhe zbatimin e formulës Njuton-Leibniz

,

referojuni ligjëratës Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh. Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim "me sy" - mirë, do të jenë rreth 9, duket të jetë e vërtetë. Është absolutisht e qartë se nëse marrim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza padyshim nuk përshtaten në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Shembulli 2

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija xy = 4, x = 2, x= 4 dhe boshti OK.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Çfarë duhet të bëni nëse ndodhet trapezi i lakuar nën boshtOK?

Shembulli 3

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija y = e-x, x= 1 dhe boshtet e koordinatave.

Zgjidhja: Le të bëjmë një vizatim:

Nëse një trapez i lakuar të vendosura plotësisht nën bosht OK , atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:

Në këtë rast:

.

Kujdes! Dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.

2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo diskutuar.

Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmën e sipërme dhe të poshtme, dhe për këtë arsye, nga problemet më të thjeshta të shkollës kalojmë në shembuj më kuptimplotë.

Shembulli 4

Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar me vija y = 2x – x 2 , y = -x.

Zgjidhja: Së pari ju duhet të bëni një vizatim. Kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës y = 2x – x 2 dhe drejt y = -x. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit a= 0, kufiri i sipërm i integrimit b= 3. Shpesh është më fitimprurëse dhe më e shpejtë të ndërtosh linja pikë për pikë dhe kufijtë e integrimit bëhen të qarta “vetëvetiu”. Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve ende ndonjëherë duhet të përdoret nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Le t'i kthehemi detyrës sonë: është më racionale të ndërtojmë fillimisht një vijë të drejtë dhe vetëm pastaj një parabolë. Le të bëjmë vizatimin:

Le të përsërisim se kur ndërtohet në drejtim të pikës, kufijtë e integrimit më së shpeshti përcaktohen "automatikisht".

Dhe tani formula e punës:

Nëse në segmentin [ a; b] disa funksione të vazhdueshme f(x) më i madh ose i barabartë me disa funksione të vazhdueshme g(x), atëherë zona e figurës përkatëse mund të gjendet duke përdorur formulën:

Këtu nuk keni më nevojë të mendoni se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, por ka rëndësi se cili grafik është MË I LARTË(në lidhje me një grafik tjetër), dhe cila është POSHTË.

Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye nga 2 x – x 2 duhet të zbritet - x.

Zgjidhja e përfunduar mund të duket si kjo:

Shifra e dëshiruar është e kufizuar nga një parabolë y = 2x – x 2 sipër dhe drejt y = -x nga poshtë.

Në segmentin 2 x – x 2 ≥ -x. Sipas formulës përkatëse:

Përgjigje: .

Në fakt, formula e shkollës për sipërfaqen e një trapezi lakor në gjysmëplanin e poshtëm (shih shembullin nr. 3) është një rast i veçantë i formulës

.

Sepse boshti OK dhënë nga ekuacioni y= 0, dhe grafiku i funksionit g(x) ndodhet poshtë boshtit OK, Kjo

.

Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj

Shembulli 5

Shembulli 6

Gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Kur zgjidhni probleme që përfshijnë llogaritjen e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar, ndonjëherë ndodh një incident qesharak. Vizatimi është bërë saktë, llogaritjet kanë qenë të sakta, por nga pakujdesia... U gjet zona e figurës së gabuar.

Shembulli 7

Së pari le të bëjmë një vizatim:

Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është me hije blu(Shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, njerëzit shpesh vendosin që duhet të gjejnë zonën e figurës që është e hijezuar në jeshile!

Ky shembull është gjithashtu i dobishëm sepse llogarit sipërfaqen e një figure duke përdorur dy integrale të përcaktuara. Vërtet:

1) Në segmentin [-1; 1] mbi bosht OK grafiku ndodhet drejt y = x+1;

2) Në një segment mbi bosht OK gjendet grafiku i hiperbolës y = (2/x).

Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj:

Përgjigje:

Shembulli 8

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Le t'i paraqesim ekuacionet në formën "shkollë".

dhe bëni një vizatim pikë për pikë:

Është e qartë nga vizatimi se kufiri ynë i sipërm është "i mirë": b = 1.

Por cili është kufiri i poshtëm?! Është e qartë se ky nuk është një numër i plotë, por çfarë është?

Ndoshta, a=(-1/3)? Por ku është garancia që vizatimi është bërë me saktësi të përsosur, mund të rezultojë se kjo a= (-1/4). Po sikur ta ndërtojmë grafikun gabimisht?

Në raste të tilla, duhet të shpenzoni kohë shtesë dhe të sqaroni kufijtë e integrimit në mënyrë analitike.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve

Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin:

.

Prandaj, a=(-1/3).

Zgjidhja e mëtejshme është e parëndësishme. Gjëja kryesore është të mos ngatërroheni në zëvendësime dhe shenja. Llogaritjet këtu nuk janë më të thjeshtat. Në segmentin

, ,

sipas formulës së duhur:

Përgjigje:

Për të përfunduar mësimin, le të shohim dy detyra më të vështira.

Shembulli 9

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Zgjidhja: Le ta përshkruajmë këtë figurë në vizatim.

Për të ndërtuar një vizatim pikë për pikë, duhet të dini pamjen e një sinusoidi. Në përgjithësi, është e dobishme të njihen grafikët e të gjitha funksioneve elementare, si dhe disa vlera të sinusit. Ato mund të gjenden në tabelën e vlerave funksionet trigonometrike. Në disa raste (për shembull, në këtë rast), është e mundur të ndërtohet një vizatim skematik, mbi të cilin grafikët dhe kufijtë e integrimit duhet të shfaqen thelbësisht saktë.

Nuk ka probleme me kufijtë e integrimit këtu, ato rrjedhin drejtpërdrejt nga kushti:

– “x” ndryshon nga zero në “pi”. Le të marrim një vendim të mëtejshëm:

Në një segment, grafiku i një funksioni y= mëkat 3 x ndodhet mbi bosht OK, Kjo është arsyeja pse:

(1) Mund të shihni se si sinuset dhe kosinuset janë integruar në fuqi teke në mësim Integralet e funksioneve trigonometrike. Ne heqim njërin sinus.

(2) Ne përdorim identitetin kryesor trigonometrik në formë

(3) Le të ndryshojmë variablin t=cos x, atëherë: ndodhet mbi bosht, pra:

.

.

Shënim: vini re se si merret integrali i tangjentës në kub është përdorur këtu një rrjedhojë e identitetit bazë trigonometrik

.

Detyra nr. 3. Bëni një vizatim dhe llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat

Zbatimi i integralit në zgjidhjen e problemeve të aplikuara

Llogaritja e sipërfaqes

Integrali i caktuar i një funksioni të vazhdueshëm jo negativ f(x) është numerikisht i barabartë me zona e një trapezi lakor të kufizuar nga kurba y = f(x), boshti O x dhe vijat e drejta x = a dhe x = b. Në përputhje me këtë, formula e zonës shkruhet si më poshtë:

Le të shohim disa shembuj të llogaritjes së sipërfaqeve të figurave të rrafshët.

Detyra nr 1. Llogaritni sipërfaqen e kufizuar nga drejtëzat y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një figurë sipërfaqen e së cilës do të duhet ta llogarisim.

y = x 2 + 1 është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara lart, dhe parabola zhvendoset lart me një njësi në lidhje me boshtin O y (Figura 1).

Figura 1. Grafiku i funksionit y = x 2 + 1

Detyra nr. 2. Llogaritni sipërfaqen e kufizuar nga drejtëzat y = x 2 – 1, y = 0 në intervalin nga 0 në 1.

Zgjidhje. Grafiku i këtij funksioni është një parabolë e degëve që janë të drejtuara lart, dhe parabola zhvendoset në lidhje me boshtin O y poshtë me një njësi (Figura 2).

Figura 2. Grafiku i funksionit y = x 2 – 1

Detyra nr. 3. Bëni një vizatim dhe llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat

y = 8 + 2x – x 2 dhe y = 2x – 4.

Zgjidhje. E para nga këto dy drejtëza është një parabolë me degët e saj të drejtuara poshtë, pasi koeficienti x 2 është negativ, dhe vija e dytë është një vijë e drejtë që kryqëzon të dy boshtet koordinative.

Për të ndërtuar një parabolë gjejmë koordinatat e kulmit të saj: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abshisa e kulmit; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 është ordinata e saj, N(1;9) është kulmi i saj.

Tani le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe vijës së drejtë duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

Barazimi i anëve të djathta të një ekuacioni, anët e majta të të cilit janë të barabarta.

Ne marrim 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ose x 2 – 12 = 0, prej nga .

Pra, pikat janë pikat e kryqëzimit të një parabole dhe një vijë të drejtë (Figura 1).

Figura 3 Grafikët e funksioneve y = 8 + 2x – x 2 dhe y = 2x – 4

Të ndërtojmë një drejtëz y = 2x – 4. Ajo kalon nëpër pikat (0;-4), (2;0) në boshtet koordinative.

Për të ndërtuar një parabolë, mund të përdorni edhe pikat e saj të kryqëzimit me boshtin 0x, domethënë rrënjët e ekuacionit 8 + 2x – x 2 = 0 ose x 2 – 2x – 8 = 0. Duke përdorur teoremën e Vietës, është e lehtë. për të gjetur rrënjët e tij: x 1 = 2, x 2 = 4.

Figura 3 tregon një figurë (segment parabolik M 1 N M 2) të kufizuar nga këto vija.

Pjesa e dytë e problemit është gjetja e zonës së kësaj figure. Zona e saj mund të gjendet duke përdorur një integral të caktuar sipas formulës .

Në lidhje me këtë kusht, marrim integralin:

2 Llogaritja e vëllimit të një trupi rrotullues

Vëllimi i trupit i marrë nga rrotullimi i lakores y = f(x) rreth boshtit O x llogaritet me formulën:

Kur rrotullohet rreth boshtit O y, formula duket si kjo:

Detyra nr. 4. Përcaktoni vëllimin e trupit të përftuar nga rrotullimi i një trapezi të lakuar të kufizuar nga drejtëza x = 0 x = 3 dhe kurba y = rreth boshtit O x.

Zgjidhje. Le të vizatojmë një figurë (Figura 4).

Figura 4. Grafiku i funksionit y =

Vëllimi i kërkuar është

Detyra nr 5. Njehsoni vëllimin e trupit të përftuar nga rrotullimi i një trapezi të lakuar të kufizuar nga kurba y = x 2 dhe drejtëza y = 0 dhe y = 4 rreth boshtit O y.

Zgjidhje. Ne kemi:

Rishikoni pyetjet

Në këtë artikull do të mësoni se si të gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga vija duke përdorur llogaritjet integrale. Për herë të parë formulimin e një problemi të tillë e hasim në shkollën e mesme, kur sapo kemi përfunduar studimin e integraleve të përcaktuara dhe është koha që të fillojmë interpretimin gjeometrik të njohurive të marra në praktikë.

Pra, çfarë kërkohet për të zgjidhur me sukses problemin e gjetjes së sipërfaqes së një figure duke përdorur integrale:

• Aftësia për të bërë vizatime kompetente;
• Aftësia për të zgjidhur një integral të caktuar duke përdorur formulën e njohur Newton-Leibniz;
• Aftësia për të "shikuar" një opsion zgjidhjeje më fitimprurëse - d.m.th. kuptoni se si do të jetë më i përshtatshëm për të kryer integrimin në një rast apo në një tjetër? Përgjatë boshtit x (OX) apo boshtit y (OY)?
• Epo, ku do të ishim pa llogaritjet e sakta?) Kjo përfshin të kuptuarit se si të zgjidhni atë lloj tjetër të integraleve dhe llogaritjet e sakta numerike.

Algoritmi për zgjidhjen e problemit të llogaritjes së sipërfaqes së një figure të kufizuar me vija:

1. Ne po ndërtojmë një vizatim. Këshillohet ta bëni këtë në një copë letre me kuadrate, në një shkallë të madhe. Ne nënshkruajmë emrin e këtij funksioni me një laps mbi çdo grafik. Nënshkrimi i grafikëve bëhet vetëm për lehtësinë e llogaritjeve të mëtejshme. Pasi të keni marrë një grafik të figurës së dëshiruar, në shumicën e rasteve do të jetë menjëherë e qartë se cilat kufij të integrimit do të përdoren. Kështu, ne e zgjidhim problemin grafikisht. Sidoqoftë, ndodh që vlerat e kufijve të jenë të pjesshme ose të paarsyeshme. Prandaj, mund të bëni llogaritje shtesë, shkoni në hapin e dytë.

2. Nëse kufijtë e integrimit nuk janë specifikuar në mënyrë eksplicite, atëherë gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve me njëri-tjetrin dhe shohim nëse zgjidhja jonë grafike përkon me atë analitike.

3. Tjetra, ju duhet të analizoni vizatimin. Në varësi të mënyrës se si janë rregulluar grafikët e funksionit, ekzistojnë qasje të ndryshme për të gjetur sipërfaqen e një figure. Le të shohim shembuj të ndryshëm të gjetjes së sipërfaqes së një figure duke përdorur integrale.

3.1. Versioni më klasik dhe i thjeshtë i problemit është kur ju duhet të gjeni zonën e një trapezi të lakuar. Çfarë është një trapez i lakuar? Kjo është një figurë e sheshtë e kufizuar nga boshti x (y = 0), drejt x = a, x = b dhe çdo kurbë e vazhdueshme në intervalin nga a para b. Për më tepër, kjo shifër është jo negative dhe ndodhet jo nën boshtin x. Në këtë rast, zona e trapezit lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar, të llogaritur duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

Shembulli 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Me cilat vija kufizohet figura? Kemi një parabolë y = x2 – 3x + 3, i cili ndodhet mbi bosht Oh, është jo negative, sepse të gjitha pikat e kësaj parabole kanë vlera pozitive. Tjetra, jepen linjat e drejta x = 1 Dhe x = 3, të cilat shkojnë paralelisht me boshtin OU, janë vijat kufitare të figurës majtas dhe djathtas. Epo y = 0, është edhe boshti x, i cili kufizon figurën nga poshtë. Figura që rezulton është e hijezuar, siç mund të shihet nga figura në të majtë. Në këtë rast, ju mund të filloni menjëherë zgjidhjen e problemit. Para nesh është një shembull i thjeshtë i një trapezi të lakuar, të cilin më pas e zgjidhim duke përdorur formulën Newton-Leibniz.

3.2. Në paragrafin e mëparshëm 3.1, ne shqyrtuam rastin kur një trapez i lakuar ndodhet mbi boshtin x. Tani merrni parasysh rastin kur kushtet e problemit janë të njëjta, përveç se funksioni shtrihet nën boshtin x. Një minus i shtohet formulës standarde të Newton-Leibniz. Ne do të shqyrtojmë se si ta zgjidhim një problem të tillë më poshtë.

Shembulli 2 . Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Në këtë shembull kemi një parabolë y = x2 + 6x + 2, e cila buron nga boshti Oh, drejt x = -4, x = -1, y = 0. Këtu y = 0 kufizon figurën e dëshiruar nga lart. E drejtpërdrejtë x = -4 Dhe x = -1 këta janë kufijtë brenda të cilëve do të llogaritet integrali i caktuar. Parimi i zgjidhjes së problemit të gjetjes së sipërfaqes së një figure pothuajse plotësisht përkon me shembullin numër 1. I vetmi ndryshim është se funksioni i dhënë nuk është pozitiv dhe është gjithashtu i vazhdueshëm në interval [-4; -1] . Çfarë do të thotë jo pozitive? Siç shihet nga figura, figura që shtrihet brenda x-ve të dhëna ka ekskluzivisht koordinata "negative", gjë që duhet të shohim dhe të mbajmë mend kur zgjidhim problemin. Ne kërkojmë sipërfaqen e figurës duke përdorur formulën Newton-Leibniz, vetëm me një shenjë minus në fillim.

Artikulli nuk është i plotësuar.

Në fakt, për të gjetur sipërfaqen e një figure, nuk ju nevojitet aq shumë njohuri për integralin e pacaktuar dhe të caktuar. Detyra "llogaritja e zonës duke përdorur një integral të caktuar" përfshin gjithmonë ndërtimin e një vizatimi, kështu që njohuritë tuaja dhe aftësitë e vizatimit do të jenë një çështje shumë më e ngutshme. Në këtë drejtim, është e dobishme të rifreskoni kujtesën tuaj të grafikëve të funksioneve themelore elementare dhe, së paku, të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë dhe një hiperbolë.

Një trapez i lakuar është një figurë e sheshtë e kufizuar nga një bosht, vija të drejta dhe grafiku i një funksioni të vazhdueshëm në një segment që nuk ndryshon shenjë në këtë interval. Le të gjendet kjo shifër jo më pak boshti x:

Pastaj sipërfaqja e një trapezi lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar. Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik.

Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA.

Kjo eshte, një integral i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure të caktuar. Për shembull, merrni parasysh integralin e caktuar. Integrandi përcakton një kurbë në rrafshin e vendosur mbi bosht (ata që dëshirojnë mund të bëjnë një vizatim), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës.

Shembulli 1

Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Pika e parë dhe më e rëndësishme e vendimit është ndërtimi i vizatimit. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet E DREJTË.

Kur ndërtoni një vizatim, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: ne fillimështë më mirë të ndërtohen të gjitha vijat e drejta (nëse ekzistojnë) dhe vetëm Pastaj- parabolat, hiperbolat, grafikët e funksioneve të tjera. Është më fitimprurëse të ndërtosh grafikët e funksioneve pikë për pikë.

Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.
Le të plotësojmë vizatimin (vini re se ekuacioni përcakton boshtin):

Në segment ndodhet grafiku i funksionit mbi bosht, Kjo është arsyeja pse:

Përgjigje:

Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, "me sy" ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim - mirë, do të jenë rreth 9, duket të jetë e vërtetë. Është absolutisht e qartë se nëse marrim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza padyshim nuk përshtaten në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Shembulli 3

Llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat dhe boshtet e koordinatave.

Zgjidhje: Le të bëjmë një vizatim:

Nëse gjendet një trapez i lakuar nën bosht(ose të paktën jo me lart boshti i dhënë), atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:

Në këtë rast:

Kujdes! Të dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.

2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo diskutuar.

Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmën e sipërme dhe të poshtme, dhe për këtë arsye, nga problemet më të thjeshta të shkollës kalojmë në shembuj më kuptimplotë.

Shembulli 4

Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga vijat, .

Zgjidhje: Së pari ju duhet të plotësoni vizatimin. Në përgjithësi, kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe vijës së drejtë. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit është, kufiri i sipërm i integrimit është.

Nëse është e mundur, është më mirë të mos përdorni këtë metodë..

Është shumë më fitimprurëse dhe më e shpejtë të ndërtosh linja pikë për pikë dhe kufijtë e integrimit bëhen të qarta “vetëvetiu”. Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve ende ndonjëherë duhet të përdoret nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Dhe ne gjithashtu do të shqyrtojmë një shembull të tillë.

Le t'i kthehemi detyrës sonë: është më racionale të ndërtojmë fillimisht një vijë të drejtë dhe vetëm pastaj një parabolë. Le të bëjmë vizatimin:

Dhe tani formula e punës: Nëse ka ndonjë funksion të vazhdueshëm në segment më i madh ose i barabartë me disa funksione të vazhdueshme, atëherë zona e figurës e kufizuar nga grafikët e këtyre funksioneve dhe linjat , , mund të gjendet duke përdorur formulën:

Këtu nuk keni më nevojë të mendoni se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, dhe, përafërsisht, ka rëndësi se cili grafik është MË I LARTË(në lidhje me një grafik tjetër), dhe cila është POSHTË.

Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të zbritet nga

Zgjidhja e përfunduar mund të duket si kjo:

Shifra e dëshiruar kufizohet nga një parabolë sipër dhe një vijë e drejtë poshtë.
Në segment, sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Shembulli 4

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat , , , .

Zgjidhje: Së pari, le të bëjmë një vizatim:

Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është me hije blu(Shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, shpesh ndodh një "gabim" që ju duhet të gjeni zonën e një figure që është e hijezuar në të gjelbër!

Ky shembull është gjithashtu i dobishëm në atë që llogarit sipërfaqen e një figure duke përdorur dy integrale të përcaktuara.

Vërtet:

1) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një vije të drejtë;

2) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një hiperbole.

Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj: