Ekuacionet kanonike të një drejtëze në hapësirë ​​janë ekuacione që përcaktojnë një vijë që kalon nëpër një pikë të caktuar kolinear me vektorin e drejtimit.

Le të jepet një pikë dhe një vektor i drejtimit. Një pikë arbitrare shtrihet në një vijë l vetëm nëse vektorët dhe janë kolinear, d.m.th., kushti është i plotësuar për ta:

.

Ekuacionet e mësipërme janë ekuacionet kanonike të drejtëzës.

Numrat m , n Dhe fq janë projeksione të vektorit të drejtimit në boshtet e koordinatave. Meqenëse vektori nuk është zero, atëherë të gjithë numrat m , n Dhe fq nuk mund të jetë njëkohësisht e barabartë me zero. Por një ose dy prej tyre mund të rezultojnë të jenë zero. Në gjeometrinë analitike, për shembull, hyrja e mëposhtme lejohet:

,

që do të thotë se projeksionet e vektorit në bosht Oy Dhe Oz janë të barabarta me zero. Prandaj, si vektori ashtu edhe vija e përcaktuar nga ekuacionet kanonike janë pingul me boshtet Oy Dhe Oz, pra avionë yOz .

Shembulli 1. Shkruani ekuacionet për një drejtëz në hapësirë ​​pingul me një plan dhe duke kaluar nëpër pikën e kryqëzimit të këtij rrafshi me boshtin Oz .

Zgjidhje. Le të gjejmë pikën e kryqëzimit të këtij rrafshi me boshtin Oz. Që nga çdo pikë e shtrirë në bosht Oz, ka koordinata , atëherë, duke supozuar në ekuacionin e dhënë të planit x = y = 0, marrim 4 z- 8 = 0 ose z= 2. Prandaj, pika e prerjes së këtij rrafshi me boshtin Oz ka koordinata (0; 0; 2) . Meqenëse vija e dëshiruar është pingul me rrafshin, ajo është paralele me vektorin e saj normal. Prandaj, vektori drejtues i drejtëzës mund të jetë vektori normal aeroplan i dhënë.

Tani le të shkruajmë ekuacionet e kërkuara për një drejtëz që kalon nëpër një pikë A= (0; 0; 2) në drejtim të vektorit:

Ekuacionet e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna

Një vijë e drejtë mund të përcaktohet nga dy pika që shtrihen mbi të Dhe Në këtë rast, vektori drejtues i vijës së drejtë mund të jetë vektori . Pastaj ekuacionet kanonike të drejtëzës marrin formën

.

Ekuacionet e mësipërme përcaktojnë një vijë që kalon nëpër dy pika të dhëna.

Shembulli 2. Shkruani një ekuacion për një drejtëz në hapësirë ​​që kalon nëpër pikat dhe .

Zgjidhje. Le të shkruajmë ekuacionet e kërkuara të vijës së drejtë në formën e dhënë më sipër në referencën teorike:

.

Meqenëse , atëherë vija e drejtë e dëshiruar është pingul me boshtin Oy .

Drejt si vija e kryqëzimit të planeve

Një vijë e drejtë në hapësirë ​​mund të përkufizohet si vija e kryqëzimit të dy planeve jo paralele dhe, d.m.th., si një grup pikash që plotësojnë një sistem me dy ekuacione lineare

Ekuacionet e sistemit quhen edhe ekuacionet e përgjithshme të një drejtëze në hapësirë.

Shembulli 3. Të hartojnë ekuacione kanonike të një drejtëze në hapësirë ​​të dhëna nga ekuacione të përgjithshme

Zgjidhje. Për të shkruar ekuacionet kanonike të një drejtëze ose, çfarë është e njëjta, ekuacionet e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna, duhet të gjeni koordinatat e çdo dy pikash në vijë. Ato mund të jenë pikat e kryqëzimit të një vije të drejtë me dy plane koordinative, për shembull yOz Dhe xOz .

Pika e kryqëzimit të vijës dhe rrafshit yOz ka një abshisë x= 0. Prandaj, duke supozuar në këtë sistem ekuacionesh x= 0, marrim një sistem me dy ndryshore:

Vendimi i saj y = 2 , z= 6 së bashku me x= 0 përcakton një pikë A(0; 2; 6) rreshti i dëshiruar. Pastaj duke supozuar në sistemin e dhënë të ekuacioneve y= 0, marrim sistemin

Vendimi i saj x = -2 , z= 0 së bashku me y= 0 përcakton një pikë B(-2; 0; 0) kryqëzimi i një drejtëze me një plan xOz .

Tani le të shkruajmë ekuacionet e drejtëzës që kalon nëpër pika A(0; 2; 6) dhe B (-2; 0; 0) :

,

ose pas pjesëtimit të emërtuesve me -2:

,

Le të jepen dy pikë M 1 (x 1, y 1) Dhe M 2 (x 2, y 2). Le të shkruajmë ekuacionin e drejtëzës në formën (5), ku k Koeficienti ende i panjohur:

Që nga pika M 2 i përket një linje të caktuar, atëherë koordinatat e saj plotësojnë ekuacionin (5): . Duke u shprehur nga këtu dhe duke e zëvendësuar me ekuacionin (5), marrim ekuacionin e kërkuar:

Nëse ky ekuacion mund të rishkruhet në një formë që është më e përshtatshme për memorizimin:

(6)

Shembull. Shkruani ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër pikat M 1 (1,2) dhe M 2 (-2,3)

Zgjidhje. . Duke përdorur vetinë e proporcionit dhe duke kryer transformimet e nevojshme, marrim ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë:

Këndi ndërmjet dy vijave të drejta

Konsideroni dy vija të drejta l 1 Dhe l 2:

l 1: , , Dhe

l 2: , ,

φ është këndi ndërmjet tyre (). Nga figura 4 është e qartë: .

Nga këtu , ose

Duke përdorur formulën (7) mund të përcaktoni një nga këndet midis vijave të drejta. Këndi i dytë është i barabartë me .

Shembull. Dy drejtëza jepen me barazimet y=2x+3 dhe y=-3x+2. gjeni këndin midis këtyre vijave.

Zgjidhje. Nga ekuacionet del qartë se k 1 =2, dhe k 2 =-3. Duke i zëvendësuar këto vlera në formulën (7), gjejmë

. Kështu, këndi ndërmjet këtyre vijave është i barabartë me .

Kushtet për paralelizmin dhe pingulitetin e dy drejtëzave

Nëse drejt l 1 Dhe l 2 janë paralele pra φ=0 Dhe tgφ=0. nga formula (7) rrjedh se , prej nga k 2 = k 1. Pra, kushti për paralelizmin e dy drejtëzave është barazia e koeficientëve këndorë të tyre.

Nëse drejt l 1 Dhe l 2 atëherë janë pingule φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Pra, kushti për pingulitetin e dy drejtëzave është që koeficientët këndorë të tyre të jenë të kundërt në madhësi dhe të kundërt në shenjë.

Largësia nga pika në vijë

Teorema. Nëse është dhënë një pikë M(x 0, y 0), atëherë distanca në drejtëzën Ax + Bу + C = 0 përcaktohet si

Dëshmi. Le të jetë pika M 1 (x 1, y 1) baza e një pingule të rënë nga pika M në një drejtëz të dhënë. Atëherë distanca midis pikave M dhe M 1:

Koordinatat x 1 dhe y 1 mund të gjenden duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

Ekuacioni i dytë i sistemit është ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar M 0 pingul me një drejtëz të caktuar.

Nëse e transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Nga 0 + C = 0,

atëherë, duke zgjidhur, marrim:

Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (1), gjejmë:

Teorema është vërtetuar.

Shembull. Përcaktoni këndin ndërmjet drejtëzave: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Shembull. Tregoni se drejtëzat 3x – 5y + 7 = 0 dhe 10x + 6y – 3 = 0 janë pingul.

Gjejmë: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, pra, vijat janë pingule.

Shembull. Janë dhënë kulmet e trekëndëshit A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Gjeni ekuacionin e lartësisë të nxjerrë nga kulmi C.

Gjejmë ekuacionin e anës AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ekuacioni i lartësisë së kërkuar ka formën: Ax + By + C = 0 ose y = kx + b.

k= . Atëherë y = . Sepse lartësia kalon në pikën C, atëherë koordinatat e saj plotësojnë këtë ekuacion: prej nga b = 17. Gjithsej: .

Përgjigje: 3x + 2y – 34 = 0.

Distanca nga një pikë në një vijë përcaktohet nga gjatësia e pingulit të tërhequr nga pika në vijë.

Nëse drejtëza është paralele me rrafshin e projeksionit (h | | P 1), pastaj me qëllim që të përcaktohet largësia nga pika A në një vijë të drejtë hështë e nevojshme të ulet pingulja nga pika A në horizontale h.

Le të shqyrtojmë një shembull më kompleks, kur vija e drejtë zë një pozicion të përgjithshëm. Le të jetë e nevojshme të përcaktohet distanca nga një pikë M në një vijë të drejtë A pozicioni i përgjithshëm.

Detyrë përcaktimi distanca midis vijave paralele zgjidhet në mënyrë të ngjashme me atë të mëparshme. Një pikë merret në një vijë dhe një pingul hidhet nga ajo në një vijë tjetër. Gjatësia e një pingule është e barabartë me distancën midis drejtëzave paralele.

Kurba e rendit të dytëështë një vijë e përcaktuar nga një ekuacion i shkallës së dytë në lidhje me koordinatat aktuale karteziane. Në rastin e përgjithshëm, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

ku A, B, C, D, E, F janë numra realë dhe të paktën një nga numrat A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Rretho

Qendra e rrethit– ky është vendndodhja gjeometrike e pikave në rrafshin në distancë të barabartë nga një pikë në rrafshin C(a,b).

Rrethi jepet nga ekuacioni i mëposhtëm:

Ku x, y janë koordinatat e një pike arbitrare në rreth, R është rrezja e rrethit.

Shenja e ekuacionit të një rrethi

1. Termi me x, y mungon

2. Koeficientët për x 2 dhe y 2 janë të barabartë

Elipsa

Elipsa quhet vendndodhja gjeometrike e pikave në një rrafsh, shuma e largësive të secilës prej të cilave nga dy pika të dhëna të këtij rrafshi quhet vatra (një vlerë konstante).

Ekuacioni kanonik i elipsës:

X dhe y i përkasin elipsës.

a – boshti gjysmë i madh i elipsës

b – boshti gjysmë i vogël i elipsës

Elipsa ka 2 boshte simetrie OX dhe OU. Boshtet e simetrisë së një elipse janë boshtet e saj, pika e kryqëzimit të tyre është qendra e elipsës. Boshti në të cilin ndodhen vatra quhet boshti fokal. Pika e prerjes së elipsës me boshtet është kulmi i elipsës.

Raporti i ngjeshjes (tensionit): ε = s/a– ekscentriciteti (karakterizon formën e elipsës), sa më e vogël të jetë, aq më pak shtrihet elipsa përgjatë boshtit fokal.

Nëse qendrat e elipsës nuk janë në qendër C(α, β)

Hiperbola

Hiperbola quhet vendndodhja gjeometrike e pikave në një rrafsh, vlera absolute e ndryshimit të distancave, secila prej të cilave nga dy pika të dhëna të këtij plani, të quajtura vatra, është një vlerë konstante e ndryshme nga zero.

Ekuacioni kanonik i hiperbolës

Një hiperbolë ka 2 boshte simetrie:

a – gjysmë boshti real i simetrisë

b – gjysmë boshti imagjinar i simetrisë

Asimptotat e një hiperbole:

Parabola

Parabolaështë vendndodhja e pikave në rrafsh të barabarta nga një pikë e caktuar F, e quajtur fokus, dhe një vijë e caktuar, e quajtur direktrix.

Ekuacioni kanonik i një parabole:

У 2 =2рх, ku р është distanca nga fokusi në drejtim (parametri i parabolës)

Nëse kulmi i parabolës është C (α, β), atëherë ekuacioni i parabolës (y-β) 2 = 2р(x-α)

Nëse boshti fokal merret si bosht i ordinatave, atëherë ekuacioni i parabolës do të marrë formën: x 2 =2qу

Lëreni drejtëzën të kalojë nëpër pikat M 1 (x 1; y 1) dhe M 2 (x 2; y 2). Ekuacioni i drejtëzës që kalon në pikën M 1 ka formën y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Ku k - koeficient ende i panjohur.

Meqenëse drejtëza kalon nëpër pikën M 2 (x 2 y 2), koordinatat e kësaj pike duhet të plotësojnë ekuacionin (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Nga këtu gjejmë Zëvendësimin e vlerës së gjetur k në ekuacionin (10.6), marrim ekuacionin e një vije të drejtë që kalon nëpër pikat M 1 dhe M 2:

Supozohet se në këtë ekuacion x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Nëse x 1 = x 2, atëherë drejtëza që kalon nëpër pikat M 1 (x 1,y I) dhe M 2 (x 2,y 2) është paralele me boshtin e ordinatave. Ekuacioni i tij është x = x 1 .

Nëse y 2 = y I, atëherë ekuacioni i drejtëzës mund të shkruhet si y = y 1, drejtëza M 1 M 2 është paralele me boshtin e abshisave.

Ekuacioni i një drejtëze në segmente

Lëreni drejtëzën të presë boshtin Ox në pikën M 1 (a;0), dhe boshtin Oy në pikën M 2 (0;b). Ekuacioni do të marrë formën:
ato.
. Ky ekuacion quhet ekuacioni i një drejtëze në segmente, sepse numrat a dhe b tregojnë se cilat segmente i pret vija në boshtet e koordinatave.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar

Le të gjejmë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar Mo (x O; y o) pingul me një vektor të caktuar jozero n = (A; B).

Le të marrim një pikë arbitrare M(x; y) në vijë dhe të konsiderojmë vektorin M 0 M (x - x 0; y - y o) (shih Fig. 1). Meqenëse vektorët n dhe M o M janë pingul, produkti i tyre skalar është i barabartë me zero: d.m.th.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Quhet ekuacioni (10.8). ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar .

Vektori n= (A; B), pingul me drejtëzën, quhet normal vektori normal i kësaj linje .

Ekuacioni (10.8) mund të rishkruhet si Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

ku A dhe B janë koordinatat e vektorit normal, C = -Ax o - Vu o është termi i lirë. Ekuacioni (10.9) është ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës(shih Fig. 2).

Fig.1 Fig.2

Ekuacionet kanonike të drejtëzës

,

Ku
- koordinatat e pikës nëpër të cilën kalon drejtëza, dhe
- vektori i drejtimit.

Kurbat e rendit të dytë Rrethi

Rrethi është bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit në distancë të barabartë nga një pikë e caktuar, e cila quhet qendër.

Ekuacioni kanonik i një rrethi me rreze R të përqendruar në një pikë
:

Në veçanti, nëse qendra e kunjit përkon me origjinën e koordinatave, atëherë ekuacioni do të duket si:

Elipsa

Një elipsë është një grup pikash në një plan, shuma e distancave nga secila prej të cilave në dy pika të dhëna Dhe , të cilat quhen vatra, është një sasi konstante
, më e madhe se distanca ndërmjet vatrave
.

Ekuacioni kanonik i një elipse, vatrat e së cilës shtrihen në boshtin Ox, dhe origjina e koordinatave në mes midis vatrave ka formën
G de a gjatësia e boshtit gjysmë të madh; b – gjatësia e boshtit gjysmë të vogël (Fig. 2).

Ky artikull zbulon derivimin e ekuacionit të një vije të drejtë që kalon nëpër dy pika të dhëna në një sistem koordinativ drejtkëndor të vendosur në një plan. Le të nxjerrim ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna në një sistem koordinativ drejtkëndor. Do të tregojmë dhe zgjidhim qartë disa shembuj që lidhen me materialin e trajtuar.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Para se të merret ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna, është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje disa fakteve. Ekziston një aksiomë që thotë se përmes dy pikave divergjente në një plan është e mundur të vizatoni një vijë të drejtë dhe vetëm një. Me fjalë të tjera, dy pika të dhëna në një plan përcaktohen nga një vijë e drejtë që kalon nëpër këto pika.

Nëse rrafshi përcaktohet nga sistemi koordinativ drejtkëndor Oxy, atëherë çdo vijë e drejtë e përshkruar në të do të korrespondojë me ekuacionin e një vije të drejtë në aeroplan. Ekziston edhe një lidhje me vektorin drejtues të drejtëzës Kjo e dhënë është e mjaftueshme për të përpiluar ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika.

Le të shohim një shembull të zgjidhjes së një problemi të ngjashëm. Është e nevojshme të krijohet një ekuacion për një drejtëz a që kalon nëpër dy pika divergjente M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2), të vendosura në sistemin koordinativ Kartezian.

Në ekuacionin kanonik të një drejtëze në një rrafsh, që ka formën x - x 1 a x = y - y 1 a y, një sistem koordinativ drejtkëndor O x y specifikohet me një vijë që kryqëzohet me të në një pikë me koordinatat M 1 (x 1, y 1) me një vektor udhëzues a → = (a x , a y) .

Është e nevojshme të krijohet një ekuacion kanonik i një drejtëze a, e cila do të kalojë nëpër dy pika me koordinata M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2).

Drejt a ka një vektor të drejtimit M 1 M 2 → me koordinata (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pasi pret pikat M 1 dhe M 2. Ne kemi marrë të dhënat e nevojshme për të transformuar ekuacionin kanonik me koordinatat e vektorit të drejtimit M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) dhe koordinatat e pikave M 1 që shtrihen mbi to. (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2 , y 2) . Ne marrim një ekuacion të formës x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ose x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Konsideroni figurën më poshtë.

Pas llogaritjeve, shkruajmë ekuacionet parametrike të një drejtëze në një rrafsh që kalon në dy pika me koordinata M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2). Marrim një ekuacion të formës x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ose x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Le të hedhim një vështrim më të afërt në zgjidhjen e disa shembujve.

Shembulli 1

Shkruani ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër 2 pika të dhëna me koordinata M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Zgjidhje

Ekuacioni kanonik për një drejtëz që kryqëzohet në dy pika me koordinatat x 1, y 1 dhe x 2, y 2 merr formën x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Sipas kushteve të problemës kemi që x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Është e nevojshme të zëvendësohen vlerat numerike në ekuacionin x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Nga këtu marrim se ekuacioni kanonik merr formën x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Përgjigje: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem me një lloj tjetër ekuacioni, atëherë së pari mund të shkoni në atë kanonik, pasi është më e lehtë të vini prej tij në ndonjë tjetër.

Shembulli 2

Hartoni ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze që kalon nëpër pika me koordinata M 1 (1, 1) dhe M 2 (4, 2) në sistemin e koordinatave O x y.

Zgjidhje

Së pari, duhet të shkruani ekuacionin kanonik të një linje të caktuar që kalon nëpër dy pika të dhëna. Marrim një ekuacion të formës x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Le ta sjellim ekuacionin kanonik në formën e dëshiruar, atëherë marrim:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Përgjigje: x - 3 y + 2 = 0 .

Shembuj të detyrave të tilla u diskutuan në tekstet shkollore gjatë mësimeve të algjebrës. Problemet e shkollës ndryshonin në atë që njihej ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndi, që kishte formën y = k x + b. Nëse keni nevojë të gjeni vlerën e pjerrësisë k dhe numrin b, për të cilin ekuacioni y = k x + b përcakton një vijë në sistemin O x y që kalon nëpër pikat M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2) , ku x 1 ≠ x 2. Kur x 1 = x 2 , atëherë koeficienti këndor merr vlerën e pafundësisë, dhe drejtëza M 1 M 2 përcaktohet nga një ekuacion i përgjithshëm jo i plotë i formës x - x 1 = 0 .

Sepse pikat M 1 Dhe M 2 janë në vijë të drejtë, atëherë koordinatat e tyre plotësojnë ekuacionin y 1 = k x 1 + b dhe y 2 = k x 2 + b. Është e nevojshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b për k dhe b.

Për ta bërë këtë, gjejmë k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ose k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Me këto vlera të k dhe b, ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pikat e dhëna bëhet y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ose y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Është e pamundur të mbani mend një numër kaq të madh formulash menjëherë. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të rritet numri i përsëritjeve në zgjidhjen e problemeve.

Shembulli 3

Shkruani ekuacionin e drejtëzës me koeficient këndor që kalon nëpër pika me koordinata M 2 (2, 1) dhe y = k x + b.

Zgjidhje

Për të zgjidhur problemin, ne përdorim një formulë me një pjerrësi, e cila ka formën y = k x + b. Koeficientët k dhe b duhet të marrin një vlerë të tillë që ky ekuacion të korrespondojë me një drejtëz që kalon nëpër dy pika me koordinata M 1 (- 7, - 5) dhe M 2 (2, 1).

Pikat M 1 Dhe M 2 janë të vendosura në vijë të drejtë, atëherë koordinatat e tyre duhet ta bëjnë barazimin e vërtetë ekuacionin y = k x + b. Nga kjo marrim se - 5 = k · (- 7) + b dhe 1 = k · 2 + b. Le ta bashkojmë ekuacionin në sistemin - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b dhe ta zgjidhim.

Pas zëvendësimit e marrim atë

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Tani vlerat k = 2 3 dhe b = - 1 3 zëvendësohen në ekuacionin y = k x + b. Gjejmë se ekuacioni i kërkuar që kalon nëpër pikat e dhëna do të jetë një ekuacion i formës y = 2 3 x - 1 3 .

Kjo metodë e zgjidhjes paracakton humbjen e shumë kohe. Ekziston një mënyrë në të cilën detyra zgjidhet fjalë për fjalë në dy hapa.

Le të shkruajmë ekuacionin kanonik të drejtëzës që kalon nëpër M 2 (2, 1) dhe M 1 (- 7, - 5), duke pasur formën x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Tani le të kalojmë te ekuacioni i pjerrësisë. Ne marrim se: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Përgjigje: y = 2 3 x - 1 3 .

Nëse në hapësirën tredimensionale ekziston një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z me dy pika të dhëna jo të përputhshme me koordinatat M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), drejtëza M duke kaluar nëpër to 1 M 2 , është e nevojshme të merret ekuacioni i kësaj drejtëze.

Kemi se ekuacionet kanonike të formës x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z dhe ekuacionet parametrike të formës x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ janë në gjendje të përcaktojnë një vijë në sistemin koordinativ O x y z, që kalon nëpër pika që kanë koordinata (x 1, y 1, z 1) me një vektor drejtimi a → = (a x, a y, a z).

Drejt M 1 M 2 ka një vektor drejtimi të formës M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), ku drejtëza kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2 , y 2 , z 2), prandaj ekuacioni kanonik mund të jetë i formës x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ose x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, nga ana tjetër parametrike x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ose x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Konsideroni një vizatim që tregon 2 pika të dhëna në hapësirë ​​dhe ekuacionin e një drejtëze.

Shembulli 4

Shkruani ekuacionin e një drejtëze të përcaktuar në një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z të hapësirës tredimensionale, që kalon nëpër dy pika të dhëna me koordinata M 1 (2, - 3, 0) dhe M 2 (1, - 3, - 5).

Zgjidhje

Është e nevojshme të gjendet ekuacioni kanonik. Meqenëse po flasim për hapësirën tredimensionale, do të thotë që kur një vijë kalon nëpër pika të dhëna, ekuacioni kanonik i dëshiruar do të marrë formën x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Me kusht kemi që x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Nga kjo rrjedh se ekuacionet e nevojshme do të shkruhen si më poshtë:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Përgjigje: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar në një drejtim të caktuar. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna. Këndi ndërmjet dy vijave të drejta. Kushti i paralelizmit dhe pingulitetit të dy drejtëzave. Përcaktimi i pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave

1. Ekuacioni i drejtëzës që kalon në një pikë të caktuar A(x 1 , y 1) në një drejtim të caktuar, të përcaktuar nga pjerrësia k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ky ekuacion përcakton një laps me vija që kalojnë nëpër një pikë A(x 1 , y 1), e cila quhet qendra e rrezes.

2. Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika: A(x 1 , y 1) dhe B(x 2 , y 2), e shkruar kështu:

Koeficienti këndor i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna përcaktohet nga formula

3. Këndi midis vijave të drejta A Dhe Bështë këndi me të cilin duhet të rrotullohet drejtëza e parë A rreth pikës së kryqëzimit të këtyre vijave në drejtim të kundërt të akrepave të orës derisa të përputhet me vijën e dytë B. Nëse dy drejtëza jepen me ekuacione me pjerrësi

y = k 1 x + B 1 ,