Në këtë artikull do të shikojmë zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota.

Por së pari, le të përsërisim se cilat ekuacione quhen kuadratike. Një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku x është një ndryshore, dhe koeficientët a, b dhe c janë disa numra, dhe a ≠ 0 quhet katrore. Siç e shohim, koeficienti për x 2 nuk është i barabartë me zero, dhe për këtë arsye koeficientët për x ose termin e lirë mund të jenë të barabartë me zero, me ç'rast marrim një ekuacion kuadratik jo të plotë.

Ekzistojnë tre lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:

1) Nëse b = 0, c ≠ 0, atëherë ax 2 + c = 0;

2) Nëse b ≠ 0, c = 0, atëherë ax 2 + bx = 0;

3) Nëse b = 0, c = 0, atëherë sëpatë 2 = 0.

• Le të kuptojmë se si të zgjidhim ekuacionet e formës ax 2 + c = 0.

Për të zgjidhur ekuacionin, ne zhvendosim termin e lirë c në anën e djathtë të ekuacionit, marrim

sëpatë 2 = ‒s. Meqenëse a ≠ 0, ne ndajmë të dyja anët e ekuacionit me a, pastaj x 2 = ‒c/a.

Nëse ‒с/а > 0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë

x = ±√(–c/a) .

Nëse ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Le të përpiqemi të kuptojmë me shembuj se si të zgjidhim ekuacione të tilla.

Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin 2x 2 ‒ 32 = 0.

Përgjigje: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Shembulli 2. Zgjidheni ekuacionin 2x 2 + 8 = 0.

Përgjigje: ekuacioni nuk ka zgjidhje.

• Le të kuptojmë se si ta zgjidhim atë ekuacionet e formës ax 2 + bx = 0.

Për të zgjidhur ekuacionin ax 2 + bx = 0, le ta faktorizojmë atë, domethënë, nxjerrim x nga kllapat, marrim x(ax + b) = 0. Prodhimi është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë. në zero. Atëherë ose x = 0, ose ax + b = 0. Duke zgjidhur ekuacionin ax + b = 0, marrim ax = - b, prej nga x = - b/a. Një ekuacion i formës ax 2 + bx = 0 ka gjithmonë dy rrënjë x 1 = 0 dhe x 2 = ‒ b/a. Shikoni si duket zgjidhja e ekuacioneve të këtij lloji në diagram.

Le të konsolidojmë njohuritë tona me një shembull specifik.

Shembulli 3. Zgjidheni ekuacionin 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 ose 3x – 12 = 0

Përgjigje: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Ekuacionet e tipit të tretë sëpatë 2 = 0 zgjidhen shumë thjesht.

Nëse sëpatë 2 = 0, atëherë x 2 = 0. Ekuacioni ka dy rrënjë të barabarta x 1 = 0, x 2 = 0.

Për qartësi, le të shohim diagramin.

Kur zgjidhim shembullin 4, le të sigurohemi që ekuacionet e këtij lloji mund të zgjidhen shumë thjesht.

Shembulli 4. Zgjidheni ekuacionin 7x 2 = 0.

Përgjigje: x 1, 2 = 0.

Nuk është gjithmonë e qartë menjëherë se çfarë lloj ekuacioni kuadratik jo të plotë duhet të zgjidhim. Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 5. Zgjidhe ekuacionin

Le të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me një emërues të përbashkët, domethënë me 30

Le ta shkurtojmë atë

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.

Le të hapim kllapat

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Le të japim të ngjashme

Le të lëvizim 99 nga ana e majtë e ekuacionit në të djathtë, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën

Përgjigje: pa rrënjë.

Ne shikuam se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota. Shpresoj që tani nuk do të keni ndonjë vështirësi me detyra të tilla. Kini kujdes kur përcaktoni llojin e ekuacionit kuadratik jo të plotë, atëherë do të keni sukses.

Nëse keni pyetje për këtë temë, regjistrohuni në mësimet e mia, ne do t'i zgjidhim problemet që lindin së bashku.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Ekuacionet kuadratike. Diskriminues. Zgjidhje, shembuj.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Llojet e ekuacioneve kuadratike

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Si duket? Në terma ekuacioni kuadratik fjala kyçe është "katror". Kjo do të thotë se në ekuacion Domosdoshmërisht duhet të ketë një x në katror. Përveç tij, ekuacioni mund (ose jo!) të përmbajë vetëm X (në fuqinë e parë) dhe vetëm një numër (anëtar i lirë). Dhe nuk duhet të ketë X për një fuqi më të madhe se dy.

Në terma matematikorë, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

Këtu a, b dhe c- disa numra. b dhe c- absolutisht çdo, por A– çdo gjë tjetër përveç zeros. Për shembull:

Këtu A =1; b = 3; c = -4

Këtu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Këtu A =-3; b = 6; c = -18

Epo, ju e kuptoni ...

Në këto ekuacione kuadratike në të majtë ka komplet i plotë anëtarët. X në katror me një koeficient A, x në fuqinë e parë me koeficient b Dhe anëtar i lirë s.

Ekuacionet e tilla kuadratike quhen plot.

Po sikur b= 0, çfarë marrim? ne kemi X do të humbet në fuqinë e parë. Kjo ndodh kur shumëzohet me zero.) Rezulton, për shembull:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

etj. Dhe nëse të dy koeficientët b Dhe c janë të barabarta me zero, atëherë është edhe më e thjeshtë:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Ekuacione të tilla ku diçka mungon quhen ekuacionet kuadratike jo të plota. E cila është mjaft logjike.) Ju lutemi vini re se x në katror është i pranishëm në të gjitha ekuacionet.

Nga rruga, pse A nuk mund të jetë e barabartë me zero? Dhe ju zëvendësoni në vend të kësaj A zero.) X-ja jonë në katror do të zhduket! Ekuacioni do të bëhet linear. Dhe zgjidhja është krejtësisht e ndryshme ...

Këto janë të gjitha llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike. E plotë dhe e paplotë.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike.

Ekuacionet kuadratike janë të lehta për t'u zgjidhur. Sipas formulave dhe rregullave të qarta, të thjeshta. Në fazën e parë, është e nevojshme të sillni ekuacionin e dhënë në një formë standarde, d.m.th. në formën:

Nëse ekuacioni ju është dhënë tashmë në këtë formë, nuk keni nevojë të bëni fazën e parë.) Gjëja kryesore është të përcaktoni saktë të gjithë koeficientët, A, b Dhe c.

Formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duket si kjo:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Por më shumë rreth tij më poshtë. Siç mund ta shihni, për të gjetur X, ne përdorim vetëm a, b dhe c. Ato. koeficientët nga një ekuacion kuadratik. Thjesht zëvendësoni me kujdes vlerat a, b dhe c Ne llogarisim në këtë formulë. Le të zëvendësojmë me shenjat tuaja! Për shembull, në ekuacionin:

A =1; b = 3; c= -4. Këtu e shkruajmë atë:

Shembulli është pothuajse i zgjidhur:

Kjo është përgjigja.

Është shumë e thjeshtë. Dhe çfarë, mendoni se është e pamundur të bëni një gabim? Epo, po, si ...

Gabimet më të zakonshme janë konfuzioni me vlerat e shenjave a, b dhe c. Ose më mirë, jo me shenjat e tyre (ku të ngatërrohemi?), por me zëvendësimin e vlerave negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Ajo që ndihmon këtu është një regjistrim i detajuar i formulës me numra specifikë. Nëse ka probleme me llogaritjet, bëje atë!

Supozoni se duhet të zgjidhim shembullin e mëposhtëm:

Këtu a = -6; b = -5; c = -1

Le të themi se e dini se rrallë merrni përgjigje herën e parë.

Epo, mos u bëj dembel. Do të duhen rreth 30 sekonda për të shkruar një rresht shtesë dhe numrin e gabimeve do të ulet ndjeshëm. Pra, ne shkruajmë në detaje, me të gjitha kllapat dhe shenjat:

Duket tepër e vështirë të shkruash me kaq kujdes. Por vetëm kështu duket. Provojeni. Epo, ose zgjidhni. Çfarë është më mirë, e shpejtë apo e drejtë?

Përveç kësaj, unë do t'ju bëj të lumtur. Pas një kohe, nuk do të ketë nevojë të shkruani gjithçka me kaq kujdes. Do të funksionojë vetë. Sidomos nëse përdorni teknika praktike që përshkruhen më poshtë. Ky shembull i keq me një mori minusesh mund të zgjidhet lehtësisht dhe pa gabime!

Por, shpesh, ekuacionet kuadratike duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo: A e keni njohur?) Po! Kjo.

ekuacionet kuadratike jo të plota

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota. a, b dhe c.

Ato gjithashtu mund të zgjidhen duke përdorur një formulë të përgjithshme. Thjesht duhet të kuptoni saktë se me çfarë janë të barabarta këtu. E keni kuptuar? Në shembullin e parë a = 1; b = -4; c A ? Nuk është fare aty! Epo po, ashtu është. Në matematikë kjo do të thotë se c = 0 ! Kjo është ajo. Në vend të kësaj, zero në formulë c, dhe ne do të kemi sukses. E njëjta gjë me shembullin e dytë. Vetëm ne nuk kemi zero këtu Me b !

, A

Pra, çfarë nga kjo? Dhe fakti që produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse ndonjë nga faktorët është i barabartë me zero! Nuk më besoni? Mirë, atëherë dilni me dy numra jo zero që, kur shumëzohen, do të japin zero!
Nuk funksionon? Kjo është ajo ...
Prandaj, mund të shkruajmë me besim: x 1 = 0, x 2 = 4.

Të gjitha. Këto do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë. Të dyja janë të përshtatshme. Kur zëvendësojmë ndonjë prej tyre në ekuacionin origjinal, marrim identitetin e saktë 0 = 0. Siç mund ta shihni, zgjidhja është shumë më e thjeshtë sesa përdorimi i formulës së përgjithshme. Më lejoni të vërej, meqë ra fjala, cili X do të jetë i pari dhe cili do të jetë i dyti - absolutisht indiferent. Është i përshtatshëm për të shkruar në mënyrë, x 1- çfarë është më e vogël dhe x 2- ajo që është më e madhe.

Ekuacioni i dytë gjithashtu mund të zgjidhet thjesht. Lëvizni 9 në anën e djathtë. Ne marrim:

Gjithçka që mbetet është të nxjerrim rrënjën nga 9, dhe kaq. Do të rezultojë:

Gjithashtu dy rrënjë . x 1 = -3, x 2 = 3.

Kështu zgjidhen të gjitha ekuacionet kuadratike jo të plota. Ose duke vendosur X jashtë kllapave, ose thjesht duke e zhvendosur numrin në të djathtë dhe më pas duke nxjerrë rrënjën.
Është jashtëzakonisht e vështirë të ngatërrosh këto teknika. Thjesht sepse në rastin e parë do të duhet të nxirrni rrënjën e X-it, e cila është disi e pakuptueshme, dhe në rastin e dytë nuk ka asgjë për të nxjerrë nga kllapa...

Diskriminues. Formula diskriminuese.

Fjalë magjike diskriminuese ! Rrallëherë një gjimnazist nuk e ka dëgjuar këtë fjalë! Shprehja "ne zgjidhim përmes një diskriminuesi" frymëzon besim dhe siguri. Sepse nga diskriminuesi nuk ka nevojë të presësh marifete! Është e thjeshtë dhe pa probleme në përdorim.) Ju kujtoj formulën më të përgjithshme për zgjidhje ndonjë ekuacionet kuadratike:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Zakonisht diskriminuesi shënohet me shkronjë D. Formula diskriminuese:

D = b 2 - 4ac

Dhe çfarë është kaq e mrekullueshme në këtë shprehje? Pse meritonte një emër të veçantë? Çfarë kuptimi i diskriminuesit? Në fund të fundit -b, ose 2a në këtë formulë nuk e quajnë konkretisht asgjë... Letrat dhe shkronjat.

Këtu është gjëja. Kur zgjidhni një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, është e mundur vetëm tre raste.

1. Diskriminuesi është pozitiv. Kjo do të thotë se rrënja mund të nxirret prej saj. Nëse rrënja nxirret mirë apo dobët është një pyetje tjetër. E rëndësishme është ajo që nxirret në parim. Atëherë ekuacioni juaj kuadratik ka dy rrënjë. Dy zgjidhje të ndryshme.

2. Diskriminuesi është zero. Atëherë do të keni një zgjidhje. Meqenëse mbledhja ose zbritja e zeros në numërues nuk ndryshon asgjë. Në mënyrë të rreptë, kjo nuk është një rrënjë, por dy identike. Por, në një version të thjeshtuar, është zakon të flasim një zgjidhje.

3. Diskriminuesi është negativ. Rrënja katrore e një numri negativ nuk mund të merret. Oh mirë. Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Për të qenë i sinqertë, kur thjesht zgjidhen ekuacionet kuadratike, koncepti i një diskriminuesi nuk është vërtet i nevojshëm. Ne zëvendësojmë vlerat e koeficientëve në formulë dhe numërojmë. Gjithçka ndodh atje vetvetiu, dy rrënjë, një dhe asnjë. Sidoqoftë, kur zgjidhni detyra më komplekse, pa njohuri kuptimi dhe formula e diskriminuesit nuk ia del dot. Sidomos në ekuacionet me parametra. Ekuacione të tilla janë aerobatikë për Provimin e Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit!)

Pra, si të zgjidhim ekuacionet kuadratike përmes diskriminuesit që kujtove. Ose keni mësuar, gjë që gjithashtu nuk është e keqe.) Ju dini të përcaktoni saktë a, b dhe c. A e dini se si? me vëmendje zëvendësojini ato në formulën rrënjësore dhe me vëmendje numëroni rezultatin. Ju e kuptoni se fjala kyçe këtu është me vëmendje?

Tani merrni parasysh teknikat praktike që reduktojnë në mënyrë dramatike numrin e gabimeve. Të njëjtat që janë për shkak të pavëmendjes... Për të cilat më vonë bëhet e dhimbshme dhe fyese...

Takimi i parë . Mos u bëni dembel përpara se të zgjidhni një ekuacion kuadratik dhe ta sillni atë në formën standarde. Çfarë do të thotë kjo?
Le të themi se pas të gjitha transformimeve ju merrni ekuacionin e mëposhtëm:

Mos nxitoni të shkruani formulën rrënjësore! Ju pothuajse me siguri do t'i ngatërroni shanset a, b dhe c. Ndërtoni saktë shembullin. Së pari, X në katror, ​​pastaj pa katror, ​​pastaj termi i lirë. Si kjo:

Dhe përsëri, mos nxitoni! Një minus para një X në katror mund t'ju shqetësojë vërtet. Është e lehtë të harrosh... Hiqni qafe minusin. Si? Po, siç u mësua në temën e mëparshme! Duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Por tani mund të shkruani me siguri formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të përfundoni zgjidhjen e shembullit. Vendosni vetë.

Tani duhet të keni rrënjët 2 dhe -1. Pritja e dyta. Kontrolloni rrënjët! Sipas teoremës së Vietës. Mos kini frikë, unë do t'ju shpjegoj gjithçka! Duke kontrolluar e fundit ekuacioni. Ato. ai që përdorëm për të shkruar formulën rrënjësore. Nëse (si në këtë shembull) koeficienti a = 1 , kontrollimi i rrënjëve është i lehtë. Mjafton t'i shumohen ato. Rezultati duhet të jetë një anëtar i lirë, d.m.th. në rastin tonë -2. Ju lutemi vini re, jo 2, por -2! Anëtar i lirë me shenjën tuaj

. Nëse nuk funksionon, do të thotë se ata tashmë kanë dështuar diku. Kërkoni për gabimin. b Nëse funksionon, duhet të shtoni rrënjët. Kontrolli i fundit dhe i fundit. Koeficienti duhet të jetë Me përballë b i njohur. Në rastin tonë -1+2 = +1. Një koeficient
, e cila është para X, është e barabartë me -1. Pra, gjithçka është e saktë! Është për të ardhur keq që kjo është kaq e thjeshtë vetëm për shembujt ku x në katror është i pastër, me një koeficient Por të paktën kontrolloni në ekuacione të tilla! Do të ketë gjithnjë e më pak gabime.

Pritja e treta . Nëse ekuacioni juaj ka koeficientë thyesorë, hiqni qafe thyesat! Shumëzoni ekuacionin me një emërues të përbashkët siç përshkruhet në mësimin "Si të zgjidhim ekuacionet? Transformimet e identitetit". Kur punoni me thyesa, gabimet vazhdojnë të zvarriten për disa arsye ...

Nga rruga, unë premtova të thjeshtoja shembullin e keq me një mori minusesh. Ju lutem! Këtu është ai.

Për të mos u ngatërruar nga minuset, e shumëzojmë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Kjo është ajo! Zgjidhja është një kënaqësi!

Pra, le të përmbledhim temën.

Këshilla praktike:

1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formë standarde dhe e ndërtojmë E drejta.

2. Nëse ka një koeficient negativ përballë katrorit X, e eliminojmë duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me -1.

3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me faktorin përkatës.

4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti i tij është i barabartë me një, zgjidhja mund të verifikohet lehtësisht duke përdorur teoremën e Vietës. Bëje atë!

Tani mund të vendosim.)

Zgjidh ekuacionet:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Përgjigjet (në rrëmujë):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - çdo numër

x 1 = -3
x 2 = 3

asnjë zgjidhje

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

A përshtatet gjithçka? E shkëlqyeshme! Ekuacionet kuadratike nuk janë dhimbja juaj e kokës. Tre të parat funksionuan, por pjesa tjetër jo? Atëherë problemi nuk është me ekuacionet kuadratike. Problemi është në transformimet identike të ekuacioneve. Hidhini një sy lidhjes, është e dobishme.

Nuk funksionon fare? Apo nuk funksionon fare? Më pas, Seksioni 555 do t'ju ndihmojë të gjithë këta shembuj. Treguar kryesore gabimet në zgjidhje. Natyrisht, flasim edhe për përdorimin e transformimeve identike në zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme. Ndihmon shumë!

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Diskriminuesi, si ekuacionet kuadratike, fillon të studiohet në një kurs algjebër në klasën e 8-të. Ju mund të zgjidhni një ekuacion kuadratik përmes një diskriminuesi dhe duke përdorur teoremën e Vietës. Metoda e studimit të ekuacioneve kuadratike, si dhe formulat diskriminuese, u mësohet nxënësve pa sukses, si shumë gjëra në arsimin real. Prandaj, vitet shkollore kalojnë, arsimi në klasat 9-11 zëvendësohet nga "arsimi i lartë" dhe të gjithë po shikojnë përsëri - "Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik?", "Si të gjejmë rrënjët e ekuacionit?", "Si të gjejmë diskriminuesin?" Dhe...

Formula diskriminuese

Diskriminuesi D i ekuacionit kuadratik a*x^2+bx+c=0 është i barabartë me D=b^2–4*a*c.
Rrënjët (zgjidhjet) e një ekuacioni kuadratik varen nga shenja e diskriminuesit (D):
D>0 – ekuacioni ka 2 rrënjë reale të ndryshme;
D=0 - ekuacioni ka 1 rrënjë (2 rrënjë që përputhen):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula për llogaritjen e diskriminuesit është mjaft e thjeshtë, kështu që shumë faqe interneti ofrojnë një kalkulator diskriminues në internet. Ne nuk e kemi kuptuar ende këtë lloj skripti, kështu që nëse dikush e di se si ta zbatojë këtë, ju lutemi na shkruani me email Kjo adresë emaili mbrohet nga spambotet e padëshiruara. Duhet të keni aktivizuar JavaScript për ta parë atë. .

Formula e përgjithshme për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik:

Ne gjejmë rrënjët e ekuacionit duke përdorur formulën
Nëse koeficienti i një ndryshoreje në katror është çiftuar, atëherë këshillohet të llogaritet jo diskriminuesi, por pjesa e katërt e tij
Në raste të tilla, rrënjët e ekuacionit gjenden duke përdorur formulën

Mënyra e dytë për të gjetur rrënjët është teorema e Vietës.

Teorema është formuluar jo vetëm për ekuacionet kuadratike, por edhe për polinomet. Ju mund ta lexoni këtë në Wikipedia ose burime të tjera elektronike. Megjithatë, për ta thjeshtuar, le të shqyrtojmë pjesën që ka të bëjë me ekuacionet kuadratike të mësipërme, pra ekuacionet e formës (a=1)
Thelbi i formulave të Vietës është se shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë me koeficientin e ndryshores, marrë me shenjën e kundërt. Prodhimi i rrënjëve të ekuacionit është i barabartë me termin e lirë. Teorema e Vietës mund të shkruhet në formula.
Derivimi i formulës së Vietës është mjaft i thjeshtë. Le të shkruajmë ekuacionin kuadratik përmes faktorëve të thjeshtë
Siç mund ta shihni, çdo gjë e zgjuar është e thjeshtë në të njëjtën kohë. Është efektive të përdoret formula e Vietës kur ndryshimi në modulin e rrënjëve ose ndryshimi në modulin e rrënjëve është 1, 2. Për shembull, ekuacionet e mëposhtme, sipas teoremës së Vietës, kanë rrënjë




Deri në ekuacionin 4, analiza duhet të duket kështu. Prodhimi i rrënjëve të ekuacionit është 6, prandaj rrënjët mund të jenë vlerat (1, 6) dhe (2, 3) ose çifte me shenjën e kundërt. Shuma e rrënjëve është 7 (koeficienti i ndryshores me shenjën e kundërt). Nga këtu arrijmë në përfundimin se zgjidhjet e ekuacionit kuadratik janë x=2; x=3.
Është më e lehtë të zgjedhësh rrënjët e ekuacionit midis pjesëtuesve të termit të lirë, duke rregulluar shenjën e tyre për të përmbushur formulat Vieta. Në fillim, kjo duket e vështirë për t'u bërë, por me praktikë në një sërë ekuacionesh kuadratike, kjo teknikë do të rezultojë të jetë më efektive sesa llogaritja e diskriminuesit dhe gjetja e rrënjëve të ekuacionit kuadratik në mënyrën klasike.
Siç mund ta shihni, teoria e shkollës për studimin e diskriminimit dhe metodave për të gjetur zgjidhje për ekuacionin nuk ka kuptim praktik - "Pse nxënësve të shkollës u nevojitet një ekuacion kuadratik?", "Cili është kuptimi fizik i diskriminuesit?"

Le të përpiqemi ta kuptojmë Çfarë përshkruan diskriminuesi?

Në kursin e algjebrës studiojnë funksionet, skemat për studimin e funksioneve dhe ndërtimin e grafikut të funksioneve. Nga të gjitha funksionet, një vend të rëndësishëm zë parabola, ekuacioni i së cilës mund të shkruhet në formën
Pra, kuptimi fizik i ekuacionit kuadratik është zerot e parabolës, domethënë pikat e prerjes së grafikut të funksionit me boshtin e abshisave Ox.
Ju kërkoj të mbani mend vetitë e parabolave ​​që përshkruhen më poshtë. Do të vijë koha për të marrë provime, teste ose provime pranuese dhe do të jeni mirënjohës për materialin referues. Shenja e variablit në katror korrespondon nëse degët e parabolës në grafik do të shkojnë lart (a>0),

ose një parabolë me degë poshtë (a<0) .

Maja e parabolës shtrihet në mes të rrugës midis rrënjëve

Kuptimi fizik i diskriminuesit:

Nëse diskriminuesi është më i madh se zero (D>0) parabola ka dy pika kryqëzimi me boshtin Ox.
Nëse diskriminuesi është zero (D=0) atëherë parabola në kulm prek boshtin x.
Dhe rasti i fundit, kur diskriminuesi është më i vogël se zero (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ekuacionet kuadratike jo të plota

Niveli i hyrjes

Ekuacionet kuadratike. Udhëzuesi Gjithëpërfshirës (2019)

Në termin "ekuacion kuadratik", fjala kyçe është "kuadratike". Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të përmbajë domosdoshmërisht një ndryshore (të njëjtin x) në katror, ​​dhe nuk duhet të ketë xes për fuqinë e tretë (ose më të madhe).

Zgjidhja e shumë ekuacioneve zbret në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Le të mësojmë të përcaktojmë se ky është një ekuacion kuadratik dhe jo ndonjë ekuacion tjetër.

Shembulli 1.

Le të heqim qafe emëruesin dhe të shumëzojmë çdo term të ekuacionit me

Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë dhe të rregullojmë termat në rendin zbritës të fuqive të X

Tani mund të themi me besim se ky ekuacion është kuadratik!

Shembulli 2.

Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:

Ky ekuacion, megjithëse ishte fillimisht në të, nuk është kuadratik!

Shembulli 3.

Le të shumëzojmë gjithçka me:

E frikshme? Shkalla e katërt dhe e dytë... Megjithatë, nëse bëjmë një zëvendësim, do të shohim se kemi një ekuacion të thjeshtë kuadratik:

Shembulli 4.

Duket se është atje, por le të hedhim një vështrim më të afërt. Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë:

Shihni, është reduktuar - dhe tani është një ekuacion i thjeshtë linear!

Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat nga ekuacionet e mëposhtme janë kuadratike dhe cilat jo:

Shembuj:

Përgjigjet:

1. katror;
2. katror;
3. jo katror;
4. jo katror;
5. jo katror;
6. katror;
7. jo katror;
8. katrore.

Matematikanët në mënyrë konvencionale i ndajnë të gjitha ekuacionet kuadratike në llojet e mëposhtme:

• Ekuacionet e plota kuadratike- ekuacionet në të cilat koeficientët dhe, si dhe termi i lirë c, nuk janë të barabartë me zero (si në shembull). Përveç kësaj, midis ekuacioneve të plota kuadratike ekzistojnë dhënë- këto janë ekuacione në të cilat koeficienti (ekuacioni nga shembulli i parë nuk është vetëm i plotë, por edhe i reduktuar!)

• Ekuacionet kuadratike jo të plota- ekuacionet në të cilat koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

  Ato janë të paplota sepse u mungon një element. Por ekuacioni duhet të përmbajë gjithmonë x në katror!!! Përndryshe, nuk do të jetë më një ekuacion kuadratik, por një ekuacion tjetër.

Pse dolën me një ndarje të tillë? Duket se ka një X në katror, ​​dhe në rregull. Kjo ndarje përcaktohet nga metodat e zgjidhjes. Le të shohim secilën prej tyre në më shumë detaje.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Së pari, le të përqendrohemi në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë shumë më të thjeshta!

Ekzistojnë lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:

1. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
2. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
3. , në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

1. i. Meqenëse dimë të marrim rrënjën katrore, le të përdorim këtë ekuacion për t'u shprehur

Shprehja mund të jetë ose negative ose pozitive. Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv, pra: nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Dhe nëse, atëherë marrim dy rrënjë. Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore është që ju duhet të dini dhe të mbani mend gjithmonë se nuk mund të jetë më pak.

Le të përpiqemi të zgjidhim disa shembuj.

Shembulli 5:

Zgjidhe ekuacionin

Tani mbetet vetëm nxjerrja e rrënjës nga anët e majta dhe të djathta. Në fund të fundit, ju kujtohet se si të nxirrni rrënjët?

Përgjigje:

Mos harroni asnjëherë rrënjët me shenjë negative!!!

Shembulli 6:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 7:

Zgjidhe ekuacionin

Oh! Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë!

Për ekuacione të tilla që nuk kanë rrënjë, matematikanët dolën me një ikonë të veçantë - (grup bosh). Dhe përgjigja mund të shkruhet kështu:

Përgjigje:

Kështu, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këtu nuk ka kufizime, pasi nuk e kemi nxjerrë rrënjën.
Shembulli 8:

Zgjidhe ekuacionin

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Kështu,

Ky ekuacion ka dy rrënjë.

Përgjigje:

Lloji më i thjeshtë i ekuacioneve kuadratike jo të plota (edhe pse të gjitha janë të thjeshta, apo jo?). Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Këtu do të heqim dorë nga shembujt.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike

Ju kujtojmë se një ekuacion i plotë kuadratik është një ekuacion i ekuacionit të formës ku

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike është pak më e vështirë (vetëm pak) se këto.

Mbani mend Çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Madje e paplotë.

Metodat e tjera do t'ju ndihmojnë ta bëni atë më shpejt, por nëse keni probleme me ekuacionet kuadratike, së pari zotëroni zgjidhjen duke përdorur diskriminuesin.

1. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur këtë metodë është shumë e thjeshtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula.

Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, duhet t'i kushtoni vëmendje të veçantë hapit. Diskriminuesi () na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë formula në hap do të reduktohet në. Kështu, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë.
• Nëse, atëherë nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit në hap. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Le të kthehemi te ekuacionet tona dhe të shohim disa shembuj.

Shembulli 9:

Zgjidhe ekuacionin

Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë.

Hapi 3.

Përgjigje:

Shembulli 10:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë që ekuacioni ka një rrënjë.

Përgjigje:

Shembulli 11:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë që ne nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit. Nuk ka rrënjë të ekuacionit.

Tani ne e dimë se si t'i shkruajmë saktë përgjigje të tilla.

Përgjigje: pa rrënjë

2. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës.

Nëse ju kujtohet, ekziston një lloj ekuacioni që quhet i reduktuar (kur koeficienti a është i barabartë me):

Ekuacione të tilla janë shumë të lehta për t'u zgjidhur duke përdorur teoremën e Vieta:

Shuma e rrënjëve dhënë ekuacioni kuadratik është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë.

Shembulli 12:

Zgjidhe ekuacionin

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë, d.m.th. marrim ekuacionin e parë:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të hartojmë dhe zgjidhim sistemin:

• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Përgjigje: ; .

Shembulli 13:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 14:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Përgjigje:

EKUACIONET KUADRATE. NIVELI I MESËM

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

Me fjalë të tjera, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - disa numra dhe.

Numri quhet më i larti ose koeficienti i parë ekuacioni kuadratik, - koeficienti i dytë, A - anëtar i lirë.

Pse? Sepse nëse ekuacioni bëhet menjëherë linear, sepse do të zhduket.

Në këtë rast, dhe mund të jetë e barabartë me zero. Në këtë karrige ekuacioni quhet jo i plotë. Nëse të gjithë termat janë në vend, domethënë, ekuacioni është i plotë.

Zgjidhje të llojeve të ndryshme të ekuacioneve kuadratike

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota:

Së pari, le të shohim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë më të thjeshta.

Mund të dallojmë llojet e mëposhtme të ekuacioneve:

I., në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

II. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.

III. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.

Tani le të shohim zgjidhjen për secilin nga këto nëntipe.

Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzoni dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv. Kjo është arsyeja pse:

nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje;

nëse kemi dy rrënjë

Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore për të mbajtur mend është se nuk mund të jetë më pak.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Asnjëherë mos harroni për rrënjët me një shenjë negative!

Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë.

Për të shkruar shkurtimisht se një problem nuk ka zgjidhje, ne përdorim ikonën e setit bosh.

Përgjigje:

Pra, ky ekuacion ka dy rrënjë: dhe.

Përgjigje:

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Kjo do të thotë që ekuacioni ka një zgjidhje kur:

Pra, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë: dhe.

Shembull:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe të gjejmë rrënjët:

Përgjigje:

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike:

1. Diskriminues

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është e lehtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula. Mos harroni, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Madje e paplotë.

A e keni vënë re rrënjën diskriminuese në formulën për rrënjët? Por diskriminuesi mund të jetë negativ. Çfarë duhet bërë? Duhet t'i kushtojmë vëmendje të veçantë hapit 2. Diskriminuesi na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë:
• Nëse, atëherë ekuacioni ka të njëjtat rrënjë, dhe në fakt, një rrënjë:

  Rrënjë të tilla quhen rrënjë të dyfishta.

• Nëse, atëherë rrënja e diskriminuesit nuk nxirret. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Pse janë të mundshme numra të ndryshëm rrënjësh? Le të kthehemi te kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik. Grafiku i funksionit është një parabolë:

Në një rast të veçantë, i cili është një ekuacion kuadratik, . Kjo do të thotë se rrënjët e një ekuacioni kuadratik janë pikat e kryqëzimit me boshtin (boshtin) e abshisave. Një parabolë mund të mos e presë fare boshtin, ose mund ta presë atë në një (kur kulmi i parabolës shtrihet në bosht) ose dy pika.

Përveç kësaj, koeficienti është përgjegjës për drejtimin e degëve të parabolës. Nëse, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe nëse, atëherë poshtë.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Përgjigje:.

Përgjigje:

Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Përgjigje:.

2. Teorema e Vietës

Përdorimi i teoremës së Vietës është shumë i lehtë: thjesht duhet të zgjidhni një çift numrash, prodhimi i të cilëve është i barabartë me termin e lirë të ekuacionit, dhe shuma është e barabartë me koeficientin e dytë, të marrë me shenjën e kundërt.

Është e rëndësishme të mbani mend se teorema e Vietës mund të zbatohet vetëm në ekuacionet kuadratike të reduktuara ().

Le të shohim disa shembuj:

Shembulli #1:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse . Koeficientët e tjerë: ; .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Kështu, dhe janë rrënjët e ekuacionit tonë.

Përgjigje: ; .

Shembulli #2:

Zgjidhja:

Le të zgjedhim çifte numrash që japin produktin dhe më pas të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

dhe: japin gjithsej.

dhe: japin gjithsej. Për të marrë, mjafton thjesht të ndryshoni shenjat e rrënjëve të supozuara: dhe, në fund të fundit, produktin.

Përgjigje:

Shembulli #3:

Zgjidhja:

Termi i lirë i ekuacionit është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është një numër negativ. Kjo është e mundur vetëm nëse njëra prej rrënjëve është negative dhe tjetra është pozitive. Prandaj shuma e rrënjëve është e barabartë me dallimet e moduleve të tyre.

Le të zgjedhim çifte numrash që japin në produkt dhe ndryshimi i të cilëve është i barabartë me:

dhe: dallimi i tyre është i barabartë - nuk përshtatet;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - të përshtatshme. Mbetet vetëm të kujtojmë se një nga rrënjët është negative. Meqenëse shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, rrënja me modul më të vogël duhet të jetë negative: . Ne kontrollojmë:

Përgjigje:

Shembulli #4:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Termi i lirë është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është negativ. Dhe kjo është e mundur vetëm kur njëra rrënjë e ekuacionit është negative dhe tjetra është pozitive.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe më pas të përcaktojmë se cilat rrënjë duhet të kenë një shenjë negative:

Natyrisht, vetëm rrënjët dhe janë të përshtatshme për kushtin e parë:

Përgjigje:

Shembulli #5:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Shuma e rrënjëve është negative, që do të thotë se të paktën njëra prej rrënjëve është negative. Por meqenëse produkti i tyre është pozitiv, do të thotë që të dy rrënjët kanë një shenjë minus.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë me:

Natyrisht, rrënjët janë numrat dhe.

Përgjigje:

Pajtohem, është shumë e përshtatshme të thuash rrënjë me gojë, në vend që të numërosh këtë diskriminues të keq. Mundohuni të përdorni teoremën e Vietës sa më shpesh të jetë e mundur.

Por teorema e Vietës është e nevojshme për të lehtësuar dhe përshpejtuar gjetjen e rrënjëve. Në mënyrë që të përfitoni nga përdorimi i tij, duhet t'i çoni veprimet në automatik. Dhe për këtë, zgjidhni pesë shembuj të tjerë. Por mos mashtroni: nuk mund të përdorni një diskriminues! Vetëm teorema e Vietës:

Zgjidhje për detyrat për punë të pavarur:

Detyra 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Sipas teoremës së Vietës:

Si zakonisht, ne e fillojmë përzgjedhjen me pjesën:

Jo i përshtatshëm për shkak të sasisë;

: shuma është pikërisht ajo që ju nevojitet.

Përgjigje: ; .

Detyra 2.

Dhe përsëri teorema jonë e preferuar Vieta: shuma duhet të jetë e barabartë dhe produkti duhet të jetë i barabartë.

Por meqenëse nuk duhet të jetë, por, ne ndryshojmë shenjat e rrënjëve: dhe (në total).

Përgjigje: ; .

Detyra 3.

Hmm... Ku është?

Ju duhet të zhvendosni të gjitha termat në një pjesë:

Shuma e rrënjëve është e barabartë me produktin.

Në rregull, ndalo! Ekuacioni nuk është dhënë. Por teorema e Vietës është e zbatueshme vetëm në ekuacionet e dhëna. Pra, së pari ju duhet të jepni një ekuacion. Nëse nuk mund të udhëheqni, hiqni dorë nga kjo ide dhe zgjidheni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi). Më lejoni t'ju kujtoj se të japësh një ekuacion kuadratik do të thotë të bësh koeficientin kryesor të barabartë:

E madhe. Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me dhe produktin.

Është po aq e lehtë sa byreku për të zgjedhur këtu: në fund të fundit, është një numër i thjeshtë (më falni për tautologjinë).

Përgjigje: ; .

Detyra 4.

Anëtari i lirë është negativ. Çfarë të veçantë ka kjo? Dhe fakti është se rrënjët do të kenë shenja të ndryshme. Dhe tani, gjatë përzgjedhjes, ne kontrollojmë jo shumën e rrënjëve, por ndryshimin në modulet e tyre: ky ndryshim është i barabartë, por një produkt.

Pra, rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Teorema e Vietës na thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjë të kundërt, d.m.th. Kjo do të thotë që rrënja më e vogël do të ketë një minus: dhe, pasi.

Përgjigje: ; .

Detyra 5.

Çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, jepni ekuacionin:

Përsëri: ne zgjedhim faktorët e numrit dhe ndryshimi i tyre duhet të jetë i barabartë me:

Rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Cilin? Shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, që do të thotë se minusi do të ketë një rrënjë më të madhe.

Përgjigje: ; .

Më lejoni të përmbledh:

1. Teorema e Vietës përdoret vetëm në ekuacionet kuadratike të dhëna.
2. Duke përdorur teoremën e Vietës, mund të gjeni rrënjët me përzgjedhje, me gojë.
3. Nëse ekuacioni nuk është dhënë ose nuk gjendet asnjë çift i përshtatshëm faktorësh të termit të lirë, atëherë nuk ka rrënjë të tëra dhe ju duhet ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi).

3. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë

Nëse të gjithë termat që përmbajnë të panjohurën përfaqësohen në formën e termave nga formulat e shkurtuara të shumëzimit - katrori i shumës ose ndryshimit - atëherë pas zëvendësimit të variablave, ekuacioni mund të paraqitet në formën e një ekuacioni kuadratik jo të plotë të llojit.

Për shembull:

Shembulli 1:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

Shembulli 2:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

Në përgjithësi, transformimi do të duket si ky:

Më poshtë vijon: .

Nuk ju kujton asgjë? Kjo është një gjë diskriminuese! Pikërisht kështu kemi marrë formulën e diskriminimit.

EKUACIONET KUADRATE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Ekuacioni kuadratik- ky është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - koeficientët e ekuacionit kuadratik, - termi i lirë.

Ekuacioni i plotë kuadratik- një ekuacion në të cilin koeficientët nuk janë të barabartë me zero.

Ekuacioni kuadratik i reduktuar- një ekuacion në të cilin koeficienti, që është: .

Ekuacioni kuadratik jo i plotë- një ekuacion në të cilin koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

• nëse koeficienti, ekuacioni duket si: ,
• nëse ka një term të lirë, ekuacioni ka formën:
• nëse dhe, ekuacioni duket si: .

1. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota

1.1. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të shprehim të panjohurën:

2) Kontrolloni shenjën e shprehjes:

• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje,
• nëse, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

1.2. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat: ,

2) Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë:

1.3. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku:

Ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë: .

2. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike të formës ku

2.1. Zgjidhje duke përdorur diskriminues

1) Le ta sjellim ekuacionin në formën standarde: ,

2) Le të llogarisim diskriminuesin duke përdorur formulën: , e cila tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit:

3) Gjeni rrënjët e ekuacionit:

• nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë, të cilat gjenden me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

2.2. Zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar (ekuacioni i formës ku) është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë, d.m.th. , A.

2.3. Zgjidhja me metodën e zgjedhjes së një katrori të plotë

Nëse një ekuacion kuadratik i formës ka rrënjë, atëherë ai mund të shkruhet në formën: .

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më të mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Për çfarë?

Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LUMTUR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teori gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të doni, detyrimisht me zgjidhje, analiza të detajuara dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - 499 fshij.

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Dhe në përfundim ...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Në një mënyrë më të thjeshtë. Për ta bërë këtë, vendosni z jashtë kllapave. Do të merrni: z(аz + b) = 0. Faktorët mund të shkruhen: z=0 dhe аz + b = 0, pasi që të dy mund të rezultojnë në zero. Në shënimin az + b = 0, e lëvizim të dytin në të djathtë me një shenjë tjetër. Nga këtu marrim z1 = 0 dhe z2 = -b/a. Këto janë rrënjët e origjinalit.

Nëse ka një ekuacion jo të plotë të formës az² + c = 0, në këtë rast ato gjenden duke lëvizur thjesht termin e lirë në anën e djathtë të ekuacionit. Ndryshoni gjithashtu shenjën e saj. Rezultati do të jetë az² = -с. Shpreh z² = -c/a. Merrni rrënjën dhe shkruani dy zgjidhje - një rrënjë katrore pozitive dhe një negative.

Ju lutemi vini re

Nëse ka koeficientë thyesorë në ekuacion, shumëzojeni të gjithë ekuacionin me faktorin e duhur në mënyrë që të shpëtoni nga thyesat.

Njohuria se si të zgjidhen ekuacionet kuadratike është e nevojshme si për nxënësit e shkollës ashtu edhe për studentët, ndonjëherë kjo mund të ndihmojë edhe një të rritur në jetën e përditshme. Ekzistojnë disa metoda specifike të zgjidhjes.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike

Ekuacioni kuadratik i formës a*x^2+b*x+c=0. Koeficienti x është ndryshorja e dëshiruar, a, b, c janë koeficientë numerikë. Mos harroni se shenja "+" mund të ndryshojë në një shenjë "-".

Për të zgjidhur këtë ekuacion, është e nevojshme të përdoret teorema e Vieta-s ose të gjendet diskriminuesi. Metoda më e zakonshme është gjetja e diskriminuesit, pasi për disa vlera të a, b, c nuk është e mundur të përdoret teorema e Vietës.

Për të gjetur diskriminuesin (D), duhet të shkruani formulën D=b^2 - 4*a*c. Vlera D mund të jetë më e madhe se, më e vogël ose e barabartë me zero. Nëse D është më i madh ose më i vogël se zero, atëherë do të ketë dy rrënjë, nëse D = 0, atëherë mbetet vetëm një rrënjë, mund të themi se D në këtë rast ka dy rrënjë të barazvlefshme; Zëvendësoni koeficientët e njohur a, b, c në formulë dhe llogaritni vlerën.

Pasi të keni gjetur diskriminuesin, përdorni formulat për të gjetur x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, ku sqrt është një funksion që nënkupton marrjen e rrënjës katrore të një numri të dhënë. Pas llogaritjes së këtyre shprehjeve, do të gjeni dy rrënjë të ekuacionit tuaj, pas së cilës ekuacioni konsiderohet i zgjidhur.

Nëse D është më pak se zero, atëherë ai ende ka rrënjë. Ky seksion praktikisht nuk studiohet në shkollë. Studentët e universitetit duhet të jenë të vetëdijshëm se një numër negativ shfaqet nën rrënjë. Ata e heqin qafe atë duke theksuar pjesën imagjinare, domethënë -1 nën rrënjë është gjithmonë e barabartë me elementin imagjinar "i", i cili shumëzohet me rrënjën me të njëjtin numër pozitiv. Për shembull, nëse D=sqrt(-20), pas transformimit marrim D=sqrt(20)*i. Pas këtij transformimi, zgjidhja e ekuacionit reduktohet në të njëjtin gjetje të rrënjëve siç përshkruhet më sipër.

Teorema e Vieta konsiston në zgjedhjen e vlerave të x(1) dhe x(2). Përdoren dy ekuacione identike: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Për më tepër, një pikë shumë e rëndësishme është shenja përballë koeficientit b, mos harroni se kjo shenjë është e kundërt me atë në ekuacion. Në pamje të parë, duket se llogaritja e x(1) dhe x(2) është shumë e thjeshtë, por gjatë zgjidhjes do të përballeni me faktin se do të duhet të zgjidhni numrat.

Elementet e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike

Sipas rregullave të matematikës, disa mund të faktorizohen: (a+x(1))*(b-x(2))=0, nëse keni arritur të transformoni këtë ekuacion kuadratik në mënyrë të ngjashme duke përdorur formulat matematikore, atëherë mos ngurroni të shkruani përgjigjen. x(1) dhe x(2) do të jenë të barabartë me koeficientët ngjitur në kllapa, por me shenjën e kundërt.

Gjithashtu, mos harroni për ekuacionet kuadratike jo të plota. Ju mund të mungojnë disa nga termat nëse po, atëherë të gjithë koeficientët e tij janë thjesht të barabartë me zero. Nëse nuk ka asgjë përpara x^2 ose x, atëherë koeficientët a dhe b janë të barabartë me 1.