Kur mblidhen dhe zbriten thyesat algjebrike me emërues të ndryshëm, thyesat fillimisht çojnë në emërues i përbashkët. Kjo do të thotë se ata gjejnë një emërues që ndahet me emëruesin origjinal të çdo thyese algjebrike të përfshirë në shprehjen e dhënë.
Siç e dini, nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen (ose pjesëtohen) me të njëjtin numër përveç zeros, vlera e thyesës nuk do të ndryshojë. Kjo është vetia kryesore e një fraksioni. Prandaj, kur thyesat reduktohen në një emërues të përbashkët, ato në thelb shumëzojnë emëruesin origjinal të çdo thyese me faktorin që mungon për të marrë një emërues të përbashkët. Në këtë rast, duhet të shumëzoni numëruesin e fraksionit me këtë faktor (është i ndryshëm për secilën fraksion).
Për shembull, duke pasur parasysh shumën e mëposhtme të thyesave algjebrike:
Kërkohet thjeshtimi i shprehjes, domethënë shtimi i dy thyesave algjebrike. Për ta bërë këtë, para së gjithash, duhet të sillni termat e thyesave në një emërues të përbashkët. Hapi i parë është gjetja e një monomi që është i pjesëtueshëm me 3x dhe 2y. Në këtë rast, është e dëshirueshme që ai të jetë më i vogli, domethënë të gjendet shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) për 3x dhe 2y.
Për koeficientët dhe variablat numerikë, LCM kërkohet veçmas. LCM(3, 2) = 6 dhe LCM(x, y) = xy. Më pas, vlerat e gjetura shumëzohen: 6xy.
Tani duhet të përcaktojmë se me cilin faktor duhet të shumëzojmë 3x për të marrë 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Kjo do të thotë që kur thyesën e parë algjebrike reduktohet në një emërues të përbashkët, numëruesi i saj duhet të shumëzohet me 2y (emëruesi tashmë është shumëzuar kur zvogëlohet në një emërues të përbashkët). Në të njëjtën mënyrë kërkohet shumëzuesi për numëruesin e thyesës së dytë. Do të jetë e barabartë me 3x.
Kështu marrim: 
Atëherë mund të veproni si me thyesat me emërues të njëjtë: mblidhni numëruesit dhe shkruani një emërues të përbashkët: 
Pas shndërrimeve, fitohet një shprehje e thjeshtuar, e cila është një thyesë algjebrike, që është shuma e dy atyre origjinale: 
Thyesat algjebrike në shprehjen origjinale mund të përmbajnë emërues që janë polinomë dhe jo monomë (si në shembullin e mësipërm). Në këtë rast, përpara se të kërkoni për një emërues të përbashkët, duhet të faktorizoni emëruesit (nëse është e mundur). Më pas, emëruesi i përbashkët mblidhet nga faktorë të ndryshëm. Nëse shumëzuesi është në disa emërues origjinal, atëherë ai merret një herë. Nëse shumëzuesi ka fuqi të ndryshme në emëruesit origjinal, atëherë ai merret me atë më të madhin. Për shembull: 
Këtu polinomi a 2 – b 2 mund të paraqitet si prodhim (a – b)(a + b). Faktori 2a – 2b zgjerohet si 2(a – b). Kështu, emëruesi i përbashkët do të jetë 2(a – b)(a + b).
Fillimisht doja të përfshija teknikat e emëruesve të përbashkët në seksionin Shtimi dhe Zbritja e Thyjeve. Por doli se kishte aq shumë informacione dhe rëndësia e tij është aq e madhe (në fund të fundit, jo vetëm fraksionet numerike kanë emërues të përbashkët), sa është më mirë ta studiojmë këtë çështje veç e veç.
Pra, le të themi se kemi dy thyesa me emërues të ndryshëm. Dhe ne duam të sigurohemi që emëruesit të bëhen të njëjtë. Vetia themelore e një fraksioni vjen në shpëtim, e cila, më lejoni t'ju kujtoj, tingëllon si kjo:
Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.
Kështu, nëse i zgjidhni saktë faktorët, emëruesit e thyesave do të bëhen të barabartë - ky proces quhet reduktim në një emërues të përbashkët. Dhe numrat e kërkuar, "mbrëmje jashtë" emëruesit, quhen faktorë shtesë.
Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët? Këtu janë vetëm disa arsye:
- Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
- Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
- Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në thelb shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.
Ka shumë mënyra për të gjetur numra që, kur shumëzohen me ta, do t'i bëjnë emëruesit e thyesave të barabartë. Ne do të shqyrtojmë vetëm tre prej tyre - në mënyrë që të rritet kompleksiteti dhe, në një farë kuptimi, efektiviteti.
Shumëzim kryq
Metoda më e thjeshtë dhe më e besueshme, e cila garantohet të barazojë emëruesit. Ne do të veprojmë "në mënyrë të pandërprerë": ne shumëzojmë thyesën e parë me emëruesin e thyesës së dytë dhe të dytën me emëruesin e të parës. Si rezultat, emëruesit e të dy thyesave do të bëhen të barabartë me produktin e emëruesit origjinal. Hidhini një sy:
Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:
Po, është kaq e thjeshtë. Nëse sapo keni filluar të studioni fraksionet, është më mirë të punoni duke përdorur këtë metodë - në këtë mënyrë do të siguroheni nga shumë gabime dhe do të jeni të garantuar të merrni rezultatin.
E vetmja pengesë e kësaj metode është se ju duhet të numëroni shumë, sepse emëruesit shumëzohen "deri në fund", dhe rezultati mund të jetë numra shumë të mëdhenj. Ky është çmimi që duhet paguar për besueshmërinë.
Metoda e pjesëtuesit të përbashkët
Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:
- Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
- Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
- Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:
Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues ndahet pa mbetje nga tjetri, ne përdorim metodën e faktorëve të përbashkët. Ne kemi:
Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!
Nga rruga, unë nuk i mora rastësisht thyesat në këtë shembull. Nëse jeni të interesuar, provoni t'i numëroni duke përdorur metodën e kryqëzuar. Pas reduktimit, përgjigjet do të jenë të njëjta, por do të ketë shumë më tepër punë.
Kjo është fuqia e metodës së pjesëtuesve të përbashkët, por, përsëri, mund të përdoret vetëm kur njëri prej emërtuesve ndahet me tjetrin pa mbetje. Gjë që ndodh mjaft rrallë.
Metoda më pak e zakonshme e shumëfishtë
Kur i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët, në thelb po përpiqemi të gjejmë një numër që është i pjesëtueshëm me secilin emërues. Pastaj sjellim emëruesit e të dy thyesave në këtë numër.
Ka shumë numra të tillë, dhe më i vogli prej tyre nuk do të jetë domosdoshmërisht i barabartë me produktin e drejtpërdrejtë të emëruesve të thyesave origjinale, siç supozohet në metodën "kryq".
Për shembull, për emëruesit 8 dhe 12, numri 24 është mjaft i përshtatshëm, pasi 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ky numër është shumë më i vogël se produkti 8 · 12 = 96.
Numri më i vogël që pjesëtohet me secilin prej emërtuesve quhet shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët (LCM).
Shënim: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i a dhe b shënohet LCM(a ; b) . Për shembull, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .
Nëse arrini të gjeni një numër të tillë, shuma totale e llogaritjeve do të jetë minimale. Shikoni shembujt:
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:
Vini re se 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktorët 2 dhe 3 janë coprime (nuk kanë faktorë të përbashkët përveç 1), dhe faktori 117 është i zakonshëm. Prandaj LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Po kështu, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorët 3 dhe 4 janë të dyfishtë, dhe faktori 5 është i zakonshëm. Prandaj LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Tani le t'i sjellim thyesat në emërues të përbashkët:
Vini re se sa i dobishëm ishte faktorizimi i emëruesve origjinal:
- Pasi zbuluam faktorë të njëjtë, arritëm menjëherë te shumëfishi më i vogël i përbashkët, i cili, në përgjithësi, është një problem jo i parëndësishëm;
- Nga zgjerimi që rezulton mund të zbuloni se cilët faktorë "mungojnë" në secilën fraksion. Për shembull, 234 · 3 = 702, prandaj, për fraksionin e parë faktori shtesë është 3.
Për të vlerësuar se sa ndryshim bën metoda e shumëfishtë më pak e zakonshme, provoni të llogaritni këta shembuj të njëjtë duke përdorur metodën e kryqëzuar. Sigurisht, pa një kalkulator. Mendoj se pas kësaj komentet do të jenë të panevojshme.
Mos mendoni se nuk do të ketë thyesa kaq komplekse në shembujt realë. Ata takohen gjatë gjithë kohës, dhe detyrat e mësipërme nuk janë kufiri!
Problemi i vetëm është se si ta gjejmë këtë NOC. Ndonjëherë gjithçka mund të gjendet në disa sekonda, fjalë për fjalë "me sy", por në përgjithësi kjo është një detyrë komplekse llogaritëse që kërkon shqyrtim të veçantë. Ne nuk do ta prekim atë këtu.
Emëruesi i thyesës aritmetike a / b është numri b, i cili tregon madhësinë e thyesave të një njësie nga e cila përbëhet thyesa. Emëruesi i një thyese algjebrike A / B është shprehja algjebrike B. Për të kryer veprime aritmetike me thyesa, ato duhet të reduktohen në emëruesin më të ulët të përbashkët.
Do t'ju duhet
- Për të punuar me thyesat algjebrike dhe për të gjetur emëruesin më të ulët të përbashkët, duhet të dini si të faktorizoni polinomet.
Udhëzimet
Le të shqyrtojmë reduktimin e dy thyesave aritmetike n/m dhe s/t në emëruesin më të vogël të përbashkët, ku n, m, s, t janë numra të plotë. Është e qartë se këto dy thyesa mund të reduktohen në çdo emërues të pjesëtueshëm me m dhe t. Por ata përpiqen të çojnë në emëruesin më të ulët të përbashkët. Është e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të emërtuesve m dhe t të thyesave të dhëna. Shumëfishi më i vogël (LMK) i një numri është më i vogli i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e dhënë në të njëjtën kohë. ato. në rastin tonë, duhet të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave m dhe t. Shënuar si LCM (m, t). Më pas, fraksionet shumëzohen me ato përkatëse: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Le të gjejmë emëruesin më të ulët të përbashkët të tre thyesave: 4/5, 7/8, 11/14. Së pari, le të zgjerojmë emëruesit 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Më pas, llogaritni LCM (5, 8, 14) duke shumëzuar të gjithë numrat e përfshirë në të paktën një nga zgjerimet. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Vini re se nëse një faktor ndodh në zgjerimin e disa numrave (faktori 2 në zgjerimin e emëruesve 8 dhe 14), atëherë marrim faktorin në një shkallë më të madhe (2^3 në rastin tonë).
Pra, ai i përgjithshëm është marrë. Është e barabartë me 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Këtu marrim numrat me të cilët duhet të shumëzojmë thyesat me emëruesit përkatës për t'i sjellë ato në emëruesin më të ulët të përbashkët. Ne marrim 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Reduktimi i thyesave algjebrike në emëruesin më të ulët të përbashkët kryhet në analogji me ato aritmetike. Për qartësi, le ta shohim problemin duke përdorur një shembull. Le të jepen dy thyesa (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) dhe (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Le të faktorizojmë të dy emëruesit. Vini re se emëruesi i thyesës së parë është një katror i përsosur: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Për
Për të zgjidhur shembuj me thyesa, duhet të jeni në gjendje të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët. Më poshtë janë udhëzimet e hollësishme.
Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët - konceptin
Emëruesi më i vogël i përbashkët (LCD), me fjalë të thjeshta, është numri minimal që pjesëtohet me emëruesit e të gjitha thyesave në një shembull të dhënë. Me fjalë të tjera, quhet shumëfishi më i vogël i zakonshëm (LCM). NOS përdoret vetëm nëse emëruesit e thyesave janë të ndryshëm.
Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët - shembuj
Le të shohim shembuj të gjetjes së NOC-ve.
Llogaritni: 3/5 + 2/15.
Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):
- Shikojmë emëruesit e thyesave, sigurohemi që të jenë të ndryshëm dhe shprehjet të jenë sa më të shkurtuara.
- Gjejmë numrin më të vogël që pjesëtohet edhe me 5 edhe me 15. Ky numër do të jetë 15. Kështu, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Ne e kuptuam emëruesin. Çfarë do të jetë në numërues? Një shumëzues shtesë do të na ndihmojë ta kuptojmë këtë. Një faktor shtesë është numri i marrë duke pjesëtuar NZ me emëruesin e një fraksioni të caktuar. Për 3/5, faktori shtesë është 3, pasi 15/5 = 3. Për fraksionin e dytë, faktori shtesë është 1, pasi 15/15 = 1.
- Pasi kemi zbuluar faktorin shtesë, ne e shumëzojmë atë me numëruesit e thyesave dhe shtojmë vlerat që rezultojnë. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Përgjigje: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Nëse në shembull nuk shtohen ose zbriten 2, por 3 ose më shumë thyesa, atëherë NCD duhet të kërkohet për aq fraksione sa janë dhënë.
Llogaritni: 1/2 – 5/12 + 3/6
Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):
- Gjetja e emëruesit më të ulët të përbashkët. Numri minimal i pjesëtueshëm me 2, 12 dhe 6 është 12.
- Marrim: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Ne jemi duke kërkuar për shumëzues shtesë. Për 1/2 – 6; për 5/12 – 1; për 3/6 – 2.
- Ne shumëzojmë me numëruesit dhe caktojmë shenjat përkatëse: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Përgjigje: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.