Në këtë material do të shikojmë se si të konvertojmë saktë thyesat në një emërues të ri, çfarë është një faktor shtesë dhe si ta gjejmë atë. Pas kësaj, do të formulojmë rregullin bazë për reduktimin e thyesave në emërues të rinj dhe do ta ilustrojmë me shembuj problemash.
Koncepti i reduktimit të një thyese në një emërues tjetër
Le të kujtojmë vetinë bazë të një thyese. Sipas tij, një thyesë e zakonshme a b (ku a dhe b janë çdo numër) ka një numër të pafund thyesash që janë të barabartë me të. Thyesat e tilla mund të përftohen duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër m (numër natyror). Me fjalë të tjera, të gjitha thyesat e zakonshme mund të zëvendësohen me të tjera të formës a · m b · m. Ky është zvogëlimi i vlerës fillestare në një fraksion me emëruesin e dëshiruar.
Ju mund ta zvogëloni një thyesë në një emërues tjetër duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e saj me çdo numër natyror. Kushti kryesor është që shumëzuesi të jetë i njëjtë për të dy pjesët e fraksionit. Rezultati do të jetë një fraksion i barabartë me atë origjinal.
Le ta ilustrojmë këtë me një shembull.
Shembulli 1
Shndërroje thyesën 11 25 në emëruesin e ri.
Zgjidhje
Le të marrim një numër natyror arbitrar 4 dhe të shumëzojmë me të të dyja anët e thyesës origjinale. Ne numërojmë: 11 · 4 = 44 dhe 25 · 4 = 100. Rezultati është një fraksion prej 44 100.
Të gjitha llogaritjet mund të shkruhen në këtë formë: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100
Rezulton se çdo fraksion mund të reduktohet në një numër të madh emëruesish të ndryshëm. Në vend të katër, ne mund të marrim një numër tjetër natyror dhe të marrim një thyesë tjetër ekuivalente me atë origjinal.
Por asnjë numër nuk mund të bëhet emëruesi i një thyese të re. Pra, për a b, emëruesi mund të përmbajë vetëm numra b m që janë shumëfish të b. Rishikoni konceptet bazë të pjesëtimit - shumëfishat dhe pjesëtuesit. Nëse numri nuk është shumëfish i b, por ai nuk mund të jetë pjesëtues i thyesës së re. Le ta ilustrojmë idenë tonë me një shembull të zgjidhjes së një problemi.
Shembulli 2
Llogaritni nëse është e mundur të zvogëlohet thyesa 5 9 në emëruesit 54 dhe 21.
Zgjidhje
54 është një shumëfish i nëntës, i cili është në emëruesin e thyesës së re (d.m.th. 54 mund të pjesëtohet me 9). Kjo do të thotë se një ulje e tillë është e mundur. Por ne nuk mund ta ndajmë 21 me 9, kështu që ky veprim nuk mund të kryhet për këtë thyesë.
Koncepti i një shumëzuesi shtesë
Le të formulojmë se cili është një faktor shtesë.
Përkufizimi 1
Shumëzues shtesë paraqet një numër natyror me të cilin shumëzohen të dyja anët e një thyese për ta sjellë atë në një emërues të ri.
Ato. kur e bëjmë këtë me një thyesë, marrim një faktor shtesë për të. Për shembull, për të reduktuar thyesën 7 10 në formën 21 30, na duhet një faktor shtesë prej 3. Dhe ju mund të merrni thyesën 15 40 nga 3 8 duke përdorur shumëzuesin 5.
Prandaj, nëse e dimë emëruesin në të cilin duhet të reduktohet një thyesë, atëherë mund të llogarisim një faktor shtesë për të. Le të kuptojmë se si ta bëjmë këtë.
Kemi një thyesë a b që mund të reduktohet në një emërues të caktuar c; Le të llogarisim faktorin shtesë m. Duhet të shumëzojmë emëruesin e thyesës fillestare me m. Marrim b · m, dhe sipas kushteve të problemës b · m = c. Le të kujtojmë se si shumëzimi dhe pjesëtimi janë të lidhura me njëra-tjetrën. Kjo lidhje do të na shtyjë në përfundimin e mëposhtëm: faktori shtesë nuk është gjë tjetër veçse herësi i pjesëtimit të c me b, me fjalë të tjera, m = c: b.
Kështu, për të gjetur faktorin shtesë, duhet të ndajmë emëruesin e kërkuar me atë origjinal.
Shembulli 3
Gjeni faktorin shtesë me të cilin thyesa 17 4 u reduktua në emëruesin 124.
Zgjidhje
Duke përdorur rregullin e mësipërm, ne thjesht ndajmë 124 me emëruesin e thyesës origjinale, katër.
Ne numërojmë: 124: 4 = 31.
Ky lloj llogaritjeje shpesh kërkohet kur konvertohen thyesat në një emërues të përbashkët.
Rregulli për reduktimin e thyesave në emëruesin e caktuar
Le të kalojmë në përcaktimin e rregullit bazë me të cilin mund të reduktoni thyesat në emëruesin e specifikuar. Kështu që,
Përkufizimi 2
Për të reduktuar një fraksion në emëruesin e specifikuar, ju duhet:
- përcaktoni një faktor shtesë;
- shumëzojmë me të edhe numëruesin edhe emëruesin e thyesës origjinale.
Si të zbatohet ky rregull në praktikë? Le të japim një shembull të zgjidhjes së problemit.
Shembulli 4
Zvogëloni thyesën 7 16 në emëruesin 336.
Zgjidhje
Le të fillojmë duke llogaritur shumëzuesin shtesë. Ndani: 336: 16 = 21.
Ne e shumëzojmë përgjigjen që rezulton me të dy pjesët e thyesës origjinale: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Pra, ne e sollëm thyesën origjinale në emëruesin e dëshiruar 336.
Përgjigje: 7 16 = 147 336.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Ky artikull shpjegon si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët Dhe si të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët. Së pari jepen përkufizimet e emëruesit të përbashkët të thyesave dhe emëruesit më të vogël të përbashkët dhe tregohet se si të gjendet emëruesi i përbashkët i thyesave. Më poshtë është një rregull për reduktimin e thyesave në një emërues të përbashkët dhe shembuj të zbatimit të këtij rregulli. Si përfundim, diskutohen shembuj të sjelljes së tre ose më shumë thyesave në një emërues të përbashkët.
Navigimi i faqes.
Çfarë quhet reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët?
Tani mund të themi se çfarë është të reduktosh thyesat në një emërues të përbashkët. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët- Ky është shumëzimi i numëruesve dhe emëruesve të thyesave të dhëna me faktorë të tillë shtesë, saqë rezultati është thyesa me emërues të njëjtë.
Emëruesi i përbashkët, përkufizimi, shembuj
Tani është koha për të përcaktuar emëruesin e përbashkët të thyesave.
Me fjalë të tjera, emëruesi i përbashkët i një grupi të caktuar thyesash të zakonshme është çdo numër natyror që është i pjesëtueshëm me të gjithë emëruesit e këtyre thyesave.
Nga përkufizimi i dhënë rrjedh se një grup i caktuar thyesash ka pafundësisht shumë emërues të përbashkët, pasi ekziston një numër i pafundëm shumëfishësh të përbashkët të të gjithë emëruesve të grupit origjinal të thyesave.
Përcaktimi i emëruesit të përbashkët të thyesave ju lejon të gjeni emëruesit e përbashkët të thyesave të dhëna. Le të, për shembull, duke pasur parasysh thyesat 1/4 dhe 5/6, emëruesit e tyre janë përkatësisht 4 dhe 6. Shumëfisha pozitivë të përbashkët të numrave 4 dhe 6 janë numrat 12, 24, 36, 48, ... Secili nga këta numra është emërues i përbashkët i thyesave 1/4 dhe 5/6.
Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjen e shembullit të mëposhtëm.
Shembull.
A mund të reduktohen thyesat 2/3, 23/6 dhe 7/12 në një emërues të përbashkët 150?
Zgjidhje.
Për t'iu përgjigjur pyetjes, duhet të zbulojmë nëse numri 150 është një shumëfish i përbashkët i emëruesve 3, 6 dhe 12. Për ta bërë këtë, le të kontrollojmë nëse 150 është i pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave (nëse është e nevojshme, shihni rregullat dhe shembujt e pjesëtimit të numrave natyrorë, si dhe rregullat dhe shembujt e pjesëtimit të numrave natyrorë me një mbetje): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (6 të mbetura) .
Kështu që, 150 nuk është i plotpjesëtueshëm me 12, prandaj 150 nuk është shumëfish i përbashkët i 3, 6 dhe 12. Prandaj, numri 150 nuk mund të jetë emëruesi i përbashkët i thyesave origjinale.
Përgjigje:
është e ndaluar.
Emëruesi më i ulët i përbashkët, si ta gjejmë atë?
Në bashkësinë e numrave që janë emërues të përbashkët të thyesave të dhëna, ekziston një numër natyror më i vogël, i cili quhet emëruesi më i vogël i përbashkët. Le të formulojmë përkufizimin e emëruesit më të ulët të përbashkët të këtyre thyesave.
Përkufizimi.
Emëruesi më i ulët i përbashkëtështë numri më i vogël i të gjithë emëruesve të përbashkët të këtyre thyesave.
Mbetet të merremi me pyetjen se si të gjejmë pjesëtuesin më të vogël të përbashkët.
Meqenëse është pjesëtuesi i përbashkët më pak pozitiv i një grupi të caktuar numrash, LCM e emëruesve të thyesave të dhëna përfaqëson emëruesin më të vogël të përbashkët të thyesave të dhëna.
Kështu, gjetja e emëruesit më të vogël të përbashkët të thyesave zbret në emëruesit e atyre thyesave. Le të shohim zgjidhjen e shembullit.
Shembull.
Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave 3/10 dhe 277/28.
Zgjidhje.
Emëruesit e këtyre thyesave janë 10 dhe 28. Emëruesi i përbashkët më i ulët i dëshiruar gjendet si LCM e numrave 10 dhe 28. Në rastin tonë është e lehtë: pasi 10=2·5, dhe 28=2·2·7, atëherë LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
Përgjigje:
140 .
Si të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët? Rregulla, shembuj, zgjidhje
Thyesat e zakonshme zakonisht rezultojnë në një emërues të përbashkët më të ulët. Tani do të shkruajmë një rregull që shpjegon se si t'i reduktojmë thyesat në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.
Rregulla për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët përbëhet nga tre hapa:
- Së pari, gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave.
- Së dyti, një faktor shtesë llogaritet për çdo thyesë duke pjesëtuar emëruesin e përbashkët më të ulët me emëruesin e secilës thyesë.
- Së treti, numëruesi dhe emëruesi i secilës thyesë shumëzohen me faktorin shtesë të saj.
Le të zbatojmë rregullin e deklaruar për të zgjidhur shembullin e mëposhtëm.
Shembull.
Zvogëloni thyesat 5/14 dhe 7/18 në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.
Zgjidhje.
Le të kryejmë të gjitha hapat e algoritmit për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët.
Së pari gjejmë emëruesin më të vogël të përbashkët, i cili është i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 14 dhe 18. Meqenëse 14=2·7 dhe 18=2·3·3, atëherë LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Tani ne llogarisim faktorë shtesë me ndihmën e të cilëve thyesat 5/14 dhe 7/18 do të reduktohen në emëruesin 126. Për thyesën 5/14 faktori shtesë është 126:14=9, kurse për thyesën 7/18 faktori shtesë është 126:18=7.
Mbetet të shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit e thyesave 5/14 dhe 7/18 me faktorë shtesë përkatësisht 9 dhe 7. kemi dhe 
.
Pra, zvogëlimi i thyesave 5/14 dhe 7/18 në emëruesin më të ulët të përbashkët është i plotë. Fraksionet që rezultuan ishin 45/126 dhe 49/126.
Për të zgjidhur shembuj me thyesa, duhet të jeni në gjendje të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët. Më poshtë janë udhëzimet e detajuara.
Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët - konceptin
Emëruesi më i vogël i përbashkët (LCD), me fjalë të thjeshta, është numri minimal që pjesëtohet me emëruesit e të gjitha thyesave në një shembull të dhënë. Me fjalë të tjera, quhet shumëfishi më i vogël i zakonshëm (LCM). NOS përdoret vetëm nëse emëruesit e thyesave janë të ndryshëm.
Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët - shembuj
Le të shohim shembuj të gjetjes së NOC-ve.
Llogaritni: 3/5 + 2/15.
Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):
- Shikojmë emëruesit e thyesave, sigurohemi që të jenë të ndryshëm dhe shprehjet të jenë sa më të shkurtuara.
- Gjejmë numrin më të vogël që pjesëtohet edhe me 5 edhe me 15. Ky numër do të jetë 15. Kështu, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Ne e kuptuam emëruesin. Çfarë do të jetë në numërues? Një shumëzues shtesë do të na ndihmojë ta kuptojmë këtë. Një faktor shtesë është numri i marrë duke pjesëtuar NZ me emëruesin e një fraksioni të caktuar. Për 3/5, faktori shtesë është 3, pasi 15/5 = 3. Për fraksionin e dytë, faktori shtesë është 1, pasi 15/15 = 1.
- Pasi kemi zbuluar faktorin shtesë, ne e shumëzojmë atë me numëruesit e thyesave dhe shtojmë vlerat që rezultojnë. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Përgjigje: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Nëse në shembull nuk shtohen ose zbriten 2, por 3 ose më shumë thyesa, atëherë NCD duhet të kërkohet për aq fraksione sa janë dhënë.
Llogaritni: 1/2 – 5/12 + 3/6
Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):
- Gjetja e emëruesit më të ulët të përbashkët. Numri minimal i pjesëtueshëm me 2, 12 dhe 6 është 12.
- Marrim: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Ne jemi duke kërkuar për shumëzues shtesë. Për 1/2 – 6; për 5/12 – 1; për 3/6 – 2.
- Ne shumëzojmë me numëruesit dhe caktojmë shenjat përkatëse: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Përgjigje: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
Emëruesi i thyesës aritmetike a / b është numri b, i cili tregon madhësinë e thyesave të një njësie nga e cila përbëhet thyesa. Emëruesi i një thyese algjebrike A / B është shprehja algjebrike B. Për të kryer veprime aritmetike me thyesa, ato duhet të reduktohen në emëruesin më të ulët të përbashkët.
Do t'ju duhet
- Për të punuar me thyesat algjebrike dhe për të gjetur emëruesin më të ulët të përbashkët, duhet të dini si të faktorizoni polinomet.
Udhëzimet
Le të shqyrtojmë reduktimin e dy thyesave aritmetike n/m dhe s/t në emëruesin më të vogël të përbashkët, ku n, m, s, t janë numra të plotë. Është e qartë se këto dy thyesa mund të reduktohen në çdo emërues të pjesëtueshëm me m dhe t. Por ata përpiqen të çojnë në emëruesin më të ulët të përbashkët. Është e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve m dhe t të thyesave të dhëna. Shumëfishi më i vogël (LMK) i një numri është më i vogli i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e dhënë në të njëjtën kohë. Ato. në rastin tonë, duhet të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave m dhe t. Shënuar si LCM (m, t). Më pas, fraksionet shumëzohen me ato përkatëse: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Le të gjejmë emëruesin më të ulët të përbashkët të tre thyesave: 4/5, 7/8, 11/14. Së pari, le të zgjerojmë emëruesit 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Më pas, llogaritni LCM (5, 8, 14) duke shumëzuar të gjithë numrat e përfshirë në të paktën një nga zgjerimet. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Vini re se nëse një faktor ndodh në zgjerimin e disa numrave (faktori 2 në zgjerimin e emëruesve 8 dhe 14), atëherë marrim faktorin në një shkallë më të madhe (2^3 në rastin tonë).
Pra, ai i përgjithshëm është marrë. Është e barabartë me 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Këtu marrim numrat me të cilët duhet të shumëzojmë thyesat me emëruesit përkatës për t'i sjellë ato në emëruesin më të ulët të përbashkët. Ne marrim 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Reduktimi i thyesave algjebrike në emëruesin më të ulët të përbashkët kryhet në analogji me ato aritmetike. Për qartësi, le ta shohim problemin duke përdorur një shembull. Le të jepen dy thyesa (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) dhe (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Le të faktorizojmë të dy emëruesit. Vini re se emëruesi i thyesës së parë është një katror i përsosur: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Për