Kthejeni metodën Gaussian në internet. Metoda Gaussian ose pse fëmijët nuk e kuptojnë matematikën

Sot po shikojmë metodën e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare. Ju mund të lexoni se cilat janë këto sisteme në artikullin e mëparshëm kushtuar zgjidhjes së të njëjtave SLAE duke përdorur metodën Cramer. Metoda Gauss nuk kërkon ndonjë njohuri specifike, ju duhet vetëm vëmendje dhe qëndrueshmëri. Pavarësisht se nga pikëpamja matematikore, trajnimi shkollor është i mjaftueshëm për ta zbatuar atë, nxënësit shpesh e kanë të vështirë ta zotërojnë këtë metodë. Në këtë artikull ne do të përpiqemi t'i reduktojmë ato në asgjë!

Metoda e Gausit

M Metoda Gaussian– metoda më universale për zgjidhjen e SLAE (me përjashtim të sistemeve shumë të mëdha). Ndryshe nga sa u diskutua më parë, ai është i përshtatshëm jo vetëm për sistemet që kanë një zgjidhje të vetme, por edhe për sistemet që kanë një numër të pafund zgjidhjesh. Këtu ka tre opsione të mundshme.

1. Sistemi ka një zgjidhje unike (përcaktori i matricës kryesore të sistemit nuk është i barabartë me zero);
2. Sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh;
3. Nuk ka zgjidhje, sistemi është i papajtueshëm.

Pra, ne kemi një sistem (le të ketë një zgjidhje) dhe do ta zgjidhim duke përdorur metodën Gaussian. Si funksionon kjo?

Metoda e Gausit përbëhet nga dy faza - përpara dhe anasjelltas.

Goditja e drejtpërdrejtë e metodës Gaussian

Së pari, le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit. Për ta bërë këtë, ne shtojmë një kolonë anëtarësh të lirë në matricën kryesore.

I gjithë thelbi i metodës së Gausit është ta sjellë këtë matricë në një formë të shkallëzuar (ose, siç thonë ata, trekëndore), përmes transformimeve elementare. Në këtë formë, duhet të ketë vetëm zero nën (ose sipër) diagonales kryesore të matricës.

Çfarë mund të bëni:

1. Ju mund të riorganizoni rreshtat e matricës;
2. Nëse ka rreshta të barabartë (ose proporcional) në një matricë, ju mund t'i hiqni të gjitha, përveç njërit prej tyre;
3. Ju mund të shumëzoni ose ndani një varg me çdo numër (përveç zeros);
4. Rreshtat null hiqen;
5. Ju mund të bashkëngjitni një varg të shumëzuar me një numër të ndryshëm nga zero në një varg.

Metoda e kundërt Gaussian

Pasi ta transformojmë sistemin në këtë mënyrë, një i panjohur Xn bëhet e njohur, dhe ju mund t'i gjeni të gjitha të panjohurat e mbetura në rend të kundërt, duke zëvendësuar x-të tashmë të njohura në ekuacionet e sistemit, deri në të parën.

Kur interneti është gjithmonë pranë, ju mund të zgjidhni një sistem ekuacionesh duke përdorur metodën Gaussian online. Thjesht duhet të futni koeficientët në kalkulatorin online. Por duhet ta pranoni, është shumë më e këndshme të kuptosh se shembulli nuk u zgjidh nga një program kompjuterik, por nga truri yt.

Një shembull i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh duke përdorur metodën e Gausit

Dhe tani - një shembull në mënyrë që gjithçka të bëhet e qartë dhe e kuptueshme. Le të jepet një sistem ekuacionesh lineare dhe ju duhet ta zgjidhni atë duke përdorur metodën e Gausit:

Së pari shkruajmë matricën e zgjeruar:

Tani le të bëjmë transformimet. Kujtojmë se duhet të arrijmë një pamje trekëndore të matricës. Le të shumëzojmë rreshtin e parë me (3). Shumëzoni rreshtin e dytë me (-1). Shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e parë dhe merrni:

Pastaj shumëzojeni rreshtin e tretë me (-1). Le të shtojmë rreshtin e tretë në rreshtin e dytë:

Le të shumëzojmë rreshtin e parë me (6). Le të shumëzojmë rreshtin e dytë me (13). Le të shtojmë rreshtin e dytë në rreshtin e parë:

Voila - sistemi është sjellë në formën e duhur. Mbetet për të gjetur të panjohurat:

Sistemi në këtë shembull ka një zgjidhje unike. Ne do të shqyrtojmë zgjidhjen e sistemeve me një numër të pafund zgjidhjesh në një artikull të veçantë. Ndoshta në fillim nuk do të dini se ku të filloni transformimin e matricës, por pas praktikës së duhur do ta kuptoni dhe do të thyeni SLAE duke përdorur metodën Gaussian si arra. Dhe nëse papritmas hasni në një SLA që rezulton të jetë një arrë shumë e fortë për t'u goditur, kontaktoni autorët tanë! mundeni duke lënë një kërkesë në Zyrën e Korrespondencës. Së bashku do të zgjidhim çdo problem!

Një nga mënyrat më të thjeshta për të zgjidhur një sistem ekuacionesh lineare është një teknikë e bazuar në llogaritjen e përcaktuesve ( Rregulli i Kramerit). Avantazhi i tij është se ju lejon të regjistroni menjëherë zgjidhjen, është veçanërisht i përshtatshëm në rastet kur koeficientët e sistemit nuk janë numra, por disa parametra. Disavantazhi i tij është rëndimi i llogaritjeve në rastin e një numri të madh ekuacionesh, për më tepër, rregulli i Cramer-it nuk është drejtpërdrejt i zbatueshëm për sistemet në të cilat numri i ekuacioneve nuk përkon me numrin e të panjohurave. Në raste të tilla, zakonisht përdoret Metoda Gaussian.

Quhen sisteme ekuacionesh lineare që kanë të njëjtin grup zgjidhjesh ekuivalente. Natyrisht, grupi i zgjidhjeve të një sistemi linear nuk do të ndryshojë nëse ndonjë ekuacion ndërrohet, ose nëse një nga ekuacionet shumëzohet me ndonjë numër jozero, ose nëse një ekuacion i shtohet një tjetri.

Metoda e Gausit (Metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave) është se me ndihmën e shndërrimeve elementare sistemi reduktohet në një sistem ekuivalent të tipit hap. Së pari, duke përdorur ekuacionin e parë, ne eliminojmë x 1 nga të gjitha ekuacionet pasuese të sistemit. Pastaj, duke përdorur ekuacionin e 2-të, eliminojmë x 2 nga e 3-ta dhe të gjitha ekuacionet pasuese. Ky proces, i quajtur Metoda e drejtpërdrejtë Gaussian, vazhdon derisa të mbetet vetëm një e panjohur në anën e majtë të ekuacionit të fundit x n. Pas kësaj është bërë inversi i metodës Gaussian– duke zgjidhur ekuacionin e fundit, gjejmë x n; pas kësaj, duke përdorur këtë vlerë, llogarisim nga ekuacioni i parafundit x n-1, etj. E gjejmë të fundit x 1 nga ekuacioni i parë.

Është i përshtatshëm për të kryer transformime Gaussian duke kryer transformime jo me vetë ekuacionet, por me matricat e koeficientëve të tyre. Konsideroni matricën:

thirrur matrica e zgjeruar e sistemit, sepse, përveç matricës kryesore të sistemit, ai përfshin një kolonë me terma të lirë. Metoda Gaussian bazohet në reduktimin e matricës kryesore të sistemit në një formë trekëndore (ose formë trapezoidale në rastin e sistemeve jo katrore) duke përdorur transformimet elementare të rreshtave (!) të matricës së zgjeruar të sistemit.

Shembulli 5.1. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën Gaussian:

Zgjidhje. Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur rreshtin e parë, pas kësaj do të rivendosim elementët e mbetur:

marrim zero në rreshtat 2, 3 dhe 4 të kolonës së parë:

Tani na duhen të gjithë elementët në kolonën e dytë poshtë rreshtit të dytë të jenë të barabartë me zero. Për ta bërë këtë, mund të shumëzoni rreshtin e dytë me –4/7 dhe ta shtoni atë në rreshtin e 3-të. Sidoqoftë, për të mos u marrë me thyesa, le të krijojmë një njësi në rreshtin e dytë të kolonës së dytë dhe vetëm

Tani, për të marrë një matricë trekëndore, duhet të rivendosni elementin e rreshtit të katërt të kolonës së tretë për ta bërë këtë, mund ta shumëzoni rreshtin e tretë me 8/54 dhe ta shtoni atë në të katërtin. Sidoqoftë, për të mos u marrë me fraksione, ne do të ndërrojmë rreshtat e 3-të dhe të 4-të dhe kolonat e 3-të dhe 4-të dhe vetëm pas kësaj do të rivendosim elementin e specifikuar. Vini re se gjatë riorganizimit të kolonave, variablat përkatëse ndryshojnë vendet dhe kjo duhet mbajtur mend; transformime të tjera elementare me kolona (mbledhja dhe shumëzimi me një numër) nuk mund të kryhen!

Matrica e fundit e thjeshtuar korrespondon me një sistem ekuacionesh ekuivalent me atë origjinal:

Nga këtu, duke përdorur inversin e metodës Gaussian, gjejmë nga ekuacioni i katërt x 3 = –1; nga e treta x 4 = –2, nga e dyta x 2 = 2 dhe nga ekuacioni i parë x 1 = 1. Në formën e matricës, përgjigja shkruhet si

Shqyrtuam rastin kur sistemi është i përcaktuar, d.m.th. kur ka vetëm një zgjidhje. Le të shohim se çfarë ndodh nëse sistemi është i paqëndrueshëm ose i pasigurt.

Shembulli 5.2. Eksploroni sistemin duke përdorur metodën Gaussian:

Zgjidhje. Ne shkruajmë dhe transformojmë matricën e zgjeruar të sistemit

Ne shkruajmë një sistem të thjeshtuar ekuacionesh:

Këtu, në ekuacionin e fundit doli që 0=4, d.m.th. kontradiktë. Për rrjedhojë, sistemi nuk ka zgjidhje, d.m.th. ajo të papajtueshme. à

Shembulli 5.3. Eksploroni dhe zgjidhni sistemin duke përdorur metodën Gaussian:

Zgjidhje. Ne shkruajmë dhe transformojmë matricën e zgjeruar të sistemit:

Si rezultat i transformimeve, rreshti i fundit përmban vetëm zero. Kjo do të thotë se numri i ekuacioneve është zvogëluar me një:

Kështu, pas thjeshtimeve, kanë mbetur dy ekuacione, dhe katër të panjohura, d.m.th. dy “shtesë” të panjohura. Le të jenë "të tepërta", ose, siç thonë ata, variabla të lirë, do x 3 dhe x 4. Pastaj

Duke besuar x 3 = 2a Dhe x 4 = b, marrim x 2 = 1–a Dhe x 1 = 2b–a; ose në formë matrice

Një zgjidhje e shkruar në këtë mënyrë quhet të përgjithshme, sepse, duke dhënë parametra a Dhe b vlera të ndryshme, mund të përshkruhen të gjitha zgjidhjet e mundshme të sistemit. a

1. Sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare

1.1 Koncepti i një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare

Një sistem ekuacionesh është një kusht që përbëhet nga ekzekutimi i njëkohshëm i disa ekuacioneve në lidhje me disa ndryshore. Një sistem ekuacionesh algjebrike lineare (në tekstin e mëtejmë si SLAE) që përmban m ekuacione dhe n të panjohura quhet sistem i formës:

ku numrat a ij quhen koeficientë të sistemit, numrat b i quhen terma të lirë, një ij Dhe b i(i=1,…, m; b=1,…, n) përfaqësojnë disa numra të njohur dhe x 1,…, x n– e panjohur. Në përcaktimin e koeficientëve një ij indeksi i parë i tregon numrin e ekuacionit, dhe j i dyti është numri i të panjohurës në të cilën qëndron ky koeficient. Duhet të gjenden numrat x n. Është i përshtatshëm për të shkruar një sistem të tillë në një formë matrice kompakte: AX=B. Këtu A është matrica e koeficientëve të sistemit, e quajtur matrica kryesore;

– vektori i kolonës së të panjohurave xj.
është një vektor kolone i termave të lirë bi.

Produkti i matricave A*X përcaktohet, pasi ka po aq kolona në matricën A sa ka rreshta në matricën X (n copë).

Matrica e zgjeruar e një sistemi është matrica A e sistemit, e plotësuar nga një kolonë me terma të lirë

1.2 Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh është një grup i renditur numrash (vlerat e ndryshoreve), kur zëvendësohen ato në vend të variablave, secili prej ekuacioneve të sistemit kthehet në një barazi të vërtetë.

Zgjidhja e një sistemi është n vlera e të panjohurave x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, me zëvendësimin e të cilave të gjitha ekuacionet e sistemit bëhen barazi të vërteta. Çdo zgjidhje për sistemin mund të shkruhet si një matricë kolone

Një sistem ekuacionesh quhet konsistent nëse ka të paktën një zgjidhje dhe jokonsistent nëse nuk ka asnjë zgjidhje.

Një sistem konsistent quhet i përcaktuar nëse ka një zgjidhje të vetme dhe i pacaktuar nëse ka më shumë se një zgjidhje. Në rastin e fundit, secila prej zgjidhjeve të saj quhet një zgjidhje e veçantë e sistemit. Bashkësia e të gjitha zgjidhjeve të veçanta quhet zgjidhje e përgjithshme.

Zgjidhja e një sistemi do të thotë të zbulosh nëse është i pajtueshëm apo jo konsistent. Nëse sistemi është konsistent, gjeni zgjidhjen e tij të përgjithshme.

Dy sisteme quhen ekuivalente (ekuivalente) nëse kanë të njëjtën zgjidhje të përgjithshme. Me fjalë të tjera, sistemet janë ekuivalente nëse çdo zgjidhje e njërës prej tyre është zgjidhje e tjetrës dhe anasjelltas.

Një transformim, aplikimi i të cilit e kthen një sistem në një sistem të ri ekuivalent me atë origjinal, quhet transformim ekuivalent ose ekuivalent. Shembuj të transformimeve ekuivalente përfshijnë transformimet e mëposhtme: shkëmbimi i dy ekuacioneve të një sistemi, shkëmbimi i dy të panjohurave së bashku me koeficientët e të gjitha ekuacioneve, shumëzimi i të dy anëve të çdo ekuacioni të një sistemi me një numër jozero.

Një sistem ekuacionesh lineare quhet homogjen nëse të gjithë termat e lirë janë të barabartë me zero:

Një sistem homogjen është gjithmonë konsistent, pasi x1=x2=x3=…=xn=0 është një zgjidhje e sistemit. Kjo zgjidhje quhet zero ose e parëndësishme.

2. Metoda e eliminimit Gaussian

2.1 Thelbi i metodës së eliminimit Gaussian

Metoda klasike për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare është metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave - Metoda Gaussian(quhet edhe metoda e eliminimit Gaussian). Kjo është një metodë e eliminimit sekuencial të variablave, kur, duke përdorur transformimet elementare, një sistem ekuacionesh reduktohet në një sistem ekuivalent të një forme hapi (ose trekëndësh), nga i cili të gjitha ndryshoret e tjera gjenden në mënyrë sekuenciale, duke filluar nga e fundit (nga numri) variablat.

Procesi i zgjidhjes duke përdorur metodën e Gausit përbëhet nga dy faza: lëvizjet përpara dhe prapa.

1. Goditje direkte.

Në fazën e parë kryhet e ashtuquajtura lëvizje direkte, kur përmes shndërrimeve elementare mbi rreshta, sistemi sillet në formë shkallëzore ose trekëndore ose konstatohet se sistemi është i papajtueshëm. Domethënë, nga elementët e kolonës së parë të matricës, zgjidhet një jo zero, zhvendoset në pozicionin më të lartë duke riorganizuar rreshtat dhe rreshti i parë i marrë pas rirregullimit zbritet nga rreshtat e mbetur, duke e shumëzuar atë. me një shumë të barabartë me raportin e elementit të parë të secilit prej këtyre rreshtave me elementin e parë të rreshtit të parë, duke zeruar kështu kolonën poshtë tij.

Pasi të kenë përfunduar transformimet e treguara, rreshti i parë dhe kolona e parë kryqëzohen mendërisht dhe vazhdojnë derisa të mbetet një matricë me madhësi zero. Nëse në çdo përsëritje nuk ka asnjë element jozero midis elementeve të kolonës së parë, atëherë shkoni në kolonën tjetër dhe kryeni një operacion të ngjashëm.

Në fazën e parë (goditja e drejtpërdrejtë), sistemi reduktohet në një formë të shkallëzuar (në veçanti, trekëndore).

Sistemi i mëposhtëm ka një formë hap pas hapi:

,

Koeficientët aii quhen elementët kryesorë (drejtues) të sistemit.

(nëse a11=0, riorganizoni rreshtat e matricës në mënyrë që a 11 nuk ishte e barabartë me 0. Kjo është gjithmonë e mundur, sepse përndryshe matrica përmban një kolonë zero, përcaktorja e saj është e barabartë me zero dhe sistemi është jokonsistent).

Le të transformojmë sistemin duke eliminuar të panjohurën x1 në të gjitha ekuacionet përveç të parit (duke përdorur transformimet elementare të sistemit). Për ta bërë këtë, shumëzojini të dyja anët e ekuacionit të parë me

dhe shtoni term pas termi me ekuacionin e dytë të sistemit (ose nga ekuacioni i dytë zbrisni term pas termi me të parin, shumëzuar me ). Pastaj i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të parë me dhe i shtojmë ato në ekuacionin e tretë të sistemit (ose nga e treta zbresim të parën shumëzuar me ). Kështu, ne shumëzojmë rreshtin e parë në mënyrë sekuenciale me një numër dhe i shtojmë i rreshti th, për i= 2, 3, …,n.

Duke vazhduar këtë proces, marrim një sistem ekuivalent:

- vlerat e reja të koeficientëve për të panjohurat dhe termat e lirë në ekuacionet e fundit m-1 të sistemit, të cilat përcaktohen nga formula:

Kështu, në hapin e parë, të gjithë koeficientët që shtrihen nën elementin e parë drejtues a 11 shkatërrohen

0, në hapin e dytë elementët që ndodhen nën elementin e dytë drejtues a 22 (1) shkatërrohen (nëse është 22 (1) 0), etj. Duke vazhduar më tej këtë proces, më në fund, në hapin (m-1), e reduktojmë sistemin origjinal në një sistem trekëndor.

Nëse, në procesin e reduktimit të sistemit në një formë hap pas hapi, shfaqen ekuacione zero, d.m.th. barazitë e formës 0=0, ato hidhen. Nëse shfaqet një ekuacion i formës

atëherë kjo tregon për papajtueshmërinë e sistemit.

Këtu përfundon përparimi i drejtpërdrejtë i metodës së Gausit.

2. Goditja e kundërt.

Në fazën e dytë, kryhet e ashtuquajtura lëvizje e kundërt, thelbi i së cilës është të shprehen të gjitha variablat bazë që rezultojnë në terma të atyre jo-bazë dhe të ndërtohet një sistem themelor zgjidhjesh, ose, nëse të gjitha variablat janë bazë. , atëherë shprehni numerikisht zgjidhjen e vetme të sistemit të ekuacioneve lineare.

Kjo procedurë fillon me ekuacionin e fundit, nga i cili shprehet ndryshorja bazë përkatëse (ka vetëm një në të) dhe zëvendësohet me ekuacionet e mëparshme, e kështu me radhë, duke shkuar lart "shkallët".

Çdo rresht korrespondon saktësisht me një variabël bazë, kështu që në çdo hap përveç të fundit (më së larti), situata përsërit saktësisht rastin e rreshtit të fundit.

Shënim: në praktikë, është më i përshtatshëm të punosh jo me sistemin, por me matricën e tij të zgjeruar, duke kryer të gjitha transformimet elementare në rreshtat e tij. Është e përshtatshme që koeficienti a11 të jetë i barabartë me 1 (rirregulloni ekuacionet ose ndani të dyja anët e ekuacionit me a11).

2.2 Shembuj të zgjidhjes së SLAE-ve duke përdorur metodën Gaussian

Në këtë seksion, duke përdorur tre shembuj të ndryshëm, do të tregojmë se si metoda Gaussian mund të zgjidhë SLAE.

Shembull 1. Zgjidh një SLAE të rendit të tretë.

Le të rivendosim koeficientët në

në rreshtin e dytë dhe të tretë. Për ta bërë këtë, shumëzojini ato me 2/3 dhe 1, përkatësisht, dhe shtoni ato në rreshtin e parë:

Le të jepet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare që duhet të zgjidhet (gjeni vlera të tilla të të panjohurave xi që e kthejnë çdo ekuacion të sistemit në një barazi).

Ne e dimë se një sistem ekuacionesh algjebrike lineare mund të:

1) Nuk ka zgjidhje (të jetë jo të përbashkët).
2) Ka pafundësisht shumë zgjidhje.
3) Keni një zgjidhje të vetme.

Siç kujtojmë, rregulli i Cramer-it dhe metoda e matricës nuk janë të përshtatshme në rastet kur sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është i paqëndrueshëm. Metoda e Gausit – mjeti më i fuqishëm dhe më i gjithanshëm për gjetjen e zgjidhjeve për çdo sistem ekuacionesh lineare, e cila në çdo rast do të na çojë në përgjigje! Vetë algoritmi i metodës funksionon njësoj në të tre rastet. Nëse metodat Cramer dhe matricë kërkojnë njohuri të përcaktuesve, atëherë për të aplikuar metodën e Gausit ju nevojitet vetëm njohuri për veprimet aritmetike, gjë që e bën atë të aksesueshme edhe për nxënësit e shkollave fillore.

Transformimet e matricës së shtuar ( kjo është matrica e sistemit - një matricë e përbërë vetëm nga koeficientët e të panjohurave, plus një kolonë me terma të lirë) sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare në metodën e Gausit:

1) Me troki matricat Mund rirregulloj në disa vende.

2) nëse në matricë shfaqen (ose ekzistojnë) rreshta proporcionalë (si rast i veçantë - identike), atëherë duhet fshij nga matrica të gjitha këto rreshta përveç njërit.

3) nëse një rresht zero shfaqet në matricë gjatë transformimeve, atëherë duhet të jetë gjithashtu fshij.

4) një rresht i matricës mund të jetë shumëzoj (pjesto) në çdo numër të ndryshëm nga zero.

5) në një rresht të matricës mundeni shtoni një varg tjetër të shumëzuar me një numër, të ndryshme nga zero.

Në metodën e Gausit, transformimet elementare nuk e ndryshojnë zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve.

Metoda e Gausit përbëhet nga dy faza:

1. "Lëvizja e drejtpërdrejtë" - duke përdorur transformimet elementare, sillni matricën e zgjeruar të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare në një formë hapi "trekëndëshi": elementët e matricës së zgjeruar që ndodhen nën diagonalen kryesore janë të barabarta me zero (lëvizja nga lart-poshtë). Për shembull, për këtë lloj:

Për ta bërë këtë, kryeni hapat e mëposhtëm:

1) Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare dhe koeficienti për x 1 është i barabartë me K. E dyta, e treta, etj. ne i transformojmë ekuacionet si më poshtë: pjesëtojmë çdo ekuacion (koeficientët për të panjohurat, duke përfshirë termat e lirë) me koeficientin për të panjohurën x 1, që është në çdo ekuacion, dhe shumëzojmë me K. Pas kësaj, i zbresim të parin nga i dyti. ekuacioni (koeficientët për të panjohurat dhe termat e lirë). Për x 1 në ekuacionin e dytë marrim koeficientin 0. Nga ekuacioni i tretë i transformuar zbresim ekuacionin e parë derisa të gjitha ekuacionet përveç të parit, për të panjohurën x 1, të kenë një koeficient 0.

2) Le të kalojmë në ekuacionin tjetër. Le të jetë ky ekuacioni i dytë dhe koeficienti për x 2 i barabartë me M. Ne vazhdojmë me të gjitha ekuacionet "më të ulëta" siç përshkruhet më sipër. Kështu, "nën" të panjohurën x 2 do të ketë zero në të gjitha ekuacionet.

3) Kaloni në ekuacionin tjetër dhe kështu me radhë derisa të mbetet një e panjohur e fundit dhe termi i lirë i transformuar.

1. "Lëvizja e kundërt" e metodës së Gausit është të merret një zgjidhje për një sistem ekuacionesh algjebrike lineare (lëvizja "nga poshtë-lart").

Nga ekuacioni i fundit "më i ulët" marrim një zgjidhje të parë - të panjohurën x n. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin elementar A * x n = B. Në shembullin e dhënë më sipër, x 3 = 4. Ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur në ekuacionin e ardhshëm "të sipërm" dhe e zgjidhim atë në lidhje me të panjohurën tjetër. Për shembull, x 2 – 4 = 1, d.m.th. x 2 = 5. Dhe kështu me radhë derisa të gjejmë të gjitha të panjohurat.

Shembull.

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit, siç këshillojnë disa autorë:

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi:
1 hap . Në rreshtin e parë shtojmë rreshtin e dytë, shumëzuar me –1. Kjo do të thotë, ne shumëzuam mendërisht rreshtin e dytë me –1 dhe shtuam rreshtin e parë dhe të dytë, ndërsa rreshti i dytë nuk ndryshoi.

Tani lart majtas është "minus një", që na shkon mjaft mirë. Kushdo që dëshiron të marrë +1 mund të kryejë një veprim shtesë: shumëzoni rreshtin e parë me –1 (ndryshoni shenjën e tij).

Hapi 2 . Rreshti i parë, shumëzuar me 5, u shtua në rreshtin e dytë.

Hapi 3 . Rreshti i parë u shumëzua me -1, në parim, kjo është për bukurinë. U ndryshua edhe shenja e vijës së tretë dhe u zhvendos në vendin e dytë, në mënyrë që në “hapin” e dytë të kishim njësinë e kërkuar.

Hapi 4 . Rreshti i tretë iu shtua rreshtit të dytë, shumëzuar me 2.

Hapi 5 . Rreshti i tretë u nda me 3.

Një shenjë që tregon një gabim në llogaritje (më rrallë, një gabim shtypi) është një fund "i keq". Kjo do të thotë, nëse kemi marrë diçka si (0 0 11 |23) më poshtë, dhe, në përputhje me rrethanat, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atëherë me një shkallë të lartë probabiliteti mund të themi se është bërë një gabim gjatë fillore transformimet.

Le të bëjmë të kundërtën në hartimin e shembujve, vetë sistemi shpesh nuk rishkruhet, por ekuacionet "merren drejtpërdrejt nga matrica e dhënë". Lëvizja e kundërt, ju kujtoj, funksionon nga poshtë lart. Në këtë shembull, rezultati ishte një dhuratë:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, pra x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Përgjigju:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Le të zgjidhim të njëjtin sistem duke përdorur algoritmin e propozuar. marrim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Pjesëtojmë ekuacionin e dytë me 5 dhe të tretën me 3. Marrim:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Duke shumëzuar ekuacionin e dytë dhe të tretë me 4, marrim:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Zbresim ekuacionin e parë nga ekuacioni i dytë dhe i tretë, kemi:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Pjestojeni ekuacionin e tretë me 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Shumëzoni ekuacionin e tretë me 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Duke zbritur të dytën nga ekuacioni i tretë, marrim një matricë të zgjeruar "të shkallëzuar":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Kështu, meqenëse gabimi i grumbulluar gjatë llogaritjeve, marrim x 3 = 0.96 ose afërsisht 1.

x 2 = 3 dhe x 1 = –1.

Duke e zgjidhur në këtë mënyrë, nuk do të ngatërroheni kurrë në llogaritje dhe, pavarësisht gabimeve në llogaritje, do të merrni rezultatin.

Kjo metodë e zgjidhjes së një sistemi të ekuacioneve algjebrike lineare është e lehtë për t'u programuar dhe nuk merr parasysh veçoritë specifike të koeficientëve për të panjohurat, sepse në praktikë (në llogaritjet ekonomike dhe teknike) duhet të merret me koeficientët jo të plotë.

Ju uroj suksese! Shihemi në klasë! Tutor.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Dy sisteme ekuacionesh lineare quhen ekuivalente nëse bashkësia e të gjitha zgjidhjeve të tyre përputhet.

Shndërrimet elementare të një sistemi ekuacionesh janë:

1. Fshirja e ekuacioneve të parëndësishme nga sistemi, d.m.th. ato për të cilat të gjithë koeficientët janë të barabartë me zero;
2. Shumëzimi i çdo ekuacioni me një numër të ndryshëm nga zero;
3. Shtimi i çdo ekuacioni të i-të çdo ekuacioni të j-të të shumëzuar me ndonjë numër.

Një ndryshore x i quhet e lirë nëse kjo ndryshore nuk lejohet, por i gjithë sistemi i ekuacioneve lejohet.

Teorema. Transformimet elementare transformojnë një sistem ekuacionesh në një ekuivalent.

Kuptimi i metodës Gaussian është të transformojë sistemin origjinal të ekuacioneve dhe të marrë një sistem ekuivalent të zgjidhur ose ekuivalent jokonsistent.

Pra, metoda Gaussian përbëhet nga hapat e mëposhtëm:

1. Le të shohim ekuacionin e parë. Le të zgjedhim koeficientin e parë jozero dhe të ndajmë të gjithë ekuacionin me të. Ne marrim një ekuacion në të cilin një variabël x i futet me një koeficient 1;
2. Le ta zbresim këtë ekuacion nga të gjithë të tjerët, duke e shumëzuar me numra të tillë që koeficientët e ndryshores x i në ekuacionet e mbetura të zeroohen. Ne marrim një sistem të zgjidhur në lidhje me ndryshoren x i dhe ekuivalent me atë origjinal;
3. Nëse lindin ekuacione të parëndësishme (rrallë, por ndodh; për shembull, 0 = 0), ne i kalojmë ato jashtë sistemit. Si rezultat, ka një ekuacion më pak;
4. Ne përsërisim hapat e mëparshëm jo më shumë se n herë, ku n është numri i ekuacioneve në sistem. Çdo herë zgjedhim një variabël të ri për “përpunim”. Nëse lindin ekuacione jokonsistente (për shembull, 0 = 8), sistemi është i paqëndrueshëm.

Si rezultat, pas disa hapash do të marrim ose një sistem të zgjidhur (ndoshta me variabla të lirë) ose një sistem jokonsistent. Sistemet e lejuara ndahen në dy raste:

1. Numri i variablave është i barabartë me numrin e ekuacioneve. Kjo do të thotë se sistemi është i përcaktuar;
2. Numri i variablave është më i madh se numri i ekuacioneve. Ne mbledhim të gjitha variablat e lirë në të djathtë - marrim formula për variablat e lejuara. Këto formula janë shkruar në përgjigje.

Kjo është ajo! Sistemi i ekuacioneve lineare i zgjidhur! Ky është një algoritëm mjaft i thjeshtë, dhe për ta zotëruar atë nuk duhet të kontaktoni një mësues më të lartë të matematikës. Le të shohim një shembull:

Detyrë. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

Përshkrimi i hapave:

1. Zbrisni ekuacionin e parë nga i dyti dhe i treti - marrim variablin e lejuar x 1;
2. Ekuacionin e dytë e shumëzojmë me (−1), dhe ekuacionin e tretë e ndajmë me (−3) - marrim dy ekuacione në të cilat ndryshorja x 2 hyn me koeficient 1;
3. Ekuacionin e dytë i shtojmë të parit dhe i zbresim të tretit. Marrim variablin e lejuar x 2 ;
4. Së fundi, ne zbresim ekuacionin e tretë nga i pari - marrim variablin e lejuar x 3;
5. Ne kemi marrë një sistem të miratuar, shkruani përgjigjen.

Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi të njëkohshëm ekuacionesh lineare është një sistem i ri, ekuivalent me atë origjinal, në të cilin të gjitha variablat e lejuara shprehen në terma të lirë.

Kur mund të nevojitet një zgjidhje e përgjithshme? Nëse duhet të bëni më pak hapa se k (k është sa ekuacione ka). Megjithatë, arsyet pse procesi përfundon në një hap l< k , может быть две:

1. Pas hapit të 1-të, kemi marrë një sistem që nuk përmban një ekuacion me numrin (l + 1). Në fakt, kjo është mirë, sepse... sistemi i autorizuar është marrë ende - madje disa hapa më herët.
2. Pas hapit të 1-të, kemi marrë një ekuacion në të cilin të gjithë koeficientët e variablave janë të barabartë me zero, dhe koeficienti i lirë është i ndryshëm nga zero. Ky është një ekuacion kontradiktor, dhe, për rrjedhojë, sistemi është i paqëndrueshëm.

Është e rëndësishme të kuptohet se shfaqja e një ekuacioni jokonsistent duke përdorur metodën Gaussian është një bazë e mjaftueshme për mospërputhje. Në të njëjtën kohë, vërejmë se si rezultat i hapit të 1-të, nuk mund të mbeten ekuacione të parëndësishme - të gjitha ato kryqëzohen menjëherë në proces.

Përshkrimi i hapave:

1. Zbrisni ekuacionin e parë, shumëzuar me 4, nga i dyti. I shtojmë edhe ekuacionin e parë të tretës - marrim variablin e lejuar x 1;
2. Zbrisni ekuacionin e tretë, të shumëzuar me 2, nga i dyti - marrim ekuacionin kontradiktor 0 = -5.

Pra, sistemi është jokonsistent sepse është zbuluar një ekuacion jokonsistent.

Detyrë. Eksploroni pajtueshmërinë dhe gjeni një zgjidhje të përgjithshme për sistemin:

Përshkrimi i hapave:

1. Ne zbresim ekuacionin e parë nga i dyti (pasi shumëzojmë me dy) dhe i treti - marrim ndryshoren e lejuar x 1;
2. Zbrisni ekuacionin e dytë nga i treti. Meqenëse të gjithë koeficientët në këto ekuacione janë të njëjtë, ekuacioni i tretë do të bëhet i parëndësishëm. Në të njëjtën kohë, shumëzojeni ekuacionin e dytë me (−1);
3. Zbrisni të dytën nga ekuacioni i parë - marrim variablin e lejuar x 2. I gjithë sistemi i ekuacioneve tani është gjithashtu i zgjidhur;
4. Meqenëse variablat x 3 dhe x 4 janë të lira, i zhvendosim djathtas për të shprehur variablat e lejuara. Kjo është përgjigja.

Pra, sistemi është konsistent dhe i papërcaktuar, pasi ekzistojnë dy ndryshore të lejuara (x 1 dhe x 2) dhe dy të lira (x 3 dhe x 4).