Pjerrësia është e drejtë. Në këtë artikull do të shqyrtojmë problemet që lidhen me planin koordinativ të përfshirë në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë. Këto janë detyra për:
— përcaktimi i koeficientit këndor të një drejtëze kur dihen dy pika nëpër të cilat kalon ajo;
- përcaktimi i abshisës ose i ordinatës së pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave në një rrafsh.
Çfarë është abshisa dhe ordinata e një pike u përshkrua në këtë seksion. Në të kemi shqyrtuar tashmë disa probleme që lidhen me planin koordinativ. Çfarë duhet të kuptoni për llojin e problemit në shqyrtim? Pak teori.
Ekuacioni i një drejtëze në planin koordinativ ka formën:
Ku k – kjo është pjerrësia e vijës.
Momenti tjetër! Pjerrësia e një vije të drejtë është e barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së drejtëzës. Ky është këndi midis një vije të caktuar dhe boshtitOh.
Ai varion nga 0 në 180 gradë.
Kjo do të thotë, nëse e reduktojmë ekuacionin e drejtëzës në formë y = kx + b, atëherë gjithmonë mund të përcaktojmë koeficientin k (koeficienti i pjerrësisë).
Gjithashtu, nëse në bazë të kushtit mund të përcaktojmë tangjenten e këndit të prirjes së drejtëzës, atëherë do të gjejmë në këtë mënyrë koeficientin këndor të saj.
Pika tjetër teorike!Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna.Formula duket si kjo:
Le të shqyrtojmë detyrat (të ngjashme me detyrat nga banka e detyrave të hapura):
Gjeni pjerrësinë e drejtëzës që kalon nëpër pikat me koordinata (–6;0) dhe (0;6).
Në këtë problem, mënyra më racionale për të zgjidhur është gjetja e tangjentës së këndit midis boshtit x dhe drejtëzës së dhënë. Dihet se është e barabartë me pjerrësinë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë të formuar nga një vijë e drejtë dhe boshtet x dhe oy:
Tangjenti i një këndi në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me anën fqinje:
*Të dyja këmbët janë të barabarta me gjashtë (këto janë gjatësitë e tyre).
Sigurisht, ky problem mund të zgjidhet duke përdorur formulën për gjetjen e ekuacionit të një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna. Por kjo do të jetë një zgjidhje më e gjatë.
Përgjigje: 1
Gjeni pjerrësinë e drejtëzës që kalon nëpër pikat me koordinata (5;0) dhe (0;5).
Pikat tona kanë koordinata (5;0) dhe (0;5). Mjetet,
Le ta vendosim formulën në formë y = kx + b
Ne konstatuam se pjerrësia k = – 1.
Përgjigje: -1
Drejt a kalon nëpër pika me koordinata (0;6) dhe (8;0). Drejt b kalon nëpër pikën me koordinata (0;10) dhe është paralel me drejtëzën a b me bosht oh
Në këtë problem mund të gjeni ekuacionin e drejtëzës a, përcaktoni pjerrësinë për të. Në vijën e drejtë b pjerrësia do të jetë e njëjtë pasi ato janë paralele. Më pas mund të gjeni ekuacionin e vijës b. Dhe pastaj, duke zëvendësuar vlerën y = 0 në të, gjeni abshissa. POR!
Në këtë rast, është më e lehtë të përdoret vetia e ngjashmërisë së trekëndëshave.
Trekëndëshat kënddrejtë të formuar nga këto drejtëza (paralele) dhe boshtet koordinative janë të ngjashëm, që do të thotë se raportet e brinjëve të tyre përkatëse janë të barabarta.
Abshisa e kërkuar është 40/3.
Përgjigje: 40/3
Drejt a kalon nëpër pika me koordinata (0;8) dhe (–12;0). Drejt b kalon nëpër pikën me koordinata (0; –12) dhe është paralel me drejtëzën a. Gjeni abshisën e pikës së prerjes së drejtëzës b me bosht oh.
Për këtë problem, mënyra më racionale për ta zgjidhur atë është përdorimi i vetive të ngjashmërisë së trekëndëshave. Por ne do ta zgjidhim atë në një mënyrë tjetër.
Ne i dimë pikat nëpër të cilat kalon vija A. Mund të shkruajmë një ekuacion për një vijë të drejtë. Formula për ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna ka formën:
Sipas kushtit, pikat kanë koordinata (0;8) dhe (–12;0). Mjetet,
Le ta sjellim në mendje y = kx + b:
Mora atë kënd k = 2/3.
*Koeficienti i këndit mund të gjendet përmes tangjentës së këndit në një trekëndësh kënddrejtë me këmbët 8 dhe 12.
Dihet se drejtëzat paralele kanë koeficientë të barabartë këndi. Kjo do të thotë se ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër pikën (0;-12) ka formën:
Gjeni vlerën b ne mund të zëvendësojmë abshisën dhe ta ordinojmë në ekuacionin:
Kështu, vija e drejtë duket si kjo:
Tani, për të gjetur abshisën e dëshiruar të pikës së kryqëzimit të vijës me boshtin x, duhet të zëvendësoni y = 0:
Përgjigje: 18
Gjeni ordinatën e pikës së kryqëzimit të boshtit oh dhe një drejtëz që kalon nëpër pikën B(10;12) dhe paralele me një drejtëz që kalon nga origjina dhe pikën A(10;24).
Të gjejmë ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pika me koordinata (0;0) dhe (10;24).
Formula për ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna ka formën:
Pikat tona kanë koordinata (0;0) dhe (10;24). Do të thotë,
Le ta sjellim në mendje y = kx + b
Koeficientët e këndit të drejtëzave paralele janë të barabartë. Kjo do të thotë se ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër pikën B(10;12) ka formën:
Kuptimi b Le të gjejmë duke zëvendësuar koordinatat e pikës B(10;12) në këtë ekuacion:
Ne morëm ekuacionin e drejtëzës:
Të gjendet ordinata e pikës së prerjes së kësaj drejtëze me boshtin oh duhet të zëvendësohet në ekuacionin e gjetur X= 0:
*Zgjidhja më e thjeshtë. Duke përdorur përkthimin paralel, ne e zhvendosim këtë vijë poshtë përgjatë boshtit oh në pikën (10;12). Zhvendosja ndodh me 12 njësi, domethënë pika A(10;24) "u zhvendos" në pikën B(10;12) dhe pika O(0;0) "u zhvendos" në pikën (0;–12). Kjo do të thotë që vija e drejtë që rezulton do të presë boshtin oh në pikën (0;–12).
Ordinata e kërkuar është –12.
Përgjigje: -12
Gjeni ordinatën e pikës së prerjes së drejtëzës së dhënë nga ekuacioni
3x + 2u = 6, me bosht Oy.
Koordinata e pikës së prerjes së një drejtëze të caktuar me një bosht oh ka formën (0; në). Le të zëvendësojmë abshisën në ekuacion X= 0 dhe gjeni ordinatat:
Ordinata e pikës së kryqëzimit të drejtëzës dhe boshtit ohështë e barabartë me 3.
*Sistemi është i zgjidhur:
Përgjigje: 3
Gjeni ordinatën e pikës së prerjes së drejtëzave të dhëna nga ekuacionet
3x + 2y = 6 Dhe y = – x.
Kur jepen dy drejtëza dhe pyetja ka të bëjë me gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit të këtyre drejtëzave, zgjidhet një sistem i këtyre ekuacioneve:
Në ekuacionin e parë zëvendësojmë - X në vend të në:
Ordinata është e barabartë me minus gjashtë.
Përgjigje: – 6
Gjeni pjerrësinë e drejtëzës që kalon nëpër pikat me koordinata (–2;0) dhe (0;2).
Gjeni pjerrësinë e drejtëzës që kalon nëpër pikat me koordinata (2;0) dhe (0;2).
Drejtëza a kalon nëpër pika me koordinata (0;4) dhe (6;0). Drejtëza b kalon nëpër pikën me koordinata (0;8) dhe është paralele me drejtëzën a. Gjeni abshisën e pikës së prerjes së drejtëzës b me boshtin Ox.
Gjeni ordinatën e pikës së prerjes së boshtit oy dhe drejtëzës që kalon në pikën B (6;4) dhe paralele me drejtëzën që kalon nga origjina dhe pikën A (6;8).
1. Është e nevojshme të kuptohet qartë se koeficienti këndor i një vije të drejtë është i barabartë me tangjentën e këndit të prirjes së drejtëzës. Kjo do t'ju ndihmojë në zgjidhjen e shumë problemeve të këtij lloji.
2. Duhet kuptuar formula për gjetjen e drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna. Me ndihmën e tij, gjithmonë do të gjeni ekuacionin e një drejtëze nëse jepen koordinatat e dy pikave të saj.
3. Mos harroni se pjerrësia e drejtëzave paralele janë të barabarta.
4. Siç e kuptoni, në disa probleme është i përshtatshëm të përdoret testi i ngjashmërisë së trekëndëshit. Problemet zgjidhen praktikisht me gojë.
5. Problemet në të cilat janë dhënë dy drejtëza dhe kërkohet të gjendet abshisa ose ordinata e pikës së kryqëzimit të tyre mund të zgjidhen grafikisht. Kjo do të thotë, ndërtoni ato në një plan koordinativ (në një fletë letre në një katror) dhe përcaktoni vizualisht pikën e kryqëzimit. *Por kjo metodë nuk është gjithmonë e zbatueshme.
6. Dhe së fundi. Nëse jepet një vijë e drejtë dhe koordinatat e pikave të kryqëzimit të saj me boshtet e koordinatave, atëherë në probleme të tilla është e përshtatshme të gjendet koeficienti këndor duke gjetur tangjentën e këndit në trekëndëshin kënddrejtë të formuar. Si të "shihni" këtë trekëndësh me vendndodhje të ndryshme të vijave të drejta në aeroplan është treguar skematikisht më poshtë:
>> Këndi i drejtë nga 0 në 90 gradë<<
>> Këndi i drejtë nga 90 në 180 gradë<<
Kjo është e gjitha. Ju uroj fat!
Përshëndetje, Aleksandër.
P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.
Mësoni të merrni derivatet e funksioneve. Derivati karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni në një pikë të caktuar që shtrihet në grafikun e këtij funksioni. Në këtë rast, grafiku mund të jetë ose një vijë e drejtë ose e lakuar. Kjo do të thotë, derivati karakterizon shkallën e ndryshimit të një funksioni në një moment të caktuar kohor. Mos harroni rregullat e përgjithshme me të cilat merren derivatet dhe vetëm atëherë vazhdoni në hapin tjetër.
- Lexoni artikullin.
- Përshkruhet si të merren derivatet më të thjeshtë, për shembull, derivati i një ekuacioni eksponencial. Llogaritjet e paraqitura në hapat e mëposhtëm do të bazohen në metodat e përshkruara aty.
Mësoni të dalloni problemet në të cilat koeficienti i pjerrësisë duhet të llogaritet përmes derivatit të një funksioni. Problemet jo gjithmonë ju kërkojnë të gjeni pjerrësinë ose derivatin e një funksioni. Për shembull, mund t'ju kërkohet të gjeni shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni në pikën A(x,y). Gjithashtu mund t'ju kërkohet të gjeni pjerrësinë e tangjentes në pikën A(x,y). Në të dyja rastet është e nevojshme të merret derivati i funksionit.
Merrni derivatin e funksionit që ju është dhënë. Nuk ka nevojë të ndërtoni një grafik këtu - ju duhet vetëm ekuacioni i funksionit. Në shembullin tonë, merrni derivatin e funksionit. Merrni derivatin sipas metodave të përshkruara në artikullin e përmendur më lart:
- Derivat:
Zëvendësoni koordinatat e pikës që ju është dhënë në derivatin e gjetur për të llogaritur pjerrësinë. Derivati i një funksioni është i barabartë me pjerrësinë në një pikë të caktuar. Me fjalë të tjera, f"(x) është pjerrësia e funksionit në çdo pikë (x,f(x)). Në shembullin tonë:
- Gjeni pjerrësinë e funksionit f (x) = 2 x 2 + 6 x (\stil ekrani f(x)=2x^(2)+6x) në pikën A(4,2).
- Derivati i një funksioni:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
- Zëvendësoni vlerën e koordinatës "x" të kësaj pike:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\stil ekrani f"(x)=4(4)+6)
- Gjeni pjerrësinë:
- Funksioni i pjerrësisë f (x) = 2 x 2 + 6 x (\stil ekrani f(x)=2x^(2)+6x) në pikën A(4,2) është e barabartë me 22.
Nëse është e mundur, kontrolloni përgjigjen tuaj në një grafik. Mos harroni se pjerrësia nuk mund të llogaritet në çdo pikë. Llogaritja diferenciale merret me funksione komplekse dhe grafikë komplekse ku pjerrësia nuk mund të llogaritet në çdo pikë, dhe në disa raste pikat nuk shtrihen fare në grafikë. Nëse është e mundur, përdorni një kalkulator grafik për të kontrolluar nëse pjerrësia e funksionit që ju është dhënë është e saktë. Përndryshe, vizatoni një tangjente me grafikun në pikën që ju është dhënë dhe mendoni nëse vlera e pjerrësisë që gjetët përputhet me atë që shihni në grafik.
- Tangjentja do të ketë të njëjtën pjerrësi si grafiku i funksionit në një pikë të caktuar. Për të vizatuar një tangjente në një pikë të caktuar, lëvizni majtas/djathtas në boshtin X (në shembullin tonë, 22 vlera në të djathtë), dhe më pas një lart në boshtin Y, dhe më pas lidheni atë me pikë që ju është dhënë. Në shembullin tonë, lidhni pikat me koordinatat (4,2) dhe (26,3).
Në vazhdim të temës, ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh bazohet në studimin e një vije të drejtë nga mësimet e algjebrës. Ky artikull ofron informacion të përgjithshëm mbi temën e ekuacionit të një vije të drejtë me një pjerrësi. Le të shqyrtojmë përkufizimet, të marrim vetë ekuacionin dhe të identifikojmë lidhjen me llojet e tjera të ekuacioneve. Gjithçka do të diskutohet duke përdorur shembuj të zgjidhjes së problemit.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Para se të shkruhet një ekuacion i tillë, është e nevojshme të përcaktohet këndi i prirjes së drejtëzës në boshtin O x me koeficientin e tyre këndor. Le të supozojmë se është dhënë një sistem koordinativ kartezian O x në aeroplan.
Përkufizimi 1
Këndi i prirjes së drejtëzës në boshtin O x, i vendosur në sistemin koordinativ kartezian O x y në rrafsh, ky është këndi që matet nga drejtimi pozitiv O x në vijën e drejtë në drejtim të kundërt të akrepave të orës.
Kur drejtëza është paralele me O x ose përkon në të, këndi i prirjes është 0. Atëherë këndi i prirjes së drejtëzës së dhënë α përcaktohet në intervalin [ 0 , π) .
Përkufizimi 2
Pjerrësia e drejtpërdrejtëështë tangjentja e këndit të prirjes së një drejtëze të caktuar.
Emërtimi standard është k. Nga përkufizimi gjejmë se k = t g α . Kur vija është paralele me Ox, thonë se pjerrësia nuk ekziston, pasi shkon në pafundësi.
Pjerrësia është pozitive kur grafiku i funksionit rritet dhe anasjelltas. Figura tregon variacione të ndryshme në vendndodhjen e këndit të duhur në lidhje me sistemin koordinativ me vlerën e koeficientit.
Për të gjetur këtë kënd, është e nevojshme të zbatohet përkufizimi i koeficientit këndor dhe të llogaritet tangjentja e këndit të prirjes në rrafsh.
Zgjidhje
Nga kushti kemi që α = 120°. Sipas përkufizimit, pjerrësia duhet të llogaritet. Le ta gjejmë nga formula k = t g α = 120 = - 3.
Përgjigje: k = - 3 .
Nëse dihet koeficienti këndor dhe është e nevojshme të gjendet këndi i prirjes ndaj boshtit të abshisës, atëherë duhet të merret parasysh vlera e koeficientit këndor. Nëse k > 0, atëherë këndi i drejtë është i mprehtë dhe gjendet me formulën α = a r c t g k. Nëse k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Shembulli 2
Përcaktoni këndin e prirjes së drejtëzës së dhënë në Ox me një koeficient këndor 3.
Zgjidhje
Nga kushti kemi që koeficienti këndor të jetë pozitiv, që do të thotë se këndi i prirjes në Ox është më i vogël se 90 gradë. Llogaritjet bëhen duke përdorur formulën α = a r c t g k = a r c t g 3.
Përgjigje: α = a r c t g 3 .
Shembulli 3
Gjeni këndin e prirjes së drejtëzës me boshtin O x nëse pjerrësia = - 1 3.
Zgjidhje
Nëse marrim shkronjën k si përcaktim të koeficientit këndor, atëherë α është këndi i prirjes në një drejtëz të dhënë në drejtim pozitiv O x. Prandaj k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
Përgjigje: 5 π 6 .
Një ekuacion i formës y = k x + b, ku k është pjerrësia dhe b është një numër real, quhet ekuacioni i një drejtëze me një pjerrësi. Ekuacioni është tipik për çdo vijë të drejtë që nuk është paralele me boshtin O y.
Nëse shqyrtojmë në detaje një vijë të drejtë në një rrafsh në një sistem koordinativ fiks, i cili përcaktohet nga një ekuacion me një koeficient këndor që ka formën y = k x + b. Në këtë rast, do të thotë që ekuacioni korrespondon me koordinatat e çdo pike në vijë. Nëse koordinatat e pikës M, M 1 (x 1, y 1) i zëvendësojmë në ekuacionin y = k x + b, atëherë në këtë rast drejtëza do të kalojë nëpër këtë pikë, përndryshe pika nuk i përket drejtëzës.
Shembulli 4
Jepet një drejtëz me pjerrësi y = 1 3 x - 1. Njehsoni nëse pikat M 1 (3, 0) dhe M 2 (2, - 2) i përkasin drejtëzës së dhënë.
Zgjidhje
Është e nevojshme të zëvendësojmë koordinatat e pikës M 1 (3, 0) në ekuacionin e dhënë, atëherë marrim 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Barazia është e vërtetë, që do të thotë se pika i përket vijës.
Nëse zëvendësojmë koordinatat e pikës M 2 (2, - 2), atëherë marrim një barazi të pasaktë të formës - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Mund të konkludojmë se pika M 2 nuk i përket drejtëzës.
Përgjigje: M 1 i përket linjës, por M 2 jo.
Dihet se drejtëza përcaktohet me ekuacionin y = k · x + b, duke kaluar nëpër M 1 (0, b), me zëvendësim kemi marrë një barazi të formës b = k · 0 + b ⇔ b = b. Nga kjo mund të konkludojmë se ekuacioni i një drejtëze me koeficient këndor y = k x + b në rrafsh përcakton një drejtëz që kalon në pikën 0, b. Formon një kënd α me drejtim pozitiv të boshtit O x, ku k = t g α.
Le të shqyrtojmë, si shembull, një vijë të drejtë të përcaktuar duke përdorur një koeficient këndor të specifikuar në formën y = 3 · x - 1. Përftojmë se drejtëza do të kalojë nëpër pikën me koordinatë 0, - 1 me pjerrësi α = a r c t g 3 = π 3 radiane në drejtim pozitiv të boshtit O x. Kjo tregon se koeficienti është 3.
Ekuacioni i një drejtëze me një pjerrësi që kalon nëpër një pikë të caktuar
Është e nevojshme të zgjidhet një problem ku është e nevojshme të merret ekuacioni i një drejtëze me një pjerrësi të caktuar që kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1).
Barazia y 1 = k · x + b mund të konsiderohet e vlefshme, pasi vija kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1). Për të hequr numrin b, duhet të zbritni ekuacionin me pjerrësinë nga anët e majta dhe të djathta. Nga kjo rezulton se y - y 1 = k · (x - x 1) . Ky barazi quhet ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi të dhënë k, që kalon nga koordinatat e pikës M 1 (x 1, y 1).
Shembulli 5
Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nëpër pikën M 1 me koordinata (4, - 1), me një koeficient këndor të barabartë me - 2.
Zgjidhje
Me kusht kemi që x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Nga këtu ekuacioni i drejtëzës do të shkruhet si vijon: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
Përgjigje: y = - 2 x + 7 .
Shembulli 6
Shkruani ekuacionin e një drejtëze me një koeficient këndor që kalon në pikën M 1 me koordinata (3, 5), paralel me drejtëzën y = 2 x - 2.
Zgjidhje
Me kusht, kemi që drejtëzat paralele të kenë kënde të njëjta të prirjes, që do të thotë se koeficientët këndorë janë të barabartë. Për të gjetur pjerrësinë nga ky ekuacion, duhet të mbani mend formulën e tij bazë y = 2 x - 2, rrjedh se k = 2. Ne krijojmë një ekuacion me koeficientin e pjerrësisë dhe marrim:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Përgjigje: y = 2 x - 1 .
Kalimi nga një ekuacion me vijë të drejtë me një pjerrësi në llojet e tjera të ekuacioneve të vijës së drejtë dhe mbrapa
Ky ekuacion nuk është gjithmonë i zbatueshëm për zgjidhjen e problemeve, pasi nuk është plotësisht i përshtatshëm për t'u shkruar. Për ta bërë këtë, duhet ta paraqisni atë në një formë tjetër. Për shembull, një ekuacion i formës y = k · x + b nuk na lejon të shkruajmë koordinatat e vektorit të drejtimit të një drejtëze ose koordinatat e një vektori normal. Për ta bërë këtë, duhet të mësoni të përfaqësoni me ekuacione të një lloji tjetër.
Ne mund të marrim ekuacionin kanonik të një drejtëze në një plan duke përdorur ekuacionin e një drejtëze me një koeficient këndi. Marrim x - x 1 a x = y - y 1 a y . Është e nevojshme të zhvendoset termi b në anën e majtë dhe të ndahet me shprehjen e pabarazisë që rezulton. Pastaj marrim një ekuacion të formës y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Ekuacioni i një drejtëze me një pjerrësi është bërë ekuacioni kanonik i kësaj linje.
Shembulli 7
Sillni ekuacionin e një drejtëze me një koeficient këndor y = - 3 x + 12 në formën kanonike.
Zgjidhje
Le ta llogarisim dhe ta paraqesim në formën e një ekuacioni kanonik të një drejtëze. Marrim një ekuacion të formës:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Përgjigje: x 1 = y - 12 - 3.
Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze është më e lehtë për t'u marrë nga y = k · x + b, por për këtë është e nevojshme të bëhen shndërrime: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Bëhet një kalim nga ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës në ekuacione të një lloji tjetër.
Shembulli 8
Jepet një ekuacion drejtvizor i formës y = 1 7 x - 2 . Zbuloni nëse vektori me koordinata a → = (- 1, 7) është një vektor me vijë normale?
Zgjidhje
Për të zgjidhur është e nevojshme të kalojmë në një formë tjetër të këtij ekuacioni, për këtë shkruajmë:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Koeficientët përballë variablave janë koordinatat e vektorit normal të drejtëzës. Le ta shkruajmë kështu: n → = 1 7, - 1, pra 1 7 x - y - 2 = 0. Është e qartë se vektori a → = (- 1, 7) është kolinear me vektorin n → = 1 7, - 1, pasi kemi relacionin e drejtë a → = - 7 · n →. Nga kjo rrjedh se vektori origjinal a → = - 1, 7 është një vektor normal i rreshtit 1 7 x - y - 2 = 0, që do të thotë se konsiderohet një vektor normal për rreshtin y = 1 7 x - 2.
Përgjigje:Është
Le të zgjidhim problemin e kundërt të kësaj.
Është e nevojshme të kalojmë nga forma e përgjithshme e ekuacionit A x + B y + C = 0, ku B ≠ 0, në një ekuacion me një koeficient këndor. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin për y. Marrim A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B .
Rezultati është një ekuacion me një pjerrësi të barabartë me - A B.
Shembulli 9
Është dhënë një ekuacion i drejtë i formës 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Merrni ekuacionin e një drejtëze të caktuar me një koeficient këndor.
Zgjidhje
Në bazë të kushtit, është e nevojshme të zgjidhet për y, atëherë marrim një ekuacion të formës:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Përgjigje: y = 1 6 x + 1 4 .
Në mënyrë të ngjashme zgjidhet një ekuacion i formës x a + y b = 1, i cili quhet ekuacion i drejtëzës në segmente, ose kanonik i formës x - x 1 a x = y - y 1 a y. Ne duhet ta zgjidhim atë për y, vetëm atëherë marrim një ekuacion me pjerrësinë:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
Ekuacioni kanonik mund të reduktohet në një formë me një koeficient këndor. Për ta bërë këtë:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
Shembulli 10
Ekziston një vijë e drejtë e dhënë nga ekuacioni x 2 + y - 3 = 1. Reduktojeni në formën e një ekuacioni me një koeficient këndor.
Zgjidhje.
Në bazë të kushtit, është e nevojshme të transformohet, atëherë marrim një ekuacion të formës _formula_. Të dy anët e ekuacionit duhet të shumëzohen me - 3 për të marrë ekuacionin e kërkuar të pjerrësisë. Duke transformuar, marrim:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
Përgjigje: y = 3 2 x - 3 .
Shembulli 11
Zvogëloni ekuacionin e drejtëz të formës x - 2 2 = y + 1 5 në një formë me një koeficient këndor.
Zgjidhje
Është e nevojshme të llogaritet shprehja x - 2 2 = y + 1 5 si proporcion. Marrim se 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Tani duhet ta aktivizoni plotësisht, për ta bërë këtë:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Përgjigje: y = 5 2 x - 6 .
Për të zgjidhur probleme të tilla, ekuacionet parametrike të drejtëzës së formës x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ duhet të reduktohen në ekuacionin kanonik të drejtëzës, vetëm pas kësaj mund të vazhdohet në ekuacionin me koeficienti i pjerrësisë.
Shembulli 12
Gjeni pjerrësinë e drejtëzës nëse jepet me ekuacione parametrike x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Zgjidhje
Është e nevojshme të kalohet nga pamja parametrike në pjerrësi. Për ta bërë këtë, gjejmë ekuacionin kanonik nga ai parametrik i dhënë:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Tani është e nevojshme të zgjidhet kjo barazi në lidhje me y në mënyrë që të merret ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndor. Për ta bërë këtë, le ta shkruajmë në këtë mënyrë:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Nga kjo rrjedh se pjerrësia e linjës është 2. Kjo shkruhet si k = 2.
Përgjigje: k = 2.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Në matematikë, një nga parametrat që përshkruan pozicionin e një drejtëze në planin koordinativ kartezian është koeficienti këndor i kësaj drejtëze. Ky parametër karakterizon pjerrësinë e vijës së drejtë në boshtin e abshisës. Për të kuptuar se si të gjeni pjerrësinë, fillimisht kujtoni formën e përgjithshme të ekuacionit të një vije të drejtë në sistemin e koordinatave XY.
Në përgjithësi, çdo rresht mund të përfaqësohet me shprehjen ax+by=c, ku a, b dhe c janë numra realë arbitrarë, por a 2 + b 2 ≠ 0.
Duke përdorur shndërrime të thjeshta, një ekuacion i tillë mund të sillet në formën y=kx+d, në të cilin k dhe d janë numra realë. Numri k është pjerrësia, dhe ekuacioni i një drejtëze të këtij lloji quhet ekuacion me një pjerrësi. Rezulton se për të gjetur pjerrësinë, thjesht duhet të zvogëloni ekuacionin origjinal në formën e treguar më sipër. Për një kuptim më të plotë, merrni parasysh një shembull specifik:
Problemi: Gjeni pjerrësinë e drejtëzës së dhënë nga ekuacioni 36x - 18y = 108
Zgjidhja: Le të transformojmë ekuacionin origjinal.
Përgjigje: Pjerrësia e kërkuar e kësaj linje është 2.
Nëse gjatë transformimit të ekuacionit kemi marrë një shprehje si x = konst dhe si rezultat nuk mund ta paraqesim y si funksion të x, atëherë kemi të bëjmë me një drejtëz paralele me boshtin X një vijë e drejtë është e barabartë me pafundësinë.
Për linjat e shprehura me një ekuacion si y = const, pjerrësia është zero. Kjo është tipike për linjat e drejta paralele me boshtin e abshisës. Për shembull:
Problemi: Gjeni pjerrësinë e drejtëzës së dhënë nga ekuacioni 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Zgjidhje: Le ta sjellim ekuacionin origjinal në formën e tij të përgjithshme
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Është e pamundur të shprehet y nga shprehja që rezulton, prandaj koeficienti këndor i kësaj linje është i barabartë me pafundësinë, dhe vetë vija do të jetë paralele me boshtin Y.
Kuptimi gjeometrik
Për një kuptim më të mirë, le të shohim foton:
Në figurë shohim një grafik të një funksioni si y = kx. Për ta thjeshtuar, le të marrim koeficientin c = 0. Në trekëndëshin OAB, raporti i brinjës BA me AO do të jetë i barabartë me koeficientin këndor k. Në të njëjtën kohë, raporti BA/AO është tangjentja e këndit akut α në trekëndëshin kënddrejtë OAB. Rezulton se koeficienti këndor i drejtëzës është i barabartë me tangjentën e këndit që bën kjo drejtëz me boshtin e abshisave të rrjetit koordinativ.
Duke zgjidhur problemin se si të gjejmë koeficientin këndor të një vije të drejtë, gjejmë tangjentën e këndit midis saj dhe boshtit X të rrjetit koordinativ. Rastet kufitare, kur vija në fjalë është paralele me boshtet koordinative, vërtetojnë sa më sipër. Në të vërtetë, për një vijë të drejtë të përshkruar nga ekuacioni y=const, këndi ndërmjet saj dhe boshtit të abshisës është zero. Tangjentja e këndit zero është gjithashtu zero dhe pjerrësia është gjithashtu zero.
Për drejtëzat pingul me boshtin x dhe të përshkruara me ekuacionin x=const, këndi ndërmjet tyre dhe boshtit X është 90 gradë. Tangjentja e një këndi të drejtë është e barabartë me pafundësinë, dhe koeficienti këndor i drejtëzave të ngjashme është gjithashtu i barabartë me pafundësinë, gjë që konfirmon atë që u shkrua më lart.
Pjerrësia tangjente
Një detyrë e zakonshme që haset shpesh në praktikë është gjithashtu gjetja e pjerrësisë së një tangjente me grafikun e një funksioni në një pikë të caktuar. Një tangjente është një vijë e drejtë, prandaj koncepti i pjerrësisë është gjithashtu i zbatueshëm për të.
Për të kuptuar se si të gjejmë pjerrësinë e një tangjente, do të duhet të kujtojmë konceptin e derivatit. Derivati i çdo funksioni në një pikë të caktuar është një konstante numerikisht e barabartë me tangjenten e këndit që formohet midis tangjentës në pikën e specifikuar në grafikun e këtij funksioni dhe boshtit të abshisës. Rezulton se për të përcaktuar koeficientin këndor të tangjentes në pikën x 0, duhet të llogarisim vlerën e derivatit të funksionit origjinal në këtë pikë k = f" (x 0). Le të shohim një shembull:
Problem: Gjeni pjerrësinë e drejtëzës tangjente me funksionin y = 12x 2 + 2x x në x = 0,1.
Zgjidhje: Gjeni derivatin e funksionit origjinal në formë të përgjithshme
y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1
Përgjigje: Pjerrësia e kërkuar në pikën x = 0.1 është 4.831
Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.