- Për të gjetur koordinatat e pikës së kryqëzimit të grafikëve të funksioneve, duhet të barazoni të dy funksionet me njëri-tjetrin, të zhvendosni të gjithë termat që përmbajnë $ x $ në anën e majtë dhe pjesën tjetër në anën e djathtë dhe të gjeni rrënjët e ekuacioni që rezulton.
- Metoda e dytë është krijimi i një sistemi ekuacionesh dhe zgjidhja e tij duke zëvendësuar një funksion në një tjetër
- Metoda e tretë përfshin ndërtimin grafik të funksioneve dhe përcaktimin vizual të pikës së kryqëzimit.
Rasti i dy funksioneve lineare
Konsideroni dy funksione lineare $ f(x) = k_1 x+m_1 $ dhe $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Këto funksione quhen të drejtpërdrejta. Është mjaft e lehtë t'i ndërtosh ato, duhet të marrësh çdo dy vlera $ x_1 $ dhe $ x_2 $ dhe të gjesh $ f(x_1) $ dhe $ (x_2) $. Më pas përsërisni të njëjtën gjë me funksionin $g(x) $. Më pas, gjeni vizualisht koordinatat e pikës së kryqëzimit të grafikëve të funksionit.
Duhet të dini se funksionet lineare kanë vetëm një pikë kryqëzimi dhe vetëm kur $ k_1 \neq k_2 $. Përndryshe, në rastin e $ k_1=k_2 $ funksionet janë paralele me njëri-tjetrin, pasi që $ k $ është koeficienti i pjerrësisë. Nëse $ k_1 \neq k_2 $ por $ m_1=m_2 $, atëherë pika e kryqëzimit do të jetë $ M(0;m) $. Këshillohet të mbani mend këtë rregull për të zgjidhur shpejt problemet.
| Shembulli 1 |
| Le të jepen $ f(x) = 2x-5 $ dhe $ g(x)=x+3 $. Gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të grafikëve të funksionit. |
| Zgjidhje |
|
Si ta bëni këtë? Meqenëse janë paraqitur dy funksione lineare, gjëja e parë që shikojmë është koeficienti i pjerrësisë së të dy funksioneve $ k_1 = 2 $ dhe $ k_2 = 1 $. Vëmë re se $ k_1 \neq k_2 $, pra ka një pikë kryqëzimi. Le ta gjejmë duke përdorur ekuacionin $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Ne i zhvendosim termat me $ x $ në anën e majtë, dhe pjesën tjetër në të djathtë: $$ 2x - x = 3+5 $$ Ne kemi marrë $ x=8 $ abshisën e pikës së kryqëzimit të grafikëve dhe tani le të gjejmë ordinatën. Për ta bërë këtë, le të zëvendësojmë $ x = 8 $ në cilindo nga ekuacionet, ose në $ f(x) $ ose në $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Pra, $ M (8;11) $ është pika e prerjes së grafikëve të dy funksioneve lineare. Nëse nuk mund ta zgjidhni problemin tuaj, atëherë na dërgoni atë. Ne do të ofrojmë zgjidhje të detajuar. Ju do të jeni në gjendje të shikoni ecurinë e llogaritjes dhe të merrni informacion. Kjo do t'ju ndihmojë të merrni notën tuaj nga mësuesi juaj në kohën e duhur! |
| Përgjigju |
| $$ M (8;11) $$ |
Rasti i dy funksioneve jolineare
| Shembulli 3 |
| Gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të grafikëve të funksionit: $ f(x)=x^2-2x+1 $ dhe $ g(x)=x^2+1 $ |
| Zgjidhje |
|
Po dy funksione jolineare? Algoritmi është i thjeshtë: barazojmë ekuacionet me njëri-tjetrin dhe gjejmë rrënjët: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Ne shpërndajmë terma me $ x $ dhe pa të në anët e ndryshme të ekuacionit: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Abshisa e pikës së dëshiruar është gjetur, por nuk mjafton. Ordinata $y$ ende mungon. Ne zëvendësojmë $ x = 0 $ në cilindo nga dy ekuacionet e kushteve të problemit. Për shembull: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - pika e kryqëzimit të grafikëve të funksionit |
| Përgjigju |
| $$ M (0;1) $$ |
Kur zgjidhni disa probleme gjeometrike duke përdorur metodën e koordinatave, duhet të gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave. Më shpesh ju duhet të kërkoni për koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy vijave në një aeroplan, por ndonjëherë ekziston nevoja për të përcaktuar koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy vijave në hapësirë. Në këtë artikull do të merremi me gjetjen e koordinatave të pikës në të cilën kryqëzohen dy drejtëza.
Navigimi i faqes.
Pika e kryqëzimit të dy drejtëzave është një përkufizim.
Le të përcaktojmë fillimisht pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave.
Në seksionin mbi pozicionin relativ të drejtëzave në një plan, tregohet se dy drejtëza në një rrafsh mund të përkojnë (dhe kanë pafundësisht shumë pika të përbashkëta), ose të jenë paralele (dhe dy drejtëza nuk kanë pika të përbashkëta), ose të kryqëzohen. , duke pasur një pikë të përbashkët. Ka më shumë opsione për pozicionin relativ të dy linjave në hapësirë - ato mund të përkojnë (kanë pafundësisht shumë pika të përbashkëta), ato mund të jenë paralele (d.m.th., të shtrihen në të njëjtin plan dhe të mos kryqëzohen), ato mund të jenë të kryqëzuara (jo shtrihen në të njëjtin plan), dhe ato gjithashtu mund të kenë një pikë të përbashkët, domethënë të kryqëzohen. Pra, dy drejtëza si në rrafsh ashtu edhe në hapësirë quhen të kryqëzuara nëse kanë një pikë të përbashkët.
Nga përkufizimi i drejtëzave të kryqëzuara rrjedh përcaktimi i pikës së kryqëzimit të drejtëzave: Pika në të cilën kryqëzohen dy drejtëza quhet pika e prerjes së këtyre drejtëzave. Me fjalë të tjera, pika e vetme e përbashkët e dy drejtëzave kryqëzuese është pika e kryqëzimit të këtyre drejtëzave.
Për qartësi, ne paraqesim një ilustrim grafik të pikës së kryqëzimit të dy vijave të drejta në një plan dhe në hapësirë.
Në krye të faqes
Gjetja e koordinatave të pikës së prerjes së dy drejtëzave në një rrafsh.
Përpara se të gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave në një plan duke përdorur ekuacionet e tyre të njohura, merrni parasysh një problem ndihmës.
Oksi a Dhe b. Do ta supozojmë drejt a korrespondon me ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës së formës dhe vijës së drejtë b– lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është M 0 pika e prerjes së drejtëzave të dhëna.
Le ta zgjidhim problemin.
Nëse M0 a Dhe b, atëherë sipas definicionit i takon edhe vijës a dhe drejt b, domethënë, koordinatat e tij duhet të plotësojnë si ekuacionin ashtu edhe ekuacionin. Prandaj, duhet të zëvendësojmë koordinatat e pikës M 0 në ekuacionet e drejtëzave të dhëna dhe shikoni nëse kjo rezulton në dy barazi të sakta. Nëse koordinatat e pikës M 0 plotësoni të dy ekuacionet dhe , atëherë është pika e kryqëzimit të vijave a Dhe b, ndryshe M 0 .
Është pika M 0 me koordinata (2, -3) pika e kryqëzimit të vijave 5x-2y-16=0 Dhe 2x-5y-19=0?
Nëse M 0është me të vërtetë pika e prerjes së drejtëzave të dhëna, atëherë koordinatat e saj plotësojnë ekuacionet e drejtëzave. Le ta kontrollojmë këtë duke zëvendësuar koordinatat e pikës M 0 në ekuacionet e dhëna:
Ne morëm dy barazi të vërteta, prandaj, M 0 (2, -3)- pika e prerjes së vijave 5x-2y-16=0 Dhe 2x-5y-19=0.
Për qartësi, ne paraqesim një vizatim që tregon linjat e drejta dhe koordinatat e pikave të tyre të kryqëzimit janë të dukshme.
po, perioda M 0 (2, -3)është pika e kryqëzimit të vijave 5x-2y-16=0 Dhe 2x-5y-19=0.
A kryqëzohen vijat? 5x+3y-1=0 Dhe 7x-2y+11=0 në pikën M 0 (2, -3)?
Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës M 0 në ekuacionet e drejtëzave, ky veprim do të kontrollojë nëse pika i përket M 0 të dy linjat e drejta në të njëjtën kohë:
Që nga ekuacioni i dytë, kur zëvendësohen koordinatat e pikës në të M 0 nuk u kthye në një barazi të vërtetë, atëherë pikë M 0 nuk i përket linjës 7x-2y+11=0. Nga ky fakt mund të konkludojmë se pika M 0 nuk është pika e prerjes së drejtëzave të dhëna.
Vizatimi gjithashtu tregon qartë se pika M 0 nuk është pika e kryqëzimit të vijave 5x+3y-1=0 Dhe 7x-2y+11=0. Natyrisht, vijat e dhëna kryqëzohen në një pikë me koordinatat (-1, 2) .
M 0 (2, -3) nuk është pika e kryqëzimit të vijave 5x+3y-1=0 Dhe 7x-2y+11=0.
Tani mund të kalojmë në detyrën e gjetjes së koordinatave të pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave duke përdorur ekuacionet e dhëna të drejtëzave në një plan.
Le të fiksohet në plan një sistem koordinativ drejtkëndor Kartezian Oksi dhe jepen dy drejtëza të kryqëzuara a Dhe b ekuacionet dhe përkatësisht. Le ta shënojmë pikën e prerjes së drejtëzave të dhëna si M 0 dhe zgjidhni problemën e mëposhtme: gjeni koordinatat e pikës së prerjes së dy drejtëzave a Dhe b sipas ekuacioneve të njohura të këtyre drejtëzave dhe .
Pika M0 i përket secilës prej drejtëzave të kryqëzuara a Dhe b sipas definicionit. Pastaj koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave a Dhe b plotësoni edhe ekuacionin edhe ekuacionin . Prandaj, koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave a Dhe b janë zgjidhja e një sistemi ekuacionesh (shih artikullin Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare).
Kështu, për të gjetur koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy vijave të drejta të përcaktuara në një plan me ekuacione të përgjithshme, duhet të zgjidhni një sistem të përbërë nga ekuacione të drejtëzave të dhëna.
Le të shohim shembullin e zgjidhjes.
Gjeni pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave të përcaktuara në një sistem koordinativ drejtkëndor në një plan nga ekuacionet x-9y+14=0 Dhe 5x-2y-16=0.
Na janë dhënë dy ekuacione të përgjithshme të drejtëzave, le të bëjmë një sistem prej tyre: . Zgjidhjet për sistemin rezultues të ekuacioneve gjenden lehtësisht duke zgjidhur ekuacionin e tij të parë në lidhje me variablin x dhe zëvendësojeni këtë shprehje në ekuacionin e dytë:
Zgjidhja e gjetur e sistemit të ekuacioneve na jep koordinatat e dëshiruara të pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave.
M 0 (4, 2)– pika e prerjes së vijave x-9y+14=0 Dhe 5x-2y-16=0.
Pra, gjetja e koordinatave të pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave, të përcaktuara me ekuacione të përgjithshme në një rrafsh, zbret në zgjidhjen e një sistemi me dy ekuacione lineare me dy ndryshore të panjohura. Por, çka nëse linjat në një rrafsh jepen jo nga ekuacione të përgjithshme, por nga ekuacione të një lloji tjetër (shih llojet e ekuacioneve të një linje në një plan)? Në këto raste, së pari mund të reduktoni ekuacionet e vijave në një formë të përgjithshme dhe vetëm pas kësaj të gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit.
Para se të gjejmë koordinatat e pikës së kryqëzimit të drejtëzave të dhëna, i reduktojmë ekuacionet e tyre në një formë të përgjithshme. Kalimi nga ekuacionet parametrike të një rreshti në ekuacionin e përgjithshëm të kësaj linje duket kështu:
Tani le të kryejmë veprimet e nevojshme me ekuacionin kanonik të vijës së drejtë:
Kështu, koordinatat e dëshiruara të pikës së kryqëzimit të vijave janë një zgjidhje për një sistem ekuacionesh të formës . Ne përdorim metodën e Cramer për ta zgjidhur atë:
M 0 (-5, 1)
Ekziston një mënyrë tjetër për të gjetur koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave në një plan. Është i përshtatshëm për t'u përdorur kur njëra nga rreshtat jepet nga ekuacionet parametrike të formës, dhe tjetra nga një ekuacion vijash i një lloji tjetër. Në këtë rast, në një ekuacion tjetër në vend të variablave x Dhe y ju mund të zëvendësoni shprehjet dhe , nga ku mund të merrni vlerën që i përgjigjet pikës së kryqëzimit të vijave të dhëna. Në këtë rast, pika e kryqëzimit të vijave ka koordinata.
Le të gjejmë koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave nga shembulli i mëparshëm duke përdorur këtë metodë.
Përcaktoni koordinatat e pikës së prerjes së drejtëzave dhe .
Le të zëvendësojmë shprehjen e drejtëzës në ekuacionin:
Pasi kemi zgjidhur ekuacionin që rezulton, marrim . Kjo vlerë korrespondon me pikën e përbashkët të vijave dhe . Ne llogarisim koordinatat e pikës së kryqëzimit duke zëvendësuar një vijë të drejtë në ekuacionet parametrike:
.
M 0 (-5, 1).
Për të plotësuar figurën, duhet diskutuar edhe një pikë.
Përpara se të gjeni koordinatat e pikës së prerjes së dy drejtëzave në një plan, është e dobishme të siguroheni që linjat e dhëna në të vërtetë kryqëzohen. Nëse rezulton se linjat origjinale përkojnë ose janë paralele, atëherë nuk mund të bëhet fjalë për gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit të vijave të tilla.
Ju, natyrisht, mund të bëni pa një kontroll të tillë, por menjëherë krijoni një sistem ekuacionesh të formës dhe zgjidheni atë. Nëse një sistem ekuacionesh ka një zgjidhje unike, atëherë ai jep koordinatat e pikës në të cilën kryqëzohen vijat origjinale. Nëse sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje, atëherë mund të konkludojmë se drejtëzat origjinale janë paralele (pasi nuk ka një çift të tillë numrash realë x Dhe y, i cili do të kënaqte njëkohësisht të dy ekuacionet e linjave të dhëna). Nga prania e një numri të pafund zgjidhjesh në një sistem ekuacionesh, rrjedh se vijat e drejta origjinale kanë pafundësisht shumë pika të përbashkëta, domethënë ato përkojnë.
Le të shohim shembuj që i përshtaten këtyre situatave.
Zbuloni nëse linjat dhe kryqëzohen, dhe nëse ato kryqëzohen, atëherë gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit.
Ekuacionet e dhëna të drejtëzave korrespondojnë me ekuacionet dhe . Le të zgjidhim sistemin e përbërë nga këto ekuacione.
Është e qartë se ekuacionet e sistemit shprehen në mënyrë lineare përmes njëri-tjetrit (ekuacioni i dytë i sistemit përftohet nga i pari duke shumëzuar të dy pjesët e tij me 4 ), pra, sistemi i ekuacioneve ka një numër të pafund zgjidhjesh. Kështu, ekuacionet përcaktojnë të njëjtën drejtëz dhe nuk mund të flasim për gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit të këtyre drejtëzave.
ekuacionet dhe përcaktohen në një sistem koordinativ drejtkëndor Oksi të njëjtën drejtëz, kështu që nuk mund të flasim për gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit.
Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së drejtëzave dhe , nëse është e mundur.
Gjendja e problemit lejon që linjat të mos kryqëzohen. Le të krijojmë një sistem nga këto ekuacione. Le të zbatojmë metodën e Gausit për ta zgjidhur atë, pasi na lejon të vendosim përputhshmërinë ose papajtueshmërinë e një sistemi ekuacionesh dhe nëse është i pajtueshëm, gjejmë një zgjidhje:
Ekuacioni i fundit i sistemit pas kalimit të drejtpërdrejtë të metodës Gauss u shndërrua në një barazi të pasaktë, prandaj, sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje. Nga kjo mund të konkludojmë se drejtëzat origjinale janë paralele dhe nuk mund të flasim për gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit të këtyre drejtëzave.
Zgjidhja e dytë.
Le të zbulojmë nëse drejtëzat e dhëna kryqëzohen.
Një vektor normal është një vijë, dhe një vektor është një vektor normal i një vije. Le të kontrollojmë nëse kushti i kolinearitetit të vektorëve dhe : barazia është i vërtetë, pasi, pra, vektorët normalë të drejtëzave të dhëna janë kolinearë. Atëherë këto rreshta janë paralele ose të rastësishme. Kështu, ne nuk mund të gjejmë koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave origjinale.
është e pamundur të gjenden koordinatat e pikës së kryqëzimit të drejtëzave të dhëna, pasi këto drejtëza janë paralele.
Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së drejtëzave 2x-1=0 dhe , nëse ato kryqëzohen.
Të hartojmë një sistem ekuacionesh që janë ekuacione të përgjithshme të drejtëzave të dhëna: . Përcaktori i matricës kryesore të këtij sistemi ekuacionesh është jozero, prandaj sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike, e cila tregon prerjen e drejtëzave të dhëna.
Për të gjetur koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave, duhet të zgjidhim sistemin:
Zgjidhja që rezulton na jep koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave, domethënë pikën e kryqëzimit të vijave 2x-1=0 Dhe .
Në krye të faqes
Gjetja e koordinatave të pikës së prerjes së dy drejtëzave në hapësirë.
Në mënyrë të ngjashme gjenden koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave në hapësirën tredimensionale.
Lërini vijat e kryqëzuara a Dhe b specifikuar në një sistem koordinativ drejtkëndor Oxyz ekuacionet e dy rrafsheve të kryqëzuara, domethënë një vijë e drejtë a përcaktohet nga një sistem i formës dhe vijës së drejtë b- . Le M 0– pika e prerjes së vijave a Dhe b. Pastaj tregoni M 0 sipas definicionit i përket edhe vijës a dhe drejt b, pra, koordinatat e tij plotësojnë ekuacionet e të dy drejtëzave. Kështu, koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave a Dhe b paraqesin një zgjidhje të një sistemi ekuacionesh lineare të formës . Këtu do të na duhen informacione nga seksioni për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare në të cilat numri i ekuacioneve nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura.
Le të shohim zgjidhjet e shembujve.
Gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave të përcaktuara në hapësirë nga ekuacionet dhe .
Le të hartojmë një sistem ekuacionesh nga ekuacionet e drejtëzave të dhëna: . Zgjidhja e këtij sistemi do të na japë koordinatat e kërkuara të pikës së kryqëzimit të drejtëzave në hapësirë. Le të gjejmë zgjidhjen e sistemit të shkruar të ekuacioneve.
Matrica kryesore e sistemit ka formën , dhe atë të zgjeruar - .
Le të përcaktojmë rangun e matricës A dhe renditja e matricës T. Ne përdorim metodën e kufirit të të miturve, por nuk do të përshkruajmë në detaje llogaritjen e përcaktuesve (nëse është e nevojshme, referojuni artikullit Llogaritja e përcaktuesit të një matrice):
Kështu, grada e matricës kryesore është e barabartë me gradën e matricës së zgjeruar dhe është e barabartë me tre.
Rrjedhimisht, sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike.
Ne do të marrim përcaktorin si bazë minor, prandaj ekuacioni i fundit duhet të përjashtohet nga sistemi i ekuacioneve, pasi nuk merr pjesë në formimin e bazës minore. Pra,
Zgjidhja për sistemin që rezulton është e lehtë për t'u gjetur:
Kështu, pika e kryqëzimit të vijave ka koordinata (1, -3, 0) .
(1, -3, 0) .
Duhet të theksohet se sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike nëse dhe vetëm nëse vijat e drejta a Dhe b kryqëzohen. Nëse drejt A Dhe b paralele ose kryqëzuese, atëherë sistemi i fundit i ekuacioneve nuk ka zgjidhje, pasi në këtë rast drejtëzat nuk kanë pika të përbashkëta. Nëse drejt a Dhe b përkojnë, atëherë ato kanë një numër të pafund pikash të përbashkëta, prandaj, sistemi i treguar i ekuacioneve ka një numër të pafund zgjidhjesh. Megjithatë, në këto raste nuk mund të flasim për gjetjen e koordinatave të pikës së prerjes së drejtëzave, pasi vijat nuk janë të kryqëzuara.
Kështu, nëse nuk e dimë paraprakisht nëse drejtëzat e dhëna kryqëzohen a Dhe b apo jo, atëherë është e arsyeshme të krijohet një sistem ekuacionesh të formës dhe të zgjidhet me metodën e Gausit. Nëse marrim një zgjidhje unike, atëherë ajo do të korrespondojë me koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave a Dhe b. Nëse sistemi rezulton i paqëndrueshëm, atëherë i drejtpërdrejtë a Dhe b mos kryqëzohen. Nëse sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh, atëherë vijat e drejta a Dhe b ndeshje.
Ju mund të bëni pa përdorur metodën Gaussian. Përndryshe, ju mund të llogaritni radhët e matricave kryesore dhe të zgjeruara të këtij sistemi dhe bazuar në të dhënat e marra dhe teoremën Kronecker-Capelli, të konkludoni ose ekzistencën e një zgjidhjeje të vetme, ose ekzistencën e shumë zgjidhjeve, ose mungesën e zgjidhjet. Është çështje shije.
Nëse linjat kryqëzohen, atëherë përcaktoni koordinatat e pikës së kryqëzimit.
Le të krijojmë një sistem nga ekuacionet e dhëna: . Le ta zgjidhim duke përdorur metodën Gaussian në formën e matricës:
U bë e qartë se sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje, prandaj, linjat e dhëna nuk kryqëzohen, dhe nuk mund të bëhet fjalë për gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit të këtyre vijave.
nuk mund të gjejmë koordinatat e pikës së kryqëzimit të drejtëzave të dhëna, pasi këto drejtëza nuk priten.
Kur linjat kryqëzuese jepen me ekuacione kanonike të një drejtëze në hapësirë ose me ekuacione parametrike të një drejtëze në hapësirë, atëherë së pari duhet të merren ekuacionet e tyre në formën e dy rrafsheve të kryqëzuara dhe vetëm pas kësaj të gjenden koordinatat e pikës së kryqëzimit.
Dy vija të kryqëzuara përcaktohen në një sistem koordinativ drejtkëndor Oxyz ekuacionet dhe . Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së këtyre drejtëzave.
Le të përcaktojmë drejtëzat fillestare me ekuacionet e dy rrafsheve të kryqëzuara:
Për të gjetur koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave, mbetet të zgjidhet sistemi i ekuacioneve. Rangu i matricës kryesore të këtij sistemi është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar dhe është i barabartë me tre (rekomandojmë të kontrolloni këtë fakt). Le të marrim si bazë minor, pra, mund të përjashtojmë ekuacionin e fundit nga sistemi. Pasi të kemi zgjidhur sistemin që rezulton duke përdorur çdo metodë (për shembull, metoda e Cramer), marrim zgjidhjen. Kështu, pika e kryqëzimit të vijave ka koordinata (-2, 3, -5) .
Pika e kryqëzimit
Le të na jepen dy drejtëza, të përcaktuara nga koeficientët e tyre dhe . Ju duhet të gjeni pikën e tyre të kryqëzimit, ose të zbuloni se linjat janë paralele.
Zgjidhje
Nëse dy drejtëza nuk janë paralele, atëherë ato kryqëzohen. Për të gjetur pikën e kryqëzimit, mjafton të krijoni një sistem me dy ekuacione të drejtëza dhe ta zgjidhni atë:
Duke përdorur formulën e Cramer, ne gjejmë menjëherë një zgjidhje për sistemin, e cila do të jetë ajo e dëshiruara pikë kryqëzimi:
Nëse emëruesi është zero, d.m.th.
atëherë sistemi nuk ka zgjidhje (direkte paralele dhe nuk përkojnë) ose ka pafundësisht shumë (drejtpërdrejt ndeshje). Nëse është e nevojshme të bëhet dallimi midis këtyre dy rasteve, është e nevojshme të kontrollohet që koeficientët e drejtëzave të jenë proporcionale me të njëjtin koeficient proporcionaliteti si koeficientët dhe , për të cilat mjafton të llogariten dy përcaktuesit nëse janë të dy; e barabartë me zero, atëherë rreshtat përkojnë:
Zbatimi
struct pt (double x, y;); vija e strukturës (double a, b, c;); EPS e dyfishtë =1e-9; dyfishtë det (dyfishtë a, dyfishtë b, dyfishtë c, dyfishtë d) (kthehu a * d - b * c;) bool kryqëzohet (rreshti m, rreshti n, pt & res) (double zn = det (m.a, m.b, n.a , n.b);if(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}
Mësimi nga seriali " Algoritme gjeometrike»
Përshëndetje i dashur lexues.
Këshillë 1: Si të gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave
Le të shkruajmë edhe tre funksione të reja.
Funksioni LinesCross() do të përcaktojë nëse kryqëzohen qoftë dy segment. Në të, pozicioni relativ i segmenteve përcaktohet duke përdorur produkte vektoriale. Për të llogaritur produktet vektoriale, ne do të shkruajmë një funksion – VektorMulti().
Funksioni RealLess() do të përdoret për të zbatuar operacionin e krahasimit "<” (строго меньше) для вещественных чисел.
Detyra 1. Dy segmente jepen nga koordinatat e tyre. Shkruani një program që përcakton a kryqëzohen këto segmente? pa gjetur pikën e kryqëzimit.
Zgjidhje
. E dyta jepet me pika.
Konsideroni segmentin dhe pikat dhe .
Pika qëndron në të majtë të vijës, për të produkti i vektorit 
> 0, pasi vektorët janë të orientuar pozitivisht.
Pika ndodhet në të djathtë të vijës, për të cilën është prodhimi vektorial 
< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.
Në mënyrë që pikat dhe të shtrihen në anët e kundërta të vijës së drejtë, mjafton që kushti të plotësohet< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).
Arsyetim i ngjashëm mund të kryhet për segmentin dhe pikat dhe .
Pra, nëse 
, atëherë segmentet kryqëzohen.
Për të kontrolluar këtë kusht, përdoret funksioni LinesCross() dhe funksioni VektorMulti() përdoret për të llogaritur produktet vektoriale.
ax, ay - koordinatat e vektorit të parë,
bx, nga – koordinatat e vektorit të dytë.
Programi geometri4; (A kryqëzohen 2 segmente?) Const _Eps: Real=1e-4; (saktësia e llogaritjes) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real; var v1,v2,v3,v4: real;funksion RealLess(Const a, b: Real): Boolean; (Rreptësisht më pak) fillojë RealLess:= b-a> _Eps fund; (RealLess)funksioni VektorMulti(ax,ay,bx,nga:real): real; (ax,ay - a koordinatat bx,nga - b koordinatat) fillojë vektormulti:= ax*nga-bx*ay; fund;Function LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean; (A kryqëzohen segmentet?) Fillojnë v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); nëse RealLess(v1*v2,0) dhe RealLess(v3*v4,0) (v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.
Rezultatet e ekzekutimit të programit:
Shkruani koordinatat e segmenteve: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
po.
Ne kemi shkruar një program që përcakton nëse segmentet e specifikuara nga koordinatat e tyre kryqëzohen.
Në mësimin tjetër do të krijojmë një algoritëm që mund të përdoret për të përcaktuar nëse një pikë ndodhet brenda një trekëndëshi.
I dashur lexues.
Tashmë jeni njohur me disa mësime nga seria e Algoritmeve Gjeometrike. A është shkruar gjithçka në një mënyrë të arritshme? Do të jem shumë mirënjohës nëse jepni komente për këto mësime. Ndoshta diçka ende duhet të përmirësohet.
Sinqerisht, Vera Gospodarets.
Le të jepen dy segmente. E para jepet me pika P 1 (x 1 ;y 1) Dhe P 2 (x 2 ;y 2). E dyta jepet me pikë P 3 (x 3 ;y 3) Dhe P 4 (x 4 ;y 4).
Pozicioni relativ i segmenteve mund të kontrollohet duke përdorur produkte vektoriale: 
Merrni parasysh segmentin P 3 P 4 dhe pika P 1 Dhe P2.
Pika P 1 shtrihet në të majtë të rreshtit P 3 P 4, për të produkti vektor v 1 > 0, meqenëse vektorët janë të orientuar pozitivisht.
Pika P2 e vendosur në të djathtë të vijës, për të produkti vektorial v 2< 0
, meqenëse vektorët janë të orientuar negativisht.
Për të theksuar pikën P 1 Dhe P2 shtrihen në anët e kundërta të një vije të drejtë P 3 P 4, mjafton që kushti të plotësohet v 1 v 2< 0 (produktet vektoriale kishin shenja të kundërta).
Arsyetim i ngjashëm mund të kryhet për segmentin P 1 P 2 dhe pikë P 3 Dhe P 4.
Pra, nëse v 1 v 2< 0 Dhe v 3 v 4< 0 , atëherë segmentet kryqëzohen.
Produkti kryq i dy vektorëve llogaritet duke përdorur formulën:
Ku:
sëpatë, ay- koordinatat e vektorit të parë,
bx, nga— koordinatat e vektorit të dytë.
Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të ndryshme të specifikuara nga koordinatat e tyre.
Le të jepen dy pika që nuk përputhen në një vijë të drejtë: P 1 me koordinata ( x 1 ;y 1) Dhe P2 me koordinata (x 2 ; y 2).
Kryqëzimi i vijave
Prandaj, një vektor me origjinë në pikë P 1 dhe përfundon në një pikë P2 ka koordinata (x 2 -x 1 , y 2 -y 1). Nëse P(x, y)është një pikë arbitrare në një vijë, pastaj koordinatat e vektorit P 1 P të barabartë (x - x 1, y - y 1).
Duke përdorur produktin e vektorit, kushti për kolinearitetin e vektorëve P 1 P Dhe P 1 P 2 mund të shkruhet kështu:
|P 1 P,P 1 P 2 |=0, d.m.th. (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
ose
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0
Ekuacioni i fundit rishkruhet si më poshtë:
sëpatë + nga + c = 0, (1)
Ku
a = (y 2 -y 1),
b = (x 1 -x 2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)
Pra, vija e drejtë mund të specifikohet me një ekuacion të formës (1).
Si të gjeni pikën e kryqëzimit të vijave?
Zgjidhja e qartë është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve të linjave:
sëpatë 1 +nga 1 =-c 1
sëpatë 2 +nga 2 =-c 2 (2)
Futni simbolet:
Këtu Dështë përcaktues i sistemit, dhe Dx, Dy— përcaktorët e marrë duke zëvendësuar kolonën e koeficientëve me të panjohurën përkatëse me një kolonë me terma të lirë. Nëse D ≠ 0, atëherë sistemi (2) është i përcaktuar, domethënë ka një zgjidhje unike. Kjo zgjidhje mund të gjendet duke përdorur formulat e mëposhtme: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D, të cilat quhen formulat e Cramer-it. Një kujtesë e shpejtë se si llogaritet përcaktori i rendit të dytë. Përcaktori dallon dy diagonale: kryesore dhe dytësore. Diagonalja kryesore përbëhet nga elementë të marrë në drejtim nga këndi i sipërm i majtë i përcaktorit në këndin e poshtëm të djathtë. Diagonalja anësore - nga e djathta e sipërme në të majtë të poshtme. Përcaktori i rendit të dytë është i barabartë me produktin e elementeve të diagonales kryesore minus produktin e elementeve të diagonales dytësore.